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Physique 3Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°3
Dérivation et solutions des équations des vibrations
Je vous souhaite la bienvenue à cette troisième leçon du cours de vibrations linéaires et ondes mécaniques . Cette leçon intitulée «Dérivation et solution des équations des vibrations ».
Pour exprimer les lois de la mécanique, il y’a plusieurs formalismes tels que les formalismes de Newton, de d’Alembert, d’Hamilton et le formalisme de Lagrange. Ce dernier formalisme est un outil particulièrement adapté et très puissant pour mettre sous équations les systèmes vibratoires les plus complexes.
Ce formalisme est basé sur le principe d’Hamilton ou principe de moindre action.
Si on prend une particule allant entre les temps t1 et t2 d’un point A à un point B. Cette particule a une trajectoire. Nous avons besoin d’une équation différentielle qui nous donne la position de la particule en fonction du temps entre les points A et B. Hamilton a défini un scalaire S appelé action qui est l’intégrale entre les instants initiaux et finaux de déplacement de la particule, cette intégrale est prise sur une quantité L qu’on appelle le Lagrangien et qui n’est autre que la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle pour une masse et un ressort par exemple : 2
1
t
t
22 dttx,txLSdonckx2
1Vetxm
2
1T
où (L=T-V) dépend de la trajectoire x(t) et de la vitesse . Le principe de moindre action dit que la différentielle de l’action S c’est-à-dire S est égale à zéro. Dans ce cours, nous allons d’une manière très simple dériver les équations de Lagrange à partir du principe de moindre action. De manière à ce que vous ne sentiez pas que ces équations de Lagrange sont parachutées.
Il existe des démonstrations laborieuses et rigoureuses de ces équations de Lagrange, mais ce n’est pas le but de ce cous.
Une fois ces équations de Lagrange démontrées, nous les avons d’abords appliqués, pour retrouver la deuxième loi de Newton, nous les avons ensuite appliquées à des systèmes mécaniques simples et libres a un degrés de liberté, libres, amortis et forcé, puis à un système à deux degrés de liberté, juste pour trouver les équations différentielles du mouvement.
Ces exemples montrent que toutes les équations différentielles des vibrations linéaires sont de la forme :
tx
Fkxxxm
qui sont des équation linéaires du deuxième degré à coefficients constants où m est une masse équivalente du système, est un coefficient d’amortissement équivalent et k est une constante de rappel équivalente. F dans le deuxième membre est une force extérieure appliquée au système.
Vous avez appris en première année comment résoudre ce genre d’équation différentielle. Nous allons reprendre cela pour trouver les solutions par ce qu’on appelle la formation caractéristique. Ces solutions nous serviront, devront être trouvées dans ce cours pour tous les cas qui peuvent se poser c’est-à-dire :
- Les systèmes libres non amortis- Les systèmes libres amortis- Les systèmes forcés non amortis et amortis
avec des forces extérieurs qui peuvent être sinusoïdales, périodiques non sinusoïdales, des forces quelconques qui en pratique sont des impulsions ou des chocs ayant une forme quelconque.
Ce genre d’analyse est important pour résoudre des problèmes pratiques tels que la protection contre les vibrations dans les appareils et machines, la résistance des bâtis aux tremblements de terre et bien d’autres applications que nous verrons dans les prochains cours.
Deuxième loi de newton
Pour les forces dérivant d’un potentiel :
z
VF;
y
VF;
x
VF
VdgraF0FRot
zyx
Exemple : Poids d’un corps :
Force de rappel d’un ressort :
zemgFetmgzV
xkFetkx2
1V 2
Temps final
Temps initial
2
2
dt
xdm
dx
dVmF
Le principe de moindre action
tx,tx
0S,dttx,txLS2
1
t
t
VTL,tx,txL
Temps final
Temps initial
2
1
t
t
0Ldt0S
2
1
2
1
t
t
t
t
0dtxx
Lx
x
L0Ldt
Equation de Lagrange (1)
2
1
t
t
0dtxdt
d
x
Lx
x
Lx
dt
dx
2
1
t
t
0dtxx
L
dt
d
x
Lx
x
L
dt
dx
dt
d
x
L
0x
L
dt
d
x
L0xdt
x
L
dt
d
x
L2
1
t
t
VTLavec0x
L
x
L
dt
d
Equations de Lagrange (2)
xVxm2
1L 2 Mettre :
Dans :
On obtient :
0x
L
dt
d
x
L
0dt
xdm
x
V2
2
Deuxième loi de Newton à partir de l’équation de Lagrange
xdt
dxx
ta
a
x
t
aat
xa
ta
x
adt
xd
adt
dxx
22
Démonstration de xdt
dx
b
a
b
a
b
a
vduvuudv
dtx
L
dt
dduxvdtx
dt
ddv,
x
Lu
2
1
2
1
1
2
t
t
t
t
t
t
xdtx
L
dt
dx
x
Ldtx
dt
d
x
L
2
1
2
1
t
t
t
t
xdtx
L
dt
ddtx
dt
d
x
Loù'd
Démonstration de :
2
1
2
1
t
t
t
t
xdtx
L
dt
ddtx
dt
d
x
L
N21N21 q,....q,q,q,......,q,qLL En général :
Dans le cas d’un système forcé et amorti
où
FM(t)= Forces motrices, FR(t)=forces résistantes
En général,
N,...,2,1ipour0q
L
q
L
dt
d
ii
iii
Fq
L
q
L
dt
d
tFtFtF iRiMi
Ecriture pour N degrés de liberté
2ii
i
iiiR q
2
1Doù
q
DqtF
Liaisons, degrés de liberté et coordonnées généralisées
• On appelle liaisons, les contraintes imposées au mouvement d’un système• Le nombre de degrés de liberté est le nombre total de coordonnées
diminué du nombre de liaisons.• Les coordonnées généralisées sont les coordonnées nécessaires pour
décrire le système.
Exemple : pour un pendule simple en mouvement dans un plan :- z = constante, x²+y²=ℓ² donc deux contraintes.
- nombre de degrés total (x, y, z)=3, nombre de degrés de liberté =3-2=1
- Coordonnée généralisée
Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté
Donner dans chacun des cas suivants, les liaisons, le nombre de degrés de liberté et les coordonnées que et les coordonnées que l’on peut utiliser pour définir le système.
Deux particules séparées par une distance d constante Particule se déplaçant sur un
cercle
Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté (2)
Liaisons Degrés de liberté Coordonnées généralisées
(a)(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)² = d²
N=6-1=5 xB, xA, yB, yA, zB, zA
(b)z=cste(x-a)²+(y-b)²=R² N=3-2=1
x=a + R cos y=b + R sin
Exemple 2 : Équation de Lagrange de Systèmes Simples à un Degré de Liberté
Énoncé : On considère les quatre systèmes à un degré de liberté représentés sur les figures ci après. On se propose d’étudier les mouvements de faible amplitude. Déterminer pour chaque système : l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, le Lagrangien, l’équation différentielle du mouvement, la période T des petits oscillations.
Système n°1 Système n°2 Système n°3 Système n°4
Exemple 2 : Solution (1)
Système n°1 :
•
•
•
•
•
22 xk2
1V,xm
2
1T
22 kx2
1xm
2
1L
0kxxm0x
L
x
L
dt
d
0xx 2
k
m2T
T
2
m
k2
2
Système n°1
Exemple 2 : Solution (2)
Système n° 2 :
•
•
•
•
•
cos1mgV,m2
1xm
2
1T 222
cosmgm2
1L 22
0sing
0sinmgm 2
0g
g2
2T
Système n° 2
Exemple 2 : Solution (3)
Système n° 3 :
•
•
•
•
2t
2 K2
1V,J
2
1T
2t
2 K2
1J
2
1L
0KJ
k
J2
2T
Système n° 3
Exemple 2 : Solution (4)
Système n°4 :
•
•
•
20
2220
2 J2
1mr
2
1J
2
1mx
2
1T
2220
2 kr2
1Jmr
2
1L
0Jmr
kr,0krJmr
02
22
02
k
Jmr2
2T 0
2
222 kr2
1kx
2
1V
Système n° 4
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre
Définir pour chacun des systèmes des quatre figures :
1- Les énergies cinétiques, potentielle et le Lagrangien
2- L’équation du mouvement linéarisée au voisinage de la position d’équilibre stable (c’est-à-dire l’équation des petites oscillations).
Figure 4 : Système de bras rigides tournent autour du point fixe O. A l’équilibre =0
Figure 3 : Fléau portant les masses M et m oscillant autour du point fixe O A l’équilibre, =0
Figure 2 :cylindre M oscillant autour de O fixe, attaché à un ressort k. le fil s’enroule sans glisser
Figure 1 : bras de longueur ℓ d’un cylindre qui roule sans glisser
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
•
•
Energie potentielle : Epm=mgl (1-cos)
Lagrangien :
222222CM MR
4
3MR
2
1MR
2
1
2
1E
22222CM
22Cm RcosR2m
2
1EcosyetRsinxavecyx
2
mE
22222cmCMc .cosmRmRmMR
2
3
2
1EEE
cos1mgl.cosmRmRmMR2
3
2
1EEL 22222
pC
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Equation du mouvement :
cos1, sin, on néglige les termes de puissance supérieure ou égale à 2.
0gRsinmsincosmR2mRmMR2
3
0LL
dt
d
22222
0formelade,0mgRmMR2
3 20
22
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Position d’équilibre (=0), m1m2 le ressort est soit comprimé, soit allongé.Energie cinétique :
Energie potentielle :
; x0 = allongement à l’équilibre
La condition d’équilibre (=0) impose que
222
21
2c RmRmMR
2
1
2
1E
cstesinaxk2
1gymgymE
EEEEE
2021p
pppmpmp élastiqueM21
sinakxsinka2
1kx
2
1RgmgmERy 0
222021p
cstecosakxRgmgm0E
021
0
p
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Le Lagrangien :
Pour sin et cos =1
Equation du mouvement :
avec
22222
21
2
22
équilibre'dcondition0
02122
22
12
ka2
1RmRmMR
2
1
2
1t,,L
ka2
1akxgRmmRmRmMR
2
1
2
1L
00LL
t
d 20
221
220
RmmM21
ka
220
2122
22
12
pc
sinka2
1sinakx
gRmmRmRmMR2
1
2
1EEL
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite), exercice 4
-Energie potentielle :
222
21c
221
2Mcccc
mM2
1E
m2
1J
2
1E;mEMEE
rotrot
22221p
2221ppp
kk2
1E
xkk2
1EEE
)2k()1k(
- Le Lagrangien :
0
mM
kk0
LL
dt
d
kk2
1mM
2
1t,,L
222
122
21
22221
221
22
En posant 0et
m9M
kk;
4;
4
3 2022
2212
021
• Position d’équilibre stable (=0)• Energie cinétique :
• Energie potentielle :
• Condition d’équilibre
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à degré de liberté libres (Suite), exercice 4
233
222
211c
cccc
mmm2
1E
EEEE3m2m1m
0ctekx2
100Echoisiton
ctexsink2
11cosgmsingmgmEE
équilibre'làtallongemenxsinxk2
1E
singmEet1cosgmE;singmE
EEEEE
20p
203221133pp
02
30p
33p22p11p
ppppp
k
3m2m1m
k3m2m1m
22322p
301133
0
p
sink2
1cosgmEalors
0kxgmgm0E
• Lagrangien :
• Equation du mouvement :
• Cas des faibles oscillations sin et cos 1.
avec
Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libres (Suite), exercice 4
22322
2233
222
211 sink
2
1cos1gmmmm
2
1t,,L
0cossinksingmmmm 2322
233
222
211
0LL
dt
d
00gmkmmm 2022
23
233
222
211
233
222
211
22232
0 mmm
gmk
Pour les deux systèmes montrés dans les figues ci-dessus, écrire les équations différentielles du mouvement dans le cas de petites oscillations. La force appliquée est de la forme :
Exemple 4 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté amortis et forcés
tcosFtF 0
Exercice 1
de la forme :
tcosFLL
dt
d
kk2
1m
2
1L
kk2
1V
0
2222
211
22
2222
211
tcosm
F
m
kk
m
tcosFkkm
20
2
221
211
022
22211
22
tcosm
F
m 202
0
Exercice 2
pour les petits angles
L’équation de Lagrange :
avec
cos1mg
2Rk
2
1R2k
2
1U 2
22
22
2222
22222
mg2
RkkR42
1Rm
2
1MR
2
3
2
1L
Rm2
1MR
2
1I
2
1T
22
020
0
22
222
22
0
RmMR23
cosF2
tcosFmg2
RkkR42
RRmMR2
3
2R
2
1D
tcosFDLL
dt
d
2cos1
2
22
22
2022
2
RmMR23
mgc
RkkR4et
Rm2MR32
R
Exemple d’un système à deux degrés de liberté
223
2122
211
22
2211 xk
2
1xxk
2
1xk
2
1xm
2
1xm
2
1
VTL
•
•
kkkketmmm
0kx2kxxm
0kxkx2xm
0x
L
x
L
dt
d
32121
212
211
ii
•
• m et = masse et amortissements équivalents
• F(t) périodique ou quelconque
•Equation du deuxième degré à coefficients constants
• Solution par formation de l’équation caractéristique
Solution des équations différentielles des vibrations, généralités
tFqqqm 20
Solution des équations différentielles de vibration par formation de l’équation caractéristique
Les équations homogènes
• Équation homogène
• Solution de la forme
• L’équation caractéristique
• Les racines de l’équation caractéristique
0 =by + 'ay + "y
e =y x
0 = b + a + 2
4b-a-a-2
1 = , 4b-a+a-
2
1 = 2
22
1
Solution des Équations Différentielles de Vibration (Suite)
Solution Générale :
( )i 1 et 2 sont réels et différents
(ii) 1=2 réels
( )iii 1,2= i avec 0
21
1)( CtC ety t
tsinAetsinCtcosCe)t(y t
21
t
t
2
t
1
21 eCeCty
cosACetsinACavec 21
Exemple 5Trouver les solutions des systèmes •
(a) L’équation caractéristique : 2+ -2=0 qui a pour racines 1=1 et 2=-2
• La solution générale
• La dérivée s’écrit
• Les conditions initiales donnent
• La réponse
x2
2
x
1 eC2eCxy
x2
2
x
1 eC2eCx'y
1Cet2C0C2C
3CC
21
21
21
x2x ee2y
1 = (0)y , 3 = y(0) ; 0 =4y + y4- y" c)
1 = (0)y , 4 = y(0) ; 0 =10y + y2 y"- b)
0 = (0)y , 3 = y(0) ; 0 =2y - y + y" a)
Exemple 5 : (Suite1)
(b) • L’équation caractéristique : 2 - 2+10=0
• Les racines 1= -1+3i , 2=-1-3i • La solution générale • Sa dérivée • Les conditions initiales donnent • La réponse est :
10'y,40y;0y10'y2"y
x3sinBx3CosAey x
x3sinA3BxcosB3Ae'y x
1B1B3Aet4A
x3sinx3cos4ey x
Exemple 5 : (Suite2)(c)
• L’équation caractéristique : 2 - 4+4=(-2) 2
• La solution générale
• Sa dérivée
• Les conditions initiales donnent
• La réponse est :
10'y,30y;0y4'y4"y
x2
21 exCCxy
x2
21
x2
2 exCC2eC'y
5Cet3C1C2C0'y;3C0y 21121
x2ex53y
Les Équations Non Homogènes
La solution générale y(t)
On utilise la méthode des coefficients indéterminés pour trouver la solution particulière. Les choix pour yp sont résumés dans le tableau suivant, mais peuvent être l’objet d’une règle de modification.
tFby'ay"y
tytyty ph
Les Équations Non-Homogènes
Termes dans F(t) Choix pour yp
0
p
iq
iq
...,.........1,0nkxn 01
1n
1n
n
n KxK.........xKxK
pxke pxCe
qxcosk qxsinMqxcosK
qxsink qxsinMqxcosK
Règle de modification : Si les valeurs listées dans la dernière colonne sont des racines de l’équation caractéristique de l’équation homogène, la fonction de la seconde colonne du tableau doit être multipliée par xm où m est la multiplicité de la racine de cette équation. M est donc égal à 1 ou à 2 pour une équation du second degré.
Exemple 6 Résoudre les équations différentielles: a) y" + 4y'= 8 x²
b) y" - y' - 2y = 10 cosx c) y" - 2 y'+ y = ex + x
(a)
Par substitution :
2x8y4"y
2p01
2
2p K2"y,KxKxKy
1x2y
1K,0K,2K
0K4K2,0K4,8K4
2
p
012
0212
1x2x2sinBx2cosAxyxyxy 2
ph
i204x2sinBx2cosAy 212
b
Exemple 6 : (Suite 1)
(b) car 2--2=0 =-1 et =2
Par substitution dans l’équation différentielle :
En égalant les coefficients des deux cotés :
xcos10y2'y"y
xsinMxcosK"y;xcosMxsinK'y
xsinMxcosKxy
pp
p
xcos10xsinM3KxcosMK3
xsinxcos3eCeCyyy x2
2
x
1ph
x2
2
x
1h eCeCxy
1M,3K0M3K,0MK3
Exemple 6 : (Suite 2)
(c) L’équation caractéristique et la solution de l’équation homogène :
La fonction x dans le membre de droite indique une solution de la forme
1 est une racine double de l’équation caractéristique, la fonction ex doit avoir comme solution particulière :
La solution générale de l’équation est :
xey'y2"y x
01 KxK
2K,1K,21CxeKK2xKeC2y'y2"y 01
x
011
x
ppp
x21h
2 eCxCy,012
2xex21eCxCyyy x2x
21ph
x2exC
Equations des vibrations
1. Systèmes libres non amortis
2. Systèmes libres amortis
3. Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale
4. Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale
5. Système amorti soumis à une force périodique quelconque
6. Système amorti soumis à une force quelconque non périodique
kxxm
0kxxxm
tcosFkxxm 0
tcosFkxxxm 0
tFkxxxm p
tFkxxxm NP
Equations des vibrations (2)
Système libre non amortis • Equation
• Equation caractéristique et racines :
• Solution
C1 et C2 dépendent des conditions initiales du système.
0kxxm
02 i
m
ki;0km
1
221
00201
C
CArtgetCCCavec
tcosCtx;tsinCtcosCtx
Equations des vibrations (3)
Systèmes libres amortis • Equation
• Equation caractéristique et racines :
• Solution
C1 et C2 sont des constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales du système.
Pour qu’il y ait des vibrations, le radical sous la racine doit être négatif
0xm
kx
mx0kxxxm
m
k
m2m2m2
mk4;0km
22
2,12
t
m
k
m2m2
2
tm
k
m2m2
1t
2t
1
22
21 eCeCeCeCtx
m
k
m2
2
Equations des vibrations (4)
Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale• Equation
• Solution de l’équation homogène et forme de la solution particulière. On pose
• solution Générale
C1 et C2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales du système.
tcosFkxxm 0
tcosXtx;tCtcosCtxm
k
p0201h
20
tcosmk
FtsinCtcosCtx
20
0201
Equations des vibrations (5)
Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale• Equation
• Solution particulière • Calcul intermédiaires :
– On substitut – relations trigonométriques
–On remplace ou on égale les coefficients de cos t et sint :
- Solution
tcosFkxxxm 0
tcosXtxp
tcosFtsintcosmkX 02
sintcoscostsintsin
sintsincostcostcos
0cossinmkX;FsincosmkX 20
2
2
21
2222
0ph mk
Arctg;mk
FXavectxtxtx
Equations des vibrations (6)
Systèmes amortis soumis à une force périodique quelconque• Equation
• Développement en série de Fourier :
• Ce qui revient à résoudre les équations suivantes et utiliser le principe de superposition :
• Solution :
tFkxxxm p
1j
j1j
j0
p tjsinbtjcosa2
atF
tjsinakxxxm;tjcosakxxxm;2
akxxxm jj
0
220
20
0
1 22221 2222
0
1
2;
2;;
sin21
cos212
rj
jrArctg
mm
kroù
tjjrrj
kbtj
jrrj
ka
k
ax
j
jj
j
jj
jtp
Equations des vibrations (7)Systèmes amortis soumis à une force quelconque non périodique
Equation
• La réponse à une impulsion dans le sens de la fonction de Dirac est :
• La réponse à la force F(t) est :
• Ce cas est beaucoup plus réel que les forces périodiques et nous permet d’anticiper sur les conséquences d’évènements tels que les tremblements de terre ou les explosions.
tFkxxxm Np
m
k;
m2m
k;
m2oùtsin
m
etg 2
0
2
d0
dd
t0
t
0 dt
d
t
0p dtsineFm
1dtgFtx 0
Conclusion (1)
Dans cette troisième leçon intitulé «Dérivation et solution des équations des vibrations», nous avons démontré l’équation de Lagrange à partir du principe de moindre action. Nous avons utilisé cette équation pour trouver les équations différentielles du mouvement de plusieurs systèmes vibratoires partant des plus simples à des systèmes à un degré de liberté plus complexes, nous avons utilisé l’équation de Lagrange pour trouver aussi les équations du mouvement de systèmes amortis et forcés et de systèmes à deux degrés de liberté. Nous avons montré que les équations des vibrations linéaires étaient des équations différentielles du deuxièmes degré à coefficients constants. Des solutions ont été proposées utilisant la méthode de la formation de l’équation caractéristique.
Conclusion (2)
Différentes solutions ont été proposées suivant que le système est : - Libre non amorti- Libre amorti- Non amorti soumis à une force sinusoïdale- Amorti soumis à une force périodique quelconque - Amorti soumis à une force quelconque non périodique tel qu’une impulsion ou un
choc.
C’est la solution de ces équations dans les différents cas qui nous permettra de
-Contrôler les fréquences naturelles d’un système en évitant les résonnances sous des excitations extérieures,-En prévenir les réponses excessives d’un système même à la résonance en introduisant un amortissement ou un mécanisme de dissipation d’énergie.-Réduire la transmission des forces d’excitation d’une partie de la machine à l’autre en utilisant des isolateurs de vibration,-Réduire la réponse du système par l’addition d’une masse auxiliaire pour neutraliser ou absorber les vibrations.