Piano Lauree Scientifiche: Aspetti matematici delGPS

Rudiger Achilles

Universita di Bologna

Bologna, 3 Febbraio 2014

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George Polya (1887-1985)

Il professore di matematica tradizionale nelle storiellepopolari e distratto. Appare di solito in pubblico conun ombrello scassato per mano. Preferisce guardarein faccia la lavagna e dare la schiena alla classe.

Scrive a, dice b, intende c ; ma dovrebbe essere d .

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RICEVITORE GPS

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GPS III SATELLITE

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SEGMENTO DI CONTROLLOMaster control station in Colorado

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GRANDEZZE UTILI

velocita della luce c = 299 792 458 m/s

raggio terrestre equatoriale 6 378, 137 0 km (ellissoide WGS-84)raggio terrestre polare 6 356, 752 3 km (ellissoide WGS-84)raggio quadratico medio 6 372, 795 477 598 kmraggio terrestre 6 371, 009 km (Associazione Internazionale di Geodesia eGeofisica, IUGG)

relativita speciale −7 µs/giornorelativita generale +45 µs/giornodifferenza +38 µs/giorno

velocita satellite 14 000 km/h ≈ 3, 9 km/sC/A (coarse acquisition code) 1, 023 MHz → 1023 bit/ms

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DUE DIMENSIONI

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SEGNALE GPS

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DUE DIMENSIONI

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Problemi da risolvere per il buon funzionamento delGPS

1 Quando il segnale radio attraversa la ionosfera (tra 85 e i 600 km dialtitudine) la velocita della luce non risulta costante!

2 Ogni satellite trasmette un segnale (pseudo-casuale) periodico. Ilperiodo e breve rispetto alle distanze da percorrere. C’e l’incertezzadi un multiplo del periodo.

3 Ricevitori GPS ad alte velocita:necessita di ridurre il tempo di calcolo al minimo assoluto (es. gliaerei).

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4 La Terra non e perfettamente sferica!

5 Effetti della Relativita:

SPECIALE: −7 µs/giornoIn che modo?

GENERALE: +45 µs/giorno(prevede un incremento della velocita degli orologi al bordo delsatellite).

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L’INTERSEZIONE TRA DUE SFERE E’ UN CERCHIO

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TRE DIMENSIONI, tre sfere

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TRE DIMENSIONI, quattro sfere

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QUATTRO SATELLITI

Satellite 1: (15 600, 7 540, 20 140)Satellite 2: (18 760, 2 750, 18 610)Satellite 3: (17 610, 14 630, 13 480)Satellite 4: (19 170, 610, 18 390)

Intervalli di tempo misurati:0, 070 74; 0, 072 20; 0, 076 90 e 0, 072 42 secondi

La risposta corretta e: (x , y , z) = (−41, 772 71;−16, 789 19; 6 370, 059 6)e d = −0, 003 201 566 secondi.

La seconda soluzione era: (x , y , z) = (−39, 747 8;−134, 274 1;−9 413, 6)e d = 0, 185 2 secondi

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PARALLELI E MERIDIANI

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LONGITUDINE E LATITUDINE

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LOSSODROMIA – ORTODROMIA

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La carta di Mercatore e la carta di Gall-Peters

conforme (equiangola)

superfici in scala

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