Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất … · Web viewVề mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương

Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

A. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tàiBất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu

vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về Toán học.

Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen thì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như BĐT. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các BĐT thông thường.

Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống và tính phân loại cũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà.2. Các nhiệm vụ của đề tài

Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiếtPhần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1. Bất đẳng thức một biến sốDạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm sốDạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-

Schwarz,... 2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến sốDạng 1: Khảo sát hàm đặc trưngDạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz,

BĐT Chebyshes,…Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế

3. Mục đích của đề tàiChuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng

như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán về chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại.

Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về “cái nhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinh hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng lực giải các bài toán này.

Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tư duy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó.

Phạm Văn Dũng1


4. Phương pháp nghiên cứu- Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài.- Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải.- Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG

và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân.5. Đối tượng nghiên cứu- Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,…- Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh,

đội tuyển HSG Quốc gia.6. Những đóng góp mới của đề tài- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh.7. Địa bàn

Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên.8. Lịch sử nghiên cứu

Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG của trường, của tỉnh và luyện thi Đại học.

Phạm Văn Dũng2


B. NỘI DUNG

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b].

*) Nếu thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có

*) Nếu thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có

2. Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của và có đạo

hàm tại điểm . Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại thì .3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và . Trong một lân cận đủ bé của , nếu thay đổi dấu khi x qua (có thể không tồn tại ) thì f(x) đạt

cực trị tại .*) Nếu và thì là điểm cực

tiểu.*) Nếu và thì là điểm cực

đại.4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và . Trong một lân cận đủ bé của , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời và thì là một điểm cực trị của hàm số.

*) Nếu và thì là một điểm cực tiểu của hàm số.*) Nếu và thì là một điểm cực đại của hàm số.

Phạm Văn Dũng3


II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.1. Bất đẳng thức một biến số1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số

Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997) Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìm GTNN của hàm số

.

Giải: Ta có .Hàm số xác định khi và chỉ khi

Ta có

.

Do (1) nên thỏa mãn (*). Ta có bảng biến thiên

x sinC sinA f’(x)

f(x) 1

1 f(sinA)

Vậy .

Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình

có đúng một nghiệm vì trên . Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì 0 < sinA – sinB < sinA – sinC).

Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có

Phạm Văn Dũng4


.

Giải: Đặt . BĐT cần chứng minh trở thành

.Xét hàm số liên tục có

Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, (đpcm).Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997)

Cho n là số lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có

.

Giải: Đặt

Ta cần chứng minh.

Ta có

Vậy

Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với (-2x). Do đó ta có bảng biến thiên

x 0 y’ + 0 -

Phạm Văn Dũng5


Y 1

Từ bảng biến thiên ta có (đpcm)

Bài toán 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng

với mọi .

Giải: Ta có

Xét hàm số với . Ta có

Nên ta có bảng biến thiên

x 0 1

f’(x) + 0 -

f(x)

Vậy .

Ta chứng minh

Phạm Văn Dũng6


Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [2n; 2n+1] suy ra tồn tại

thuộc sao cho . Suy ra

.

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.

Bài luyện tập

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi ta có .

Bài 2: Chứng minh rằng nếu x > 0 và mọi số nguyên dương n ta có

.

Bài 3 (Toán học và tuổi trẻ)

Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng .

HD: Xét hàm số

trên . Hàm số đồng biến trên suy ra , đpcm.

Bài 4: Cho x > 0. Chứng minh rằng .

Bài 5: (ĐH Bách khoa, 1980)

Chứng minh rằng với .

Bài 6: Tìm GTLN của hàm số với .

1.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu

Trong một số bài toán có thể phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp thậm chí phải khảo sát thêm hàm số phụ. Ta thường sử dụng

f(x) đồng biến trên [a; b] thì f(x) > f(a) với mọi x > a. f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f(x) > f(b) với mọi x < b.

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi ta có .

Giải: Xét hàm số trên . Ta có

Phạm Văn Dũng7


Ta có , nên f’(x) đồng biến trên . Suy ra đồng biến trên . Do đó

và

Tức là

với x > 0 (1)

Lưu ý với x > 0 ta có (2)Từ (1) và (2) ta có đpcm.

Bài toán 6: Tìm GTNN của hàm số .Giải: TXĐ: R.Xét hàm số trên R. Ta có

với mọi x, trong đó Vì hàm g đồng biến trên R nên

Ta có bảng biến thiên

x 0

f’(x) - 0 +f(x)

Phạm Văn Dũng8


2

Từ bảng biến thiên suy ra .Bài toán 7: Cho a, b, x > 0 và . Chứng minh rằng

Giải: Xét hàm số Khi đó

.

Suy ra

trong đó . Ta có

Do đó g(x) nghịch biến trên . Suy ra

.

Vậy , nên f(x) đồng biến trên . Suy ra f(x) > f(0) (đpcm).

Bài luyện tập

Bài 1: Chứng minh rằng .

HD: Xét hàm số .

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có

.

Phạm Văn Dũng9


Bài 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có.

Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số.

1.3 Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,…

Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu thì

.Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có . Ta chứng minh

.

Xét hàm số liên tục trên , có

.

(vì với thì và theo BĐT AM-GM ta có

)

Do đó f(x) đồng biến trên . Suy ra , hay

với mọi (đpcm).

Bài toán 9: (Olympic 30 - 4 - 1999)Chứng minh rằng

.

Giải: Ta biến đổi

.

Xét hàm số với . Ta có

.

Áp dụng BĐT ta có

.

Phạm Văn Dũng10


Đặt , thì

với mọi , nên g(x) đồng biến trên . Suy ra

.

Do đó nên f(x) đồng biến trên . Suy ra

.

Nhận xét: Khi trong BĐT có chứa các loại hàm số khác nhau ta thường cô lập mỗi loại hàm số để dễ xét dấu của đạo hàm, hoặc ta có thể đạo hàm liên tiếp để khử bớt một loại hàm số như trong bài toán 5.

Cách 2: Theo bài 5 ta có , suy ra

Ta chứng minh được

Từ (1) và (2) ta có đpcm.Bài toán 10: Cho . Chứng minh rằng

.

Giải: Ta có

Nên hàm số f’(x) đồng biến trên [0; 1], suy ra phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên (0; 1).

Nếu phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm thì f(x) đơn điệu trên [0; 1], thì

Phạm Văn Dũng11


Ta có

Suy ra

Nếu phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất . Khi đó do f’(x) đồng biến trên [0; 1], nên

và .Do đó là điểm cực tiểu của hàm số, mà f(x) liên tục trên [0; 1] nên

.

Từ hai trường hợp ta có đpcm.

Bài toán 11: (VMO – 2003, Bảng B) Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện

.

Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số trên R.Giải: Ta có

Từ đó với chú ý rằng với mỗi đều tồn tại sao cho cot x = t ta được

.

Dẫn tới

.

Đặt . Dễ thấy Khi x chạy qua R thì u chạy qua . Vì vậy từ (1)

ta được

và

trong đó . Ta có

Phạm Văn Dũng12


.

Dễ dàng chứng minh được . Suy ra hàm h(u) đồng biến

trên . Vì vậy trên ta có

và .

Vậy , đạt được chẳng hạn khi x = 0 và , đạt được

chẳng hạn khi .

Bài luyện tập

Bài 1: Chứng minh rằng .

2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số

Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều quan trọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó.

2.1 Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưngBài toán 12: Chứng minh rằng

a)

b) thỏa mãn x + y + z = 3.

Giải: a) Xét hàm số . Ta có

và

Ta có bảng biến thiênx 1

f’(x) + 0 -

Phạm Văn Dũng13


f(x) 2

-1 1

Từ bảng biến thiên suy ra .b) Áp dụng câu a ta có

Tương tự ta có

Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có

(đpcm).

Trong một số bài toán ta có thể nhìn thấy ngay hàm đặc trưng, tuy nhiên một số bài ta cần phải biến đổi mới nhìn thấy hàm đặc trưng. Xét bài toán sau

Bài toán 13: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng.

Giải: Xét hàm số

với .

Ta có

.

Vì nên

.

Lập bảng biến thiên của f(x) trên ta được

.

Áp dụng vào bài toán ta được

Phạm Văn Dũng14


Nhận xét: Trong BĐT trên A, B, C bình đẳng nên ta dễ dàng kiểm tra được dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vì vậy ta cần chọn một hàm số có

dạng

sao cho . Do đó k = -7 và ta tìm được hàm đặc trưng cần xét.

Bài toán 14: (ĐH Quốc gia Hà Nội, 2000)Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng

.

Giải: Xét hàm số trên R. Ta có

và.

Ta có bảng biến thiênx 0 f’(x) - 0 +f(x)

0

Suy ra

Nhận xét: Các bạn thử nghĩ xem tại sao không xét hàm số ?

Trong một số bài toán BĐT hai biến ta phải biến đổi cô lập mỗi biến về một vế, khi đó xuất hiện hàm đặc trưng cần khảo sát. Bài toán 15: (Đại học khối D, 2006) Chứng minh rằng

.

Giải: Ta có

Phạm Văn Dũng15


Xét hàm số với x > 0. Ta có

,

nên f là hàm nghịch biến trên . Do đó (đpcm).Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã sử dụng kêt quả:

Cho hàm số f(x) đồng biến trên (a; b). Khi đó với ta có

.

Bài toán 16: Chứng minh rằng với mọi ta có

.

Giải: Nếu y > x thì

.

Nếu y < x thì

.

Xét với . Ta có

.

Suy ra f(t) tăng trên (0;1). Suy ra f(y) > f(x) nếu y > x và f(y) < f(x) nếu y < x

.

Bài toán 17: Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh rằng

.

Giải: Ta có y = 1 – x nên BĐT cần chứng minh là

Phạm Văn Dũng16


.

Xét . Ta có

trong đó nghịch biến trên , nên

Và

Vậy . Suy ra .

Bài toán 18: (Đại học khối A, 2004)Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

.Tính các góc của tam giác ABC.

Giải: Từ giả thiết suy ra . Ta có

Lại có

Từ (2) và (3) ta có .

Đặt thì

Xét hàm . Ta phải có với

(5).

Phạm Văn Dũng17


Tính

Ta có

Suy ra nên f(t) đồng biến trên . Do đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Thay vào ta được .

Bài toán 19: Cho hai số x, y khác 0 thay đổi thỏa mãn

Chứng minh rằng .

Giải: Nhận thấy x, y đối xứng nên đặt : thì (*) trở thành

(do )

Ta có

Vì

Vì từ (*) suy ra nên ta chỉ cần chứng minh: với

hoặc .

Xét hàm số f(u) = f’(u) = suy ra f(x)

Trên mỗi khoảng ( ) và do đó f(u) f(1); . Còn 0 < f(-3) < f(u) <1, u > -3, từ đó ta có đpcm.

Bài toán 20: (VMO, 2004)

Phạm Văn Dũng18


Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

.

Giải: Không mất tính chất tổng quát ta có thể giả sử , khi đó

. Ta phải tìm GTLN và GTNN của . Ta có

trong đó a = xy + z + zx. Do y + z = 4 – x và nên ta phải có ,

tức là .

Tương tự . Suy ra và

.

Nhân các BĐT trên ta được . Từ

suy ra

và

Đạt được khi (x, y, z) là các hoán vị của (2, 1, 1) và .

Bài luyện tậpBài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

.

Bài 2: Chứng minh rằng

.

Bài 3: Chứng minh rằng

.

Tổng quát: Với a, b > 0 và x > y > 0 ta có .

Bài 4: Cho . Tìm GTLN của .

Phạm Văn Dũng19


Bài 5: Tìm ba góc của tam giác ABC biết

.

Bài 6: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện : xy + yz + xyz = 4 (*)CMR : . (1) Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào .

2.2 Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,…

Đối với các bài toán phức tạp, ta cần phối hợp với phương pháp chặn khoảng các biến và các BĐT phụ khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,… hoặc các đánh giá khác , hoặc phối hợp với các phương pháp khác như phương pháp tọa độ, ....

Ta thường ước lượng T(x, y, z,...) bởi một hàm số chỉ phụ thuộc vào một biến số, từ đó khảo sát hàm số này để đạt được mục đích.

Bài toán 21: Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng

.

Giải: Ta có

Mà

Áp dụng BĐT AM-GM ta có , suy ra

.

Đặt t = x + y + z (0 < t < 3), ta có

.

Khảo sát hàm số ta được khi

.

.

Bài toán 22: ( Tuyển sinh Đại học Vinh, 2001)

Phạm Văn Dũng20


Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

.Giải: Đặt . Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên không giảm tổng quát ta có thể giả sử .

Từ a + b + c = 3 và a + b > c suy ra (2).

Ta biến đổi

Do 2 – 3c > 0 và , suy ra

Ta có , nên f(c) đồng biến trên . Vì vậy

.Đồng thời . Với giả thiết và a + b + c = 3 và (3) suy ra a = b = 1, tức là tam giác ABC đều.

Bài toán 23: (Tuyển sinh Đại học khối B, 2006)Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức

.

Giải: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các điểm M(1-x; y) và N(1+x; y). Ta có OM + ON MN, suy ra

.

Đẳng thức xảy ra khi x = 0, ta được .

Xét hàm số .

*) Với thì là hàm đồng biến.

*) Với y < 2 thì có .

Phạm Văn Dũng21


Khi đó . Lập bảng biến thiên của hàm số f(y) ta được

.

Bài toán 24: (Tuyển sinh Đại học khối A, 2011)Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và . Tìm GTNN của

biểu thức

.

Giải: Trước hết ta chứng minh với mọi a, b dương, thì

(*)

Thật vậy, ta có luôn đúng do a, b dương và .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc (1)

Đặt , khi đó .

Xét hàm có

.

Suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (2)

Do đó . Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9, y =1,

z = 2.

Bài toán 25: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức

Phạm Văn Dũng22


.Giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a= min {a,b,c}. Xét các trường hợp sau

Nếu a = -1 thì b = c = 0 và S = -3 Nếu -1 < a < 0 thì sử dụng BĐT CBS ta có

Ta có

.

Do đó f’(a) = 0 có nghiệm duy nhất . Mà

nên f(a) đạt GTLN tại . Suy ra

.

Nếu thì . Sử dụng BĐT CBS ta có

.

Suy ra .

Tổng hợp các kết quả trên ta có , đạt được khi (a, b, c) là một

hoán vị của .

Bài toán 26: ( Đề thi chọn HSG QG THPT bảng B, 1999)Xét phương trình với a, b là các số thực, ,

sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm GTNN của .

Giải: Gọi u, v, s là ba nghiệm thực dương của đa thức . Theo định lý Viete ta có

.

Từ đó suy ra a > 0, b > 0.

Đặt . Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có

.

Phạm Văn Dũng23


Mặt khác

.

Do đó Từ (1), (2) và (3) ta có

Xét hàm số với .

Ta được . Dấu bằng xảy ra khi . Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi , tức là .

Vậy .

Bài luyện tậpBài 1: Cho các số dương a, b, c với .Chứng minh rằng

.

Bài 2: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng

Bài 3: (Đại học xây dựng Hà Nội, 2001)

Cho các số x, y, z thay đổi trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn . Tìm

GTLN và GTNN của .Bài 4: (IMO, 1984)

Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng

.

Bài 5: Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của .

2.3 Dạng 3: Khảo sát hàm số theo từng biến

Phạm Văn Dũng24


Đối với các BĐT nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành BĐT một biến.

Bài toán 27: Cho . Chứng minh rằng .

Giải: Giả sử . Đặt với . Ta có

.

Do nên và suy ra , nên f

đồng biến trên [b; 1]. Vì vậy với ta có . Suy ra

.

Đặt , có

Suy ra Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Bài toán 28: Chứng minh rằng .

Giải: BĐT đã cho tương đương với .

Ta có

và .

Vì nên . Xét hai trường hợp

Nếu . Suy ra f(x) giảm trên [0; 1]. Do đó

.

Nếu thì ta có bảng biến thiênx 0 1f’ - 0 +f

Phạm Văn Dũng25


Từ bảng biên thiên suy ra .

Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có .

Mặt khác.

Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, đặt

Ta có

Nếu . Suy ra g(y) giảm trên [0; 1]. Do đó

.

Nếu thì ta có bảng biến thiêny 0 1g’ - 0 +g

Từ bảng biên thiên suy ra .

Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có .

Ta có

Với mọi .

Bài toán 29: Cho . Tìm GTLN của biểu thức

.

Giải: Đặt . Xét hai trường hợp sau:

TH1: . Ta có

Phạm Văn Dũng26


Suy ra

.

Mặt khác

Suy ra

Ta có

Ta có bảng biến thiên b

1 3

+ -

Từ bảng biến thiên suy ra .

TH2: . Từ TH1 ta có . Mặt khác

.

Suy ra .

Vậy , đạt được khi và chỉ khi

.

Phạm Văn Dũng27


Bài toán 30: Cho . Tìm GTLN của biểu thức

.

Giải: Đặt . Ta có

Nên f’(c) giảm trên [0; 1]. Suy ra

Suy ra f(c) tăng trên [0; 1]. Do đó

.

Ta có

Nên g’(a) giảm trên [0; 1]. Suy ra

Suy ra g(a) tăng trên [0; 1]. Do đó

.

Ta có

.

Suy ra h(b) tăng trên [0; 1], nên .

Với a = b = c = 1 thì .

Bài toán 31: Xét hàm số

Phạm Văn Dũng28


trên miền . Tìm GTNN của hàm f trên miền D.Giải: Biến đổi hàm số đã cho thành

Đặt u= 1 – x, v = 2 – y, ta chuyển về tìm GTNN của hàm số

trên miền , nghĩa là

.

Xét hàm số với , coi u là tham số. Ta có

Ta thấy g’(v) = 0 khi , mà và qua thì g’(v) đổi dấu từ

dương sang âm, suy ra

( do ).

Vậy khi u = 1, v = 1. Từ đó

khi x = 0, y = 1.

Bài toán 32: (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A, 1999)Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức

.

Giải: Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > 0. suy ra

Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được

Xét hàm số với 0 < x < và coi c là tham

số (c > 0). Ta có

Trên thì có nghiệm duy nhất là (3) với

. Qua thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại tại

nên

Phạm Văn Dũng29


Từ đó theo (2) ta có

.

Xét hàm số g(c) với c > 0. Ta có

.

Với c > 0, thì g’(c) = 0 tại va qua thì g’(c) đổi dấu từ dương sang

âm nên g( ) là giá trị cực đại, suy ra .

Giá trị đạt được khi theo (1) và (3).

Bài toán 33: (VMO, 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện

Hãy tìm GTLN của biểu thức .

Giải: Từ điều kiện (1) và (2) suy ra (4)

a) Xét hàm số với x > 0 và tham số . Xét hai trường

hợp

Nếu thì theo (4) nên (5)

Nếu thì theo (4) nên .

Xét hàm số g(z) với . Ta có

.

Phạm Văn Dũng30


Do đó g(z) là hàm giảm và (6)

So sánh (5) và (6) ta có

và (7)

b) Xét hàm số với tham số

Từ điều kiện (1) và (3) suy ra (8)

Lập luận tương tự phần a) ta được

Nếu thì (9)

Nếu thì (10)

So sánh (9) và (10) ta có

và (11)

So sánh kết quả phần a) và b) ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy maxP = 13.

Bài toán 32: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001)Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac . Tìm GTNN của

biểu thức

.

Giải: Đặt thì bài toán trở thành:

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2x+8y+21z . Tìm GTNN của biểu thức .

Từ giả thiết suy ra với (1)

Suy ra

(12)

Phạm Văn Dũng31


Xét hàm số với biến và y là tham

số dương. Ta có

.

Trên đoạn thì có nghiệm duy nhất là

và qua thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương nên f(x)

đạt cực tiểu tại nên

.

Suy ra (13)

Xét hàm số . Ta có

.

Đặt t = với t > 0, thì phương trình trên trở thành

.

Từ đó và g’(y) đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu tại

lúc đó ta có

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi hay .

Vậy .

Nhận xét: Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến cho thấy đường lối giải rõ ràng hơn so với cách vận dụng BĐT, đồng thời giải hàng loạt các bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến khác.

Bài luyện tậpBài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

.Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác (có thể suy biến). Đặt

Phạm Văn Dũng32


.

Tìm maxT và chứng minh rằng .

Bài 3: ( Bảng A, 2001)Cho hàm số trên miền

.Bài 4: ( Bảng A, 2001)

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện

Hãy tìm GTLN của biểu thức .

Bài 5: (USAMO, 1980) Cho . Chứng minh rằng

.

Bài 6: Cho . Tìm GTLN của biểu thức

.

3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế

Trong kì thi IMO 2004 có bài toán sau:Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2 và n số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh rằng mọi bộ ba số trong n số đó đều là ba cạnh của một tam giác.

Mở rộng ta có bài toán sau:Giả sử n và k là hai số tự nhiên thỏa mãn . Tìm số thực lớn

nhất g(n, k) có tính chất: bất kì k trong n số thực dương sẽ là độ dài k cạnh của một đa giác lồi nếu

.

Phạm Văn Dũng33


Giải: Chúng ta biết rằng là độ dài k cạnh của một đa giác lồi k cạnh khi và chỉ khi . Do đó bài toán có thể diễn đạt lại là: Với điều kiện và , tìm GTNN của hàm số

.

Để làm điều đó ta sẽ thiết lập biểu thức liên hệ giữa g(n+1; k) và g(n; k).Giả sử rằng giá trị g(n; k) đã xác định và đẳng thức xảy ra tại với

. Xét điều kiện.

Đặt .

Xét hàm số với x > 0. Ta có

.

Do . Tại , hàm f đạt cực tiểu vì vậy

.

Theo giả thiết và đẳng thức xảy ra được nên

.Đẳng thức xảy ra tại

.

Bây giờ ta chỉ cần tính giá trị của g(k; k) xét với điều kiện.

Đặt .

Xét hàm số .

Với điều kiện , vì nên

Phạm Văn Dũng34


Vậy , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Từ các kết quả trên suy ra

.

Và do đó chưa phải là đánh giá tốt nhất cho BĐT ban đầu. Giá trị tốt nhất

đó phải là .

Phạm Văn Dũng35


C. KẾT LUẬN

Mỗi bài toán có một đặc trưng riêng, có những bài toán mà đặc thù của nó là cơ sở để các chứng minh mang tính kỹ thuật trở nên hữu dụng. Thường là các chứng minh đó rất hấp dẫn bởi tính đơn giản của nó. Tuy nhiên, việc tìm ra các chứng minh đẹp đẽ như vậy trong đa số trường hợp là rất mơ hồ. Trái lại, phương pháp sử dụng đạo hàm có vẻ cồng kềnh, nặng nề về tính toán có thể lại là con đường dễ thực hiện nhất.

Chuyên đề đã hệ thống và phân loại các bài toán có thể áp dụng đạo hàm vào giải, đồng thời thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh khi đứng trước bài toán liên quan đến đạo hàm biết cách vận dụng.

Các bài toán trong chuyên đề đã được chọn lọc kĩ càng, khá đa dạng và phong phú. Thông qua đó giúp học sinh hình thành được phương pháp giải toán khi gặp các bài toán cùng loại.

Chuyên đề này đã được đưa vào giảng dạy cho đội tuyển HSG Quốc gia của tỉnh Hưng Yên từ năm 2007 đến nay. Và đã gây được sự hứng thú, say mê học tập, kích thích được sự ham hiểu biết, tìm tòi sáng tạo của học sinh. Kết quả là trong các năm gần đây các đội tuyển Toán của tỉnh ta đều đạt giải HSG Quốc gia như: 3 giải năm 2009, 3 giải năm 2010, 5 giải năm 2011, 6 giải năm 2012, 8 giải 2013.

Chuyên đề “ Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh BĐT” tôi viết với tinh thần trách nhiệm cao, với mong muốn phần nào giúp các thầy cô dạy Toán, các em THPT, các em trong ĐTQG có tài liệu tham khảo và học tập, cũng hi vọng các thầy cô giáo và các em tìm thấy nhiều bổ ích và lí thú ở chuyên đề. Tuy nhiên chuyên đề chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự động viên, đóng góp chân thành của quý thầy cô và các em học để được ngày càng hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phạm Văn Dũng .

Phạm Văn Dũng36


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Vẻ đẹp Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic Toán học, Trần Phương, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010.[2] Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, Trần Phương, 2009. [3] Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, 2006.[4] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ các số 298, 299, năm 2002[5] Các đề thi HSG Quốc gia, thi tuyển sinh Đại học.

Phạm Văn Dũng37

Documents

Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất … · Web viewVề mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương