PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016

Khóa ngày 15 tháng 10 năm 2015 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức P.b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 2: (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + y3 + z3 – 3xyz b) Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz. Tính giá trị của biểu thức:

A =

Bài 3: (3,0 điểm)Cho A = n3 + 3n2 +2n với n nguyên dương.a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.b) Tìm giá trị nguyên dương của n (n <10) để số A chia hết cho 15.

Bài 4: (2,0 điểm) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn: x + y = 1.

Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 5: (5,0 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh:a) CE vuông góc với DF.b) Tam giác MAD cân.c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.

Bài 6: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD. Tính độ dài BD biết BC = 5cm, AC = 20cm.

-----------------------------HẾT-----------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) _____________________________

Bài 1 (4đ)

a) ĐK : x > 0 và x ≠ 1

Ta có:

0,5

1,0

0,50,5

b) P

P đạt GTNN là khi

0,75

0,75

Bài 2 (4đ)

a) x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 -3xyz -3x2y – 3xy2

= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)= (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 – xz - yz + z2 – 3xy)

= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx)

0,50,250,50,25

b) Ta có: x3 + y3 + z3 = 3xyz. <=> x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0<=> (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx) <=> x + y + z = 0 hoặc x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx = 0Với x + y + z = 0

A = =

Với x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx = 0 <=> 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy - 2yz– 2zx = 0 <=> (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0 <=> x = y = z

A = =(1+1)(1+1)(1+1) = 8

0,250,250,25

0,5

0,250,250,250,5

Bài 3(3đ)

a) Ta có: A = n3 + 3n2 +2n = n(n2 + 3n +2) = n(n2 + n + 2n +2) = n[n(n + 1) + 2(n +1)] = n(n+1)(n+2)A là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => A 3.

0,250,250,250,250,5

b) Vì A 3 mà (3,5) = 1 Nên A 15 <=> A 5

0,50,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

<=> n(n+1)(n+2) 5 mà n<10 => n {3;4;5;8;9} 0,5Bài 4(2đ)

x + y = 1 <=> (x + y)3 = 1 <=> x3 + y3 + 3xy = 1

Ta có :

0,250,25

0,25

0,5

0,25

0,5

Bài 5(5đ)

1

11

K

E

F

M

D

CB

A

a)

vuông tại C vuông tại M

Hay CE DF.

0,5

0,50,5

b) Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :

AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M

cân tại A

0,5

0,5

0,5

c) Trong theo Pitago ta có :

=

=> DF =

CMD FCD (g-g)

CM = .FC= . = ;

MD = .DC= .a

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

Do đó : = . . .a = 0,5

Bài 6(2đ)

E

D

CB

A

Vì BD là phân giác Hay

=> CD = 4 cm

Vẽ đường phân giác CE của CBD. Đặt DE = x, EB = y, ta có CE = yCED BCD (g-g)

Từ => BD = 6(cm)

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5

Lưu ý: Nếu HS sử dụng công thức BD2 = AB.BC – CD.AD thì phải chứng minh được công thức trên.

Chú ý: HS làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa