LogikadlainformatykówĆwiczenia7. IndukcjamatematycznaZadania

Zadania–indukcjamatematyczna 1. Wykaż indukcyjnie:

a) 0 + 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 = ! !!!!

dla 𝑛 ≥ 0;

b) 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛! dla𝑛 > 0;

c) 0! + 1! + 2! +⋯+ 𝑛! = ! !!! !!!!!

dla 𝑛 ∈ ℕ;

d) (1 + 2 +⋯+ 𝑛)! = !! !!! !

! dla 𝑛 > 0;

e) 0! + 1! + 2! +⋯+ 𝑛! = (!!(𝑛 + 1))! dla 𝑛 ∈ ℕ;

f) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 +⋯+ 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) = ! !!! !!!!

dla 𝑛 > 0;

g) 1 ∙ 3 ∙ 1! ! + 2 ∙ 4 ∙ 2! ! +⋯+ 𝑛 ∙ 𝑛 + 2 ∙ 𝑛! ! = 𝑛 + 1 ! ! − 1 dla 𝑛 > 0;

h) 1 ∙ 2! + 2 ∙ 2! +⋯+ 𝑛 ∙ 2! = 2 + 𝑛 − 1 ∙ 2!!! dla 𝑛 > 0;

i) 1 + 11 + 111+. . .+ 11. . .1!

= !"!!!!!!!!"!"

;

j) ∀!∈ℝ,!!!!∀!∈ℕ (1 + 𝛼)! ≥ 1 + 𝑛𝛼;

k) (1 + 1 𝑛)! ≤ 𝑛 + 1 dla 𝑛 > 0;

l) 2!! = 10𝑥 + 6, 𝑥 ∈ ℕ dla 𝑛 ≥ 2;

m) 10 | 𝑛! –𝑛 dla 𝑛 ∈ ℕ;

n) 12 | (10! – 4) dla 𝑛 > 1;

o) 8 | (11! – 3!) dla 𝑛 > 0;

p) 7 | (11! − 4!) dla 𝑛 > 0;

q) 73 | 8!!! + 9!!!! dla 𝑛 > 0 ;

r) 6 | (13! – 7) dla 𝑛 > 0;

s) 2 | (𝑛! + 𝑛 ) dla 𝑛 > 0;

t) 6 | (𝑛3 − 𝑛 ) dla 𝑛 > 1;

u) !!(!!!)

= !!!!

!!!! dla 𝑛 > 0;

v) 𝑖 ∙ 𝑖! = 𝑛 + 1 ! − 1!!!! dla 𝑛 > 0;

w) −1 !!!𝑖! = −1 !!! !(!!!)!

!!!! dla 𝑛 > 0;

x) !(!!!!)(!!!!)

= !!!!!

!!!! dla 𝑛 > 0;

y) 𝑛! > 2! dla 𝑛 > 3.

2. Dla jakich liczb naturalnych 𝑛 ∈ ℕ zachodzi wzór:

a) 𝑛! < 2!;

b) 𝑛3 < 2!;

c) 4𝑛 ≤ 𝑛! − 7;

d) 5𝑛 < 𝑛! − 3;

e) 2𝑛 ! < 2! ! ;

f) 𝑛 + 1 ! < 𝑛!!!;

g) 𝑛! + 𝑛 − 1 < 2!.

3. Dla jakiej wartości 𝑎 ∈ ℕ zachodzi poniższy wzór dla każdego 𝑛 ∈ ℕ :

2 ∙ 1! + 3 ∙ 2! +⋯+ 𝑛 + 1 𝑛! =𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(3𝑛 + 𝑎)

12

4. Niech 𝐴 ⊆ ℕ będzie zbiorem wszystkich tych liczb naturalnych 𝑛, dla których liczba 𝑛! – 3𝑛 + 3 �jest parzysta.

Pokaż, że jeśli 𝑛 ∈ 𝐴 to 𝑛 + 1 ∈ 𝐴. Jakie liczby należą więc do 𝐴 ?