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Phénomènes atypiques de propagation d’ondes ultrasonores . Bruno Morvan – Fédération Acoustique du Nord Ouest Laboratoire Ondes et Milieux Complexes - Université du Havre. Section Régionale du Grand Nord Ouest. Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique. Quelques rappels…………. - PowerPoint PPT Presentation
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Phénomènes atypiques de propagation d’ondes ultrasonores
Bruno Morvan – Fédération Acoustique du Nord OuestLaboratoire Ondes et Milieux Complexes - Université du Havre
Section Régionale du Grand Nord Ouest
On associe à un paquet d’ondes les grandeurs suivantes
• une fréquence ou pulsation
• Une longueur d’onde
• Un nombre d’onde
• Des vitesses de phase , de groupe
2 f v
f
2k v k
Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique
gv k
• Quelques rappels…………
Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique
• L’équation de propagation s’écrit sous forme vectorielle : dans le cas général les trois composantes du déplacement sont couplées !!
Si le milieu est isotrope, on peut découpler les composantes longitudinales et transversales. Deux modules d’élasticités c11 et c44 suffisent alors à décrire son comportement mécanique.
x
y
z
Dans un solide élastique, contraintes et déformations sont reliées par les constantes élastiques
ij ijkl klc
(En notation matricielle c1111=c11)
L’onde ultrasonore résulte de la propagation d’un ébranlement mécanique
Analogie avec la constante de raideur d’un ressort qui relie l’élongation à la force appliquée:
F k l
2 244k c
k
X
Y
Elles vérifient l’équation de propagation
On trouve la relation de dispersion suivante
i( t kx)y yu U e
Si on écrit la solution uy du déplacement de l’onde plane monochromatique sous la forme :
Ondes transversales polarisées perpendiculairement à la direction de propagation x.
Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique isotrope :
Ondes transversales
Et la vitesse des ondes transversales s’écrit
44T
cV
La constante élastique c44 et la masse volumique peuvent dépendre de x (exemple empilement de 2 matériaux différents)
2y
44 y2
uc u
x x t
(indépendant de la fréquence)
Si on écrit la solution ux du déplacement de l’onde plane monochromatique sous la forme :
2x
11 x2
uc u
x x t
Ondes longitudinales polarisées selon la direction de propagation x.
i( t kx)x xu U e
2 211k c
Elles vérifient l’équation de propagation
On trouve la relation de dispersion suivante
k
Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique isotrope :
Ondes longitudinalesY
X
Et la vitesse des ondes longitudinales s’écrit
11L
cV
(indépendant de
la fréquence)
Si les longueurs d’onde sont très supérieures à la distance interatomique alors le milieu est continu et non dispersif.
Courbes de dispersion
Ondes non dispersives
Ordre de grandeur
Les distances interatomiques sont de quelques dixièmes de nm. Avec a=0.5nm et V0=5000m/s la fréquence de coupure est de 3200GHz. Le domaine de fréquence que nous considérons dans cet exposé se situe au tout début de la courbe de dispersion (au plus 10GHz).
Pour l’onde le solide apparaît comme continu.
Fréquence de coupure
Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique
•Les valeurs |k| sont situées sur des cercles isofréquences.•La vitesse de groupe est normale à ces cercles.
Milieu homogène et non dispersif:
k
Cas 1 D:
Cas 2 D:
kx
ky
Les pentes des courbes de dispersion représentent la vitesse de groupe: c’est la vitesse de propagation du paquet d’onde. Si il n’y a pas d’atténuation, c’est également la vitesse de transport de l’énergie localisée dans le paquet d’onde. Pour un milieu non dispersif la vitesse de phase est égale à la vitesse de groupe.
Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique
g kv grad ( ) ����������������������������
kx
ky
Dans un milieu élastique borné, les interférences conduisant à un caractère dispersif sont d’origine géométrique et sont produites par des phénomènes de
réflexions multiples.
Exemples d’ondes guidées : Les ondes de plaque (appelées aussi ondes de Lamb, du nom de celui qui les découvrit en 1917), affectent toute l’épaisseur
d’une plaque lorsque cette épaisseur est de l’ordre de quelques longueurs d’onde ;
Il existe deux types de mode de Lamb possibles :
Ces ondes sont des combinaisons d’ondes transverses et longitudinales
Ondes guidées et dispersion
• La vitesse de propagation de ces ondes (cas d’une plaque dans le vide) est obtenue en écrivant les conditions de frontières vide/solide.
0 1000 2000 30000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fré
quen
ce F
(M
Hz)
A0
A1
A2
S0
S1
S2
• On observe la présence dans les équations d’un facteur FE qui est le produit fréquence*épaisseur.
• Il apparaît ainsi un nouveau phénomène : la vitesse de phase des ondes de plaque dépend de la fréquence.
2 2 2 2 2 2T L T
2
22 2 2 2L T
1 1 1 1 1 1tan 4v v v
1 1 2 1tan vv
v v vFE
Fv
Evv
Ondes guidées et dispersion
• Ceci conduit pour les modes symétriques à l’équation de dispersion suivante:
Solide isotrope
Vide
Vide
E
0 1000 2000 30000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fré
quen
ce F
(M
Hz)
S1
On s’intéresse à l’onde S1 qui présente une courbe de dispersion particulière …..
Ondes guidées et dispersion
0 1000 2000 30000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fre
quen
ce F
(M
Hz)
S1
Ondes guidées et dispersion
0 1000 2000 30000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fre
quen
ce F
(M
Hz)
S1
Ondes guidées et dispersion
0 1000 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fre
quen
ce F
(M
Hz)
S1
Ondes guidées et dispersion
0 1000 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fre
quen
ce F
(M
Hz)
S1
Vitesse de phase et longueur d’onde infinies !!
Ondes guidées et dispersion
La vibration locale d’une plaque excitée par impulsion laser est dominée par la résonance ZGV (zero group velocity), celle-ci décroît très lentement en fonction du temps.
Une application de l’onde à vitesse de groupe nulle
Durée 4ms pour un signal de fréquence de l’ordre de 6MHz !!
Signal temporel
0 1000 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nombre d’onde k (1/m)
Fre
quen
ce F
(M
Hz)
S1
• La position en fréquence de la résonance du mode S1 à vitesse de groupe nulle est fonction de l’épaisseur de la plaque.
Très grande précision sur la mesure de la fréquence de la résonance liée à l’onde S1 (ZGV)
Les variations d’épaisseur d’une plaque d’aluminium corrodée sont déterminées avec une grande précision grâce à la mesure de cette fréquence ZGV.
Une application de l’onde à vitesse de groupe nulle
Sir Horace Lamb : 1849-1934
LAMB : “Il est difficile d’imaginer que la notion de vitesse négative de groupe n’aura pas d’application physique importante ”
Nous verrons par la suite comment des ondes pour lesquelles les vitesses de groupe et de phase sont opposées peuvent contribuer à obtenir la réfraction négative …….
Et si on considère un empilement périodique de matériaux différents??
x
y
d
Onde incidente
Ondes réfléchies
Ondes transmises
Exemple : une onde longitudinale incidente sur un empilement 8 motifs aluminium et eau.
1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f (MHz)
Apparition de bandes interdites
Coe
ffic
ient
de
réfle
xion
Onde ultrasonore et milieu périodique
D’où viennent ces bandes interdites et quelles sont leur influence sur les courbes de dispersion ?
Il faut faire appel à la description faite par Gaston Floquet (1883) des ondes se propageant dans un milieu périodique
Son célèbre théorème nous dit que les solutions de l’équation de propagation des ondes dans un milieu périodique sont elles aussi périodiques.
Onde ultrasonore et milieu périodique
• Solution de la forme
avec le théorème de Floquet qui impose
i( t kx)yu (x, t) F(x) e
F(x) F(x d)
d
x
y
Théorème de Bloch-Floquet
Onde ultrasonore et milieu périodique
i(2 n d) xn
n
F(x) c e
• La fonction F étant périodique, on peut la décomposer en série de Fourier
nik x i ty n
n
u (x, t) c e e
n 0
2 nk k
d
n
• On obtient les solutions appelées ondes de Floquet, dont le déplacement s’écrit:
Un système d’équations linéaires est obtenu en substituant la solution du déplacement des ondes de Floquet dans l’équation de propagation.
L’équation caractéristique du système nous donne la relation de dispersion qui relie la pulsation et le nombre d’onde k de l’onde de Floquet.
n 0
2 nk k
d
f ( ,k) 0
2y
11 y2
uc (x) (x) u
x x t
c11
x
d
x
y
Onde ultrasonore et milieu périodique
Théorème de Bloch-Floquet
x
d
nik x i ty n
n
u (x, t) c e e
Théorème de Bloch : Si le système est périodique, les valeurs du vecteur d'onde doivent l'être aussi
n 0
2 nk k
d
k
Onde ultrasonore et milieu périodique
• Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif.
Onde se propageant suivant les x>0
Onde se propageant suivant les x<0
Théorème de Bloch : Si le système est périodique, les valeurs du vecteur d'onde doivent l'être aussi
n 0
2k k
d
k
Translation de2
d
Onde ultrasonore et milieu périodique
Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif
n 0
2k k
d
k
Translation de2
d
Théorème de Bloch : Si le système est périodique, les valeurs du vecteur d'onde doivent l'être aussi
Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif
Onde ultrasonore et milieu périodique
k
En réalité, ce n’est pas tout à fait ce qu’on obtient lorsqu’on résout l’équation caractéristique du système :
Onde ultrasonore et milieu périodique
k
1ère zone de Brillouin
d
d
Onde ultrasonore et milieu périodique
En réalité, ce n’est pas tout à fait ce qu’on obtient lorsqu’on résout l’équation caractéristique du système :
Le croisement des courbes de dispersion introduit un couplage des ondes.
On passe continûment d’une branche correspondante à une onde se propageant suivant les x>0 à celle d’une onde se propageant suivant les x<0 .
Couplage de deux ondes contra-propagatives!
Onde se propageant suivant les x>0
Onde se propageant suivant les x<0
g 0dvdk
g 0
dvdk
Onde ultrasonore et milieu périodique
k
Cette structure composée d'un empilement multicouche est également appelée
« miroir de Bragg ».
La structure périodique à une dimension est la forme la plus simple d’un cristal phononique.
On peut généraliser à des milieux à 2 ou trois dimensions
C'est Lord Rayleigh en 1887 qui a le premier montré que l'on pouvait ainsi produire un gap ou bande interdite.
Lord Rayleigh (1842-1919)
Onde ultrasonore et milieu périodique
Réalisation expérimentale: tubes de duraluminium dans une matrice époxy.(Vasseur et al., J. Phys.: Condens. Matter, 10, 6051, 1998)
1 D
x
2 D
Réseau direct Réseau réciproque Courbes de dispersion
d
k2
d
X
M2
a
2a
kx
ky
k
d
Onde ultrasonore et milieu périodique
• Repliement des courbes de dispersion
• Ondes à vitesses de groupe et de phase opposées et conséquence des lois de la réfraction.
Onde ultrasonore et milieu périodique
k
a
a
Vg>0 et v0
ω= ω1
Sen
s de
pro
pag
atio
n V
g>
0
Loi de Snell-Descartes
1 1 2 2sin sink k Avec k1>0 et k2>0
Cristal phononique
Les flèches indiquent le sens des rayons
Onde ultrasonore et milieu périodique
Vg>0 et v0
k
a
a
ω= ω2
Sen
s de
pro
pag
atio
n V
g>
0
• Ondes à vitesses de groupe et de phase opposées et conséquence sur les lois de la réfraction.
Loi de snell-Descartes
1 1 2 2sin sink k Avec k1>0 et k2<0
Cristal phononique
Les flèches indiquent le sens des rayons
• On peut réaliser également des guides d’ondes périodiques…….
E=4.54mm
=8mm
p=180µm
0 100 200 300 4000.3
0.35
0.4
Wavenumber k (1/m)
Freq
uenc
y F
(MH
z)
A0
A1
S0
Onde ultrasonore et milieu périodique
Les applications
k
Bande interdite
Onde telle que vg<0 et v>0
a
GuidesFiltresMiroirs acoustiques Démultiplexage
………….
Superlentillecape d’invisibilité
………….
Bandes interdites et filtrage
Sculpture de Eusebrio Sempere 1995 (Juan March Fondation à Madrid)
Comme souvent l’artiste précède le scientifique……..
r ar=1.45cm
a=10cm
f=0.066
Réseau 2D de cylindres d’acier dans l’air
Forte atténuation du son autour de la fréquence 1.67 kHz dans la direction X.
Coefficient de transmission avec et sans cristal phononique.
• On diminue les dimensions du cristal et on augmente la fréquence…..
Bande interdite entre 203 et 226 MHz
Bandes interdites et filtrage
Bandes interdites et guidage
L’existence de bandes interdites avec des très forts contrastes d’impédance permet de réaliser des guides d’onde acoustiques très confinés.
Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage
Signal fréquence F1
+Signal
fréquence F2+
Signal fréquence F1
+…….
Signal fréquence F1
Signal fréquence F1
Signal fréquence F1
……..
Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage
• Deux guides d’ondes sont couplés par des cavités dans un Cristal Phononique composé de cylindres d’acier de diamètre 2.5mm dans de l’eau.
Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage
• Tout d’abord, on fabrique un guide d’onde
• Ensuite, on créé une bande interdite dans ce guide
• Enfin on couple deux guides
Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage
• À une fréquence F=290kHZ, l’onde guidée est déviée du port 1 au port 3. Une opération de démultiplexage est donc réalisée.
Onde plane à la fréquence F=290kHz
Le réseau phononique immergé dans l’eau est constitué de cylindres d’acier de diamètre 1.02mm assemblés en un réseau triangulaire de constante de réseau 1.27mm.
Réfraction négative dans un fluide
Onde telle que vg>0 et v0
source
Image
• Utilisation de la réfraction négative pour réaliser une « lentille parfaite ».
Réfraction négative et superlentille
Source linéique de fréquence 0.55MHz
Au-delà du cristal phononique, on retrouve l’image de la source avec une résolution de 0.5.
Ce type de lentille autorise des résolutions inférieures à la limite de diffraction (de l’ordre de /2) !!!
Square array of holes in bulk isotropic aluminium (f = 0.52876; a = 3.9 mm)
FR
EQ
UE
NC
Y (
kH
z)
0
100
200
300
400
500
600
0
100
200
300
400
500
600
M MX
M
X
Réfraction négative dans un solide
Bloc d’aluminium dans lequel sont percés des trous de diamètre 3.2mm espacés d’une distance a=3.9mm
Le diagramme de bande du cristal phononique fait apparaître une bande de fréquence pour laquelle on peut observer de la réfraction négative
Transducteur ondes transversales de fréquence centrale 500 kHz
Réfraction négative dans un solide
Réfraction négative dans un solide
Cape d’invisibilité
Cape d’invisibilité
Coque dont la densité (qui est tensorielle!) et le module de compressibilité sont définis de telle sorte qu’une onde acoustique incidente traverse l’objet sans être diffusée. Ce méta-matériau possède entre autres des propriétés de réfraction négative.
MERCI DE VOTRE ATTENTION……