PH NG TR NH NG TR N OXY I H C · PDF fileChuyên đềPHƯƠNG TRÌNH ĐƯ ỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

M 0

D

RI

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I- LÝ THUYẾT: 1. Phương trình đường tròn: Dạng 1: Phương trình đường tròn ( )C có tâm ( ; )I a b , bán kính 0R > :

( ) ( )2 2 2x a y b R- + - =

Dạng 2: Phương trình tổng quát: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = (*)

có tâm ( ; )I a b , bán kính 2 2R a b c= + - Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trình của một đường tròn là: 2 2 0a b c+ - >

THUẬT TOÁN Lập phương trình đường tròn Bước 1: Xác định tâm ( ; )I a b của ( )C . Bước 2: Xác định bán kính 0R > . Kết luận: Phương trình đường tròn ( )C có tâm ( ; )I a b , bán kính 0R > :

( ) ( )2 2 2x a y b R- + - = Nhận xét: Phương trình (*) hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số , , a b c . Như vậy chúng ta cần 3 giả thiết để xác định , , a b c . 2. Tiếp tuyến của đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = a. Tiếp tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; )M x y ( 0M : tiếp điểm) Tiếp tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; )M x y có phương trình:

0 0 0 0( ) ( ) 0xx yy a x x b y y c+ - + - + + = (CT phân đôi toạ độ)

Nhận xét: 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; )Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua vµ cã 1 vect¬ ph¸p M x y IM x a y b

0 0 0 0: ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y

b. Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng : 0ax by cD + + = là tiếp tuyến của ( ) ( );C d I RÛ D =

Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( )C , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng y kx m= + (tồn tại hệ số góc k ). Vì như thế dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C= (không có hệ số góc). Nhắc:

* §êng th¼ng cã hÖ sè gãc .

* §êng th¼ng (vu«ng gãc ) kh«ng cã hÖ sè gãc.

y kx m kx C Ox

0 0( ; )0Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) tõ 1 ®iÓm M (ngoµi (C)) ta cã thÓ

thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p:

x y

* Ph¬ng ph¸p 1: 0 0( ; )0Gäi ®êng th¼ng bÊt k× qua M vµ cã h.s.g k: x y

0 0( ) y y k x x

RI

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



0

¸p dông ®k tiÕp xóc, gi¶i ®îc k.

* NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc k (t¬ng øng 2 t.tuyÕn), bµi to¸n gi¶i quyÕt xong.

* NÕu gi¶i ®îc 1 h.g.gãc k, th× xÐt ®êng th¼ng (®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai)x x .

* Ph¬ng ph¸p 2: 2 20 0( ; ) 0 ( ; )0Gäi lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng ®i qua Mn a b a b x y

0 0( ) ( 0 ) a x x b y y , .¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®îc 1 ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a b

Nhận xét: Ph¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn ( )1C có tâm 1I , bán kính 1R và ( )2C có tâm 2I , bán kính 2R .

Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung

R 2R 1

I 2I 1

1 2 1 2+ <R R I I

( )1C không cắt ( )2C (ngoài nhau)

4

I 1 I 2R 1 R 2

1 2 1 2R R I I+ =

( )1C tiếp xúc ngoài với ( )2C

3

I 1 I 2R 1 R 2

1 2 1 2 1 2R R I I R R+ > > -

( )1C cắt ( )2C tại hai điểm phân biệt

2

I 1 I 2R 1

R 2

1 2 1 2R R I I- =

( )1C tiếp xúc trong với ( )2C

1

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



I 1I 2

R 1

R 2

1 2 1 2R R I I- <

( )1C không cắt ( )2C (lồng vào nhau)

0

VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn. Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình về dạng 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = (1)

Kiểm tra, nếu biểu thức: 2 2 0a b c+ - > thì (1) là phương trình đường tròn ìïí

= + -ïî2 2

T©m ( ; )I a b

R a b c

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: - + - =2 2( ) ( )x a y b m và kết luận. LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán hính nếu có:

+ - + + = + + - - =

+ + + + = + - + - =

+ - = + - + + =

+ + + - =

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0

) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0

) 4 0 ) 2 4 8 1 0

) 2 4 5 0

a x y x y b x y x y

c x y x y d x y x y

e x y y f x y x y

g x y xy y

Bài tập 2: Cho phương trình + - + + - =2 2 2 4 6 1 0x y mx my m (1) a. Với giá trị nào của m thì pt(1) là phương trình của đường tròn? b. Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m . Bài tập 3: Cho phương tr×nh : 2 2 26 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + - - + + - = .

a. T×m điều kiện của m để pt trªn là l ph¬ng tr×nh đường trßn. b. T×m quỹ tÝch t©m đường trßn.

Bài tập 4: Cho phương trình: 2 2 1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x ya a .

;10

a. Víi gi¸ trÞ nµo cña th× ph¬ng tr×nh trªn lµ p.tr×nh cña mét ®êng trßn.

b. T×m gi¸ trÞ ®Ó ®êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt, lín nhÊt.

c. T×m quü tÝch t©m ®êng trßn, khi thay ®æi trªn ®o¹n 0

aa

a 080 .

Bài tập 5: Cho phương tr×nh ( )mC : 2 2 2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + - - - + = .

a. T×m m để ( )mC là phương tr×nh của một đường trßn.

b. T×m m để ( )mC là đường trßn t©m (1; 3).I - Viết phương tr×nh đường trßn.

c. T×m m để ( )mC là đường trßn cã b¸n kÝnh 5 2.R = Viết phương tr×nh đường trßn.

d. T×m tập hợp t©m çc đường trßn ( )mC .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: Cách 1: Tìm tâm ( ; )I a b , bán kính > 0R . Suy ra ( ) ( )- + - =

2 2 2( ) :C x a y b R Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = - Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c . - Giải hệ phương trình tìm , , a b c . LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a. (C) có tâm ( 1;2)I - và tiếp xúc với đường thẳng : 2 7 0x yD - + = . b. (C) có đường kính là AB với (1;1), (7;5)A B Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C- - . Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3)A B C - . a. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. b. Xác định tâm và bán kính của (C). Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với (1;5), (4; 1),A B -

( 4; 5)C - - Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm (2;3)I trong các trường hợp sau: a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua điểm (1;5)A . c. (C) tiếp xúc với trục Ox d. (C) tiếp xúc với trục Oy e. (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 12 0x yD + - = Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3)A B- - và có tâm ở trên đường thẳng : 3 10 0x yD - + = . Gợi ý: Cách 1: Gọi ( ;3 10) ΔI a a + Î . Do (C) qua A, B nên ( )IA IB R= =

Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ . Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với đường thẳng : 3 3 0x yD + - = . Gợi ý: Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn.

Theo giả thiết: ( );Δ

IA IBd I IA

=ìï Þí =ïî giải ra I.

Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Gọi tâm của (C) là I dÎ (tọa độ 1 ẩn).

Do Δ tiếp xúc với (C) nên ( );Δd I IA= Þ giải ra I. Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm (4;2)M và tiếp xúc với các trục toạ độ. Gợi ý:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a b R= = . TH 1: ( ; ), a b I a a R a= Þ =

Phương trình (C): ( ) ( )2 2 2x a y a a- + - =

Do ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2(4;2) 4 2 12 20 0

10

=éÎ Û - + - = Û - + = Û ê =ë

aM C a a a a a

a

Vậy có 2 đường tròn: ( ) ( ) ( )2 21 : 2 2 4 C x y- + - = và ( ) ( ) ( )2 2

2 : 10 10 100 C x y- + - = . TH 2: ( ; ), a b I a a R a= - Þ - =

Phương trình (C): ( ) ( )2 2 2x a y a a- + + =

Do ( ) ( ) ( )2 2 2 2(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖmÎ Û - + + = Û - + =M C a a a a a

Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0D + - = D + - = + - =x y x y d x y . Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với 1 2, D D . Gợi ý: Cách 1:

Gọi ( ;1 2 )I a a d- Î là tâm của đường tròn (C). Do 1 2, D D là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra: ( ) ( )1 2; ;D = D Þd I d I giải ra I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1D và

2D .

2 2 2 2

3 4 1 4 3 83 4 1 4 3 8

3 4 4 3

+ - + -= Û + - = + -

+ +

x y x yx y x y

( )1

2

3 4 1 4 3 8 : 7 0

3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0

+ - = + - - - =é éÛ Ûê ê+ - = - + - - - =ëë

x y x y T x y

x y x y T x y

Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và 1 2, . T T Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3) A B và có bán kính

5R . Gợi ý: Cách 1:

Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn (C). Theo giả thiết 5

IA IBIA R

=ìí = =î

Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB. Bước 2: Gọi I dÎ (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết 5IA = Þ giải ra I. Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm (1;1)I , biết đường thẳng

: 3 4 3 0 x y cắt (C) theo dây cung AB với 2.AB Gợi ý:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Dễ thấy ( )22;Δ

4ABR d I= é ù +ë û

Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và (4; 2)C - . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N. Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N. Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN.

Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d . Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d . Suy ra IM R= . Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (1;1)A và có bán kính 10R , tâm (C) nằm trên Ox. Gợi ý: Gọi ( ;0)I a OxÎ là tâm của (C). Theo giả thiết, 10IA = , từ đây giải ra I. Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (2;3)M và tiếp xúc đồng thời với hai đường thẳng 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y Gợi ý:

Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết ( ) ( )

( ) ( )1

1 2

;Δ

;Δ ;Δ

IM d I R

d I d I

ì = =ï Þí=ïî

giải ra I.

Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ, bán kính 5R và tiếp xúc với đường thẳng : 5 0 2x y . Gợi ý:

Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết ( )

( )5

;Δ 5

OI R

d I

ì = =ï Þí=ïî

giải ra I.

Bài tập 16: Cho đường thẳng : 3 0 d x y và đường tròn 2 2( ) : 7 0. C x y x y Chứng minh rằng d cắt ( )C . Hãy viết phương trình đường tròn ( ')C đi qua ( 3;0)M và các giao điểm của d và ( )C . Gợi ý:

Xét hệ phương trình: 2 2 2 2

3 0 3

7 0 7 0

(1)

(2)

x y y x

x y x y x y x y

Thay (1) vào (2): 2 1 2 (1; 2)7 6 0

6 3 (0; 3)

x y Ax x

x y B= Þ = - -é

- + = Û ê = Þ = - -ë

Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm (1; 2), (0; 3) A B- - và ( 3;0)M . (Dùng kỹ năng: Gọi phương trình 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = và thay tọa độ)

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Bài tập 17: Cho đường thẳng : 3 0 d x y và đường tròn 2 2( ) : 7 0. C x y x y Chứng minh rằng d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B . Hãy viết phương trình đường tròn ( ')C đi qua , A B và có bán kính 3R . Gợi ý: Xác định các giao điểm A, B của d và (C).

Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ')C . Theo giả thiết: 3

IA IBIA

=ìí =î

.

Bài tập 18: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm (1; 1), (3;1) P Q và tiếp xúc với đường tròn 2 2( ') : 4 C x y .

Gợi ý: 2 2( ') : 4 C x y có tâm (0;0), 1 O R = . Lập phương trình đường trung trực Δ của PQ. Gọi ΔI Î (tọa độ 1 ẩn) là tâm của (C) Xét 2 trường hợp: TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là 1 2 1OI R R OI IA= + Û = + Þ giải ra I. TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là 1 2 1OI R R OI IA= - Û = - Þ giải ra I. Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính 2R , đi qua (2;0)M và tiếp xúc với đường tròn 2 2( ') : 1. C x y Gợi ý:

Gọi ( ; )I a b là tâm của ( )C . Theo giả thiết: 1

IM RIO R

=ìí = +î

. Từ đây, giải ra I.

Bài tập 20: Viết phương trình đường tròn có bán kính 2R , và tiếp xúc với đường tròn 2 2( ') : 1 0 vµ ®êng th¼ng C x y y .

Gợi ý: Gọi ( ; )I a b là tâm của ( )C .

Ta có, (C) tiếp xúc với Ox nên 2

22

bR b b

b=é

= Û = Û ê = -ë

TH 1: 2 ( ;2)b I a= Þ . Theo giả thiết 1 2'IO R R= + . Từ đây, giải ra I. TH 2: 2 ( ; 2)b I a= - Þ - . Theo giả thiết 1 2'IO R R= + . Từ đây, giải ra I.

Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng : 2 0 d y tại điểm (4;2)M và tiếp xúc với đường tròn 2 2( ') : ( 2) 4. C x y

Gợi ý: Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d . Lúc đó, tâm ΔI Î (tọa độ 1 ẩn). Dễ thấy R IM= TH 1: ' ' ' 'II R R II IM R= + Û = + . Từ đây, giải ra I. TH 2: ' ' ' 'II R R II IM R= - Û = - . Từ đây, giải ra I.

Bài tập 22: Cho đường tròn 2 2( ') : 8 C x y . Viết phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với đường thẳng : 3 0 x và đường tròn (C’) tại điểm (2;2)M . Gợi ý:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Lập phương trình đường thẳng 'I M . Tâm 'I I MÎ (tọa độ 1 ẩn). Ta có: ( )' ' ' , 3 'II IM I M II d I x I M= + Û = - + . Từ đây, giải ra I. Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng : 7 10 0d x y- + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng : 2 0x yD + = và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm (4;2)A . Gợi ý:

Tâm ΔI Î (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết ( ),IA d I d= . Từ đây, giải ra I.

VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài tập 1: Cho đường tròn (C): ( ) ( )2 22 1 25x y- + - = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

trong các trường hợp sau: a. Tại điểm (5; 3)M - b. Biết tiếp tuyến song song : 5 12 2 0x yD - + = c. Biết tiếp tuyến vuông góc : 3 4 2 0x yD + + = d. Biết tiếp tuyến đi qua (3;6)A . Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2 4 2 0x y x y+ - - = tại giao điểm của (C) và đường thẳng : 0x yD + = . Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 2 2 4 2 0x y x y+ - - = xuất phát từ (3; 2)A - .

Gợi ý: (C) có tâm (2;1)I và 5R = . Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0n a b a b= + > là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm: : ( 3) ( 2) 0 3 2 0a x b y ax by a bD - + + = Û + - + = .

D là tiếp tuyến của (C) ( ) ( )2 2

2 2

2 3 2 ; 5 3 5

a b a bd I R b a a b

a b

+ - +Û D = Û = Û - = +

+

( )2 2 2 2 2 22 2

9 6 5 2 3 2 01 12 2

b b aab ab a a b b ab ab b aa

é = Û =êÛ - + = + Û - - = Û ê

ê = - Û = -êë

TH 1: 2b a= . Lúc đó: : ( 3) 2 ( 2) 0 3 2( 2) 0 2 1 0a x a y x y x yD - + + = Û - + + = Û + + = (do 0a ¹ )

TH 2: 12

b a= -

Lúc đó: 1 1: ( 3) ( 2) 0 3 ( 2) 0 2 8 02 2

a x a y x y x yD - - + = Û - - + = Û - - = (do 0a ¹ )

Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. 1 : 2 1 0x yD + + = , 2 : 2 8 0x yD - - = .

Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm. Gọi ( )0 0 0;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C).

Suy ra: 2 20 0 0 00

0 0 0 0

4 2 0( )

. 0

x y x yM CM A M I M A M I

ì + - - =Îì ïÛí í^ =î ïî Từ đây, giải ra hai tiếp điểm…

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Bài tập 4: Cho đường tròn (C): 2 2 6 2 6 0x y x y+ - + + = và điểm (1;3)A . a. Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C). b. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A. Bài tập 5: Cho đường tròn (C): ( ) ( )2 2

1 2 9x y+ + - = và điểm (2; 1)M - . a. Chứng tỏ qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến 1D và 2D với (C). Hãy viết phương trình của 1D và 2D . b. Gọi 1M và 2M lần lượt là hai tiếp điểm của 1D và 2D với (C), hãy viết phương trình

1 2M M . Gợi ý: (C) có tâm ( 1;2)I - và 3R = .

a. Ta có (3; 3) 3 2 3IM IM R- Þ = > =

nên M nằm ngoài (C). Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C). Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0n a b a b= + > là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên)

Cách 2: Gọi ( )0 0 0;M x y là tiếp điểm. Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại 0M có dạng :D ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1 2 2 9x x y y+ + + - - = . Mặt khác do D qua (2; 1)M - nên: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 02 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - = (1)

Do ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0; ( ) 1 2 9 (2)M x y C x yÎ Û + + - =

Từ (1) và (2), giải hệ: ( ) ( )

0 0 0 02 2

0 00 0

0 1, 12, 21 2 9

x y x yx yx y

- =ì = - = -éï Ûí ê = - = -+ + - = ëïî

Suy ra hai tiếp điểm 1 2( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - - TH 1: Tiếp tuyến 1D qua (2; 1)M - và 1( 1; 1)M - - có phương trình: 1y = - . TH 2: Tiếp tuyến 2D qua (2; 1)M - và 2( 2; 2)M - - có phương trình:

2 1 4 6 02 2 2 1x y x y- +

= Û - - =- - - +

.

b) Theo trên, hai tiếp điểm là 1 2( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - - .

Cách 1: Phương trình 1 22 2: 0

1 2 1 2x yM M x y+ +

= Û - =- + - +

.

Cách 2: (Không cần xác định tọa độ 1 2, M M ) Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; , ;M x y M x y . Tiếp tuyến của (C) tại 1M : ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 2 2 9x x y y+ + + - - = . Mặt khác do D qua (2; 1)M - nên: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - = (3) Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại 1M : ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 9x x y y+ + + - - = . Mặt khác do D qua (2; 1)M - nên: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - = (4) Từ (3), (4) dễ thấy: 1 2, : 0M M x yÎD - = hay đường thẳng 1 2 : 0M M x y- = . Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

a) 2 21( ) : 6 5 0C x y x+ - + = và 2 2

2( ) : 12 6 44 0C x y x y+ - - + = .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



b) 2 21( ) : 2 3 0C x y x+ - - = và 2 2

2( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + = c) 2 2

1( ) : 2 2 3 0C x y x y+ + - - = và 2 22( ) : 4 4 16 20 21 0C x y x y+ - - + =

d) 2 21( ) : 1C x y+ = và 2 2

2( ) : 4 5 0C x y y+ - - = Gợi ý: 6b) 2 2

1( ) : 2 3 0C x y x+ - - = và 2 22( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + =

Ta có ( )1C có ( )1

1

1;02

I

R

ìïí

=ïî

T©m

B¸n kÝnh và ( )2C có

( )2

2

4;42

I

R

ìïí

=ïî

T©m

B¸n kÝnh

Ta có: 1 2 1 2 1 2(3;4) 5 4I I I I R R= Þ = > = +

. Vậy ( )1C và ( )1C ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp tuyến chung cần tìm. Gọi ( )2 2: 0 0ax by c a bD + + = + > là tiếp tuyến chung của ( )1C và ( )2C .

Lúc đó, theo giả thiết: ( )( )

2 22 21 1

2 22 2

2 2

22;

; 4 4 4 4 22

a ca c a bd I R a b

d I R a b c a b c a ba b

ì +=ï ì + = +ì D = +ï ï ïÛ Ûí í í

D = + +ï + + = +ï ïî î=ï +î

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ( )

3 4 04 44 4 5 44 4

2

a ba c a b ca c a b c a ba c a b c c

+ =é+ = + +é ê+ = + + Û Û - -ê ê+ = - + + =ë ë

TH 1: 43 4 03

a b a b+ = Û = - .

Lúc đó, (1) trở thành: 2 214

4 16 4 102 33 9 3 3 2

c bbc b b b c bc b

é =ê- = + Û - = Ûê

= -ë

* Với 14 4,3 3

c b a b= = - tiếp tuyến 14 14: 0 4 3 14 03 3

bx by b x yD - + + = Û - + + = .

* Với 42 ,3

c b a b= - = - tiếp tuyến 24: 2 0 4 3 6 03

bx by b x yD - + - = Û - + - = .

TH 2: 5 42

a bc - -= .

Lúc đó, (1) trở thành:

( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

5 4 2 3 4 4 3 4 42

0 29 24 16 16 16 7 24 0 24 74

7 7

a ba a b a b a b a b a b

a c ba ab b a b a a b

a b c b

- -+ = + Û + = + Û + = +

= Þ = -éêÛ + + = + Û - = Ûê = Þ = -ë

* Với 2 , 0c b a= - = tiếp tuyến 3 : 2 0 2 0by b yD - = Û - = .

* Với 74 24,7 7

c b a b= - = tiếp tuyến 424 74: 0 24 7 74 07 7

bx by b x yD + + = Û + - = .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Kết luận: Vậy tồn tại 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: 1 : 4 3 14 0x yD - + + = , 2 : 4 3 6 0x yD - + - = , 3 : 2 0yD - = , 4 : 24 7 74 0x yD + - =

Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 2( ) : 25 C x y , biết rằng tiếp

tuyến đó hợp với đường thẳng : 2 1 0 2 mét gãc mµ cos =5

x y a a .

Gợi ý: (C) có tâm (0;0)O và 5R = . Gọi ( ) ( )2 2; 0dn a b a b= + > là một vectơ pháp của đường thẳng d cần tìm. Đường thẳng D có một vectơ pháp là (1;2)nD

.

Do góc giữa đường thẳng d và D là a với 25

cosa nên suy ra:

2 2

2 2

. 2 2cos 2 2

. 55d

d

n n a ba b a b

n n a ba D

D

+= Û = Û + = +

+

( )2 2 2 20

4 4 4 (4 3 ) 0 34

aa ab b a b a b a

b a

=éêÛ + + = + Û - = Ûê =ë

TH 1: ( )0 (0; ) 0da n b b= Þ = ¹ , chọn (0;1) : 0dn d y mÞ + = .

Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: ( )5

; 551

mmd O d R

m=é

= Û = Û ê = -ë

Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến: 1 2: 5 0, : 5 0d y d y+ = - = .

TH 2: ( )3 3; 04 4db a n a a aæ ö= Þ = ¹ç ÷

è ø , chọn (4;3) : 4 3 0dn d x y nÞ + + = .

Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: ( )25

; 5255

nnd O d R

n=é

= Û = Û ê = -ë

Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến: 3 4: 4 3 25 0, : 4 3 25 0d x y d x y+ + = + - = .

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là: 3 3 0x y- - = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Gợi ý:

( )( )

( )

(1;0). ( ;0) 3 3

; 3 3 .

12 1 3( 1)3 ;

1 3 33

Ç = = = Þ = -

-

ì = + +ï æ ö+ -ïç ÷íè øï = + +

ïî

A C C

G A B C

G A B C

BC Ox B x a A a x a y a

C a a

x x x xa aG

y y y y

Ta cã §Æt ta cã: vµ

VËy

Tõ c«ng thøc Ta cã

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Cách 1: 1 , 3 1 , 2 1= - = - = -AB a AC a BC aTa cã:

( )

( )

2Δ

2

1 3. 1 .2 2

13 12 2.3 1 3 1 3 1

1 2 3 2

= = -

--= = = =

+ + - + - +

- = +

ABCS AB AC a

aaSrAB AB BC a a

a

Do ®ã:

Ta cã:

VËy

TH 1: 1 17 4 3 6 2 32 3 3 ;

3 3æ ö+ +

= + Þ ç ÷è ø

a G

TH 1: 2 21 4 3 6 2 32 3 3 ;

3 3æ ö- - - -

= - - Þ ç ÷è ø

a G

Cách 2: Δ 2 2.= Þ = ±Ir yGäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ABC. V×

( ) ( )0 1tan 30 . 1 1 2 33-

= - = Þ = ±Ixy x xPh¬ng tr×nh BI:

TH 1: ( )1 2 3. ; 2= + =Ix d I ACNÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B th× Tõ

17 4 3 6 2 32 3 2 3 ;

3 3æ ö+ +

Þ = + = + Þ ç ÷è ø

Ia x G

TH 2: ( )1 2 3. ; 2= - =Ix d I ACNÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B th× Tõ

21 4 3 6 2 32 1 2 3 ;

3 3æ ö- - - -

Þ = - = - - Þ ç ÷è ø

Ia x G

2) (ĐH B-2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;02

I æ öç ÷è ø

, phương trình đường thẳng AB là:

2 2 0x y- + = và AB= 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm. Gợi ý:

552 2

52

2

Þ = = =

=

-

AD IA IB

R

x

5Kho¶ng çch tõ I ®Õn ®êng th¼ng AB b»ng vµ

Do ®ã A, B lµ çc giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AB víi ®êng trßn t©m I vµ b¸n kÝnh .

VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:

2 22

2 0( 2;0), (2;2) 0)1 5

2 2(3;0), ( 1; 2).

+ =ìï - <íæ ö æ ö- + =ç ÷ ç ÷ïè ø è øî

Þ - -

A

yA B x

x y

C D

. Gi¶i hÖ ®îc (v×

Lưu ý:

y

xI

B A

C

O

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Hoµn toµn cã thÓ x¸c ®Þnh täa ®é H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®êng th¼ng AB.

Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®êng th¼ng AB.

3) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( ) ( )2 2 2 2

1 2: 10 0, : 4 2 20 0C x y x C x y x y+ - = + + - - = a. Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của ( ) ( )1 2, C C và có tâm nằm trên

đường thẳng 6 6 0x y+ - = . b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( ) ( )1 2, C C .

4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( ) ( )2 2 2 2

1 2: 4 5 0, : 6 8 16 0C x y y C x y x y+ - - = + - + + = Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( ) ( )1 2, C C .

5) (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng : 1 0d x y- + = và đường tròn ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( )C tại A và B sao cho góc AMB bằng 060 . 6) (ĐH B-2003) Cho tam giác ABC vuông tại A và AB= AC. Biết (1; 1)M - là trung điểm cạnh

BC và 2 ;03

G æ öç ÷è ø

là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng : 7 10 0d x y- + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng : 2 0x yD + = và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm (4;2)A .

8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng : 1 0d x y- - = và đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 4C x y- + - = .

Viết phương trình đường tròn ( )/C đối xứng với đường tròn ( )C qua đường thẳng d . Tìm toạ

độ giao điểm của ( )/C và ( )C .

Gợi ý: ( ) ( )2 21 2 4 (1;2) 2.

(1; 1). Δ1 2(1;2) 3 0.

1 1

- + - = =

= -- -

= Û + - =-

x y I R

d nx yI d x y

Tõ (C): suy ra (C) cã t©m vµ b¸n kÝnh

§êng th¼ng cã vect¬ ph¸p tuyÕn Do ®ã ®êng th¼ng ®i qua

vµ vu«ng gãc víi cã ph¬ng tr×nh:

Täa ®é Δ1 0 2

(2;1)3 0 1

(1;2) .2 3

(3;0)2 0

- - = =ì ìÛ Þí í+ - = =î î

= - =ìÞí = - =î

J H I

J H I

dx y x

Hx y y

J I dx x x

Jy y y

giao ®iÓm H cña vµ lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:

Gäi lµ ®iÓm ®èi xøng víi qua Khi ®ã:

V× (C') ®èi xøng v (3;0) 2.=d J Ríi (C) qua nªn (C') cã t©m lµ vµ b¸n kÝnh

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



( ) ( )( ) ( )

2 2

2 222 2

*

1 01 2 4 1 1, 03, 22 8 6 03 43 4

ì - - =ì- + - = = - = =ì éï ïÛ Û Ûí í í ê = =- + =- + = ë- + = ï îï îî

x yx y y x x yx yx xx yx y

Täa ®é çc giao ®iÓm cña (C) vµ (C') lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:

VËy täa ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (C') lµ (1;0), (3;2).A B

9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm (0;2), ( 3; 1)A B - - . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. Gợi ý:

( 3;3) 3 0.

(0;2) 1.

( 3;1)

+ =

= -

x y

y

+ §êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA cã ph¬ng tr×nh 3

§êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA cã ph¬ng tr×nh

§êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO cã ph¬ng tr×nh( )3 2 0

; 1).1.

2 0.

+ - =

-+ =

+ + =

x y

y

x y

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc trùc t©m H( 3

§êng trung trùc c¹nh OA cã ph¬ng tr×nh

§êng trung trùc c¹nh OB cã ph¬ng tr×nh 3

§êng trung trùc c¹nh AB ( )0

Δ ;1).

+ =

-

x ycã ph¬ng tr×nh 3 3

Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp

OAB lµ I( 3

10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng 1 2: 0, : 2 1 0d x y d x y- = + - = . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Gợi ý:

( ); .( ; ).

2 1 0 1. (1;1), (1; 1).1

(1;0).1

Î Þ

Î -Î - - = Û = -

= =ìí = =î

Î

A t tC t t

t t t A CIB IA

IID IA

B O

1

2

V× A d

V× A vµ C ®èi xøng nhau qua BD vµ B, D Ox nªn

V× C d nªn VËy

Trung ®iÓm AC lµ V× I lµ t©m cña h×nh vu«ng nªn:

MÆt kh¸c: 1 1( ;0) 0, 2

( ;0) 0, 21 1

(0;0) (2;0) (2;0) (0;0).

(1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)(1;

ì - = = =ì ì ìïÛ Þ Ûí í í íÎ = =- =î î îïî

-

bx B b b dD Ox D d d dd

B D B D

A B C DA

Suy ra, vµ hoÆc vµ

VËy bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng lµ:

hoÆc 1), (2;0), (1; 1), (0;0)-B C D

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm (2;0), (6;4)A B . Viết phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của ( )C đến điểm B bằng 5. Gợi ý:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

( ; ).

15 6 2 4 25 8 7 0

7

* 2, 1 : 2 1 1

* 2, 7

Þ =

=é= Û - + - = Û - + = Û ê =ë

= = - + - =

= =

I a bR

bIB b b b

b

a b x y

a b1

Gäi t©m cña (C) lµ vµ b¸n kÝnh cña (C) lµ R.

Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A a=2 vµ b

Víi ta cã ®êng trßn C

Víi ta cã ( ) ( ) ( )2 2: 2 7 49- + - =x y1®êng trßn C

12) (Đề dự bị 2005) Cho đường tròn ( ) 2 2: 12 4 36 0C x y x y+ - - + = . Viết phương trình đường tròn ( )1C tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngoài với (C).

Gợi ý: ( ) ( ) ( )2 22 2 12 4 36 0 6 2 4C x y x y x yÛ + - - + = Û - + - =

Vaäy (C) co ù taâm ( )I 6,2 vaø R=2

Vì ñöôøng tro øn ( )1C tie áp xu ùc vôùi 2 tru ïc Ox, Oy ne ân taâm 1I naèm tre ân 2 ñöôøng thaúng

y x= ± vaøvì (C) co ù taâm ( )I 6,2 ,R = 2

ne ân taâm 1( ; )I x x± vôùi x > 0.

TH 1: Taâm 1I Î ñöôøng thaúng y = x Þ ( ),I x x , baùn kính 1R x=

( )1C tie áp xu ùc ngoaøi vôùi (C) Û 1 1I I R R= + ( ) ( )2 26 2 2x x xÛ - + - = +

( ) ( )2 2 2 26 2 4 4 16 4 36 0x x x x x x xÛ - + - = + + Û - - + =

2 220 36 0

18x

x xx

=éÛ - + = Û ê =ë

.ÖÙng vôùi 1 22 hay 18R R= =

Co ù 2 ñöôøng tro øn laø: ( ) ( )2 22 2 4x y- + - = ; ( ) ( )2 218 18 18x y- + - =

TH 2: Taâm 1I Î ñöôøng thaúng ( ),y x I x x= - Þ - ; 1R x=

Töông töï nhö tre ân, ta co ù x= 6

Co ù 1 ñöôøng tro øn laø ( ) ( )2 26 6 36x y- + + =

Kết luận: To ùm laïi ta co ù 3 ñöôøng tro øn tho ûa ycbt laø:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 4; 18 18 18; 6 6 36x y x y x y- + - = - + - = - + + =

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



13) (Đề dự bị 2005) Cho hai đường tròn ( ) ( )2 2 2 2

1 2: 9, : 2 2 23 0C x y C x y x y+ = + - - - = . Viết phương trình trục đẳng phương d của ( )1C và ( )2C . Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của ( )1C nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của ( )2C . Gợi ý: Ñöôøng tro øn ( )1C co ù taâm ( )O 0,0 baùn kính 1R 3=

Ñöôøng tro øn ( )2C co ù taâm ( )I 1,1 , baùn kính 2R 5=

Phöông trình tru ïc ñaúng phöông cu ûa 2 ñöôøng tro øn ( )1C , ( )2C laø

( ) ( )2 2 2 29 2 2 23 0x y x y x y+ - - + - - - =

7 0x yÛ + + = (d) Go ïi ( ) ( ), 7k k k kK x y d y xÎ Û = - -

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 20 0 7 2 14 49k k k k k k k kOK x y x y x x x x= - + - = + = + - - = + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 1 1 8 2 14 65k k k k k kIK x y x x x x= - + - = - + - - = + +

Ta xe ùt ( ) ( )2 2 2 22 14 65 2 14 49 16 0k k k kIK OK x x x x- = + + - + + = >

Vaäy 2 2 (ñpcm)IK OK IK OK> Û > (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 4 6 12 0x y- - - = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2 3 0x y- + = sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C). Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm ( )I 2,3 , R=5

( ) ( )M M M M M MM x ,y d 2x y 3 0 y 2x 3Î Û - + = Û = +

( ) ( )2 2M MIM x 2 y 3 10= - + - =

( ) ( )( )

2 2 2M M M M

M M

M M

x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0

x 4 y 5 M 4, 5

24 63 24 63x y M ,5 5 5 5

Û - + + - = Û - - =

= - Þ = - Þ - -éêÛ æ öê = Þ = Þ ç ÷ê è øë

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính 10=R . Gợi ý: Gọi ( )I a,b là tâm của đường tròn (C)

Pt (C), tâm I, bán kính R 10= là ( ) ( )2 2x a y b 10- + - =

( ) ( ) ( )2 2 2 2A C 0 a 5 b 10 a b 10b 15 0Î Û - + - = Û + - + = (1)

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



( ) ( ) ( )Î Û - + - = Û + - - + =2 2 2 2B C 2 a 3 b 10 a b 4a 6b 3 0 (2) (1) và ( 2)

ì = - =ì ì+ - + =ïÛ Ûí í í= =- + =ï î îî

2 2 a 1 a 3a b 10b 15 0 hayb 2 b 64a 4b 12 0

Vậy ta có 2 đường tròn thỏa ycbt là

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

x 1 y 2 10

x 3 y 6 10

+ + - =

- + - =

14) (ĐH D-2006) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 1 0C x y x y+ - - + = và đường thẳng : 3 0d x y- + = . Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi

bán kính đường tròn ( )C , tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )C . Gợi ý:

( ) ( )22

1

(1;1) 1.( ; 3).

12 1 2 9

2(1;4), ( 2;1

I RM d M x x

xMI R R x x

x

M M

=Î +

=é= + Û - + + = Û ê = -ë

-

§êng trßn (C) cã t©m vµ b¸n kÝnh

V× nªn

Yªu cÇu cña bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi:

VËy, cã hai ®iÓm M tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: ).

15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng : 1 2 0d x y- + - = và điểm ( 1;1)A - . Viết phương trình đường tròn ( )C đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d . Gợi ý:

2 2

2 2

2

V× (C) qua O nªn ph¬ng tr×nh (C): 2 2 0

MÆt kh¸c, do ( 1;1) (C): 2 2 2 0 1.

Lóc ®ã, ph¬ng tr×nh (C), viÕt l¹i: 2 2( 1) 0

(C) cã t©m ( ;1 ) vµ b¸n kÝnh 2 2 1

Do (C) ti

+ + + =- Î - + = Û = -

+ + + - =

Þ - - = - +

x y ax by

A a b b a

x y ax a y

I a a R a a

( )

2

2

2 2 2 21 2

Õp xóc víi ®êng th¼ng : 1 2 0 nªn ;

(1 ) 1 2 22 2 1 1.

2 2

02 2 0 .

1

VËy cã hai ®êng trßn tháa y.c.b.t lµ (C ) : 2 0, (C ) : 2 0,

- + - = =

- - - + -Û - + = = =

=éÛ - = Û ê =ë

+ - = + + =

d x y R d I d

a aa a

aa a

a

x y y x y x

16) (ĐH B-2006) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 6 6 0C x y x y+ - - + = và điểm ( 3;1)M - . Gọi 1 2, T T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( )C . Viết phương trình đường thẳng 1 2TT . Gợi ý:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



( )0

2, 2 5;

( ) ( )

. 0

R MI Ry

T C T C

MT IT MT IT

MT

= = >

Î Îì ìï ïÞí í^ =ï ïî î

0

§êng trßn (C) cã t©m I(1;3) vµ b¸n kÝnh nªn M n»m ngoµi (C).

NÕu T x lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) th×:

Ta cã: ( ) ( )0 0 0 0

2 20 0 0 0

0 02 20 0 0 0

1 2

3; 1 , 1; 3 .

2 6 6 02 3 0

2 4 0

x y IT x y

x y x yx y

x y x y

T T

= + - = - -

ì + - - + =ï Þ + - =í+ + - =ïî

Do ®ã, ta cã:

(1)

VËy, täa ®é çc tiÕp ®iÓm vµ cña çc tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) ®Òu tháa m·n ®¼ng

t 1 2 : 2 3 0.T T x y+ - =høc (1). Do ®ã, ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng

17) (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và (4; 2)C - . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N. Gợi ý: Ta cã Gi¶ sö , ta cã:

Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®êng trßn cÇn t×m lµ: (1)

Thay

2 2

( 1;0), (1; 2), (4; 4). ( ; )

4( 2) 4( 2) 0 1(1;1)

4 4( 2) 0 1

2 2 0

M N AC H x y

x y xBH AC Hx y yH AC

x y ax by c

- - = -

ì + - + = =ì ì^ï Û Û Þí í í+ - = =Îï î îî

+ + + + =

täa ®é cña M, N, H vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:

VËy ph¬ng tr×nh ®êng trßn cÇn t×m lµ: 2 2

122 1

12 4 52

2 2 2 2

2 0.

aa ca b c ba b c c

x y x y

ì = -ï- =ì ï

ï ï- + = - Û =í íï ï+ + = -î = -ï

ïî

+ - + - =

18) (ĐH D-2007) Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 9C x y- + + = và đường thẳng : 3 4 0d x y m- + = . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ P có thể kẻ được hai tiếp

tuyên PA, PB (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. Gợi ý:

(1; 2) 3 2 2 6' 6.

R IP IA RR

- = D = = = Û=

(C) cã t©m I vµ b¸n kÝnh . Ta cã PAB ®Òu nªn P thuéc

®êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh

Nhận xét: Điểm P là điểm chung của (C’) và d.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



( )19

; 641

md I d

m=é

Û = Û ê = -ë

Trªn d cã duy nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕp xóc víi (C') t¹i P

19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 1x y+ = . Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB 2= . Viết phương trình đường thẳng AB. Gợi ý: Cách 1: Đường thẳng OI nối 2 tâm của 2 đường tròn (C), (C') là đường phân giác y x= . Do đó, đường AB ^ đường y x= Þ hệ số góc của đường thẳng AB bằng 1- . Vì AB 2= Þ A, B phải là giao điểm của (C) với Ox, Oy.

Suy ra A(0,1); B(1,0)A'( 1,0); B'(0, 1)éê - -ë

Suy ra phương trình AB: 1y x= - + hoặc 1y x= - - . Cách 2: Phương trình AB có dạng: y x m= - +

Pt hoành độ giao điểm của AB là: 2 2 2 21 2 2 1 0 (2)( )x x m x mx m+ - + = Û - + - =

(2) có / 22 mD = - , gọi 1 2, x x là nghiệm của (2) ta có : 2 2 2

1 2 1 22 2( ) 2 ( ) 1AB x x x x= Û - = Û - = /

22

14 1 2 11

mm

ma=éD

Û = Û - = Û ê = -ë

Vậy phương trình AB : 1y x= - + hoặc 1y x= - - . Cách 3: Phương trình AB có dạng: y x m= - +

Gọi H là trung điểm AB. Suy ra: ( )2

2 2 2d ;4

ABOI O AB R AH R= = - = -

Từ đó giải phương trình ( )d ;OI O AB= .

20) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): 2 2 8 6 21 0x y x y+ - + + = và đường thẳng d: 01yx =-+ . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Î d.

Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2 Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): 01yx =-+ . Vậy I Î d Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và 6x = là 2 tiếp tuyến của (C) nên - Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và 2x = Þ A(2, –1) - Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và 6x = Þ A(6, –5) - Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) - Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)

R

HO

B

A

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



21) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): 2 2 2 4 2 0x y x y+ - + + = . Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho 3AB = . Gợi ý: Phương trình đường tròn (C): 2 2 2 4 2 0x y x y+ - + + = có tâm I(1, –2) 3R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của đoạn

AB. Ta có 23

2ABBHAH === . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B'

Ta có: 2

2 2 3 3' 32 2

IH IH IA AHæ ö

= = - = - =ç ÷è ø

Ta có: ( ) ( )2 25 1 1 2 5MI = - + + =

và 27

235HIMIMH =-=-=

3 13' ' 52 2

MH MI H I= + = + =

Ta có: 2 2 2 21

3 49 52 134 4 4

R MA AH MH= = + = + = =

434

1724

16943'MH'H'A'MAR 2222

2 ==+=+==

Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( ) ( )2 25 1 13x y- + - = hay ( ) ( )2 25 1 43x y- + - = .

22) (ĐH A-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( ) 2 2: 4 4 6 0C x y x y+ + + + = và đường thẳng Δ : 2 3 0x my m+ - + = . Gọi I là tâm đường tròn (C), tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho IAB có diện tích lớn nhất. Gợi ý:

Đường tròn ( )C có ( )2; 2

2

I

R

ì - -ïí

=ïî

T©m

B¸n kÝnh .

* Ta có: ( )2 3 0 2 3+ - + = Û = - - +x my m x my m thay vào phương trình ( )C , ta được:

( ) ( )2 22 3 4 2 3 4 6 0 (*)- + + - - + + + =my m y my m y và chỉ rõ lúc đó, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Hai giao điểm ( )2 3;- + -A AA my m y và ( )2 3;- + -B BB my m y , với Ay , By là nghiệm của phương trình (*).

* Để ý rằng,

21 1. .sin sin 2sin2 2IABS IA IB AIB R AIB AIB= = =

Lập luận ( )

02sin sin 1 90IABS AIB AIB AIB IA IBÛ Û = Û = Û ^ max max (**)

Ta có: ( ) ( )2 1; 2 , 2 1; 2A A B BIA my m y IB my m y= - + - + = - + - +

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Từ (**) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ). 0 2 1 2 1 2 . 2 0A B A BIA IB my m my m y y= Û - + - - + - + + + =

Sử dụng định lí Vi-et đối với phương trình (*), suy ra kết quả.

23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2 4: 25

C x y- + = và hai

đường thẳng 1 2Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - = . Xác định tâm K và bán kính của đường tròn ( )1C , biết đường tròn ( )1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ và tâm K thuộc đường tròn (C). Gợi ý:

Gọi tâm của ( )1C là ( ) ( )2 2 4( ; ) 25

K a b C a bÎ Û - + = (1)

Theo giả thiết, đường tròn ( )1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ ( ) ( ) ( )1 2 1; ;d K d K RÛ D = D = 15 5 77

5 7 25 5 72 50 2

a b a ba b a b a ba b a b

a b b a a b

é- = -- - = -é êÛ = Û - = - Û Ûê ê- = -ë =ë

Thay vào (1), giải ra kết quả.

24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2: 1 1C x y- + = . Gọi I là

tâm của (C). Xác định điểm M thuộc (C) sao cho 030IMO = . Gợi ý: Cách 1: Gọi ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1)

Xét tam giác IAB :

2 2 2 2 22 . . 1 1 2OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + - 0cos cos120 2 2 3x yÛ + = (2) Giải hệ (1) và (2), đưa ra kết quả bài toán. Cách 2: Để ý rằng, với các giả thiết đã cho của bài toán, thấy được 030MOI = . Lúc đó, điểm M là giao điểm của 2 đường thẳng 1D , 2D qua O và có các hệ số góc tương ứng

01

1tan303

k = = và 01

1tan1503

k = = - .

Ta có 1D : 13

y x= và 1D : 13

y x= -

Kết hợp với giả thiết ( ) ( ) ( )2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = (1) , giải hệ và đưa ra kết quả.

25) (ĐH A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y+ = và

2 : 3 0d x y- = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A, cắt 2d tại hai điểm B, C sao cho

tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng 32

và điểm A có hoành độ dương. Gợi ý:

Để ý rằng: 1 3.2 2ABCS AB BC= = (*)

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Do ( )1 : 3 0 ; 3Î + = Þ -A d x y A a a . Mặt khác, (T) cắt 2d tại hai điểm B, C nên gọi

( ) ( ); 3 , ; 3B b b C c c .

Ta có: ( ); 3 3AC c a c a= - +

và 1d có 1 vectơ chỉ phương ( )11; 3da = - .

Do ABCD vuông tại B nên tâm I của (T) là trung điểm AC. Và (T) là đường tròn tiếp xúc với

1d tại A nên suy ra: ( ) ( )1. 0 3 3 3 0 2dAC a c a c a c a= Û - - + = Û = -

.

Lúc đó: ( )2 ; 2 3C a a- - .

Từ (*) giải ra được tọa độ A, chọn hoành độ dương. XEM LẠI TÍ!!!!

26) (ĐH B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ( )2; 3A và elip ( )2 2

: 13 2x yE + = .

Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm của (E) ( 1F có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng 1AF với (E), N là điểm đối xứng của 2F qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 2ANF . Gợi ý:

NhËn thÊy vµ §êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh:

lµ giao ®iÓm cã tung ®é d¬ng cña víi (E), suy ra:

Do N lµ ®iÓm ®èi xøng cña qua M nªn

1 2 1

1

2

2 2

1( 1;0) (1;0).3 3

2 3 2 31;3 3

,

x yF F AF

M AF

M MA MF

F MF MN

+- =

æ öÞ = =ç ÷

è ø=

( )

suy ra:

Ph¬ng tr×nh (T):

22

2

.

2 3 413 3

MA MF MN

x y

= =

æ ö- + - =ç ÷

è ø

27) (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; 7)A - , trực tâm (3; 1)H - , tâm đường tròn ngoại tiếp ( 2;0)I - . Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hoành độ

dương. Gợi ý: Lấy điểm A’ đối xứng với điểm A qua I. Gọi ( ) /; : . 0C x y AC A C =

(1) . Để ý rằng, BHCA’ là hình bình hành nên IA IC= (2) Từ (1) và (2) suy ra, kết luận bài toán. 28) (ĐHDLHV) Cho điểm ( )8; 1A - và đường tròn ( ) 2 2: 6 4 4 0C x y x y+ - - + = a. Viết các phương trình các tiếp tuyến của ( )C kẻ từ A. b. Gọi M, N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN. 29) (CĐMGTW3-2004) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = và đường thẳng

: 1 0d x y- + = a. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc ( )C .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



b. Viết phương trình đuờng thẳng song song với d và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 2. c. Tìm toạ độ điểm T trên d sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với ( )C tại hai điểm A, Bvà góc ATB bằng 060 . 30) (CĐCNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình

2 0x y+ - = và 2 6 3 0x y+ + = , cạnh BC có trung điểm ( 1;1)M - . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 31) (CĐCNHN 2005) Cho tam giác ABC, biết phương trình các cạnh AB, BC, CA lần lượt là 2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y+ - = + + = - + = . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 32)(CĐSPQB 2005) Viết phương trình đường tròn ( )C qua 3 điểm (2;3), (4;5), (4;1)A B C Chứng tỏ điểm (5;2)K thuộc miền trong của ( )C . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm K sao cho d cắt ( )C theo dây cung AB nhận K làm trung điểm. 33) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 8 8 0C x y x y+ - - - = a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (4;0)M . b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm (4;6)N .

34) Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 2 4 9C x y- + - = và điểm (3;4)M a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm M . b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó hợp với chiều dương của trục Ox một góc 045 . 35) (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ - - - = và điểm (2;2)A . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm là MN, tính AMNS . Gợi ý: Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến 1 2 ,D D của (C) qua A như trên. Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của 1 2 ,D D và (C). Tính AMNS . Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là: 4 0+ =x .

Xét ( ) 22 : ;IMH MH IM d I MNé ùD = - ë û

( ) 22 2;R d I MN MN MHé ù= - Þ =ë û

Từ đó suy ra: ( )1 ; .2

=AMNS d A MN MN

Cách 3: Dùng công thức

21 . .sin sin2 2AMN

RS MA NA MAN MAND = =

Với 2MAN MAI= . Tính MAI : sin IMMAIIA

=

36) Cho hai đường tròn ( ) 2 21 : 4 8 11 0C x y x y+ - - + = và ( ) 2 2

2 : 2 2 2 0C x y x y+ - - - =

DDDD2

DDDD1

I

A

N

M

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



a. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2: 1 3 9C x y- + + = và đường thẳng : 1 0d x y- + = . Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho O là trung điểm MN. Tìm M, N. Gợi ý: Gọi ( ; 1)N t t d+ Î . Do M, N đối xứng nhau qua O nên ( ; 1)M t t- - - .

Mặt khác, ( ) ( )2 2 2 1( ) 1 1 3 9 2 0

2t

M C t t t tt

= -éÎ Û - - + - - + = Û - - = Û ê =ë

Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán (1;0), ( 1;0) M N - và ( 2; 3), (2;3) M N- -

38) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( ) ( ) ( )2 2: 1 1 1C x y+ + - = và đường thẳng : 1 0d x y- - = . Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho M, N đối xứng nhau qua Ox. Tìm M, N. Gợi ý: Gọi ( ; 1)N t t d- Î . Do M, N đối xứng nhau qua Ox nên ( ; 1)M t t- + .

Mặt khác, ( ) ( )2 2 2 1( ) 1 1 1 1 0

0t

M C t t t tt

= -éÎ Û + + - + - = Û + = Û ê =ë

Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán ( 1;2), ( 1; 2) M N- - - và (0;1), (0; 1) M N - 39) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có (1;0)A , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình: 2 1 0x y- + = và 3 1 0x y+ - = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gợi ý:

Phương trình : 3 1 ( 5; 2) AB x y B- = Þ - - . Phương trình : 2 ( 1;4) 2AC x y C+ = Þ - .

Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm (1;0)A , ( 5; 2)B - - và ( 1;4)C - ta tìm được

phương trình ( ) 2 2 36 10 43: 07 7 7

C x y x y+ + - - = .

40) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2 3:2

C x y+ = và parabol 2( ) :P y x= . Tìm

trên (P) điểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc 600. Gợi ý: Cách 1: Gọi ( )2

0 0; ( )M x x PÎ và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi

060 2 6.AMB OM OA= Û = = Từ đó ta tìm được { }0 2; 2x Î - .

Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là ( ) ( )1 22; 2 , 2; 2 M M - .

Cách 2: Tương tự cũng tính được 060 2 6.AMB OM OA= Û = =

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com



Suy ra ( ) ( )/ ; 6M C OÎ º vậy điểm M là giao điểm của hai đường:

( )/ 2 2: 6C x y+ = và 2( ) :P y x= ….

41) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2: 6 4 8 0C x y x y+ - - + = và đường thẳng : 2 6 0d x y- + = . Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d

có giá trị nhỏ nhất. Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm (3;2)I , bán kính 5R = . Hai tiếp tuyến của (C) song song với d là 1Δ : 2 1 0 x y- + = và 2Δ : 2 9 0 x y- - = . Xác định các tiếp điểm 1 2, M M tương ứng 1Δ và 2Δ với (C). So sánh ( )1;d M d và

( )2;d M d . Đáp số: ( )1 1;3M

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Documents

PH NG TR NH NG TR N OXY I H C · PDF fileChuyên đềPHƯƠNG TRÌNH ĐƯ ỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong