Physik A – VL19 (22.11.2012)Physik A VL19 (22.11.2012)

Hydrodynamik II - Viskositäty y

Di Vi k ität• Die Viskosität

• Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

• Die Stokes‘sche Reibung

• Die Reynolds-Zahl

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Viskosität

Vi k Fl id• bisher: Kräfte zwischen dem strömenden Medium und den Wänden

oder Kräfte zwischen den Teilchen des Mediums vernachlässigt

Viskose Fluide

oder Kräfte zwischen den Teilchen des Mediums vernachlässigt

• Bernoulli-Gleichung: Druck in einem sehr langen Rohr ist konstant

B b ht• Beobachtung:Druckabfall:

Adhäsionskräfte bremsen !p1⇒ Reale Flüssigkeiten und Gase besitzen

eine innere Zähigkeit:

p3

p2Viskosität

Ad Beobachtung:◦ bei Rohrströmungen ist die Geschwindigkeit

in der Mitte am größten, an der Wand ist sie nahezu Null:

Adhä i k äf b !

2

Adhäsionskräfte bremsen !

Viskosität

Vi k Fl id D k bf llViskose Fluide - Druckabfall

• nach der Bernoulli-Gleichung gilt für den Druckabfall zwischen zwei Bereichen

)(21)( 21

221221 vvhhgppp −⋅+−⋅⋅=−=Δ ρρ

0 und 1212 =Δ⇒==⇒ pvvhh

⇒ Für ideale Medien (Bernoulli-Gleichung gültig):

• reale Medien: andere Ursache für den Druckabfall:

1212 p

Massestrom ist abhängig von Ort, vom Material

VΔΔ vAtV

tmI ⋅⋅=

ΔΔ⋅=

ΔΔ

= ρρMassestrom

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Viskosität

Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )

Modellsystem:

Z i b Pl tt it d Flä h A i Ab t d d

Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)

• Zwei ebene Platten mit den Flächen A im Abstand d, zwischen denen sich eine dünne Schicht einer Flüssig-keit befindet.

• Einer der Platten wird gegen die andere durch eine Kraft F mit der Geschwindigkeit v0 verschoben.

• Durch Adhäsionskräfte zwischen den Plattenoberflächen und der Flüssigkeit werdendiese aneinander haften.

• Betrachtung: Z l d tZerlegung der gesamten Flüssigkeitsschicht in ebene Schichten, welche sich bei Bewegung dersich bei Bewegung der Platten gegeneinander verschieben können.

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Viskosität

Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )

→ Adhäsion: die Flüssigkeitsschichten direkt an den Platten haben die Geschwindigkeit der jeweiligen Platte

Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)

de jeweiligen latte

unten: v = 0, oben: v = v0

→ Di ( h ä h ) K hä i k äft i h d S hi ht (i R ib ) d→ Die (schwächeren) Kohäsionskräfte zwischen den Schichten (innere Reibung) werden die unteren die Bewegung der darüber liegenden Schichten verzögern.

⇒ Geschwindigkeitsprofil v(z)der Flüssigkeitsschichten in Abhängigkeit vom vertikalen Abstand zvon der ruhenden Platte.

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Viskosität

Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )

• Die Viskosität ist definiert über die Kraft F, welche notwendig ist, die obere Platte mit konstanter Geschwindigkeit v0 gegen die untere Platte zu verschieben.

Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)

latte mit konstante Geschwindigkeit v0 gegen die unte e latte u ve schieben.

→ F ist proportional zur Fläche A der Platten und dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dz:

N t ‘ h R ib tdvAF

• Die Proportionalitätskonstante η wird als Viskosität bezeichnet und gibt den

Newton‘sches Reibungsgesetzdz

AF ⋅⋅=η

Widerstand an, den die Flüssigkeitsschichten gegen die relative Ver-schiebung gegeneinander leisten.

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Viskosität

Vi k Fl id H l it d Vi k ität (N t )

• Annahme:Bei relativ geringen Geschwindigkeiten und kleinem Plattenabstand ist das

Viskose Fluide – Herleitung der Viskosität (Newton)

Bei relativ geringen Geschwindigkeiten und kleinem Plattenabstand ist das Geschwindigkeitsprofil als lineare Funktion von z darstellbar:

zdvzv ⋅= 0)( Viskosität

eingesetzt in ergibt sich:

d

dzdvAF ⋅⋅=η

0

0

vAdF

dvAF

⋅⋅

=⇔⋅⋅= ηη

Viskosität

• Einheit der Viskosität:

[ ] sPakgsN ⋅==⋅=η V d Vi k i ä b l i G öß[ ] sPasmm2 =⋅==η

◦ Auch heute noch vielfach verwendet wird die cgs

Von der Viskosität abgeleitete Größen:

Fluiditätη

η 11 =−

verwendet wird die cgs-Einheit Poise (P) bzw. Zentipoise (cP):

g

Kinematische Viskositätρη

=kinV

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sPa 0,1 cP 100scm

g1 P 1 ⋅==⋅

=

Viskosität

Vi k Fl id Di Vi k ität

• Viskosität einiger Stoffe: je höher die Viskosität

Viskose Fluide – Die Viskosität

je höher die Viskosität, desto zäher fließt der Stoff

→ Flüssigkeiten: die Viskosität nimmt mit steigender Temperatur ab. g g p

→ Gase: die Viskosität nimmt bei Gasen mit steigender Temperatur zu.Ursache: zunehmende „Verzahnung“ benachbarter Gasschichten bei

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gzunehmender kinetischer Wärmebewegung der Gasteilchen.

Viskosität

Vi k Fl id D R ib k ffi i t

• Ein viskoses Medium übt auf die sich darin bewegenden Teilchen einen Reibungswiderstand aus welcher durch den Reibungskoeffizienten f

Viskose Fluide – Der Reibungskoeffizient

Reibungswiderstand aus, welcher durch den Reibungskoeffizienten f charakterisiert wird.

• Der Reibungswiderstand tritt in Form einer auf das Teilchen wirkenden Kraft, der g f f ,Reibungskraft FR , auf, die proportional zur Geschwindigkeit v des Teilchens ist:

FfvfF RR −=⇔⋅−=

• Der Proportionalitätsfaktor ist der Reibungskoeffizient f.

v

[ ] kgsN ⋅Die Einheit ist [ ]s

kgm

sN=

⋅=f

→ Stoke’sche Gesetz

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Viskosität

D G t H P i ill St ö d h R h

• im Inneren eines Rohres (Radius R) wird ein Flüssigkeitszylinder mit Radius r bewegt

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille - Strömung durch enge Rohre

• die Reibungskraft zwischen dem Zylinder und der angrenzenden Flüssigkeitsschicht ist proportional zur Mantelfäche A und dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dr:

d

RdrdvAFR ⋅⋅=η lrA ⋅⋅⋅= π2

d rdrdvlrFR ⋅⋅=⇒ πη 2

• Der Betrag der Reibungskraft ist gleich der Druckkraft, die auf den Zylinder wirkt

)( 212 ppRpAFp −⋅⋅=Δ⋅= π

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Viskosität

D G t H P i ill St ö d h R h

• Gleichsetzen von Reibungskraft FR und Druckkraft Fp

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille - Strömung durch enge Rohre

ddrdvlrFR ⋅⋅= πη 2 )( 21

2 ppRpAFp −⋅⋅=Δ⋅== π

)(2 2 ppRdvlr⇒ ππη )(2 21 ppRdrlr −⋅⋅=⋅⋅⇒ ππη

und nachfolgende Integration ergibt für die Geschwindigkeit

)(4

)( 2221 rRl

pprv −⋅⋅⋅

−=

η

• Die Geschwindigkeitsverteilung v(r) ergibt ein parabolisches• Die Geschwindigkeitsverteilung v(r) ergibt ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil für laminare Strömungen

2221)0( RRpprv ∝⋅−==

⇒ Geschwindigkeit proportional zu R2

4)0( RR

lrv ∝⋅

⋅⋅==

η

0)( R h d k d k

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g p p z 0)( == Rrv ⇒ Geschwindigkeit direkt an den Wänden ist Null!

Viskosität

D G t H P i ill St ö d h R h

• Massestrom/Massefluß im Hohlzylinder (Radius R, Länge l)

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille - Strömung durch enge Rohre

dRRvdAvdtdmdI

tmI

elldifferentiπρρ 2⋅⋅=⋅⋅==⇒

ΔΔ

=

221

4R

lppv ⋅⋅⋅

−=

ηmit dem Ausdruck für die Geschwindigkeit

ergibt sich:

4421 )( RRl

ppI ∝⋅−⋅⋅= ρπ8 l⋅⋅η

Gesetz von Hagen-Poiseuille

⇒ Massestrom proportional zu R4

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Viskosität

D G t H P i ill

• Beispiel: Pipeline (z.B. Erdgas)

D i k M fl i t

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille

◦ Der viskose Massefluss ist- proportional zur Druckdifferenz- umgekehrt proportional zur Länge des Rohresg p p g

⇒ lange Pipelines brauchen Pumpstationen, um den Druckabfall zu kompensieren !

)( 4218

)( Rl

ppI ⋅⋅⋅−⋅⋅

=η

ρπ

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Viskosität

Di St k ‘ h R ibDie Stokes‘sche Reibung

• mit der Definition des Massestroms und dem Kräftegleichgewicht zwischen Reibung und Außendruck folgt für eine mittlere Geschwindigkeit g ß f g f g

vlFR ⋅⋅⋅= ηπ8

⇒ Reibungskraft bei der Rohrströmung: proportional zur mittleren Geschwindigkeit

• einen ähnlichen Ausdruck erhält man für die Reibungskraft bei der Umströmung einer Kugel

Stokes‘sches Reibungsgesetz: Kraft proportional zu v

vRFR ⋅⋅⋅= ηπ6

• Die Reibung ist gleich, egal ob die Kugel in Ruhe ist und von der Flüssigkeit umströmt wird

oder

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oder sich mit der Geschwindigkeit v durch eine ruhende Flüssigkeit bewegt.

Viskosität

Di St k ‘ h R ib

• Frage: wie schnell sinkt eine Kugel aufgrund der Stokes‘schen Reibung?

Id d K lf ll i k i t (St k )

Die Stokes‘sche Reibung

→ Idee des Kugelfallviskosimeters (Stokes):◦ Kugel sinkt mit konstanter Geschwindigkeit◦ Gleichgewicht zwischen

Schwerkraft, Auftrieb und Reibungskraft:

gRv tFlüssigkeiKugel ⋅⋅−⋅

= 29

)(2ησσ

Sinkgeschwindigkeit einer Kugel

⋅9 η

Das Stokes‘sches Gesetz und der Reibungskoeffizient:

◦ Für kugelförmige Teilchen mit Radius R gilt das Stoke’sche Gesetz:

RF 6

und es ergibt sich mit FR = -f · v ⇔ f = - FR / v

vRFR ⋅⋅⋅= ηπ6

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für den Reibungskoeffizienten: Rf ⋅⋅= ηπ6

Viskosität

Di R ld Z hl

• Frage:Wo liegt bei viskosen Medien die Grenze zwischen laminarer und turbulenter

Die Reynolds-Zahl

gStrömung ?

⇒ Ein Maß für diese Grenze ist durch das Verhältnis von Dichte und

Geschwindigkeit zur Viskositätgegeben, die

ld hlReynolds-Zahl

ηρ vl ⋅⋅

=Reη

◦ l ist eine für den jeweiligen Strömungsvorgang charakteristische Länge:Beispiele: Strömung durch Rohr → l = Durchmesser des Rohres

Kugel in Strömung (Kugelfallviskosimeter) → l = Durchmesser der Kugel

◦ Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Kenngröße

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◦ Die Reynolds-Zahl stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar.

Viskosität

Di R ld Z hlReynolds-Zahl

Die Reynolds-Zahl

ηρ vl ⋅⋅

=Re• physikalische Bedeutung der Reynolds-Zahl:◦ Die Reynolds-Zahl ist proportional zum Quotienten aus

- der kinetischen Energie eines Volumenelementes mit Kantenlänge l (oder hier: kugelförmiges Flüssigkeitsteilchen mit Durchmesser l=2r):

d

2323

2

121

21

34

21

21 vlvlmvEkin πρπρ =⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅==

und- der Reibungsarbeit, die beim Verschieben des Teilchens aufgebracht werden muss

(Produkt aus der Reibungskraft nach Stokes‘schem Gesetz und der Strecke l):1 23)216( lvlvlER ηπηπ =⋅⋅⋅⋅=

1

ηρ

ηπ

πρ vllv

vl

EE

R

kin ⋅⋅⋅==⇒361

3121

2

23

R

kin

EE⋅=⇒ 36Re

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Viskosität

Di R ld Z hl d äh li h St öReynolds-Zahl

Die Reynolds-Zahl und ähnliche Strömungen

• Eine Strömung verläuft laminar bei „kleinen“ Red t b l t b i ß “ R

ηρ vl ⋅⋅

=Re

und turbulent bei „großen“ Re

• „klein“ und „groß“ sind relativ und stark abhängig vom jeweiligen Experiment

◦ bei Strömungen in Röhren laminarer Fluss bei Re < 2000-2500◦ bei fallenden Kugeln in Flüssigkeiten laminarer Fluss bei Re < 0,2 !

Üb i h l i d t b l t Fl b i k iti h R ld Z hl R

• „Ähnliche Strömungen“:

• Übergang zwischen laminarem und turbulentem Fluss bei kritischer Reynolds-Zahl Rekrit

Geometrisch ähnliche Körper erzeugen hydrodynamisch ähnliche Strömungen, wenn ihre Reynolds-Zahlen gleich sind

⇒ bei Modellierung von Strömungen zu beachten: ◦ Verhältnis von kinetischer Energie des strömenden Mediums und der

Reibungsarbeit muss wie beim Original seinÄ

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◦ zusätzlich muss geometrisches Ähnlichkeitsverhältnis vorhanden sein

Viskosität

Di R ld Z hl d äh li h St öReynolds-Zahl

Die Reynolds-Zahl und ähnliche Strömungen

ηρ vl ⋅⋅

=Re• Beispiel: Reynolds-Zahlen für Komponenten von RohrleitungssystemenReynolds-Zahlen für Komponenten von Rohrleitungssystemen

Über die Reynolds‐Zahlen der Komponenten von Rohrleitungssystemen kann deren St ö h ltStrömungsverhalten und damit z.B. Drücke und Durchflussraten an beliebigen Stellen gberechnet werden.

• Beispiel-Frage: Bei welcher kritischen Geschwindigkeit tritt in einer Kapillare mit d = 1mm turbulente Wasserströmung auf ?

2300Re;sPa0010 ==η 2300Re ;sPa001,0 krit2 =⋅=OHη

m/s 3,2m1010102300Re

33

3krit

krit =⋅

=⋅

= −−

dv η

19

s1010 33 ⋅⋅dρ

Viskosität

Di R ld Z hl d äh li h St öDie Reynolds-Zahl und ähnliche Strömungen

F K Bl k l f (A d 2 10 2

• Beispiel 2: Anwendung in der Medizin

Frage: Kann im Blutkreislauf (Aorta: dA= 2·10-2 m; Kapillargefäße dK = 8·10-6 m) Turbulenz auftreten ?

◦ Aorta: vA = 1 m/s◦ Kapillargefäße vK = 5·10-3 m/s ◦ ρBlut = 103 kg/m3; η = 4·10-3 Pa⋅s

5000Re , =⋅⋅

=⇒η

ρ AABkritA

vd→ Aorta: Turbulenzen möglich

010Re ⋅⋅⇒ ρ AAB vd → Kapillargefäße: keine01,0Re , ==⇒ ηρ AAB

kritK → Kapillargefäße: keine Turbulenz

◦ „Abhilfe“ der Natur:

- Dehnung: Mittel zur Unterdrückung der Turbulenz

„ f„Windkesseleffekt“ – Dehnung der Aorta

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u bulen- falls dies nicht mehr funktioniert:

→ Herzflimmern !

Zusammenfassung

• Kraft beim Verschieben von Platten erzeugt Scherung im Medium

Newton‘sches ReibungsgesetzdzdvAF ⋅⋅=η

• Geschwindigkeitsverteilung: v(r) parabolisches Geschwindigkeitsprofil in Röhren

2221

4)0( RR

lpprv ∝⋅−==

η

• Massestrom: im Hohlzylinder (Radius R, Länge l) strömt der Massenstrom

G H P i ill

4 l⋅⋅η

4421 )( RRppI −⋅⋅ ρπ Gesetz von Hagen-Poiseuille

• Reibungskraft bei der Rohrströmung: Kraft proportional zu v

4421

8)( RR

lppI ∝⋅

⋅⋅=

ηρ

• Stokes‘sches Reibungsgesetz: Reibungskraft auf eine Kugel in Strömung proportional v

vlFR ⋅⋅⋅= ηπ8

vRFR ⋅⋅⋅= ηπ6

• Die Reynolds-Zahl als dimensionslose Kenngröße für Strömungen – laminar vs. turbulentl

21η

ρ vl ⋅⋅=Re