Pesquisa OperacionalMax Vinicius Bedeschi – CRE 6849

Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões.

Sistema Organizado com o auxílio de um modelo.

Experimentação modelar com fins de otimização da operação do sistema.

Fases de um Estudo em P.O.

• Formulação do problema• Construção do modelo do sistema• Cálculo da solução através do modelo• Teste do modelo e da solução• Estabelecimento de controles da solução• Implantação e acompanhamento

Formulação do ProblemaNesta fase, o administrador do sistema e o responsável pelo estudo em P.O. deverão discutir, no sentido de colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.

Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e as relações desse sistema com outros da empresa ou do ambiente externo, com a finalidade de criticar a validade de possíveis soluções em face destes obstáculos.

Deverá ainda ser acordada uma medida de eficiência para o sistema que permita ao administrador ordenar as soluções encontradas, concluindo o processo decisório.

Construção do Modelo do SistemaOs modelos que interessam em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto de equações e inequações.

Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:

-Variáveis controladas ou de decisão.

-Variáveis não controladas.

Variáveis controladas ou de decisãosão variáveis cujo valor está sob controle do administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar.

Variáveis não controladassão as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são variáveis não controladas.

Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. Um bom modelo para um objetivo pode ser péssimo para outro. A fidelidade de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar o desempenho de um modelo.

Cálculo da solução através do modelo

É feito através de técnicas matemáticas específicas. A construção do modelo deve levar em consideração a disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução.

Teste do modelo e da solução

Esse teste é realizado com dados empíricos do sistema. Se houver dados históricos, eles serão aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao desempenho observado no sistema. Se o desvio verificado não for aceitável, a reformulação ou mesmo o abandono do modelo será inevitável. Caso não haja dados históricos, os dados empíricos serão anotados com o sistema funcionando sem interferência, até que o teste possa ser realizado.

Estabelecimento de controles da solução

A construção e experimentação com o modelo identificam parâmetros fundamentais para solução do problema. Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser controlada para garantir a validade da solução adotada. Caso alguns desses parâmetros sofra desvio além do permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária.

Implementação e acompanhamento

Nesta fase, a solução será apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a compreensão e gera boa vontade para a implantação que está sendo sugerida. Essa implantação deve ser acompanhada para se observar o comportamento do sistema com a solução adotada. Algum ajuste pode ser requerido.

Modelo em Programação Linear

O modelo matemático é composto de uma função objetiva linear; e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares.

Exemplo:

Função objetivo a ser maximizada:

Lucro = 21 32 xx

Restrições técnicas:

2061034

21

21

xxxx

Restrições de não negatividade:

00

2

1

xx

As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2

A função objetivo ou função eficiência mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para cada solução apresentada.

O objetivo é maximizar o lucro.

As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema.

As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de programação linear.

Roteirização

• Variáveis de decisão?

• Objetivo?

• Restrições?

Quais as variáveis de decisão?

Programação de produção

Programação de investimento

Quantidades a produzir no período

Decisões de investimento

Nas descrições sumárias de sistemas, isso fica claro quando lemos a questão proposta, isto é, a pergunta do problema.

Problema Variáveis de decisão

Quais o objetivo?

Identificar o objetivo da tomada de decisão.

Eles aparecem geralmente na forma da maximização de lucros ou receitas, minimização de custos, perdas, etc.

A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, custo receita, perda, etc.), em função das variáveis de decisão.

Quais as restrições?

Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão.

Exemplo 1:

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2.

Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens?

Construa o modelo de programação linear para esse caso.

Solução:

a) Quais as variáveis de decisão?

O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2.

Portanto, as variáveis de decisão serão X1 e X2

X1 quantidade anual a produzir de P1

X2 quantidade anual a produzir de P2

b) Qual o objetivo?

O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado:

Lucro devido a P1: 1000 . X1 (lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1)

Lucro devido a P2: 1800 . X2 (lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2)

Lucro total: L = 1000X1 + 1800X2

Objetivo: maximizar L = 1000X1 + 1800X2

c) Quais as restrições?

As restrições impostas pelo sistema são:

Disponibilidade de horas para a produção: 1200 horas.

Horas ocupadas com P1: 20X1 (uso por unidade x quantidade produzida)

Horas ocupadas com P2: 30X2 (uso por unidade x quantidade produzida)Total em horas ocupadas na produção:20X1 + 30X2

Disponibilidade: 1200 horas.

Restrição descritiva da situação: 20X1 + 30X2 ≤ 1200

Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)

Disponibilidade para P1: 40 unidadesQuantidade a produzir de P1: X1

Restrição descritiva da situação X1 ≤ 40

Disponibilidade para P2: 30 unidadesQuantidade a produzir de P2: X2

Restrição descritiva da situação: X2 ≤ 30

Restrições técnicas:

3040

12003020

2

1

21

xx

xxRestrições de não negatividade:

00

2

1

xx

Resumo do modelo: max L = 1000X1 + 1800X2

Sujeito a:

Exemplo 2:

Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas.

Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias.

Solução:

a. Quais as variáveis de decisão?

Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. As variáveis de decisão serão, portanto:

X1 quantidade de carne a consumir no dia

X2 quantidade de ovos a consumir no dia

b. Qual o objetivo?

O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado:

Custo devido à carne: 3 . X1 (custo por unidade x quantidade a consumir de carne)

Custo devido aos ovos: 2,5 . X2 (custo por unidade x quantidade a consumir de ovos)

Custo Total: C = 3X1 + 2,5X2

Objetivo:minimiza C = 3X1 + 2,5X2

c. Quais as restrições?

As restrições impostas pelo sistema são:

Necessidade mínima de vitamina: 32 unidades

Vitaminas de carne: 4 . X1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir)

Vitamina de ovos: 8 . X2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir)Total de vitaminas: 4X1 + 8X2

Necessidade mínima: 32

Restrição descritiva da situação: 4X1 + 8X2 ≥ 32

Necessidade mínima de proteína: 36 unidades

Proteína de carne: 6 . X1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir)

Proteína de ovos: 6 . X2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir)Total de proteínas: 6X1 + 6X2

Necessidade mínima: 36

Restrição descritiva da situação: 6X1 + 6X2 ≥ 36

Restrições técnicas:

36663284

21

21

xxxx

Restrições de não negatividade:

00

2

1

xx

Resumo do modelo: min C = 3X1 + 2,5 X2

Sujeito a:

FUNÇÃO OBJETIVO:

Problema de

MAXIMIZAÇÃO

Max Vinicius Bedeschi

CRE 6859

EXEMPLOUma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina Ms. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto à demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições desse enunciado.

Variáveis de decisão

A e B Os dois produtos a serem fabricados

X1 (quantidades do produto A)

X2 (quantidades do produto B)

§ Hipótese: toda a produção será vendida

Produto Horas gastas em M1

Horas gastas em M2

Demanda máxima

Lucro unitário (R$)

A 4 4 ilimitada 80B 6 2 3 60

Horas disponíveis 24 16    

Vamos chamar de x e y, respectivamente, às quantidades dos produtos A e B que devemos fabricar (as quais serão vendidas integralmente). Portanto, x e y são os valores procurados, que darão a solução ao nosso problema de programação linear.

Função objetivo

80x + 60y

Queremos maximizar o lucro na venda de x unidades de A e y unidades de B, ou seja, queremos maximizar o resultado numérico da seguinte expressão:

Restrições

As restrições dizem respeito à escassez de recursos, por um lado, e a limites impostos sobre nossas ações na tentativa de maximiza a função objetivo. Quais são os nossos recursos escassos?

Horas consumidas na máquina M1 ≤ 24

Horas consumidas na máquina M2 ≤ 16

Horas consumidas na máquina M1 = 4x + 6y

Horas consumidas na máquina M2 = 4x + 2y

Reescrevendo, temos:

4x + 6y ≤ 24

4x + 2y ≤ 16

Restrições

Não se pode fabricar mais de 3 unidades do produto B,

pois sua demanda máxima é essa: y ≤ 3

Restrições de não-negatividade

X ≥ 0; Y ≥ 0

Formulação completa

Maximizar 80x + 60y

Sujeito a: 4x + 6y ≤ 24

4x + 2y ≤ 16

y ≤ 3

X ≥ 0; Y ≥ 0

A solução do problema nos dá: x=3 e y=2

O valor da função objetivo é máximo e igual a

80(3) + 60(2) = 240 + 120 = R$360,00

Repare o leitor que os recursos disponíveis são totalmente consumidos, pois:

4(3) + 6(2) = 12 + 12 = 24 (horas consumidas da máquina M1)

4(3) + 2(2) = 12 + 4 = 16 (horas consumidas da máquina M2)

FUNÇÃO OBJETIVO:

Problema de

MINIMIZAÇÃO

Max Vinicius Bedeschi

CRE 6859

EXEMPLOA Granja Cocoró quer misturar dois tipos de alimentos para criar um tipo especial de ração para suas galinhas poedeiras. A primeira característica a ser atingida com a nova raçção e o menor preço possível por unidade de peso. Cada um dos alimentos contém os nutrientes necessários à ração final (aqui chamados de nutrientes X, Y e Z), porém em proporções variáveis. Cada 100g do alimento 1, por exemplo, possuem 10g do nutriente X, 50g do nutriente Y e 40g do nutriente Z. O alimento 2, por sua vez, para cada 100g, possui 20g do nutriente X, 60g do nutriente Y e 20g do nutriente Z. Cada 100g do alimento 1 custam, para a Granja Cocoró, R$0,60 e cada 100g do alimento 2 custam R$0,60. Sabe-se que a ração final deve conter, no mínimo, 2g do nutriente X, 64g do nutriente Y e 34g do nutriente Z. É preciso obedecer a essa composição, minimizando ao mesmo tempo o custo por peso da nova ração.

O objetivo é misturar dois alimentos, Alimento 1 e Alimento 2, de forma a obter uma nova ração, com uma certa composição de nutrientes X, Y e Z. Os nutrientes estão presentes nos dois alimentos.

Nossa ração final será uma mistura dos dois alimentos – digamos, x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2.

Portanto: X e Y são nossas variáveis de decisão.

  Composição por 100 g Composição de nutrientes (mínima em gramas)

  Alimento 1 Alimento 2

Nutriente X 10 20 2

Nutriente Y 40 60 64

Nutriente Z 50 20 34

Custo por 100 g R$0,60 R$0,80  

Nosso problema é de minimização, ou seja, devemos usar x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2 para compor (x + y) gramas da nova ração, e x e y devem ser tais que seu custo total seja mínimo. Ora, cada 100 gramas do Alimento 1 custam R$0,60; um só grama custaria 0,60/100 e x gramas custariam 0,60x/100, ou 0,006x. Usando o mesmo raciocínio para o Alimento 2, y gramas custariam 0,008y. Logo, quer-se minimizar

Função objetivo

0,006x + 0,008y

Restrições

• A quantidade total do nutriente X, em x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2, deve ser pelo menos igual a 2 gramas;

• A quantidade total do nutriente Y, em x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2, deve ser pelo menos igual a 64 gramas;

• A quantidade total do nutriente Z, em x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2, deve ser pelo menos igual a 34 gramas.

x gramas do Alimento 1 contêm, respectivamente,

10x/100 gramas do nutriente X, ou 0,1x gramas do nutriente X

40x/100 gramas do nutriente Y, ou 0,4x gramas do nutriente Y

50x/100 gramas do nutriente Z, ou 0,5x gramas do nutriente Z

Enquanto y gramas do Alimento 2 contêm

20y/100 gramas do nutriente X, ou 0,2y gramas do nutriente X

60y/100 gramas do nutriente Y, ou 0,6y gramas do nutriente Y

20y/100 gramas do nutriente Z, ou 0,2y gramas do nutriente Z

Reescrevendo, temos:

Quantidade total do nutriente X:

0,1x + 0,2y ≥ 2

Quantidade total do nutriente Y:

0,4x + 0,6y ≥ 64

Quantidade total do nutriente Z:

0,5x + 0,2y ≥ 34

Formulação completa

Maximizar 0,006x + 0,008y

Sujeito a: 0,1x + 0,2y ≥ 2

0,4x + 0,6y ≥ 64

0,5x + 0,2y ≥ 34

X ≥ 0; Y ≥ 0

A solução do problema nos dá: x=34,5 gramas

y=83,6 gramas

Essas quantidades, correspondem a exatamente 64 gramas do nutriente Y e 34 gramas do nutriente Z e, com folga, a 20,1 gramas do nutriente X. A soma (x + y) é igual a 118,1 gramas, formados por 20,1g do nutriente X, 64g do nutriente Y e 34g do nutriente Z. Corresponde a um custo de R$0,88. Na verdade, as quantidades de x e de y correspondem a uma proporção, que pode ser escrita de inúmeras formas, tais como:

34,5g do alimento 1 para 83,6g do Alimento 2

1g do Alimento 1 para 2,4g do Alimento 2

100g do Alimento 1 para 240g do Alimento 2 etc.

Duas variáveis de Decisão

Técnica de solução numa Programação Linear

§ Uma revisão gráfica

Max Vinicius Bedeschi

CRE 6859

O desempenho do modelo á avaliado através da representação gráfica da função objetivo

As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico.

A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis é uma reta.

ExemploRepresentar graficamente a inequação: X1 + 2X2 ≥ 10

Exemplo

Representar graficamente a solução do sistema:

X1 + 3X2 ≤ 12

2X1 + X2 ≥ 16

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Avaliação do objetivo

Maximizar L = 2X1 + 5X2 na região de soluções do gráfico abaixo.

Verificamos do gráfico que:

1. À medida que atribuirmos valores a L, obtemos retas paralelas.

2. À medida que o valor de L aumenta, a reta se afasta da origem do sistema de eixos.

Podemos concluir que pelo ponto P do gráfico teremos a paralela de maior valor que ainda apresenta um ponto na região de soluções. Portanto, o ponto P é a solução que maximiza L na região de soluções dadas.

Como P = (0,6) e L = 2X1 + 5X2, teremos:

L = 2.0 + 5.6 ou Lmáximo = 30

Método Gráfico

Exemplo: Resolver o problema de programação linear:

Minimizar Z = 2X1 + 3X2

Sujeitos às restrições: X1 + X2 ≥ 5

5X1 + X2 ≥ 10

X1 ≤ 8

X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

Programação Linear:

Formulação e Método Gráfico com duas variáveis de decisão

Max Vinicius Bedeschi

CRE 6859

Solução Gráfica

Problema de MAXIMIZAÇÃO

Uma fábrica produz dois produtos, A e B, cada qual processado por duas máquinas M1 e M2. Há restrição do tempo disponível para a produção em cada uma das máquinas, e cada um dos produtos consumia um certo tempo de produção em cada uma das máquinas. Cada unidade vendida do produto A gerava um lucro de R$80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$60. Há uma previsão máxima de demanda do produto B de 3 unidades. O problema está em saber quantas unidades de A e B devem ser produzidos, de forma a maximizar o lucro. Na sua formulação final, o problema havia ficado assim:

Formulação completa

Maximizar 80x + 60y

Sujeito a: 4x + 6y ≤ 24

4x + 2y ≤ 16

0x + 1y ≤ 3

X ≥ 0; Y ≥ 0

Restrições: horas disponíveis na máquina M1

4x + 6y ≤ 24

4x + 6y = 24

Y=0 x=6

X=0 y=4

Y=0 x=4

X=0 y=8

Restrição: horas disponíveis na máquina M2

4x + 2y ≤ 16

4x + 2y = 16

Temos ainda uma última restrição, que diz respeito à máxima demanda do produto B, isto é, ao valor

máximo de Y: 0x + 1y ≤ 3

Dessa vez, a região permissível é relativamente simples de ser encontrada, pois está no espaço abaixo da reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto Y = 3, conforme o próximo slide.

Restrição: demanda máxima – Produto B

Gráfico das restrições: maximização

As representações gráficas das três restrições podem agora ser colocadas em um só gráfico.

As três restrições delimitam agora uma região comum, que é o polígono PQRST; todos os pontos internos a essa região, ou sobre as retas que a formam, obedecem simultaneamente a todas as restrições. Os pontos PQRST são chamados de pontos extremos da região permissível.

P (x=0; y=0) é o origem dos eixos

Q (x=4; y=0)

T (x=0; y=3)

S (y=3; x=3/2)

R(y=2; x=3)

A solução ótima ao problema está em um dos pontos extremos da região permissível.

Ponto extremo Valor de x Valor de y Função objetivo 80x + 60y

P 0 0 0Q 4 0 320R 3 2 360S 3/2 3 300T 0 3 180

O ponto extremo R é, portanto, a solução do nosso problema de maximização, com x = 3 e y = 2

Movendo a reta paralelamente a si mesma para a direita, o último ponto a ser encontrado é o p0onto R (ou seja, R é o ponto extremo mais “extremo”), a nossa solução, com a reta 80x + 60y assumindo o valor 360.

Retas paralelas à função objetivo:

MAXIMIZAÇÃO

Solução Gráfica

Problema de MINIMIZAÇÃO

A granja Cocoró queria misturar dois tipos de alimentos (Alimento 1 e Alimento 2) para criar um tipo especial de ração para suas galinhas poedeiras. Cada 100g do Alimento 1 possuíam 10g do nutriente X, 50g do nutriente Y e 40g do nutriente Z. O Alimento 2, por sua vez, para cada 100g, possuía 20g do nutriente X, 60g do nutriente Y e 20g do nutriente Z. Cada 100g do Alimento 1 custavam, para a Granja Cocoró, R$0,60 e cada 100g do Alimento 2 custavam R$0,80. A ração final deveria conter, no mínimo, 2 g do nutriente X, 64 g do nutriente Y e 34 g do nutriente Z. Queríamos obedecer a essa composição, minimizando ao mesmo tempo o custo por peso da nova ração.

Formulação completa

Minimizar 0,006x + 0,008y

Sujeito a: 0,1x + 0,2y ≥ 2

0,5x + 0,6y ≥ 64

0,4x + 0,2y ≥ 34

X ≥ 0; Y ≥ 0

Restrição: quantidade mínima do nutriente X na mistura

Restrição: quantidade mínima do nutriente Y na mistura

Restrição: quantidade mínima do nutriente Y na mistura

As três restrições delimitam uma região permissível, aberta à direita, delimitada à esquerda pelos pontos MNL, pelo eixo y, para valores maiores que M, e pelo eixo x, para valores maiores que L. Todos os pontos internos a essa região, ou sobre as retas MN e ML, obedecem simultaneamente a todas as restrições. Determinemos as coordenadas dos pontos extremos M, N e L. Inicialmente, temos, sem dificuldades, as coordenadas dos pontos M e L:

Gráfico das restrições:

MINIMIZAÇÃO

M (x = 0; y = 170)

L (x = 160; y = 0)

O ponto N é o encontro das retas 0,4x + 0,6y = 64 e 0,5x + 0,2y = 34, que representam os limites mínimos dos nutrientes Y e Z na mistura. Uma cominação linear entre as duas equações fornecerá os valor de x e y:

X = 34,5g

Y = 83,6g

Temos três pontos extremos, qual deles dará a solução ótima?

O ponto extremo N é, portanto, a solução do nosso problema de minimização, com x = 34,5g e y = 83,6g.

Para identificar graficamente que o ponto N seria o de melhor solução (mínimo custo da mistura), teria bastado traçar retas paralelas à função objetivo.

Ponto extremo Valor de x Valor de y Função objetivo 0,006x + 0,008y

M 0 170 1,36N 34,5 83,6 0,88L 160 0 0,96

Retas paralelas à função objetivo:

MINIMIZAÇÃO

Movendo a reta paralelamente a si mesma para a direita, o primeiro ponto a ser encontrado é o ponto N, com a reta 0,006x + 0,008y assumindo o valor R$0,88.

Programação Linear

Solução Computacional

Max Vinicius Bedeschi

CRE 6859

A Indústria Maximóveis fabrica dois tipos de produtos: cadeiras e mesas.

Os produtos apresentam as seguintes margens de contribuição por unidade:

Produto Margem de Contribuição por Unidade ($)

Cadeiras 10Mesas 8

Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar por esses departamentos, cada unidade do produto consome determinado número de horas, conforme indicado na tabela abaixo:

DepartamentoConsumo de horas pelos produtos (em um.)

Cadeiras MesasMontagem 3 3Acabamento 6 3

Os departamentos apresentam, contudo, limitação em sua capacidade produtiva, como mostra a tabela abaixo:

Departamento Capacidade máxima disponível em horas

Montagem 30Acabamento 48

Desejamos saber qual é a melhor combinação possível de cadeiras e mesas a serem produzidas, de forma a obter a maior margem de contribuição total.

Modelo Completo do problema Indústria Maximóveis

Encontrar os valores para as variáveis de decisão C e M, de forma a maximizar a função-objetivo:

MCT = 10.C + 8.M

Respeitadas as seguintes restrições:

3C + 3M ≤ 30

6C + 3M ≤ 48

C ≥ 0; M ≥ 0

Áreas de soluções viáveis definidas pelas restrições

Interseção das áreas de soluções viáveis

Linhas de isossolução

Ponto de solução ótima do problema

Pontos Função-objetivo MCT(0,0) (10.0) + (8.0) = 0(0,10) (10.0) + (8.10) = 80(8,0) (10.8) + (8.0) = 80

(6,4) (10.6) + (8.4) = 92 (melhor solução)

Excel 2003

FERRAMENTAS

SUPLEMENTOS

SOLVER

OK

Excel 2007Botão do Excel 2007

Opções do Excel

Suplementos

Gerenciar

Suplementos do Excel

Ir para

Suplementos disponíveis SOLVER

Os dados do problema são informados nas seguintes células:

B5 e C5 – margens de contribuição unitárias dos produtos; B8 a C9 – tempo gasto pelos produtos em cada departamento; E8 e E9 – capacidade produtiva dos departamentos.

Parâmetros do Solver

Inclusão das restrições

Representação das restrições do problema

Opções do Solver

Tempo máximo: limita o tempo usado pelo processo de solução.

Iterações: refere-se ao montante de erro que admitimos entre o resultado a ser obtido pelo Solver e as metas antes fixadas nas células de restrição. Quanto maior a precisão exigida (maior número de casas decimais), maior o tempo gasto pela ferramenta computacional para solucionar o problema.

Tolerância: essa opção é aplicável apenas aos problemas com restrições de número inteiro, situação que discutiremos em um exemplo seguinte deste capítulo.

Convergência: opção aplicável somente nos casos de problemas não lineares.

Presumir modelo linear: é fundamental que esta opção seja selecionada nos casos de problemas de Programação Linear. Indica que todas as relações do modelo do problema são lineares. Também é selecionada nas situações em que se deseja uma aproximação linear para um problema não linear.

Presumir não negativos: a seleção desta opção instrui o Solver a presumir um limite mínimo de zero para as células ajustáveis. Esse procedimento dispensa a necessidade de incluir as restrições do tipo “≥”, uma a uma.

Usar escala automática: esta opção deve ser selecionada, necessariamente, quando a diferença de grandezas entre os valores de entradas e os valores de saídas do problema for muito expressiva. Por exemplo, quando se busca a maximização da porcentagem da margem de contribuição (entrada) e o resultado envolve valores de montantes bastante altos (saídas). Uma sugestão é sempre selecionar essa alternativa para a solução dos diversos problemas de PL, procedimento que dispensará a preocupação com um tipo de situação específica.

Mostrar resultados de iteração: se selecionada, instrui o Solver a exibir o resultado de cada tentativa de solução do problema.

Campos “Estimativas”, “Derivadas” e “Pesquisar”: referem-se a recursos avançados, cuja explicação depende de conceitos que fogem ao escopo deste livro. No exemplo, mantivemos para esses campos as definições padrão do Solver.

Resultados do Solver

Planilha final

As células variáveis indicam a quantidade de itens a serem produzidos na solução ótima: seis cadeiras e quatro mesas. Margem de contribuição ótima é de $92.

Relatórios de respostas

Não há sobras

Relatórios de limites

Relatórios de sensibilidade

Análise de sensibilidade. Análise que permite avaliar os reflexos sobre a solução ótima de eventuais alterações nos dados e condições do problema, dentro de intervalos definidos.

Função-objetivo. Expressão matemática por meio da qual se relacionam as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido.

Linhas de isossolução. Retas nas quais, em todos os seus pontos, é obtido o mesmo valor para a função-objetivo.

Método Simples. Método matemático que combina conceitos de álgebra matricial com um conjunto de regras básicas que levam à solução dos problemas de Programação Linear.

Pesquisa Operacional. Área do conhecimento que fornece um conjunto de procedimentos voltados para tratar, de forma sistêmica, problemas que envolvem a utilização de recursos escassos.

Preço sombra (ou sombra preço). Campo do relatório de sensibilidade do Solver que indica quanto se deixa de ganhar por não se dispor de mais uma unidade de determinada variável restritiva.

Programação Linear. Técnica matemática destinada a determinar a melhor utilização de recursos ilimitados, de forma que uma função-objetivo seja otimizada e sejam satisfeitas determinadas condições estabelecidas.

Reduzido custo. Informação contida no relatório de sensibilidade emitido pelo Solver, que pode ser entendida como um “custo de oportunidade”, indicando quanto se deixa de ganhar (ou perder) por adotar alternativa diferente da indicada pela solução ótima.

Restrições. Limitações impostas sobre os possíveis valores que podem ser assumidos pelas variáveis de decisão.

Solver. Ferramenta do software Microsoft Excel que, para solução dos problemas lineares, utiliza o método simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite.

Variáveis de decisão. Variáveis que correspondem às decisões a serem tomadas visando encontrar a solução para o problema em análise.

Variáveis de folga. Variáveis que representam eventuais folgas entre limites fixados pelas restrições e o montante efetivamente definido na solução do problema; introduzidas nas inequações representativas das restrições, transformam-nas em equações.

Análise dos Relatórios

Max Vinicius BedeschiCRE 6859

Relatório de Respostas

Subdividido em três partes:

• Célula de Destino

• Células Ajustáveis

• Restrições

O campo Valor final das células ajustáveis mostra a solução ótima encontrada pelo Solver: produção de seis cadeiras e de quatro mesas. O resultado da célula de destino indica que esse mix de produtos gera uma margem de contribuição de $92.

O campo Valor original aponta que essas células foram inicialmente preenchidas com zeros.

O campo Valor da célula aponta o total de horas utilizadas pelos produtos em cada departamento.

O campo Fórmula contém a expressão representativa de cada restrição.

O campo Status exibe uma das duas seguintes mensagens: (1) Agrupar, que significa que não há sobras, e (2) Não agrupar, indicativa da existência de sobras.

Relatório de Limites

Na primeira parte do relatório, é indicado o valor da Margem de Contribuição na solução ótima.

Na segunda parte do relatório, destinada às celulas ajustáveis, mostram-se no campo Valor, as margens de contribuição unitárias dos produtos. Os campos Limite inferior e Resultado de destino devem ser analisados em conjunto.

Considere a linha do relatório correspondente à Quantidade a produzir de cadeiras. A análise dos campos correspondentes indica que, mantidas as demais condições do problema, se reduzirmos a produção de cadeiras a seu Limite inferior (zero), o Resultado destino (margem de contribuição) será de $32. Com efeito, na solução ótima, se deixarmos de produzir cadeiras, a margem de contribuição total se referirá apenas à produção de quatro mesas, que têm margem de contribuição unitária de $8, resultando em $32.

Raciocínio similar deve ser empregado para interpretar a linha correspondente à Quantidade a produzir de mesas: quando não são produzidas mesas, a margem de contribuição total é de $60, relativa à fabricação de seis cadeiras, com MCU de $10.

A análise do campo Limite superior segue a mesma lógica. Consideremos, primeiro, a linha referente à Quantidade a produzir de cadeiras. Os valores dos campos correspondentes indicam que, na solução ótima, se produzida a quantidade máxima de 6 unidades de cadeiras, o Resultado destino será de $92. Ver que esse é o valor da MCT na solução ótima. Desde que se mantenha fixa a quantidade de um dos produtos na solução ótima, não será possível aumentas a quantidade do outro produto. Verificar que o valor encontrado para a linha da Quantidade a produzir de mesas também é o mesmo. Podemos generalizar esses resultados para todos os problemas de maximização: nos problemas dessa natureza, o Resultado destino do Limite superior sempre coincidirá com a solução ótima.

As informações fornecidas pelo relatório de limites ganham importância à medida que aumentamos o número de variáveis do problema. Imaginar, por exemplo, o caso de uma empresa que fabrica 30 diferentes produtos e deseja saber qual seria o valor da margem de contribuição total caso se decidisse pela descontinuidade da produção de um desses itens.

Relatório de Sensibilidade

O Relatório de Sensibilidade amplia a solução estática da programação linear. A análise de sensibilidade permite incorporar à resposta considerações sobre eventuais alterações nas condições do problema, dentro de intervalos definidos.

O Relatório de Sensibilidade é subdividido em duas partes: uma destinada às celulas ajustáveis e outra, às restrições.

Análise 1: Quanto às células ajustáveis

O campo Valor final indica as quantidades dos produtos a serem produzidas na solução ótima. Essa é uma informação pontual, que, a princípio, depende da manutenção das condições consideradas na resolução do problema. Ocorre que os dados do problema estão sujeitos a alterações em seus valores. No âmbito das empresas, essas variações ocorrem com certa freqüência.

A análise de sensibilidade revela que, dentro de intervalos determinados, a quantidade de produtos a serem fabricados na solução ótima é mantida, ainda que se alterem suas MCU. Os intervalos são definidos com informações dos campos Permissível decréscimo e Permissível acréscimo. Por exemplo, a MCU das cadeiras é de $10. É possível afirmar que essa margem de contribuição unitária pode variar de $8 ($10 – permissível decréscimo de $2) a $16 ($10 + permissível acréscimo de $6) que a quantidade de cadeiras prevista na solução ótima não se altera.

A mesma afirmação pode ser feita quanto à variação da margem de contribuição das mesas: a quantidade de quatro mesas a serem produzidas, conforme indicado na solução ótima, mantém-se desde que a MCU do produto varie dentro do intervalo de $5 ($8 – permissível decréscimo de $3) a $10 ($8 + permissível acréscimo de $2).

A referida análise é válida desde que consideremos apenas a margem de contribuição de um dos produtos que varia dentro do intervalo correspondente, enquanto mantemos constante a margem do outro produto.

Outra situação em que a solução ótima não se altera refere-se aos casos de aumentos ou diminuições simultâneas nas margens de contribuição unitárias dos produtos, desde que essas alterações se verifiquem dentro dos intervalos antes definidos.

Os valores contidos no campo Reduzido Custo indicam qual o reflexo provocado no “objetivo coeficiente” (MCT, em nosso caso) pela opção por alternativas diferentes da indicada na solução ótima. Pode ser entendido como um “custo de oportunidade”; mostra quanto se está deixando de ganhar (ou perder) por desprezar determinada alternativa.

O “reduzido custo” é zero para as variáveis que fazem parte da solução ótima.

Análise 2: Quanto às restrições

O campo Sombra preço (ou Preço sombra) indica quanto se deixa de ganhar por não se dispor de mais uma unidade de determinada variável restritiva.

Por exempLO, O SOBRE PREÇO DO Departamento de Montagem é de $2. Isso significa que, caso o departamento dispusesse de 31 horas, aos invés das 30 atuais, a margem de contribuição da empresa passaria de $92 para $94. Esse tipo de análise é válido, logicamente, desde que se mantenham as demais condições do problema.

O preço sombra indica qual a perda provocada pela diminuição de uma unidade em uma restrição específica. Por exemplo, a MCT diminuiria dos atuais $92 para $90, caso a capacidade do Departamento de Montagem fosse diminuída em uma hora. O mesmo raciocínio é válido para a análise do Departamento de Acabamento.

Os valores do preço sombra são válidos para determinados intervalos. O raciocínio para definição desses intervalos é similar ao utilizado para o Objetivo coeficiente, considerando-se os campos Permissível acréscimo e Permissível decréscimo. Assim, podemos afirmar que o preço-sombra de $2 é mantido nas variações na quantidade de horas do Departamento de Montagem que se processarem no intervalo que vai de 24 horas (30 horas menos permissível decréscimo de 6 horas) a 48 horas (30 horas + permissível acréscimo de 18 horas)

O preço sombra possui importante conteúdo informacional, à medida que permite a comparação dos ganhos que advêm da ampliação da capacidade restritiva da empresa com os eventuais custos envolvidos. A Indústria Maximóveis poderia comparar, por exemplo, o ganho de $40 em sua MCT, proporcionado pelo aumento de 20 horas na capacidade produtiva do Departamento de Montagem, com os custos que adviriam dessa ampliação.