Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Příklady k přednášce 14 - Moderní frekvenční metody
Michael Šebek Automatické řízení 2018
4-4-18
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenosy ve ZV systému
• Např. vliv poruchy bude malý pro malé S , vliv šumu pro malé T • Současně malé S i T bohužel nelze, neboť
Důkaz
• To je vážné omezení pro návrh regulátoru, platí i po dosazení s=jω, a to pro každé jednotlivé ω (pozor – jsou to komplexní čísla)
• Proto je návrh kompromisem: musíme zvolit priority pro jednotlivé frekvenční rozsahy
• Tomu se říká tvarování frekvenční charakteristiky (loop shaping)
Opakování: Přenosy v uzavřené smyčce
Michael Šebek 2 ARI-14-2013
u( )K s ( )G s
( ) ( ) 1S s T s+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y s T s r s S s d s T s n su s K s S s r s K s S s d s K s S s n se s r s y s S s r s S s d s T s n s
= + −= − −= − = − +
1 ( ) 1 ( )( ) ( ) 11 ( ) 1 ( ) 1 ( )
L s L sS s T sL s L s L s
++ = + = =
+ + +
( ) ( ) 1S j T jω ω+ =
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• V klasické verzi loop shaping je tvarování OL frekvenční charakteristiky, přesto že cílem je tvar CL frekvenční charakteristiky (navrhujeme ZV systém)
• v některých frekvenčních pásmech totiž stačí tvarovat |L(jω)|, protože z tvaru |L(jω)| tam jednoznačně (a jednoduše) plyne tvar |S(jω)| a |T(jω)|,
• přesné vztahy
• přibližné vztahy • obvykle pro
nízké frekvence: • obvykle pro
vysoké frekvence • v okolí přechodové frekvence ωc (tam kde L není ani velké ani malé)
ze tvaru |L(jω)| jednoduše tvar |S(jω)| , |T(jω)| neplyne, • protože záleží také na fázi • Např. |S(jω)| , |T(jω)| mohou mít velké špičky když je L(jω) ~ -1
Opakování - Loop Shaping - klasická verze
Michael Šebek 3
( )( )1 ( )
L jT jL jωωω
=+
1( )1 ( )
S jL j
ωω
=+
1( )L jω >>
1( )L jω <<
( ) 1T jω =1( )
( )S j
L jω
ω≈
( ) ( )T j L jω ω=( ) 1S jω =
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Bode Gain-Phase Relation
Michael Šebek 4 ARI-14-2018
Pro stabilní minimálně-fázový systém (= nemá nestabilní póly a nuly) s přenosem je mezi zesílením a fází jednoznačný vztah Přibližně, v log-log Bodeho grafu: Má-li po celou dekádu frekvencí konstantní sklon n , pak tam je Tedy pokud má v přechodovém pásmu (kde ) amplituda lokálně charakter: žádný přechod není! Jednoduché pravidlo: Navrhni regulátor tak, aby v přechodové oblasti měla sklon I = -1, tj. -20dB/dek
( )G s ( )G jω ( )G jω
( )G jω
( ) 90G j nω ≈ ×
( ) 1L jω ≈
0
1
2
01 ( ) 90 902 ( ) 180 0
s ns n G j PMs n G j PM
ω
ω
−
−
⇒ =
⇒ = − ⇒ ≈ − ⇒ ≈
⇒ = − ⇒ ≈ − ⇒ ≈
( )L jω
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Bode Gain-Phase Relation
Michael Šebek 5 ARI-14-2018
Kdyby to někoho zajímalo, tak přesně je Bodeho vztah mezi zesílením a fází
0
0
ln ( )1( ) ln cotgh2
ln
d L jeG j d
d
ν νω ν
π νωνω
∞
−∞=
=
∫
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1 12arcsin [rad]2 S S
PMM M
≥ ≥
[ ]radPM
SM TM
1 12arcsin [rad]2 T T
PMM M
≥ ≥
Např. nebo Je tedy jednodušší používat ve specifikacích MS nebo MT Třeba graficky
Vztahy mezi PM , MS a MT
Michael Šebek 6
2SM = 2, 29GM PM≥ ≥
2TM = 1.5, 29GM PM≥ ≥
1S
S
MGMM
≥−
SM
GM11
T
GMM
≥ +
TM
GM
ARI-14-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• jednotková ZV má mít odchylku menší než 0.005 pro všechny sinusovky s amplitudou 1 o frekvenci pod 100 Hz
• pomocí váhové frekvenční funkce chování formulujeme tyto požadavky takto:
• spektrum referenčních signálů je = 1 pro
• protože eb = 0.005, tak je hledanou funkcí obdélník o výšce 1/0.005 = 200 na daným frekvenčním rozsahem
• výsledný graf
Příklad – váha vstupního signálu
Michael Šebek 7
1
10
100
1000
0.1
110 210 310 410 510200π
2000 200ω π≤ ≤
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Ustálená odchylka na skok je
• Klasický požadavek pro ustálenou odchylku na skok
• můžeme tedy napsat jako
• tento požadavek jsme teď rozšířili na frekvenční pásmo jako
• protože je W1 mimo tento frekvenční rozsah nulové, platí tento vztah vlastně pro všechny frekvence
Příklad: porovnání s klasickým požadavkem
Michael Šebek 8
step,ss step,ss1 1bb
e eee
≤ ⇒ ≤
step,ss 00
1 lim ( ) (0)1 lim ( ) s
s
e S s SL s →
→
= = =+
step,ss 11 1 1(0) (0)b b
e WS Se e
= = ≤
1 1S W ≤[ ] 11 : ( ) ( ) 10, S j Wω ω ωω∀ ∈ ≤
[ ]10,ω ω∈
[ ] 1: ( ) ( ) 10, S j Wω ω ω∀ ∈ ≤∞
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• vztah formulující požadavky na řízení
• můžeme také přibližně vyjádřit pomocí přenosu otevřené smyčky • protože ve frekvenčním rozsahu (malé frekvence), kde požadujeme malou
odchylku, je velké zesílení, tak tam přibližně platí
• potom přibližně
• nebo podrobněji
Požadavek na chování jako funkce L
Michael Šebek 9
1 11 : ( ) ( ) 1S W S j Wω ω ω≤ ⇔∀ ≤
1 1( )
1 ( ) ( )S j
L j L jω
ω ω= ≈
+
[ ]0 10, : ( ) ( )L j Wω ω ω ω∀ ∈ ≥
1 1S W ≤ 1 1WL≤ 1L W≥
Hran
ice
us
tále
né o
dchy
lky 1
cω
( )L jω
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Příklad: Nyquistův graf neurčité soustavy
Michael Šebek 10
g0=2.5/((s+1)^3);
k=rdf(1);w=rdf(.5);
omega=0:.01:2;
ball(0,k,w,1,j*omega);
g0=2.5/(2.5*s+1); w=(4*s+.2)/(10*s+1);a=2*pi; for m=0:1/10:1,for alfa=0:a/10:a, delta=m*exp(-j*alfa); bode(tf(g0)*(1+tf(w)*delta),'b'), hold on, end,end bode(tf(g0),'r') bode(tf(w),'g')
[ ]
0 2
0 2
2.5( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
2.4 0.2
( )10 1
1,( )
5
,
1,
G j G j W
jW
jG
s
j j
sω
ω
ω ω
ω
ω ω ω= + ≤
+==
∆
+ +
∆
dB
abs
ARI-14-2012
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• systém s multiplikativní neurčitostí
• nominální frekvenční charakteristika • celková frekvenční charakteristika
Příklad: Nyquistův a Bodeho graf neurčitého systému
Michael Šebek 11
[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) 1G j G j W j jω ω ω ω ω= + ∆ ∆ ≤
0 23
2.5( ) , ( ) 0.5( 1)
G s W ss
= =+
g0=2.5/((s+1)^3);
k=rdf(1);w=rdf(.5);
omega=0:.01:2;
ball(g0,k,w,1,j*omega);
( ) ( )G jj Gω ω=0 ( )G jω
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Uvažme soustavu s přenosem
• kde G0(s) je pevně dáno a budeme s ním počítat jako s nominálním, • ale f (s) chceme zanedbat a nahradit multiplikativní neurčitostí.
• Velikost relativní neurčitosti způsobené zanedbáním f (s) je zřejmě
• Probereme podrobněji 2 případy: • zanedbání členu s dopravním zpožděním
• zanedbání členu prvního řádu
Neurčitost způsobená zanedbáním dynamiky
Michael Šebek 12
0( ) ( ) ( )G s G s f s=
0
( ) ( )0
( ) ( )( ) max max ( ) 1( )I G s f s
G j G jl f jG jω ωω ω
ω−
= = −
ARI-14-2015
max( ) 1 ( 1) ,0p pf s sτ τ τ= + ≤ ≤
max( ) ,0sf s e θ θ θ−= ≤ ≤
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• uvažme , kde
• pro maximální zpoždění je odchylka nakreslena na obrázku (pro )
• dosahuje 1 pro • maxima (=2) pro • pak osciluje mezi 0 a 2 • pro jiná θ je to podobné • je tedy
• náhrada racionální funkcí řádu 1 a 3
Zanedbané dopravní zpoždění
Michael Šebek 13
omega=.01:.01:100;plot(omega,abs(1-exp(-2*j.*omega))), hold on w1=(2*j.*omega)./(j*omega+1);plot(omega,abs(w1),'r--') w3=((2/2.363)^2.*omega.^2+2*0.838*2/2.363*j.*omega+1)./... ((2/2.363)^2.*omega.^2+2*0.4*2/2.363*j.*omega+1); w2=w1.*w3;plot(omega,abs(w2),'g--')
2
max1 θ maxπ θ
0( ) ( ) ( )G s G s f s=max( ) ,0sf s e θ θ θ−= ≤ ≤
max1ω θ=
max( ) | 1|jIl e ωθω −= −
maxω π θ=
max 2θ =
maxmax
max
| 1|,( )
2
j
Ie
lωθ ω π θ
ωω π θ
− − <= ≥
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Zanedbané dopravní zpoždění
Michael Šebek 14
0
1 1( )
, , {2,2.5,3}
sk esG s
k
θ
τ
τ θ
−
+ −
∈
2,14 0.2( )10 1 s j
sW js ω
ω=
+=+
2
2,2 2,1 2
2.1 1( ) ( )1.4 1 s j
s sW j W js s ω
ω ω=
+ +=+ +
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Uvažme , kde • Odchylka
• nakreslena na obrázku • pro červeně • a pro menší τ modře
• reprezentujeme ji
racionální váhovou funkcí
Zanedbané zpoždění 1.řádu
Michael Šebek 15
omega=.01:.01:100;taumax=2; for tau=.01:.01:taumax,plot(omega,abs(1-
1./(1+tau.*j.*omega))) hold on,end plot(omega,abs(1-1./(1+taumax.*j.*omega)),'r--')
0( ) ( ) ( )G s G s f s= max( ) 1 ( 1) ,0p pf s sτ τ τ= + ≤ ≤
max( ) |1 1 ( 1) |Il sω τ= − +
max 2τ =
| ( ) | ( )I Iw j lω ω=
max
max max
1( ) 11 1I
sw js s
τω
τ τ= − =
+ +
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Předpokládejme, že je nominální návrh hotov a CL je nominálně stabilní, Nyquistův graf L0(s)=D(s)G0(s) tedy splňuje Nyquistovo kritérium stability
• Dále speciálně nominální CL nemá pól na mezi stability nemá nulu na mezi stability • Aby byla CL stabilní i robustně, nesmí mít ani nulu na mezi stability,
a to pro žádné ω a žádné ∆
nominální stabilita
Podmínka robustní stability - důkaz
Michael Šebek 16
1 ( )L s+
( )( )
( )
0
0
0 0 2
0 0 2
0 0 2
0 2
0 2
0
1 ( )1 ( )
1 ( ) 0 , ( ) 1
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1
1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1
1 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1
( ) (
L jL j
L j j
L j L j W j j
L j L j W j j
L j T j W j j
T j W j j
T j W
ω
ωω
ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
ω
∀≠
+
+
+ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤
+ + ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤
+ + ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤
+ + ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤
+ ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤
0 2
) ( ) 1 , ( ) 1
( ) ( ) 1
j j
T j W
ω ω ω ω
ω ω ω
∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤
< ∀
01 ( )L s+ 01 ( ) 0,L jω ω+ ≠ ∀
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• European Southern Observatory: čtyři 8 m teleskopy (~16 m), Atacama v Chile
• přesné nasměrování a potlačení poruchy (vliv větru) metodami robustního řízení
• projekt katedry, Z. Hurák: popularizační článek AUTOMA 1/05 • video
Příklad: VLT ESO
Michael Šebek 17 ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Příklad: VLT ESO
Michael Šebek 18
model řádu 60 (metodou
konečných prvků)
poryvy větru
první málo tlumené módy konstrukce
redukce řádu modelu
redukovaný model řádu 24
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Aktivní a adaptivní optika • plán 2015: • OWL Teleskop, zrcadlo 100m, • deformovatelné segmenty • 500.000 akčních členů • návrh ? • numerické metody ? • VIDEO OWL.mpeg
Sci Fi
Michael Šebek 19 ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro s jedním nestabilním pólem
• je S stabilní
• ale
• z Bodeho diagramu vidíme, že dokonce
• to je celkem pochopitelné, protože za stabilizaci musíme něco zaplatit
Příklad: Efekt vodní postele I
Michael Šebek 20
0ln ( )S j dω ω π
∞=∫
4( )( 2)( 1)
ω =+ −
L js s
2
2
2( )2
s sS js s
ω − + +=
+ +2
2
2( )2
s sS js s
ω − + +=
+ +
( ) 1S jω ω> ∀
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Podmínku na relativní řád lze vypustit. • Pak platí obecnější vztah
Efekt vodní postele I - obecněji
Michael Šebek 21
unstable,00ln ( ) Re lim ( )
2pn
is
S j d p sL sπω ω π∞
→∞= −∑∫
ARI-14-2016
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Porovnejme neminimálně fázový přenos
• s jeho minimálně fázovým „protějškem“
• vidíme, že další fázové zpoždění způsobené nestabilní nulou vytlačí graf do červeného kruhu
Příklad: Efekt vodní postele II.
Michael Šebek 22
1 1( )1 1
sL js s
ω −=
+ +
1( )1mL j
sω =
+
L=(1-s)/(1+s)^2;Lm=1/(1+s); t=0:2*pi/100:2*pi;fill(sin(t)-1,cos(t),'r') nyquist(ss(L),'b',ss(Lm),'g')
L
mL
1S >
ARI-14-2013
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Uvažme neminimálně fázovou soustavu a regulátor tj.
• Nakreslíme Bodeho diagram citlivosti S pro k = 0.1, 0.5, 1.0 a 2.0
• vidíme, že s rostoucím zesílením roste vliv nestabilní nuly a tím i špička citlivosti
• až pro k = 2 do nekonečna protože ZV systém přestává být stabilní
Příklad: Efekt vodní postele II.
Michael Šebek 23
G=(2-s)/(2+s);L01=(0.1/s)*G;L05=(0.5/s)*G; L10=(1.0/s)*G;L20=(2.0/s)*G; S01=1/(1+L01);S05=1/(1+L05);S10=1/(1+L10);S20=1/(1+L20); bode(ss(S01),ss(S05),ss(S10),ss(S20),.01:.01:15)
2( )2
sG ss
−=
+ks
2( )2
k sL ss s
−=
+
ARI-14-2013