Projekt pn. „Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych”realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Wstęp do matematyki

Piotr Jędrzejewicz

UMK Toruń 2014

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Spis treści

Wstęp 4Cel przedmiotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Tematy wykładów i ćwiczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Wstępne uwagi o matematyce 61.1 Hasło „matematyka” w słownikach i encyklopediach . . . . . . . . . . 61.2 Co to jest matematyka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Spójniki logiczne i kwantyfikatory 82.1 Przykłady zdań w matematyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Spójniki logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Wielokrotne użycie spójników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Rachunek zdań 143.1 Wyrażenia rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Metoda zero-jedynkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Wyrażenia logicznie równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Reguły dowodzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Rachunek kwantyfikatorów 184.1 Formy zdaniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Formy zdaniowe wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Przykłady użycia kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 Prawa rachunku kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Twierdzenia i dowody 235.1 Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Dowody dedukcyjne i redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Metoda „nie wprost” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Metoda „przez sprzeczność” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 Przegląd metod dowodzenia twierdzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Indukcja matematyczna 286.1 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Ogólny schemat metody indukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3 Przykłady dowodów indukcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 Inne warianty metody indukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 Zbiory 327.1 Sposoby określania zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.2 Inkluzja zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.3 Działania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

SPIS TREŚCI 3

7.4 Własności działań na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.5 Algebra podzbiorów danego zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.6 Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.7 Działania uogólnione na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.8 Zbiór słów nad alfabetem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 Funkcje 418.1 Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Zbiór wartości funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.3 Funkcja różnowartościowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.4 Funkcja „na” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.5 Funkcja wzajemnie jednoznaczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.6 Składanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.7 Funkcja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.8 Obraz i przeciwobraz zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.9 Cztery abstrakcyjne zadania o funkcjach . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Relacje 499.1 Pojęcie relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 Funkcja jako relacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3 Własności relacji binarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.4 Grafy i macierze relacji binarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.5 Relacje porządkujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.6 Elementy ekstremalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.7 Porządek liniowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.8 Relacje równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.9 Klasy abstrakcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10 Teoria mocy 5810.1 Zbiory przeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2 Zbiory nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.3 Równoliczność zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4 Liczby kardynalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6610.5 Aksjomaty teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11 Konstrukcje zbiorów liczbowych 7011.1 Zbiór liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7011.2 Zbiór liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.3 Zbiór liczb wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.4 Zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.5 Zbiór liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Literatura 73

Wstęp

Materiały obejmują skrypt wykładu „Wstęp do matematyki” prowadzonego przezautora na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernikaw Toruniu. Wykład jest prowadzony w wymiarze 30 godzin na I roku studiów I stop-nia matematyki i ekonomii, nauczania matematyki oraz nauczania matematyki i in-formatyki w zakresie zajęć komputerowych. Do skryptu dołączone są listy zadańprzeznaczone na ćwiczenia do tego wykładu, również w wymiarze 30 godzin.

Cel przedmiotu

Przedmiot „Wstęp do matematyki” odgrywa ważną rolę w przygotowaniu do stu-diowania pozostałych przedmiotów matematycznych. Można wyróżnić trzy aspektytej roli. Po pierwsze, wprowadza się podstawowe pojęcia dotyczące zbiorów, funk-cji i relacji oraz zagadnienia z teorii mocy. Po drugie, wykształca się u studentówpodstawowe umiejętności operowania obiektami matematycznymi, posługiwania sięjęzykiem matematycznym i przeprowadzania rozumowań matematycznych. Po trze-cie, przedstawia się, w jaki sposób jest zbudowana współczesna matematyka (kon-strukcje zbiorów liczbowych, aksjomatyka Peana, informacja o aksjomatyce teoriizbiorów, a także definicja pary w sensie Kuratowskiego oraz definicja funkcji). Tetrzy aspekty wzajemnie się przenikają i stanowią o specyfice tego przedmiotu.

Pierwszy etap realizacji przedmiotu stanowią elementy logiki – rachunek zdań, ra-chunek kwantyfikatorów oraz metody dowodzenia twierdzeń. Szczególną wagę przy-wiązuje się do praktycznego posługiwania się symboliką logiczną, poprawnego zapi-sywania zdań matematycznych oraz interpretacji takich zapisów. Rozbudowane zo-stały zagadnienia dotyczące metod dowodzenia twierdzeń. Podstawowym celem jesttu nauczenie studentów (w miarę możliwości) poprawnego przeprowadzania prostychrozumowań matematycznych oraz formułowania dowodów.

Kolejne rozdziały to zbiory i odwzorowania, gdzie szczególnie ważne są ogólne po-jęcia dotyczące funkcji, które będą przydatne na różnych przedmiotach w dalszymtoku studiów. Opieramy się tu na intuicyjnym pojęciu zbioru i szkolnej definicjifunkcji. Jest to zabieg celowy, sprzyjający łatwiejszemu opanowaniu praktycznemuzagadnień dotyczących zbiorów i funkcji. Następny rozdział stanowią relacje, w tymdefinicja funkcji jako relacji, relacje porządkujące i relacje równoważności. Tu szcze-gólnie trudnym pojęciem jest zbiór ilorazowy, więc ważne jest, aby student poznałróżne przykłady (zbiór reszt modulo m, wektory swobodne). Kolejny rozdział sta-nowi teoria mocy z informacjami o aksjomatach teorii mnogości. Ostatni rozdział tokonstrukcje zbiorów liczbowych z aksjomatyką zbioru liczb naturalnych.

4

WSTĘP 5

Tematy wykładów i ćwiczeń

Tabela przedstawia tematykę kolejnych wykładów i ćwiczeń.

tydzień wykład ćwiczenia1. Wstępne uwagi o matematyce Przykłady zdań w matematyce

Spójniki logiczne i kwantyfikatory2. Rachunek zdań Rachunek zdań3. Rachunek kwantyfikatorów Rachunek zdań4. Twierdzenia i dowody Rachunek kwantyfikatorów5. Twierdzenia i dowody Twierdzenia i dowody6. Indukcja matematyczna Twierdzenia i dowody7. Zbiory Indukcja matematyczna8. Zbiory Kolokwium

Zbiory9. Funkcje Zbiory10. Funkcje Funkcje11. Relacje Funkcje12. Relacje Relacje13. Teoria mocy Relacje14. Teoria mocy Teoria mocy15. Konstrukcje zbiorów liczbowych Teoria mocy

Kolokwium

Z uwagi na to, że w danym tygodniu zajęć ćwiczenia mogą odbywać się przedwykładem, lista zadań do wykładu nr n jest przewidziana do realizacji w tygodniunr n+ 1.

1 Wstępne uwagi o matematyce

Nazwa przedmiotu zobowiązuje do tego, aby na początku udzielić kilku wskazó-wek pomagających szukać odpowiedzi na pytanie czym jest matematyka.

1.1 Hasło „matematyka” w słownikach i encyklopediach

W wydaniu internetowym Słownika Języka Polskiego PWN ([18]) rzeczownikmatematyka ma trzy znaczenia. Pierwsze z nich to:

nauka posługująca się metodą dedukcji, zajmująca się badaniem zbiorówliczb, punktów i innych elementów abstrakcyjnych.

Pod pojęciem „innych elementów abstrakcyjnych” kryje się ogromna różnorodnośćobiektów matematycznych, są to m.in. funkcje, relacje, zbiory z różnymi struktura-mi. Jakie są pozostałe dwa znaczenia słowa matematyka? Proszę to sprawdzić podadresem http://sjp.pwn.pl/szukaj/matematyka.

Podobne określenie znajdziemy w internetowym wydaniu Oksfordzkiego Słow-nika Języka Angielskiego ([17]) na stronie http://www.oxforddictionaries.com/definition/english/mathematics:

The abstract science of number, quantity, and space, either as abstractconcepts (pure mathematics), or as applied to other disciplines such asphysics and engineering (applied mathematics).

W internetowym wydaniu Encyklopedii PWN ([15]) matematyka jest określonajako nauka dedukcyjna, gałąź wiedzy, której cel można określić jako badanie konse-kwencji przyjętych założeń. Warto zapoznać się z całym artykułem zamieszczonymna stronie http://encyklopedia.pwn.pl/haslo/3938552/matematyka.html. Ma-tematyka jest tam przedstawiona w zwięzły sposób w ujęciu historycznym. Odno-tujmy ostatnie zdanie tego artykułu:

Matematykę współczesną charakteryzuje z jednej strony duża abstrakcyj-ność i sformalizowanie, a z drugiej – szybko rosnący zasięg zastosowań,obejmujących nie tylko nauki techniczne i przyrodnicze, ale też ekonomięi niektóre działy nauk humanistycznych.

Z artykułu poświęconego matematyce w Wikipedii ([20]) na stronie http://pl.wikipedia.org/wiki/Matematyka dowiemy się m.in., że

matematyka teoretyczna, nazywana czasami matematyką czystą, jest czę-sto rozwijana bez wyraźnego związku z konkretnymi zastosowaniami. (. . . )Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki wyłącznie o liczbach i po-jęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz zpostępami algebry i teorii mnogości.

6

1 WSTĘPNE UWAGI O MATEMATYCE 7

Znajdziemy tam również cytaty definicji i wizji matematyki różnych autorów, prze-gląd działów matematyki według klasyfikacji Amerykańskiego Towarzystwa Mate-matycznego MSC 2010 ([16]) oraz dokładniejsze wyjaśnienie struktury formalnejteorii matematycznych. Przy okazji warto również przejrzeć artykuł o matematycew angielskiej wersji Wikipedii ([19]) na stronie http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics.

1.2 Co to jest matematyka?

Szukając odpowiedzi na postawione pytanie warto sięgnąć po książkę pod takimwłaśnie tytułem autorstwa Richarda Couranta i Herberta Robbinsa ([13]):

Matematyka, jako wyraz myśli ludzkiej, odzwierciedla czynną wolę,kontemplacyjny rozum i dążenie do doskonałości estetycznej. Jej podsta-wowymi elementami są: logika i intuicja, analiza i konstrukcja, uogól-nianie i indywidualizowanie. Różne tradycje podkreślały różne spośródtych aspektów, jednak tylko gra przeciwstawnych sił, walka o ich syntezęstanowi o żywotności, użyteczności i ogromnym znaczeniu matematyki.

W Przedmowie do drugiego wydania wspomnianej książki autor uzupełnień IanStewart deklaruje([13]):

Jednym z celów (tej książki) jest obalenie przesądu, „matematyka jesttylko systemem wniosków wyprowadzonym z definicji i postulatów, któremuszą być niesprzeczne, ale zależą tylko od swobodnego uznania mate-matyków.” (. . . ) Matematyka jest zawieszona pomiędzy rzeczywistościąa nierzeczywistością; jej sens nie tkwi ani w formalnej abstrakcji, aniw świecie fizycznym. (. . . ) Matematyka wiąże abstrakcyjny świat pojęćumysłu ze światem fizycznym, nie będąc częścią żadnego z nich.

Ciekawą dyskusję różnych aspektów specyfiki doświadczenia matematycznegoodnajdziemy w książce Philipa J. Davisa i Reubena Hersha pt. „Świat matematyki”.W przedmowie autor przywołuje podstawowe pytania:

Co to jest liczba? Co to jest zbiór? Co to jest dowód? Co wiemy omatematyce? I jak to wiemy? Co to jest „ścisłość matematyczna”? Coto jest „intuicja matematyczna”?

Kiedy sformułowałem te pytania, zdałem sobie sprawę, że nie znamna nie odpowiedzi. (. . . ) Co gorsza, nie miałem podstawy czy kryterium,które pozwoliłoby mi mierzyć różne opinie, bronić lub atakować jakiś po-gląd. Nawiązałem rozmowy z innymi matematykami na temat dowodu,wiedzy, matematycznej rzeczywistości i okazało się, że mój stan mglistejniepewności był typowy.

2 Spójniki logiczne i kwantyfikatory

2.1 Przykłady zdań w matematyce

Oznaczenia zbiorów:

N = 0, 1, 2, 3, . . . – zbiór liczb naturalnych z zerem,

N1 = 1, 2, 3, . . . – zbiór liczb naturalnych bez zera,

Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . – zbiór liczb całkowitych,

Q – zbiór liczb wymiernych,

R – zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 1. Zdania prawdziwe:

(a) „13 + 1

6 = 12”,

(b) „3|6”,

(c) „√

2 6∈ Q”,

(d) „Jeśli x = 1, to x2 = 1”, gdzie x oznacza daną liczbę rzeczywistą,

(e) „Jeśli a2 +b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny”, gdzie a, b, c oznaczają długościboków danego trójkąta.

Przykład 2. Zdania fałszywe:

(a) „2 + 2 = 5”,

(b) „√

2 ∈ Q”,

(c) „Q ⊂ Z”.

Pytanie 1. Czy prawdziwe jest zdanie:

„Jeśli trójkąt jest prostokątny, to a2 + b2 = c2”

(a, b, c – długości boków danego trójkąta)?

Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: „prawda” lub „fałsz”,nazywamy zdaniem logicznym. Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r, . . . .

Wartość logiczną „fałsz” oznaczamy symbolem 0, a wartość logiczną „prawda”symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to piszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe,to piszemy v(p) = 1.

Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicznych za pomocą spój-ników logicznych: jednoargumentowego ∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, ∨.

8

2 SPÓJNIKI LOGICZNE I KWANTYFIKATORY 9

2.2 Spójniki logiczne

Negacja zdania p:

∼ p – „nie p”, „nieprawda, że p”.

Przykład 3. „1 nie jest liczbą pierwszą”,dokładniej: „nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą”.Zdanie ∼ p jest negacją zdania p: „1 jest liczbą pierwszą”.

Zdanie ∼ p jest:

– prawdziwe, gdy p jest fałszywe,

– fałszywe, gdy p jest prawdziwe.

v(p) v(∼ p)0 11 0

Koniunkcja zdań p i q:

p ∧ q – „p i q”.

Przykład 4. „2 jest liczbą pierwszą i parzystą”, dokładniej: „2 jest liczbą pierwsząi 2 jest liczbą parzystą”. Jest to koniunkcja p ∧ q, gdzie p oznacza zdanie „2 jestliczbą pierwszą”, a q oznacza zdanie „2 jest liczbą parzystą”.

Zdanie p ∧ q jest:

– prawdziwe, gdy oba zdania p i q są prawdziwe,

– fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe.

v(p) v(q) v(p ∧ q)0 0 00 1 01 0 01 1 1

Alternatywa zdań p i q:

p ∨ q – „p lub q”.

Przykład 5. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zdanie: „x < 1 lubx > −1”. Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie „x < 1”, a q oznaczazdanie „x > −1”. W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alternatywa teżjest zdaniem prawdziwym.

Zdanie p ∨ q jest:

2 SPÓJNIKI LOGICZNE I KWANTYFIKATORY 10

– prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe,

– fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe.

v(p) v(q) v(p ∨ q)0 0 00 1 11 0 11 1 1

Alternatywa rozłączna zdań p i q:

p∨ q – „p albo q”.

Przykład 6. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mówimy: „Dane pro-ste się przecinają albo są równoległe”. Jest to alternatywa rozłączna p∨ q, gdzie poznacza zdanie „Dane proste się przecinają”, a q oznacza zdanie „Dane proste sąrównoległe”.

Zdanie p∨ q jest:

– prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe,

– fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześniefałszywe.

v(p) v(q) v(p∨ q)0 0 00 1 11 0 11 1 0

Alternatywy rozłącznej (w zdaniu prawdziwym) używamy, gdy chcemy podkre-ślić, że oba zdania nie mogą jednocześnie być prawdziwe.

Uwaga 1. Jeśli zdanie p∨ q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q też jest prawdziwe, np.:„Dane proste się przecinają lub są równoległe”. Jeśli zdanie p∨ q jest prawdziwe, tozdanie p∨ q nie musi być prawdziwe, np.: „0 < 1 albo 0 > −1”.

Równoważność zdań p i q:

p⇔ q – „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, „p dokładnie wtedy, gdy q”.

Przykład 7. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: „Czworokąt ABCDjest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC” jestrównoważnością zdań p: „Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu” i q: „AB +CD = AD +BC”.

Zdanie p⇔ q jest:

2 SPÓJNIKI LOGICZNE I KWANTYFIKATORY 11

– prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześniefałszywe,

– fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

v(p) v(q) v(p⇔ q)0 0 10 1 01 0 01 1 1

Implikacja o poprzedniku p i następniku q:

p⇒ q – „jeśli p, to q”, „p implikuje q”.

Jak określamy wartość logiczną implikacji?

Przykład 8. Zdanie „x = 1 ⇒ x2 = 1” jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywi-stej x. Zwróćmy uwagę na wartość logiczną poprzednika oraz następnika tej impli-kacji dla poszczególnych wartości x.

„x = 1” „x2 = 1”dla x = 1 prawda prawdadla x = 0 fałsz fałsz

dla x = −1 fałsz prawda

Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q teżmusi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe, to q może być jakiekolwiek).

Zdanie p⇒ q jest:

– prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania są fałszywe oraz gdyzdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe,

– fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe.

v(p) v(q) v(p⇒ q)0 0 10 1 11 0 01 1 1

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych używamy nawia-sów, np.:

∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r), ∼ (∼ (p ∧ q) ∧ (p ∨ q))⇒ (p⇒ q).

2 SPÓJNIKI LOGICZNE I KWANTYFIKATORY 12

2.3 Kwantyfikatory

Zdanie

„Dla każdego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x)”

zapisujemy symbolicznie∀x∈X ϕ(x).

Zdanie

„Istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x)”,

zapisujemy∃x∈X ϕ(x).

Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdzi-wym dla co najmniej jednego x ∈ X.

Symbol ∀ nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, a symbol ∃ nazywamy kwanty-fikatorem szczegółowym.

∀ – for All ∃ – Exists

W matematyce elementarnej popularne są polskie symbole kwantyfikatorów:∧– kwantyfikator ogólny (zamiast ∀),∨– kwantyfikator szczegółowy (zamiast ∃).

Przykład 9. Przykłady zdań z kwantyfikatorami:

(a) ∀x∈R x2 < 1 – zdanie fałszywe,

(b) ∃x∈R x2 < 1 – zdanie prawdziwe,

(c) ∀x∈R x2 > 0 – zdanie prawdziwe,

(d) ∃x∈R x2 > 0 – zdanie prawdziwe,

(e) ∀n∈N1 n | 6 – zdanie fałszywe,

(f) ∃n∈N1 n | 6 – zdanie prawdziwe,

(g) ∀n∈Z n = n+ 1 – zdanie fałszywe,

(h) ∃n∈Z n = n+ 1 – zdanie fałszywe.

2 SPÓJNIKI LOGICZNE I KWANTYFIKATORY 13

2.4 Wielokrotne użycie spójników

Zdania (p∨ q)∨ r i p∨ (q∨ r) mają zawsze tę samą wartość logiczną (dlaczego?),więc nawiasy możemy opuścić: p ∨ q ∨ r. Podobnie otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.

Zdanie p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn jest:

– prawdziwe, gdy każde ze zdań p1, p2, . . . , pn jest prawdziwe,

– fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p1, p2, . . . , pn jest fałszywe.

Przykład 10. Niech x1, x2, . . . , xn będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

x21 + x2

2 + . . .+ x2n = 0⇔ (x1 = 0 ∧ x2 = 0 ∧ . . . ∧ xn = 0).

Zdanie p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ pn jest:

– prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p1, p2, . . . , pn jest prawdziwe,

– fałszywe, gdy każde ze zdań p1, p2, . . . , pn jest fałszywe.

Przykład 11. Niech x1, x2, . . . , xn będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczasdla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy:

(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn) = 0⇔ (x = x1 ∨ x = x2 ∨ . . . ∨ x = xn).

Zdania (p ⇔ q) ⇔ r i p ⇔ (q ⇔ r) mają zawsze tę samą wartość logiczną(sprawdź!), ale wartość logiczną zdania p⇔ q ⇔ r określamy inaczej.

Przykład 12. Dla dowolnych liczb dodatnich a, b zachodzą równoważności:a+ b

2>√ab⇔ a+ b > 2

√ab⇔ a+ b− 2

√ab > 0⇔ (

√a−√b)2 > 0.

Zdanie p1 ⇔ p2 ⇔ . . .⇔ pn definiujemy jako koniunkcję kolejnych równoważno-ści:

(p1 ⇔ p2) ∧ (p2 ⇔ p3) ∧ . . . ∧ (pn−2 ⇔ pn−1) ∧ (pn−1 ⇔ pn).

Zdanie p1 ⇔ p2 ⇔ . . .⇔ pn jest:

– prawdziwe, gdy wszystkie zdania p1, p2, . . . , pn są jednocześnie prawdziwe lubjednocześnie fałszywe,

– fałszywe, gdy wśród zdań p1, p2, . . . , pn są zdania prawdziwe i zdania fałszywe.

Jak można określić prawdziwość zdania

p1 ⇒ p2 ⇒ . . .⇒ pn?

Zdanie p1 ⇒ p2 ⇒ . . .⇒ pn definiujemy jako koniunkcję kolejnych implikacji:

(p1 ⇒ p2) ∧ (p2 ⇒ p3) ∧ . . . ∧ (pn−2 ⇒ pn−1) ∧ (pn−1 ⇒ pn).

Zdanie p1 ⇒ p2 ⇒ . . .⇒ pn jest:

– prawdziwe, gdy wszystkie zdania p1, p2, . . . , pn są jednocześnie prawdziwe lubjednocześnie fałszywe, lub dla pewnego k zdania p1, p2, . . . , pk są fałszywe, apk+1, . . . , pn są prawdziwe,

– fałszywe, gdy dla pewnych i < j zdanie pi jest prawdziwe, a zdanie pj jestfałszywe.

3 Rachunek zdań

3.1 Wyrażenia rachunku zdań

Ważną własnością spójników logicznych jest to, że wartość logiczna zdania złożo-nego zależy jedynie od sposobu, w jaki jest ono zbudowane i od wartości logicznychjego zdań składowych. Wartość logiczna zdania złożonego nie zależy od konkretnejpostaci (treści) zdań składowych.

Dlatego możemy rozważać wyrażenia rachunku zdań utworzone poprawnie (zapomocą spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp. Symbole te na-zywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wyrażeniu podstawimy za zmiennezdaniowe konkretne zdania logiczne, to otrzymamy złożone zdanie logiczne.

Uwaga 2. Jeśli to nie prowadzi do nieporozumień, to zmienne zdaniowe i wyrażeniaz nich utworzone możemy nazywać krótko zdaniami.

3.2 Metoda zero-jedynkowa

Wartość logiczną zdania złożonego

((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇒ (p ∧ q)

dla poszczególnych wartościowań zdań prostych możemy obliczyć następująco:

p q p⇒ q q ⇒ p p ∧ q (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇒ (p ∧ q)0 0 1 1 0 1 00 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1

Szybszy sposób polega na tym, że nie wypisujemy poszczególnych zdań składo-wych w oddzielnych kolumnach (np. p⇒ q, q ⇒ p i p∧q), piszemy tylko całe zdaniezłożone, a wartości logiczne poszczególnych zdań składowych wypisujemy pod tymizdaniami (dokładniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wypiszemy np. warto-ści logiczne zdań p ⇒ q i q ⇒ p, to wartości logiczne zdania (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)wypisujemy pod spójnikiem „∧”.

p q ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)0 0 1 1 1 0 00 1 1 0 0 1 01 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1

3.3 Wyrażenia logicznie równoważne

Przykład 13. Wyrażenia

(p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

14

3 RACHUNEK ZDAŃ 15

mają równe wartości logiczne dla dowolnych wartości logicznych zmiennych zdanio-wych.

p q r (p ∨ q) ∧ r (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1

Definicja 1. Wyrażenia rachunku zdań nazywamy logicznie równoważnymi, gdymają równe wartości logiczne dla dowolnych wartości logicznych zmiennych zdanio-wych.

Przykład 14. (a) Wyrażenia p i ∼ (∼ p) są logicznie równoważne.

(b) Wyrażenia

p⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, (∼ p) ∨ q i ∼ (p∧ ∼ q)

są logicznie równoważne.

Przykład 15. (a) Wyrażenia (p∨ q)∧ r i (p∧ r)∨ (q ∧ r) są logicznie równoważne.

(b) Wyrażenia (p ∧ q) ∨ r i (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) są logicznie równoważne.

Czasami można uzasadnić logiczną równoważność wyrażeń bez korzystania ztabelki. Na przykład, zdanie ∼ (p ∧ q) jest fałszywe tylko w przypadku, gdy zdaniep∧ q jest prawdziwe, czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zdanie ∼ p∨ ∼ q jestfałszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania ∼ p, ∼ q są fałszywe, czyli też tylko,gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zatem zdania

∼ (p ∧ q) i ∼ p∨ ∼ q

są logicznie równoważne.

Analogicznie możemy uzasadnić, że zdania

∼ (p ∨ q) i ∼ p∧ ∼ q

są logicznie równoważne.

3.4 Tautologie

Przykład 16. Wyrażenie(p⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

3 RACHUNEK ZDAŃ 16

ma wartość logiczną „prawda” dla dowolnych wartości logicznych zdań prostych.

p q p⇒ q q ⇒ p (p⇒ q) ∨ (q ⇒ p)0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 11 1 1 1 1

Definicja 2. Tautologią nazywamy wyrażenie rachunku zdań, które ma wartośćlogiczną „prawda” dla dowolnych wartości logicznych zmiennych zdaniowych.

Przykład 17. Przykłady tautologii:

(a) p⇒ p,

(b) p∨ ∼ p,

(c) ∼ (p∧ ∼ p),

(d) (∼ p⇒ p)⇒ p,

(e) (p ∧ q)⇒ p,

(f) p⇒ (p ∨ q),

(g) ∼ p⇒ (p⇒ q),

(h) ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))⇒ (p⇔ q),

(i) (p⇒ (q ⇒ r))⇒ ((p⇒ q)⇒ (p⇒ r)).

Wyrażenie postaci P ⇔ Q jest tautologią dokładnie wtedy, gdy wyrażenia P i Qsą logicznie równoważne.

Przykład 18. Przykłady tautologii w postaci równoważności:

(a) Prawo podwójnego przeczenia:

p⇔∼ (∼ p).

(b) Prawa de Morgana:∼ (p ∧ q)⇔ (∼ p∨ ∼ q),

∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p∧ ∼ q).

(c) Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔ (∼ q ⇒∼ p).

(d) Metoda dowodu „przez sprzeczność” jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔∼ (p∧ ∼ q).

(e) Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy:

(p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).

(f) Rozdzielność alternatywy względem koniunkcji:

(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).

3 RACHUNEK ZDAŃ 17

3.5 Reguły dowodzenia

Rozważmy wyrażenia rachunku zdań P1, . . ., Pn, Q. Jeśli wyrażenie

P1 ∧ . . . ∧ Pn ⇒ Q

jest tautologią, to schematP1...PnQ

nazywamy regułą dowodzenia. Reguła dowodzenia oznacza, że z prawdziwości zdańP1, . . ., Pn wynika prawdziwość zdania Q.

Przykład 19. Przykłady reguł dowodzenia

p ∧ qp

pp ∨ q

qp⇒ q

∼ pp⇒ q

pqp ∧ q

pp⇔ qq

p⇒ qq ⇒ rp⇒ r

p⇒ qq ⇒ pp⇔ q

Możemy patrzeć na reguły dowodzenia jak na inny zapis pewnych tautologii, alefaktycznie ich rola jest znacznie ważniejsza. W teoriach formalnych reguły dowodze-nia określają sposób uzyskiwania twierdzeń danej teorii wychodząc od aksjomatów.Szczególnie ważna jest reguła odrywania (modus ponens)

pp⇒ qq

która oznacza, że jeśli zdanie p jest twierdzeniem danej teorii i udowodnimy, że z pwynika q, to q też jest twierdzeniem.

4 Rachunek kwantyfikatorów

4.1 Formy zdaniowe

Forma zdaniowa ϕ(x) określona w zbiorze X to wyrażenie, które jest zdaniem,jeśli za x wstawimy dowolny element zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem formyzdaniowej ϕ(x).

Przykład 20. (a) ϕ(x) = „x2 < 1”, gdzie x ∈ R,ϕ(x) jest zdaniem:

– prawdziwym dla x ∈ (−1, 1),

– fałszywym dla x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞),

(b) ϕ(x) = „x2 > 0”, gdzie x ∈ R,ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R,

(c) ϕ(n) = „n | 6” (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1,ϕ(n) jest zdaniem:

– prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6

– fałszywym dla pozostałych n,

(d) ϕ(n) = „n = n+ 1”, gdzie n ∈ Z,ϕ(n) jest zdaniem fałszywym dla każdego n ∈ Z.

Uwaga 3. Forma zdaniowa określona w zbiorze X pozwala każdemu elementowi tegozbioru przyporządkować zdanie. Możemy więc ją nazwać funkcją zdaniową.

Pytanie 2. Co jest dziedziną tej funkcji?

4.2 Kwantyfikatory

Jeśli ϕ(x) jest formą zdaniową określoną w zbiorze X, to możemy utworzyćnastępujące dwa zdania logiczne.

1. Zdanie

„Dla każdego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x)”,

które zapisujemy:∀x∈X ϕ(x).

2. Zdanie

„Istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x)”,

które zapisujemy:∃x∈X ϕ(x).

Zauważmy, że:

18

4 RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW 19

– jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x)i ∃x∈X ϕ(x) są prawdziwe,

– jeśli ϕ(x) jest zdaniem fałszywym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x)i ∃x∈X ϕ(x) są fałszywe,

– jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów zbioru X, a fał-szywym dla innych elementów tego zbioru, to zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest fałszywe,a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe.

Definicja 3. Zbiorem spełniania formy zdaniowej ϕ(x), określonej w zbiorze X,nazywamy zbiór wszystkich elementów x ∈ X, dla których ϕ(x) jest zdaniem praw-dziwym.

Zauważmy, że:

– zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiorem spełnianiaformy ϕ(x) jest cały zbiór X,

– zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór spełnianiaformy ϕ(x) jest niepusty.

Pytanie 3. Jak należy określić wartość logiczną zdań ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) w przy-padku, gdy X jest zbiorem pustym?

Jeśli zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno określony, to zamiast ∀x∈X ϕ(x)i ∃x∈X ϕ(x) możemy pisać: ∀x ϕ(x), ∃x ϕ(x).

4.3 Formy zdaniowe wielu zmiennych

Możemy rozważać formy zdaniowe większej liczby zmiennych, np. ϕ(x, y, z), gdziex ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X. Ogólniej, rozważamy formyzdaniowe postaci ϕ(x1, . . . , xn), gdzie x1, . . . , xn ∈ X lub x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.

Przykład 21. Przykłady form zdaniowych:

(a) „x < y”, gdzie x, y ∈ N,

(b) „x · y = 0”, gdzie x ∈ Z, y ∈ R,

(c) „A ∈ k”, gdzie A należy do zbioru punktów na płaszczyźnie, k należy do zbioruprostych na płaszczyźnie,

(d) „Punkt A leży między punktami B i C”, gdzie A, B, C należą do zbiorupunktów na płaszczyźnie.

Rozważmy formę zdaniową ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X. Zdanie

∀x∈X ∀y∈X ϕ(x, y)

oznacza, że dla każdego x ∈ X zachodzi to, że dla każdego y ∈ X zachodzi ϕ(x, y).Prościej:

4 RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW 20

„dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y)”,

co zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora:

∀x,y∈X ϕ(x, y).

Zdanie∃x∈X ∃y∈X ϕ(x, y)

oznacza, że istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, że zachodzi ϕ(x, y).Prościej:

„istnieją x, y ∈ X takie, że ϕ(x, y)”,

co też zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora:

∃x,y∈X ϕ(x, y).

Niech teraz ϕ(x1, . . . , xn) będzie formą zdaniową zmiennych x1, . . . , xn, gdziex1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn. Zdanie

„Dla dowolnych x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn (zachodzi) ϕ(x1, . . . , xn)”

zapisujemy∀x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).

Zdanie

„Istnieją x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn takie, że ϕ(x1, . . . , xn)”,

zapisujemy∃x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).

Zadanie 1. Które z następujących zdań są prawdziwe, a które fałszywe:

∀x,y∈Z x < y, ∀x,y∈R x · y = y · x, ∃x∈N ∃y∈Z x < y?

Niech ϕ(x, y) będzie formą zdaniową zmiennych x ∈ X, y ∈ Y .

Zdanie∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, że istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x, y) zachodzi dla każdego y ∈ Y .

Zdanie∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, że dla każdego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , że zachodzi ϕ(x, y).

Zadanie 2. Które z następujących zdań są prawdziwe, a które fałszywe:

∀x∈Z ∃y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x · y = 0?

4 RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW 21

Zadanie 3. Utwórz kilka ciekawych zdań z użyciem kwantyfikatorów ∀, ∃ i formzdaniowych:

x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1,

gdzie x, y przebiegają zbiory: N, N1, Z, Q, R. Określ prawdziwość utworzonych zdań.

Jeśli ϕ(x, y) jest formą zdaniową zmiennych x, y, gdzie x ∈ X, y ∈ Y , to

∀y∈Y ϕ(x, y) i ∃y∈Y ϕ(x, y)

są formami zdaniowymi zmiennej x. Mówimy, że w tych wyrażeniach x jest zmiennąwolną, a y jest zmienną związaną. Natomiast w wyrażeniach

∀x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y), ∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y),

∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y) i ∃x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y)

zmienne x i y są obie zmiennymi związanymi.

Zadanie 4. Rozważmy następujące funkcje zdaniowe zmiennej x ∈ Z:

1) ∀y∈N x < y, 2) ∃y∈N x < y, 3) ∀y∈R x · y = 0, 4) ∃y∈Z x · y = 1.

Dla jakich wartości x ∈ Z są to zdania prawdziwe?

Odpowiedź:1) dla wszystkich x < 0,2) dla wszystkich x ∈ Z,3) dla x = 0,4) dla x ∈ 1,−1.

4.4 Przykłady użycia kwantyfikatorów

Przykład 22. Przykłady definicji zapisanych za pomocą kwantyfikatorów.

(a) Dla a ∈ Z zdanie „a jest liczbą parzystą”:

∃k∈Z a = 2k.

(b) Dla a, b ∈ Z zdanie „a jest podzielne przez b”:

∃k∈Z a = k · b.

(c) Dla p ∈ N1 zdanie „p jest liczbą pierwszą”:

(p 6= 1) ∧ ∀a∈N1 (a | p⇒ a = 1 ∨ a = p).

(d) Dla b ∈ R i A ⊂ R zdanie „b jest ograniczeniem z góry zbioru A”:

∀a∈A a 6 b.

4 RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW 22

Przykład 23. (a) Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi ist-nieje liczba wymierna:

∀x∈R ∀y∈R (x 6= y ⇒ ∃w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x)))

lub krócej:∀x,y∈R (x < y ⇒ ∃w∈Q x < w < y).

(b) Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (xn) są dodatnie:

∃N∀n>N xn > 0.

(c) Zasada indukcji matematycznej:

(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n)⇒ T (n+ 1)))⇒ ∀n∈N T (n).

4.5 Prawa rachunku kwantyfikatorów

Prawo rachunku kwantyfikatorów to wyrażenie utworzone poprawnie z symbolikwantyfikatorów ∀, ∃, symboli form zdaniowych, np. ϕ(x), ψ(x, y), oraz spójnikówlogicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej formy zdaniowej i dowol-nych wartości zmiennych.

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:

∼ (∀x∈X ϕ(x))⇔ ∃x∈X (∼ ϕ(x)),

∼ (∃x∈X ϕ(x))⇔ ∀x∈X (∼ ϕ(x)).

Przykład 24. (a) Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∼ (∀a∈A a 6 b)⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b)⇔ ∃a∈A a > b.

(b) W zbiorze N nie ma liczby największej:

∼ (∃m∈N ∀n∈N m > n)⇔ ∀m∈N ∼ (∀n∈N m > n)

⇔ ∀m∈N ∃n∈N ∼ (m > n)⇔ ∀m∈N ∃n∈N m < n.

Inne ważne prawa rachunku kwantyfikatorów:

(∀x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)),

(∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y)).

Dla danego elementu x0 ∈ X mamy prawa:

(∀x∈X ϕ(x)) ⇒ ϕ(x0),

ϕ(x0) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)).

5 Twierdzenia i dowody

5.1 Twierdzenia

Twierdzenie to prawdziwe zdanie logiczne dotyczące obiektów danej teorii. Przy-kład:

„√

2 jest liczbą niewymierną”.

Twierdzenia na ogół mają postać implikacji

p⇒ q,

a dokładniej:∀x∈X(p(x)⇒ q(x)),

gdzie p(x) i q(x) to formy zdaniowe określone w pewnym zbiorze X. Zdanie p nazy-wamy założeniem, a zdanie q – tezą twierdzenia. Mówimy też, że p jest warunkiemwystarczającym (dostatecznym) dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.

Pytanie 4. Warunkiem wystarczającym na podzielność liczby naturalnej przez 9 jestto, by suma cyfr jej zapis dziesiętnego była równa 9. Czy jest to warunek konieczny?

Pytanie 5. Warunkiem koniecznym na to, by czworokąt był kwadratem jest posia-danie wszystkich kątów prostych. Czy jest to warunek wystarczający?

Twierdzenie q ⇒ p nazywamy odwrotnym do twierdzenia p⇒ q.

Przykład 25. Twierdzenie:

„Dla dowolnego trójkąta ABC, jeśli |BAC| = 90, to |AB|2 + |AC|2 = |BC|2.”

Twierdzenie odwrotne:

„Dla dowolnego trójkąta ABC, jeśli |AB|2 + |AC|2 = |BC|2, to |BAC| = 90.”

Niektóre twierdzenia mają postać zamkniętego układu implikacjip1 ⇒ q1

p2 ⇒ q2...

pn ⇒ qn,

gdzie dla każdego x dokładnie jedno ze zdań p1(x), p2(x), . . ., pn(x) jest prawdziwe.

Przykład 26. Dla dowolnego trójkąta ABC:|BAC| < 90 ⇒ |AB|2 + |AC|2 > |BC|2,|BAC| = 90 ⇒ |AB|2 + |AC|2 = |BC|2,|BAC| > 90 ⇒ |AB|2 + |AC|2 < |BC|2.

23

5 TWIERDZENIA I DOWODY 24

5.2 Dowody dedukcyjne i redukcyjne

Podstawową metodą dowodzenia twierdzeń postaci

p⇒ q

jest dowód dedukcyjny będący w najprostszym przypadku ciągiem implikacji wy-chodzących od założenia i kończących się tezą:

p⇒ p1 ⇒ . . .⇒ pk ⇒ q.

Przykład 27. Jeśli a, b, c (a 6= 0) są takimi liczbami całkowitymi, że a | b i a | c, toa | b+ c.

Dowód. Niech a, b, c (a 6= 0) będą takimi liczbami całkowitymi, że a | b i a | c.Skoro a | b, to istnieje k ∈ Z, takie że b = ka. Skoro a | c, to istnieje k ∈ Z, takie żec = la. Zatem b+ c = ka+ la = (k + l)a, co oznacza, że a | b+ c.

Ciąg implikacjip⇒ p1 ⇒ . . .⇒ pk ⇒ q

czasami konstruujemy od końca, nazywamy to metodą redukcyjną.

Przykład 28. Jeśli liczby rzeczywiste a, b są dodatnie, to

a+ b

2>√ab.

Dowód redukcyjny powyższej nierówności został uzyskany w Przykładzie 12,str. 13.

W praktyce często stosujemy metodę mieszaną, łączącą elementy obu metod.

5.3 Metoda „nie wprost”

Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔ (∼ q ⇒∼ p).

Zadanie 5. Dane są liczby całkowite a i b. Wykaż, że jeśli a · b jest liczbą parzystą,to a jest parzyste lub b jest parzyste.

Dowód. Załóżmy, wbrew tezie, że a i b nie są parzyste, czyli a = 2k + 1, b = 2l + 1,gdzie k i l są liczbami całkowitymi. Wówczas iloczyn

a · b = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1

nie jest liczbą parzystą.

Zadanie 6. Dane są liczby naturalne k1, k2, . . . , kn > 0. Wykaż, że jeśli

(∗) 1k1

+ . . .+1kn

>n

2,

to ki = 1 dla pewnego i.

5 TWIERDZENIA I DOWODY 25

Dowód. Załóżmy, wbrew tezie, że ki 6= 1 dla każdego i. Zatem k1, . . . , kn > 2, skąd

1k1

+ . . .+1kn6

12

+ . . .+12︸ ︷︷ ︸

n

=n

2,

co oznacza, że nierówność (∗) nie zachodzi.

5.4 Metoda „przez sprzeczność”

Metoda dowodu zdania p „przez sprzeczność” polega na przyjęciu założenia ∼ pi wywnioskowaniu z niego „sprzeczności”: zdania fałszywego lub dwóch zdań wza-jemnie sprzecznych.

Zadanie 7. Udowodnij, że liczba√

2 jest niewymierna.

Dowód. Przypuśćmy, że√

2 jest liczbą wymierną:√

2 =m

n, gdzie m i n są liczbami

całkowitymi, n 6= 0, przy czym możemy założyć, że NWD (m,n) = 1.

Wówczasm2

n2= 2, skąd m2 = 2n2, więc m2 jest liczbą parzystą. Zatem m jest

liczbą parzystą: m = 2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Otrzymujemy: (2k)2 = 2n2,czyli 2k2 = n2. Tak więc n też jest liczbą parzystą, a to oznacza, że NWD (m,n) 6= 1– sprzeczność.

Metoda dowodu implikacjip⇒ q

„przez sprzeczność” jest oparta na tautologii

(p⇒ q)⇔∼ (p∧ ∼ q).

Zadanie 8. Dane są liczby rzeczywiste x, y. Udowodnij, że jeżeli x2 + y2 < 1, tox+ y <

√2.

Dowód. Przypuśćmy, że nierówność x2 + y2 < 1 zachodzi, a nierówność x+ y <√

2nie zachodzi, czyli zachodzi nierówność x+y >

√2. Podnosząc tę ostatnią nierówność

obustronnie do kwadratu, otrzymujemy:

x2 + y2 + 2xy > 2.

Z nierówności x2 + y2 < 1 wynika, że 2x2 + 2y2 < 2. Zatem

2x2 + 2y2 < x2 + y2 + 2xy,

skąd po przekształceniach dostajemy:

(x− y)2 < 0.

Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

5 TWIERDZENIA I DOWODY 26

5.5 Przegląd metod dowodzenia twierdzeń

Tabela na następnej stronie zawiera zestawienie podstawowych technik dowodo-wych. Założenie twierdzenia jest oznaczone przez A, teza przez B. Tabela zostałazaczerpnięta z rozprawy Clausa Zinna pt. „Understanding informal mathematicaldiscourse” ([24], str. 40), oryginalnie pochodzi z książki Daniela Solowa „How toread and do proofs” ([23]).

5 TWIERDZENIA I DOWODY 27

Technikadowodu

Kiedy używamy? Co zakłada-my?

Co mamy uzy-skać?

Jak to wykonujemy?

dedukcyjno– redukcyj-na

Jako pierwsza próbaoraz gdy B nie marozpoznawalnej postaci.

A B Wyciągamy kolejne wnioski z A,budujemy przesłanki, z którychwynika B.

nie wprost Gdy w B jest słowo„nie”.

nie B nie A Wyciągamy kolejne wnioski z„nie B”, budujemy przesłanki, zktórych wynika „nie A”.

przezsprzeczność

Gdy w B jest słowo„nie” oraz gdy pierwszedwie metody zawodzą.

A i „nie B” Jakąś sprzecz-ność

Wyciągamy wnioski z A i „nieB”, aż uzyskamy sprzeczność.

konstrukcja Gdy w B jest zwrot „ist-nieje”, „ jest”, „dla pew-nego” lub podobny.

A Istnieje szukanyobiekt.

Odgadujemy lub konstruujemyszukany obiekt. Następnie poka-zujemy, że ten obiekt ma wyma-ganą własność.

wybór Gdy w B jest zwrot „dladowolnego”, „dla każde-go” lub podobny.

A, i wybie-ramy obiektmający danąwłasność.

Zachodzi pe-wien warunek.

Wyciągamy wnioski z A i z tego,że ten obiekt ma daną własność.Również budujemy przesłanki, zktórych wynika, że zachodzi roz-ważany warunek.

indukcja Gdy B ma zachodzić dlakażdej liczby natural-nej, począwszy od pew-nej liczby, np. n0.

Twierdzeniezachodzi dlan.

Twierdzeniezachodzi dlan + 1. Trzebateż sprawdzić,że twierdzeniezachodzi dla n0.

Najpierw podstawiamy n0 za ni pokazujemy, że twierdzenie jestprawdziwe. Następnie przyjmuje-my założenie, że twierdzenie za-chodzi dla n i dowodzimy go dlan+ 1.

przypadekszczególny

Gdy w B jest zwrot„istnieje”, „dla wszyst-kich”, „dla każdego” lubpodobny.

A B Wyciągamy wnioski przez zasto-sowanie A do jednego konkretne-go obiektu mającego daną wła-sność.

bezpośredniajednoznacz-ność

Gdy w B jest zwrot „do-kładnie jeden” lub „jed-noznacznie określony”.

Są dwa (nie-koniecznieróżne) takieobiekty izachodzi A.

Te dwa obiektysą równe.

Wyciągamy wnioski wykorzy-stując A oraz własności da-nych obiektów. Również buduje-my przesłanki, z których wynika,że te obiekty są równe.

pośredniajednoznacz-ność

Gdy w B jest zwrot „do-kładnie jeden” lub „jed-noznacznie określony”.

Są dwa różnetakie obiektyi zachodzi A.

Jakąś sprzecz-ność.

Wyciągamy wnioski z A wy-korzystując własności danychobiektów oraz fakt, że są różne.

przez elimi-nację

Gdy B ma postać „Club D”

A i „nie C” D Wyciągamy wnioski z A i „nieC”, a także budujemy przesłan-ki, z których wynika D.

przez przy-padki

Gdy A ma postać „Club D”

Przypadek 1:C

B Najpierw dowodzimy, że z C wy-nika B,

Przypadek 2:D

B następnie dowodzimy, że z D wy-nika B.

max/min 1 Gdy B ma postać„maxS 6 x” lub„minS > x”

Wybieramyelement s wzbiorze S izakładamy A.

s 6 x lub s > x Wyciągamy wnioski z A oraz zfaktu, że s należy do S. Równieżbudujemy przesłanki, z którychwynika B.

max/min 2 Gdy B ma postać„maxS > x” lub„minS 6 x”

A Konstrukcję ele-mentu s zbio-ru S, takiego żes > x lub s 6 x

Wykorzystujemy A oraz sposóbkonstrukcji do stworzenia szuka-nego elementu s zbioru S.

6 Indukcja matematyczna

6.1 Dyskusja

Przykład 29. Oblicz sumę 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1), gdzie n jest liczbą naturalną.

Dyskusja. Wprowadźmy oznaczenie:

Sn = 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1).

Widzimy, że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest 2n − 1 = 1,czyli suma składa się tylko z jednego składnika: S1 = 1. Mamy: S2 = 1 + 3 = 4,S3 = 1 + 3 + 5 = 9, S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, S5 = 25, S6 = 36. Widzimy, że powinnobyć Sn = n2. Czy można to jakoś uzasadnić? Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposóbotrzymujemy kolejne Sn.

Na przykład, jeśli mamy już obliczone

S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36,

to sumyS7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

nie będziemy liczyli od początku, tylko skorzystamy z tego, że S7 = S6 + 13 = 49,S8 = S7 + 15 = 64 i tak dalej. Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do Sn, żebyotrzymać Sn+1. Otóż:

S7 = S6 + (2 · 7− 1) = 62 + 2 · 6 + 1 = (6 + 1)2 = 72

orazS8 = S7 + (2 · 8− 1) = 72 + 2 · 7 + 1 = (7 + 1)2 = 82.

Dopiero teraz mamy pewność, że te przekształcenia można kontynuować i zawszebędzie Sn = n2. Nasza pewność bierze się stąd, że jeśli Sn = n2, to

Sn+1 = Sn + (2 · (n+ 1)− 1) = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2.

Ten ostatni rachunek pokazuje, że dla każdego n zachodzi implikacja:

Sn = n2 ⇒ Sn+1 = (n+ 1)2.

Oznacza to, że prawdziwe są następujące implikacje:

S1 = 12 ⇒ S2 = 22, S2 = 22 ⇒ S3 = 32, S3 = 32 ⇒ S4 = 42, . . .

Jeśli zatem sprawdzimy, że S1 = 12, to z tego będzie wynikała równość S2 = 22, a ztego z kolei będzie wynikało, że S3 = 32, i tak dalej dla kolejnych liczb naturalnych.

Podsumujmy nasze obserwacje. Jeśli chcemy udowodnić równość Sn = n2 dladowolnego naturalnego n > 1, to wystarczy sprawdzić, że:I. S1 = 12,II. dla każdego naturalnego n > 1 zachodzi implikacja Sn = n2 ⇒ Sn+1 = (n+ 1)2.

28

6 INDUKCJA MATEMATYCZNA 29

6.2 Ogólny schemat metody indukcji

Jeśli T (n) jest formą zdaniową określoną w zbiorze liczb naturalnych, to praw-dziwe jest zdanie

(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n)⇒ T (n+ 1)))⇒ ∀n∈N T (n).

W przypadku formy zdaniowej określonej w zbiorze N1 = 1, 2, 3, . . . , rozważa-my zdanie

(T (1) ∧ ∀n∈N1 (T (n)⇒ T (n+ 1)))⇒ ∀n∈N1 T (n).

6.3 Przykłady dowodów indukcyjnych

Zadanie 9. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . .+ n · (n+ 1) =n · (n+ 1) · (n+ 2)

3.

Rozwiązanie. I. Baza indukcji.Dla n = 1 równość jest oczywista:

1 · 2 =1 · 2 · 3

3.

II. Krok indukcyjny.Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dana w zadaniu równośćzachodzi dla n:

1 · 2 + . . .+ n · (n+ 1) =n · (n+ 1) · (n+ 2)

3.

Wówczas dla n+ 1 mamy:

1 · 2 + . . .+ n · (n+ 1) + (n+ 1) · (n+ 2) =n · (n+ 1) · (n+ 2)

3+ (n+ 1) · (n+ 2) =

= (n+ 1) · (n+ 2) ·(n

3+ 1

)=

(n+ 1) · (n+ 2) · (n+ 3)3

,

czyli dla n+ 1 równość jest prawdziwa.

Na mocy zasady indukcji matematycznej równość

1 · 2 + 2 · 3 + . . .+ n · (n+ 1) =n · (n+ 1) · (n+ 2)

3

zachodzi dla dowolnego naturalnego n > 1.

Czasami twierdzenie ma sens i jest prawdziwe również dla n = 0. Wówczas zabazę indukcji możemy przyjąć n = 0, ale wtedy krok indukcyjny trzeba udowodnićdla dowolnego naturalnego n > 0. Schemat dowodu wygląda więc następująco:I. Baza indukcji: T (0).II. Krok indukcyjny: ∀n>0(T (n)⇒ T (n+ 1)).

6 INDUKCJA MATEMATYCZNA 30

Zadanie 10. Dowieść, że dla dowolnego n ­ 0 liczba 22n+1 + 3n + 7 jest podzielnaprzez 9.

Rozwiązanie. Dla n = 0 mamy liczbę 22·0+1 + 3 · 0 + 7 = 9, która jest, oczywiście,podzielna przez 9.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dla n twierdzenie jestprawdziwe, czyli liczba 22n+1 + 3n+ 7 jest podzielna przez 9. Wówczas

22(n+1)+1 + 3(n+ 1) + 7 = 22n+3 + 3n+ 3 + 7 =

= 4 · 22n+1 + 3n+ 10 = 4 · (22n+1 + 3n+ 7)− 9n− 18.

Liczby 9n i 18 są podzielne przez 9, liczba 22n+1 + 3n+ 7 też (z założenia indukcyj-nego), więc liczba 22(n+1)+1 + 3(n + 1) + 7 również jest podzielna przez 9, czyli dlan+ 1 twierdzenie jest prawdziwe.

Na mocy indukcji matematycznej liczba 22n+1 +3n+7 jest podzielna przez 9 dladowolnego naturalnego n.

6.4 Inne warianty metody indukcji

Rozważmy następującą sytuację. Pewne twierdzenie T (n) jest prawdziwe dlan = 0 i n = 1. Ponadto, dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości twierdzeńT (n) i T (n+1) wynika prawdziwość twierdzenia T (n+2). Wówczas twierdzenie jestprawdziwe dla dowolnego naturalnego n.

Według takiego schematu będzie przebiegał dowód indukcyjny w następnym za-daniu. Zapiszmy ten schemat symbolicznie.I. Baza indukcji: T (0) ∧ T (1).II. Krok indukcyjny: ∀n>0(T (n) ∧ T (n+ 1)⇒ T (n+ 2)).

Dowód indukcyjny w następnym zadaniu będzie przebiegał według schematu:I. Baza indukcji: T (0) ∧ T (1) ∧ T (2).II. Krok indukcyjny: T (k) ∧ T (k + 1) ∧ T (k + 2)⇒ T (k + 3) dla dowolnego k ­ 0.

Zadanie 11. Ciąg (an) określają następujące warunki:

a0 = 2, a1 = 3, a2 = 6,

an = (n+ 4)an−1 − 4nan−2 + 4(n− 2)an−3, dla n ­ 3.

Udowodnij, że dla każdego nan = n! + 2n.

Rozwiązanie. Mamy

a0 = 0! + 20, a1 = 1! + 21, a2 = 2! + 22,

więc dla n = 0, 1, 2 twierdzenie jest prawdziwe.

6 INDUKCJA MATEMATYCZNA 31

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że

an = n! + 2n, an+1 = (n+ 1)! + 2n+1 i an+2 = (n+ 2)! + 2n+2.

Wówczas dla n+ 3 mamy

an+3 = (n+ 7)an+2 − 4(n+ 3)an+1 + 4(n+ 1)an= (n+ 7)((n+ 2)! + 2n+2)− 4(n+ 3)((n+ 1)! + 2n+1) + 4(n+ 1)(n! + 2n)= tu jest trochę rachunków = (n+ 3)! + 2n+3,

czyli dla n+ 3 twierdzenie jest prawdziwe.

Na mocy indukcji wzór an = n! + 2n zachodzi dla dowolnego naturalnego n.

Przykładem „mocnej” wersji indukcji jest dowód następującego twierdzenia.

Twierdzenie 1. Dowolną liczbę naturalną większą od 1 można przedstawić w postaciiloczynu liczb pierwszych.

Uwaga 4. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to iloczyn ten składa się tylko z jednegoczynnika.

Dowód. Liczba n = 2 jest liczbą pierwszą, czyli iloczynem jednej liczby pierwszej.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną większą od 2. Załóżmy, że każdą liczbęnaturalną mniejszą od n można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.Pokażemy, że n też można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Jeśli n jest liczbą pierwszą, to teza dla n zachodzi. Jeśli n jest liczbą złożoną, tomożna ją przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb od niej mniejszych: n = k · l,k, l < n. Na mocy założenia zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych:k = p1 · . . . · pi, l = q1 · . . . · qj, zatem n = k · l też, oczywiście można tak przedstawić:n = p1 · . . . · pi · q1 · . . . · qj, co kończy dowód kroku indukcyjnego.

Schemat powyższego dowodu:I. Baza: T(2).II. Krok: ∀n>2[T (2) ∧ . . . ∧ T (n− 1)⇒ T (n)].

Pytanie 6. Dlaczego w punkcie (II) jest „n > 2”, a nie „n > 2”?

7 Zbiory

7.1 Sposoby określania zbiorów

Można wyróżnić trzy podstawowe sposoby określania zbiorów:

1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T :

f(t), t ∈ T.

2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X spełniających warunek ϕ(x):

x ∈ X : ϕ(x).

3) Zbiór skończony możemy określić przez wypisanie jego elementów, np.

n ∈ N1 : n | 6 = 1, 2, 3, 6.

Przykład 30. (a) Zbiór liczb parzystych możemy określić na dwa sposoby:

2k; k ∈ Z = n ∈ Z : 2 | n.

(b) Prostą o równaniu y = ax + b możemy określić jako zbiór punktów o współ-rzędnych (x, ax+ b), gdzie x ∈ R:

(x, ax+ b); x ∈ R

lub jako zbiór tych punktów o współrzędnych (x, y), które spełniają waruneky = ax+ b:

(x, y) ∈ R2 : y = ax+ b.

(c) Wykres funkcji f : R→ R, f(x) = sinx, możemy określić jako zbiór punktówpostaci (x, sinx), gdzie x ∈ R:

(x, sinx), x ∈ R.

(d) Okrąg o środku (a, b) i promieniu r możemy określić jako zbiór rozwiązańrównania (x− a)2 + (y − b)2 = r2:

(x, y) ∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 = r2.

Przykład 31. Przedziały osi liczbowej:

(a, b) = x ∈ R : x > a ∧ x < b,

[a, b) = x ∈ R : x > a ∧ x < b,

(−∞, a) = x ∈ R : x < a.

Zaznaczmy, że zbiory A i B są równe dokładnie wtedy, gdy mają te same ele-menty, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie

(x ∈ A)⇔ (x ∈ B).

32

7 ZBIORY 33

7.2 Inkluzja zbiorów

Definicja 4. Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A ⊂ B,jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, czyli dla dowolnego elementux prawdziwe jest zdanie

(x ∈ A)⇒ (x ∈ B).

Jeśli A ⊂ B, to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B.

Przykład 32. (a) 0 ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],

(b) N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Następujące twierdzenie wyrażą dwie podstawowe własności inkluzji.

Twierdzenie 2. (a) Dla dowolnych zbiorów A, B, jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, toA = B.

(b) Dla dowolnych zbiorów A, B, C, jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.

Dowód. (a) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to dla dowolnego elementu x prawdziwe jestzdanie

(x ∈ A⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A),

więc prawdziwe jest również zdanie

x ∈ A⇔ x ∈ B.

Zatem A = B.

(b) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to dla dowolnego elementu x mamy:

(x ∈ A⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C),

więc mamy również:x ∈ A⇒ x ∈ C.

Zatem A ⊂ C.

Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go symbolem ∅. Zbiórpusty jest zawarty w każdym zbiorze:

∅ ⊂ A.

7.3 Działania na zbiorach

Definicja 5. Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B.

(a) Suma A ∪B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lubdo zbioru B:

(x ∈ A ∪B)⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).

7 ZBIORY 34

(b) Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elementów, którenależą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

(x ∈ A ∩B)⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).

(c) Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A,ale nie należą do zbioru B:

(x ∈ A \B)⇔ (x ∈ A ∧ x 6∈B).

Uwaga 5. (x 6∈A)⇔∼ (x ∈ A)

Definicja 6. Różnica symetryczna A ÷ B składa się z wszystkich elementów,które należą do zbioru A, a nie należą do B, oraz tych, które należą do B, a nienależą do A:

(x ∈ A÷B)⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).

Uwaga 6. A÷B = (A \B) ∪ (B \ A) = (A ∪B) \ (A ∩B)

Przykład 33. Przykłady działań na przedziałach:

(a) [0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3),

(b) [0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2),

(c) [0, 2) \ [1, 3) = [0, 1),

(d) [0, 2) ∪ 2 = [0, 2],

(e) (−1,+∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),

(f) [−1, 1] \ −1, 1 = (−1, 1),

(g) [−1, 1] \ 0 = [−1, 0) ∪ (0, 1].

Przykład 34. Wspólne dzielniki liczb 12 i 18 to są dokładnie dzielniki liczby 6:

n ∈ N1 : n | 12 ∩ n ∈ N1 : n | 18 = n ∈ N1 : n | 6.

Następujące twierdzenie wyraża dwie własności działań związane z inkluzją.

Twierdzenie 3. Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami.

(a) Jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪B ⊂ C.

(b) Jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.

Dowód. (a) Załóżmy, że A ⊂ C i B ⊂ C. Rozważmy dowolny element x ∈ A ∪ B.Wówczas x ∈ A lub x ∈ B. Jeśli x ∈ A, to x ∈ C na mocy inkluzji A ⊂ C.Jeśli x ∈ B, to x ∈ C na mocy inkluzji B ⊂ C. Zatem w obu przypadkach x ∈ C.Wykazaliśmy, że dowolny element zbioru A∪B należy do zbioru C, czyli A∪B ⊂ C.

(b) Załóżmy, że A ⊂ B i A ⊂ C. Rozważmy dowolny element x ∈ A. Skoro A ⊂ Bi x ∈ A, to x ∈ B. Skoro A ⊂ C i x ∈ A, to x ∈ C. Zatem x ∈ B i x ∈ C, czylix ∈ B ∩ C.

7 ZBIORY 35

Zadanie 12. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następującerównoważności:

A ⊂ B ⇔ A \B = ∅⇔ A ∩B = A⇔ A ∪B = B.

Przykład 35. Działania ze zbiorem pustym:

(a) A ∪∅ = A,

(b) A ∩∅ = ∅,

(c) A \∅ = A,

(d) ∅ \ A = ∅.

7.4 Własności działań na zbiorach

Twierdzenie 4. Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości:

(a) (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),

(b) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),

(c) (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),

(d) (A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),

(e) (A \B) ∩ C = (A ∩ C) \B,

(f) (A \B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C),

(g) (A \B) \ C = A \ (B ∪ C),

(h) A \ (B \ C) = (A \B) ∪ (A ∩ C).

Takich równości można dowodzić dwiema metodami – rachunku zdań (bardziejformalna) i diagramów Venne’a (bardziej obrazowa). Dla przykładu udowodnimyrówności (a) i (h) metodą rachunku zdań.

Dowód. (a) Dla dowolnego elementu x mamy:x ∈ (A∪B)∩C ⇔ x ∈ (A∪B)∧x ∈ C ⇔ (x ∈ A∨x ∈ B)∧x ∈ C ⇔ (x ∈ A∧x ∈C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)⇔ (x ∈ A ∩ C) ∨ (x ∈ B ∩ C)⇔ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

Skorzystaliśmy z definicji sumy i przekroju zbiorów oraz z tautologii (p∨q)∧r ⇔(p ∧ r) ∨ (q ∧ r).(h) Dla dowolnego elementu x mamy:x ∈ A \ (B \ C)⇔ x ∈ A ∧ x 6∈(B \ C)⇔ x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B \ C)⇔ x ∈ A∧ ∼ (x ∈B ∧ x 6∈C) ⇔ x ∈ A ∧ (x 6∈B ∨ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∧ x 6∈B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇔ x ∈A \B ∨ x ∈ A ∩ C ⇔ x ∈ (A \B) ∪ (A ∩ C).

Ciekawy przykład zastosowania diagramów Venne’a ([21], zad. 90, str. 13).

7 ZBIORY 36

Zadanie 13. Załóżmy, że prawdziwe są następujące stwierdzenia:

(a) wśród ludzi posiadających telewizory są tacy, którzy nie są malarzami,

(b) ludzie, którzy codziennie pływają w basenie, a nie są malarzami, nie majątelewizorów.

Czy wynika stąd, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

(c) nie wszyscy posiadacze telewizorów pływają codziennie w basenie?

7.5 Algebra podzbiorów danego zbioru

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór podzbiorów zbioru X oznaczamy sym-bolem 2X . Dokładniej, 2X jest zbiorem, którego elementami są wszystkie podzbioryzbioru X:

A ∈ 2X ⇔ A ⊂ X.

Przykład 36. (a) Jeśli X = a, b, to

2X = ∅, a, b, a, b.

(b) Jeśli X = 1, 2, 3, to

2X = ∅, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3.

(c) Jeśli X = ♣,♦,♥,♠, to

2X = ∅, ♣, ♦, ♥, ♠, ♣,♦, ♣,♥, ♣,♠, ♦,♥, ♦,♠,♥,♠, ♣,♦,♥, ♣,♦,♠, ♣,♥,♠, ♦,♥,♠, ♣,♦,♥,♠.

Twierdzenie 5. Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór 2X ma 2n elementów.

Powyższe twierdzenie posiada proste uzasadnienie kombinatoryczne. Otóż, jeślichcemy utworzyć podzbiór zbioru X = x1, x2, . . . , xn, to powinniśmy kolejno zde-cydować: czy element x1 ma należeć do tego podzbioru, czy nie, czy element x2 manależeć do tego podzbioru, czy nie, i tak dalej, aż do elementu xn. Za każdym razemmamy dwie możliwości, więc wszystkich możliwości utworzenia podzbioru jest

2 · 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n

= 2n.

Jeśli mamy ustalony zbiór X i rozważamy tylko jego podzbiory, to zbiór Xnazywamy przestrzenią lub uniwersum.

Definicja 7. Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni X nazywamy zbiór

A′ = X \ A.

7 ZBIORY 37

Dla każdego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie

x ∈ A′ ⇔∼ (x ∈ A).

Ponadto, zachodzą następujące zależności:

A ∩ A′ = ∅, A ∪ A′ = X, (A′)′ = A, ∅′ = X, X ′ = ∅.

Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów.

Twierdzenie 6. Dla dowolnych zbiorów A,B ⊂ X zachodzą następujące równości:

1) (A ∪B)′ = A′ ∩B′,

2) (A ∩B)′ = A′ ∪B′.

Dowód. 1) Dla dowolnego elementu x ∈ X mamy:x ∈ (A ∪ B)′ ⇔∼ (x ∈ A ∪ B) ⇔∼ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇔∼ (x ∈ A)∧ ∼ (x ∈ B) ⇔x ∈ A′ ∧ x ∈ B′.

Skorzystaliśmy z tautologii ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q).

2) Analogicznie. Z jakiej tautologii należy tu skorzystać?

Podobne zależności zachodzą dla większej liczby zbiorów, na przykład:

(A ∪B ∪ C)′ = A′ ∩B′ ∩ C ′,

(A ∩B ∩ C ∩D)′ = A′ ∪B′ ∪ C ′ ∪D′.

7.6 Iloczyn kartezjański zbiorów

Rozważmy dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a ∈ A i b ∈ B może-my utworzyć parę (a, b). Zbiór wszystkich takich par oznaczamy symbolem A × Bi nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B:

A×B = (a, b); a ∈ A, b ∈ B,

przy czym(a, b) = (a′, b′)⇔ (a = a′) ∧ (b = b′).

Uwaga 7. Parę uporządkowaną można zdefiniować jako zbiór

(a, b) = a, a, b

(definicja Kuratowskiego).

Twierdzenie 7. Jeśli zbiory A i B są skończone i zbiór A ma m elementów, a zbiórB ma n elementów, to zbiór A×B ma m · n elementów.

7 ZBIORY 38

Powyższy fakt najłatwiej uzasadnić ustawiając elementy zbioru A×B w tablicym× n:

(a1, b1) (a1, b2) (a1, b3) · · · (a1, bn)(a2, b1) (a2, b2) (a2, b3) · · · (a2, bn)(a3, b1) (a3, b2) (a3, b3) · · · (a3, bn)

......

......

(am, b1) (am, b2) (am, b3) · · · (am, bn),

gdzie A = a1, a2, . . . , am, B = b1, b2, . . . , bn.

Kwadratem kartezjańskim zbioru A nazywamy zbiór A2 = A× A.

Przykład 37. R2 = R× R – płaszczyzna (z układem współrzędnych),

[0, 3)× (1, 2] ⊂ R2,

[0, 3)× (1, 2] = (x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2].

Analogicznie określamy iloczyn kartezjański większej liczby zbiorów, na przykład

A×B × C = (a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C,

przy czym(a, b, c) = (a′, b′, c′)⇔ (a = a′) ∧ (b = b′) ∧ (c = c′).

Uwaga 8. Formalnie iloczyn kartezjański trzech zbiorów A×B × C definiujemy zapomocą iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów:

A×B × C = (A×B)× C.

Wówczas trójka (a, b, c) jest zdefiniowana jako para ((a, b), c).

ZbiórAn = A× A× . . .× A︸ ︷︷ ︸

n

=

= (a1, a2, . . . , an); a1, a2, . . . , an ∈ A

nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A, na przykład R3 to przestrzeń trójwy-miarowa (z układem współrzędnych) i ogólnie Rn to przestrzeń n-wymiarowa.

7.7 Działania uogólnione na zbiorach

Jeśli T jest zbiorem i dla każdego t ∈ T jest określony pewien zbiór At, tomówimy, że jest określona rodzina zbiorów

At, t ∈ T.

Przykład 38. (a) [t,+∞), t ∈ R,

(b) (−t, t), t > 1=(−t, t), t ∈ (1,+∞),

7 ZBIORY 39

(c) 0, 1, . . . , n, n ∈ N,

(d) 0, n, n = 1, 2, 3=0, n, n ∈ 1, 2, 3.

Definicja 8. Suma⋃t∈T

At zbiorów rodziny At, t ∈ T składa się z wszystkich

elementów, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów:

x ∈⋃t∈T

At ⇔ ∃t∈Tx ∈ At.

Przypadek szczególny:n⋃k=1

Ak = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

x ∈n⋃k=1

Ak ⇔ x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 ∨ . . . ∨ x ∈ An.

Przykład 39.x ∈

⋃t∈R

[t,+∞)⇔ ∃t∈Rx ∈ [t,+∞)⇔ ∃t∈Rx > t

Otrzymane zdanie jest prawdziwe dla każdego x ∈ R, więc⋃t∈R

[t,+∞) = R.

Przykład 40. (a)⋃t∈(1,+∞)(−t, t) = R

(b)⋃n∈N0, 1, . . . , n = N

Definicja 9. Część wspólna (przekrój)⋂t∈T

At zbiorów rodziny At, t ∈ T składa

się z wszystkich elementów, które należą do każdego z tych zbiorów:

x ∈⋂t∈T

At ⇔ ∀t∈Tx ∈ At.

Przypadek szczególny:n⋂k=1

Ak = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An

x ∈n⋂k=1

Ak ⇔ x ∈ A1 ∧ x ∈ A2 ∧ . . . ∧ x ∈ An.

Przykład 41. (a) x ∈ ⋂t∈R[t,+∞)⇔ ∀t∈Rx ∈ [t,+∞)⇔ ∀t∈Rx > t.Otrzymane zdanie jest fałszywe dla każdego x ∈ R, więc⋂

t∈R[t,+∞) = ∅.

(b) x ∈ ⋂t∈(1,+∞)(−t, t)⇔ ∀t∈(1,+∞)x ∈ (−t, t)⇔ ∀t>1 − t < x < t.Otrzymane zdanie jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy x ∈ [−1, 1], więc⋂

t∈(1,+∞)

(−t, t) = [−1, 1].

7 ZBIORY 40

7.8 Zbiór słów nad alfabetem

Jako alfabet możemy obrać dowolny zbiór A (zazwyczaj zakładamy, że jest tozbiór skończony). Elementy zbioru A nazywamy literami. Słowami nad alfabetem Anazywamy ciągi elementów z A. Jeśli elementy zbioru A oznaczamy pojedynczymisymbolami, to litery słowa piszemy (bez odstępów i przecinków) jedna za drugą.Liczbę liter danego słowa nazywamy jego długością.

Przykład 42. A = a, b, c

(a) słowa jednoliterowe (długości 1): a, b, c,

(b) słowa dwuliterowe (długości 2): aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc,

(c) słowa trzyliterowe (długości 3): aaa, aab, . . .

Przykład 43. A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, słowami są na przykład:

(a) 000 – długości 3,

(b) 1234 – długości 4,

(c) 5 – długości 1,

(d) 100 000 000 – długości 9,007 – długości 3.

Jeśli słowo w ma długość m, a słowo v ma długość n, to możemy utworzyć słowowv, które ma długość m+ n.

Przyjmujemy, że jest jedno słowo puste ε złożone z 0 liter. Dla dowolnego słowaw mamy εw = wε = w.

Bardziej formalnie, zbiorem słów długości n nad alfabetemA nazywamy zbiórAn.Ponadto przyjmujemy A0 = ε. Zbiór wszystkich słów oznaczamy symbolem A∗:

A∗ = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ . . . =∞⋃n=0

An.

8 Funkcje

8.1 Pojęcie funkcji

Przypomnijmy nieformalną definicję funkcji.

„Jeżeli mamy dwa zbiory X i Y , i każdemu elementowi zbioru X przy-porządkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie przyporząd-kowanie nazywamy funkcją.”

Zbiór X nazywamy dziedziną tej funkcji, a zbiór Y jej przeciwdziedziną. Jeśli fjest taką funkcją, to piszemy f : X → Y .

Przykład 44. (a) f : N→ N, f(n) = n+ 1,

(b) gi : R→ R, g1(x) = ax+ b, g2(x) = sinx, g3(x) = 2x,g4(x) = anx

n + . . .+ a1x+ a0,

(c) E(x) = [x], np. E : R→ R lub E : R→ Z,

(d) f : N1 × N1 → N1, f(m,n) = NWD(m,n),

(e) g : R3 → R, g(x, y, z) = xy + yz + zx,

(f) h : R→ R2, h(t) = (cos t, sin t),

(g) F : R2 → R2, F (x, y) = (x2 + y2, xy).

Przykład 45. Funkcje określone w dowolnym zbiorze X:

(a) IdX : X → X, IdX(x) = x – funkcja identycznościowa,

(b) A ⊂ X, χA : X → 0, 1, χA(x) =

1, jeśli x ∈ A,0, jeśli x 6∈ A – funkcja charaktery-

styczna podzbioru A,

(c) f : X → 2X , f(x) = x.

Przykład 46. Jeśli A jest dowolnym alfabetem, to mamy funkcje:

length: X∗ → N, length(w) – długość słowa w,

head: X∗ \ ε → X, head(w) – pierwsza litera słowa w,

tail : X∗ \ ε → X, tail(w) – ostatnia litera słowa w,

rev : X∗ → X∗, rev(w) – słowo z odwróconą kolejnością liter.

Przykład 47. Nieskończony ciąg a1, a2, a3, . . . elementów dowolnego zbioru A wy-znacza funkcję f : N1 → A, f(n) = an.

Uwaga 9. W zasadzie w ten sposób definiujemy pojęcie ciągu nieskończonego.

Przykład 48. Pole jest funkcją określoną w odpowiednim zbiorze figur, np. T – zbiórtrójkątów na płaszczyźnie, P : T → R, P (ABC) – pole trójkąta ABC.

41

8 FUNKCJE 42

Definicja 10. Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór

Wf = (x, f(x)); x ∈ X = (x, y) ∈ X × Y : ∃x∈Xy = f(x).

Przykład 49. Wykresem funkcji f : R→ R, f(x) = x2, jest zbiór

(x, x2); x ∈ R.

Zauważmy, że każda funkcja jest jednoznacznie określona przez swój wykres.

Pytanie 7. Kiedy zbiór R ⊂ X × Y jest wykresem jakiejś funkcji ze zbioru X doY ?

8.2 Zbiór wartości funkcji

Definicja 11. Zbiorem wartości funkcji f : X → Y nazywamy zbiór

f(X) = f(x); x ∈ X = y ∈ Y : ∃x∈X y = f(x).

Przykład 50. (a) f : R→ R, f(x) = xn, gdzie n ∈ N1,

f(R) =

[0,+∞), jeśli n jest parzyste,R, jeśli n jest nieparzyste.

(b) g : R→ R, g(x) = ax+ b, gdzie a, b ∈ R,

g(R) =

R, jeśli a 6= 0,b, jeśli a = 0.

(c) E : R→ R, f(x) = [x], E(R) = Z

(d) h : R→ R2, h(t) = (cos t, sin t), h(R) =?

Uwaga 10. Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedziny:

f(X) ⊂ Y,

nie musi być równy całej przeciwdziedzinie! Należy odróżniać pojęcia przeciwdzie-dziny i zbioru wartości.

8.3 Funkcja różnowartościowa

Definicja 12. Funkcję f : X → Y nazywamy różnowartościową lub iniekcją,jeśli różnym elementom zbioru X przyporządkowuje różne elementy zbioru Y :

∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

Warunek równoważny, który lepiej się nadaje do sprawdzania różnowartościowo-ści konkretnych funkcji:

∀x1,x2∈X f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2.

8 FUNKCJE 43

Pytanie 8. Dlaczego te dwa warunki są równoważne?

Uwaga 11. Każda funkcja spełnia warunek

∀x1,x2∈X x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2).

Przykład 51. Przykłady iniekcji:

(a) f : R→ R, f(x) = ax+ b, gdzie a 6= 0,

(b) g : [−π2 ,

π2 ]→ R, g(x) = sin x,

(c) dowolna funkcja rosnąca f : R→ R,

(d) f : X → 2X , f(x) = x, gdzie X – dowolny zbiór.

Zadanie 14. Dla jakich n funkcja f : R→ R, f(x) = xn jest iniekcją?

8.4 Funkcja „na”

Definicja 13. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” lub suriekcją, jeślikażdy element zbioru Y jest przyporządkowany jakiemuś elementowi zbioru X:

∀y∈Y ∃x∈X f(x) = y.

Możemy to zapisać równoważnie: ∀y∈Y y ∈ f(X), czyli Y ⊂ f(X), co oznacza, żef(X) = Y (gdyż f(X) ⊂ Y ). Zatem funkcja jest „na”, gdy jej przeciwdziedzina jestzbiorem wartości: f(X) = Y .

Przykład 52. Przykłady suriekcji:

(a) f : R→ R, f(x) = ax+ b, gdzie a 6= 0,

(b) f : R→ [−1, 1], f(x) = sinx,

(c) f : R→ Z, f(x) = [x].

Zadanie 15. Dla jakich n funkcja f : R→ R, f(x) = xn jest suriekcją?

8.5 Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Definicja 14. Funkcję f : X → Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bi-jekcją, jeśli jest różnowartościowa i „na” (czyli jest iniekcją i suriekcją).

Przykład 53. Przykłady bijekcji:

(a) f : R→ R, f(x) = ax+ b, gdzie a 6= 0,

(b) f : R \ 0 → R \ 0, f(x) = 1x,

(c) f : [−π2 ,

π2 ]→ [−1, 1], f(x) = sin x,

(d) f : R→ R+, f(x) = ax, gdzie a > 0 i a 6= 1.

Zadanie 16. Dla jakich n funkcja f : R→ R, f(x) = xn jest bijekcją?

8 FUNKCJE 44

8.6 Składanie funkcji

Rozważmy dwie funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Dla danego elementu x ∈ Xmamy element y = f(x) ∈ Y , więc mamy również element g(y) = g(f(x)) ∈ Z. Wten sposób otrzymujemy funkcję ze zbioru X do zbioru Z.

Definicja 15. Złożeniem funkcji f : X → Y i g : Y → Z nazywamy funkcję

g f : X → Z

określoną następująco:

(g f)(x) = g(f(x)) dla x ∈ X.

Uwaga 12. Kolejność w zapisie g f odpowiada temu, że na element x najpierw„działa” funkcja f , a dopiero potem funkcja g.

Przykład 54. f, g : R → R, f(x) = x + 1, g(x) = x2, f(g(x)) = x2 + 1, g(f(x)) =(x+ 1)2.

Twierdzenie 8. Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowar-tościową.

Dowód. Rozważmy funkcje różnowartościowe f : X → Y i g : Y → Z. Niech x1, x2 ∈X, x1 6= x2. Z różnowartościowości funkcji f mamy: f(x1) 6= f(x2), a wówczas zróżnowartościowości funkcji g wnioskujemy, że g(f(x1)) 6= g(f(x2)).

Wykazaliśmy, że dla dowolnych x1, x2 ∈ X, jeśli x1 6= x2, to (g f)(x1) 6=(g f)(x2). Zatem funkcja g f jest różnowartościowa.

Twierdzenie 9. Złożenie dwóch funkcji „na” jest funkcją „na”.

Dowód. Załóżmy, że funkcje f : X → Y i g : Y → Z są „na”. Udowodnimy, że dladowolnego z ∈ Z istnieje x ∈ X, taki że z = (g f)(x).

Rozważmy dowolny element z0 ∈ Z. Funkcja g jest „na”, więc istnieje elementy0 ∈ Y , taki że z0 = g(y0). Funkcja f jest „na”, więc istnieje element x0 ∈ X, takiże y0 = f(x0). Zatem

z0 = g(y0) = g(f(x0)) = (g f)(x0).

Zadanie 17. Wykaż, że dowolną funkcję f : X → Y można przedstawić w postacizłożenia dwóch funkcji g : X → Z i h : Z → Y (gdzie Z jest pewnym zbiorem) takich,że g jest „na”, a h jest różnowartościowa.

Wskazówka. Spróbuj możliwie najprościej przedstawić w szukany sposób funkcjęf : R→ R, f(x) = sin x.

8 FUNKCJE 45

8.7 Funkcja odwrotna

Rozważmy dowolną funkcję f : X → Y . Funkcja f jest „na” dokładnie wtedy,gdy każdy element y ∈ Y jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowix ∈ X. Z kolei różnowartościowość funkcji f jest równoważna temu, że każdy elementy ∈ Y jest przyporządkowany co najwyżej jednemu elementowi x ∈ X.

Funkcja f : X → Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element y ∈ Yjest przyporządkowany dokładnie jednemu elementowi x ∈ X. Wówczas istniejefunkcja g : Y → X taka, że

g(y) = x⇔ y = f(x) dla x ∈ X, y ∈ Y.

Funkcja g spełnia warunki:

∀x∈X g(f(x)) = x i ∀y∈Y f(g(y)) = y,

czylig f = IdX i f g = IdY .

Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy symbolem f−1.

Przykład 55. Przykłady funkcji odwrotnych:

(a) f : R→ R, f(x) = ax+ b, gdzie a 6= 0,f−1 : R→ R, f−1(x) = x−b

a,

(b) g : [0,+∞)→ [0,+∞), g(x) = xn, gdzie n ∈ N, n > 2g−1 : [0,+∞)→ [0,+∞), g−1(x) = n

√x,

(c) h : R→ (0,+∞), h(x) = ax, gdzie a > 0, a 6= 1,h−1 : (0,+∞)→ R, h(x) = loga(x).

8.8 Obraz i przeciwobraz zbioru

Rozważmy funkcję f : X → Y .

Definicja 16. (a) Obrazem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór

f(A) = f(x); x ∈ A = y ∈ Y : ∃x∈A f(x) = y.

(b) Przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y nazywamy zbiór

f−1(B) = x ∈ X; f(x) ∈ B.

Przykład 56. (a) f : R→ R, f(x) = x2 + x+ 1,f([−1, 2]) = [3

4 , 7], f−1((34 , 1)) = (−1,−1

2) ∪ (−12 , 0)

(b) g : R→ R, g(x) = sin 3x,g((0, π3 )) = (0, 1], g−1([−1, 0)) == . . . ∪ (−π

3 , 0) ∪ (π3 ,2π3 ) ∪ (π, 4π

3 ) ∪ . . . =⋃k∈Z( (2k−1)π

3 , 2kπ3 )

8 FUNKCJE 46

(c) E : R→ R, E(x) = [x],E((−

√2,√

2)) = −2,−1, 0, 1, E−1((−√

2,√

2)) = [−1, 2).

Zadanie 18. Rozważmy funkcję f : Z× Z→ Z, f(x, y) = xy.

(a) Znajdź obrazy zbiorów: 1, 10, 100, 1000 × 1, 10, 100, 1000, 2Z × 2Z, 2n :n ∈ N × 2k + 1 : k ∈ N.

(b) Znajdź przeciwobrazy zbiorów: 1, 2, 3, 2Z, 2Z + 1.

Przykład 57. Dla dowolnej funkcji g : R2 → R zbiór rozwiązań równania g(x, y) = 0jest przeciwobrazem zbioru 0:

(x, y) ∈ R2 : g(x, y) = 0 = g−1(0).

Twierdzenie 10. Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją.

(a) Dla dowolnych zbiorów A,B ⊂ X, jeśli A ⊂ B, to f(A) ⊂ f(B).

(b) Dla dowolnych zbiorów C,D ⊂ Y , jeśli C ⊂ D, to f−1(C) ⊂ f−1(D).

Dowód. (a) Załóżmy, że zbioryA,B ⊂ X spełniają warunekA ⊂ B. Weźmy dowolnyelement y0 ∈ f(A), czyli y0 = f(x0), gdzie x0 ∈ A. Wówczas x0 ∈ B, ponieważA ⊂ B. Mamy: y0 = f(x0) i x0 ∈ B, więc y0 ∈ f(B).

(b) Rozważmy teraz zbiory C,D ⊂ Y , takie że C ⊂ D. Jeśli x0 ∈ f−1(C), tof(x0) ∈ C, a zatem f(x0) ∈ D, co oznacza, że x0 ∈ f−1(D).

Twierdzenie 11. Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Wówczas dla dowolnychzbiorów A,B ⊂ X zachodzą następujące zależności:

(a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B),

(b) f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B),

(c) f(A) \ f(B) ⊂ f(A \B).

Dowód. (a) Stosując Twierdzenie 10 (a) do inkluzji A ⊂ A ∪ B i B ⊂ A ∪ Botrzymujemy inkluzje f(A) ⊂ f(A ∪ B) i f(B) ⊂ f(A ∪ B). Zatem f(A) ∪ f(B) ⊂f(A ∪B).

Pozostaje do udowodnienia inkluzja f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B). Weźmy dowolnyelement y0 ∈ f(A ∪ B). Istnieje x0 ∈ A ∪ B, takie że y0 = f(x0). Jeśli x0 ∈ A, toy0 ∈ f(A), a jeśli x0 ∈ B, to y0 ∈ f(B). Ostatecznie, y0 ∈ f(A) ∪ f(B), co kończydowód.

(b) Wystarczy zastosować Twierdzenie 10 (a) do inkluzji A∩B ⊂ A i A∩B ⊂ B.

Twierdzenie 12. Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Wówczas dla dowolnychzbiorów C,D ⊂ Y zachodzą równości:

(a) f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D),

8 FUNKCJE 47

(b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D),

(c) f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D).

Dowód. (a) Dla dowolnego x ∈ X mamy:

x ∈ f−1(C∪D)⇔ f(x) ∈ C∪D ⇔ (f(x) ∈ C∨f(x) ∈ D)⇔ (x ∈ f−1(C)∨x ∈ f−1(D))⇔ x ∈ f−1(C)∪f−1(D).

(b) Analogicznie do (a).

8.9 Cztery abstrakcyjne zadania o funkcjach

Zadanie 19. Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa dokładniewtedy, gdy dla dowolnych podzbiorów A,B ⊂ X zachodzi implikacja:

A $ B ⇒ f(A) $ f(B).

Zadanie 20. Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest „na” dokładnie wtedy, gdy dladowolnych podzbiorów C,D ⊂ Y zachodzi implikacja:

C $ D ⇒ f−1(C) $ f−1(D).

Zadanie 21. Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnego zbioru Z i dowolnych funkcji g1, g2 : Z → X zachodziimplikacja:

f g1 = f g2 ⇒ g1 = g2.

Zadanie 22. Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdydla dowolnego zbioru Z i dowolnych funkcji h1, h2 : Y → Z zachodzi implikacja:

h1 f = h2 f ⇒ h1 = h2.

Rozwiązanie. (⇒) Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest „na” i rozważmy dowolnefunkcje h1, h2 : Y → Z, takie że

(∗) h1 f = h2 f.

Pokażemy, że h1 = h2.

Dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X, taki że y = f(x) (f jest „na”). Zatem, zrówności (∗) dla y ∈ Y otrzymujemy

h1(y) = h1(f(x)) = h2(f(x)) = h2(y),

co oznacza, że h1 = h2.

(⇐) Pokażemy, że jeśli funkcja f : X → Y nie jest „na”, to istnieje zbiór Z i funkcjeh1, h2 : Y → Z, dla których nie jest prawdziwa implikacja

h1 f = h2 f ⇒ h1 = h2,

8 FUNKCJE 48

czyli h1 f = h2 f i h1 6= h2.

Zauważmy, że wystarczy rozważyć dwuelementowy zbiór Z = a, b, funkcjęh1 : Y → Z określić wzorem h1(y) = a dla każdego y ∈ Y , a funkcję h2 : Y → Zokreślić następująco:

h2(y) =a, jeśli y ∈ f(X),b, jeśli y ∈ Y \ f(X).

Funkcje h1 i h2 są różne, gdyż zbiór Y \f(X) jest niepusty (f nie jest „na”). Nato-miast dla każdego x ∈ X oczywiście f(x) ∈ f(X), więc h2(f(x)) = a = h1(f(x)).

9 Relacje

9.1 Pojęcie relacji

Definicja 17. Relacją n-argumentową zachodzącą między elementami zbiorów X1,X2, . . . , Xn nazywamy podzbiór

% ⊂ X1 ×X2 × . . .×Xn.

Jeśli % ⊂ X × Y jest relacją dwuargumentową (binarną), to zamiast (x, y) ∈ %piszemy x%y.

Definicja 18. Relacją binarną określoną w zbiorze X nazywamy podzbiór % ⊂ X ×X.

9.2 Funkcja jako relacja

Uwaga 13. Wykres funkcji f : X → Y , jako podzbiór iloczynu kartezjańskiegoX×Y ,jest relacją binarną zachodzącą między elementami zbiorów X i Y . Funkcję zdefinio-waliśmy nieformalnie jako przyporządkowanie, natomiast wykres jest z formalnegopunktu widzenia „porządnym” obiektem matematycznym. I ten właśnie obiekt ofi-cjalnie definiujemy jako funkcję.

Definicja 19. Funkcją nazywamy relację binarną R ⊂ X ×Y , taką że dla każdegoelementu x ∈ X jest jeden i tylko jeden element y ∈ Y spełniający warunek (x, y) ∈R:

∀x∈X∃!y∈Y (x, y) ∈ R.

Kwantyfikator ∃! oznacza „istnieje dokładnie jeden”. Powyższy warunek możemywyrazić również za pomocą standardowych kwantyfikatorów:

(∀x∈X∃y∈Y (x, y) ∈ R) ∧ (∀x∈X∀y1,y2∈Y ((x, y1) ∈ R ∧ (x, y2) ∈ R)⇒ y1 = y2).

9.3 Własności relacji binarnych

Rozważmy relację binarną % określoną w zbiorze X: % ⊂ X ×X.

Definicja 20. Mówimy, że relacja % jest:

– zwrotna, jeśli ∀x∈Xx%x,

– przeciwzwrotna, jeśli ∀x∈X ∼ x%x,

– symetryczna, jeśli ∀x,y∈Xx%y ⇒ y%x,

– asymetryczna (antysymetryczna), jeśli ∀x,y∈Xx%y ⇒∼ y%x,

– słabo antysymetryczna, jeśli ∀x,y∈Xx%y ∧ y%x⇒ x = y,

– spójna, jeśli ∀x,y∈Xx%y ∨ y%x ∨ x = y,

49

9 RELACJE 50

– przechodnia, jeśli ∀x,y,z∈Xx%y ∧ y%z ⇒ x%z.

Przykład 58. Zbadajmy własności następujących relacji binarnych w zbiorze R: „x <y”, „x 6 y”, „|x| = |y|”.

relacja w R x < y x 6 y |x| = |y|zwrotność − + +

przeciwzwrotność + − −symetria − − +asymetria + − −

słaba antysymetria + + −spójność + + −

przechodniość + + +

Przykład 59. Zbadajmy własności następujących relacji binarnych w zbiorze N1: „xi y są tej samej parzystości”, „y = x2”, „x | y”.

relacja w N1 x i y stsp y = x2 x | yzwrotność + − +

przeciwzwrotność − − −symetria + − −asymetria − − −

słaba antysymetria − + +spójność − − −

przechodniość + − +

Uwaga 14. Jeśli relacja jest asymetryczna, to jest też słabo antysymetryczna.

9.4 Grafy i macierze relacji binarnych

Rozważmy relację binarną % określoną w zbiorze skończonym X. Możemy na-rysować graf, którego wierzchołki są oznaczone elementami tego zbioru. Krawędźgrafu o początku x i końcu y (strzałkę prowadzącą z x do y) rysujemy wtedy i tylkowtedy, gdy x%y.

Własności danej relacji można odczytać z grafu.

zwrotność Przy każdym wierzchołku jest pętla.przeciwzwrotność Przy żadnym wierzchołku nie ma pętli.

symetria Na każdej krawędzi są strzałki w obie strony.asymetria Na każdej krawędzi jest strzałka tylko w jedną stronę.

Nie ma pętli.słaba antysymetria Na każdej krawędzi jest strzałka tylko w jedną stronę.

(Mogą być pętle.)spójność Każde dwa (różne) wierzchołki są połączone krawędzią.

Macierz relacji % tworzymy w ten sposób, że wiersze i kolumny oznaczamy ele-mentami zbioru X. Na przecięciu wiersza oznaczonego elementem x i kolumny ozna-czonej elementem y stawiamy 1, jeśli x%y, a 0 w przeciwnym wypadku.

9 RELACJE 51

Przykład 60. Niech X = 1, 2, 3, 4, 5.

x < y

x\y 1 2 3 4 51 0 1 1 1 12 0 0 1 1 13 0 0 0 1 14 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0

x | y

x\y 1 2 3 4 51 1 1 1 1 12 0 1 0 1 03 0 0 1 0 04 0 0 0 1 05 0 0 0 0 1

y = x2

x\y 1 2 3 4 51 1 0 0 0 02 0 0 0 1 03 0 0 0 0 04 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0

x i y stsp

x\y 1 2 3 4 51 1 0 1 0 12 0 1 0 1 03 1 0 1 0 14 0 1 0 1 05 1 0 1 0 1

Własności danej relacji można odczytać z macierzy.

zwrotność Na głównej przekątnej są same jedynki.przeciwzwrotność Na głównej przekątnej są same zera.

symetria Macierz jest symetryczna (względem głównej przekąt-nej).

asymetria Na miejscach symetrycznych (względem głównej prze-kątnej) nie ma dwóch jedynek. Na głównej przekątnejsą same zera.

słaba antysymetria Na miejscach symetrycznych (względem głównej prze-kątnej) nie ma dwóch jedynek.

spójność Na miejscach symetrycznych (względem głównej prze-kątnej) nie ma dwóch zer.

Zadanie 23. (a) Narysować dowolny graf relacji. Zbadać własności tej relacji.Utworzyć jej macierz.

(b) Napisać dowolną macierz relacji. Zbadać własności tej relacji. Narysować jejgraf.

9.5 Relacje porządkujące

Definicja 21. Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją częścio-wego porządku (lub relacją porządkującą), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetrycznai przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbioremczęściowo uporządkowanym.

9 RELACJE 52

Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem „4”. Mówimy wówczas,że (X,4) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Mamy zatem warunki:

∀x∈Xx 4 x, ∀x,y∈Xx 4 y ∧ y 4 x⇒ x = y,

∀x,y,z∈Xx 4 y ∧ y 4 z ⇒ x 4 z.

Jeśli „4” jest relacją częściowego porządku, to możemy określić relację „≺” na-stępująco:

x ≺ y ⇔ x 4 y ∧ x 6= y.

Jeśli x ≺ y, to mówimy, że element x jest mniejszy od y (w sensie relacji), a yjest większy od x. Jeśli x 4 y, to mówimy, że element x jest mniejszy lub równy y(w sensie relacji), a y jest większy lub równy x.

9.6 Elementy ekstremalne

Definicja 22. Niech (X,4) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Elementx ∈ X nazywamy:

– najmniejszym, jeśli jest mniejszy od pozostałych elementów:

∀y∈Xx 4 y,

– największym, jeśli jest większy od pozostałych elementów:

∀y∈Xy 4 x,

– minimalnym, jeśli nie ma elementów od niego mniejszych:

∀y∈Xy 4 x⇒ y = x,

– maksymalnym, jeśli nie ma elementów od niego większych:

∀y∈Xx 4 y ⇒ y = x.

Przykład 61. Elementy ekstremalne.

zbiór częściowo uporządkowany elementy minimalne elementy maksymalne(1, 2, 3, 4, 5,6) 1 – najmniejszy 5 – największy(1, 2, 3, 4, 5, |) 1 – najmniejszy 3, 4, 5

(N1, |) 1 – najmniejszy nie ma(N2, |) liczby pierwsze nie ma

(2a,b,c,⊂) ∅ a, b, c(2a,b,c \ ∅, a, b, c,⊂) a, b, c a, b, a, c, b, c

Zadanie 24. Narysuj kilka diagramów zbiorów częściowo uporządkowanych, wskażelementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe.

Uwaga 15. Element najmniejszy (jeśli istnieje) jest jedynym elementem minimal-nym. Analogicznie, element największy jest jedynym maksymalnym. Jedyny elementminimalny nie musi być elementem najmniejszym (chyba, że zbiór jest skończony).

9 RELACJE 53

9.7 Porządek liniowy

Definicja 23. Relację porządkującą, która jest spójna, nazywamy relacją porządkuliniowego. Oznacza to, że spełniony jest warunek

∀x,y∈Xx 4 y ∨ y 4 x.

Przykład 62. Zbiory liniowo uporządkowane: (R,6), (1, 2, 4, 8, |), (a, a, b, a, b, c,⊂).

W zbiorze liniowo uporządkowanym istnieje co najwyżej jeden element mini-malny. Jeśli taki element istnieje, to jest elementem najmniejszym. Analogicznawłasność zachodzi oczywiście dla elementów maksymalnych.

Porządek leksykograficzny

Niech (A,4) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. W zbiorze słów nad al-fabetem A określamy relację porządku leksykograficznego „4lex” w sposób następu-jący:

a1a2 . . . am 4lex b1b2 . . . bn ⇔

a1 ≺ b1

∨a1 = b1, . . . , ak−1 = bk−1, ak ≺ bk∨a1 = b1, . . . , am = bm,m 6 n.

Relacja „4lex” jest porządkiem liniowym w zbiorze A∗.

Porządek gęsty

Definicja 24. Porządek liniowy „4” w zbiorze X nazywamy gęstym, jeśli dla do-wolnych dwóch elementów a, b ∈ X spełniających warunek a ≺ b istnieje elementc ∈ X taki, że a ≺ c i c ≺ b.

Przykład 63. Przykłady zbiorów uporządkowanych gęsto: Q, R ze „zwykłą” relacjąx 6 y.

Przykład 64. Przykład zbioru z porządkiem liniowym, który nie jest gęsty: (Z,6).

Twierdzenie 13. Jeśli (X,4) jest zbiorem uporządkowanym gęsto, to dla dowol-nych dwóch elementów a, b ∈ X spełniających warunek a ≺ b istnieje nieskończeniewiele elementów c ∈ X takich, że a ≺ c i c ≺ b.

Dowód. Jeśli elementy a, b ∈ X spełniają warunek a ≺ b, to istnieje element b1 ∈ X,taki że a ≺ b1 i b1 ≺ b. A skoro a ≺ b1, to istnieje element b2 ∈ X, taki że a ≺ b2

i b2 ≺ b1 (z czego wynika, że b2 ≺ b). Następnie, istnieje element b3 ∈ X, taki żea ≺ b3 i b3 ≺ b2 (skąd mamy: b3 ≺ b).

W ten sposób konstruujemy nieskończony ciąg elementów b1, b2, b3, . . . , spełnia-jących dla każdego n warunki:

a ≺ bn ≺ bn−1 ≺ . . . ≺ b2 ≺ b1 ≺ b.

9 RELACJE 54

Porządek ciągły

Definicja 25. Porządek gęsty „4” w zbiorze X nazywamy ciągłym, jeśli dla dowol-nych dwóch niepustych podzbiorów A,B ⊂ X spełniających warunek

∀a∈A∀b∈B a 4 b

istnieje element c ∈ X taki, że(∀a∈A a 4 c

)∧(∀b∈B c 4 b

).

Przykład 65. Przykład zbioru z porządkiem ciągłym: (R,6).

Przykład 66. Przykłady zbiorów z porządkiem liniowym, który nie jest ciągły: Z, Qz relacją „6”.

Porządek dobry

Definicja 26. Porządek liniowy „4” w zbiorze X nazywamy dobrym, jeśli w każdymniepustym podzbiorze A ⊂ X istnieje element najmniejszy.

Przykład 67. Przykłady zbiorów uporządkowanych w sposób dobry:

– dowolny zbiór skończony liniowo uporządkowany,

– N z relacją „6”,

– N × N z porządkiem leksykograficznym wyznaczonym przez relację „6” wzbiorze N.

Przykład 68. Przykłady podzbiorów zbioru R z relacją „6”, które są uporządkowanew sposób dobry:

– − 1n, n ∈ N \ 0,

– − 1n, n ∈ N \ 0 ∪ 0,

– − 1n, n ∈ N \ 0 ∪ 1− 1

n, n ∈ N \ 0,

– m− 1n,m ∈ N, n ∈ N \ 0.

Przykład 69. Przykłady zbiorów z porządkiem liniowym, który nie jest dobry: Z, Q,R, R+, [0,+∞) z relacją „6”.

Twierdzenie Zermela. Każdy zbiór można dobrze uporządkować.

Dowód tego twierdzenia można znaleźć w [11], str. 157 oraz w [7], str. 153.

9 RELACJE 55

9.8 Relacje równoważności

Definicja 27. Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją równo-ważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia:

∀x∈X x%x, ∀x,y∈X x%y ⇒ y%x, ∀x,y,z∈X x%y ∧ y%z ⇒ x%z.

Niech m będzie liczbą naturalną, m > 1. W zbiorze Z określmy relację

x ≡ y (mod m)⇔ m | x− y.

Zapis x ≡ y (mod m) czytamy „x przystaje do y modulo m”.

Przystawanie modulo m jest relacją równoważności w zbiorze Z (sprawdź!). Za-uważmy, że x ≡ y (mod m) dokładnie wtedy, gdy x i y dają tę samą resztę przydzieleniu przez m.

Przykład 70. Tabela liczb całkowitych dających odpowiednie reszty przy dzieleniuprzez 5.

reszta liczby0 . . . ,−10,−5, 0, 5, 10, . . .1 . . . ,−9,−4, 1, 6, 11, . . .2 . . . ,−8,−3, 2, 7, 12, . . .3 . . . ,−7,−2, 3, 8, 13, . . .4 . . . ,−6,−1, 4, 9, 14, . . .

Widzimy, że liczby znajdujące się w jednym wierszu są ze sobą w relacji, a liczbyznajdujące się w różnych wierszach nie są ze sobą w relacji, na przykład:

−10 ≡ 5 (mod 5), 11 ≡ −4 (mod 5), 2014 ≡ 4 (mod 5),

3 ≡ 13 (mod 5), −96≡7 (mod 5), −26≡2 (mod 5).

9.9 Klasy abstrakcji

Definicja 28. Niech % będzie relacją binarną w zbiorze X. Dla każdego elementux ∈ X określamy zbiór

[x]% = y ∈ X : x%y ⊂ X.

Jeśli % jest relacją równoważności, to zbiór [x]% nazywamy klasą abstrakcji (lubklasą równoważności) elementu x.

Przykład 71. Dla relacji przystawania modulo 5 mamy np.:

[0]% = . . . ,−5, 0, 5, 10, . . . ,

[7]% = [2]% = . . . ,−3, 2, 7, 12, . . . ,

[2014]% = [4]% = . . . ,−6,−1, 4, 9, 14, . . . .

9 RELACJE 56

Zauważmy, że zbiory [0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]% są parami rozłączne oraz

[0]% ∪ [1]% ∪ [2]% ∪ [3]% ∪ [4]% = Z.

Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to

[x]% = y ∈ X : x%y = y ∈ X : y%x.

Twierdzenie 14. Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to:

(a) ∀x∈X x ∈ [x]%,

(b) ∀x,y∈X x%y ⇔ [x]% = [y]%,

(c) ∀x,y∈X [x]% = [y]% ∨ [x]% ∩ [y]% = ∅.

Dowód. (a) Dla dowolnego x ∈ X mamy: x%x, więc x ∈ [x]%.

(b) (⇒) Załóżmy, że x, y ∈ X spełniają warunek x%y. Udowodnimy równość zbio-rów [x]% = [y]%. Dla dowolnego z ∈ X mamy:

– jeśli z ∈ [x]%, to x%z, a skoro (z symetrii) y%x, to (z przechodniości) y%z,co oznacza, że z ∈ [y]%,

– jeśli z ∈ [y]%, to y%z, a ponieważ x%y, więc (z przechodniości) x%z, cooznacza, że z ∈ [x]%.

(⇐) Załóżmy, że dla pewnych elementów x, y ∈ X zachodzi równość [x]% =[y]%. Z punktu (a) wiemy, że y ∈ [y]%, zatem y ∈ [x]%, a to oznacza, że x%y.

(c) Rozważmy dowolne elementy x, y ∈ X. W punkcie (b) wykazaliśmy, że jeślix%y, to [x]% = [y]%. Udowodnimy teraz, że jeśli ∼ (x%y), to [x]% ∩ [y]% = ∅.

Zastosujemy metodę „nie wprost”, tzn. wykażemy, że jeśli [x]% ∩ [y]% 6= ∅, tox%y. Załóżmy, że [x]% ∩ [y]% 6= ∅, czyli istnieje pewien element z ∈ [x]% ∩ [y]%.Skoro z ∈ [x]%, to x%z, a skoro z ∈ [y]%, to y%z, więc (z symetrii) również z%y.Otrzymaliśmy: x%z oraz z%y, więc (z przechodniości) x%y.

Wniosek 1. Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to jej klasy abstrakcjisą niepuste, parami rozłączne i ich sumą jest cały zbiór X.

Mówimy, że klasy abstrakcji określają podział zbioru X. Okazuje się, że zachodziteż zależność odwrotna.

Twierdzenie 15. Jeśli zbiór X jest podzielony na niepuste, parami rozłączne pod-zbiory:

X =⋃i∈IXi, Xi 6= ∅, Xi ∩Xj = ∅ dla i 6= j,

9 RELACJE 57

to możemy określić relację % odpowiadającą temu podziałowi, taką że elementy x, ysą w relacji, gdy należą do tej samej części podziału:

x%y ⇔ ∃i∈Ix, y ∈ Xi.

Wówczas % jest relacją równoważności, a jej klasami abstrakcji są części podziałuzbioru X.

Dowód. Skoro X =⋃i∈I Xi, to każdy element x ∈ X należy do pewnego zbioru Xi,

a wówczas x%x. Jeśli elementy x, y ∈ X spełniają warunek x%y, to x, y ∈ Xi dlapewnego i, więc również y%x. Jeśli dla x, y, z ∈ X mamy: x%y i y%z, to x, y ∈ Xi dlapewnego i oraz y, z ∈ Xj dla pewnego j. Wówczas Xi ∩Xj 6= ∅, więc i = j, a zatemx%z. Udowodniliśmy, że % jest relacją równoważności.

Rozważmy teraz dowolny element x ∈ X. Element x należy do dokładnie jednegozbioru Xi. Zatem dla dowolnego y ∈ X mamy:

x%y ⇔ y ∈ Xi,

więc[x]% = y ∈ X : x%y = Xi.

Przykład 72. (a) podział X = A,B,C,D∪E,F∪G,H∪I określa relację∼ taką, że np. A ∼ A, A ∼ B, A ∼ C, A ∼ D, A 6∼E, A 6∼F , A 6∼G, A 6∼H,A 6∼ I,

(b) podział 1, 2, 3, 4, 5 = 1, 3, 5 ∪ 2, 4 określa relację ∼ taką, że x ∼ y ⇔ xi y są tej samej parzystości.

Zbiór ilorazowy

Definicja 29. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze X, to zbiór jej klasabstrakcji nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy symbolem X/%.

Przykład 73. Dla przystawania modulo 5 mamy

Z/% = [0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]%.

10 Teoria mocy

10.1 Zbiory przeliczalne

Definicja 30. Zbiór, którego elementy można ustawić w ciąg (skończony lub nie-skończony), nazywamy przeliczalnym.

W myśl powyższej definicji wszystkie zbiory skończone oraz zbiór liczb natural-nych są zbiorami przeliczalnymi.

Przykład 74. Z jest zbiorem przeliczalnym. Przykład ustawienia wszystkich liczbcałkowitych w ciąg:

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .

Zadanie 25. Podaj jawny wzór powyższego ciągu.

Twierdzenie 16. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Oczywiście podzbiór zbioru skończonego jest zbiorem skończonym, a więcprzeliczalnym. Rozważmy teraz dowolny nieskończony zbiór przeliczalny:

A = a1, a2, a3, . . . .

Każdy skończony podzbiór zbioru A jest zbiorem przeliczalnym. Niech B będzie do-wolnym nieskończonym podzbiorem zbioru A. Elementy zbioru B stanowią podciągciągu elementów zbioru A:

B = ai1 , ai2 , ai3 , . . . ,

gdzie i1 < i2 < i3 < . . . , zatem B jest zbiorem przeliczalnym.

Twierdzenie 17. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Rozważmy dowolne dwa zbiory przeliczalne A i B. Jeśli A i B są zbiora-mi skończonymi, to ich suma też jest zbiorem skończonym, a więc przeliczalnym.Załóżmy teraz, że A jest zbiorem nieskończonym:

A = a1, a2, a3, . . . .

Jeśli zbiór B \ A jest skończony:

B \ A = b1, b2, . . . , bn,

to wszystkie elementy zbioru A ∪B możemy ustawić w ciąg następująco:

b1, b2, . . . , bn, a1, a2, a3, . . .

Jeśli natomiast zbiór B \ A jest nieskończony:

B \ A = b1, b2, b3, . . . ,

to wszystkie elementy zbioru A ∪B możemy ustawić w ciąg następująco:

a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . .

58

10 TEORIA MOCY 59

W powyższym dowodzie rozważaliśmy elementy zbioru B \ A zamiast B po to,aby otrzymać ciąg, w którym wyrazy się nie powtarzają. Zauważmy, że taki zabiegwcale nie jest konieczny do udowodnienia przeliczalności zbioru.

Uwaga 16. Dla dowolnego ciągu

a1, a2, a3, . . .

(którego wyrazy mogą się powtarzać) zbiór jego wyrazów

A = a1, a2, a3, . . .

jest przeliczalny.

Możemy to uzasadnić używając analogicznego argumentu jak w dowodzie Twier-dzenia 16. Dzięki powyższej uwadze łatwiej udowodnimy następujące twierdzenie,będące uogólnieniem Twierdzenia 17.

Twierdzenie 18. a) Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbioremprzeliczalnym.

b) Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeli-czalnym.

Dowód. a) Rozważmy rodzinę zbiorów

A = At, t ∈ T,

gdzie T jest zbiorem przeliczalnym, taką że dla każdego t ∈ T zbiór At jest przeli-czalny.

Jeśli wśród zbiorów rodziny A są zbiory skończone, to przez T0 oznaczamy zbiórwszystkich tych t ∈ T , dla których At jest zbiorem skończonym. Jeśli ponadto T0

jest zbiorem skończonym, to suma ⋃t∈T0

At

jest zbiorem skończonym, jako skończona suma zbiorów skończonych. Jeśli zaś T0

jest zbiorem nieskończonym, to jego elementy można ustawić w ciąg nieskończony:

T0 = t1, t2, t3, . . . ,

gdyż jest przeliczalny jako podzbiór zbioru T . Wówczas elementy kolejnych zbiorówskończonych:

At1 = a(1)1 , a

(1)2 , . . . , a(1)

n1,

At2 = a(2)1 , a

(2)2 , . . . , a(2)

n2,

At3 = a(3)1 , a

(3)2 , . . . , a(3)

n3,

...

10 TEORIA MOCY 60

możemy ustawić w jeden ciąg

a(1)1 , a

(1)2 , . . . , a(1)

n1, a

(2)1 , a

(2)2 , . . . , a(2)

n2, a

(3)1 , a

(3)2 , . . . , a(3)

n3, . . .

Zbiór wyrazów tego ciągu, czyli ⋃t∈T0

At

jest zatem zbiorem przeliczalnym.

Załóżmy teraz, że wśród zbiorów rodziny A są zbiory nieskończone (przeliczal-ne) i oznaczmy przez T1 zbiór wszystkich tych t ∈ T , dla których At jest zbioremnieskończonym. Jeśli T1 jest zbiorem skończonym: T1 = t′1, t′2, . . . , t′m, to przeli-czalność zbioru ⋃

t∈T1At = At′1 ∪ · · · ∪ At′m

uzasadniamy prostą indukcją: dla m = 1 oczywiste z założenia, że At′1 jest przeli-czalny, w kroku indukcyjnym, jeśli zbiór At′1 ∪ · · · ∪ At′m jest przeliczalny, to zbiór(At′1 ∪ · · · ∪At′m)∪At′m+1 też jest przeliczalny, na mocy Twierdzenia 17. Niech terazT1 będzie zbiorem nieskończonym (przeliczalnym): T1 = t′1, t′2, t′3 . . . . Elementykolejnych zbiorów:

At′1 = a(1)1 , a

(1)2 , a

(1)3 , a

(1)4 , . . . ,

At′2 = a(2)1 , a

(2)2 , a

(2)3 , a

(2)4 , . . . ,

At′3 = a(3)1 , a

(3)2 , a

(3)3 , a

(3)4 , . . . ,

At′4 = a(4)1 , a

(4)2 , a

(4)3 , a

(4)4 , . . . ,

...

możemy ustawić w jeden ciąg np. tak:

a(1)1 , a

(2)1 , a

(1)2 , a

(3)1 , a

(2)2 , a

(1)3 , a

(4)1 , a

(3)2 , a

(2)3 , a

(1)4 , . . .

Zbiór wyrazów tego ciągu, czyli ⋃t∈T1

At

jest wówczas zbiorem przeliczalnym.

Ostatecznie, zbiór ⋃t∈T

At =( ⋃t∈T0

At)∪( ⋃t∈T1

At)

jest przeliczalny jako suma dwóch zbiorów przeliczalnych, na mocy Twierdzenia 17.

b) Udowodnimy najpierw, że iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jestzbiorem przeliczalnym.

Jeśli zbiory A i B są skończone, to zbiór A×B jest skończony, a więc przeliczalny.Jeśli zbiór A jest skończony:

A = a1, a2, . . . , an,

10 TEORIA MOCY 61

a zbiór B jest nieskończony (przeliczalny):

B = b1, b2, b3, . . . ,

to elementy zbioru A×B możemy ustawić w ciąg

(a1, b1), (a2, b1), . . . , (an, b1), (a1, b2), (a2, b2), . . . , (an, b2), (a1, b3), (a2, b3), . . . , (an, b3), . . .

Jeśli zbiór A jest nieskończony (przeliczalny), a zbiór B jest skończony, to postępu-jemy analogicznie.

Załóżmy teraz, że oba zbiory A i B są nieskończone (przeliczalne):

A = a1, a2, a3, a4, . . . ,

B = b1, b2, b3, b4, . . . ,Wówczas elementy zbioru A×B możemy ustawić w ciąg w sposób następujący:

(a1, b1), (a2, b1), (a1, b2), (a3, b1), (a2, b2), (a1, b3), (a4, b1), (a3, b2), (a2, b3), (a1, b4), . . .

Niech teraz A1, A2, . . . , An będą zbiorami przeliczalnymi. Wówczas zbiór

A1 × A2 × · · · × An

jest przeliczany na mocy prostej indukcji. Przypadek n = 2 został rozpatrzonypowyżej. Jeśli teza zachodzi dla pewnego n > 2 oraz zbiory A1, A2, . . . , An, An+1

są przeliczalne, to zbiór A1 × A2 × · · · × An jest przeliczalny na mocy założeniaindukcyjnego, a wówczas zbiór

(A1 × A2 × · · · × An)× An+1

jest przeliczalny jako iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych.

Wniosek 2. Z× Z jest zbiorem przeliczalnym.

Przykład 75. Q jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postacia

b, gdzie

a i b są liczbami całkowitymi, b > 0 oraz NWD(a, b) = 1. Wystarczy teraz zauważyć,że zbiór par

(a, b) ∈ Z× Z : b > 0, NWD(a, b) = 1jest przeliczalny, jako podzbiór zbioru Z× Z.

Twierdzenie 19. Jeśli X jest zbiorem przeliczalnym, to zbiór wszystkich ciągówskończonych o wyrazach z X też jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Zbiór ciągów długości n o wyrazach z X, czyli zbiór Xn, jest przeliczalny namocy Twierdzenia 18 b). Wówczas zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazachz X, czyli zbiór

X ∪X2 ∪X3 ∪ . . . =∞⋃n=1

Xn

jest przeliczalny na mocy Twierdzenia 18 a).

10 TEORIA MOCY 62

Wniosek 3. Zbiór wszystkich słów nad przeliczalnym alfabetem jest przeliczalny.

Wniosek 4. Zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych jestzbiorem przeliczalnym.

Dowód. Wielomian anxn+an−1xn−1 + . . .+a1x+a0, gdzie an 6= 0, jest jednoznacznie

określony przez ciąg jego współczynników (an, an−1, . . . , a1, a0). Wystarczy więczauważyć, że zbiór takich ciągów

(an, an−1, . . . , a1, a0), n ∈ N \ 0, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ Q : an 6= 0jest przeliczalny, jako podzbiór zbioru wszystkich ciągów skończonych o wyrazach zQ.

Liczba√

2 nie jest wymierna, ale jest pierwiastkiem wielomianu x2 − 2 o współ-czynnikach wymiernych. Liczbę będącą pierwiastkiem niezerowego wielomianu owspółczynnikach wymiernych nazywamy liczbą algebraiczną.

Wniosek 5. Zbiór liczb algebraicznych jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód. Skoro zbiór niezerowych wielomianów jednej zmiennej o współczynnikachwymiernych jest przeliczalny, a każdy taki wielomian ma skończoną liczbę pierwiast-ków, to zbiór tych pierwiastków jest przeliczalny jako suma przeliczalnej rodzinyzbiorów skończonych. Dokładniej, zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczyn-nikach wymiernych oznaczmy przez Q[x], zbiór pierwiastków wielomianu P oznacz-my przez V (P ). Wówczas dla każdego P ∈ Q[x] \ 0 zbiór V (P ) jest skończony,więc zbiór ⋃

P∈Q[x]\0V (P )

jest przeliczalny na mocy Twierdzenia 18 a).

10.2 Zbiory nieprzeliczalne

Twierdzenie 20. Zbiór zawierający zbiór nieprzeliczalny jest zbiorem nieprzeliczal-nym.

Dowód. Rozważmy dwa zbiory X i Y , takie że X ⊂ Y . W oparciu o metodę „niewprost” wystarczy udowodnić, że jeśli Y jest przeliczalny, to X jest przeliczalny, ato jest teza Twierdzenia 16.

Twierdzenie 21. Jeśli zbiór X ma więcej niż jeden element, to zbiór wszystkichciągów nieskończonych o wyrazach z X jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Dowód. Niech zbiór X ma co najmniej dwa elementy, oznaczmy je przez a i b. Przy-puśćmy, że zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach z X jest przeliczalny.Rozważmy ustawienie w ciąg wszystkich takich ciągów:

x(1) = (x(1)1 , x

(1)2 , x

(1)3 , x

(1)4 , . . . ),

x(2) = (x(2)1 , x

(2)2 , x

(2)3 , x

(2)4 , . . . ),

x(3) = (x(3)1 , x

(3)2 , x

(3)3 , x

(3)4 , . . . ),

x(4) = (x(4)1 , x

(4)2 , x

(4)3 , x

(4)4 , . . . ),

...

10 TEORIA MOCY 63

Rozważmy ciągx(0) = (x(0)

1 , x(0)2 , x

(0)3 , x

(0)4 , . . . )

określony następująco:

x(0)n =

a, jeśli x(n)

n 6= a,b, jeśli x(n)

n = a,

n = 1, 2, 3, . . . Zauważmy, że n-ty wyraz ciągu x(0) jest różny od n-tego wyrazu ciągux(n), więc ciąg x(0) jest różny od każdego z ciągów x(1), x(2), x(3), . . . Otrzymaliśmysprzeczność z założeniem, że zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach zX jest przeliczalny.

Przykład 76. R jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Dowód. Skoro zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach ze zbioru 0, 1jest nieprzeliczalny, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych o zapisie dziesiętnympostaci 0, c1c2c3 . . . , gdzie c1, c2, c3, · · · ∈ 0, 1, też jest nieprzeliczalny. Zatem zbiórR zawiera zbiór nieprzeliczalny, więc też jest nieprzeliczalny.

Twierdzenie 22. Różnica A \B zbioru nieprzeliczalnego A i zbioru przeliczalnegoB, jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Dowód. Rozważmy zbiór nieprzeliczalny A i zbioru przeliczalny B. Gdyby zbiórA \B był przeliczalny, to zbiór

(A \B) ∪B = A

też byłby przeliczalny (Twierdzenie 17) – sprzeczność. Zatem zbiór A \ B jest nie-przeliczalny.

Wniosek 6. Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

10.3 Równoliczność zbiorów

Definicja 31. Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : A→B.

Twierdzenie 23. Dwa zbiory skończone są równoliczne dokładnie wtedy, gdy majątę samą liczbę elementów.

Dowód. (⇒) Załóżmy, że zbiory A i B są równoliczne, czyli istnieje bijekcja f : A→B. Niech zbiór A ma n elementów: A = a1, a2, . . . , an. Skoro funkcja f jestróżnowartościowa, to elementy f(a1), f(a2), . . . , f(an) są parami różne. Ponadto,każdy element zbioru B jest postaci f(ai) dla pewnego i, ponieważ funkcja f jest„na”. Zatem f(a1), f(a2), . . . , f(an) są wszystkimi elementami zbioru B, co oznacza,że zbiór B ma n elementów.

(⇐) Jeśli zbiory A i B mają po n elementów:

A = a1, a2, . . . , an, B = b1, b2, . . . , bn,

to funkcja f : A→ B, taka że f(ai) = bi dla i = 1, 2, . . . , n, jest bijekcją.

10 TEORIA MOCY 64

Twierdzenie 24. Dowolne dwa nieskończone zbiory przeliczalne są równoliczne.

Dowód. Rozważmy dwa dowolne nieskończone zbiory przeliczalne A i B:

A = a1, a2, a3, . . . , B = b1, b2, b3, . . . ,

gdzie możemy założyć, że ai 6= aj oraz bi 6= bj dla i 6= j. Wówczas funkcja f : A→ B,taka że f(ai) = bi dla i = 1, 2, 3, . . . , jest bijekcją.

Przykład 77. Dowolne dwa spośród następujących zbiorów są równoliczne:

R, R \ 0, R+, R+ ∪ 0, (0, 1), (0, 1], [0, 1].

Przykład 78. Jeśli a < b i c < d, to przedziały (a, b) i (c, d) są równoliczne.

Twierdzenie 25. Jeżeli zbiór A jest nieskończony, to dla dowolnego podzbioru skoń-czonego B ⊆ A, zbiory A i A \B są równoliczne.

Dowód. Rozważmy zbiór nieskończony A i dowolny skończony podzbiór B zbioru A:

B = b1, b2, . . . , bk.

Zbiór A \B jest nieskończony, więc możemy wybrać ciąg nieskończony utworzony zelementów zbioru A \B:

a1, a2, a3, . . . ,

którego elementy są parami różne. Niech C = a1, a2, a3, . . . . (Oczywiście, w tymciągu nie muszą występować wszystkie elementy zbioru A \B.)

Określmy funkcję f : A→ A \B następująco:

f(x) =

ai, jeśli x ∈ B, x = bi, i ∈ 1, . . . , k,ak+i, jeśli x ∈ C, x = ai, i ∈ 1, 2, 3, . . . ,x, jeśli x ∈ A \ (B ∪ C).

Wykażemy, że funkcja f jest bijekcją. Zauważmy najpierw, że f jest „na”: dla y ∈ C,y = ai mamy: y = f(bi), jeśli i 6 k oraz y = f(ai−k), jeśli i > k, zaś dla y ∈ (A\B)\Cmamy y = f(y).

Uzasadnimy teraz różnowartościowość funkcji f . Niech x1, x2 ∈ A, x1 6= x2.Jeśli x1, x2 ∈ A \ (B ∪ C), to f(x1) = x1 i f(x2) = x2, więc f(x1) 6= f(x2). Jeślix1 ∈ (B ∪ C), x2 ∈ A \ (B ∪ C), to f(x1) ∈ C, zaś f(x2) = x2 ∈ A \ (B ∪ C), więcf(x1) 6= f(x2).

Niech teraz x1, x2 ∈ (B ∪ C). Jeśli x1, x2 ∈ B, x1 = bi, x2 = bj, i 6= j, tof(x1) = ai, f(x2) = aj, więc f(x1) 6= f(x2). Analogicznie, jeśli x1, x2 ∈ C, x1 = ai,x2 = aj, i 6= j, to f(x1) = ak+i, f(x2) = ak+j, i również f(x1) 6= f(x2). Pozostałprzypadek x1 ∈ B, x2 ∈ C. Wówczas x1 = bi, i 6 k, x2 = aj, j > 1, więc f(x1) = ai,f(x2) = ak+j, przy czym ai 6= ak+j, ponieważ i < k + j.

Twierdzenie 26. Jeżeli zbiór A jest nieprzeliczalny, to dla dowolnego podzbioruprzeliczalnego B ⊆ A, zbiory A i A \B są równoliczne.

10 TEORIA MOCY 65

Dowód. Niech A będzie zbiorem nieprzeliczalnym, niech B będzie przeliczalnympodzbiorem zbioru A. Jeśli zbiór B jest skończony, to równoliczność zbiorów A i A\Bwynika z poprzedniego twierdzenia. Niech zatem B będzie zbiorem nieskończonym:

B = b1, b2, b3, . . . ,

gdzie bi 6= bj dla i 6= j.

Zbiór A \ B jest nieskończony (Twierdzenie 22), więc, podobnie jak w dowo-dzie poprzedniego twierdzenia, wybieramy ciąg nieskończony utworzony z elementówzbioru A \B:

a1, a2, a3, . . . ,

gdzie ai 6= aj dla i 6= j, i wprowadzamy oznaczenie C = a1, a2, a3, . . . .Rozważamy następującą funkcję f : A→ A \B:

f(x) =

a2i, jeśli x ∈ B, x = bi, i ∈ 1, 2, 3, . . . ,a2i−1, jeśli x ∈ C, x = ai, i ∈ 1, 2, 3, . . . ,x, jeśli x ∈ A \ (B ∪ C).

Analogicznie, jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, uzasadniamy, że funkcja fjest bijekcją.

Wniosek 7. Zbiór R \Q jest równoliczny z R.

Twierdzenie 27. Dla dowolnego zbioru X zbiór 2X jest równoliczny ze zbioremwszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru 0, 1.

Dowód. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru 0, 1 oznaczmy przez F .Istnieje naturalna bijekcja między zbiorem 2X a zbiorem F , w której podzbiorowiA ⊂ X odpowiada funkcja charakterystyczna χA : X → 0, 1,

χA(x) =

1, jeśli x ∈ A,0, jeśli x 6∈ A,

zaś funkcji f : X → 0, 1 odpowiada podzbiór Af = x ∈ X : f(x) = 1.

Zbiory skończone i zbiory nieskończone

Dysponując pojęciem równoliczności zbiorów możemy zdefiniować pojęcie zbiorunieskończonego. Wyjaśnijmy najpierw specyfikę zbiorów skończonych.

Zadanie 26. Niech A będzie zbiorem skończonym. Udowodnij, że dla dowolnej funk-cji f : A→ A następujące warunki są równoważne:

(a) funkcja f jest różnowartościowa,

(b) funkcja f jest „na”,

(c) funkcja f jest bijekcją.

10 TEORIA MOCY 66

Zadanie 27. Wykaż, że dla dowolnego zbioru A następujące warunki są równoważ-ne.

(a) Zbiór A jest nieskończony.

(b) Istnieje funkcja różnowartościowa f : A→ A, która nie jest „na”.

(c) Istnieje podzbiór B $ A oraz bijekcja f : A B.

Powyższych własności dowodzimy operując intuicyjnym pojęciem zbioru skoń-czonego i zbioru nieskończonego. Własność wyrażoną w powyższym zadaniu możemyjednak przyjąć jako formalną definicję zbioru nieskończonego.

Definicja 32. Zbiór nazywamy nieskończonym, jeśli jest równoliczny z pewnym swo-im podzbiorem właściwym. Zbiór, który nie jest nieskończonym, nazywamy skończo-nym.

Zadanie 28. Niech zbiór B będzie podzbiorem zbioru A. W oparciu o powyższądefinicję, uzasadnij, że:

– jeśli zbiór B jest nieskończony, to zbiór A też jest nieskończony,

– jeśli zbiór A jest skończony, to zbiór B też jest skończony.

10.4 Liczby kardynalne

Każdemu zbiorowi odpowiada liczba kardynalna nazywana mocą tego zbioru.Moc zbioru A oznaczamy symbolem |A|. Stosowane są również oznaczenia: A, #A.Moc zbioru skończonego to liczba naturalna będąca liczbą jego elementów.

Zbiory A i B są równoliczne dokładnie wtedy, gdy ich moce są równe:

|A| = |B|.

Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem „alef zero”:

|N| = ℵ0.

Przykład 79. Każdy nieskończony podzbiór zbioru N jest jest mocy ℵ0.

Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem „continuum”:

|R| = C.

Zbiorami mocy continuum są zbiory wymienione w Przykładzie 77. Przykład 78pokazuje, jak poszerzyć tę listę.

Przykład 80. Przykłady zbiorów mocy continuum:

(a, b), [a, b], [a,+∞), R \Q,

gdzie a, b ∈ R, a < b.

10 TEORIA MOCY 67

Nierówności między liczbami kardynalnymi

Definicja 33. Mówimy, że moc zbioru A nie przekracza mocy zbioru B, jeśli istniejefunkcja różnowartościowa f : A→ B. Oznaczenie: |A| 6 |B|.

Definicja 34. Mówimy, że moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B (co zapi-sujemy: |A| < |B|), jeśli |A| 6 |B| i |A| 6= |B|.

Twierdzenie 28 (Cantor – Bernstein). Jeśli |A| 6 |B| i |B| 6 |A|, to |A| = |B|.

Dowód tego twierdzenia można znaleźć w [11], str. 102 oraz w [7], str. 152.

Wniosek 8. Jeśli |A| 6 |B|, |B| 6 |C| i |A| = |C|, to |A| = |B| = |C|.

Zadanie 29. Wykaż, że następujące zbiory są mocy continuum:

(a) zbiór C liczb zespolonych,

(b) zbiór 2N,

(c) zbiór ciągów nieskończonych o wyrazach naturalnych.

Wskazówki: (a) Skonstruuj funkcję różnowartościową f : R+ × R+ → R+.(b) Skonstruuj funkcję różnowartościową f : R→ 2Q oraz funkcję różnowartościowąze zbioru ciągów nieskończonych o wyrazach 0, 1 do zbioru R.(c) Skonstruuj funkcję różnowartościową ze zbioru ciągów nieskończonych o wyra-zach naturalnych do zbioru 2N×N.

Twierdzenie 29 (Cantor). Dla dowolnego zbioru A zachodzi nierówność |2A| > |A|.

Dowód. Funkcja f : A → 2A, f(a) = a, jest różnowartościowa, więc |A| 6 |2A|.Wykażemy, że |A| 6= |2A|.

Przypuśćmy, że |A| = |2A|, czyli istnieje bijekcja g : A → 2A. Każdemu elemen-towi a ∈ A jest wówczas przyporządkowany pewien zbiór f(a) = Ba ⊂ A.

Rozważmy zbiórC = a ∈ A : a 6∈ Ba.

Zauważmy, że dla dowolnego elementu a ∈ A mamy:

a ∈ C ⇔ a 6∈ Ba.

Funkcja f jest „na” oraz C ∈ 2A, więc C = f(a0) = Ba0 dla pewnego a0 ∈ A.Wówczas

a0 6∈ Ba0 ⇔ a0 ∈ C ⇔ a0 6∈ Ba0

– sprzeczność.

10 TEORIA MOCY 68

Paradoks Cantora. Oznaczmy przez Ω zbiór, którego elementami są wszystkiezbiory. Wówczas elementami zbioru 2Ω są wszystkie podzbiory zbioru Ω. Każdyelement zbioru 2Ω jest zbiorem, więc jest elementem zbioru Ω. W takim razie 2Ω ⊂ Ω,więc |2Ω| 6 |Ω|.

Z drugiej strony, z twierdzenia Cantora mamy: |2Ω| > |Ω|, co stanowi sprzecznośćna mocy twierdzenia Cantora – Bernsteina.

Tego typu paradoksy powstały w związku ze zbyt dowolnym operowaniem intu-icyjnym pojęciem zbioru i doprowadziły do konieczności oparcia teorii zbiorów naścisłych podstawach aksjomatycznych. Odnotujmy jeszcze paradoks Russella.

Paradoks Russella. Oznaczmy przez X zbiór wszystkich zbiorów, które nie sąswoimi elementami:

X = A, A – zbiór, A 6∈ A.

Zatem dla dowolnego zbioru A mamy:

A ∈ X ⇔ A 6∈ A.

Zastanówmy się, czy zbiór X jest swoim elementem:

X ∈ X ⇔ X 6∈ X

– sprzeczność.

10.5 Aksjomaty teorii mnogości

Pewnik wyboru. Dla każdej rodziny zbiorów niepustych i parami rozłącznych ist-nieje zbiór, który z każdym ze zbiorów tej rodziny ma dokładnie jeden elementwspólny.

Dzięki pewnikowi wyboru można udowodnić wiele podstawowych twierdzeń. Jed-nych z nich jest lemat Kuratowskiego – Zorna, za pomocą którego dowodzi się ist-nienia różnych maksymalnych obiektów, np. bazy dowolnej przestrzeni liniowej.

Niech (X,4) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Niech A ⊂ X będziedowolnym podzbiorem. Element b ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A,jeśli

∀a∈A a 4 b.

Lemat Kuratowskiego – Zorna. Jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym(X,4) każdy podzbiór liniowo uporządkowany posiada ograniczenie górne, to wzbiorze X istnieje element maksymalny.

Dowód można znaleźć w [11], str. 158.

Okazuje się, że lemat Kuratowskiego – Zorna i twierdzenie Zermela o tym, żekażdy zbiór można dobrze uporządkować (str. 54) są równoważne pewnikowi wyboru,każde z nich może zastąpić pewnik wyboru w zestawie aksjomatów i wówczas będziemożna pewnik wyboru udowodnić jako twierdzenie.

10 TEORIA MOCY 69

Hipoteza continuum. Dowolny nieskończony podzbiór zbioru R ma moc ℵ0

lub C.

Godel udowodnił, że pewnik wyboru i hipoteza continuum są (względnie) nie-sprzeczne z pozostałymi aksjomatami teorii mnogości, tzn. jeśli nie uzyskamy sprzecz-ności z pozostałych aksjomatów, to nie uzyskamy jej też dołączając do aksjomatówpewnik wyboru lub hipotezę continuum. Cohen wykazał, że pewnik wyboru i hipote-za continuum są (logicznie) niezależne od pozostałych aksjomatów teorii mnogości,tzn. z nich nie wynikają, więc do aksjomatów można dołączyć zarówno pewnik wybo-ru lub hipotezę continuum, jak i ich negacje. Dokładniejszą dyskusję tych zagadnieńmożna znaleźć w [9], str. 136, 137.

Aksjomaty Zermelo – Fraenkla teorii mnogości ([9], str. 176 – 178 [22], str. 175,176).

1. Aksjomat ekstensjonalności. Jeśli dwa zbiory x, y mają te same elementy, tosą równe:

∀x ∀y [∀z (z ∈ x⇔ z ∈ y)⇒ x = y ].

2. Aksjomat pary. Dla dowolnych zbiorów x, y istnieje zbiór z = x, y:

∀x ∀y ∃z ∀u (u ∈ z ⇔ u = x ∨ u = y).

3. Aksjomat sumy. Dla dowolnej rodziny zbiorów x istnieje zbiór y będący sumązbiorów tej rodziny:

∀x ∃y ∀z [ z ∈ y ⇔ ∃u (z ∈ u ∧ u ∈ x) ].

4. Aksjomat zbioru potęgowego. Dla dowolnego zbioru x istnieje zbiór y, któregoelementami są wszystkie podzbiory zbioru x:

∀x ∃y ∀z [ z ∈ y ⇔ ∀u (u ∈ z ⇒ u ∈ x) ].

5 – 8. Aksjomaty:

– wyróżniania – dla dowolnych zbiorów x1, . . . , xn i dowolnego zbioru y ist-nieje zbiór z, którego elementami są wszystkie elementy zbioru y spełniającewarunek ϕ(x1, . . . , xn),

– nieskończoności – istnieje zbiór x, którego elementem jest zbiór pusty, taki żedla dowolnego elementu y zbioru x zbiór y też jest elementem zbioru x,

– zastępowania – dla dowolnego zbioru u i dla dowolnej relacji ϕ(x, y) określa-jącej funkcję w zbiorze u istnieje zbiór będący zbiorem wartości tej funkcji,

– ufundowania – dla dowolnego zbioru niepustego x istnieje zbiór y będący ele-mentem zbioru x, którego żaden element nie jest elementem zbioru x.

Aksjomat (pewnik) wyboru w zapisie formalnym:

∀x [∀y (y ∈ x⇒ ∃z (z ∈ y)) ∧

∧ ∀y ∀u (y ∈ x ∧ u ∈ x⇒ y = u∨ ∼ ∃v (v ∈ y ∧ v ∈ u)) ]⇒⇒ ∃w ∀y [ y ∈ x⇒ ∃z (z ∈ y ∧ z ∈ w ∧ ∀v (v ∈ y ∧ v ∈ w ⇒ v = z)) ] .

11 Konstrukcje zbiorów liczbowych

11.1 Zbiór liczb naturalnych

Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie:

N – zbiór,

∗ : N→ N, n 7→ n∗ – funkcja następnika,

0 ∈ N – wyróżniony element (zero).

Aksjomaty Peana:

1. Liczba 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej:

∀n∈N n∗ 6= 0.

2. Funkcja następnika jest różnowartościowa:

∀m,n∈N m∗ = n∗ ⇒ m = n.

3. Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru A ⊂ N mamy:

(0 ∈ A ∧ ∀n∈N (n ∈ A⇒ n∗ ∈ A))⇒ A = N.

Istnienie zbioru spełniającego powyższe warunki wynika z aksjomatów teoriimnogości.

Dodawanie liczb naturalnych określamy indukcyjnie (schemat rekursji):

m+ 0 = m dla m ∈ N,

m+ n∗ = (m+ n)∗ dla m,n ∈ N.

Mnożenie liczb naturalnych:

m · 0 = 0 dla m ∈ N,

m · n∗ = m · n+m dla m,n ∈ N.

Określamy: 1 = 0∗, 2 = 1∗, 3 = 2∗, 4 = 3∗, . . .

Przykład 81. n+ 1 = n∗

Dowód. n+ 1 = n+ 0∗ = (n+ 0)∗ = n∗

Przykład 82. 2 + 2 = 4

Dowód. 2 + 2 = 2 + 1∗ = (2 + 1)∗ = (2∗)∗ = 3∗ = 4

Przykład 83. 2 · 2 = 4

Dowód. 2 · 2 = 2 · 1∗ = (2 · 1) + 2 = (2 · 0∗) + 2 = ((2 · 0) + 2) + 2 = (0 + 2) + 2 =(0 + 1∗) + 2 = (0 + 1)∗ + 2 = (0∗)∗ + 2 = 1∗ + 2 = 2 + 2 = 4

70

11 KONSTRUKCJE ZBIORÓW LICZBOWYCH 71

11.2 Zbiór liczb całkowitych

Mając dany zbiór liczb naturalnych N konstruujemy zbiór liczb całkowitych Zjako zbiór ilorazowy pewnej relacji równoważności.

Rozważmy zbiórX = N× N = (a, b); a, b ∈ N.

W zbiorze X określamy relację binarną

(a, b)%(c, d)⇔ a+ d = b+ c.

Relacja % jest relacją równoważności.

Definicja 35. Z = X/% = [x]%, x ∈ X.

Przykład 84. Liczbę całkowitą −1 definiujemy jako klasę abstrakcji pary (0, 1).Mamy (0, 1)%(a, b)⇔ 0 + b = 1 + a, więc

[(0, 1)]% = (a, b) ∈ X : b = a+ 1 = (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . .

Działania w zbiorze Z określamy następująco:

[(a, b)]% + [(c, d)]% = [(a+ c, b+ d)]%,

[(a, b)]% · [(c, d)]% = [(ac+ bd, ad+ bc)]%,

i sprawdzamy poprawność definicji: jeśli (a, b)%(a′, b′) i (c, d)%(c′, d′),to (a+ c, b+ d)%(a′ + c′, b′ + d′) i (ac+ bd, ad+ bc)%(a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′).

11.3 Zbiór liczb wymiernych

Rozważmy zbiór

X = Z× Z \ 0 = (a, b); a, b ∈ Z, b 6= 0.

W zbiorze X określamy relację binarną

(a, b)%(c, d)⇔ ad = bc.

Relacja % jest relacją równoważności.

Definicja 36. Q = X/% = [x]%, x ∈ X.

Przykład 85. Liczbę wymierną12

definiujemy jako klasę abstrakcji pary (1, 2). Mamy

(1, 2)%(a, b)⇔ 1 · b = 2 · a,

więc[(1, 2)]% = (a, b) ∈ X : b = 2a =

= (1, 2), (−1,−2), (2, 4), (−2,−4), (3, 6), (−3,−6), . . .

11 KONSTRUKCJE ZBIORÓW LICZBOWYCH 72

Działania w zbiorze Q określamy następująco:

[(a, b)]% + [(c, d)]% = [(ad+ bc, bd)]%,

[(a, b)]% · [(c, d)]% = [(ac, bd)]%.

Definicje te są poprawne, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów klas abstrak-cji: jeśli (a, b)%(a′, b′) i (c, d)%(c′, d′),to (ad+ bc, bd)%(a′d′ + b′c′, b′d′) i (ac, bd)%(a′c′, b′d′).

11.4 Zbiór liczb rzeczywistych

Zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować na dwa sposoby.

Sposób I. Przekroje Dedekinda. Rozważamy podziały zbioru liczb wymiernychna dwa niepuste podzbiory A, B spełniające warunek

∀a∈A∀b∈B a < b.

Przekrój Dedekinda (A,B) określający liczbę√

2:

A = Q ∩ (−∞,√

2) = x ∈ Q : x < 0 ∨ x2 < 2,

B = Q ∩ (√

2,+∞) = x ∈ Q : x > 0 ∧ x2 > 2.

Jeśli w jest liczbą wymierną to mamy dwa przekroje:

A1 = x ∈ Q : x 6 w, B1 = x ∈ Q : x > w,

A2 = x ∈ Q : x < w, B2 = x ∈ Q : x > w,które należy utożsamić.

Sposób II. Rozważamy ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych, czyli wszystkie ciągiliczb wymiernych, które okażą się zbieżne w zbiorze liczb rzeczywistych. Za pomocąrelacji równoważności ”sklejamy” ciągi zbieżne do tej samej liczby rzeczywistej.

11.5 Zbiór liczb zespolonych

Zbiór liczb zespolonych. Definicja: C = R× R.

Działania w C:(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d),

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:

(a, 0) + (c, 0) = (a+ c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).

Przyjmując i = (0, 1) mamy:

a+ bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

Literatura

Podręczniki i zbiory zadań

[1] Bond Robert, Keane William, An Introduction to Abstract Mathematics, Wa-veland Press 2007.

[2] Chartrand Gary, Polimeni Albert, Zhang Ping, Mathematical Proofs: A Trans-ition to Advanced Mathematics, Pearson 2012.

[3] Cichoń Jacek, Wykłady ze wstępu do matematyki, DWE 2003.

[4] Guzicki Wojciech, Zakrzewski Piotr, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN2005.

[5] Guzicki Wojciech, Zakrzewski Piotr, Wstęp do matematyki: zbiór zadań, PWN2005.

[6] Hammack Richard, Book of proof, Virginia Commonwealth University,http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/BookOfProof.pdf

[7] Kraszewski Jan, Wstęp do matematyki, WNT 2007.

[8] Marek Wiktor, Onyszkiewicz Janusz, Elementy logiki i teorii mnogości w zada-niach, PWN 2005.

[9] Murawski Roman, Świrydowicz Kazimierz, Wstęp do teorii mnogości, UAM2006.

[10] Musielak Julian, Wstęp do matematyki, PWN 1970.

[11] Rasiowa Helena, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN 2005.

[12] Ross Kenneth, Wright Charles, Matematyka dyskretna, PWN 2005.

Literatura do rozdziału 1

[13] Courant Richard, Robbins Herbert, Co to jest matematyka?.

[14] Davis Philip, Hersh Reuben, Świat matematyki.

[15] Encyklopedia PWN, wydanie internetowe, http://encyklopedia.pwn.pl/.

[16] Mathematics Subject Classification, American Mathematical Society, http://www.ams.org/msc/msc2010.html.

[17] Oxford Dictionaries, Oxford University Press, wydanie internetowe, http://www.oxforddictionaries.com/.

[18] Słownik Języka Polskiego PWN, wydanie internetowe, http://sjp.pwn.pl/.

[19] Wikipedia, wersja angielska, http://en.wikipedia.org/wiki/.

[20] Wikipedia, wersja polska, http://pl.wikipedia.org/wiki/.

73

LITERATURA 74

Pozostała literatura

[21] Babinskaja Irina L., Zadaczi matematiczeskich olimpiad, Nauka, Moskwa 1975,http://ilib.mccme.ru/djvu/olimp/babinska.htm

[22] Murawski Roman, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN, Warszawa 1995.

[23] Solow Daniel, How to read and do proofs, Wiley 1982.

[24] Zinn Claus, Understanding informal mathematical discourse, Erlangen 2004.