PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN - Trang chủmegac6.weebly.com/uploads/2/4/1/9/24190875/_chuyen_de_luong_gia… · Điều kiện để phương trình có nghiệm: -1

1

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. CÁCH GIẢI CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phƣơng trình sin x = a

A. Cách giải:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: -1 a 1

Cách giải:

+ Đặt a = sin

+

2kx

2kxsinxsin (k )Z

Chú ý: x k.360

sin x sin (k Z)x 180 k.360

Một số trường hợp đặc biệt:

+ sin x 1 x k22

+ sin x 1 x k22

+ sin x 0 x k

B. Bài tập ví dụ: Ví dụ: Giải các phương trình

a) 1

sin x2

b) 3

sin 2x2

Giải: a)

x k21 6

sin x sin x sin52 6

x k26

b)

2x k2 x k23 3 6

sin 2x sin 2x sin (k Z)22 3

2x k2 x k23 3

2. Phƣơng trình cos x = a:

A. Cách giải:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1a1

Cách giải:

+ Đặt a = cos

)Zk(2kx

2kxcosacos

Chú ý: x k.360

cos x cosx k.360

Một số trường hợp đặc biệt:

+ cos x 1 x k2

+ cos x 1 x k2

2

+ cos x 0 x k2

B. Bài tập ví dụ:

Ví dụ: Giải các phương trình

a) 2

cos x2

b) 2

cos(x 60 )2

c) 1

cos x3

Giải:

a) 2 3 3 2

cos x cos cos x cos 3x k2 x k2 4 4 4 3

b) x 15 k3602

cos(x 60 ) cos(x 60 ) cos45x 105 k3602

c) 1 1

cos x x arccos k23 3

3. Phƣơng trình tan x = a:

A. Cách giải:

- Điều kiện: )Zk(k2

x

- Cách giải:

+ Đặt tana

+ )Zk(kxtanxtan

Với phương trình tanxtan thì )Zk(180.kx


)Zk(2

k)3

1arctan(

2

1x

k)3

1arctan(x2

3

1x2tan/a

)Zk(180.k15x

180.k3015x

30tan)15xtan(

3

3)15xtan(/b

4. Phƣơng trình cot x = a:

A. Cách giải:

- Điều kiện: )Zk(kx

- Cách giải:

+ Đặt cota

kxcotxcot

Với phương trình cotxcot thì )Zk(180.kx


3

)Zk(3

k)2cot(arc3

1x

k)2cot(arcx3

2x3cot/a

)Zk(4

k2

1

4x

k6

2x4

)6

cot()2x4cot(

3)2x4cot(/b

II. Một số bài tập tham khảo:

1. Giải phương trình:

2

1)12cos(/a với x

2

2)15x2sin(/b với 90x120


02sin2sin2/

05cos4sin/

2cos3sin/

)3sin()12sin(/

xxd

xxc

xxb

xxa

Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp

I. Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác

1. Khái niệm:

Là phương trình có dạng asinx + b = 0 (a ≠ 0) hoặc acosx + b = 0 (a ≠ 0) hoặc atanx + b

= 0 (a ≠ 0) hoặc acotx + b = 0 (a ≠ 0)

Với các dạng trên ta biến đổi để cô lập hàm lượng giác ở một vế, vế còn lại là hằng số, tức là đưa

về dạng cơ bản

VD: asinx + b = 0

asinx = -b

sinx =

Phƣơng trình bậc nhất đối với sinax và cosax

Phương trình bậc nhất đối với sinax và cosax có dạng:

4

Asinax + Bcosax = C

a là các số thực ≠ 0 ; A và B không đồng thời bằng 0

Phương trình trên có thể được giải bằng 2 cách

Cách 1: Ta có Asinax + Bcosax = Rsin(ax + a), ở đó R = > 0, α là số thực thoả mãn:

cos = , sin =

Do đó, phương trình trên sẽ tương đương với phương trình dạng cơ bản

sin(ax + ) =

Cách 2: Đặt t = tan . Ta có thể chứng minh được sinax = , cosax = . Thay vào

phương trình đầu tiên ta có:

2At + B - B = C + C

(C + B) - 2At + C – B = 0 (1)

Nếu 0 + phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2

Khi đó việc giải phương trình quy về việc giải các phương trình cơ bản

tan = t1, tan = t2

BÀI TẬP:

BT1: Giải phương trình

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1)


cos2x – cosx = 2sin2


sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0)

II.Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác

Phƣơng pháp chung

Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ với t = sinx hoặc t

= cosx, điều kiện | t | ≤ 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này và từ đó suy ngược lại nghiệm x.

5

Bài tập tự luận

1. Cho phương trình: 2cos x – (2m + 1)cosx + m +1 = 0

a. Giải phương trình với m = 3

2

b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [π

2,

3π

2]

2. Cho phương trình: 5 – 42sin x - 8 2cos

x

2 = 3m

a. Giải phương trình với m = - 4

3

b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm.

3. Cho phương trình: cos2x + 5sinx + m = 0


b. Tìm m để phương trình có nghiệm

4. Cho phương trình: 4 2cos x – (2m – 1)cosx – m = 0


b. Tìm m để phương trình có nghiệm

5. Xác định m để phương trình: mcos2x – 4(m – 2)cosx + 3(m – 2) = 0

có đúng 2 nghiệm thuộc (- π

2,

π

2)

6. Giải và biện luận theo m phương trình: (m – 1)2sin x - 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0

III.Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x


Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:

asinx + bcosx = c. (1)

Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1. Kiểm tra:

1. Nếu a + b

< c phương trình vô nghiệm.

2. Nếu a + b

c, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2.

Bước 2. Chia hai vế phương trình (1) cho 2 2a b , ta được:

2 2

a

a bsinx +

2 2

b

a bcosx =

2 2

c

a b

Vì (2 2

a

a b

2) + (2 2

b

a b

2) = 1 nên tồn tại góc α sao cho

2 2

a

a b= cos α ,

2 2

b

a b= sin α

Khi đó, phương trình (1) có dạng:

sinx.cos α + sin α .cosx = 2 2

c

a b sin(x + α ) =

2 2

c

a b

Đây là phương trình cơ bản và có hàm số sin.

6


Bước 1. Với cosx

2 = 0 x = π + 2k π , k Z, kiểm tra vào phương trình

Bước 2. Với cosx

2 0 x π + 2k π , đặt t = tg

x

2, suy ra

sinx = 2

2t

1 t và cosx =

2

2

1 - t

1 t

Khi đó, phương trình (1) có dạng:

a.2

2t

1 t + b.

2

2

1 - t

1 t = c (c + b) 2t - 2at + c – b = 0 (2)

Bước 3. Giải phương trình (2) theo t.

Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong ( , ), ta có thể

lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ.

Nhận xét quan trọng:

1. Cách 1 thường được sử dụng bởi các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện

của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo

tham số.

2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện

của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2 π ]

3. Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương

trình k có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2 π ]

4. Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:

- 2 2a b asinx + bcosx 2 2a b

kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng

y = a.sinx + b.cosx, y = a.sinx + b.cosx

c.sinx + d.cosx và phương pháp đánh giá cho một số phương trình

lượng giác.

Dạng đặc biệt:

sinx + cosx = 0 x = - π

4 + k π , k Z

sinx – cosx = 0 x = π

4 + k π , k Z


7. Giải các phương trình sau:

a. 3sinx – 3 cos3x = 43sin x – 1

b. 3 sin4x – cos4x = sinx – 3 cosx

c. 2sinx(cosx – 1) = 3 cos2x

d. 2sin3x – sin2x + 3 cos2x = 0


a. 3 sin(x - π

3) + sin (x +

π

6) – 2sin1972x = 0

b. sinx = 1

3(3 - 3 cosx)

7


a. (1 + 3 )sinx + (1 - 3 )cosx = 2

b. sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1


a. 3cosx – sin2x = 3 (cos2x + sinx)

b. 2 cos(x

5 -

π

12) - 6 sin(

x

5 -

π

12) = 2sin(

x

5 +

2π

3) – 2cos(

x

5 +

π

6)

11. Cho phương trình: (m - 1)sinx – cosx = 1


b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [ - π

2,

π

2]

12. Cho phương trình: 3 sinx + cosx = m

a. Giải phương trình với m = -1

b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-π

6, 2 π ] của phương trình.

IV.Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x


Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:

a2sin x + bsinx.cosx + c.

2osc x = d (1)

Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:


Bước 1: Với cosx = 0 x = π

2 + k π , k Z

Khi đó phương trình (1) có dạng a = d

- Nếu a = d, thì (1) nhận x = π

2 + k π làm nghiệm

- Nếu a d, thì (1) không nhận x = π


Bước 2: Với cosx 0 x π

2 + k π , k Z

Chia hai vế của phương trình (1) cho 2cos x 0, ta được

a 2tg x + btgx + c = d(1 + 2tg x)

Đặt t = tgx, phương trình có dạng:

(a – d)2t + bt + c – d = 0 (2)

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t

Cách 2: Sử dụng các công thức:

2sin x =

1 cos2x

2

,

2cos x = 1 cos2x

2

và sinx.cosx =

1

2sin2x

ta được:

b.sin2x + (c - a)cos2x = d – c – a (3)

Đây là phương trình bậc nhất của sin và cos.

Nhận xét quan trọng:

8

1) Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện

của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D.

2) Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện

của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo

tham số.


13. Giải phương trình: 42sin x + 3 3 sin2x – 2 2cos x = 4

14. Cho phương trình: 32sin x + m.sin2x - 4 2cos x = 0

a. Giải phương trình khi m = 4

b. Xác định m để phương trình có nghiệm

15. Cho phương trình: (m + 1)2sin x – 2sinx.cosx + cos2x = 0


b. Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π

2)

16. Cho phương trình: m.2sin x – 3sinx.cosx – m – 1 = 0


b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π

2)

17. Cho phương trình: m.sinx + cosx = 1

cosx, với m 0


b. Xác định m để phương trình có nghiệm

c. Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1 + x2 π

2 + k π . Tính cos2(x1 + x2) theo m

V.Phƣơng trình đối xứng đối với sin x và cos x


Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1)

hoặc a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2)

Để giải phương trình (1) ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 sinx.cosx = 2t 1

2

Khi đó, phương trình có dạng:

at + b2t 1

2

+ c = 0 b

2t + 2at + 2c - b = 0 (*)

Bước 2: Giải (*) theo t và chọn nghiệm t0 thỏa mãn điều kiện | t | 2

Với t = t0, ta được:

sinx + cosx = t0 2 sin(x + π

4) = t0 sin(x +

π

4) = 0t

2

Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin.

9

Chú ý:

1) Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z = π

4 - x, khi đó ta có:

sinx + cosx = 2 cos(π

4 - x) = 2 cosz

sinx.cosx = 1

2sin2x =

1

2sin2 (

π

4 - z) =

1

2sin(

π

2 - 2z)

= 1

2cos2z =

1

2(2 2cos z - 1)

Khi đó, phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cosz.

2) Phương trình (2) được giải tương tự như (1) với ẩn phụ:

t = sinx – cosx, điều kiện | t | 2 sinx.cosx = 2t 1

2



a. | sinx – cosx | + 4sin2x = 1

b. | sinx + cosx | - sin2x = 1

19. Tìm m để phương trình: 3(sinx + cosx) = 4msinx.cosx có nghiệm thuộc (0, 3π

4)

20. Cho phương trình: (1 - cosx)(1 - sinx) = m


b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π

2]

21. Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sinxcossx + 1 = 0


b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π

2, 0]

22. Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = 0


b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]

23. Giải và biện luận theo k phương trình: 1

cosx -

1

sinx= k

24. Cho phương trình: m(sinx - cosx) + 2sinxcosx = m

a. Giải phương trình với m = 1 + 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]

VI.Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Giải phương trình:

2sin2cos3 xx


x

xxsin

1tancot

10


2cossincossin xxxx

Bài 4: Cho phương trình:

axx

sin

1

cos

1

a) Giải phương trình với a = 2 2

b) Chứng minh rằng nếu a < 2 2 thì phương trình vô nghiệm

Bài 5:Giải phương trình

| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2

VII. Phƣơng trình lƣợng giác chứa căn thức


xx

xx

cossin

12cos2sin 42 = 0


0cossin1 xx


xx

xxsin4

cos

cos1cos1

VIII.Phƣơng trình sử dụng các công thức cộng cung.

VÝ dô: Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau

1. cos3x tgxsin3x 1;

2. cos3x 3sin3x 2cosx;

3. cos5x cos2x sin3xsin2x 0.

§iÒu kiÖn: x k2

1. Ta cã: cos3x tgxsin3x 1 cos3xcosx sinxsin3x cosx

x 2k

2x x 2kcos2x cosx k2k

2x x 2k x3

2. Ta cã: cos3x 3sin3x 2cosx

11

cos3xcos sin sin3x cosx3 3

3x x k23

cos 3x cosx3

3x x 2k3

x k6

kk

x12 2

3. Ta cã: cos5x + cos2x + sin3xsin2x = 0

cos3xcos2x cos2x 0 cos2x cos3x 1 0

XÐt hai trêng hîp

ka.cos2x 0 2x k x

2 4 2

2kb.cos3x 1 3x 2k x k

3 3

12

Bµi tËp

1. Áp dông çc c«ng thøc céng cung gi¶i çc ph¬ng tr×nh

1. 3sin5x cos5x 2sinx; 2.sin7x cos7x 2 cos3x

3.cos4x tgxsin4x 1; 4.sin6x 3 cos6x 2cosx

cos6x sinx5. 3

cosx sin6x

2. Áp dông çc c«ng thøc biÕn tÝch thµnh tæng gi¶i çc ph¬ng tr×nh

3

1. 2sin3xcosx sin2x 3 cos4x;

2. 2sin3xcosx sin 4x sin2x 2;

3. 2cos5xcosx cos4x sin3x;

4. 2sin7xsinx cos8x 3sin6x 1;

35. 2cos7xcos3x cos10

2

3. Áp dông çc c«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch gi¶i çc ph¬ng tr×nh

3

1. cos9x cosx sin13x sin3x

2. cos9x cosx cos5x 1 cos 4x

3. 2 cos4x 2 2 cos 2x 1 08

4. 2sin6x 1 4sin 3x12

5. 2sin 4x 3 4cos2x3

4. §Æt t = tgx ®Ó gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

13

2 2

2

3

3

2 3

1. sin x 3cos x sin2x 2cos2x 5

2. sin x cos2x 2sin2x 1

3. cos3x cosx 4sin x

4. cosxcos2x cos x sinx

5. 2sin xcosx cos x cosx sinx

5. §Æt t sinx cosx , gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

3 3

2

3 3

1. sin3x cos3x 2 sinx cosx 1

2. sin x cos x sinx cosx 2

3. cosx sinx 2sinxcosx 1

4. 3sinx cosx 3sin2x 8sin x 1

5. sin x cos x sin2x 1 0

6. Sö dông çc c«ng thøc nh©n ®«i, nh©n ba gi¶i çc ph¬ng tr×nh:

3

2

3

1. 2cos3x sin2x cosx 0

2. sin3x sin2x 2sinx 0

3. 3 cos3x 4sin x 3sinx 1

4. cos3x cos2x sin x 2

5. cos3x 3cosx 4cos 3x

7. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau

2

3

3

2

2

3

2

2 2

2 2

1 11. 2 7 tg x

cos x cosx

12. tg x tgx 4

cos x

3. tg x tgx 2cotgx 4

14. cotg x 3

sin x

15. tg x cotg x 6

sin xcos x


14

3 3

4 2

4 2

4 2 6 6

1. sin3x cos3x 2sin2x 1

2. sin x cos x 1 sinxcosx

3. 8cos x 8cos x 1 sin4x

4. 8cos x 8cos x 1 cos8x

5. 8cos x 8cos x 1 sin x cos x

sin4x6. 3 cosx

2 cos3x cosx

9. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh

2 2

2

2

1. 3 1 tg x sin2x tg x 1

2tgx2. 3 2cotgx 0

1 tg x

sin3x3. tg5x 4cos x

sinx

IX.Phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực

Trường hợp 1: tổng hai số không âm

Áp dụng:

000

0

BABA

BA

Giải phương trình:

1. 04tan32cos34tan3cos4 23 xxxx (1)

Ta có:

26

0)1tan3()3cos2()1(

26

3

1tan

2

3cos

3

1tan

22

kx

xx

kx

x

x

x

2. 013cos12cos4cos8 2 xxx (2)

03cos1)14cos2(

03cos1)14cos44cos4(

03cos11)4cos1(4cos4)2(

2

2

xx

xxx

xxx

23

22

14cos

13cos kxx

x

15

Trường hợp 2: phương pháp đối lập

Áp dụng: MBABMA

BA


1. xxx 3sin26)4cos2(cos 2 (1)

Ta có:

xxx 3sin26sin.3sin4)1( 22

Do: 13sin 2 x và 1sin 2 x nên 4sin.3sin4 22 xx

Vậy xxx 3sin264sin.3sin4 22

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

22

kx

2. 21coscos3 xx (2)

1cos4)1(cos2

1cos4cos5cos3

1cos2cos3)2(

xx

xxx

xx

Ta có:

vàxx

xx

,01cos4

,0)1(cos2

Do đó dấu = của (2) xảy ra khi và chỉ khi:

)(

2

1cos

Zk

kx

x

Trường hợp 3:

Áp dụng: MA

NB

NBMA

NMBA

....

1sinsin2sinsin

1sin,1sin2sinsin

1sinsin2sinsin

vuvu

vuvu

vuvu

Tương tự cho các trương hợp:

2coscos

;2cossin

vu

vu


1. 024

3cos2cos

xx (1)

24

3cos2cos

xx

Mà 14

3cos,12cos

xx nên dấu = của (1) xảy ra khi và chỉ khi:

16

Zkkx

xx

,8

14

3cos2cos

2. 23cos.2cos.cos6cos4cos2cos xxxxxx (2)

)(

22

16cos2cos4cos

36cos2cos4cos

4

9)6cos2cos4(cos

4

3

4

9)6cos4cos62(cos

4

1cos.2cos.3cos)2(

1cos.2cos.3cos4

1)3cos(cos3cos2

13cos2cos.3cos2 2

tmkx

kx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxx

xxx

xxxVT

X.Loại nghiệm không thích hợp của một phƣơng trình lƣợng giác


Ta thường gặp 2 dạng toán sau:

Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc (a, b) của phương trình

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm x = α + 2kπ

n, k, n Z

Bước 3: Tìm nghiệm thuộc (a, b):

a < α + 2kπ

n < b (k, n Z) (k0, l0) x0 = α + 0

0

2k π

n

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình x β + 2lπ

n, l, n Z

Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm x0 = α + 2kπ

n, k, n Z

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp đại số:

Nghiệm x0 bị loại khi và chỉ khi:

α + 2kπ

n = β +

2lπ

n

Nghiệm x0 chấp nhận được khi và chỉ khi:

α + 2kπ

n β +

2lπ

n

Phương pháp hình học:

17

Biểu diễn các điểm x = β + 2lπ

n, l, n Z trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các

điểm C = {C1,…, Cp}

Biểu diễn các điểm x = α + 2kπ

n, k, n Z trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các

điểm D = {D1,…, Dq}

Lấy tập E = D\C = {E1,…, Er} từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:

x = E1 + 2k π ,… x = Er + 2k π , k Z



a. 1 - cos4x

2sin2x=

sin4x

1 + cos4x

b. 2 2cotg x - tg

cos2x

x = 16(1 + cos4x)


a. 6sinx – 23cos x =

5sin 4x.cosx

2cos 2x

b. 4 4sin x + cos x

sin 2x=

1

2(tgx + cotgx)


a. sinx + sin2x + sin3x

cosx + cos2x + cos3x = 3

b. 21 2sin x - 3 2 sinx + sin2x

2sin x.cosx - 1

= 1


a. 2(sin3x – cos3x) = 1

s inx +

1

cos x

b. 3 3sin x + cos x

cosx - sinx= cos2x


a. 2 2 sin(x + π

4) =

1

s inx +

1

cos x

b.

4 4x xsin cos

2 21 - sinx

- 2tg x.sinx =

1

2(1 + sinx) + 2tg x


a. 3(cotg2x cos2x)

cotg2x - cos2x

- 2sin2x = 2

b. 1

tgx + cotg2x =

2(cos x - sinx)

cotgx - 1


18

a. 4sin x + 4cos x = 7

8cotg(x +

π

3).cotg(

π

6 - x)

b. 1

cos x +

1

sin 2x =

2

sin 4x


a. 3tg3x + cotg2x = 2tgx + 2

sin4x

b. 2sin x – sinx + 2

1

sin x -

1

sinx = 0

33. Tìm các nghiệm của phương trình:

sinx

2 - cos

x

2 = 1 – sinx

thỏa mãn điều kiện |x

2-

π

2| ≤

3π

4


1

2(cos5x + cos7x) -

2cos 2x + 2sin 3x = 0

thỏa mãn điều kiện | x | < 2


3π

4sin(2x +

5π

2) – 3cos(x -

7π

2) = 1 + 2sinx

thỏa mãn điều kiện x (π

2, 3 π )

36. Tìm tổng các nghiệm thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 70 của phương trình:

cos2x - 2tg x = 2 3

2

cos x - cos x - 1

cos x

Một số bài tập tổng hợp luyện tập

1) 22 . sin(x + /4)=1/sin x + 1/cos x

2) Giải phương trình sin3x + cos

3x = 2(sin

5x + cos

5x)

3) Giải phương trình sin2x = 2cos2x + cos

23x

4) 8cos3(x + /3) = cos3x

5) sin6x + cos

6x = 2(sin

8x + cos

8x)

6) cos6x – sin

6x = 13/8 . cos

22x

7) 1 + 3tgx = 2sin2x

8) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4

19

9) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

10) Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)

2 – 3sin2x + m

Giải PT f(x) = 0 khi m = -3

Phương trình bậc nhất và bậc 2:

1. 2sin 2 x + 5sin x – 3 = 0

Ans:

26

5

26

kx

kx

2. 2cos x2 - 3cos x + 1 = 0

Ans:

23

23

2

kx

kx

kx

3. cos x2 = sin x

Ans:

22

51arcsin

22

51arcsin

kx

kx

4. (Đại học quốc gia Hà Nội- Khối D năm 2000-2001)

x2sin2tan31

Ans:

k4

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

1. 3 sin x + cos x = 1

Ans:

2

23

kx

kx

2. y = 4sincos2

3sin2cos

xx

xx ( );( x )

Tìm x để y min, max.

Ans:

2max

11

2min

y

y

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin x và cos x

1. 4sin x2 - 5sin x cos x - 6cos x2

= 0

20

Ans:

2tan

4

3tan

x

x

2. sin x2 - 3 sin x cos x + 2cos x2

= 1

Ans:

kx

kx

6

2

3. 4sin x2 + 3 3 sin x2 - 2cos x2

= 4

Ans:

kx

kx

6

2

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x :

1. (2 + 2 )(sin x cos x ) – sin x2 = 2 2 + 1

Ans:

24

kx

2. -6( sin x - cos x ) - sin x cos x = 6

Ans:

22

3

2

kx

kx

3. 1 + tan x = 2sin x + xcos

1

Ans:

24

4

3

kx

kx

Phương trình bậc chẵn hoặc bậc lẻ đối với sin x , cos x

1. 3sin 3 x - cos 3 x + 2cos x = 0

Ans:

kx

4

2. 6sin x - 2cos 3 x = 5 sin x2 .cos x

Ans:

kx 4

3. sin 2 x2 = 4( cos 4 x + cos x2 ) + sin x4

Ans:

kx

kx

4

4

4. sin 7 x + cos 5 x + 2

1(cos 3 x + sin 5 x ).sin x2 = sin x + cos x

21

Ans:

kx

kx

kx

4

2

Sử dụng công thức biến tích thành tổng:

1. sin x .sin x2 .sin x3 = x4sin4

1

Ans:

2

48

kx

kx

2. sin x2 .sin x5 = sin x3 .sin x4

Ans:

2

kx

kx

3. cos x5 .sin x4 = cos x3 .sin x2

Ans:

714

2

kx

kx

4. 3 + 2sin x . sin x3 = 3cos x2

Ans: kx

5.

Sử dụng công thức biến tổng thành tích:

1. 04cos.3cos

1

3cos.2cos

1

2cos.cos

1

xxxxxx

Ans: x = 3

k

2. sin x + sin x2 + sin x3 = cos x + cos x2 + cos x3

Ans:

23

2

23

2

28

kx

kx

kx

3.

Dạng khác

1. )4

7sin(4

)2

3sin(

1

sin

1x

xx

22

Ans:

kx

kx

kx

8

3

8

24

1. sin x = 2 sin x5 - cos x

Ans:

324

7

216

3

kx

kx

2. 1 + tan x = 2sin x + xcos

1

Ans:

24

4

3

kx

kx

3. )cot(tan2

1

2sin

cossin 44

gxxx

x x

Ans: phương trình vô nghiệm.

4. 1cossin 43 xx

Ans:

22

kx

kx

5. xxxx cos.2sin3sin.2sin

Ans:

kx

kx

3

2

6. xxx

sin212

cos2

sin 44

Ans:

2

2

kx

kx

7. (Đại học sư phạm Hà Nội- Khối B, D năm 2000-2001)

xxx cos82sin23cos4 3

23

Ans:

24

3

24

2

kx

kx

kx

8. (Đại học giao thông vận tải Hà Nội năm 2000-2001)

xxxx 2cos3cos).cos(sin22

Ans: Phương trình vô nghiệm

9. (Đại học hàng hải năm 2000-2001)

3cos4)4sin24cos3)(1sin2( 2 xxxx

Ans:

2

26

7

kx

kx

10. (Đề thi đại học kiến trúc Hà Nội- chuyên ban năm 2000-2001)

xxxgxxxx 2sin2tan.coscot.sincossin 3333

( gợi ý: xxx 2sin2cossin )

11. (Đại học ngoại thương - Khối A – CSII – năm 2000-2001)

xxxxx 2cos2sincos3cossin1

Ans:

23

26

7

26

kx

kx

kx

kx

12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

12sincossin 4 xmxx

Ans: );1[]1;( m

13. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m( sin x +cos x ) + sin x2 = 0

Ans: ]22;2

2[m

14. 2a.sin x + (a+1)cos x = x

a

cos

a, Giải phương trình với a=1

24

b, Tìm a để phương trình có nghiệm

Ans: a,

kx

kx

)51arctan(

)51arctan(

b, );0()1;( a

15.: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4

(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)

16. Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosxcos³x.sinx=¼ b) sin cos x =5/8

( Trích sách 400 bài toán lượng giác tự luận )

17 Giải các phương trình sau :

a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)

18. Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)

b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận)

19. Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0

(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)

20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1

21.Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)

b) sin²x + sin²2x +sin²3x = 3/2

22. Cho phương trình (*):

0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64( 23 xmxxmxmxm

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên

4,0

Gợi ý-Đáp án

25

Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản

II. Một số bài tập tham khảo:


2

1)12cos(/a với x

2

1

6

5x

2

1

6x

1k

0kZk

2

1

6

7k

6

5

2

1

2

1k

6

2

1k

6x*

2

1

6x0kZk

2

1

6

5k

6

7

2

1

2

1k

6

2

1k

6x*

)Zk(2

1k

6x

2k3

12

3cos)12cos(

2

2)15x2sin(/b với 90x120

75x

105x

0k

1kZk

12

1k

12

1390180.k75120

180.k75x*

30x0kZk

3

1k

6

590180.k30120

180.k30x*

)Zk(180.k75x

180.k30x

360.k13515x2

360.k4515x2


26

)Zk(2k

4

3x

kx

2

1xcos

0xsin

0xcos21

0xsin2

0)xcos21(xsin2

0sxcosxsin22xsin2

0x2sin2xsin2/d

)Zk(

9

k2

18x

k22

x

k22

x92

k22

x2

02

x92cos

02

x2cos

02

x92cos.

2

x2cos2

0x5cos)x42

cos(

0x5cosx4sin/c

)Zk(

5

k2

10x

2k2

x

2kx22

x3

2kx22

x3

)x22

sin(x3sin

x2cosx3sin/b

)Zk(

3

)1k2(

3

2x

2k2x

2k)3x(1x2

2k3x1x2

)3xsin()1x2sin(/a

Phƣơng trình bậc hai của một hàm số lƣợng giác


27

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1)

Chuyển tất cả số hạng từ vế phải sang vế trái rồi biến đổi thành tích:

sinx + (1– cos2x) – (cosx – cos3x) – sin2x

= sinx + 2sin2x – 2sinxsin2x – sin2x

= sinx(1 + 2sinx) – sin2x(2sinx + 1)

= (1 + 2sinx)(sinx – sin2x)

= (1 + 2sinx)sinx(1 – 2cosx)

(1) (1 + 2sinx)sinx(1 – 2cosx) = 0



Ta có:


–2sin sin – 2sin2

= 0

–2sin = 0

–2sin 2sinxcos = 0

(k )

(k )

28

(k )


sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0)

Nhân hai vế của phương trình với cosx rồi biến đổi như sau:

sin4xcosx + 3sin2xcosx – sinx = 0

sin5x + 4sin3x + sinx = 0

sin5x + sinx + 4sin3x = 0

sin3x(cos2x + 2) = 0

sin3x = 0

x = (tmđk)

Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác

1. Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1. Khi đó, phương trình có dạng: 2t - (2m + 1)t + m + 1 = 0

1t =

2

t = m

1cosx =

2

cosx = m

πx = 2kπ

3

cosx = m (*)

, k Z

a. Với m = 3

2 thì phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy với m = 3

2 phương trình có hai họ nghiệm

πx = 2kπ

3 , k Z

b. Để phương trình có nghiệm thuộc [π

2,

3π

2] điều kiện là:

(*) có nghiệm thuộc [π

2,

3π

2] -1 m 0.

Vậy, với -1 m 0 thỏa mãn điều kiện đề bài

2. Biến đổi phương trình về dạng:

5 – 4(1 - 2cos x) – 4(1 + cosx) = 3m 4

2cos x – 4cosx – 3m – 3 = 0

Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1

Khi đó phương trình có dạng:

f(t) = 42t - 4t – 3m – 3 = 0 (1)

a. Với m = - 4

3, phương trình có dạng:

42t - 4t + 1 = 0 t =

1

2 cosx =

1

2

πx = 2kπ

3 , k Z

Vậy, với m = - 4

3, phương trình có hai họ nghiệm.

b. Phương trình có nghiệm:

(1) có nghiệm thuộc [-1, 1] (1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc(1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]

29

f(-1).f(1) 0

' 0

af(-1) 0

af(1) 0

S-1 1

2

(5 3m)(-3 - 3m) 0

16 + 12m 0

5 - 3m 0

- 3 - 3m 0

1-1 1

2

+m Z

m = - 1

m = 0

m = 1

Vậy, với m = 1 hoặc m = 0 phương trình có nghiệm.


1 - 22sin x + 5sinx + m = 0 2

2sin x – 5sinx – m -1 = 0

Đặt t = sinx, điều kiện | t | 1


f(t) = 2 2t - 5t – m -1 = 0

a. Với m = 2, phương trình có dạng:

22t - 5t – 3 = 0

t 1

3t = (L)

2

sinx = -1 x = -π

2 + 2k π , k Z

Vậy, với m = 2, phương trình có một họ nghiệm.

b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]

(1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1] (loại vì S

2 =

5

4)

f(-1).f(1) 0 (6 – m)(- 4 – m) 0 - 4 m 6

Vậy, với - 4 m 6 phương trình có nghiệm.

4. Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1


f(t) = 42t - 2(m – 1)t – m = 0

a. Với m = 3 , phương trình có dạng:

42t - 2( 3 - 1)t - 3 = 0

1t = -

2

3t =

2

1cosx = -

2

3cosx =

2

2πx = 2kπ

3

πx = 2kπ

6

, k Z

Vậy, với m = 3 , phương trình có bốn họ nghiệm

b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]

(1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]

f(-1).f(1) 0

' 0

af(-1) 0

af(1) 0

S-1 1

2

2

(m + 2)(6 3m) 0

m 2m + 1 0

m + 2 0

6 - 3m 0

m - 1-1 1

4

mọi m

Vậy, với mọi m phương trình luôn có nghiệm.


m(22cos x - 1) – 4(m – 2)cosx + 3(m – 2) = 0

30

m 2cos x – 2(m – 2)cosx + m – 2 = 0



f(t) = m 2t - 2(m – 2)t + m – 2 = 0

Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (-π

2,

π

2) điều kiện là:

(1) có đúng 1 nghiệm thuộc (0, 1)

3 m < 4


(m – 1)(1 - 2cos x) – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0

(m – 1) 2cos x + 2(m + 1)cosx – 3m + 2 = 0



(m – 1)2t + 2(m + 1)t – 3m + 2 = 0

Ta có:

Δ’ = (m + 1 2) + (3m - 2)(m - 1) = 4 2m - 3m + 3,

af(-1) = (m – 1)(- 4m – 1), af(1) = 3(m – 1),

S

2 - 1 = -

m + 1

m - 1 - 1 = -

2m

m - 1,

S

2 + 1 = -

m + 1

m - 1 + 1 = -

2

m - 1

Kẻ bảng:

m Δ’ af(-1) af(1) S

2 - 1

S

2 + 1

So sánh các nghiệm với

-

-1/4

0

1

+

+

+

+

+

-

0

+

+

0

-

-

-

-

0

+

-

-

0

+

||

-

-

-

-

||

+

t1 < -1 < t2

t1= -1

-1 < t1 < 1 < t2

t = ¼

t1 < -1 < t2 < 1

Vậy:

Với m < - 1

4, phương trình vô nghiệm

Với m = - 1

4, phương trình có nghiệm t1 = - 1 x = π + 2k π , k Z

Với - 1

4 < m < 1, phương trình có nghiệm:

31

t1 = 2m - 1 - 4m 3m 3

m 1

cosx = t1 = cos α

x = α + 2k π , k Z

Với m = 1, phương trình có nghiệm:

t = 1

4 cosx =

1

4 = cos β x = β + 2k π , k Z

Với m > 1, phương trình có nghiệm:

t2 = 2m - 1 + 4m 3 3

m 1

m

cosx = t2 = cos γ

x = γ + 2k π , k Z

Phƣơng trình bậc nhất của sin x và cos x

7.

a. Biến đổi phương trình về dạng:

3sinx - 43sin x - 3 cos3x = 1

sin3x - 3 cos3x = 11

2sin3x -

3

2cos3x =

1

2

sin3x.cosπ

3 - cos3x.sin

π

3 =

1

2 sin(3x -

π

3) = sin

π

6

π π3x - 2kπ

3 6

π π3x - π - 2kπ

3 6

π 2kπx

6 3

7π 2kπx

18 3

, k Z

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

b. Biến đổi phương trình về dạng:

3

2sin4x -

1

2cos4x =

1

2sinx -

3

2cosx sin(4x -

π

6) = sin(x -

π

3)

π π4x - x - 2kπ

6 3

π π4x - π - x + 2kπ

6 3

π 2kπx -

18 3

3π 2kπx

10 5

, k Z


c. Biến đổi phương trình về dạng:

2sinx.cosx – 2sinx = 3 cos2x sin2x - 3 cos2x = 2sinx

1

2sin2x -

3

2cos2x = sinx sin2x.cos

π

3 - cos2x.sin

π

3 = sinx

sin(2x - π

3)

π2x - x + 2kπ

3

π2x - π - x 2kπ

3

πx = + 2kπ

3

4π 2kπx =

9 3

, k Z

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

d. Biến đổi phương trình về dạng:

2sin3x = sin2x - 3 cos2x sin3x = 1

2sin2x -

3

2cos2x

32

sin3x = sin2x.cosπ

3 - cos2x.sin

π

3 = sinx sin3x = sin(2x -

π

3)

π3x = 2x - + 2kπ

3

π3x = π - 2x + 2kπ

3

πx = - + 2kπ

3

4π 2kπx =

15 5

, k Z


8.


3 sin(x - π

3) + cos(x +

π

6 -

π

2) – 2sin1972x = 0

3 sin(x - π

3) + cos(x -

π

3) = 2sin1972x

3

2sin(x -

π

3) +

1

2cos(x -

π

3) = sin1972x

sin(x - π

3 +

π

3) = sin1972x

sin1972x = sinx 1972x x + 2kπ

1972x = π - x + 2kπ

2kπx

1971

π 2kπx = +

1973 1973

, kZ

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm


3sinx + 3 cosx = 13

2sinx +

1

2cosx =

1

2 3

2

2

π ππx + = - + 2kπ

m 2x = - 2kπ1 3 1 - t 6 6α 3

π π m 02 2 1 tx = π 2kπx + = π + + 2kπ

6 6

sinx.cosπ

6 + cosx.sin

π

6 =

1

2 3 sin(x +

π

6) =

1

2 3 = sin α

πx + α 2kπ

6

πx + = π - α + 2kπ

6

πx α - 2kπ

6

5πx = - α + 2kπ

6

, k Z

9.

a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

1 + 3

2 2sinx +

1 - 3

2 2cosx =

1

2

Đặt 1 + 3

2 2 = cos α ,

1 - 3

2 2 = sin α , ta được:

sinx.cos α + cosx.sin α = 1

2 sin(x + α ) = sin

π

4

33

πx + α = 2kπ

4

πx + α = π - + 2kπ

4

πx = α 2kπ

4

3πx = - α+ 2kπ

4

, k Z



(sinx + cosx) + 3 (sinx – cosx) = 2 2 sin(x + π

4) - 6 cos(x +

π

4) = 2

1

2sin(x +

π

4) -

3

2cos(x +

π

4) =

1

2

sin(x + π

4).cos

π

3 - cos(x +

π

4).sin

π

3 =

1

2 sin(x -

π

12) = sin

π

4

π πx - = 2kπ

12 4

π πx - = π - + 2kπ

12 4

πx = 2kπ

3

5πx = + 2kπ

6

, k Z



( 3 - 2)cos2x = 1 – sin2x ( 3 - 2)( 2cos x - 2sin x) = (cosx - sinx 2)

[( 3 - 2)(cosx + sinx) – (cosx – sinx)](cosx - sinx) = 0

( 3 3)cosx = (1 - 3)sinx

cosx = sinx

tgx = - 3

tgx = 1

πx = - kπ

3

πx = kπ

4

, k Z


10.


3cosx - 3 sinx = 3 cos2x + sin2x

3 (3

2cosx -

1

2sinx) =

3

2cos2x +

1

2sin2x

3 cos(x + π

6) = sin(2x +

π

3)

3 cos(x + π

6) = 2sin(x +

π

6).cos(x +

π

6)

πcos(x + ) 0

6

π 3sin(x + ) =

6 3

π πx + kπ

6 2

π πx + = + 2kπ

6 3

π 2πx + = + 2kπ

6 3

πx = kπ

3

πx = 2kπ

6

πx = 2kπ

2

, k Z

Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.

b. Sử dụng phép biến đổi từng phần:

cos(x

5 -

π

12) - 3 sin(

x

5 -

π

12)

34

= 2[1

2cos(

x

5 -

π

12) -

3

2sin(

x

5 -

π

12)]

= 2sin(π

6 -

x

5 +

π

12) = 2sin(

π

3 -

x

5) = 2sin[ π - (

x

5 +

2π

3)]

= 2sin(x

5+

2π

3) = 2sin(

x

5 +

π

6 +

π

2) = 2cos(

x

5 +

π

6)

Từ đó, phương trình được biến đổi về dạng:

2 2 sin(x

5 +

2π

3) = 0

x

5 +

2π

3 = k π x = -

10π

3 + 5k π , k Z

Vậy, phương trình có một họ nghiệm.

11. Xét hai trường hợp:

Với cosx

2 = 0

x

2 =

π

2 + k π x = π + 2k π , k Z, thay vào phươg trình ta được:

(m – 1)sin( π + 2k π ) – cos( π + 2k π ) = 1 luôn đúng

Vậy x = π + 2k π , k Z là một họ nghiệm của phương trình.

Với cosx

2 0

x

2

π

2 + k π x π + 2k π , k Z

Đặt t = tgx

2, suy ra sinx =

2

2t

1 t và cosx =

2

2

1 - t

1 t


2

2(m - 1)t

1 t -

2

2

1 - t

1 t = 1 2(m – 1)t – 1 +

2t = 1 + 2t (m – 1)t = 1 (2)

a. Với m = 1 ta thấy ngay phương trình chỉ có một họ nghiệm x = π + 2k π , k Z

b. Với x [-π

2,

π

2] thì t [-1, 1]

Do vậy, để phương trình có nghiệm thuộc [-π

2,

π

2] điều kiện là phương trình (2) có nghiệm

thuộc [-1, 1]

m - 1

1- 1 1

m - 1

m 2

m 0

Vậy, với m (- , 0] [2, + ) thỏa mãn điều kiện đề bài.

12.

a. Với m = -1, phương trình có dạng:

3 sinx + cosx = -1 3

2sinx +

1

2cosx = -

1

2 sin(x +

π

6) = sin(-

π

6)

π πx + = - + 2kπ

6 6

π πx + = π + + 2kπ

6 6

πx = - 2kπ

3

x = π 2kπ

, k Z

Vậy, với m = -1 phương trình có hai họ nghiệm.

b. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với phần đồ thị

hàm số y = sin(x + π

6) trên D = (-

π

6, 2 π ]

Từ đó, ta có thể kết luận:

Với | m | > 2, phương trình vô nghiệm.

Với m = 2, phương trình có 1 nghiệm thuộc D.

35

Với – 2 < m 0 hoặc 1 < m < 2, phương trình có 2 nghiệm thuộc D.

Với 0 < m 1, phương trình có 3 nghiệm thuộc D.

Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x


2(1 – cos2x) + 3 3 sin2x – (1 + cos2x) = 4

3 sin2x – cos2x = 1 3

2sin2x -

1

2cos2x =

1

2

sin(2x - π

6) = sin

π

6

π π2x - 2kπ

6 6

π π2x - π - 2kπ

6 6

πx kπ

6

πx kπ

2

, k Z

14. Ta có cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho 2cos x 0, ta được:

3 2tg x + 2mt.tgx – 1 = 0


3 2t + 2mt – 1 = 0 (2)

a. Với m = 0, ta được:

32t – 1 = 0 t =

1

3 tgx = tg

π

6 x =

π

6 + k π , k Z

Vậy, với m = 0 phương tình có hai họ nghiệm

b. Để phương trình có nghiệm:

(2) có nghiệm ' 0 2m + 3 0 , luôn đúng.

Vậy, với mọi m phương trình luôn có nghiệm.


(m + 1)2sin x - 2sinx.cosx + 1 - 2

2sin x = 0

(m - 1)2sin x - 2sinx.cosx + 1 = 0

Xét hai trường hợp:

Với cosx = 0 x = π

2 + k π , k Z


m – 1 = 1 = 0 m = 0

Với cosx 0 xπ

2 + k π , k Z

Chia 2 vế của phương trình cho 2cos 0, ta được:

(m - 1) 2tg x – 2tgx + 1 + 2tg x = 0 m 2tg x – 2tgx + 1 = 0


f(t) = m2t - 2t + 1 = 0 (1)


-2t + 1 = 0 t = 1

2 tgx =

1

2 = tg α x = α + k π , k Z

Vậy, với m = 0 phương trình có hai họ nghiệm

b. Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π

2)

(1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 < t1 < t2

36

' > 0

af(0) > 0

S0

2

1 m > 0

1 > 0

10

m

0 < m < 1

Vậy, với 0 < m < 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

16. Ta thấy phương trình không nhận x = π


Chia 2 vế của phương trình cho 2cos 0, ta được:

m. 2tg x - 3tgx – (m + 1)(1 + 2tg x ) = 0 2tg x + 3tgx + m + 1 = 0


f(t) = 2t + 3t + m + 1 = 0


2t + 3t + 2 = 0 t = - 1

t = - 2

tgx = - 1

tgx = - 2 = tgα

πx = - kπ

4

x = α + kπ

, k Z

Vậy, với m = 1 phương trình có hai họ nghiệm

b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π

2)

(1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t1 < 0 < t2

af(0) < 0 m + 1 < 0 m < - 1

Vậy, với m < - 1 thỏa mãn điều kiện đề bài

17. Điều kiện cosx 0 x π

2+ k π , k Z


msinx.cosx + 2cos x = 1 msinx.cosx =

2sin x

s inx = 0

m.cosx = sinx

cosx 0

s inx = 0

tgx = m

(I)

a. Với m = 3 , ta được:

(I) sinx = 0

tgx = 3

x = kπ

πx = + kπ

3

, k Z

Vậy, với m = 3 , phương trình có hai họ nghiệm

b. Từ (I) ta thấy phương trình (1) có nghiệm với mọi m

c. Vì x1 + x2 π

2+ k π , do đó có thể coi:

x1 là nghiệm của phương trình sinx = 0 tgx1 = 0

x2 là nghiệm của phương trình tgx = m tgx2 = m

suy ra:

cos2(x1 + x2) = cos2x1.cos2x2 – sin2x1.sin2x2

= 2

1

2

1

1 tg x

1 tg x

.

2

2

2

2

1 tg x

1 tg x

- 1

2

1

2tgx

1 tg x. 2

2

2

2tgx

1 tg x =

2

2

1 - m

1 m

Cách 2: Chia 2 vế của phương trình (1) cho cosx 0, ta được

mtgx + 1 = 1 + 2tg x 2t 2tg x – mtgx = 0

tgx = 0

tgx = m

(II)

37

a. Với m = 3 , ta được:

(I) tgx = 0

tgx = 3

x = kπ

πx = + kπ

3

, k Z

Vậy, với m = 3 phương trình có hai họ nghiệm.

b. Từ (II) ta thấy phương trình (1) có nghiệm với mọi m.

c. Vì x1 + x2 π

2+ k π , do đó có thể coi:

x1 là nghiệm của phương trình tgx = 0 tgx1 = 0

x2 là nghiệm của phương trình tgx = m tgx2 = m

suy ra cos2(x1 + x2) = 2

2

1 - m

1 m

Phƣơng trình đối xứng với sin x và cos x

18.

a. Đặt | sinx – cosx | = t, điều kiện 0 t 2 , suy ra sinx.cosx = 21 t

2


t + 4(1 - 2t ) = 1 4

2t - t - 3= 0

t 1

3t (L)

4

| sinx – cosx | = 1 sin2x = 0 2x = k π x = kπ

2, k Z

Vậy, phương trình có một họ nghiệm.

b. Đặt | sinx + cosx| = t, điều kiện 0 t 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2


t – (2t - 1) = 1 2t - t = 0

t 1

t 0

sin 2x 0

sin 2x 1

2x kπ

π2x 2kπ

2

kπx

2

πx kπ

4

, k Z


19. Đặt t = sinx + cosx điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2


3t = 2m(2t - 1) = 0 f(t) = 2m

2t - 3t – 2m = 0

Với x (0, 3π

4) thì điều kiện 0 t 2 bởi phép biến đổi:

0 < x < 3π

4

π

4 < x +

π

4 < π 0 < sin(x +

π

4) 1

38

0 < 2 sin(x + π

4) 2 1 < t 2

Để phương trình có nghiệm thuộc (0, 3π

4) điều kiện là

(1) có nghiệm thuộc (0, 2 ] (1) có 1 nghiệm thuộc (0, 2 ]

hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc (0, 2 ]

f (0).f ( 2) 0

0

af(0) 0

af( 2) 0

S0 2

2

m 0

3 2m

2

Vậy,với m (- , 0) [3 2

2, + ) thoả mãn điều kiện đầu bài.

20. (1 - cosx)(1 - sinx) = m

sinx + cosx – sinx.cosx + m - 1 = 0

Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2

Khi đó,phương trình có dạng:

t - 2t 1

2

+ m – 1 = 0 f(t) =

2t - 2t – 2m + 1 = 0 (1)

a. Với m = 2 phương trình có dạng:

2t - 2t – 3 = 0 t = -1

t = 3 (L)

sinx + cosx = -1 sin(x + π

4) = -

2

2

π πx + 2kπ

4 4

π 5πx + 2kπ

4 4

πx 2kπ

2

x π 2kπ

, k Z

Vậy, với m = 2 phương trình có hai họ nghiệm.

b. Với x [0, π

2] thì điều kiện 1 t 2 bởi phép biến đổi:

0 x π

2

π

4 x +

π

4

3π

4

2

2 sin(x +

π

4) 1

1 2 sin(x + π

4) 2 1 t 2

Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π

2] thì điều kiện là:

(1) có đúng 1 nghiệm thuộc [1, 2 ]

f (t).f( 2) 0

b1 2

2a

0 m 3 2 2

2

Vậy, với 0 m 3 2 2

2

thỏa mãn điều kiện đề bài.

39

21. Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2


mt + 2t 1

2

+ 1 = 0 f(t) = 2t + 2mt + 1 = 0 (1)

a. Với m = 0 , phương trình có dạng: 2t + 1 = 0 vô nghiệm

Vậy, với m = 0 phương trình vô nghiệm

b. Với x [-π

2, 0] thì điều kiện -1 t 1 bởi phép biến đổi:

-π

2 x 0 -

π

4 x +

π

4

π

4 -

2

2 sin(x +

π

4)

2

2

-1 2 sin(x +π

4) 1 -1 t 1

Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π

2, 0] thì điều kiện là:

(1) có đúng 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

f(-1).f(1) 0

b- 1 - 1

2a

| m | 1

Vậy, với | m | 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

22. Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2


mt + 2t - 1 = 0 f(t) =

2t + mt – 1 = 0

a. Với m = 2 phương trình có dạng:

2t - 1 = 0 sin2x = 0 2x = k π x = kπ

2, k Z

Vậy, với m = 0 phương trình trên có một họ nghiệm

b. Với x [0, π ] thì điều kiện -1 t 2 bởi phép biến đổi:

0 t π π

4 x +

π

4

5π

4 -

2

2 sin(x +

π

4) 1

-1 2 sin(x +π

4) 2 -1 t 2

Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc [0, π ] điều kiện là:

(1) có hai nghiệm phân biệt thuộc [-1, 2 ]

0

af(-1) 0

af( 2) 0

S0 2

2

- 2 m 0

Vậy, với - 2 m 0 thỏa mãn điều kiện đề bài.

23. Điều kiện:

s inx 0

cosx 0

- 2 m 0

40

Biến đổi phương trình về dạng:

s inx - cosx

sinx.cosx - k = 0 sinx – cosx – ksinx.cosx = 0

Đặt sinx – cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2


t – k.21 t

2

= 0 f(t) = k 2t + 2t – k = 0 (2)

1) Với k = 0, ta được:

t = 0 sinx + cosx = 0 x = -π

4 + k π , k Z

Vậy với k = 0 phương trình có 1 họ nghiệm

2) Với k 0 , ta có:

Δ = 1 + 2k > 0 k, suy ra phương trình (2) có hai nghiệm là:

t1 = 21 1 k

k

; t2 =

21 1 k

k

Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm thỏa mãn - 2 t 2

Xét 2 trường hợp:

Trƣờng hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm thuộc [- 2 , 2 ]

f(- 2 )f( 2 ) 0 (k - 2 )(k + 2 ) 0 -2 2 k 2 2

Khi đó, nghiệm thuộc [- 2 , 2 ] là t2 = 21 1 k

k

sinx – cosx = 21 1 k

k

sin(x -

π

4) =

21 1 k

k

= sin α

πx - α + 2kπ

4

πx - π - α + 2kπ

4

πx α + + 2kπ

4

5πx = - α + 2kπ

4

, k Z

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Trƣờng hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc [- 2 , 2 ]

0

af( 2) 0

af(- 2) 0

S2 2

2

21 k 0

k(k 2 2) 0

k(k - 2 2) 0

12 2

k

k 2 2

k - 2 2

Khi đó, ta có:

Với t1 = 21 1 k

k


k

sin(x -

π

4) =

21 1 k

k

= sin α

πx - α + 2kπ

4

πx - π - α + 2kπ

4

πx α + + 2kπ

4

5πx = - α + 2kπ

4

, k Z

41

Với t2 = 21 1 k

k


k

sin(x -

π

4) =

21 1 k

k

= sinβ

πx - β + 2kπ

4

πx - π - β + 2kπ

4

πx β + + 2kπ

4

5πx = - β + 2kπ

4

, k Z

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

24. Đặt sinx - cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1

2


mt + 1 - 2t = m f(t) =

2t - mt + m – 1 = 0t 1

t = m - 1

sinx - cosx 1

t = m - 1

π 2sin(x - )

4 2

t = m - 1

x = π + 2kπ

πx = 2kπ

2

t = m - 1 (*)

, k Z

a. Với m = 1 + 2 ta giải phương trình:

t = 2 sinx – cosx = 2 x = 3π

4 + 2k π , k Z

Vậy với m = 1 + 2 phương trình có 3 họ nghiệm

b. Để phương trìn có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ] điều kiện là:

(*) vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 1

| m 1| 2

m - 1 = 1

m > 1 2

m < 1 - 2

m = 2

Vậy với m (- , 1 - 2 ) (1 + 2 , + ){2}thỏa mãn điều kiện đề bài

Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1:

2sin2cos3 xx

xx cos32sin2

Điều kiện: 3

2cos x

Bình phương 2 vế của PT ta có:

42

kkx

x

lx

x

xx

xx

,2

0cos

)(13/12cos

0cos

0cos12cos13

cos32sin4

2

22

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Bài 2:

x

xxsin

1tancot

Điều kiện:

k

kx

x

x,

20cos

0sin

kx

kx

x

x

xx

xxxx

xxxx

xxx

xx

23

2

23

2

2

1cos

02cos

1

0cos

2

cos

1

sin

1

cos

21

cos

11

sin

1

sin

1

cos

2tancot2

2sin

1tancot

10sintan

2

222

2

22

2

2

Kiểm tra điều kiện (1):

- Với x =

23

2k , ta được:

43

03

1

2

3

13

23

2sin

12

3

2tan

sin

1tan

k

kx

x

Do đó họ nghiệm này bị loại.

- Với x = -

23

2k , ta được:

03

1

2

3

13

23

2sin

12

3

2tan

sin

1tan

k

kx

x

Do đó họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có một họ nghiệm x = -

23

2k , k .

Bài 3:

.,2

02sin

12cos

12

2sin

24

cos4

sin21

24

cos4

sin

24

cos24

sin2

2cossincossin

2

kk

x

x

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Vậy phương trình có một họ nghiệm .

Bài 4:

44

xxaxx

axx

cossincossin

sin

1

cos

1

Đặt txx cossin , suy ra 2

1cossin

2

txx .

Do 1cos0,1sin01cossin 22 xxxx nên

1cossin

0cossincossin

0cos1cossin1sin

22

xx

xxxx

xxxx

Vậy điều kiện là 21 t .


)2(02

02

1

2

2

atat

tat

a) Với a = 22 , ta có:

.,4

2cossin

12

1

2

022 222 2

kkx

xx

t

t

tt

Vậy với a = 22 phương trình có một họ nghiệm.

b) Phương trình (1) có nghiệm => (2) có nghiệm thỏa mãn 21 t .

Mà (2) không thể có 2 nghiệm thuộc khoảng 21 t (do (2) không thể có 2 nghiệm cùng dấu

vì a.c = -1 < 0) nên (2) chỉ có thể có 1 nghiệm thuộc khoảng 21 t .

.

22

0)22)(2(

02.1

a

a

ff

Vậy nếu a < 2 2 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 5 :| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2

Bình phương 2 vế ta được | cos2x | = 1 sin2x = 0 x = k/2

Phƣơng trình lƣợng giác chứa căn thức

Bài 1:

45

.,4

12sin02cos

12cos

02sin

02cos2cos

02sin

012cos2sin

0cossin

0cossin

12cos2sin

2

2

24

42

42

kkx

xx

x

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Bài 2:

20sinsin

10cos

cossin1

0cos

cossin1

0cossin1

2

2

xx

x

xx

x

xx

xx

Giải (2):

kkx

kx

x

x

x

x

x

x

x

,2

2

2

1sin

1cos

)1(1cos

1sin

1cos

1sin

0sin

2

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài 3:

xx

xxsin4

cos

cos1cos1

Điều kiện: .,2

0cos kkxx


46

.,

36

510

8

3

8

228

228

24

322

4

2cos8cos

2

12sin

8cos12cos1

2

12sin

02sin

4cossin

04cos

02sin

4cossin

02sin

4cos1sin1

02sin

2sin22

sin2

cos

02sin

2sin22

sin2

cos

2sin22

sin22

cos2

22

2

2

22

kk

x

kx

kxk

kxx

kxx

kxk

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

xxx

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Phƣơng trình lƣợng giác sử dụng các công thức cộng cung

1. ¸p dông çc c«ng thøc céng cung gi¶i çc ph¬ng tr×nh

47

1. 3sin5x cos5x 2sinx; 2.sin7x cos7x 2 cos3x

3.cos4x tgxsin4x 1; 4.sin6x 3 cos6x 2cosx

cos6x sinx5. 3

cosx sin6x

Híng dÉn

1. 3sin5x cos5x 2sinx cos 5x sinx3

2.sin7x cos7x 2 cos3x sin 7x cos3x4

3. §iÒu kiÖn: x k ;2

cos4x tgxsin4x 1 cos3x cosx

4.sin6x 3 cos6x 2cosx sin 6x cosx3

5. §iÒu kiÖn: cosx sin6x

cos6x si

nx3

cosx sin6x

cos 6x sin x cos x3 3 6

2. ¸p dông çc c«ng thøc biÕn tÝch thµnh tæng gi¶i çc ph¬ng tr×nh

3

1. 2sin3xcosx sin2x 3 cos4x;

2. 2sin3xcosx sin 4x sin2x 2;

3. 2cos5xcosx cos4x sin3x;

4. 2sin7xsinx cos8x 3sin6x 1;


2

48

Híng dÉn

3

3

3

2

1. 2sin3xcosx sin2x 3 cos4x

sin4x sin2x sin2x 3 cos4x

tg4x 3

2. 2sin3xcosx sin 4x sin2x 2

sin4x sin2x sin2x sin 4x 2

sin 4x sin4x 2 0

sin4x 1 sin 4x sin4x 2 0

sin4x 1

3. 2cos5xcosx cos4x sin3x

cos6x cos4x cos

4x sin3x

cos6x cos 3x2

4. 2sin7xsinx cos8x 3sin6x 1

cos6x cos8x cos8x 3sin6x 1

cos 6x cos3 3


2

3cos10x cos4x cos10x

2

3cos4x

2

3. ¸p dông çc c«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch gi¶i çc ph¬ng tr×nh

3



3. 2 cos4x 2 2 cos 2x 1 08

4. 2sin6x 1 4sin 3x12


Híng dÉn

49

3

3

3

2


2cos5xcos4x 2sin8xcos5x

cos5x cos4x sin8x 0


2cos5xcos4x cos5x 1 cos 4x

cos5x cos 4x 2cos4x 1 0

cos5x cos4x 1 cos 4x cos4x 1 0

3. 2 cos4x 2 2 cos 2x 18

0

cos4x 2cos 2x cos 0 Chia c¶ 2 vÕ cho 28 4

2cos 2x cos 2x 2cos 2x 08 8 8

2cos 2x cos 2x 1 08 8

4. 2sin6x 1 4sin 3x12

sin6x sin 2sin 3x Chia c¶ 2 v6 12

Õ cho 2

2sin 3x sin 3x 2sin 3x12 12 12

2sin 3x sin 3x 1 012 12


sin 4x sin 2cos2x Chia c¶ 2 vÕ cho 23 3

2sin 2x cos2x 2cos2x3

2c

os2x sin 2x 1 03

4. §Æt t = tgx ®Ó gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

50

2 2

2

3

3

2 3






Híng dÉn

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2

2 2 2


sin x 3cos x 2sinxcosx 2 2cos x 1 5

sin x 7cos x 2sinxcosx 7sin x 7cos x

6sin x 2sinxcosx 0


sin x 2cos x 1 2sin2x 1

sin x 2cos x 4sinxcosx 2sin x 2co

2

2

3

3 3 2 2

3 2

2

s x

sin x 4sinxcosx 0


4cos x 4sin x 4cosx cos x sin x

4sin x 4cosxsin x 0

4sin x sinx cosx 0

3

2 3

3 2 2

3 3 3 2 2

3 2 2


cosx 2cos x 1 cos x sinx

cos x sinx cosx sin x cos x

cos x cos x sin x sinxcos x cosxsin x

sin x sinxcos x cosxsin x 0

Chia c¶ 2 vÕ cho 3cos x 0 ta thu ®îc:

3 2tg x tg x tgx 0

2 3

2 3 2 2

2 3 3 3 2 2

3 2 2


2sin xcosx cos x cosx sinx sin x cos x

2sin xcosx cos x cos x sin x sinxcos x cosxsin x

sin x sin xcosx cos xsinx 0

Chia c¶ 2 vÕ cho 3cos x 0 ta thu ®îc:

3 2tg x tg x tgx 0

5. §Æt t sinx cosx , gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

51

3 3

2

3 3


2. sin x cos x sinx cosx 2




Híng dÉn

3 3

2

2 3

2


3sinx 4sin x 4cos x 3cosx 2 sinx cosx 1

4 sinx cosx 1 sinxcosx 5 sinx cosx 1

§Æt t = sinx + cosx, t 2 ta nhËn ®îc:

t 1- 4t 1- 5t 1

2

t 2t t 1 1 2t t 1 0

t 1 2t 2t 1 0 t 1

2. si

3 3

22

3 2

n x cos x sinx cosx 2

sinx cosx 1 sinxcosx sinx cosx 2

§Æt t = sinx + cosx, - 2 t 2 ta thu ®îc:

t 1t 1- t 2 t 3 t 2t 4

2

t 5 4 0 t 1 t t 4 0


§Æt t = cosx - sinx, - 2 t 2 ta thu ®îc

2 2

2

2 2

2

3 3

:

t + 1 - t 1 t t 0 t 0;t 1


§Æt t = 3sinx + cosx, - 2 t 2 suy ra t 1 8sin x 3sin2x

ta thu ®îc: t 1 2 0


sinx cosx 1 sinxcosx sin2x 1 0

52

22

2 2

2

§Æt t = sinx - cosx, - 2 t 2 ta thu ®îc:

1 - tt 1 - 1 t 1 0

2

t 1 t 4 2t 0

t 1 t 3t 4 0 t 1

6. Sö dông çc c«ng thøc nh©n ®«i, nh©n ba gi¶i çc ph¬ng tr×nh:

3

2

3






Híng dÉn

3

3

2

2

3

2


2 4cos x 3cosx 2sinxcosx cosx 0

8cos x 2sinxcosx 5cosx 0

cosx 8cos x 2sinx 5 0

cosx 8sin x 2sinx 3 0


3sinx 4sin x 2sinxcosx 2sinx 0

sinx 4sin x 2cosx 5 0

sinx 4

2

3

cos x 2cosx 1 0

sinx 0


3 cos3x sin3x 1

sin 3x cos sin3 3 6

2

3 2 2


4cos x 3cosx 2cos x 1 1 cos x 2

53

3 2

2

3

3 3

4cos x cos x 3cosx 2 0

cosx 1 4cos x 5cosx 2 0

cosx 1


4cos x 4cos 3x

cos3x cosx


2

3

3

2

2

3

2

2 2

2 2

1 11. 2 7 tg x

cos x cosx

12. tg x tgx 4

cos x

3. tg x tgx 2cotgx 4

14. cotg x 3

sin x

15. tg x cotg x 6

sin xcos x

Híng dÉn

2

3

3 2

3 2

2

3 2 3

2

3 2

1 11. 2 7 tg x

cosxcos x

1 1 12 8

cosxcos x cos x

1§Æt t, t 1, ta thu ®îc

cosx

2t t 2t 8 0

t 2 2t 3t 4 2 0

2. §iÒu kiÖn: cos2x 0 x k k2

1tg x tgx 4 1 tg x tg x tgx 4

cos x

tg x tg x tgx 3 0

tgx 1 tg

2x 2tgx 3 0

tgx 1

54

2 2

3 2

2

3 3 2

2

3 2

2

3. §iÒu kiÖn: sin2x 0 x k k2

2tg x tgx 2cotgx 4 tg x tgx 4

tgx

tg x tg x 4tgx 2 0

tgx 1 tg x 2tgx 2 0

4. §iÒu kiÖn: sinx 0 x k k

1cotg x 3 cotg x 1 cotg x 3

sin x

cotg cotg x 2 0

cotgx 1 cotg x 2cotgx 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

4 2

2

cotgx 1


1tg x cotg x 6

sin xcos x

1 tg x 1 cotg x tg x cotg x 6

2tg x 2cotg x 4 0

22tg x 4 0

tg x

2tg x 4tg x 2 0

tg x 1


3 3

4 2

4 2

4 2 6 6





5. 8cos x 8cos x 1 sin x cos x

sin4x6. 3 cosx

2 cos3x cosx

55

Híng dÉn

3 3

4 2

4 2

4 2


sinx cosx 2sin2x 1 2sin2x 1 0


sinx cosx 1 sinxcosx 1 sinxcosx 0


cos4x sin4x

tg4x 1


cos4x cos8x

5. 8cos x 8cos x

6 6

2

1 sin x cos x

3 1 cos4x3cos4x 1 sin 2x 1

4 8

6. §iÒu kiÖn: cos3x + cosx 0

x k ;x k k4 2 2

sin4x3 cosx

2 cos3x cosx

sinx 3 cosx tgx 3

9. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh

2 2

2

2

1. 3 1 tg x sin2x tg x 1

2tgx2. 3 2cotgx 0

1 tg x

sin3x3. tg5x 4cos x

sinx

Híng dÉn

2 2

2

2

1. §iÒu kiÖn: cosx 0 x k k2

3 1 tg x sin2x tg x 1

1 tg x3sin2x

1 tg x

1cos2x 3sin2x tg2x

3

56

2

2

2


2tgx3 2cotgx 0

1 tg x

3 2cotgx sin2x 0

1 sin2x 2 1 cotgx 0

2sinx cosx sinx cosx 0

sinx

2sinx cosx sinx cosx 0

sinx

sinx cosx2 sin x sinxcosx 0

sinx

sinx cosx 0 tgx 1

3.

2

2

§iÒu kiÖn: x k ;X k k10 5

sin3xtg5x 4cos x

sinx

sin3x5g5x 4cos x

sinx

tg5x 1

Loại nghiệm không thích hợp của một phƣơng trình lƣợng giác

25.

a. Điều kiện:

sin 2x 0

1 + cos4x 0

2

sin 2x 0

2cos 2x 0

sin4x ≠ 0 x ≠

kπ

4, k Z


1 - 2cos 4x = 2sin4x.sin2x 2sin 4x = 2sin4x.sin2x

sin 4x 0

sin4x = 2sin2x 2sin2x.coss2x = 2sin2xsin 2x 0

cos2x = loại

Vậy phương trình vô nghiệm

b. Điều kiện:

sinx 0

cosx 0

cos2x 0

sin 2x 0

cos2x 0

sin4x ≠ 0 x ≠

kπ

4, k Z

Ta có:

2cot g - 2t g = 4 4

2 2

cos x sin x

sin x.cos x

=

2 2

2

cos x sin x

1sin 2x

4

=

2

4cos2x

sin 2x

Do đó phương trình được biến đổi về dạng:

57

2

4

sin 2x = 32 2cos 2x 1 = 2 2sin 4x cos8x = 0

8x = π

2 + k π x =

π

16 +

kπ

8, k Z thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

26.

a. Điều kiện:

cos2x ≠ 0 2x ≠ π

2 + k π x ≠

π

4 +

kπ

2, k Z (*)


6sinx – 23cos x = 5sin2x.cosx 6sinx - 2

3cos x = 10sinx. 2cos x (1)

Với cosx = 0 x = π

2 + k π , k Z

(1) 6sin(π

2 + k π ) = 0 mâu thuẫn.

Vậy phương trình không nhận x = π


Với cosx ≠ 0 x ≠ π

2 + k π , k Z

Chia 2 vế của phương trình (1) cho 3cos x ≠0, ta được

6(1 + 2tg x)tgx - 2 = 10tgx 3 3tg x - 2tgx - 1 = 0

(tgx – 1)(3 2tg x + 3tgx + 1) = 0

tgx = 1 x = π

4 + k π , vi phạm điều kiện (*)

Vậy phương trình vô nghiệm

b. Điều kiện:

sin 2x 0

cosx 0

sinx 0

sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠ kπ

2, k Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng: 2 2 2 2 2(sin x cos x) 2sin x.cos x

sin 2x

=

1

2.

2 2sin x cos x

cosx.sin x

211 sin 2x

2sin 2x

=

1

sin 2x sin2x = 0 loại

Vây phương trình vô nghiệm

27.

a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

2sin 2x.cosx + sin2x

2cos 2x.cosx + cos2x = 3

(2cosx + 1)sin2x

(2cosx + 1)cos2x = 3

2cos x 1 0

tg2x = 3

1cos x

2

π2x = kπ

3

58

2πx 2kπ

3

π kπx =

6 2

πx kπ

6

πx = - 2kπ

3

, k Z


b. Điều kiện:

2sinx.cosx – 1 ≠ 0 sin2x ≠ 1 x ≠ π

4 + k π , k Z (*)


1 + 2 2sin x - 3 2 sinx + sin2x = sin2x – 1

22sin x - 3 2 sinx + 2 = 0

|sinx| 1

sinx = 2

2

(*)

x = 3π

4 + 2k π , k Z


28.

a. Điều kiện:

s inx 0

cosx 0

sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠

kπ

2, k Z (*)

Ta có:

sin3x – cos3x = 3sinx - 43sin x - 4

3cos x + 3cosx

= 3(sinx + cosx) – 4(3sin x + 3cos x )

= (sinx + cosx)[3 – 4(2sin x +

2cos x – sinx.cosx)]

= (sinx + cosx)(2sin2x -1)

1

s inx +

1

cos x =

sinx + cosx

sinx.cos x =

2(sinx + cosx)

sin2x

Do đó, phương trình được biến đổi về dạng:

2(sinx + cosx)(2sin2x – 1) = 2(sinx + cosx)

sin2x

(sinx + cosx)(2sin2x – 1)sin2x = sinx + cosx

(sinx + cosx)(22sin 2x - sin2x - 1) = 0

2

sinx + cosx = 0

2sin 2x sin 2x - 1 = 0

tgx = - 1

1sin2x = -

2

sin 2x = 1

πx = - kπ

4

π2x = - 2kπ

6

7π2x = 2kπ

6

π2x = 2kπ

2

πx = - kπ

4

πx = - kπ

12

7πx = kπ

16

πx = kπ

4

π kπx =

4 2

πx = - kπ

12

7πx = kπ

12

, k Z


b. Điều kiện:

cosx – sinx ≠ 0 tgx ≠ 1 x ≠ π

4 + k π , k Z (*)


59

3sin x + 3cos x = cos2x.cosx – cos2x.sinx

3sin x + 3cos x = 1

2(cos3x + cosx) -

1

2(sin3x –sinx)

2( 3sin x + 3cos x) = 4 3cos x - 3cosx + cosx – 3sinx + 4 3sin x + sinx

3sin x + 3cos x – sinx – cosx = 0 (sinx + cosx)(1 – sinx.cosx – 1)=0

1

2(sinx + cosx)sin2x = 0

sinx + cosx = 0

sin2x = 0

tgx = - 1

sin2x = 0

πx = - kπ

4

2x = kπ

πx = - kπ

4

kπx =

2

, k Z


29.

a. Điều kiện:

s inx 0

cosx 0

sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠

kπ

2, k Z (*)


2(sinx + cosx)sinx.cosx = sinx + cosx

(sinx + cosx)(sin2x – 1) = 0sinx + cosx = 0

sin2x = 1

x = - 1

sin2x = 1

πx = - kπ

4

π2x = 2kπ

2

πx = - kπ

4

πx = kπ

4

x = π

4 +

kπ

2, k Z

Vậy phương trình cso 1 họ nghiệm

b. Điều kiện:

1 sinx 0

cosx 0

s inx 1

cosx 0

cosx ≠ 0 x ≠

π

2 + k π , k Z (*)


2 2 2 2 2x x x x(sin cos ) 2sin .cos

2 2 2 21 sinx

=

1

2(1 + sinx) + (1 + sinx) 2tg x

211 sin x

21 sinx

= (1 + sinx)(

1

2 + 2tg x) 2 -

2sin x = (1 - 2sin x)(1 + 2tg x)

1 + 2cos x =

2cos x + 22sin x cos2x = 0 x =

π

4 +

kπ

2, k Z

Vậy phương trình có một họ nghiệm

30.

a. Điều kiện:

sin 2x 0

cotg2x - cos2x 0

sin 2x 0

cos2x - cos2x 0

sin2x

sin 2x 0

cos2x 0

sin2x 1

sin4x ≠ 0 4x ≠ k π x ≠ kπ

4, k Z (*)

Biến đổi phương trình vè dạng:

60

cos2x3 cos2x

sin2x

cos2xcos2x

sin2x

= 2(1 + sin2x)3(1 sin 2x)

1 sin 2x

= 2(1 + sin2x)

3(1 + sin2x) = 2(1 - 2sin 2x) 2

2sin 2x + 3sin2x + 1 = 0

sin2x = - 1 (L)

1sin2x = -

2

π2x = - 2kπ

6

7π2x = 2kπ

6

πx = - kπ

12

7πx = kπ

12

, k Z

b. Điều kiện:

cos x 0

sin2x 0

tgx + cotg2x 0

cotgx 1

sin2x 0

tgx + cotg2x 0

cotgx 1

(*)


1

sinx cos2x

cosx sin2x

= 2(cosx - sinx)

cosx1

sinx

sin2x.cosx

cos(2x x)= 2 sinx

sinx 0

2sinx = 2 cosx = 2

2 x =

π

4 + 2k π , k Z

Kiểm tra điều kiện (*) ta chỉ nhận được nghiệm x = - π

4 + 2k π , k Z


31.

a. Ta có:

cotg(x + π

3).cotg(

π

6 - x) = cotg(x +

π

3).tg(

π

2 -

π

6 + x)

= cotg(x + π

3).tg(x +

π

3) = 1

Từ đó, ta lần lượt có:

Điều kiện có nghĩa của phương trình là:

πsin(x + ) 0

3

πcos(x + ) 0

3

sin(2x + 2π

3) ≠ 0 x ≠ -

π

3 +

kπ

2, k Z (*)

Phương trình được biến đổi về dạng:

(2sin x +

2cos x 2) - 22sin x

2cos x = 7

8 1 -

1

2

2sin 2x = 7

8 4

2sin 2x = 1

2(1 – cos4x) = 1 cos4x = 1

2 x =

π

12 +

kπ

2, k Z

Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm

b. Điều kiện sin4x ≠ 0 4x ≠ k π x ≠ kπ

4, k Z


1

cosx =

2

2sin 2x.cos2x-

1

sin2x

1

cosx =

1 cos2x

sin 2x.cos2x

61

1

cosx =

22sin x

2sinx.cosx.cos2x cos2x = sinx 2 2sin x + sinx – 1 = 0

sinx = - 1 (L)

1sinx =

2

πx = 2kπ

6

5πx = 2kπ

6

, k Z

Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm

32.

a. Điều kiện

cos3x 0

sin2x 0

cosx 0

sin4x 0

cos3x 0

sin4x 0

π kπx

6 3

kπx

4

, k Z


2(tg3x – tgx) + (tg3x + cotg2x) = 2

sin 4x

2sin 2x

cos3x.cosx +

cosx

cos3x.sin2x=

2

sin 4x

4sin4x.sinx + 2cos2x.cosx = 2cos3x

4sin4x.sinx + cos3x + cosx =2cos3x 4sin4x.sinx = cos3x - cosx

8sin2x.cos2x.sinx = - 2sin2x.sinx (*)

cos2x = - 1

4= cos2 α

2x = 2 α + 2k π x = α + k π , k Z


b. Điều kiện sinx ≠ 0 x ≠ k π , k Z (*)


4sin x -

3sin x + 1 – sinx = 0 (sinx – 1)3sin x – (sinx – 1) = 0

(sinx – 1)(3sin x - 1) = 0 sinx = 1 x =

π

2 + 2k π , k Z



sinx

2 - cos

x

2 = (sin

x

2 - cos

x

2

2) (sinx

2 - cos

x

2 - 1)(sin

x

2 - cos

x

2) = 0

x π2 sin( ) 1

2 4

x xsin cos

2 2

x π 2sin( )

2 4 2

xtg 1

2

x = π + 4kπ

x = 2π + 4kπ

πx = 2kπ

2

, k Z

Lần lượt kiểm tra các nghiệm cho điều kiện | x

2 -

π

2 |

3π

4 chúng ta nhận được nghiệm của

phương trình là x = π

2, x = π , x = 2 π và x =

5π

2


cos6x.cosx - 1

2(cos6x + cos4x) = 0

cos6x.cosx - cos5x.cosx = 0 (cos6x - cos5x)cosx = 0

62

cos6x = cos5x

cosx = 0

6x = 5x + 2kπ

πx = kπ

2

2kπx =

11

x 2kπ

πx = kπ

2

, k Z

Lần lượt kiểm tra các nghiệm cho điều kiện | x | < 2 chúng ta nhận được nghiệm của phương

trình là x = π

2, x =

2kπ

11 với k = 0, 1, 2, 3


sin(2x + π

2) – 3cos(x +

π

2) = 1 + 2sinx cos2x + 3sinx = 1 + 2sinx

1 - 22sin x = 1 - sinx 2

2sin - sinx = 0

sinx = 0

1sinx =

2

x = kπ

πx = 2kπ

6

5πx = 2kπ

6

πx ( ,3π)

2

x = π, x = 2π

13πx =

6

5π 17πx = , x =

6 6

Vậy phương trình có 5 nghiệm

36. Tìm tổng các nghiệm thỏa mãn 1 x 70 của phương trình

cos2x - 2tg x = 2 3

2

cos x cos x 1

cos x

Điều kiện cosx ≠ 0 x ≠ π

2 + k π , k Z (*)


22cos x - 1 - 2tg x = 1 – cosx – (1 + 2tg x)

22cos x + cosx – 1 = 0

cosx = - 1

1cosx =

2

x = π + 2kπ

πx = 2kπ

3

x = π 2kπ

3 3 , k Z

Với các nghiệm thỏa mãn 1 x 70 ta được

1≤ π 2kπ

3 3 ≤ 70

3 π

2π

≤ k ≤

210 π

2π

k Z

k = 0,32

Từ đó ta nhận được:

S = 1

3( π + 3 π + 5 π + … + 65 π ) = 363 π

Một số bài tập tổng hợp luyện tập

1) 2 + 2cos2x = -5sinx

2sin2x – 5sinx – 3 = 0

x = - /6 + 2k

x = 7/6 + 2k

63

2) sin3x + cos

3x = 2(sin

5x + cos

5x)

(sin3x + cos

3x)(sin

2x + cos

2x) = 2(sin

5x + cos

5x)

sin3x.cos

3x + cos

3x.sin

2x = sin

5x + cos

5x

cos2x - sin

2x = 0

cos3x - sin

3x = 0 cosx = sinx

cos2x - sin

2x = 0

cos2x = 0

x = /4 + k/2

3) sin2x = 2cos2x + cos

23x

(1 – cos2x)/2 = (1 + cos4x)/2 + (1 + cos6x)/2

(cos2x + cos4x) + (cos6x + 1) = 0

2cos3x.cosx + 2cos23x = 0

cosx = 0, cos2x = 0, cos3x = 0

KL: x = /2 + k, x = /4 + k/2, x = /6 + k/3 (k Z)

4) 8cos3(x + /3) = cos3x

8. [3cos(x + /3) + cos(3x + )] / 4 = cos3x

6cos(x + /3) – 2cos3x = cos3x

2cos(x + /3) = cos3x

4cosx - 4 cos3x - 3sinx = 0

2sinx(sin2x - 3/2) = 0

x = k, x = /6 + k, x = /3 + k

5) sin6x + cos

6x = 2(sin

8x + cos

8x)

sin6x(1 - 2 sin

2x) + cos

6x(2 cos

2x – 1) = 0

cos2x(sin6x + cos

6x) = 0

cos2x = 0 x = /4 + k/2

6) cos6x – sin

6x = 13/8 . cos

22x

cos2x(2cos22x = 13cos2x + 6) = 0

+) cos2x = 0 2x = /2 + k x = /4 + k/2

+) 2cos2x – 13cos2x + 6 = 0 cos2x = 6 (loại); cos2x = ½ x = /6 + k

7) 1 + 3tgx = 2sin2x

Đặt tgx = t

PT 1 + 3t = 4t/(1+t2)

PT có nghiệm t = -1

KL: x = -/4 + k

8) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4

4sinx.cosx – (1 – 2sin2x) – 7sinx – 2cosx + 4 = 0

64

2cosx (2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx – 3) = 0

+) 2sinx – 1 = 0 sinx = ½

+) 2cosx + sinx – 3 = 0 2cosx + sinx = 3 (1)PT (1) vô nghiệm vì 22 + 1

2 > 3

2, vậy PT đã cho

tương đương PT sinx = ´

x = /6 + 2k; x = 5/6 + 2k

9) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

3sinx – 4sin3x = cosx.cos2x.[ sin

2x/cos

2x + 2sinx.cosx/cos2x) ]

ĐK: cosx 0, cos2x 0

a) sinx = 0 x = k (ko thỏa mãn)

b) 3 – 4sin2x = cosx.cos2x. sinx/cos

2x + 2cos

2x

cos2x(1 – tgx) = 0

+) cos2x = 0 (loại)

+) tgx = 1 cos2x = (1- tg2x)/(1+ tg

2x) = 0 (loại)

KL: x = k

10) f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)

2 – 3sin2x + m

= cos22x + 2(sinx + cosx)

3 – 3(1 + sin2x) + m + 3

= -(sinx + cosx)2 [sinx + cosx – 1]

2 + m + 3

khi m = -3 thì f(x) = -(sinx + cosx)2 (sinx + cosx – 1)

2

f(x) = 0 sinx + cosx = 0

và sinx + cosx = 1

cos (x - /4) = 0

và cos (x - /4) = 1/2

x = 3/4 + k; x = 2k; x = /2 + 2k

Dạng khác

15: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4

(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)

Bài giải:

Điều kiện:{sinx≠0,cosx≠o,cosx/2≠} <=> sin2x≠0 (*)

Phương trình đã cho tương đương với:

cosx/sinx +sinx{1+(sinx.sinx/2)/(cosx.cox/2}=4

<=>cosx/sinx + {(sinx.cosx/2)/cox.cosx/2)}=4

<=> (cos²x +sin²x)/sinx.cosx =4

<=>sin2x =1/2 (thỏa mãn (*))

ặ

hoặ (k thuộc Z)

65

16: Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosxcos³x.sinx=¼

( Trích sách 400 bài toán lượng giác tự luận )

Bài giải:

a)Ta có: sin³x.cosxcos³x.sinx=¼

<=>sinx.cosx(sin²x-cos²x)=¼

<=>½sin2x.(-cos2x)=¼

<=>-¼sin4x=¼

<=>sin4x=-1

<=>4x=-

<=>x= - (k thuộc Z)

<=>1- 2sin²x.cos²x= 5/8

<=> -½sin²2x= -3/8

<=> sin²2x=3/4

<=>1-cos4x=3/2

<=> cos4x=-½

(k thuộc Z)

17: Giải các phương trình sau :

a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)

Bài giải

a) Phương trình <=> 1 – ¾ sin²2x = Cos²2x =1/16

<=> 1 – ¾ (1- cos²2x)= cos²2x +1/16

<=> ¼ + ¾ cos²2x = cos²2x + 1/16

<=> ¼cos²2x = 3/16

<=> cos²2x = ¾

<=> 1 +cos4x = 3/2

<=> cos4x = ½

( k Thuộc Z)

b) Ta có : cos^6x – sin^6x = cos2x

<=> (cos²x -

<=> cos2x(1- sin²x.cos²x) = 2cosx

<=> cos2x = 0 hoặc sin²2x = O

<=> sin4x=0 hoặc x = ( k thuộc Z)

18. Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)

b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận)

66

Bài giải:

a) Điều kiện: cos9x ≠ 0 và sin5x ≠ 0 ộc Z)(*)

Phương trình: <=> sinxcos5x = cos9x.sin5x

<=> ½ (sin6x – sin4x) = ½ (sin14x – sin4x)

<=> sin14x = sin6x

<=> hoặ -

<=> ặ

So sánh với điều kiện nghiệm cần tìm là:

ặ ( l,k thuộc Z; l kô chia hết cho 4)

b) Điều kiện: sin2x ≠ 0 k thuộc Z

Phương trình: <=> 2tanx = 2sin2x + (1-cos2x)/sin2x

<=> 2tanx = 2sin2x + tanx

<=> tanx = 2sin2x

<=> sinx = 2sin2x.cosx = sin3x + sinx

<=> sin3x = 0 <=> ộc Z

Vậ ộc Z; k kô chia hết cho 3) là các nghiệm cần tìm.

19 Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0

(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)

Bài giải:

Phương trình tương đương với:

(cos3x – cosx) – (1 – cos2x) =0

<=> -2sin2x.sinx – 2sin²x =0

<=> sin²x(2cosx +1) =0

<=>

<=> (k thuộc Z)

20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1

Bài giải:

Ta có: sin²2x + cos²3x =1

<=> ½(1 – cos4x) + ½ (1+cos6x)=1

<=> cos6x = cos4x

hoặc 6x = -

sinx=0

cosx= ½

x = k

x= ±2 /3 +

k2

67

hoặ

( k thuộc Z)

21.:Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)

c) sin²x + sin²2x +sin²3x = 3/2

Bài giải:

a) Phương trình :

<=> ½ (1+ cos2x) + ½ (1+cos4x) + ½ (1+cos6x) + cos²4x =3/2

<=> (cos6x + cos2x) + cos4x +2cos²4x =0

<=> 2cos4xcos2x + cos4x + 2cos²4x =0

<=> cos4x(2cos2x +1+ 2cos4x) =0

<=>cos4x(4cos²2x + 2cos2x -1) =0

<=> cos4x =0 hoặc 4cos²2x + 2cos2x – 1=0

<=> cos4x =0 hoặc cos2x = (-1 -√5)/4 hoặc cos2x = (-1+√5)/4

ặ -1 -√5)/4 hoặ cosb= (-1+√5)/4 (k

thuộc Z)

b) Phương trình :

<=> ½ (1 – cos2x) + ½ (1- cos4x)+ ½ (1-cos6x)= 3/2

<=> cos4x +(cos6x + cos2x) =0

<=>cos4x(2cos2x +1) = 0

<=> cos4x =0 hoặc cos2x = -1/2

ặ

ặ (k thuộc Z)

22. Khi

kx 2

thì 1sin,0cos xx nên(*) thành:

01

0)12(3)64(

mm

Vô nghiệm

Chia hai vế (*) cho 0cos3 x thì:

0)34tan2)(tan1(tan

034tan)12(3tan)12(tan

0)tan1)(34(tan)2(2)tan1(tan)12(3tan)64((*)

2

23

2223

mxmxx

mxmxmx

xmxmxxmxm

a/ Khi m = 2 thì (*) thành:

)(

4

1tan

0)5tan4)(tan1(tan 2

Zk

kx

x

xxx

b/ Ta có:

4;0

x thì 1;0tan x

Xét phương trình:

68

txkhitfmmtt tan),(0)342( 2 (**)

Theo yêu cầu đầu bài ta suy ra 0)34tan2(tan2 mxmx vô nghiệm trên 1;0

(**) có nghiêm trên 1;0

12

0

;0)1(

;0)0(

;0

0)1()0(

S

af

af

ff

14

30)22)(34( mmm

Do đó (**) vô nghiệm trên 1;0 14

3 mm

Documents

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN - Trang chủmegac6.weebly.com/uploads/2/4/1/9/24190875/_chuyen_de_luong_gia… · Điều kiện để phương trình có nghiệm: -1