PHẦN I: XÁC XUẤT

A. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

1. SƠ LƯỢC VỀ TỔ HỢP

1.1. Nguyên lý cộng & Nguyên lý nhân:

Cho A, B là các tập hợp hữu hạn: (Kí hiệu car(A)số phần tử của A)1. Cộng:

carA B carA carB carA B

2. Nhân:

carA B carA carB

1.2. Đại số tổ hợp

Cho A a1,a2, . . . . .an (gồm n phần tử )

1.2.1. Hoán vị:

Một hoán vị của A là một cách sắp thứ tự của các phần tử của A.Số lượng hoán vị của A : Pn n!

Ví dụ: A 1,2,3 có 3! 6 hoán vị: 123;132;213;231;312;3211.2.2. Chỉnh hợp:

Một chỉnh hợp chập k của tập A (0 k n) là một bộ có thứ tự gồm k phần tử của A.

Số chỉnh hợp chập k của tập A: Ank n!

n k!(qui ước 0!1)

1.2.3. Tổ hợp:Một tổ hợp chập k của tập A (0 k n) là một tập con gồm k phần tử của A.

Số tổ hợp chập k của A: Cnk n!

k!n k!

Nhận xét:Giống nhau: các phân tử đôi một khác nhau, hoán vị và chỉnh hợp còn giống nhau ở đặc điểm

thứ tựKhác nhau: tổ hợp không quy định thứ tự.

Ví dụ 1:Xếp 30 hành khách vào 6 toa tàu (mỗi toa có thể hơn 30 hành khách)

a. Có bao nhiêu cách xếp.b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho toa thứ nhất có đúng 4 hành kháchGiải:a.

TT Tên hành khách Toa tàu

1 A a1

2 B a2

30 a30

Phương án xếp a a1,a2, . . . ,a30 A1 A1 . . .A30; Ai 1,2,3,4,5,6Theo nguyên lý nân có: 6.6. . . . . 6 630

b.Số cách xếp 4 hành khách vào toa số 1: A30

4

Tương tự câu a. có 524 cách xếp số hành khách còn lại vào các toa còn lạiVậy có: A30

4 524 cách.

1

Ví dụ 2:Một hộp có 5 bi xanh và 6 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bi xanh và 3 bi đỏ.Giải:

Số cách chọn 2 bi xanh: C52; Số cách chọn 3 bi đỏ: C6

3

Số cách chọn thỏa yêu cầu:C52C6

3

2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT.

2.1. Phép thử và biến cố

1) Phép thử ngẫu nhiên:

Đặc điểm:Trong cùng điều kiện như nhau, kết quả có thể khác nhau2) Biến cố tất yếu:

3) Biến cố không thể:

4) Biến cố ngẩu nhiên:

5) Tổng hai biên cố:A B

6) Tích hai biên cố: AB

7) Biến cố sơ cấp - thuận lợi: , A

8) Hai biến cố xung khắc: AB

9) hai biến cố đối lập: A và A10) Các biến cố sơ cấp đồng khả năng:

Ví dụ: Gieo con xúc xắc cân đối:A i : " Xuất hiện i chấm"i 1,2, . . . A: Xuất hiện mặt có số chấm lẻ; B: Xuất hiện mặt chấm chẳnC: Xuất hiện mặt có số chấm không quá 2Tóm tắt:

Khái niệm ký hiệu Tương ứng về tập hợp Ví dụ (gieo xúc sắc)

1. Biến cố tất yếu Tập hợp nền A1,A2,A3,A4,A5,A6

2. Biến cố không thể Tập rỗng A7

3. Biến cố sơ cấp ( ) A1,A2,A3,A4,A5,A6

4. Biến cố ngẫu nhiên A,B,C, . . . A,B,C, . . . A:Xuất hiện mặt số chấm lẻ

5. Biến cố thuận lợi thuận lợi cho A A A1,A3,A5 thuận lợi cho A

6. Tổng hai biến cố A B A B AA1 A3 A5

7. Tích hai biến cố A.B (hay AB) A B A2 BC

8. Hai biến cố xung khắc A,B : AB A B AB

9. Hai biến cố đối lập A và A A \A B A

2.2. Định nghĩa xác suất

2.2.1. Định nghĩa cổ điển

Cho có n biến cố sơ cấp đồng khả năng, A là biến cố ngẫu nhiên có mA biến cố sơ cấp

thuận lợi cho A. Tỉ số mAn gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu: pA.

Như vậy:

pA carA

car

Ví dụ:1. Gieo con xúc xắc đồng chất. Tính xác xuất để có được mặt có số chấm lẻ.2. Tung 1 đồng xu cân đối 2 lần. Tính xác xuất để có:

2

(A): Hai mặt sấp, (B): 1 mặt sấp và 1 mặt ngửaGiải:

1. pA car A1,A3,A5

car 36

12

2. SS, SN, NS, NN (S:sấp; N:ngửa)

A{SS}; B{SN,NS}; p A 14; p B 2

42.2.2. Định nghĩa hình học

pA số đo miền A

số đo miền

Ví dụ:Hai người hẹn gặp nhau trong khoảng thời gian từ 17 giờ đến 18 giờ, người nào đến trước, sau

khi chờ quá 20 phút nếu không có người kia đến thì có thể ra về. Tìm xác suất để họ gặp nhau.Gọi x, y lần lượt là thời điểm đến chổ hẹn của từng người.

x,y 0,60 0,60

Ax,y : |x y| 20Chọn số đo miền là diện tich.

pA diện tích A

diện tích 602 402

602

2.2.3. Định nghĩa theo thống kêThực hiện n lần phép thử, quan sát biến cố A, ghi nhận lại số lần xuất hiện của biến cố A là mA. Tỉ

số mAn gọi là tần số xuất hiện A. Khi n mà mAn p thì ta nói pA p.

2.3. Công thức tính xác xuất lựa chọnXét một lô hàng có N sản phẩm, trong đó có a sản phẩm loại A và b sản phẩm loại B (abN).

Chọn ngẫu nhiên n sản phẩm (0 n N). Khi đó xác suất để chọn được k sản phẩm loại A và n k

sản phẩm loại B là:

pnk CakCb

nk

CNn

(a,b,k,n,N là các số nguyên thỏa: 0 k a; 0 n k b; a b N )

Ví dụ:3. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT3.1. Công thức cộng thứ nhất

3.2. Công thức cộng thứ hai

4. CÔNG THỨC NHÂN XÁC XUẤT4.1. Xác suất có điều kiện4.1.1. Định nghĩa

4.1.2. Tính độc lập

4.2. Công thức nhân thứ nhất4.3. Công thức nhân thứ hai5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES

5.1. Hệ biến cố đầy đủ

Các biến cố A1,A2, . . . ,An gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu thỏa:1) A1 A2 . . .An 2) AiAj với mọi i, j 1,2, . . . ,n và i j

5.2. Công thức xác suất đầy đủ

5.3. Công thức Bayes

3

4

5.4. Công thức xác xuất lựa chọn:

Trong lô có N phần tử, trong loại A có a phần tử, loại B có b phần tửChọn ngẫu nhiêu (không hoàn lại) n phần tử.Xác suất để có được k phần tử loại A (tất nhiên 0 k a ) và n k phần tử loại B được tính bởi:

pnk Cak Cb

nk

CN

Tóm tắt:

Công thức Điều kiện Giải thích Hệ quả

pA BpA pB AB A,B p A 1 pA

p

i1

n

Ai

i1

n

pAi AiAj ,i j

pA BpA pB pAB

pABpA.pB A,B độc lập (pA|B pA)

PA|BpABpB

pABpA|BpBpB|ApA

pA1A2A3 pA1 pA2|A1 pA3|A1A2 Có thể mở rộng

Công thức Điều kiện

Đầy đủ pA

i1

n

pA|Ai pAi A1,A2, . . . .An đầy đủ và xung khắc từng đôi

Bayes pAk|A pA|Ak PAk

pAA1,A2, . . . .An đầy đủ và xung khắc từng đôi

5

Ví dụ:1.(công thức cộng 1)

Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm.Tính xác suất để:(A): Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu(B): Ít nhất 1 sản phẩm xấu.Giải:

Ai : "Chọn được i sản phẩm tốt và 4 i sản phẩm xấu" (i 0,1,2,3,4)A

i4i

Ai A2 A3 A4

A2,A3,A4 đôi một xung khắcpA pA2 pA3 pA4

pAi C10i C5

4i

C154

(i 0,1,2,3,4)

B "Tất cả sản phẩm tốt" A4.pB 1 pB 1 pA4

2. (công thức cộng 2)Lớp có 100 sinh viên (học 2 ngoại ngữ: Anh, Pháp), trong đó 50 sinh viên giỏi anh văn, 45 sinh

viên giỏi pháp văn, 10 sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Tính xác suấtđểsinh viên được chọn là:

(A): Sinh viên giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ(B): Sinh viên không giỏi ngoại ngữ nào hết(C): Sinh viên chỉ giỏi mỗi Anh văn(D): Sinh viên chỉ giỏi đúng 1 ngoại ngữ

B. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. KHÁI NIỆM ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Giả sử ,,p là không gian xác suất( :không gian mẫu; : tập các biến cố; p : 0;1 xác suất thỏa p1 ;a với mọi a R)

1.1. Định nghĩa:Ánh xạ: X : R (thỏa X1 ;a với mọi a R)

gọi là một đại lượng ngẫu nhiên trên ,,p. (hay còn gọi là biến ngẫu nhiên (b.n.n)), nghĩa là,ứng với mỗi biến cố sơ cấp , tương ứng xác định duy nhất một số thực X

Ký hiệu:(i)

X B : X BThường dùng:X x : X xX x : X xa X b : a X b

(ii)X X : (tập giá trị của X)

Ví dụ:1.X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 3 lần gieo đồng xu (cân đối)

6

i i X i

1 SSS 3

2 SSN 2

3 SNS 1

4 SNN 1

5 NSS 2

6 NSN 1

7 NNS 1

8 NNN 0

SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNNX 0,1,2,3 (tập hữu hạn, rời rạc)

2.Bắn liên tiếp từng viên đạn vào bia cho đến khi trúng bia thì dừng, gọi X là số viên đạn đã dùng. 1, 01, 001, 0001, . . . . , . . . . X 1,2,3, . . . . . . . . (tập vô hạn, rời rạc)3.X là nhiệt độ tại một địa điểm, X là b.n.n (liên tục)

Mệnh đề:X, Y là b.n.n trên ,,p; a, b là các hằng số, khi đó:aX bY; X

Y(Y 0); maxX,Y; minX,Y cũng là các b.n.n trên ,,p.

1.2 Phân loạiX rời rạc: X gọi là b.n.n rời rạc

(X x0,x1, . . . . . ,xm ta qui ước x0 x1 . . . . . xm)X liên tục:X gọi là b.n.n liên tục

2. HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2.1. Hàm mật độ (hàm xác suất)

Không gian xác suất ,,p. X là b.n.n(a) Trường hợp X rời rạc X x0,x1, . . . . . ,xnHàm số

f X : R 0;1

f Xx pX x pi nếu x xi

0 nếu x xi(i 0,1,2, . . . ,n)

Gọi là hàm mật độ cùa b.n.n XThường mô tả dạng bảng sau (gọi là luật phân phối):

X x0 x1 ... ... ... ... xn

P p0 p1 ... ... ... ... pn

(b) Trường hợp X liên tục X a;bHàm f X : R 0;1 thỏa:

(i)

b

a

f Xxdx 1,

(ii) p X

f Xxdx

7

Ví dụ:X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 3 lần gieo đồng xu (cân đối)X 0,1,2,3

X 0 1 2 3

P 18

48

28

18

2.2. Hàm phân phối

Không gian xác suất ,,p. X là b.n.n

Định nghĩa:FX : R R,FXx pX x

Ví dụ: (ở vd mục 2.1)

FXx pX x

0 nếu x 0

18

nếu 0 x 1

18 48

nếu 1 x 2

18 48

28

nếu 2 x 3

1 nếu 3 x

2.3. ý nghĩaGiả sử b.n.n X có hàm mật độ f và hàm phân phối là F.(a) Trường hợp X rời rạc:

pxk X xkm Fxkm Fxk (b) Trường hợp X liên tục:

Fx

x

a

ftdt và p X F F

3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN2.1. Mode

Định nghĩa:Cho X là b.n.n hàm mật độ f. Giả sử f đạt giá trị lớn nhất tại a0 khi đó a0 gọi là mode của X.

Ký hiệu: ModX a0Ý nghĩa: Giá trị chắc nhất của X.

2.2. Kỳ vọngĐịnh nghĩa:(a) Trường hợp X rời rạc:

X x0 x1 ... ... ... ... xn

P p0 p1 ... ... ... ... pn

MX k0

n

xkpk

(b) Trường hợp X liên tục:X a;b; f là hàm mật độ

MX

a

b

xfxdx

Ý nghĩa: Trung bình của X.

Tính chất:

8

Ví dụ:Một trò chơi: Mỗi lượt chơi, gieo con xúc sắc đồng chất 3 lần. Tiền thưởng được nhận như sau:

Mặt 1 chấm mỗi lần thưởng 1000 đồng, 3 chấm thưởng 2000 đồng, mặt 6 chấm thưởng 9000 đồng.Mỗi lượt chơi phải nộp m đồng. Hỏi với m là bao nhiêu để trò chơi trở nên công bằng.2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai:

Định nghĩa:(a) Trường hợp X rời rạc:

X x0 x1 ... ... ... ... xn

P p0 p1 ... ... ... ... pn

DX M M 2 k0

n

xk2pk

k0

n

xkpk

2

( MX)

(b) Trường hợp X liên tục:X a;b

DX M M 2

a

b

x2fxdx a

b

xfxdx2

( MX)

Độ lệch chuẩn:

X DX

Ý nghĩa:Tinh chất:4. MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP4.1. Phép thử Bernoulli và phân phối nhị thức4.1.1.Phép thử Bernoulli:

Đặc điểm:n phép thử độc lập, cùng quan sát 1 biết cố A xảy ra hay không xảy ra với xác suất p không đổi.

4.1.2. Phân phối nhị thức:Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử Bernoulli, khi đó X 0,1,2, . . . ,nXác suất để biến cố A trong phép thử Bernoulli xảy ra đúng k lần là:

pnk Cnkpkqnk (với q 1 p)

Định nghĩa:

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức tham số n,p (n 1,2, . . . . ; 0 p 1)nếu:

(i) X 0,1,2, . . . . . ,n và

(ii) pX k Cnkpkqnk (với q 1 p)

Ký hiệu: X~Bn,pCác đặc số của phân phối nhị thức:

(a) Mode: np q ModX np q 1

(b) Kỳ vọng: MX np(c) Phương sai: DX npq

Ví dụ:Một máy sản suất sản phẩm với tỉ lệ tốt là 60%. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm.

a) Gọi X là số sản phẩm tốt. Tìm luật phân phối của X, xác định kỳ vọng và phương sai của X. Hỏi giátrị tin chắc nhất của X là bao nhiêu.b) Tính xác suất có ít nhất 3 sản phẩm tốt.4.2. Phân phối Poisson

9

Dạng: Quan sát số lần xuất hiện biến cố A trong vùng (hay khoảng thời gian nào đó),tham số làsố lần trung bình xuất hiện biến cố A.Định nghĩa:

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số nếu:(i) X 0,1,2, . . . . . và

(ii) pX k ek

k!Ký hiệu: X~P

Các đặc số của phân phối poisson:

(a) Mode: 1 ModX

(b) Kỳ vọng: MX

(c) Phương sai: DX

Ví dụ:4.3. Phân phối siêu bội

Dạng: Quan sát số lần chọn được phần tử loại A trong n lần chọn không lặp (chọn không hoàn lại)từ một đám đông có N phần tử trong đó có NA phần tử loại A. (phù hợp với xác xuất chọn lựa)Định nghĩa:

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội:(i) X max0;n NA N, . . . ,minn;NA và

(ii) pX k CNAk CNNA

nk

CNn (0 n,NA N)

Ký hiệu: X~HN,NA,nCác đặc số của phân phối siêu bội:

(a) Kỳ vọng: MX np với p NAN

(b) Phương sai: DX npq N nN 1

(q 1 p)

Ví dụ:Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi X là số bi đỏ

trong 4 bi chọn ra. Tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng và phương sai của X.4.4. Phân phối chuẩnĐịnh nghĩa:

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, Ký hiệu: X~N,2 , trong đó , ( 0)

là các hằng số, nếu(i) X liên tục và

(ii) hàm mật độ f,x 1

2ex 2

22

Các đặc số của phân phối chuẩn:(a) Mode: ModX

(b) Kỳ vọng: MX (c) Phương sai: DX 2

Lưu ý: Hai hàm sau tương ứng là hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối chuẩn chính tắcN0,1

Ký hiệu:

(a) fx 12ex2

2 (Hàm Gauss, chẳn)

(b) x 12

x

o

et2

2 dt (Hàm Laplace, lẻ)

10

Công thức tính xác xuất trong phân phối chuẩn:

(a) pX k 1 f

k

(k 0,1,2, . . . . )

(b) pa X b b

a

(a b)

Ví dụ:4.5 Một số kết quả xấp xỉ

Định lý (Poisson)Cho X~Bn,p n khá lớn p khá bé (thường p 0.1) khi đó: X~P với np.

Nghĩa là:

pX k ek

k!

Định lý (Moivre-Laplace)Cho X~Bn,p n khá lớn p không gần 0 và cũng không gần 1 (0,1 p 0,9) khi đó: X~N,2 với

np và npq (q 1 p)

Nghĩa là:

(a) pX k 1 f

k

(f là hàm Gauss)

(b) pa X b b

a

( là hàm Laplace)

Tóm tắt:

11

Bảng A: Tóm tắt các phân phối thường gặp

X~ Đặc điểm Loại X Tên gọi Hàm mật độ

Bn,p

n lần thực hiện phép thử độc lập

Xsố lần xuất hiện cùng 1 biến cố

Xác suất biến cố là p không đổi

Rời rạc Phân phối nhị thức Cnkpkqnk

P : số lần trung bình Rời rạc Phân phối Possion ek

k!

HN,NA,n

Xsố phần tử loại A

n : số phần tử trích ra

N : Số phần tử tập tổng

NA : số phần tử loại A

Rời rạc Phân phối siêu bộiCNAk CNNA

nk

CNn

N,2 : trung bình của b.n.n X

2 : Phương saiLiên tục Phân phối chuẩn 1

2ex 2

22

(q 1 p)

Bảng B: Công thức tính xác xuất

X~ Đặc điểm PX k (k x) Pa X b

Bn,pn lần thực hiện phép thử độc lập

Xsố lần xuất hiện cùng 1 biến cố

Xác suất biến cố là p không đổi

Cnkpkqnk

ka

b

Cnkpkqnk

P : số lần trung bình

HN,NA,n

Xsố phần tử loại A

n : số phần tử trích ra

N : Số phần tử tập tổng

NA : số phần tử loại A

CNAk CNNA

nk

CNn

ka

b

CNAk CNNA

nk

CNn

N,2 : trung bình của b.n.n X

2 : Phương saib

a

(Lưu ý: q 1 p)

12

Bảng C: Các đặc trưng số của các phân phối

X~ Đặc điểm Mod(X) M(X) D(X)

Bn,p

n lần thực hiện phép thử độc lập

Xsố lần xuất hiện cùng 1 biến cố

Xác suất biến cố là p không đổi

np q Mod(X) np q 1 np npq

P : số lần trung bình 1 Mod(X)

HN,NA,n

Xsố phần tử loại A

n : số phần tử trích ra

N : Số phần tử tập tổng

NA : số phần tử loại A

np với

p NAN

npq N nN 1

N,2 : trung bình của b.n.n X

2 : Phương sai 2

(Lưu ý: q 1 p; M(X): Kỳ vọng; D(X): Phương sai; Mod(X): vị trí hàm mật độ đạt max (số chắc nhất )

Bảng D: Tính xấp xỉ xác suất

X~ Tính xấp xỉ Chú thích

Bn,p

n 30;p 0,1 pX k npk

k!

n 30;np 10

pX k fxk npq

;xk k npnpq

pa X b x2 x1

x1 a npnpq

;x2 b npnpq

fx 12ex2

2

x 12

x

o

et2

2 dt

x 4,09 x 0,5

P

HN,NA,n n rất nhỏ so với N thì ~Bn,p với p NAN

(Tính như Bn,p)

N,2 pa X b b

a

Chú ý: x x; fx fx; x 4,09 x 0,5; (q 1 p)

(Trong bảng trên bạn chỉ cần tính (bằng máy tính các giá trị, x1,x2,xkrồi tra bảng tìm giá trị hàm f; rồi tính kết quả cuối cùng)

13

Ví dụ:1.

Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩnvới trung binh là 50 kg, phương sai la 100 kg2. Những sản phẩm có trong lượng từ 45kg đến 70kgđược xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong số rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để:(a) Có đúng 70 sản phẩm loại A(b) Có không quá 60 sản phẩm loại A(c) Có ít nhất 65 sản phẩm loại AGiải:Bước 1: Tìm xác suất chọn được 1 sản phẩm loại A (trong nhiều sản phẩm)

X là trọng lượng sản phẩmX~N 50,2 100

p45 X 70 70

45 2 0,5 (Tra bảng Laplace)

0,4772 0,1915 0,6687Bước 2:

Y là số sản phẩm loại A chọn được sau 100 lần chọn.Y~Bn 100,p 0.6687 (n 30;np 10) nên ~N np;2 npq

(a) PY 70 fx70 npq

; với xk k npnpq

70 66,87

100.0,66871 0.6687 0,66

Tra bảng gauuss cho f0,66 0.3209

PY 70 f0,66

100.0,66871 0.6687 0,0681

(b) p0 Y 60 x2 x1

x1 0 npnpq

100 0.6687

100 0.6687 1 0.6687 14.21

x1 14.21 14.21 0.5 (do 14.214.09)

x2 60 npnpq

60 100 0.6687

100 0.6687 1 0.6687 1.46

x2 1.46 1.46 (tra bảng Laplace) 0.4279p0 Y 60 x2 x1 0.4279 0.5 0.0721

(c) p65 Y 100 x2 x1

x1 65 npnpq

65 100 0.6687

100 0.6687 1 0.6687 0.4 x1 0.1554

x2 100 npnpq

100 100 0.6687

100 0.6687 1 0.6687 7.04 4.09 x2 0.5

p65 Y 100 0.6454

Phụ lụcVD5 (Xác suất đk)

Gọi A i: "Chọn được loại chính phẩm do phân xưởng i sản xuất"(A): Chọn được sản phẩm chính phẩm(a)

pA pA|A1pA1 pA|A2 PA2 pA|A3 pA3

Trong đó:

pA|A1 40100

; pA1 94100

14

pA|A2 30100

; pA2 96100

pA|A3 30100

; pA3 95100

pA 40100

. 94100

30100

. 96100

30100

. 95100

(b)pA1|A

(Đề tham khảo: bài 2)a) X~B(n6,p0.65)

p4 X 6 pX 4 pX 5 pX 6pX 4 C6

40.6541 0.652 0.328

pX 5 C650.6551 0.651 0.2437

pX 6 C660.6561 0.650 0.0754

p4 X 6 0.328 0.2437 0.0754 0.6471

( tổng quát: X~B(n,p) thì: pX k Cnkpkqnk với (q 1 p) )

b)X~B(n150,p0,65)

Nhận xét: p95 X 130 130

k95

p X k 130

k95

C130k pkqnk

là không tính trực tiếp được do n quá lớn.Do đó ta dùng phương pháp xấ xỉ (Bảng xấp xỉ C):n 30;np 10

pa X b x2 x1

x1 a npnpq

;x2 b npnpq

(với a95;b130;n 150;p 0.65,q 1 p 0.35)

Tính x1 a npnpq

95 150 0.65150 0.65 0.35

0.43

x1 0.43 0.43 tra bảng cho:x1 0.1664

Tính x2 b npnpq

130 150 0.65150 0.65 0.35

5.56 4.09 x2 0.5

pa X b x2 x1 0.5 0.1664 0.6664(Bài tập 21)Giải:

Gọi X1 là số sản phẩm tốt do máy chế ra:Theo dấu hiện nhận biết X1~Bn 3,p 0.9

pX1 i C3i 0.9 i. 0.13i (k0,1,2,3)

Gọi X2 là số sản phẩm tốt lấy từ thùng hàng: (gồm 10 sản phẩn trongđó 7 tốt và 3 phế phẩm, do 30% phế phẩm)

a) pX2 j C7j C3

3j

C103

(j0,1,2,3)

X2~HN 10,NA 7,n 3 (pNA/N 710

)

X X1 X2 (là b.n.n) 0,1,2,3,4,5,6Do X1 và X2 độc lập nên pX k

0i,j3;ijk

pX1 i pX2 j

b)

MX1 np 3 910; DX1 npq 27

10. 110

27100

MX2 np 2110; DX2 npq

N nN 1

2110. 310. 79

49100

15

MX MX1 MX2 3. 910

2110

4810

4.8;

DX DX1 DX2 27100

49100

0.76

16

PHẦN II. THỐNG KÊ

1. SƠ LƯỢC VỀ MẪU

1.1. Đám đông và mẫu ngẫu nhiên

: Đám đôngX : Đặc là đặc tính định lượngVí dụ:1. : là ngườiX: R, X tuổi thọ của

2.Quan xát việc chăn nuôi bò sửa của một địa phương A : là con bò sữa thuộc hộ chăn nuôi trong địa phương A

X lượng sữa của con bò (thường nói gọn: X là lượng sữa )

1.2. Mẫu

Nhận xét:Không thể quan sát đại lượng X trên tất cả phần tử của đám đông, vì thế chỉ chọn ngẫu nhiên một

số phần tử từ đám đông.Giả sử mẫu chọn là 1,2, . . . ,nĐặt X1 x1;X2 x2, . . . ,Xn xn;Khi đó X1 ,X2 , . . . ,Xn x1,x2, . . . ,xn gọi là một mẫu hiện thực cỡ n của đặc tính X. (gọi

tắc là mẫu cỡ n của X)Ta thường có các mô tả mẫu như sau:Dạng 1: Liệt kê x1,x2, . . . ,xn Dạng 2:

Xi x1 x2 ... ... xk

n i (số lần) n1 n2 ... ... nk

Trong đó x1 x2 . . . xkSố xj xuất hiện nj lần

Dang 3:

Xi x1 x2 x2 x3 ... ... xk xk1

n i n1 n2 ... ... nk

Trong đó x1 x2 . . . xk1Trong x1;x2 xuất hiện n1 lần,Trong x2;x3 xuất hiện n3 lần,.............................................,Trong xk;xk1 xuất hiện nk lần,

Ta đưa dạng 3 về dạng 2 bằng cách đặt xj xj xj12

(j 1,2, . . . ,k)

Ví dụ:1. Mẫu liệt kê 3,3,8,3,10,4,8,0,4,3,8,3,10,4,8,8,0,10 (cỡ n 18)

Đưa về dạng 2:

Xi 0 3 4 8 10

n i 2 5 3 5 3

2. Mẫu Xi 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

n i 8 9 20 16 16 13 18

Đưa về dạng 3:

17

Xi 13 17 21 25 29 33 37

n i 8 9 20 16 16 13 18

2. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU

Tóm tắt:Mẫu cở n : X1,X2, . . . ,Xn ; mẫu hiện thực cho ở dạng 2.

Đặc trưng Kí hiệu Công thức Giá trị cụ thể Ý nghĩa máy tính

Cỡ mẫu n Máy tính n

Kỳ vọng Xn

1n

i1

n

Xi

hay 1ni1

k

niXi

Máy tính MX

Xn MXx

Ph. sai^

S2

1n

i1

k

niXi2 X

2Máy tính

Ph. sai hiệu chỉnh S2 nn 1

^

S2

Máy tính 2X DX

Độ lệch^

S^

S2

Máy tính xn

Độ lệch hiệu chỉnh S S2 Máy tính xn 1

Tỷ lệ mẫu (theo t.c A) Fnmn (m số p.Tử

có t.c A)Máy tính

3. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ3.1. Khái niệm về ước lượng tham số.

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X với luật phân phối xác suất đã biết nhưng chưa biết tham số nàođó của nó (chẳng hạn X~N,2 , nhưng tham số hoặc 2 chưa biết)

Từ mẫu thể hiện x1,x2, . . . ,xn của đặc tính X. ta tìm cách xác định giá trị của thay thế (gần đúng)cho gọi là bài toán ước lượng tham số.

(tham số ta thường gặp là kỳ vọng (trung bình) MX; phương sai DX, tỉ lệ xuất hiện loại A )

18

3.2. Phương pháp ước lượng điểm

Là dùng một giá trị số cụ thể để thay thế cho tham số chưa biết.Cho biến ngẫu nhiên: X với các tham số MX;DXCho mẫu cỡ n : X1,X2, . . . ,Xn (theo bảng dạng 2) ta có các ước lượng sau:

Tham số của b.n.n X Giá trị ước lượng tính từ mẫu Loại

Kỳ vọng MX X (máy tính: x) Không chệch

Phương sai DX S2 (máy tính: xn 12) Không chệch

Tỉ lệ p (Xác suất ) của 1 loại (A)nAn (tính từ bảng) Không chệch

3.3. Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy

Mẫu cở n:1) Ước lượng khoảng cho kỳ vọng (trung bình) MX, và độ tin cậy 1

Kết quả khoảng ước lượng: x ;x

Độ chính xác được tính theo bảng:

Trường hợp Phương sai 2 Công thức tính

n30 Đã biết

Chưa biết

z n

z Sn

n30; X có phân phối chuẩn Đã biết

Chưa biết

z n

tk Sn

Lưu ý:

(i) z thỏa z 1 2

2

tra bảng Laplace cho ta giá trị z

(ii) tk tra từ bảng studen với 1 ; k n 1

2) Ước lượng khoảng cho tỷ lệ pPA với độ tin cậy và độ tin cậy 1 Kết quả khoảng ước lượng: Fn ;Fn Độ chính xác được tính theo:

zFn1 Fn

n(Fn nA

n tính từ mẫu)

Lưu ý: z thỏa z 1 2

2

tra bảng Laplace cho ta giá trị z

19

Bài tập phần thống kê1.

Cho mẫu khảo sát trọng lượng vật nuôi:

X(kg) 36 42 48 54 60 66 72

Số con 15 12 25 18 10 10 10

Yêu cầu:a) Ước lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 96%b) Những con vật nuôi có trọng lượng từ 60kg trở lên gọi là "đạt tiêu chuẩn". Hãy ước lượng tỉ lệ

con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 10% thì cần

phải điều tra thêm bao nhiêu con nữa?d) Có ý kiến cho rằng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn là 35% hãy nhận định ý kiến này với mức ý nghĩa 2%e) Trước đây có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình là 56 (kg). Với mẫu trên hãy nhận định ý

kiến đó với mức ý nghĩa 3%.Giải:

Sử dụng máy tính cho các kết quả sau:Cỡ mẫu: n 100Trung bình mẫu: X 51,96Độ lệch hiệu chỉnh mẫu: S 11.06

a) Ước lượng khoảng cho kỳ vọng (trung bình) độ tin cậy 1 0.96 ( 0.04)Khoảng ước lượng: X ;X

X 51,96Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: S 11.06Độ chính xác được tính bởi:

z Sn

z 2

0,48 z 2,06 (Lưu ý: do n30 nên tra bảng Laplace; nếu n 30 tra bảng

Studen tn 1 và thay z bằng tn 1)

z Sn

2,279

Khoảng trung bình:49,68;54,24b) Ước lượng khoảng cho tỉ lệ cho chỉ tiêu "Đạt tiêu chuẩn"

Khoảng ước lượng: Fn ;Fn nA 10 10 10 30

Fn nAn 30

100Độ chính xác được tính bởi:

zFn1 Fn

n 0,0898

Khoảng ước lượng tỉ lệ cho chỉ tiêu "Đạt tiêu chuẩn": 0,21;0,3898c) (Xác định chỉ tiêu cho khoảng ước lượng tỉ lệ:n chưa biết)

N z2Fn1 Fn /2

Fn 0.3Độ tin cậy: 1 0,99 Z 2,58

N z2Fn1 Fn /2 2,582 0,3 0.7/0,12 140

Điều tra thêm: 140 n 140 100 40d) (Kiểm định giả thiết về tỉ lệ)

Giả thiết H0 : pp035%; Giả thiết đối H1 :pp0

20

Cỡ mẫu:n 100nA 10 10 10 30

Tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn từ mẫu: Fn nAn 30

100p0 35%0.35Mức ý nghĩa: 2% 0,02

Tính z Fn p 0 n

p01 p0 0.0483

Mức ý nghĩa: 2% 0,022

1 2

0,982

0,49

Tra bảng Laplace z 2,33So sánh |z | và z ta thấy |z | z (đúng): Kết luận chấp nhận giả thiết H0

e) (Kiểm định giả thiết về trung bình)Giả thiết H0 : 0 56; Giả thiết đối: H1 : 56Cở mẫu:n 100Trung bình từ mẫu: X Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: S 11.06

Tính z X 0 n

S 3,6525

Mức ý nghĩa: 3% 0.032

1 2

0,972

0,485

Tra bảng Laplace cho z 2,17 (nếu n 30 tr bảng studen tìm tn 1 thay cho z)So sánh |z | và z ta thấy |z | z (Sai): Kết luận bác bỏ giả thiết H0 tức là chấp nhận giả thiết H1

21

HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP PHẦN XÁC XUẤT

Bài 1.Cho một tập hợp gồm có N phần tử kích cỡ như nhau, gồm NA phần tử loại A, và NB phần tử loại

B. Lấy ngẫu nhiên n phần tử.a) Tìm xác xuất để trong n phần tử lấy ra có chứa a phần tử loại A và b phần tử loại B. (a b n)b) Tìm xác xuất để trong n phần tử chọn ra có ít nhất 1 phần tử loại A.

Bài 2.Cho hai hộp bi (kích thước bi như nhau), hộp thứ nhất chứa n1 bi đỏ và m1 bi xanh, hộp thứ hai

chứa n2 bi đỏ và m2 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất k1 viên bi, chọn ngẫu nhiên từ hộp thứhai k2 viên bi.

a) Tính xác xuất để trong k1 k2 bi chọn ra có a bi đỏ (đương nhiên còn lại là k1 k2 a bi xanh)

b) Tính xác xuất để trong k1 k2 bi chọn ra có ít nhất 1 bi đỏ .

Bài 3.Cho hai hộp bi (kích thước bi như nhau), hộp thứ nhất chứa n1 bi đỏ và m1 bi xanh, hộp thứ hai

chứa n2 bi đỏ và m2 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất k viên bi bỏ sang hộp thứ hai. Sau đóchọn ngẫu nhiên từ hộp thứ hai n bi.

a) Tính xác xuất để trong n bi chọn ra có a bi đỏ và b bi xanh. (Đương nhiên bn-a)b) Giả sử trong n bi chọn ra từ hộp thứ hai có a bi đỏ và b bi xanh. Tính xác xuất để có được a bi

đỏ từ hộp thứ nhất.Bài 4.

Một phép thử ngẫu nhiên, sự xuất hiện của biến cố A với xác suất không đổi là p.a) Thực hiện phép thử n lần (n 30) trong cùng điều kiện như nhau. Tính xác xuất để biến cố A

xuất hiện từ a lần đến b lần.b) Thực hiện phép thử n lần (n 30) trong cùng điều kiện như nhau. Tính xác xuất để biến cố A

xuất hiện k lần.c) Thực hiện phép thử n lần (n 30) trong cùng điều kiện như nhau. Tính xác xuất để biến cố A

xuất hiện từ a lần đến b lần.Giải:Bài 1.

a) Xác xuất của biến cố A"chọn được a phần tử loại A và b phần tử loại B" cho bởi:

pA CNAa CNB

b

CNn (Với a ;NA ;b ;NB ;n ;N )

b)B" Trong n phần tử chọn ra có ít nhất 1 phần tử loại A"

B" Trong n phần tử chọn không có loại A"

pB CNA0 CNB

n

CNn

PB 1 pB 1

Bài 2.

Gọi A i " Chọn được i bi đỏ và k1 i bi xanh từ hộp thứ nhất"

P A i Cn1i Cm1

k1i

Cn1m1k1

P(A0

P(A1

............

Gọi B j " Chọn được j bi đỏ và k2 j bi xanh từ hộp thứ hai".

22

P B j Cn2j Cm2

k2j

Cn2m2k2

P(B0

P(B1

............a)

A" Chọn được a bi đỏ "

PA i,j:ija

P A i P B i

b)B"Có ít nhất 1 bi đỏ"

B"Không có bi đỏ" PB pA0B0 pA0 .pB0

PB 1 pB 1

Bài 3.Tóm tắt đề:

Hộp Đỏ Xanh Tổng

(I) n1 m1 n1 m1

(II) n2 m2 n2 m2

Gọi A i " Chọn được i bi đỏ và k i bi xanh từ hộp thứ nhất.

P A i Cn1i Cm1

ki

Cn1m1k

P(A0

P(A1

............a)

Gọi A " Chọn được a bi đỏ và n a bi xanh từ hộp thứ hai ". (ở lần chọn thứ hai)

P A pA|A0 pA0 pA|A1 pA1 . . .pA|Aa pAa . Trong đó:

pA|A0

pA|A1

................

pA|Aa pAa

Vậy P A pA|A0 pA0 pA|A1 pA1 . . .pA|Aa pAa

b)Xác xuất cần tìm:

PAa |A pA|Aa .pAa

pA (với a )

Bài 4.a)

Gọi X là số lần xuất hiện A, X theo phân phối nhị thức X~B n ,p

Xác xuất cần tìm cho bởi:

23

a ;b ;

pa X b

ka

b

pX k

ka

kb

Cnkpk1 pnk

b)

Gọi X là số lần xuất hiện A, X theo phân phối nhị thức X~B n ,p

Do n 30; np 10 nên X~Phân phối chuẩn N np ;2 npq

k

pX k fxk npq

;

xk k npnpq

; tra bảng hàm Gauss cho fxk

pX k fxk npq

c)

Gọi X là số lần xuất hiện A, X theo phân phối nhị thức X~B n ,p

Do n 30; np 10 nên X~Phân phối chuẩn N np ;2 npq

a ;b

pa X b x2 x1 trong đó:

x1 a npnpq

; tra bảng Laplace cho x1

x2 b npnpq

; tra bảng Laplace cho x2

Vậy pa X b x2 x1

24

BÀI TẬP THỰC HÀNH (PHẦN XÁC XUẤT)Bài 1.

Cho một lô sản phẩm gồm có 15 sản phẩm (kích cỡ như nhau), gồm 6 sản phẩm loại A, và 9 phầntử loại B. Lấy ngẫu nhiên 8 sản phẩm.

a) Tìm xác xuất để trong 8 sản phẩm lấy ra có chứa 3 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B.b) Tìm xác xuất để trong 8 sản phẩm chọn ra có ít 1 sản phẩm loại A.

Bài 2.Cho hai hộp bi (kích thước bi như nhau), hộp thứ nhất chứa 4 bi đỏ và 5 bi xanh, hộp thứ hai chứa

6 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất 3 viên bi, chọn ngẫu nhiên từ hộp thứ hai 3viên bi.

a) Tính xác xuất để trong 6 bi chọn ra có 2 bi đỏ (đương nhiên còn lại là 4 bi xanh)

b) Tính xác xuất để trong 6 bi chọn ra có ít nhất 1 bi đỏ .

Bài 3.Cho hai hộp bi (kích thước bi như nhau), hộp thứ nhất chứa 5 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp thứ hai chứa

6 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất 2 viên bi bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó chọnngẫu nhiên từ hộp thứ hai 3 bi.

a) Tính xác xuất để trong 3 bi chọn ra có 1 bi đỏ và 2 bi xanh.b) Giả sử trong 3 bi chọn ra từ hộp thứ hai có 1 bi đỏ và 2 bi xanh. Tính xác xuất để có được 1 bi

đỏ từ hộp thứ nhất.Bài 4.

Một lô hàng có 200 sản phẩm trong đó sản phẩm loại A là 150.a) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại 6 sản phẩm. Tính xác xuất để chọn được loại A từ 4 lần đến 6 lần.b) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại 150 sản phẩm. Tính xác xuất để chọn được loại A từ 70 lần.c) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại 150 sản phẩm. Tính xác xuất để chọn được loại A từ 70 lần đến

130 lần.

25

HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP (PHẦN THỐNG KÊ)

Cho mẫu:

Xi

Số lượng

Đạt "Tiêu chuẩn (A)": X (Giả thiết cho) ( hoặc X )

Yêu cầu:a) Ước lượng X trung bình với độ tin cậy

b) Ứớc lượng tỉ lệ X đạt tiêu chuẩn (A) với độ tin cậy

c) Ứớc lượng trung bình X đạt tiêu chuẩn (A) với độ tin cậy

d) Xác định cở mẫu N cho ước lượng trung bình, độ tin cậy và độ chính xác

e) Xác định độ tin cậy 1 cho ước lượng trung bình, biết độ chính xác

f) Xác định cở mẫu N cho ước lượng tỉ lệ, độ tin cậy và độ chính xác

g) Xác định độ tin cậy 1 cho ước lượng tỉ lệ, biết độ chính xác

h) Kiểm định giả thiết về tỉ lệ "đạt tiêu chuẩn" p0 , với mức ý nghĩa

i) Kiểm định giả thiết về trung bình là 0 Với mức ý nghĩa

j) Kiểm định giả thiết về trung bình của " Đạt Tiêu chuẩn" là 0 Với mức ý nghĩa

Giải:Sử dụng máy tính cho các kết quả chung sau:Cỡ mẫu: n

Trung bình mẫu: X

Độ lệch hiệu chỉnh mẫu: S (ở máy tính xn 1)

a) Ước lượng khoảng cho kỳ vọng (trung bình):

Khoảng ước lượng: X ;X

Cở mẫu n

X

Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: S

Độ tin cậy 1

z 2

z (Lưu ý: do n30 nên tra bảng Laplace; nếu n 30 tra

bảng Studen tìm tn 1 và thay z bằng tn 1)Độ chính xác được tính bởi:

z Sn

Khoảng trung bình: X ;X

b) Ước lượng khoảng cho tỉ lệ cho chỉ tiêu "Đạt tiêu chuẩn"

Khoảng ước lượng: Fn ;Fn

26

Cỡ mẫu n

nA

Fn nAn

Độ tin cậy 1 2

Tra bảng Laplace cho z

Độ chính xác được tính bởi:

zFn1 Fn

n

Khoảng ước lượng tỉ lệ cho chỉ tiêu "Đạt tiêu chuẩn": Fn ;Fn

c) Tương tự a) nhưng chỉ quan sát (và lập mẫu mới) bảng mẫu X thỏa "Tiêu chuẩn (A)"d) Xác định cở mẫu N cho ước lượng trung bình

Cỡ mẫu đã chọn n

Độ lệch hiệu chỉnh: S

Độ chính xác

Độ tin cậy 2

Tra bảng cho z

Tính nmin zS

2

Đặt n0 (số nguyên nhỏ nhất nmin)

n0 n Điều tra thêm: n0 n

e) Xác định độ tin cậy 1 cho ước lượng trung bình

Cở mẫu n

Độ lệch hiệu chỉnh S

Độ chính xác

Tính x n

S ; Tra bảng Laplace tìm được x

Độ tin cậy: 2x

f) Xác định chỉ tiêu N cho khoảng ước lượng tỉ lệ

Cở mẫu n

Số lượng loại đạt "Tiêu chuẩn": nA

Tỉ lệ mẩu đạt "Tiên chuẩn":Fn nAn

Độ chính xác

Độ tin cậy: z z2

Tính nmin z2Fn1 Fn /2

Đặt n0 (số nguyên nhỏ nhất nmin)

n0 n Điều tra thêm: n0 n

g) Xác định độ tin cậy 1 cho ước lượng tỉ lệ.

27

Cở mẫu n

Số lượng loại đạt "Tiêu chuẩn": nA

Tỉ lệ mẩu đạt "Tiên chuẩn":Fn nAn

Độ chính xác

Tính x nFn1 Fn

; Tra bảng Laplace tìm được x

Độ tin cậy: 2x

h) Kiểm định giả thiết về tỉ lệ

Giả thiết H0 : pp0 ; Giả thiết đối H1 :pp0

Cỡ mẫu:n

Số lượng thỏa tiêu chuẩ (A): nA

Tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn từ mẫu: Fn nAn

Mức ý nghĩa:

Tính z Fn p 0 n

p01 p0

2

1 2

Tra bảng Laplace z

So sánh |z | và z ta thấy |z | z (đúng): Kết luận chấp nhận giả thiết H0

i) Kiểm định giả thiết về trung bình

Giả thiết H0 : 0 ; Giả thiết đối: H1 : 0

Cở mẫu:n

Trung bình từ mẫu: X

Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: S

Tính z X 0 n

S

Mức ý nghĩa:

2

1 2

Tra bảng Laplace cho z (nếu n 30 tra bảng studen tìm tn 1 thay cho z)

So sánh |z | và z ta thấy |z | z (đúng): chấp nhận giả thiết H0 tức là bác bỏ giả thiết H1

j) Tương tự câu i) thay mẫu chỉ chọn phần "Đạt tiêu chuẩn"

28

BÀI TẬP THỰC HÀNH (PHẦN THỐNG KÊ)1.

Khảo sát trọng lượng X của vật nuôi trong một trang trại, ta thu ngẫu nhiên được mẫu:(Mẫu 4)

X(i) (kg) 36 42 48 54 60 66 72

N(i) (con) 15 12 25 18 10 10 10

Những con vật nuôi có trọng lượng từ 60kg trở lên gọi là đạt tiêu chuẩn.a./ Cho biết trọng lượng trung bình của loại vật nuôi với độ tin cậy 96%b./ Những con vật nuôi có trọng lượng từ 60kg trở lên gọi là đạt tiêu chuẩn. Hãy cho biết tỉ lệ con đạttiêu chuẩn với độ tin cậy 95%c./ Nếu muốn biết tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 10% thì cần phải điều trathêm bao nhiên con nữa?d./ Có ý kiến cho rằng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn là 35% hãy nhận định ý kiến này với mức ý nghĩa 2%e./ Trước đây có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình là 56 (kg). Với mẫu trên hãy nhận định ý kiếnđó với mức ý nghĩa 3%.f./ Trước đây có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình của những con đạt tiêu chuẩn là 65 (kg). Vớimẫu trên hãy nhận định ý kiến đó với mức ý nghĩa 3%.2.

Để đánh giá số giờ tự học của sinh viên trong tuần, nhà trường tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 25sinh viên và thu được kết quả sau:

(Mẫu 5)

X(i) (giờ) 2 3 4 5 6 7 8 9 11

N(i) (sv) 2 1 3 1 4 6 5 2 1

a) Ước lượng số giờ học trung bình trong tuần với độ tin cậy 95% (giả sử X theo phân phối chuẩn)b) Ước cho biết tỷ lệ số giờ tự học của sinh viên có số giờ tự học trong tuần từ 8 giờ trở lên.c) Có báo cáo cho rằng số giờ trung bình của sinh viên trong tuần là 8. Hãy kiểm định giả thiết này vớimức ý nghĩa 5%.3.

Điều tra doanh thu hiện tại của một siêu thị trong một thời gian ta thu được kết quả:(Mẫu 6)

X(i) Triệu/ngày 24 30 36 42 48 54 60 65 70

N(i)Sốngày 5 12 25 35 24 15 12 10 6

a./ Ước lượng doanh số trung bình trong 1 ngày của siêu thị, với độ tin cậy 95%.b./ Những ngày có doanh số từ 60 triệu trở lên gọi là ngày “Bán đắt hàng”. Hãy ước lượng tỉ lệ nhữngngày bán đắt hàng của siêu thị với độ tin cậy 99%.c./ Ước lượng doanh số trung bình của 1 ngày bán đắt hàng của siêu thị với độ tin cậy 95%. (Giả thiếtdoanh số này theo luật phân phối chuẩn)d./ Trước đây doanh số trung bình của siêu thị là 35 triệu đồng/ ngày. Từ kết quả thu được, hãy nhậnxét về doanh số trung bình hiện tại so với trước đây với mức ý nghĩa 5%4.

Cho X là năng suất thu hoạch lúa ở một khu vực (tạ/ha). Điều tra một số thửa ruộng co mẫu:(mẫu 7)

X (tạ/ha) 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55

nSố thửa 6 18 28 40 16

Những thửa ruộng đạt từ 45tạ/ha trở lên gọi là ruộng đạt năng suất cao.a./ Hãy ước lượng năng suất trung bình của toàn vùng, với độ tin cậy 96%?

29

b./ Những thửa ruộng đạt từ 45tạ/ha trở lên gọi là ruộng đạt năng suất cao. Hãy ước lượng tỉ lệ nhữngthửa ruộng đạt năng suất cao của vùng với độ tin cậy 95%?c./ Nếu muốn ước lượng năng suất lúa trung bình của toàn vùng đạt độ chính xác 1,4 ta/ha thì độ tincậy là bao nhiêu?d./ Nếu muốn ước lượng năng suất lúa trung bình với độ chính xác 0,5tạ/ha và độ tin cậy 99% dựavào mẫu đã cho thì phải điều tra thêm bao nhiêu thửa ruộng nữa.e./ Người ta nhận định tỉ lệ thửa ruộng đạt năng suất cao là 50%. Hãy nhận xét đó đúng sai với mức ýnghĩa 5%.

30