Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Téma 5:Parametrická rozdělení

pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Přednáška z předmětu:Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí

4. ročník bakalářského studia

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Osnova přednášky Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité

náhodné veličiny: Přehled důležitých spojitých rozdělení pravděpodobnosti Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Lognormální rozdělení pravděpodobnosti

Programový nástroj HistAn: Představení programového prostředku Aproximace parametrického rozdělení pravděpodobnosti

useknutým histogramem Tvorba parametrického rozdělení pravděpodobnosti:

Zadáním statistických momentů – parametrů Zpracováním naměřených hodnot – prvotních dat

Volba vhodného parametrického rozdělení s využitím: Koeficientu těsnosti Reziduálního (zbytkového) součtu čtverců

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 1 / 21

Mez kluzu

MeanStd Std

220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti

Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)

2

2

2

21,

x

exfParametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány

analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení

Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti

definovány na základě měření, často i dlouhodobých

Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 2 / 21

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Variable 1

MeanStd Std

240 260 280 300 320 340 360

0.005

0.01

0.015

0.02

Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny -parametry

(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)

Důležitá spojitá rozdělenípravděpodobnosti:• Rovnoměrné rozdělení • Normální rozdělení

(Gaussovo rozdělení) • Exponenciální rozdělení • Laplaceovo rozdělení• Logistické rozdělení • Maxwellovo rozdělení • Studentovo rozdělení • Fischerovo-Snedecorovo rozdělení • χ² rozdělení (Chí kvadrát)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 3 / 21

Normální rozdělení pravděpodobnosti

2)(

21

21,

x

exf

Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti:

... směrodatnáodchylka

... střední hodnota

n

iix

n 1

1

n

iix

n 1

21

2

2

2

21,

x

exf

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 4 / 21

Mez kluzu fy oceli S235

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 5 / 21

2

2

2

21,

x

exf

Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti

2

2

2ln

21,

x

ex

xf

Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1

s=0.5s=0.75s=1

... směrodatná odchylka ... střední hodnota

n

iix

n 1

ln1

n

iix

n 1

2ln1

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 6 / 21

Mez kluzu fy oceli S235

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 7 / 21

Tlaková pevnost betonu

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 8 / 21

Krycí vrstva betonu

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 9 / 21

Pevnost zdiva

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 10 / 21

Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 11 / 21

Programový nástroj HistAnSlouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů.

Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím

kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika

vstupních histogramů Určení tzv. sumárního

histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí)

Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením

Zpracování naměřených (prvotních) dat

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 12 / 21

Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování.

Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozděleníms možností volby počtu intervalů.

Použití histogramů s parametrickým rozdělením.

K dispozici škála 23 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti.

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 13 / 21

Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X2

Half-Logistic

Pravděpodobnost pro „useknutí“ parametrického rozdělení

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 14 / 21

Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti

Histogram aproximace parametrického

rozdělení pravděpodobnosti

omezeným diskrétním(discrete) rozdělením

pravděpodobnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 15 / 21

Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení

Výběr vhodného

rozdělení dle koeficientu

těsnosti

Charakteristiky odvozených parametrických dat

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 16 / 21

Koeficient těsnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 17 / 21

2

2,

2

2 ..2

1y

iiiixy

y

Y

s

yYYyn

s

ss

i

iy yyn

s 22 .1

i

iY yYn

s 22 .1

i

iixy Yyn

s 22, .1

Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnostiparametrického rozdělení v příslušnéhodnotě xi

y ... střední hodnota ze všech yi

rozptyly pro nintervalů

1,02

2

y

Y

ss

Reziduální (zbytkový) součet čtverců

i

iixy Yyn

s 22, .1

Rozptyl ... žádoucí nejmenší hodnota

Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnostiparametrického rozdělení v příslušnéhodnotě xi

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 18 / 21

Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik

vhod

náne

vhod

ná

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 19 / 21

Využití histogramů s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 20 / 21

Závěry

Přednáška:

byla zaměřena na způsob vyjádření náhodných veličin formou parametrického rozdělení pravděpodobnosti,

ukázala základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti a výpočetní postup pro jejich sestrojení,

vysvětlila využití koeficientu těsnosti pro volbu vhodného parametrického rozdělení pravděpodobnosti,

představila jednoduchý programový prostředek HistAn, kterým lze pro další pravděpodobnostní výpočty vytvářet histogramy s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti.

Závěry 22 / 22

Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Děkuji za pozornost!