Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Oleh:
Ayu Sri Wulandari
NIM: 103114004
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
DISCRETE FOURIER TRANSFORM
AND ITS APPLICATION IN IMAGE DIGITAL COMPRESSION
Thesis
Presented As a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Ayu Sri Wulandari
Student Number: 103114004
MATHEMATICS STUDY PROGRAM,
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
DAN APLIKASII\TYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL
'.Y:d" -\
Disusun oleh:
.*dftffiH"e1$ffi3';.,' ,r! NI%$ffi114004 O
r;-.\ *a:-effiS-A, Telah fsetujui
oleh: , ^11I
Pembimbing
*t'be"'oocd
ffif( Dr.rer.nat. Herrj, Pribawanto S. ) Tanggal 26 Januan2}ll
111
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Ayu Sri Wulandari
NIM: 103114004
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tangg al 29 J anuai 201 5
dan dinyatakan memenuhi syarat.
SUSUNAN PANITIA PENGUJI
Nama Lengkap
Ketua : k. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.
Sekretaris : Y. G. Hartono, Ph.D.
Anggota : Dr.rer.nat.Herry Pribawanto S.
t{rdutun *,
&rl ,fu-rt"L -
Yogyakarta, 2Z Februari 2015
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan
f"#tX\'.
'-cvc.xo
1V
. Prima Rosa, S.Si, M.Sc. )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERTTYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustak4 sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 26 J anuari 201 5
PenuliswI //'Ayu Sri Wulandari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Don’t limit yourself, many people limit themselves to what
they think they can do. You can go as far as your mind lets
you. What you believe, remember, you can achieve.”
- MARY KAY ASH -
Skripsi ini penulis persembahkan kepada:
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria,
Bapak Stefanus Wagiyo (alm) dan Ibu Ch. Sri Nursilowati,
Kakak-kakak tersayang (Indah, Aris, Daniel),
serta sahabat-sahabat yang selalu berada di sisi saya.
Terima kasih atas semua dukungan yang diberikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAII T]NTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Saya yang bertanda tangan di bawah ini, mahasiswi Universitas Sanata Dharma:
Nama
NIM
: Ayu Sri Wulandari
: 10 3114004
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Transformasi Fourier Dislcrit dan Aplikasinya pada Kompresi Citra Digital
Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma unutk menyimpan, mengalihkan
ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 26 Januari 20 I 5
Yang menyatakan
W1J -tr- t r'l
T t-12(Ayu Sri Wulandari)
v1l
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Tulisan ini membahas tentang Transformasi Fourier Diskrit (TFD) yang
merupakan implementasi dari transformasi Fourier. Transformasi Fourier Diskrit
mentransformasikan suatu fungsi pada domain ruang/waktu ke domain frekuensi.
Transformasi Fourier Diskrit dapat digunakan dalam pemrosesan sinyal atau citra,
seperti penyaringan sinyal, dekomposisi spektral, dan kompresi sinyal atau citra.
Pada bagian akhir tulisan ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier
diskrit pada kompresi citra digital, khususnya citra beraras keabu-abuan. Dalam
bidang matematika, transformasi Fourier Diskrit mentransformasikan suatu vektor
menjadi vektor yang lebih sederhana dan apabila diinverskan kembali vektor
hasilnya serupa dengan vektor aslinya.
Suatu nilai ambang batas mempunyai pengaruh besar dalam pemampatan
data menggunakan transformasi Fourier Diskrit. Nilai ambang batas ini akan
menentukan nilai-nilai frekuensi yang harus dianggap nol. Apabila nilai ambang
batas semakin kecil (mendekati nol), maka hasil pemampatannya serupa dengan
data aslinya.
Kata kunci: Transformasi Fourier, Transformasi Fourier Diskrit, Kompresi,
Sinyal, Citra Digital, Citra Beraras Keabu-abuan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
This thesis discusses the Discrete Fourier transform (DFT), which is an
implementation of the Fourier transform. Discrete Fourier Transform to transform
a function on the domain space/time domain to the domain frequency. Discrete
Fourier transform can be used in signal or image processing, such as signal
filtering, spectral decomposition, and signal or data compression. In the final
section of this thesis will discuss the application of the Discrete Fourier transform
on the digital image compression, especially grayscale image. In mathematics, the
Discrete Fourier transform to transform a vector into a vector that is more simple
and if it is inversed back, it will have similar properties as the original one.
A threshold value is significance to the data compression using Discrete
Fourier transform. This threshold value will determine the frequency values that
should be considered zero. If the threshold is getting smaller (close to zero), then
the compression have similar properties as the original one.
Key words: Fourier Transform, Discrete Fourier Transform, Compression,
Signal, Digital Image, Grayscale Image.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus atas segala cinta
kasih-Nya yang melimpah sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi untuk
memenuhi tugas akhir dalam menempuh gelar Sarjana (S1) di Universitas Sanata
Dharma dengan lancar dan baik.
Selama penulisan skripsi ini, penulis menyadari bahwa banyak pihak
yang telah berperan besar dalam bimbingan, dukungan dan bantuannya bagi
penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin
mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan penyertaan-Nya selama proses penulisan
skripsi ini sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
2. Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto, M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah membimbing, mendampingi, dan memberikan masukan kepada
penulis selama proses penulisan skripsi ini.
3. Bapak Y.G. Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika dan
dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, mendampingi, dan
memberikan masukan kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
4. Ibu Paulina H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
5. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik
6. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen program studi Matematika yang senantiasa
memberikan motivasi dan dukungan kepada penulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
7. Bapak Z. Tukija dan para staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi
lainnya yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.
8. Perpustakaan USD yang telah membantu menyediakan bahan dan fasilitas
selama proses penulisan skripsi ini.
9. Bapak Stephanus Wagiyo (alm) dan Ibu Ch. Sri Nursilowati, selaku orang tua
penulis, kakak-kakakku tersayang Indah, Daniel dan Aris dan segenap
keluarga atas segala doa dan dukungannya kepada penulis.
10. Sahabat-sahabat terdekatku, Happy adik almamaterku, dan teman-teman
prodi Matematika terkhusus angkatan 2010: Arga, Celly, Astri, Agnes, Dini,
Leny, Marsel, Pandu, Yosi, Roy, Ratri, Tika, Yohan, Sari; atas doa, semangat
dan kebersamaan yang diberikan kepada penulis.
11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah membantu
dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan skripsi
ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun
demi kesempurnaan skripsi ini.
Yogyakarta, 26 Januari 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN....................................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN......................................................................... iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN................................ v
HALAMAN PERSEMBAHAN...................................................................... vi
ABSTRAK....................................................................................................... viii
ABSTRACT..................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR..................................................................................... x
DAFTAR ISI.................................................................................................... xii
DAFTAR TABEL............................................................................................ xv
DAFTAR GAMBAR....................................................................................... xvi
BAB I PENDAHULUAN................................................................................ 1
1.1. Latar Belakang............................................................................................ 1
1.2. Perumusan Masalah..................................................................................... 11
1.3. Pembatasan Masalah.................................................................................... 11
1.4. Tujuan Penelitian......................................................................................... 11
1.5. Manfaat Penulisan....................................................................................... 12
1.6. Metode Penulisan........................................................................................ 12
1.7. Sistematika Penulisan.................................................................................. 12
BAB II LANDASAN TEORI.......................................................................... 14
2.1. Aljabar Fungsi............................................................................................. 14
2.1.1. Periode Fungsi................................................................................... 14
2.1.2. Kekontinyuan Fungsi......................................................................... 14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
2.1.3. Turunan Fungsi.................................................................................. 16
2.1.4. Fungsi Mulus....................................................................................... 17
2.1.5. Bilangan Kompleks............................................................................ 18
2.1.6. Konjugat Kompleks............................................................................ 18
2.1.7. Fungsi Eksponensial Kompleks......................................................... 19
2.2. Aljabar Matriks............................................................................................ 20
2.2.1. Matriks Identitas............................................................................... 20
2.2.2. Invers Matriks.................................................................................... 20
2.2.3. Matriks Simetris.................................................................................. 22
2.2.4. Matriks Uniter................................................................................... 22
2.2.5. Ruang Hasilkali Dalam dan Norma................................................... 23
2.2.6. Ortogonalitas..................................................................................... 26
BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT...................................... 27
3.1. Deret Fourier............................................................................................... 27
3.2. Transformasi Fourier.................................................................................... 37
3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier.............................................. 41
3.3. Transformasi Fourier Diskrit....................................................................... 48
3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit............................................... 49
3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit................................... 68
3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi............................................ 74
3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal.......................... 84
BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT.................. 88
4.1. Citra Diskrit................................................................................................. 88
4.2. Citra Beraras Keabu-abuan......................................................................... 88
4.3. Kompresi Citra Beraras Keabu-abuan.......................................................... 89
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB V PENUTUP........................................................................................... 96
5.1. Kesimpulan................................................................................................... 96
5.2. Saran............................................................................................................ 97
DAFTAR PUSTAKA...................................................................................... 98
LAMPIRAN..................................................................................................... 99
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1............................................................................................................. 57
Tabel 3.2.............................................................................................................. 58
Tabel 4.1............................................................................................................. 93
Tabel 4.2............................................................................................................. 94
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1......................................................................................................... 2
Gambar 1.2......................................................................................................... 2
Gambar 1.3......................................................................................................... 3
Gambar 1.4......................................................................................................... 4
Gambar 1.5......................................................................................................... 5
Gambar 1.6......................................................................................................... 6
Gambar 1.7......................................................................................................... 8
Gambar 1.8......................................................................................................... 8
Gambar 1.9......................................................................................................... 9
Gambar 1.10....................................................................................................... 9
Gambar 1.11........................................................................................................ 10
Gambar 1.12........................................................................................................ 10
Gambar 2.1......................................................................................................... 16
Gambar 2.2......................................................................................................... 18
Gambar 3.1......................................................................................................... 40
Gambar 3.2......................................................................................................... 48
Gambar 3.3......................................................................................................... 49
Gambar 3.4......................................................................................................... 58
Gambar 3.5......................................................................................................... 59
Gambar 3.6......................................................................................................... 75
Gambar 3.7......................................................................................................... 85
Gambar 3.8......................................................................................................... 86
Gambar 4.1......................................................................................................... 89
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
Gambar 4.2......................................................................................................... 90
Gambar 4.3......................................................................................................... 91
Gambar 4.4......................................................................................................... 92
Gambar 4.5......................................................................................................... 94
Gambar 4.6......................................................................................................... 95
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Citra merupakan suatu kombinasi antara titik-titik, garis, bidang dan
warna untuk menciptakan sebuah tiruan dari obyek nyata. Citra dapat
difungsikan sebagai suatu simbol untuk menyampaikan pesan antar manusia.
Dalam kehidupan sehari-hari, citra hanya tampak dalam bentuk dua dimensi
dan tiga dimensi. Citra dalam wujud dua dimensi dapat berupa suatu citra
digital, sedangkan citra dalam wujud tiga dimensi dapat berupa patung atau
ukiran. Citra digital merupakan gambar tiruan dari suatu obyek nyata yang
diciptakan oleh perangkat optik seperti kamera, akan tetapi ukuran resolusi
dari citra digital sangat besar sehingga akan berdampak dalam penyimpanan
dan proses pengiriman gambar. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan
masalah tersebut perlu dilakukan minimisasi ukuran resolusi yang dikenal
dengan kompresi.
Kompresi atau pemampatan merupakan proses memadatkan ukuran
resolusi suatu data untuk menghasilkan representasi digital yang padat atau
mampat namun tetap dapat mewakili kuantitas informasi yang terkandung
pada data tersebut. Pada citra digital, kompresi mengarah pada meminimisasi
jumlah bit rate untuk representasi digital. Oleh karena itu, data asli yang telah
dikompresi akan lebih efisien dalam penyimpanannya dan mempersingkat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
waktu dalam pertukaran ataupun pengirimannya. Berikut beberapa contoh
citra asli dan hasil kompresinya:
Gambar 1.1. Citra asli berukuran 77,9 kilobyte (kiri). Citra terkompresi
berukuran 19,11 kilobyte (kanan).
(Sumber: https://old.ntchosting.com/multimedia/jpg-image-file-format.html)
Gambar 1.2. Citra asli (kiri) dan citra terkompresi (kanan).
(Sumber: http://petapixel.com/2009/12/22/why-higher-iso-leads-to-larger-
file-sizes)
Berdasarkan kandungan informasi pada citra hasil kompresi,
pemampatan/kompresi dikelompokkan menjadi dua, yaitu pemampatan tanpa
kehilangan (lossless compression) dan pemampatan berkehilangan (lossy
compression).
1. Pemampatan tanpa kehilangan (lossless compression) adalah teknik
pemampatan yang mampu memadatkan data sama persis seperti data
semula. Maksudnya, tidak ada informasi yang hilang atau harus
dikurangi dalam proses untuk mengurangi ukuran besar data. Contohnya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
apabila berkas citra digital berukuran 256x256 berwarna polos (setiap
pixel berwarna sama) dan tiap pixelnya berukuran 4 byte, tanpa
pemadatan, berkas harus disimpan berukuran 4 kali 256x256, sama
dengan 262144 byte. Namun, dengan pemadatan, maka data yang perlu
disimpan hanya data satu warna tersebut. Jadi, data yang perlu disimpan
hanyalah 4 byte ditambah beberapa byte untuk menandakan pengulangan
pixel yang sama.
Gambar 1.3. Ilustrasi Lossless Compression JPEG 2000. Gambar asli (atas);
Gambar terkompresi 1 berukuran 4990 kilobyte (kiri bawah); Gambar
terkompresi 2 berukuran 4184 kilobyte (kanan bawah).
(Sumber: http://www.steves-digicams.com/knowledge-center/whatever-
happened-to-jpeg2000.html)
2. Pemampatan berkehilangan (lossy compression) adalah teknik
pemampatan dengan memangkas bagian-bagian data yang kurang
penting supaya ukuran data bisa dikecilkan. Teknik kompresi ini paling
sering digunakan untuk mengompres data multimedia. Teknik ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
menghasilkan ratio kompresi yang lebih besar daripada metode lossless.
Misal terdapat citra digital asli berukuran 12,249 byte, kemudian
dilakukan kompresi dengan JPEG kualitas 30 dan ukurannya menjadi
1,869 byte berarti citra digital tersebut 85% lebih kecil dan ratio
kompresinya 15%. Contoh format gambar yang teknik kompresinya
menggunakan lossy compression adalah JPEG.
Gambar 1.4. Ilustrasi Lossy Compression. Gambar asli berukuran 12 kilobyte
(kiri); Gambar terkompresi 85% berukuran 1,8 kilobyte (tengah); Gambar
terkompresi 96% berukuran 0.56 kilobyte (kanan).
(Sumber:https://onramps.instructure.com/courses/1196409/pages/compressio
n-algorithms)
Dari sudut pandang matematis, citra digital merupakan suatu array
yang berisi nilai-nilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan
deretan bit tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi f (x, y)
berukuran M baris dan N kolom (M x N), dengan x dan y adalah koordinat
spasial, dan amplitudo f di koordinat (x, y) dinamakan tingkat keabu-abuan
dari citra pada titik tersebut (lihat Gambar 1.5) dengan nilai x,y dan f
berhingga dan bernilai diskrit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Gambar 1.5. Koordinat citra digital.
Secara matematis, citra digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai
berikut:
.
)1,1()1,1()0,1(
)1,1()1,1()0,1(
)1,0()1,0()0,0(
),(
NMfMfMf
Nfff
Nfff
yxf
Banyak metode yang dapat digunakan untuk melakukan kompresi,
antara lain metode Huffman, RLE (Run Length Encoding), metode Shannon-
Fano, kompresi citra berbasis transformasi, dan sebagainya. Dalam bidang
matematika, salah satu teori yang dapat diterapkan untuk melakukan
kompresi citra berbasis transformasi adalah Transformasi Fourier Diskrit.
Dalam ilmu matematika, analisis Fourier berumur kurang lebih 200
tahun. Pada tahun 1807, Jean Baptiste Fourier mempresentasikan makalahnya
tentang teori konduksi panas di Paris Academy. Pemaparan tersebut menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
awal munculnya analisis Fourier. Terdapat dua masalah lain yang menjadi
akar dari munculnya analisis Fourier. Masalah pertama adalah cara untuk
mendeskripsikan getaran yang diciptakan oleh senar yang bergetar bila kedua
ujungnya diikat dengan kencang. Masalah ini mengarah pada persamaan
gelombang, seperti yang telah dirumuskan oleh matematikawan Jean
d’Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, dan Joseph-Louis Lagrange.
Matematikawan Bernoulli memberikan penyelesaian berbentuk deret
trigonometri
...2cos2sincossin atxBatxAy
dengan x adalah koordinat spasial dan t adalah variabel waktu. Penyelesaian
yang diberikan oleh Bernoulli ini menyerupai bentuk kontinyu dari deret
Fourier. Sedangkan, Euler dan Lagrange menDiskritisasi masalah getaran
tersebut dengan menggambarkan bahwa senar tersebut terdiri dari partikel-
partikel yang terbatas dan partikel-partikel tersebut saling terhubung (Gambar
1.6).
Gambar 1.6. Ilustrari getaran dari senar yang diDiskritisasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Penyelesaian dari masalah Diskritisasi tersebut ialah dengan mencari sampel-
sampel dari fungsi yang menggambarkan pergerakan senar tersebut. Lagrange
memberikan penyelesaian berbentuk jumlahan fungsi sinus dari berbagai
frekuensi yang beragam. Penyelesaiannya ini merupakan dasar transformasi
sinus Fourier Diskrit. Masalah kedua yaitu, menentukan orbit dari benda-
benda langit. Euler, Lagrange dan Alexis Claude Clairaut membuat pemikiran
dasar di mana data yang diambil dari pengamatan diaproksimasi dengan
kombinasi linear dari fungsi periodik. Perhitungan koefisien dalam ekspansi
trigonometri ini mengarah ke perhitungan yang kemudian akan disebut
dengan transformasi Fourier Diskrit.
Transformasi Fourier Diskrit dapat diterapkan untuk menganalisis
data, dekomposisi spektral, penyaringan sinyal, pemrosesan citra (image
processing), seperti kompresi citra, dan lain-lain. Sebagai contoh, pada
penelitian terbaru mengenai Trapridge Glacier di daerah teritorial Yukon,
Kanada. Pada penelitian tersebut, data yang digunakan berasal dari data yang
dikumpulkan dengan sensor-sensor pada hamparan gletser, yang diletakkan
80 meter di bawah permukaan air. Secara khusus, pengukuran kekeruhan
(jumlah bahan tersuspensi) air subglacial diambil setiap Δt = 10 menit
0,0069 hari. Bila diplot, data ini menghasilkan kurva bergerigi seperti yang
ditunjukkan dalam Gambar 1.7 (waktu meningkat ke kanan dan nilai-nilai
kekeruhan diplot pada sumbu vertikal).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Gambar 1.7. Grafik dari data asli yang terdiri dari N = 368 data, pengukuran
kekeruhan air diambil setiap Δt = 10 menit.
Grafik data asli di atas menunjukkan pola dan ketidakteraturan. Pada skala
terbesar dari grafik terlihat suatu pola seperti gelombang dengan periodenya
sekitar satu hari. Pada skala waktu yang lebih kecil, data tampaknya terinfeksi
dengan osilasi frekuensi tinggi yang sebagian disebabkan karena derau.
Kemudian, analisis data kekeruhan tersebut dengan mengurangkan setiap
nilai dari data kekeruhan dengan rata-rata dari keseluruhan data kekeruhan.
Gambar 1.8. Grafik data yang setiap data asli dikurangkan dengan rata-rata
datanya.
Nilai data yang muncul sebagai fluktuasi nilai rata-rata dari nol. Dengan
kumpulan data yang disesuaikan, dari data tersebut dapat diperoleh
dekomposisi spektral/frekuensinya dengan menggunakan konsep dari
transformasi Fourier Diskrit. Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1.9.
tingkat
kekeruhan
t (hari)
t
data asli –
rata-rata data
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Gambar 1.9. Grafik spektrum data setelah diterapkan transformasi Fourier
Diskrit (sumbu horisontal merupakan frekuensi dan sumbu vertikal
merupakan ukuran bobot relatif dari masing-masing frekuensi dalam struktur
keseluruhan data kekeruhan).
Dari grafik spektrum di atas terlihat bahwa sebagian besar ‘energi’ dalam data
berada pada frekuensi yang lebih rendah.
Gambar 1.10. Perbesaran dari grafik spektrum data pada frekuensi rendah.
Dari gambar 1.7 dapat dilihat bahwa dari data asli muncul ‘derau’. ‘Derau’
yang muncul karena kontribusi semua frekuensi tinggi dalam spektrum,
sehingga untuk mengatasi ‘derau’ tersebut dilakukan penyaringan. Istilah dari
penyaringan dapat digambarkan dengan sederhana, yaitu menghilangkan
semua frekuensi yang tinggi pada spektrum di atas frekuensi yang dipilih.
f
f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Spektrum baru yang terbentuk direkonstruksi dengan invers dari transformasi
Fourier Diskrit, sehingga dapat dihasilkan data yang grafiknya lebih mulus
dari data aslinya.
Gambar 1.11. Grafik dari data asli setelah dilakukan penyaringan (dengan
menghilangkan frekuensi di atas 50).
Gambar 1.12. Grafik mulus dari data asli setelah dilakukan penyaringan
(dengan menghilangkan frekuensi di atas 10).
Masalah di atas memberikan ilustrasi tentang penerapan transformasi Fourier
Diskrit dalam dekomposisi spektral dan penyaringan sinyal.
Dalam tulisan ini, penerapan transformasi Fourier Diskrit yang akan
dibahas ialah penerapan transformasi Fourier Diskrit dalam pemrosesan citra,
khususnya dalam kompresi pada citra digital
t
t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
1.2. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan
sebagai berikut.
1. Apa yang dimaksud dengan Transformasi Fourier Diskrit dan bagaimana
landasan teoritisnya?
2. Bagaimana penerapan Transformasi Fourier Diskrit pada kompresi citra
digital?
3. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB untuk kompresi citra
digital dengan Transformasi Fourier Diskrit?
1.3. Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan
dibahas, yaitu:
1. Fungsi domain spasial pada citra digital yang akan dibahas dalam tulisan
ini merupakan fungsi yang periodik.
2. Tulisan ini hanya akan membahas penerapan transformasi Fourier Diskrit
2D.
3. Penerapan transformasi Fourier Diskrit 2D hanya dibatasi pada citra
digital beraras keabu-abuan.
1.4. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah mengetahui konsep deret Fourier,
transformasi Fourier, transfromasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam
kompresi citra digital. Sebagai tambahan, akan dipelajari juga bagaimana
algoritma dan pemrogramannya dengan MATLAB. Tulisan ini juga disusun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
sebagai pemenuhan tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas
Sanata Dharma.
1.5. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan ini adalah memperoleh pengetahuan mengenai
konsep transformasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra
digital. Selain itu, dapat juga dibuat algoritma dan pemrograman MATLAB
sehingga proses komputasi lebih efektif dan efisien.
1.6. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan pengolahan citra,
sinyal, transformasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra.
1.7. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penulisan
1.5. Manfaat Penulisan
1.6. Metode Penulisan
1.7. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
2.1. Aljabar Fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
2.2. Aljabar Matriks
BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
3.1. Deret Fourier
3.2. Transformasi Fourier
3.3. Transformasi Fourier Diskrit
BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Aljabar Fungsi
2.1.1. Periode Fungsi
Definisi 2.1
Suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif
p sedemikian sehingga
xfpxf
untuk semua bilangan riil x di dalam daerah asal f . Bilangan p
tersebut disebut periode f .
Contoh 2.1
Fungsi xxf sin mempunyai periode 2 , sebab
2sincos2cossin
2sin2
xx
xxf
xsin , x ℝ .
2.1.2. Kekontinyuan Fungsi
Definisi 2.2
Fungsi xf dikatakan kontinyu di suatu titik c , jika cf terdefinisi
dan
cfxfcx
lim .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Definisi 2.3
Suatu fungsi f dikatakan kontinyu pada interval [a,b] jika fungsi
tersebut kontinyu di semua titik pada interval ba, dan jika
afxfax
)(lim dan bfxfbx
)(lim .
Fungsi f dikatakan kontinyu sepotong-sepotong pada [a,b]
jika interval tersebut dapat dibagi menjadi subinterval berhingga dan
pada setiap subinterval tersebut f kontinyu.
Contoh 2.2
Misal,
.21untuk 5
11ln1
,10untuk ln
,01-untuk 2
1
2
)(
xxx
xxx
xx
xf
Fungsi xf merupakan fungsi kontinyu sepotong-sepotong karena
fungsi tersebut kontinyu pada setiap subinterval 1,0,0,1 dan 2,1
(lihat Gambar 2.1) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Gambar 2.1. Grafik dari fungsi sepotong-sepotong xf pada
interval 2,1 .
2.1.3. Turunan Fungsi
Definisi 2.4
Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain 'f (dibaca “ f aksen”)
yang nilainya di sebarang bilangan x adalah
h
xfhxfxf
h
0lim'
asalkan limit ini ada dan bukan atau .
Contoh 2.3
Jika xxxf 73 , maka
h
xxhxhxhhxx
h
xxhxhx
h
xfhxfxf
h
h
h
77733lim
77lim
lim'
33223
0
33
0
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
.73
733lim
733lim
733lim
2
22
0
22
0
322
0
x
hxhx
h
hxhxh
h
hhxhhx
h
h
h
2.1.4. Fungsi Mulus
Definisi 2.5
Suatu fungsi f dikatakan mulus pada suatu interval ba, jika f dan
'f kontinyu pada interval tersebut.
Contoh 2.4
Misal,
,21untuk 5
11ln1
,10untuk ln
,01-untuk 2
1
2
)(
2
2
xxx
xxx
xx
xg
dan
.21untuk 11ln12
,10untuk ln2
,01-untuk 2
1
)('
xxxx
xxxx
x
xg
Fungsi xg merupakan fungsi mulus sepotong-sepotong karena
fungsi tersebut kontinyu sepotong-sepotong pada setiap subinterval
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
1,0,0,1 dan 2,1 dan fungsi turunan xg ' juga kontinyu
sepotong-sepotong pada setiap subinterval tersebut.
Gambar 2.2. Grafik dari fungsi mulus sepotong-sepotong xg (kiri)
dan xg ' (kanan) pada interval 2,1 .
2.1.5. Bilangan Kompleks
Definisi 2.6
Jika yixz menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka
zx Re merupakan bagian riil dari z dan zy Im merupakan
bagian imajiner dari z . zRe dan zIm merupakan bilangan riil.
2.1.6. Konjugat Kompleks
Definisi 2.7
Untuk setiap bilangan kompleks yixz , maka bilangan kompleks
yixz
disebut sebagai konjugat dari bilangan z .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh 2.5
Misal, 53 iz , maka konjugat kompleksnya adalah
53 iz .
2.1.7. Fungsi Eksponensial Kompleks
Definisi 2.8
Untuk bilangan kompleks yixz didefinisikan
yiyee xz sincos .
Jika diambil yiz , y ℝ, maka
yiyee iyz sincos , untuk y ℝ,
yang dikenal juga dengan nama rumus Euler.
Lemma 2.1
Untuk semua yx, ℝ berlaku
1. ixxi ee 2,
2. 1ixe ,
3. ixix ee ,
4. yxiiyix eee ,
5. yxiiyix eee / ,
6. ixix ieedx
d .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
2.2. Aljabar Matriks
2.2.1. Matriks Identitas
Definisi 2.9
Matriks persegi yang elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen
lainnya 0 disebut sebagai matriks identitas. Matriks identitas
dinotasikan dengan I ,
100
010
001
I .
2.2.2. Invers Matriks
Definisi 2.10
Jika A merupakan matriks persegi, dan jika ada suatu matriks 1A
dengan ukuran matriks yang sama dengan A sedemikian sehingga
IAAAA 11 , maka A disebut sebagai matriks nonsingular (atau
invertible), dan 1A disebut invers dari A .
Contoh 2.6
Misal
31
52A dan
21
531A , maka
IAA
10
01
21
53
31
521 ,
IAA
10
01
31
52
21
531 .
Jadi, A merupakan matriks nonsingular.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Teorema 2.1
Jika A adalah matriks invertible, dan jika B dan C merupakan invers
dari A , maka CB ; yang berarti, suatu matriks invertible
mempunyai invers tunggal.
Bukti:
Karena B adalah invers dari A , kita punya IBA . Kemudian,
kalikan kedua ruas dengan C , sehingga diperoleh
C.CBA
ICCBA
Karena C juga merupakan invers dari A , kita punya IAC .
Sehingga, ruas kiri dari persamaan di atas dapat ditulis kembali
sebagai
BBIACBCBA ,
ini mengakibatkan CB .
Teorema 2.2
Jika A dan B matriks invertible dengan ukuran matriks yang sama,
maka AB invertible dan 111 ABAB .
Bukti:
Akan ditunjukkan: IABABABAB 1111 .
IAAAIAABBAABAB 111111 ,
IBBIBBBAABABAB 111111 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
2.2.3. Matriks Simetris
Definisi 2.11
Matriks persegi A disebut matriks simetris jika
AAT .
Secara aljabar, suatu matriks ijaA simetris jika dan hanya jika
jiij AA (atau jiij aa ).
Contoh 2.7
Misal,
53
92A , maka
59
32TA .
2.2.4. Matriks Uniter
Definisi 2.12
Jika A merupakan matriks dengan elemen-elemennya berupa
bilangan kompleks (matriks kompleks), maka transpose konjugat dari
A , dinotasikan dengan *A , didefinisikan oleh
T
AA * .
Contoh 2.8
Misal,
ii
iiA
232
01, maka transpose konjugat dari A ialah
i
ii
i
AAT
0
23
21*
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.13
Matriks kompleks persegi A dikatakan uniter jika
*1 AA atau atau IAA * .
2.2.5. Ruang Hasilkali Dalam dan Norma
Definisi 2.14
Hasilkali dalam pada ruang vektor V adalah suatu operasi pada V
yang memetakan setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V
dengan sebuah bilangan riil yx, yang memenuhi syarat berikut:
i. 0xx, dengan 0xx, jika hanya jika 0x .
ii. xyyx, , untuk semua Vyx, .
iii. zyzxzyx ,,, untuk semua Vzy,x, dan
semua skalar dan .
Suatu ruang vektor V yang dilengkapi dengan hasilkali dalam disebut
ruang hasilkali dalam.
Definisi 2.15
Jika diberikan vektor
nx
x
x
2
1
x dan
ny
y
y
2
1
y , maka hasilkali dalam
x dengan y pada ruang vektor ℝ𝑛 adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
.
,
1
2211
2
1
21
n
i
iinn
n
n
T
yxyxyxyx
y
y
y
xxx
yxyx
Contoh 2.9
Jika
3
1x dan
5
2y ,
maka hasilkali dalam dari x dengan y pada ruang vektor ℝ2 adalah
131525
231
yxyx,
T .
Definisi 2.16
Jika diberikan matriks
mnm
n
aa
aa
A
1
111
dan
mnm
n
bb
bb
B
1
111
,
maka hasilkali dalam dari A dan B pada ruang vektor ℝ𝑚×𝑛 adalah
n
j
ijij
m
i
baBA11
, .
Contoh 2.10
Jika
32
41A
dan
02
71B
,
maka hasilkali dalam dari A dan B pada ruang vektor ℝ2×2 adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
.330428102
71
32
41
BA,
Definisi 2.17
Hasil kali dalam dari dua buah vektor nxx ,,1 x dan
nyy ,,1 y dengan ii yx , ℂ pada ruang vektor ℂ adalah
n
i
ii yx1
,yx .
Definisi 2.18
Hasilkali dalam dari dua fungsi f dan g di dalam ruang fungsi
bernilai kompleks yang didefinisikan dalam interval ba, adalah
b
a
dxxgxfgf , .
Definisi 2.19
Suatu ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma jika untuk
setiap vektor Vv dikaitkan dengan suatu bilangan riil v yang
disebut norma dari v yang memenuhi:
1. 0v dengan 0v jika dan hanya jika 0v ,
2. vv untuk setiap skalar ,
3. wvwv (ketaksamaan segitiga) untuk semua Vwv, .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Definisi 2.20
Jika V suatu ruang hasilkali dalam, maka persamaan
vv,v untuk semua Vv ,
mendefinisikan suatu norma pada V .
Contoh 2.11
Jika
3
1x , maka 1091 xx,x .
2.2.6. Ortogonalitas
Definisi 2.21
Dua vektor x dan y di ℝ𝑛 dikatakan ortogonal jika dan hanya jika
0yx, .
Contoh 2.12
Vektor-vektor
4,2,2,11 v dan 2,4,1,22 v
merupakan dua vektor yang ortogonal di ℝ4, sebab
088222442122121 vv .
Contoh 2.13
Fungsi ttf sin dan ttg cos ortogonal di ruang fungsi
-
R dxxffL22 |,:, sebab
.02cos4
12sin
2
1cossin,
tdttdtttgf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
Pada bab ini, terdapat tiga subbab yang akan dibahas untuk memahami
transformasi Fourier Diskrit, yaitu:
Deret Fourier
Transformasi Fourier
Transformasi Fourier Diskrit
3.1. Deret Fourier
Deret Fourier menguraikan suatu sinyal pada , ke dalam
komponen-komponen yang bergetar dengan frekuensi-frekuensi berupa
bilangan bulat. Berikut akan dibahas mengenai definisi dari deret Fourier
dalam bentuk kompleks dan riil.
Definisi 3.1
Misal f merupakan suatu fungsi yang bersifat periodik dengan periode
A ℝ.
Maka deret Fourier yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri
k
Akxi
k ecxf 2~)( (3.1)
dengan
2
2
2)(1
A
A
dxexfA
c Akxi
k
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Simbol ~ berarti bahwa deret Fourier berasosiasi dengan fungsi f .
Untuk membuat (3.1) lebih kuat, yaitu nilai ruas kiri dan kanannya sama di
setiap titik, maka akan ditunjukkan bahwa nilai koefisien ck benar dan hal
tersebut bergantung pada sifat ortogonalitas. Untuk menyatakan sifat
ortogonalitas digunakan notasi yang disebut sebagai modular Kronecker
delta.
Definisi 3.2
Misalkan k bilangan bulat, kita definisikan kN dengan
lainnya. 0
,kelipatan atau 0 jika 1ˆ
NkkkN
Contoh 3.1
Jika diketahui N = 4 dan k = {-3, 0, 1,8}, maka modular Kronecker delta
bernilai .18ˆdan ,01ˆ,10ˆ,03ˆ4444
Teorema 3.1 (Ortogonalitas dari Fungsi Eksponensial Kompleks)
Misal j dan k bilangan bulat. Maka fungsi eksponensial kompleks Akxie 2
memenuhi
2
2
)(22
A
A
kjAdxee AkxiAjxi .
Bukti:
Bila j – k = 0 ( j = k), maka 1)( kj
Akan dibuktikan:
2
2
22
A
A
Adxee AkxiAjxi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
AAAA
xdxdxe
dxedxee
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
xkjAiAkxiAjxi
2
2
221 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
222
Bila j – k 0 ( j k), maka 0)( kj
Akan dibuktikan:
2
2
022
A
A
dxee AkxiAjxi
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2cos
2
1
2sin
2
1
2sin
2cos
2sin
2cos
2
2
222
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
xkjA
x
Akj
i
xkjA
x
Akj
dxxkjA
idxxkjA
dxxkjA
ixkjA
dxedxee xkjAiAkxiAjxi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
0
coscos2
coscos
sinsin2
2cos
2sin
2
2cos
2
2sin
2
0
2
00
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
kjkjxkj
Ai
kjkji
kjkjxkj
A
xkjA
i
xkjA
xkj
A
xkjA
xkj
Ai
xkjA
xkj
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Ortogonalitas pada kasus kontinyu juga dapat dipandang sebagai
ortogonalitas dari vektor-vektor dalam suatu ruang fungsi yang didefinisikan
dalam interval I. Di dalam ruang vektor 2,22 AAL fungsi-fungsi bernilai
kompleks pada interval 2,2 AA , fungsi-fungsi
Akxik ex 2)( ω , k ℤ
bersifat ortogonal karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
).(
,
2
2
2
2
22
kjA
dxee
dxxx
A
A
A
A
AkxiAjxi
kjkj
ωωωω
Untuk mencari koefisien kc , diasumsikan bahwa fungsi f dengan
periode A merupakan jumlahan dari deret Fourier, sehingga
.)( 2
j
Ajxi
jecxf
Kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan AkxieA 21 dan asumsikan
pengintegralan suku demi suku terhadap 2,2 AA diperbolehkan,
k
kj
Axkji
j
j
Axkji
j
j
Akxi
c
dxeA
c
dxecA
dxexfA
A
A
A
A
A
A
2
2
2
2
2
2
2
22
1
1)(
1
Dengan sifat ortogonalitas, A1 dikali integral bernilai nol kecuali saat kj .
Satu-satunya suku yang tersisa dalam deret di ruas kanan bila kj ialah
.)(1 2
2
2
A
A
dxexfA
c Akxi
k
Contoh 3.2
Perhatikan fungsi berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
.0jk 1
0jk 1
x
xxf
Tentukan deret Fourier dari f .
Diketahui: 2
A, maka 2A .
Maka koefisien dari deret Fouriernya adalah
ki
e
kikiki
e
ki
e
ki
e
dxedxe
dxe
dxexfA
c
ikik
xkixki
xikxki
xki
Axki
k
A
A
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
0
0
0
22
2
ki
e
ki
ik
22
2
1
genap. jika 0
ganjil jika 2
cos111
k
kk
i
k
ki
k
ei
i
i
ki
e ikik
Sehingga deret Fourier dari f adalah
.
12
2 21222
n
xni
k
Akxi
k en
iec
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Definisi 3.3
Misal f adalah fungsi bernilai riil dengan periode A. Maka deret Fourier
yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri
11
0 2sin
2cos
2~
k
k
k
kA
kxb
A
kxa
axf
,
dengan
,2 2
2
0
A
A
dxxfA
a
(3.2)
2
2
2cos
2A
A
dxA
kxxf
Aak
(3.3)
untuk k = 1, 2, ..., dan
2
2
2sin
2A
A
dxA
kxxf
Abk
(3.4)
untuk k = 1, 2, ...
Contoh 3.3
Misal,
lainnya.0
,10jika1 xxf
Hitung deret Fourier dari f pada interval 22 x .
Diketahui: 22
A, maka 4A .
Maka koefisien deret Fouriernya adalah
2
1
2
11
2
1
4
2 1
0
1
0
2
2
0
xdxdxxfa .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Untuk 1k
k
kkx
kdx
kxdx
xkxfak
2sin
2sin
1
2cos
2
1
4
2cos
4
21
0
1
0
2
2
,
ketika k genap, 02sin k maka 0ka , sedangkan ketika 12 nk
ganjil, nk 12sin , sehingga kita peroleh
,...1,0,12,12
1
nnk
na
n
k
.
,12cos1
12cos
2cos
1
2sin
2
1
4
2sin
4
2
1
0
1
0
2
2
kk
kk
k
kx
kdx
kx
dxxk
xfbk
34
1,34ketika
12
1,24ketika
14
1,14ketika
0,4ketika
mbmk
mbmk
mbmk
bmk
k
k
k
k
dengan ,...1,0m .
Jadi, deret Fourier dari f adalah
11
0
4
2sin
4
2cos
2 k
k
k
k
kxb
kxa
axf
dengan nn ba , yang diberikan di atas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Jika f merupakan suatu fungsi bernilai riil, bentuk riil dari deret
Fourier dapat diturunkan dari bentuk kompleksnya dan sebaliknya. Pertama,
uraikan bentuk kompleks deret Fourier ke dalam suku-suku positif dan
negatif:
1
1
20
0
22~k k
Akxi
k
Akxi
k
k
Akxi
k ececececxf
1
1
2
0
2
k k
Akxi
k
Akxi
k eccec . (3.5)
Jika f merupakan fungsi bernilai riil, maka kk cc karena
k
AkxiAkxi
k cdxexfA
dxexfA
c
A
A
A
A
2
2
2
2
22 11 .
Oleh karena itu, (3.5) menjadi
1
2
1
2
0~k
Akxi
k
k
Akxi
k ececcxf .
Karena zzz Re2 untuk setiap z ℂ, persamaan ini dapat ditulis
sebagai
1
2
0 Re2~k
Akxi
keccxf . (3.6)
Hubungan antara kc dan kk ba , dapat diturunkan dengan menggunakan
rumus Euler, sehingga diperoleh:
2
11 00
0
2
2
2
2
adxxf
Adxexf
Ac
A
A
A
A
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
2
2
2
2
2sin
2cos)(
1
)(1 2
A
A
A
A
dxA
kxi
A
kxxf
A
dxexfA
c Akxi
k
.1untuk , 2
1
2
1
22
1
2sin)(
2cos)(
1 2
2
2
2
kibaibaA
A
bAi
aA
A
dxA
kxxfidx
A
kxxf
A
kkkk
kk
A
A
A
A
Dengan menggunakan persamaan (3.6), kita peroleh
,2
sin2
cos2
2sin
2cos
2
2cos
2sin
2sin
2cosRe
2
2sin
2cos
2Re2
2
Re2~
1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
0
k k
kk
k
kk
k
kkkk
k
kk
k
Akxi
k
A
kxb
A
kxa
a
A
kxb
A
kxa
a
A
kxb
A
kxai
A
kxb
A
kxa
a
A
kxi
A
kxibaa
eccxf
yang merupakan bentuk riil dari deret Fourier f .
Selanjutnya akan ditunjukkan kekonvergenan dari deret Fourier.
Sebelum membahas hal tersebut, kita berikan definisi berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Definisi 3.4
Limit kiri dan kanan dari f di titik x didefinisikan sebagai berikut.
Limit kiri : hxfxfh
0
lim0 .
Limit kanan: hxfxfh
0
lim0 .
Fungsi f dikatakan terdiferensial kiri dan kanan di x jika limitnya
ada:
h
xfhxfxf
h
0lim0' dan
h
xfhxfxf
h
0lim0' .
Teorema 3.2. (Kekonvergenan Deret Fourier)
Misal f merupakan fungsi yang periodik dan kontinyu sepotong-sepotong.
Jika x adalah titik di mana f terdiferensial kiri dan kanan (tetapi tidak
kontinyu). maka deret Fourier dari f di x konvergen ke
2
00 xfxf.
Bukti:
Bukti dapat dilihat pada buku Albert Boggess: A First Course in Wavelets
with Fourier Analysis, hal.70, tahun 2001 .
Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi Fourier.
3.2. Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merupakan bentuk kontinyu dari deret Fourier.
Transformasi Fourier menguraikan suatu sinyal yang terdefinisi pada sebuah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
interval waktu yang tak berhingga ke dalam suatu komponen dengan
frekuensi , di mana merupakan bilangan riil atau kompleks.
Definisi 3.5
Diberikan fungsi f terdefinisi dalam interval (-,) dan mempunyai sifat,
dxxf , (3.7)
maka f dengan
dxexff xi 2ˆ , (3.8)
f disebut Transformasi Fourier dari f dan
defxf xi2ˆ , (3.9)
disebut sebagai invers Transformasi Fourier f ( dan 1i
merupakan satuan imajiner).
Contoh 3.4
Diberikan fungsi xexf
. Tunjukkan fungsi tersebut memenuhi (3.7).
Diketahui:
0,
0,
xx
xxx , maka
0,
0,
xe
xeexf
x
x
x.
Jadi,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
2
)10()01(
)()( 00
0
0
0
0
eeee
ee
dxedxe
dxedxe
xx
xx
xx
Selain fungsi pada Contoh 3.4, terdapat fungsi-fungsi lainnya yang
mempunyai sifat tersebut, misal, fungsi kepadatan peluang, fungsi
probabilitas kontinyu, dan sebagainya.
Dari sifat fungsi f , maka fungsi f juga memenuhi (3.7), berarti f
terdefinisi dengan baik pada (-,).
ˆ
ˆ
2
2
dxexff
dxexff
xi
xi
integraluntuk segitigan ketaksamaasifat
2
2
dxexf
dxexf
xi
xi
1 . 2
xiedxxf
Fungsi output transformasi f didefinisikan pada domain frekuensi
atau domain transformasi, sedangkan fungsi input f didefinisikan pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
domain spasial jika x merupakan koordinat spasial, atau dalam domain
waktu jika f adalah fungsi yang bergantung pada waktu spasial.
Contoh 3.5
Misal, 1xf pada interval x . Maka transformasi Fourier dari f
adalah
dxexff xi 2ˆ
.
2sin2sin2
2
1
2sin2cos2sin2cos2
1
2
1
2
1
22
2222
22
22
22
ii
iii
eei
ei
dxe
ii
xixi
Gambar 3.1. Grafik fungsi f pada interval , (kiri) dan fungsi f pada
interval , (kanan).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dasar dari transformasi
Fourier.
3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier
Untuk membahas sifat-sifat dasar transformasi Fourier akan
digunakan notasi alternatif
ℱ ff ˆ ,
dengan ℱ menyatakan transformasi Fourier dari f . Operator Fourier ℱ
dianggap sebagai pemetaan yang domain dan rangenya merupakan ruang
fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada garis bilangan riil. Input
dari ℱ adalah sebuah fungsi, katakanlah f , dan menghasilkan output
berupa fungsi lain, ℱ ff ˆ .
Sedangkan, invers dari transformasi Fourier menggunakan notasi
operator sebagai berikut
ℱ−1 xfxf ˆ .
Teorema 3.3
Misalkan f dan g merupakan fungsi terdiferensial yang terdefinisi pada
garis bilangan riil dengan 0xf untuk x yang semakin membesar
0lim xfx
.
1. Transformasi Fourier dan inversnya bersifat linear, artinya untuk
sebarang konstanta c
ℱ gf ℱ f + ℱ g dan ℱ cf c ℱ f .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
ℱ−1 gf ˆˆ ℱ−1 f + ℱ−1 g dan ℱ−1 fcˆ c ℱ−1 f .
2. Transformasi Fourier dari suatu hasilkali f dengan nx diberikan oleh
ℱ n
nnn
d
dixfx
ℱ f .
3. Invers transformasi Fourier dari suatu hasilkali f dengan n diberikan
oleh
ℱ−1 n
nnn
dx
dixf ˆ ℱ−1 xf .
4. Transformasi Fourier dari suatu turunan ke- n diberikan oleh
ℱ nn if 2 ℱ f
( nf menyatakan turunan ke- n dari f ).
5. Invers transformasi Fourier dari suatu turunan ke- n diberikan oleh
ℱ−1 nn xixf 2ˆ ℱ−1 xf .
6. Transformasi Fourier dari suatu translasi diberikan oleh
ℱ aieaxf ℱ f .
7. Transformasi Fourier dari suatu rescaling diberikan oleh
ℱ b
bxf1
ℱ
bf
.
8. Jika 0xf untuk 0x , maka
ℱ f ℒ 2if ,
dengan ℒ f merupakan transformasi Laplace dari f yang didefinisikan
oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
ℒ
0
dxexfsf xs.
Bukti:
1. Sifat linear dari transformasi Fourier diperoleh dari sifat linear integral:
ℱ gf =
dxexgxf xi 2
=
dxexgdxexf xixi 22
= ℱ f ℱ g .
ℱ cf =
dxexcf xi 2
=
dxexfc xi 2
= c ℱ f .
ℱ−1 xgf ˆˆ =
degf xi2ˆˆ
=
degdef xixi 22 ˆˆ
= ℱ−1 xf ℱ−1 xg .
ℱ−1 xfcˆ
=
defc xi2ˆ
=
defc xi2ˆ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
= c ℱ−1 xf .
2. Transformasi Fourier dari suatu hasil kali f dengan nx , kita punya
ℱ
dxexfxxfx xinn 2 .
Gunakan persamaan
xi
n
nnxin exf
d
diexfx
22 ,
sehingga kita memperoleh
ℱ
dxexfd
dixfx xi
n
nnn
2
n
nn
d
di
ℱ f .
3. Invers transformasi Fourier dari suatu hasil kali f dengan n , kita
punya
ℱ−1
deff xinn 2ˆˆ .
Gunakan persamaan
xi
n
nnxin ef
dx
dief 22 ˆˆ ,
sehingga kita memperoleh
ℱ−1
defdx
dixf xi
n
nnn 2ˆˆ
n
nn
dx
di ℱ−1 xf .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
4. Transformasi Fourier dari turunan ke- n f , kita punya
ℱ
dxexfxf xinn 2 .
Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,
duvvudvu .
Dengan dxxfdv n dan xieu 2 , maka xfv n 1 dan
dxeidu xi 22 , maka diperoleh
dxexfixfedxexf xinnxixin 21122 2 .
Karena 0xf untuk nilai x yang besar maka kita peroleh
dxexfidxexf xinxin 212 2 .
Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu
( nf menjadi 1nf ). Kita juga memperoleh faktor 2i . Dengan
mengulang proses tersebut 1n kali, kita memproleh
dxexfidxexf xinxin 22 2
ni 2 ℱ f .
5. Invers transformasi Fourier dari turunan ke- n f , kita punya
ℱ−1
defxf xinn 2ˆˆ .
Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
duvvudvu
.
Dengan dfdv nˆ dan xieu 2 , maka 1ˆ nfv dan
dexidu xi22 , maka diperoleh
defxifedef xinnxixin 21122 ˆ2ˆˆ .
Karena 0xf untuk nilai x yang besar maka kita peroleh
defxidef xinxin 212 ˆ2ˆ .
Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu
( nf menjadi 1nf ). Kita juga memperoleh faktor xi 2 . Dengan
mengulang proses tersebut 1n kali, kita memperoleh
defxidef xinxin 22 ˆ2ˆ
nxi 2 ℱ−1 xf .
6. Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai
ℱ
dxeaxfaxf xi 2 .
Misal, axs , sehingga asx dan dsdx . Kita peroleh
ℱ
dsesfsf asi 2
dseesf aisi 22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
dsesfe siai 22
aie 2 ℱ f .
7. Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai
ℱ
dxebxfbxf xi 2 .
Misal, bxt , sehingga b
tx dan
b
dtdx . Kita peroleh
ℱ
b
dtetftf b
ti
2
b
dtetf b
ti 2
dtetfb
b
ti 21
b
1 ℱ f
b
.
8. Diketahui: 0xf untuk 0x , kita peroleh
ℱ
dxexff xi 2
0
2
0
2
0
0
2
dxexf
dxexfdxexf
xi
xixi
Misal, 2is , maka dengan definisi transformasi Laplace diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
ℱ
0
dxexff sx ℒ sf = ℒ 2if .
Dengan pengetahuan tentang deret Fourier dan transformasi Fourier
pada subbab sebelumnya, selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi
Fourier Diskrit yang merupakan topik utama dari tulisan ini.
3.3. Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi Fourier dan deret Fourier digunakan untuk menganalisis
sinyal-sinyal kontinyu seperti grafik pada Gambar 3.2. Tetapi, sinyal-sinyal
yang ada dalam kebanyakan aplikasi saat ini merupakan sinyal Diskrit,
Gambar 3.3, seperti sinyal yang berasal dari pemutar CD/DVD.
Gambar 3.2. Sinyal Kontinu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 3.3. Sinyal Diskrit
Berikut definisi dari transformasi Fourier Diskrit.
3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit
Berdasarkan pada Definisi 3.5, diasumsikan fungsi yang diberikan
itu terbatas (misalnya, f mungkin mewakili gambar yang memiliki batas-
batas yang terdefinisi dengan baik) atau, f diasumsikan nol di luar beberapa
interval terbatas. Maka, untuk saat ini diasumsikan bahwa 0xf untuk
2Ax , A banyaknya grid. Transformasi Fourier pada fungsi dengan batas
tertentu tersebut diberikan oleh
2
2
22ˆ
A
A
dxexfdxexff xixi (3.10)
Integral tersebut yang akan diaproksimasi secara numerik.
Interval integrasi 2,2 AA dibagi menjadi N subinterval
dengan panjang NAx . Diasumsikan N genap, dengan banyaknya grid
N+1 sama dengan banyaknya titik yang didefinisikan oleh titik-titik
xnxn untuk 2:2 NNn . Dengan demikian titik-titik gridnya ialah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
2,,0,,
2 220
Axx
Ax NN
.
Kemudian, diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada titik-titik grid
tersebut. Integran dari persamaan (3.10) sebagai
xiexfxg 2 ,
dan terapkan aturan trapesium untuk mengaproksimasi integral (3.10):
1
1
2
2
2
2
22
22
N
N
A
A n
n
Agxg
Ag
xdxxg .
Diasumsikan 22 AgAg , sehingga aproksimasi aturan trapesium
dapat ditulis
.
ˆ
2
2
2
2
2
2
1
2
1
N
N
n
A
A
N
N
n
xi
n
n
n
exfN
A
xgxdxxgf
Aproksimasi dari f dapat dihitung untuk setiap . Karena
aproksimasi f bergantung pada nilai , maka harus ditentukan banyaknya
nilai yang digunakan untuk aproksimasi dan yang mana saja nilai-nilai
tersebut. Dibutuhkan nilai-nilai sampel nxf untuk menentukan
aproksimasi )(ˆ f , dan sebaliknya. Karena N nilai dari nxf digunakan
dalam aproksimasi aturan trapesium, maka ada N nilai juga untuk pada
aproksimasi )(ˆ f .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Hubungan Kebalikan
NA dan N
x1
(3.11)
Hubungan kebalikan mengaitkan antara domain spasial dan domain
frekuensi. Dua hubungan kebalikan ini saling bergantung (dependent). Pada
domain spasial dengan interval 2/,2/ AA titik-titik grid dinyatakan
dengan xnxn dan jarak antar titik gridnya Δx. Sedangkan pada domain
frekuensi dengan interval 2/,2/ titik-titik grid dinyatakan dengan
kk dan jarak antar titik gridnya Δ. Diasumsikan terdapat N titik
pada kedua domain tersebut.
Andaikan semua modus (sinus dan kosinus) memiliki periode bulat pada
2/,2/ AA . Gelombang dengan periode terbesar (satu periode penuh pada
2/,2/ AA ) disebut sebagai modus dasar. Gelombang ini juga memiliki
frekuensi 1/A periode per satuan panjang. Frekuensi ini merupakan
frekuensi terendah pada 2/,2/ AA dan dinotasikan dengan
A
1 ,
dan ini akan menjadi jarak antar titik grid pada domain frekuensi. Karena
terdapat N titik grid pada domain frekuensi 2/,2/ dengan jarak antar
titik grid Δ, sama halnya pada domain spasial di mana xNA , maka
pada domain frekuensi . N Dengan mengkombinasikan dua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
pernyataan, A
1 dan N , maka diperoleh hubungan kebalikan
yang pertama, yaitu
A
NN atau NA .
Hubungan kebalikan yang pertama ini menyatakan bahwa jarak interval
pada domain spasial berbanding terbalik dengan jarak interval pada domain
frekuensi. Dengan kata lain, jika A bertambah, ini mengakibatkan periode
pada domain spasial bertambah panjang dan frekuensi Δ menurun, bila Δ
menurun maka jarak interval pada domain frekuensi juga menurun.
Telah diketahui bahwa pada domain spasial 2/,2/ AA dibagi
menjadi N subinterval grid dengan jarak antar grid Δx dan xNA .
Dengan mengkombinasikan dua pernyataan, A
1 dan xNA , maka
diperoleh hubungan kebalikan yang kedua, yaitu
1
xNA
atau N
x1
.
Hubungan kebalikan yang kedua ini menyatakan bahwa jarak antar titik-titik
grid pada kedua domain berbanding terbalik.
Dengan hubungan kebalikan, aturan aproksimasi trapesium
sebelumnya dapat diselesaikan dengan langkah yang lebih singkat. Misalkan
nf untuk menotasikan nilai-nilai sampel nxf untuk 2:12 NNn .
Untuk mengakprosimasi f pada titik-titik grid frekuensi Akkk ,
knx disederhanakan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
N
nk
A
k
N
nAkxnx kn .
Sehingga, jumlahan dalam aturan trapesium menjadi
.ˆ2
2
2
21
2
1
2
N
N
N
N
nk
n
Nkni
n
n
xi
nk efN
Aef
N
Af
Oleh karena itu, aproksimasi transformasi Fourier f pada titik-titik grid
frekuensi Akk diberikan oleh
k
N
N
A
A
F
n
Nkni
n
Nxki
k efN
AexfA
kff
2
2
2
21
22 1ˆˆ , (3.12)
untuk 2:12 NNk . kF pada (3.12) merupakan definisi dari
transformasi Fourier Diskrit. Bila diberikan N nilai sampel nf , maka
transformasi Fourier Diskrit memuat N koefisien
2
21
21N
Nn
Nkni
nk efN
F (3.13)
untuk 2:12 NNk . Dari hasil aproksimasi dengan aturan trapesium
(3.7), dapat disimpulkan bahwa aproksimasi untuk transformasi Fourier
kf ˆ diberikan oleh kk AFf ˆ .
Untuk mempermudah penulisan (3.13), dimisalkan,
,2
sin2
cos/2
Ni
Ne Ni
N
sehingga
.dan /2/2/2/2 NkninkNink
N
NkninkNink
N eeee
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Definisi 3.6
Misal N bilangan bulat genap positif dan nf barisan N bilangan kompleks
dengan 2:12 NNn , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya
adalah
2
21
1N
Nn
nk
Nnk fN
F (3.14)
untuk 2:12 NNk .
Misal N bilangan bulat ganjil positif dan nf barisan N bilangan kompleks
dengan 21:21 NNn , maka bentuk transformasi Fourier
Diskritnya adalah
2
1
21
1N
Nn
nk
Nnk fN
F (3.15)
untuk 21:21 NNk .
Untuk mendefinisikan transformasi Fourier Diskrit dari barisan nf
akan digunakan notasi 𝒟{𝑓𝑛}, dan 𝒟{𝑓𝑛}𝑘 untuk menunjukkan elemen
transformasi ke k, sehingga 𝒟{𝑓𝑛}𝑘 = 𝐹𝑘 .
Terdapat banyak bentuk alternatif untuk mendefinisikan transformasi
Fourier Diskrit. Misalnya, bila input TFD merupakan barisan yang
bergantung pada waktu akan lebih mudah menggunakan indeks 1:0 N .
Untuk penerapan lainnya (domain spasial), seperti rekonstruksi citra dari
proyeksi, akan lebih mudah untuk menempatkan titik asal di tengah ruang
gambar, yang mengarah ke Definisi 3.6.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Definisi 3.7
Misal N bilangan bulat positif dan nf barisan N bilangan kompleks
dengan 1:0 Nn , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah
1
0
1 N
n
nk
Nnk fN
F (3.16)
untuk 1:0 Nk .
Bentuk alternatif TFD (3.16) setara dengan bentuk TFD (3.14).
Salah satu keuntungan dari Definisi 3.7 adalah bahwa rumus tersebut tidak
bergantung pada genap/ganjilnya N .
Secara umum, output dari transformasi Fourier Diskrit, kF , adalah
barisan bernilai kompleks dan juga merupakan barisan dengan periode N
yang memenuhi Nkk FF ,
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
)(2
12
1
1
1
N
Nn
N
Nn
nN
N
nk
Nn
N
Nn
N
Nn
nNnk
Nn
N
Nn
N
Nn
Nkn
Nn
N
Nn
Nk
fN
fN
fN
F
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
.1
11
1
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
N
Nn
k
N
Nn
N
Nn
nk
Nn
N
Nn
N
Nn
nk
Nn
N
Nn
N
Nn
nink
Nn
FfN
fN
efN
Dari rumus TFD dapat ditentukan bagian riil dan imajinernya. Bagian riil
dinotasikan dengan kFRe dan bagian imajiner dinotasikan dengan
.Im kF Notasi tersebut juga digunakan untuk menunjukkan bagian riil dan
imajiner dari input barisan nf , yaitu nfRe dan nfIm , sehingga
diperoleh kF sebagai berikut:
2
12
2
12
/2
2
12
2sin
2cosImRe
1
ImRe1
1
N
Nn
nn
N
Nn
Nkni
nn
N
Nn
nk
Nnk
N
kni
N
knfif
N
efifN
fN
F
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
.2
sinRe2
cosIm
2sinIm
2cosRe
1
2sinRe
2cosIm
2sinIm
2cosRe
1
2
12
2
12
2
12
N
Nn
nn
N
Nn
nn
nn
N
Nn
nn
N
knf
N
knf
N
i
N
knf
N
knf
N
N
knf
N
knfi
N
knf
N
knf
N
Oleh karena itu, bagian riil dan imajiner dari kF didefinisikan sebagai
berikut.
Bentuk Riil dan Imajiner Transformasi Fourier Diskrit
2
12
2
12
2sinRe
2cosIm
1Im
2sinIm
2cosRe
1Re
N
Nn
nnk
N
Nn
nnk
N
knf
N
knf
NF
N
knf
N
knf
NF
Contoh 3.6
Perhatikan 12 titik barisan bernilai riil nf yang diberikan dalam Tabel 3.1.
n,k Re{ nf } Im{ nf }
-5 0.7630 0
-4 -0.1205 0
-3 -0.0649 0
-2 0.6133 0
-1 -0.2697 0
0 -0.7216 0
1 -0.0993 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
2 0.9787 0
3 -0.5689 0
4 -0.1080 0
5 -0.3685 0
6 0.0293 0
Tabel 3.1. 12 titik numerik bernilai riil dari nf
Gambar 3.4. Bagian riil (kiri) dan bagian imajiner (kanan) dari 12 titik input
barisan nf .
Maka transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil nf adalah:
6
5
1212
1
n
nk
nk fF ,
untuk 6:5k . Transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil nf
juga terdiri dari 12 titik barisan kF yang diberikan dalam Tabel 3.2.
n,k Re{ kF } Im{ kF }
-5 0.0684 -0.1093
-4 -0.1684 0.0685
-3 -0.2143 -0.0381
-2 -0.0606 0.1194
-1 -0.0418 -0.0548
0 0.0052 0
1 -0.0418 0.0548
2 -0.0606 -0.1194
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
3 -0.2143 0.0381
4 -0.1684 -0.0685
5 0.0684 0.1093
6 0.1066 0.0000
Tabel 3.2. 12 titik numerik transformasi Fourier Diskrit barisan nf .
Gambar 3.5. Bagian riil (kiri) dan bagian imajiner (kanan) dari kF .
Transformasi Fourier Diskrit digunakan karena terdapat suatu
masalah yang muncul dalam domain spasial (atau temporal) yang dapat
ditransformasi menjadi masalah yang lebih sederhana dalam domain
lainnya. Penyelesaian yang diperoleh dari domain kedua harus diubah
kembali ke domain aslinya. Untuk mengubahnya, suatu invers transformasi
diperlukan.
Definisi 3.8
Misal N bilangan bulat positif genap dan kF adalah barisan bilangan
kompleks N dengan 2:12 NNk . Maka invers transformasi Fourier
Diskritnya adalah
2
21
N
Nk
nk
Nkn Ff (3.17)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
untuk 2:12 NNn .
Jika N bilangan bulat positif ganjil dan kF adalah barisan bilangan
kompleks N dengan 21:121 NNk . Maka invers transformasi
Fourier Diskritnya adalah
2
1
21
N
Nk
nk
Nkn Ff (3.18)
untuk 21:121 NNn .
Definisi ini bersifat periodik pada barisan nf yang memenuhi
Nnn ff ,
2
12
2
12
2
12
2
12
)(2
12
1
1
N
Nk
N
Nk
Nknk
Nk
N
Nk
N
Nk
kNn
Nk
N
Nk
Nn
FN
FN
f
2
12
2
12
1
N
Nk
N
Nk
Nk
N
nk
NkFN
2
12
2
12
21
N
Nk
N
Nk
kink
Nk eFN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
.1
11
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
N
Nk
n
N
Nk
N
Nk
nk
Nk
N
Nk
N
Nk
nk
Nk
fFN
FN
Seperti pada TFD, untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier
Diskrit dari barisan kF akan digunakan notasi 𝒟−1{𝐹𝑘}, dan 𝒟−1{𝐹𝑘}𝑛 yang
menyatakan elemen ke n dari invers transformasinya, sehingga 𝒟−1{𝐹𝑘}𝑛 =
𝑓𝑛 .
Notasi tersebut menunjukkan bahwa TFD dan ITFD merupakan
invers satu sama lain, tetapi faktanya belum ditunjukkan. Maka selanjutnya
akan ditunjukkan bahwa operator 𝒟 dan 𝒟−1 memenuhi hubungan invers
𝒟−1{𝒟 𝑓𝑛 }𝑛 = 𝑓𝑛 dan 𝒟{𝒟−1 𝐹𝑘 }𝑘 = 𝐹𝑘 .
Untuk membuktikan rumus invers, membutuhkan sifat ortogonalitas
dari fungsi eksponensial.
Teorema 3.4 (Ortogonalitas)
Jika j dan k bilangan bulat dan N bilangan bulat positif, maka
kjNee n
N
n
NkniNjni
ˆ1
0
22 . (3.19)
Bukti:
Misalkan Ni
N e 2 . Perhatikan bahwa N bilangan kompleks k
N untuk
1:0 Nk , yang disebut sebagai akar satuan ke-N karena memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
122 kiNNkiNk
N ee ,
dan oleh karena itu 01Nz . k
N adalah salah satu dari akar satuan ke N
untuk setiap bilangan bulat k, tetapi barisan k
k
N berperiode N
k
k
N
k
k
N
k
k
N
k
ik
N
k
NNik
N
k
N
N
k
Nk
Nk
N
i
e
e
1
2sin2cos
2
/2
Sehingga himpunan akar-akar ini dapat ditentukan oleh k
N
untuk setiap
bilangan bulat N berturut-turut k. Pertama, kita faktorkan polinomial 1Nz
seperti berikut
1
0
21
1
111
N
n
n
NNN
zz
zzzzz
Diketahui bahwa k
N adalah akar dari 01Nz , ada dua kasus untuk
diperhatikan. Jika dimisalkan kj
Nz di mana kj bukan kelipatan N,
maka 1z , dan kita mempunyai
01
0
1
0
N
n
nkj
N
N
n
nz .
Kasus lain, jika kj kelipatan N maka 1 kj
Nz dan
NzN
n
N
n
nkj
N
N
n
n
1
0
1
0
1
0
1 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Sifat ortogonalitas terbukti dari kedua kasus tersebut.
Sifat ortogonalitas (Teorema 3.4) juga dapat dibuktikan dengan
langkah yang berbeda, yaitu dengan menerapkan deret geometri:
.1
11
0
N
n
Nn
a
aa
Akan dibuktikan:
.0 jika 0
0 jika ˆ
1
0
22
kj
kjNkjNee n
N
n
NkniNjni
Untuk 0 kj ,
.0
1
2sin2cos1
1
1
1
1
2
0
2
2
2
21
0
2
Nkji
Nkji
kji
Nkji
NNkjiN
n
nNkji
e
kjikj
e
e
e
ee
Untuk 0 kj ,
NeeN
n
N
n
nN
n
nNkji
1
0
1
0
01
0
2 1 .
Karena barisan k
N
berperiode N , sifat ortogonal berlaku ketika
penjumlahan dalam (3.16) dihitung terhadap setiap N nilai n berturut-
turut; dengan kata lain,
kjNee N
NP
Pn
NkniNnji
ˆ1
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
untuk setiap bilangan bulat P.
Sifat ortogonal transformasi Fourier Diskrit merupakan sebuah
hubungan antara vektor-vektor. Dengan demikian jika terdapat N vektor
kompleks
kN
N
k
N
k
N
N
k
1
2
0
ω ,
maka
3.3) (Teorema )(ˆ
kompleks)konjugat (sifat
) (definisi
dalam) kali hasil (definisi ,
1
0
22
1
0
*22
1
0
*
kjN
ee
ee
N
N
n
NkiNjni
nk
N
N
n
NkiNjni
N
n
nk
N
nj
N
kj
ωω
Jadi,
)(ˆ, kjN N
kj ωω
dan sembarang N nilai k berturut-turut menghasilkan himpunan vektor
yang ortogonal.
Teorema 3.5 (Invers)
Jika nf adalah barisan N bilangan kompleks dan kF 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 adalah
Transformasi Fourier dari barisan nf , maka 𝒟−1 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 𝑛 = nf .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Bukti:
Diketahui:
nf 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛
2
21
N
Nk
nk
NkF dan kF 𝒟 𝑓𝑛 𝑘
2
21
1N
Nn
nk
NnfN
.
Kombinasikan definisi 𝒟 dan 𝒟−1, sehingga
𝒟−1 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 𝑛 = 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 (definisi 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 )
2
21
N
Nk
nk
NkF (definisi 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 )
nk
N
k j
jk
Nj
N
N
N
N
fN
2
2
2
21 1
1 (definisi kF )
2
2
2
211
1N
N
N
N j
jk
Nj
k
nk
N fN
(aturan sigma)
2
2
2
211
1N
N
N
N k
jk
N
nk
N
j
jfN
(aturan sigma)
jnN
k
jnk
N
j
j
N
N
N
N
N
fN
ˆ
1
)(
1
2
2
2
2
1 (aturan pangkat)
Penjumlahan jn pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya
jika nj , sehingga persamaan terakhir tersebut menjadi
𝒟−1 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 𝑛 nn ffNN
1
.
Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama untuk
membuktikan Teorema 3.5 dapat ditunjukkan bahwa 𝒟 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 𝑘 =
𝐹𝑘 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
𝒟 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 𝑘 = 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 (definisi 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 )
2
21
1N
Nn
nk
NnfN
(definisi 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 )
2
2
2
21 1
1N
N
N
Nn
nk
N
j
nj
NjFN
(definisi nf )
2
2
2
211
1N
N
N
N j
nj
Nj
n
nk
N FN
(aturan sigma)
2
2
2
211
1N
N
N
N n
nk
N
nj
N
j
jFN
(aturan sigma)
)(ˆ
11
2
2
2
2
1
kjN
n
kjn
N
j
j
N
N
N
N
N
FN
(aturan pangkat)
Penjumlahan kj pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya
jika kj dan persamaan terakhir tersebut menjadi
𝒟 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 𝑘 = kFNN
1= 𝐹𝑘 .
Transformasi Fourier Diskrit (TFD) merupakan pemetaan dari N
nilai nf ke N nilai kF . Oleh karena itu, transformasi Fourier Diskrit dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari suatu vektor dengan N elemen dengan
suatu matriks NN . Untuk menyatakan transformasi Fourier Diskrit dalam
bentuk matriks akan lebih mudah bila menggunakan Definisi 3.7.
Definisi 3.9
Jika f menyatakan vektor dari data input,
TNffff 1210 ,,,, f ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
dan F menyatakan vektor dari nilai output,
TNFFFF 1210 ,,,, F ,
maka transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis:
WfF ,
dengan
111210
12420
1210
0000
1
NN
N
N
N
N
NN
N
NNNN
N
NNNN
NNNN
N
W .
Matriks W (matriks Fourier) merupakan matriks persegi dan
matriks nonsingular, yaitu matriks yang mempunyai invers. Matriks ini
mempunyai sifat-sifat penting, antara lain:
Karena TFD invertible (nonsingular), maka matriks tersebut
mempunyai invers yaitu 1
W .
Matriks W simetris, sehingga WW T.
Invers dari W merupakan suatu perkalian dari konjugat komplek W
sendiri:
.WW1 N
Oleh karena itu, IWW *N ( * menyatakan transpose konjugat dan I
merupakan matriks identitas), dan W merupakan matriks uniter
terhadap faktor N. Faktor N dapat dimasukkan pada definisi TFD dan
invers TFD, dalam kasus IWW* .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Contoh 3.7
Diberikan 3N sehingga
3
2sin
3
2cos32
3
ie i
2
3
2
1i .
Matriks Fouriernya adalah
1
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2
3
0
3
2
3
1
3
0
3
0
3
0
3
0
3
1
1
111
3
1
3
1
W .
Jika T271f maka transformasi Fourier Diskrit f adalah
.
4434,11667,1
4434116671
310
271
271
271
3
1
2
7
1
1
1
111
3
1
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
+ i-
, - i, -
W
fF
Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dari
transformasi Fourier Diskrit
3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit
Sama halnya dengan deret Fourier dan transformasi Fourier,
transformasi Fourier Diskrit memiliki sifat-sifat yang berguna untuk
menyelesaikan banyak masalah. Misalnya, suatu masalah tertentu pada
suatu domain (domain spasial atau waktu) dapat dirumuskan kembali ke
dalam bentuk yang lebih sederhana pada domain frekuensi. Penghubung
antara kedua domain tersebut adalah transformasi Fourier Diskrit dan sifat-
sifat dari transformasi Fourier Diskrit yang menjelaskan bagaimana suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
masalah yang diberikan dimodifikasi dari domain yang satu ke domain
yang lainnya.
Untuk memaparkan sifat-sifat transformasi Fourier Diskrit akan
digunakan rumus TFD (3.14) dan inversnya (3.17). Berikut beberapa sifat-
sifat dasar dari transformasi Fourier Diskrit.
1. Periodik
Barisan-barisan fungsi kompleks kF dan nf didefinisikan oleh
N titik, sehingga (3.11) dan (3.14) memiliki sifat periodik. Dengan
kata lain, (3.11) dan (3.14) berperiode N , yang berarti bahwa
2
12
2
12
2
12
2
12
)(2
12
1
1
N
Nn
N
Nn
nNnk
Nn
N
Nn
N
Nn
Nkn
Nn
N
Nn
Nk
fN
fN
F
2
12
2
12
2
2
12
2
12
1
1
N
Nn
N
Nn
nink
Nn
N
Nn
N
Nn
nN
N
nk
Nn
efN
fN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
,1
11
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
N
Nn
k
N
Nn
N
Nn
nk
Nn
N
Nn
N
Nn
nk
Nn
FfN
fN
dan
2
12
2
12
2
12
2
12
)(2
12
1
1
N
Nk
N
Nk
Nknk
Nk
N
Nk
N
Nk
kNn
Nk
N
Nk
Nn
FN
FN
f
2
12
2
12
1
N
Nk
N
Nk
Nk
N
nk
NkFN
2
12
2
12
21
N
Nk
N
Nk
kink
Nk eFN
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
1
11
N
Nk
n
N
Nk
N
Nk
nk
Nk
N
Nk
N
Nk
nk
Nk
fFN
FN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
berlaku untuk semua kn, ℤ+.
Sifat tersebut diturunkan secara langsung dari pernyataan bahwa
k
nk
N
k
nk
N
k
nk
N
k
nink
N
k
NnNink
N
k
nN
N
nk
Nk
Nkn
N
nin
e
e
1
2sin2cos
2
/2
dan
.
1
2sin2cos
,
,
,
,
2
,
/2
,,
kn
nk
N
kn
nk
N
kn
nk
N
kn
kink
N
kn
NNkink
N
kn
Nk
N
nk
Nkn
kNn
N
kik
e
e
2. Linear
Salah satu sifat dasar dari TFD adalah linear: transformasi
Fourier Diskrit dari kombinasi linear barisan-barisan input TFD adalah
sama dengan kombinasi linear TFDnya. Sifat linear memungkinkan
untuk memisahkan sinyal-sinyal ke dalam komponen-komponen yang
bervariasi (dasar untuk analisis spektral). Sifat linear dapat ditunjukkan
dengan cara berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Jika nf dan ng merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah
N , dan dan adalah bilangan kompleks, maka
𝒟 knn gf 𝒟
knf 𝒟 kng .
Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut:
𝒟 knn gf
2
21
1N
Nn
nk
Nnn gfN
2
2
2
211
11N
N
N
N n
nk
Nn
n
nk
Nn gN
fN
𝒟 knf 𝒟
kng .
Sifat linearitas juga berlaku untuk invers transformasi Fourier
Diskrit, yaitu: Jika kF dan kG merupakan barisan bernilai kompleks
sejumlah N , dan dan adalah bilangan kompleks, maka
𝒟−1 nkk GF 𝒟−1
nkF 𝒟−1 nkG .
Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut:
𝒟−1 nkk GF
2
21
N
Nn
nk
Nkk GF
2
2
2
211
N
N
N
N n
nk
Nk
n
nk
Nk GF
𝒟−1 nkF 𝒟−1
nkG .
3. Pergeseran dan Modulasi
Dua sifat yang saling berhubungan dan memiliki akibat yang
penting adalah pergeseran dan modulasi. Sifat pergeseran menjelaskan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
akibat dari suatu barisan TFD yang telah digeser (atau ditranslasi).
Suatu barisan nf yang telah digeser ke kanan sebesar j satuan dengan
menggunakan invers dari transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis
sebagai
2
2
2
2
1
1
N
N
N
N
k
nk
N
jk
Nk
k
kjn
Nkjn
F
Ff
𝒟−1 n
jk
NkF .
Dari pernyataan terakhir dapat ditulis pernyataan berikut
𝒟 jk
Nkkjn Ff
.
Dengan kata lain, transformasi suatu barisan yang telah digeser ke
kanan sebesar j satuan berakibat merotasi barisan asli koefisien TFD
di bidang kompleks; pada faktanya, koefisien awal kF dirotasi dengan
sudut Njk2 .
Sifat modulasi atau sifat pergeseran frekuensi memberikan
akibat pada modulasi barisan input, yaitu, mengalikan elemen-elemen
barisan input nf dengan nj
N , dengan j suatu bilangan bulat.
𝒟
2
21
1N
Nn
nk
N
nj
Nnk
nj
Nn fN
f
2
21
1N
Nn
jkn
NnfN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
𝒟 jkjkn Ff .
Sifat tersebut menjelaskan bahwa jika suatu barisan input dimodulasi
dengan modus jn2cos atau jn2sin dengan frekuensi j siklus
pada domain maka akan menghasilkan TFD yang digeser sebesar j
satuan.
3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi
Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan perluasan dari
transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi (transformasi Fourier Diskrit),
sehingga prinsip-prinsip yang terdapat pada transformasi Fourier Diskrit 2
dimensi sama dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi. Pembedanya
ialah fungsi yang dikenakan pada transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi
memiliki 2 variabel bebas. Oleh karena itu, pada subbab ini kita harus
memandang input dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi berupa suatu
data array yang dinyatakan dalam suatu bidang.
Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi,
definisi dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dimulai dengan
penjabaran input. Input yang diberikan dapat berupa suatu bentuk Diskrit
(misal, data sampel) atau bentuk kontinyu (fungsi dua variabel). Untuk
saat ini diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada
22
,22
:,B
yBA
xA
yx .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Seperti dalam kasus 1 dimensi fungsi f harus diberi sampel untuk
dapat diselesaikan secara numerik. Untuk membuat sampel pada daerah
tersebut suatu bidang koordinat dibentuk dengan jarak antar titik koordinat
seragam yaitu MAx dalam sumbu horisontal dan MBy dalam
sumbu vertikal. Titik-titik koordinat yang terbentuk (Gambar 3.6)
diberikan oleh
ynxmyx nm ,,
dengan 2:12 MMm dan 2:12 NNn .
Gambar 3.6. (Kiri) Bidang koordinat spasial. (Kanan) Bidang koordinat
frekuensi dengan jarak antar titik-titik koordinat nm , ialah
M pada sumbu horisontal dan N dengan
2:12 MMm dan 2:12 NNn .
Fungsi input f dapat disampelkan dengan mencatat nilainya pada
titik-titik koordinat tersebut sehingga menghasilkan barisan (array)
bilangan dari nmmn yxff , . Sebagai antisipasi penggunaan array mnf
sebagai input TFD, kita harus menganggap jika mnf mempunyai periode
ganda, yang berarti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
mnnMm ff , dan mnNnm ff , .
Sekarang diasumsikan bahwa barisan input mnf terpisah, artinya
fungsi nmmn hgf . Dengan asumsi ini, barisan mg dan nh dapat
dinyatakan berdasarkan definisi invers transformasi Fourier Diskrit 1
dimensi, sehingga
2
21
M
Mj
mj
Mjm Gg dan
2
21
N
Nk
nk
Nkn Hh , (3.20)
untuk 2:12 MMm dan 2:12 NNn . Dari (3.20), dapat
dilihat bahwa jG dan kH merupakan koefisien TFD dari mg dan nh ,
yaitu
2
21
1M
Mm
mj
Mmj gM
G dan
2
21
1N
Nn
nk
Nnk hN
H ,
dengan 2:12 MMj dan 2:12 NNk . Dengan penjabaran
secara terpisah di atas, barisan nmmn hgf dapat dikonstruksikan dari
perkalian antara mg dan nh , sehingga
,2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1
11
M
M
N
N
M
M
jk
N
N
N
N
M
M
j
nk
N
mj
Mjk
k
j
nk
N
mj
M
F
kj
k
k
nk
Nk
j
mj
Mjnmmn
F
HG
HGhgf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
untuk 2:12 MMm dan 2:12 NNn . Sekarang kita
memiliki koefisien baru yaitu, kjjkjk HGFF , . Sama halnya dengan
barisan mnf , koefisien jkF juga dapat dikonstruksikan dari perkalian antara
jG dan kH , sehingga
,1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
11
nk
N
m
mj
Mmn
n
n
nk
Nn
m
mj
Mmkjjk
M
M
N
N
N
N
M
M
fMN
hN
gM
HGF
untuk 2:12 MMj dan 2:12 NNk .
Definisi 3.10 (Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi)
Jika diberikan suatu input NM array mnf , maka
nk
N
m
mj
Mmn
n
jk
M
M
N
N
fMN
F
2
2
2
21 1
1, (3.21)
untuk 2:12 MMj dan 2:12 NNk .
Definisi 3.11 (Invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi)
Jika diberikan suatu input NM array jkF , maka
2
2
2
21 1
M
M
N
Nj
nk
N
mj
Mjk
k
mn Ff , (3.22)
untuk 2:12 MMm dan 2:12 NNn .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (3.21) dan (3.22) berperiodik
M pada indeks pertama dan berperiodik N pada indeks kedua dan juga
akan ditunjukkan bahwa (3.21) dan (3.22) saling berinvers satu sama lain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Seperti pada kasus 1 dimensi, sifat invers bergantung pada ortogonalitas.
Pertama, akan ditunjukkan ortogonalitas dari vektor jk
ω dengan
nk
N
mj
M
jk
mn ω . Perhatikan hasil kali dalam Diskrit dua modus dengan
frekuensi kj, dan 00 ,kj ,
.
,
2
2
2
2
00
2
2
2
2
0000
1 1
1 1
M
M
N
N
M
M
N
N
m n
nk
N
mj
M
nk
N
mj
M
m n
kj
mn
jk
mn
kjjk
ωωωω
Dengan sifat perkalian eksponensial ( ba
N
b
N
a
N
) diperoleh
.ˆˆ00
1 1
1 11 1
2
2
2
2
00
2
2
2
2
00
2
2
2
2
00
jkNjjM NM
m n
kkn
N
jjm
M
m n
kkn
N
jjm
M
m n
nk
N
mj
M
nk
N
mj
M
M
M
N
N
M
M
N
N
M
M
N
N
Dengan sifat ortogonalitas dua dimensi tersebut, dapat ditunjukkan bahwa
(3.20) dan (3.21) berinvers satu sama lain. Misalkan,
mnf 𝒟−1 mnjkF
2
2
2
211
N
N
M
M k
nk
N
mj
Mjk
j
F
dan
jkF 𝒟 jkmnf
2
2
2
211
1N
N
M
M n
nk
N
mj
Mmn
m
fMN
.
Sehingga dapat ditunjukkan bahwa,
𝒟−1 𝒟 𝑓𝑚𝑛 𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
2
2
00
2
2
2
20
00
2
20
2
2
2
20
00
00
2
20
2
2
2
2
2
2
1111
1 111
11
1
1
N
N
M
M
N
N
M
M
N
N
N
N
M
M
M
M
N
N
M
M
k
nk
N
mj
M
kk
N
jj
M
jk
kj
j
k
nk
N
mj
M
k
kk
N
jj
Mkj
jj
k
nk
N
mj
Mjk
j
fMN
fMN
F
00
2
2
00
2
2
2
20
00
2
20
ˆˆ
1111
1
knjmMN
k
knk
N
jmj
M
jk
kj
j
NM
N
N
M
M
N
N
M
M
fMN
Penjumlahan 0jm dan 0kn pada persamaan terakhir di atas tidak
bernilai nol tetapi jika 0jm dan 0kn maka persamaan terakhir
tersebut menjadi
𝒟−1 𝒟 𝑓𝑚𝑛 𝑗𝑘 𝑚𝑛 mnmn ffMNMN
1
.
Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama dapat
ditunjukkan juga 𝒟 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝑗𝑘
jkF .
𝒟 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝑗𝑘
𝒟 𝑓𝑚𝑛 𝑗𝑘
2
2
00
2
2
2
20
00
2
20
2
2
2
20
00
00
2
20
2
2
2
2
2
2
1111
1 111
11
1
1
1
N
N
M
M
N
N
M
M
N
N
N
N
M
M
M
M
N
N
M
M
n
nk
N
mj
M
nk
N
mj
M
mk
kj
j
n
nk
N
mj
M
k
nk
N
mj
Mkj
jm
n
nk
N
mj
Mmn
m
FMN
FMN
fMN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
kkjjMN
n
kkn
N
jjm
M
mk
kj
j
NM
N
N
M
M
N
N
M
M
FMN
00
2
2
00
2
2
2
20
00
2
20
ˆˆ
1111
1
Penjumlahan jj 0 dan kk 0 pada persamaan terakhir di atas tidak
bernilai nol tetapi jika jj 0 dan kk 0 maka persamaan terakhir
tersebut menjadi
𝒟 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝑗𝑘
jkjk FFMNMN
1
.
Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi,
transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi juga mempunyai bentuk alternatif,
yaitu:
Definisi 3.12
Jika diberikan suatu input NM array mnf , maka
1
0
1
0
1 N
n
nk
n
mj
Mmn
M
m
jk fMN
F , (3.23)
dengan 1:0 Mj dan 1:0 Nk .
Ada beberapa sifat dalam TFD 2 dimensi yang mengikuti sifat-sifat
dasar TFD 1 dimensi, yaitu: Misal 𝒟 merupakan transformasi Fourier
Diskrit dua dimensi NM , maka
1. 𝒟 periodik: 𝒟 NkMjmnf
,𝒟
jkmnf .
𝒟 NkMjmnf
,
2
2
2
211
1N
N
M
M n
Nkn
N
Mjm
Mmn
m
fMN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
22
1
11
11
1
1
1
1
N
N
M
M
N
N
M
M
N
N
M
M
N
N
M
M
n
nk
N
mj
Mmn
m
n
nimink
N
mj
Mmn
m
n
nN
N
mM
M
nk
N
mj
Mmn
m
n
nN
N
nk
N
mM
M
mj
Mmn
m
fMN
eefMN
fMN
fMN
𝒟 jkmnf .
2. 𝒟 bersifat linear: 𝒟 jkjkjkmnmn GFgf , dan
konstanta.
𝒟 jkmnmn gf
2
2
2
211
1N
N
M
M n
nk
N
mj
Mmnmn
m
gfMN
.
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
11
jkjk
n
nk
N
mj
Mmn
m
n
nk
N
mj
Mmn
m
n
nk
N
mj
Mmn
nk
N
mj
Mmn
m
GF
gMN
fMN
gfMN
N
N
M
M
N
N
M
M
N
N
M
M
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula:
3. Pergeseran: 𝒟 jk
kn
N
jm
Mjknnmm Ff 00
00 ,
.
4. Rotasi: 𝒟 00
00
, kkjjjkmn
nk
N
mj
M Ff
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan pemetaan dari
NM nilai mnf ke NM nilai jkF . Oleh karena itu, transformasi
Fourier Diskrit 2 dimensi dapat dinyatakan sebagai perkalian dari suatu
matriks dengan M elemen baris dan N elemen kolom dengan matriks
MM dan matriks NN .
Definisi 3.13
Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi pada Definisi 3.12 dapat dihitung
sebagai
TNM WfWF 22 ,
di mana
111210
12420
1210
0000
1
MM
M
M
M
M
MM
M
MMMM
M
MMMM
MMMM
MM
W
dan
111210
12420
1210
0000
1
NN
N
N
N
N
NN
N
NNNN
N
NNNN
NNNN
NN
W
merupakan matriks Fourier.
Contoh 3.8
Hitung transformasi Fourier Diskrit 2-dimensi dari
1176
521f .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Diketahui: 2M dan 3N sehingga
1sincos22
2 iee ii
M dan
232132sin32cos32
3 iiei
N .
Matriks Fouriernya adalah
1
21
2
0
2
0
2
0
2
21
11
W , untuk 1:0m dan 1:0j , dan
1
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2
3
0
3
2
3
1
3
0
3
0
3
0
3
0
3
3
1
1
111
W , untuk 2:0n dan 2:0k .
Berdasarkan definisi 3.13, maka transformasi Fourier Diskrit 2 dimensinya
adalah
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
31
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
1
31
2
322
1
1
111
655
1697
6
1
1
1
111
1157261
1697
6
1
1
1
111
3
1
1176
521
1
11
2
1
T
TWfWF2
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
65565516
1697169732
6
1
.1443,00833,01443,00833,06667,2
0104,19167,00104,19167,03333,5
8660,05,08660,05,016
0622,65,50622,65,532
6
1
ii
ii
ii
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal
Bila diberikan suatu sampel sinyal x dengan elemen-elemen
tkfxk , 10 Nk untuk beberapa fungsi f yang terdefinisi pada
1,0 , dengan Nt 1 . Berikut tahapan kompresi dengan menggunakan
transformasi Fourier Diskrit:
1. Tentukan X , Transformasi Fourier Diskrit dari sinyal x .
2. Tentukan suatu nilai ambang batas (threshold) yang disimbolkan
dengan c antara 10 c .
3. Tentukan kNk XM 10max .
4. Definisikan X~
ℂ𝑁 dengan komponen
. jika,0
, jika,~
cMX
cMXXX
k
kk
k
Tahap 2 sampai tahap 4 merupakan tahapan di mana frekuensi-
frekuensi yang tidak signifikan dieliminasi, yaitu dengan membuat nol
setiap koefisien Fourier X yang berada di bawah nilai ambang batas.
Vektor X~
akan menjadi vektor sinyal yang terkompresi. Bila terdapat
banyak elemen-elemen 0~
kX , maka X~
akan mudah untuk
dikompresi.
5. Tentukan x~ , invers transformasi Fourier Diskrit dari X~
. Tahapan ini
merupakan tahapan dekompresi. Vektor x~ merupakan vektor sinyal
yang terkompresi. Vektor x~ tersebut harus mengaproksimasi x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Untuk mengetahui hasil kompresi tersebut baik atau tidak, hitung
kesalahan relatifnya dengan rumus
100
~
x
xxrelatifkesalahan .
Semakin kecil persentase galat relatif yang diperoleh, maka kompresi citra
digital asli yang dihasilkan semakin baik.
Contoh 3.9
Misal diberikan fungsi 22 )( tttf yang merepresentasikan suatu
sinyal, didefinisikan pada interval tertutup 1,0 dengan 256N . Grafik
fungsi f digambarkan pada Gambar 3.7 (Kiri). Grafik TFD dari f kF ,
yang dinyatakan dengan pasangan NFk k
2, dengan 128127 k ,
digambarkan pada Gambar 3.7 (Kanan).
Gambar 3.7. (Kiri) Grafik fungsi 22 )( tttf dan (Kanan) Grafik
TFD dari f .
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
t
f(t)
=(t
-(t2
))2
-100 -50 0 50 1000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
k
TF
D f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Pilih sebuah nilai ambang batas (threshold), misal 001.0c . Kemudian,
hitung kk FM 2550max , diperoleh 5.8M .
Dengan nilai ambang batas tersebut, maka dapat diperoleh suatu vektor
baru, yaitu F~
, merupakan vektor yang akan menjadi sinyal yang
terkompresi. Dari vektor F~
dengan menggunakan definisi 3.8 diperoleh
,~f merupakan vektor dari sinyal yang terkompresi.
Kemudian dihitung kesalahan relatifnya dengan rumus
%.1,361,35999661100
~
f
ffrelatifkesalahan
Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa sinyal
hasil kompresi serupa dengan sinyal aslinya.
Gambar 3.8. Sinyal asli (kiri) dan sinyal terkompresi (kanan).
Hasil dari kompresi sinyal dengan transformasi Fourier Diskrit adalah
sebagai berikut,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Sinyal asli
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Sinyal Terkompresi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya presentase kompresi, yaitu
%.53,441002048
11361
100asli sinyal resolusi
si terkompresinyal resolusi1Presentase
Artinya, sinyal asli terkompresi sebesar 44.53%.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
Pada bab ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier
Diskrit pada kompresi citra digital beraras keabu-abuan. Pertama-tama akan
dibahas mengenai citra diskrit dan citra beraras keabu-abuan.
4.1. Citra Diskrit
Citra diskrit atau citra digital merupakan suatu array yang berisi nilai-
nilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan deretan bit
tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi yxf , berukuran M
baris dan N kolom NM , dengan x dan y adalah koordinat spasial, dan
amplitudo f di koordinat yx, yang merupakan tingkat keabu-abuan dari
citra. Citra diskrit atau digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai
berikut:
.
)1,1()1,1()0,1(
)1,1()1,1()0,1(
)1,0()1,0()0,0(
NMfMfMf
Nfff
Nfff
f
4.2. Citra Beraras Keabu-abuan
Citra beraras keabu-abuan dimodelkan sebagai suatu fungsi bernilai
riil yxg , yang terdefinisi pada suatu bidang 2 dimensi, yaitu . Nilai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
yxg , menyatakan intensitas keabu-abuan dari citra di titik yx, pada
bidang .
Citra beraras keabu-abuan juga dapat dinyatakan dengan matriks
NM yang komponen elemen-elemennya merupakan bilangan bulat.
Berikut matriks dari citra beraras keabu-abuan:
.
)1,1()1,1()0,1(
)1,1()1,1()0,1(
)1,0()1,0()0,0(
NMgMgMg
Nggg
Nggg
g
Untuk citra 8-bit, nilai intensitas keabu-abuan bernilai dari 0 sampai
255 = 128 . Nilai 0 merepresentasikan hitam murni dan nilai 255
merepresentasikan putih murni.
Gambar 4.1. Contoh citra beraras keabu-abuan.
4.3. Kompresi Citra Beraras Keabu-abuan
Tahapan pada kompresi citra beraras keabu-abuan secara garis besar
sama seperti tahapan pada kompresi sinyal. Dalam kompresi citra beraras
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
keabu-abuan transformasi Fourier Diskrit yang digunakan ialah transformasi
Fourier Diskrit 2 dimensi. Berikut tahapan kompresi citra beraras keabu-
abuan:
1. Inputkan suatu citra yang akan dikompresi ke dalam Matlab dengan
perintah imread, misal,
z=imread('happy.jpg');.
Kemudian konstruksikan citra asli menjadi citra beraras keabu-abuan
dengan
zg=im2double(rgb2gray(z));.
Gambar 4.2. Citra asli ‘happy.jpg’ (kiri) dan citra beraras keabu-abuan
‘happy.jpg’ (kanan).
2. Hitung transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dari citra beraras keabu-
abuan ‘happy.jpg’.
3. Pilih suatu nilai ambang batas (threshold) antara 0 dan 1. Misal,
001.0c .
4. Tentukan nilai maksimum dari mutlak transformasi Fourier Diskrit 2
dimensi yang diperoleh pada tahap 2. Sehingga diperoleh,
Citra Asli Citra Beraras Keabu-abuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
229460M .
5. Membuat nol semua frekuensi dari nilai mutlak transformasi Fourier
Diskrit 2 dimensi yang berada di bawah nilai ambang batas.
6. Hitung invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dari hasil pada
tahap 5. Citra hasil pada tahap ini merupakan citra terkompresi.
7. Untuk mengetahui besarnya kesalahan dari citra terkompresi, hitung
kesalahan relatifnya dengan rumus
100
zgkeabuan berarascitra
zc iterkomprescitrazgkeabuan berarascitrarelatifkesalahan
,
sehingga diperoleh,
%1,931,93172887relatifkesalahan .
Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa citra
kompresi hampir serupa dengan citra aslinya.
Gambar 4.3. Citra output dari algoritma kompresi citra dengan
transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi.
Berikut hasil dari kompresi citra beraras keabu-abuan dengan
transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi,
Citra Asli Citra Beraras Keabu-abuan Citra Terkompresi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya persentase kompresi,
95,989.1002380000
954721
100keabuan citra resolusi
si terkomprecitra resolusi1Persentase
Artinya, citra beraras keabuan terkompresi sebesar 95,99 %.
Bila nilai ambang batas 01.0c , maka hasil kompresinya adalah
Gambar 4.4. Citra output dengan c = 0,01.
Citra Asli Citra Beraras Keabu-abuan Citra Terkompresi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Hasil dari kompresi citra beraras keabu-abuan dengan transformasi Fourier
Diskrit 2 dimensinya adalah
Kesalahan relatif yang diperoleh sebesar 6,5 % dan persentase kompresi yang
diperoleh ialah
% 99,851002380000
34081Persentase
,
artinya citra beraras keabu-abuan terkompresi sebesar 99,85 %.
Dengan langkah yang sama untuk nilai ambang batas yang berbeda
diperoleh kesalahan relatif sebagai berikut:
c 510 410 0,001 0,01 0,05 0,1 0,5
Kesalahan
Relatif (%) 0.0036 0,2199 1,9317 6,4955 15,0256 19,4186 28,8257
Tabel 4.1. Tingkat galat relatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Gambar 4.5. Grafik kesalahan relatif.
Dari grafik kesalahan relatif (Gambar 4.5), terlihat bahwa semakin besar nilai
ambang yang dipilih maka akan semakin besar juga kesalahan relatif yang
diperoleh. Sebab dengan nilai ambang batas yang besar, banyak nilai
frekuensi-frekuensi yang tidak signifikan (di bawah nilai ambang batas)
dibuat nol.
Dengan nilai ambang batas yang berbeda juga dapat diperoleh
besarnya persentase citra asli yang terkompresi sebagai berikut:
c 410 410 4105 4107 0,001 0,005 0,01 0,05
Persentase
(%) 4,91 50,44 88,66 93,37 95,99 99,72 99,86 99,91
Tabel 4.2. Persentase citra asli yang terkompresi.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
5
10
15
20
25
30
nilai ambang batas
kesala
han r
ela
tif
(dala
m %
)
GRAFIK KESALAHAN RELATIF
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Gambar 4.6. Grafik besarnya persentase citra asli yang terkompresi.
Dari grafik pada Gambar 4.6, terlihat bahwa semakin besar nilai ambang
batas yang dipilih maka semakin besar pula persentase citra beraras keabu-
abuan yang terkompresi.
Tahapan kompresi di atas merupakan algoritma kompresi dengan
menggunakan transformasi Fourier Diskrit, khususnya transformasi Fourier
Diskrit 2 dimensi.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
20
40
60
80
100
nilai ambang batas
pers
enta
se c
itra
terk
om
pre
si (d
ala
m %
)
GRAFIK PERSENTASE CITRA ASLI YANG TERKOMPRESI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Dalam bidang ilmu komputer, sinyal atau citra digital pada suatu
ruang waktu dapat dikonversikan ke dalam bentuk vektor. Selanjutnya, vektor
yang merepresentasikan sinyal atau citra tersebut ditransformasi ke domain
frekuensi dengan transformasi Fourier. Implementasi dari transformasi
Fourier adalah Transformasi Fourier Diskrit (TFD).
Transformasi Fourier Diskrit dapat digunakan dalam proses
pemampatan data, baik data berupa suatu sinyal atau citra digital pada suatu
domain waktu. Data tersebut terlebih dahulu dikonversikan ke dalam bentuk
vektor atau matriks, misalkan x . Kemudian, vektor atau matriks tersebut
ditransformasikan ke dalam ruang frekuensi dengan transformasi Fourier
Diskrit. Output dari transformasi tersebut berupa vektor atau matriks dengan
ukuran yang sama dengan vektor atau matriks aslinya, misalkan X . Elemen-
elemen yang tidak memiliki pengaruh besar di X dianggap nol, sehingga
akan menghasilkan suatu vektor atau matriks baru yaitu X~
. Kemudian, pada
vektor atau matriks X~
dilakukan inversi dengan invers transformasi Fourier
Diskrit yang menghasilkan suatu vektor atau matriks yang serupa dengan
vektor atau matriks aslinya, yaitu x~ .
Nilai ambang batas (threshold) sangat berpengaruh dalam
pemampatan data menggunakan transformasi Fourier Diskrit. Nilai ambang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
batas ini akan menentukan nilai-nilai frekuensi manakah yang harus dianggap
nol. Apabila nilai ambang batas semakin kecil mendekati nol, maka hasil
kompresi terhadap sinyal atau citra digital semakin serupa dengan sinyal atau
citra digital aslinya dan kesalahan yang dihasilkan dari sinyal atau citra digital
pun akan semakin mendekati nol. Dengan nilai ambang batas ini, jumlah bit
rate (ukuran resolusi) sinyal atau citra digital yang terkompresi akan menjadi
lebih kecil dari sinyal atau citra digital aslinya.
Pada contoh aplikasi transformasi Fourier Diskrit terlihat benar bahwa
transformasi Fourier Diskrit dapat mentransformasikan suatu vektor menjadi
vektor yang lebih sederhana dan apabila diinverskan kembali vektor hasilnya
serupa dengan vektor aslinya (tidak mengalami perubahan yang signifikan).
Hal ini terlihat pada kesalahan relatif yang dihasilkan.
5.2. Saran
Dalam skripsi ini hanya dibahas mengenai aplikasi transformasi
Fourier Diskrit pada kompresi citra. Bagi penelitian-penelitian selanjutnya
dapat membahas lebih luas mengenai aplikasi lain dari transformasi Fourier
Diskrit, seperti penyaringan sinyal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. & Robert C. Busby. 2003. Contemporary Linear Algebra. New
Jersey: Wiley.
Boggess, Albert. & Francis J. Narcowich. 2001. A First Course in Wavelets with
Fourier Analysis (1st ed). New Jersey: Pearson Prentice-Hall.
Briggs, William L. & Van Emden Henson. 1995. The DFT: An Owner's Manual
For The Discrete Fourier Transform. Philadelphia: Siam.
Broughton, S. Allen. & Kurt Bryan. 2009. Discrete Fourier Analysis and
Wavelets: Application to Signal and Image Processing. Canada: Wiley.
Purcell, Edwin J, dkk. 2007. Calculus (9th
ed). New Jersey: Pearson Prentice-Hall.
Putra, Darma. 2010. Pengolahan Citra Digital. Yogyakarta: Penerbit ANDI.
Soemantri, R. 1994. Diktat: Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta: Universitas
Sanata Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
LAMPIRAN
Lampiran 1
clc clear all
%Algoritma Penyelesaian Contoh 3.6 N=12; n=linspace(-5,6,N); k=n; x=[0.7630,-0.1205,-0.0649,0.6133,-0.2697,-0.7216,-0.0993,0.9787,-
0.5689,-0.1080,-0.3685,0.0293]
for l=1:N for s=1:N omg(s)=exp(-2i*pi*n(s)/N); end X(l)=dot(x,(omg.^k(l)))/N; end X for l=1:N for s=1:N omgi(s)=exp(2i*pi*k(s)/N); end xi(l)=dot(X,conj(omgi.^n(l))); end
subplot(221),plot(n,real(x)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(222),plot(n,imag(x)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(223),plot(k,real(X)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(224),plot(k,imag(X)) axis([-5 6 -1 1])
Lampiran 2
clc clear all
%Algoritma Penyelesaian Contoh 3.8 f=[1 2 5;6 7 11] M=2; N=3;
wm=exp(2*i*pi/M); wn=exp(2*i*pi/N); Wm=zeros(M,M);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Wn=zeros(N,N);
%Algoritma TFD 2 dimensi for m=1:M for j=1:M Wm(m,j)=(1/M)*wm^(-(m-1)*(j-1)); end end for n=1:N for k=1:N Wn(n,k)=(1/N)*wn^(-(n-1)*(k-1)); end end
F=(Wm*f)*transpose(Wn)
%Algoritma invers TFD 2 dimensi for m=1:M for j=1:M Wmi(m,j)=(1/M)*wm^((m-1)*(j-1)); end end for n=1:N for k=1:N Wni(n,k)=(1/N)*wn^((n-1)*(k-1)); end end
Finv=abs((Wmi*F)*transpose(Wni))*M*N
Lampiran 3
clc clear all
tic %Algoritma Penyelesaian Contoh 3.9 N=256; t=linspace(0,1,N); k=linspace(-127,128,N); f=(t-(t.^2)).^2;
%Transformasi Fourier Diskrit for m=1:N omg(m)=exp(-2i*pi*m/N); end for l=1:N F(l)=dot(f,(omg.^k(l))); end
b=abs(F); y=(b.^2)/N;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
%Algoritma Kompresi c=0.001; M=max(b); p=c*M; for s=1:N if b(s)>=p Ftilda(s)=F(s); else Ftilda(s)=0; end end
%Invers Transformasi Fourier Diskrit for a=1:N ftilda(a)=abs(dot(Ftilda,conj(omg.^a)))/N; end
Kesalahan_relatif=(norm(f-ftilda)/norm(f))*100;
sp_Ftilda=sparse(Ftilda); sp_ftilda=real(spfun(@ifft,sp_Ftilda));
Sinyal_asli=f; whos 'Sinyal_asli'
Sinyal_terkompresi=sp_ftilda; whos 'Sinyal_terkompresi'
disp('------------------------------------------------------------
-------'); disp(' Nilai ambang batas Kesalahan relatif
'); disp('------------------------------------------------------------
-------'); fprintf('%20.5f %35.8f\n',c,Kesalahan_relatif); disp('------------------------------------------------------------
-------');
subplot(121),plot(t,f) title('Sinyal asli') subplot(122),plot(t,ftilda) title('Sinyal Terkompresi')
Waktu_proses_detik=toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Lampiran 4
clc clear all
disp('------------------------------------------------------------
-------'); disp(' ##### KOMPRESI CITRA KEABUAN TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
#####'); disp('------------------------------------------------------------
-------');
tic
%Algoritma mengubah citra warna menjadi citra beraras keabuan z=imread('happy.jpg'); %Membaca citra input sebagai matriks zg=im2double(rgb2gray(z)); %Mengubah citra input menjadi citra
beraras keabuan
[M,N]=size(zg); %Ukuran matriks dari citra keabuan
%Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi Z=fft2(zg);
%Algoritma Kompresi Zabs=abs(Z); maks=max(max(Zabs)); c=0.05; b=c*maks; Zc=(Zabs>b).*Z; for m=1:M for n=1:N if Zabs(m,n)>=b Zc(m,n)=Z(m,n); else Zc(m,n)=0; end end end
%Invers Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi zc=real(ifft2(Zc));
kesalahan_relatif=100*(norm(zg-zc)/norm(zg));
Citra_asli=z; whos 'Citra_asli'
Citra_keabuan=zg; whos 'Citra_keabuan'
Citra_terkompresi=sparse(abs(Zc)); whos 'Citra_terkompresi'
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
disp('------------------------------------------------------------
-------'); disp(' Nilai ambang batas Kesalahan relatif
'); disp('------------------------------------------------------------
-------'); fprintf('%20.5f %35.8f\n',c,kesalahan_relatif); disp('------------------------------------------------------------
-------');
figure; subplot(1,3,1), imshow(z), title('Citra Asli') subplot(1,3,2), imshow(zg), title('Citra Beraras Keabu-abuan') subplot(1,3,3), imshow(zc), title('Citra Terkompresi')
Waktu_proses_detik=toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI