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Sumário
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• Modelagem e limitações da Programação Linear.
• Resolução Gráfica.
• Forma padrão de um modelo de Programação Linear.
• Definições e Teoremas.
• Forma canônica de um sistema de equações lineares.
• Método Simplex.
• Exercícios
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Programação Linear:
Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas
associados com modelos lineares.
Modelo de Programação Linear:
Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com
relação as variáveis de decisão do modelo.
Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por
um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de
decisão do modelo.
Programação Linear
Modelagem em Programação Linear
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Razões para o uso da Programação Linear:
1. Grande variedade de situações podem ser aproximadas por
modelos lineares.
2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução
de modelos lineares.
3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos
dados do modelo.
4. Estágio de desenvolvimento da tecnologia computacional.
Modelagem em Programação Linear
5
Passos básicos na obtenção de modelos de PL:
1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia
algébrica.
2. Identificar as restrições do problema, expressá-las como
equações ou inequações lineares em termos das variáveis de
decisão.
3. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo
como função linear em termos das variáveis de decisão, que
deverá ser maximizada ou minimizada.
Modelagem em Programação Linear
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Construção de modelos não é uma ciência, mas uma
arte, podendo ser melhorada com a prática.
Exemplos a serem trabalhados:
Determinação do mix de produção
Seleção de mídia para propaganda
Um problema de treinamento
Uma indústria química
Uma oficina mecânica
Dimensionamento de equipes de inspeção
Modelagem em Programação Linear
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Determinação do mix de produção
Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha
que requer o uso de dois tipos de recursos – mão-de-obra e material. A
companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu
departamento de engenharia forneceu os dados a seguir:
Modelo
A B C
Mão-de-obra
(horas por unidade) 7 3 6
Material
(kg por unidade) 4 4 5
Lucro
($ por unidade) 4 2 3
O suprimento de material é de
200 kg por dia. A
disponibilidade diária de mão-
de-obra é 150 horas. Formule
um modelo de Programação
Linear para determinar a
produção diária de cada um dos
modelos de modo a maximizar
o lucro total da companhia.
Modelagem em Programação Linear
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Formulação do modelo
1. Identificação das variáveis de decisão: XA – produção diária do modelo A XB – produção diária do modelo B XC – produção diária do modelo C
2. Identificação das restrições:
(Limitação de mão-de-obra) 7XA + 3XB + 6XC 150
(Limitação de material) 4XA + 4XB +5XC 200
(Não-negatividade) XA 0, XB 0, XC 0.
3. Identificação do objetivo: maximização do lucro total
Lucro Total = L = 4XA + 2XB +3XC
Max L = 4XA + 2XB +3XC
Modelagem em Programação Linear
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Modelo
Encontrar números XA, XB, XC tais que:
Max L= 4XA + 2XB +3XC
Sujeito as restrições: 7XA + 3XB +6XC 150
4XA + 4XB +5XC 200
XA 0, XB 0, XC 0
Modelagem em Programação Linear
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Produção de Empresa
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1
é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais.
A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1e 3
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível
para essas atividades é de 120 horas.
As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a
decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.
Construa o modelo do sistema de produção mensal com objetivo de
maximizar o lucro da empresa
Modelagem em Programação Linear
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Modelo
Identificação das variáveis de decisão:
x1 = Quantidade do produto P1 produzido por mês.
x2 = Quantidade do produto P2 produzido por mês.
Restrições:
2x1 + 3x2 ≤ 120
x1 ≤ 40
x2 ≤30
x1; x2 ≥ 0 (não negatividade)
Identificação do objetivo: maximização do lucro total
Max L = 100x1 + 150x2
Modelagem em Programação Linear
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Alimentação Diária
Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um
mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos.
Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos
produtos A e B.
Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de
carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades
de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00.
Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser
compradas de cada produto de modo que as exigências da alimentação
sejam satisfeitas a custo mínimo?
Modelagem em Programação Linear
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Modelo
Identificação das variáveis de decisão:
xa = Quantidade do produto A em kg.
xb = Quantidade do produto B em kg.
Restrições:
3xa + 6xb ≥ 15
10xa + 5xb ≥ 20
xa , xb ≥ 0 (não negatividade)
Identificação do objetivo: minimização da quantidade
Min Z = 2xa + 3xb
Modelagem em Programação Linear
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Seleção de mídia para propaganda
Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03
diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior
número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em:
TV
horário
TV
horário
Rádio Revistas
normal nobre
Custo 40.000 75.000 30.000 15.000
Clientes
Atingidos 400.000 900.000 500.000 200.000
Mulheres
Atingidas 300.000 400.000 200.000 100.000
0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda.
Modelagem em Programação Linear
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A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente,
deseja:
(1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas;
(2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV;
(3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV;
(4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV;
(5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para
cada meio de divulgação.
Formular um modelo de PL que trate este problema,
determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de
comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes.
Modelagem em Programação Linear
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Resolução do exemplo “seleção de mídia para propaganda”
Variáveis de decisão:
X1 = nº. de exposições em horário normal na tv.
X2 = nº. de exposições em horário nobre na tv.
X3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio
X4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas.
Função-objetivo:
“Maximizar nº. de clientes atingidos”
Max Z = 400.000X1 + 900.000X2 + 500.000X3 + 200.000X4
Modelagem em Programação Linear
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Restrições:
Orçamento:
40.000X1 + 75.000X2 + 30.000X3 + 15.000X4 800.000
Mulheres atingidas:
300.000X1 + 400.000X2 + 200.000X3 + 100.000X4 2.000.000
Gasto com TV
40.000X1 + 75.000X2 500.000
Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas
X1 3, X2 2, 5 X3 10, 5 X4 10
Não-negatividade
X1, X2, X3, X4 0.
Modelagem em Programação Linear
Problema do Alfaiate
Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros
de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um
terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda
e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de
algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é
vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas
peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a
maximizar o seu lucro?
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Modelagem em Programação Linear
Aluguel de caminhões
Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois
tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e
4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3
metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica
precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado
e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos
caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar
o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do
B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.
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