PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … · i TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

i

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh:

Ayu Sri Wulandari

NIM: 103114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

DISCRETE FOURIER TRANSFORM

AND ITS APPLICATION IN IMAGE DIGITAL COMPRESSION

Thesis

Presented As a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By:

Ayu Sri Wulandari

Student Number: 103114004

MATHEMATICS STUDY PROGRAM,

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2014


SKRIPSI


DAN APLIKASII\TYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL

'.Y:d" -\

Disusun oleh:

.*dftffiH"e1$ffi3';.,' ,r! NI%$ffi114004 O

r;-.\ *a:-effiS-A, Telah fsetujui

oleh: , ^11I

Pembimbing

*t'be"'oocd

ffif( Dr.rer.nat. Herrj, Pribawanto S. ) Tanggal 26 Januan2}ll

111


SKRIPSI


DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL

Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Ayu Sri Wulandari

NIM: 103114004

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

pada tangg al 29 J anuai 201 5

dan dinyatakan memenuhi syarat.

SUSUNAN PANITIA PENGUJI

Nama Lengkap

Ketua : k. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.

Sekretaris : Y. G. Hartono, Ph.D.

Anggota : Dr.rer.nat.Herry Pribawanto S.

t{rdutun *,

&rl ,fu-rt"L -

Yogyakarta, 2Z Februari 2015

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan

f"#tX\'.

'-cvc.xo

1V

. Prima Rosa, S.Si, M.Sc. )


PERTTYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustak4 sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 26 J anuari 201 5

PenuliswI //'Ayu Sri Wulandari


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Don’t limit yourself, many people limit themselves to what

they think they can do. You can go as far as your mind lets

you. What you believe, remember, you can achieve.”

- MARY KAY ASH -

Skripsi ini penulis persembahkan kepada:

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria,

Bapak Stefanus Wagiyo (alm) dan Ibu Ch. Sri Nursilowati,

Kakak-kakak tersayang (Indah, Aris, Daniel),

serta sahabat-sahabat yang selalu berada di sisi saya.

Terima kasih atas semua dukungan yang diberikan.


LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAII T]NTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Saya yang bertanda tangan di bawah ini, mahasiswi Universitas Sanata Dharma:

Nama

NIM

: Ayu Sri Wulandari

: 10 3114004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Transformasi Fourier Dislcrit dan Aplikasinya pada Kompresi Citra Digital

Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma unutk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal: 26 Januari 20 I 5

Yang menyatakan

W1J -tr- t r'l

T t-12(Ayu Sri Wulandari)

v1l


viii

ABSTRAK

Tulisan ini membahas tentang Transformasi Fourier Diskrit (TFD) yang

merupakan implementasi dari transformasi Fourier. Transformasi Fourier Diskrit

mentransformasikan suatu fungsi pada domain ruang/waktu ke domain frekuensi.

Transformasi Fourier Diskrit dapat digunakan dalam pemrosesan sinyal atau citra,

seperti penyaringan sinyal, dekomposisi spektral, dan kompresi sinyal atau citra.

Pada bagian akhir tulisan ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier

diskrit pada kompresi citra digital, khususnya citra beraras keabu-abuan. Dalam

bidang matematika, transformasi Fourier Diskrit mentransformasikan suatu vektor

menjadi vektor yang lebih sederhana dan apabila diinverskan kembali vektor

hasilnya serupa dengan vektor aslinya.

Suatu nilai ambang batas mempunyai pengaruh besar dalam pemampatan

data menggunakan transformasi Fourier Diskrit. Nilai ambang batas ini akan

menentukan nilai-nilai frekuensi yang harus dianggap nol. Apabila nilai ambang

batas semakin kecil (mendekati nol), maka hasil pemampatannya serupa dengan

data aslinya.

Kata kunci: Transformasi Fourier, Transformasi Fourier Diskrit, Kompresi,

Sinyal, Citra Digital, Citra Beraras Keabu-abuan.


ix

ABSTRACT

This thesis discusses the Discrete Fourier transform (DFT), which is an

implementation of the Fourier transform. Discrete Fourier Transform to transform

a function on the domain space/time domain to the domain frequency. Discrete

Fourier transform can be used in signal or image processing, such as signal

filtering, spectral decomposition, and signal or data compression. In the final

section of this thesis will discuss the application of the Discrete Fourier transform

on the digital image compression, especially grayscale image. In mathematics, the

Discrete Fourier transform to transform a vector into a vector that is more simple

and if it is inversed back, it will have similar properties as the original one.

A threshold value is significance to the data compression using Discrete

Fourier transform. This threshold value will determine the frequency values that

should be considered zero. If the threshold is getting smaller (close to zero), then

the compression have similar properties as the original one.

Key words: Fourier Transform, Discrete Fourier Transform, Compression,

Signal, Digital Image, Grayscale Image.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus atas segala cinta

kasih-Nya yang melimpah sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi untuk

memenuhi tugas akhir dalam menempuh gelar Sarjana (S1) di Universitas Sanata

Dharma dengan lancar dan baik.

Selama penulisan skripsi ini, penulis menyadari bahwa banyak pihak

yang telah berperan besar dalam bimbingan, dukungan dan bantuannya bagi

penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin

mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan penyertaan-Nya selama proses penulisan

skripsi ini sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

2. Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto, M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi

yang telah membimbing, mendampingi, dan memberikan masukan kepada

penulis selama proses penulisan skripsi ini.

3. Bapak Y.G. Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika dan

dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, mendampingi, dan

memberikan masukan kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

4. Ibu Paulina H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

5. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik

6. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen program studi Matematika yang senantiasa

memberikan motivasi dan dukungan kepada penulis.


xi

7. Bapak Z. Tukija dan para staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi

lainnya yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.

8. Perpustakaan USD yang telah membantu menyediakan bahan dan fasilitas

selama proses penulisan skripsi ini.

9. Bapak Stephanus Wagiyo (alm) dan Ibu Ch. Sri Nursilowati, selaku orang tua

penulis, kakak-kakakku tersayang Indah, Daniel dan Aris dan segenap

keluarga atas segala doa dan dukungannya kepada penulis.

10. Sahabat-sahabat terdekatku, Happy adik almamaterku, dan teman-teman

prodi Matematika terkhusus angkatan 2010: Arga, Celly, Astri, Agnes, Dini,

Leny, Marsel, Pandu, Yosi, Roy, Ratri, Tika, Yohan, Sari; atas doa, semangat

dan kebersamaan yang diberikan kepada penulis.

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah membantu

dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan skripsi

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun

demi kesempurnaan skripsi ini.

Yogyakarta, 26 Januari 2015

Penulis


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN....................................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN......................................................................... iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN................................ v

HALAMAN PERSEMBAHAN...................................................................... vi

ABSTRAK....................................................................................................... viii

ABSTRACT..................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR..................................................................................... x

DAFTAR ISI.................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL............................................................................................ xv

DAFTAR GAMBAR....................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN................................................................................ 1

1.1. Latar Belakang............................................................................................ 1

1.2. Perumusan Masalah..................................................................................... 11

1.3. Pembatasan Masalah.................................................................................... 11

1.4. Tujuan Penelitian......................................................................................... 11

1.5. Manfaat Penulisan....................................................................................... 12

1.6. Metode Penulisan........................................................................................ 12

1.7. Sistematika Penulisan.................................................................................. 12

BAB II LANDASAN TEORI.......................................................................... 14

2.1. Aljabar Fungsi............................................................................................. 14

2.1.1. Periode Fungsi................................................................................... 14

2.1.2. Kekontinyuan Fungsi......................................................................... 14


xiii

2.1.3. Turunan Fungsi.................................................................................. 16

2.1.4. Fungsi Mulus....................................................................................... 17

2.1.5. Bilangan Kompleks............................................................................ 18

2.1.6. Konjugat Kompleks............................................................................ 18

2.1.7. Fungsi Eksponensial Kompleks......................................................... 19

2.2. Aljabar Matriks............................................................................................ 20

2.2.1. Matriks Identitas............................................................................... 20

2.2.2. Invers Matriks.................................................................................... 20

2.2.3. Matriks Simetris.................................................................................. 22

2.2.4. Matriks Uniter................................................................................... 22

2.2.5. Ruang Hasilkali Dalam dan Norma................................................... 23

2.2.6. Ortogonalitas..................................................................................... 26

BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT...................................... 27

3.1. Deret Fourier............................................................................................... 27

3.2. Transformasi Fourier.................................................................................... 37

3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier.............................................. 41

3.3. Transformasi Fourier Diskrit....................................................................... 48

3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit............................................... 49

3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit................................... 68

3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi............................................ 74

3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal.......................... 84

BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT.................. 88

4.1. Citra Diskrit................................................................................................. 88

4.2. Citra Beraras Keabu-abuan......................................................................... 88

4.3. Kompresi Citra Beraras Keabu-abuan.......................................................... 89


xiv

BAB V PENUTUP........................................................................................... 96

5.1. Kesimpulan................................................................................................... 96

5.2. Saran............................................................................................................ 97

DAFTAR PUSTAKA...................................................................................... 98

LAMPIRAN..................................................................................................... 99


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1............................................................................................................. 57

Tabel 3.2.............................................................................................................. 58

Tabel 4.1............................................................................................................. 93

Tabel 4.2............................................................................................................. 94


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1......................................................................................................... 2

Gambar 1.2......................................................................................................... 2

Gambar 1.3......................................................................................................... 3

Gambar 1.4......................................................................................................... 4

Gambar 1.5......................................................................................................... 5

Gambar 1.6......................................................................................................... 6

Gambar 1.7......................................................................................................... 8

Gambar 1.8......................................................................................................... 8

Gambar 1.9......................................................................................................... 9

Gambar 1.10....................................................................................................... 9

Gambar 1.11........................................................................................................ 10

Gambar 1.12........................................................................................................ 10

Gambar 2.1......................................................................................................... 16

Gambar 2.2......................................................................................................... 18

Gambar 3.1......................................................................................................... 40

Gambar 3.2......................................................................................................... 48

Gambar 3.3......................................................................................................... 49

Gambar 3.4......................................................................................................... 58

Gambar 3.5......................................................................................................... 59

Gambar 3.6......................................................................................................... 75

Gambar 3.7......................................................................................................... 85

Gambar 3.8......................................................................................................... 86

Gambar 4.1......................................................................................................... 89


xvii

Gambar 4.2......................................................................................................... 90

Gambar 4.3......................................................................................................... 91

Gambar 4.4......................................................................................................... 92

Gambar 4.5......................................................................................................... 94

Gambar 4.6......................................................................................................... 95


BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Citra merupakan suatu kombinasi antara titik-titik, garis, bidang dan

warna untuk menciptakan sebuah tiruan dari obyek nyata. Citra dapat

difungsikan sebagai suatu simbol untuk menyampaikan pesan antar manusia.

Dalam kehidupan sehari-hari, citra hanya tampak dalam bentuk dua dimensi

dan tiga dimensi. Citra dalam wujud dua dimensi dapat berupa suatu citra

digital, sedangkan citra dalam wujud tiga dimensi dapat berupa patung atau

ukiran. Citra digital merupakan gambar tiruan dari suatu obyek nyata yang

diciptakan oleh perangkat optik seperti kamera, akan tetapi ukuran resolusi

dari citra digital sangat besar sehingga akan berdampak dalam penyimpanan

dan proses pengiriman gambar. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan

masalah tersebut perlu dilakukan minimisasi ukuran resolusi yang dikenal

dengan kompresi.

Kompresi atau pemampatan merupakan proses memadatkan ukuran

resolusi suatu data untuk menghasilkan representasi digital yang padat atau

mampat namun tetap dapat mewakili kuantitas informasi yang terkandung

pada data tersebut. Pada citra digital, kompresi mengarah pada meminimisasi

jumlah bit rate untuk representasi digital. Oleh karena itu, data asli yang telah

dikompresi akan lebih efisien dalam penyimpanannya dan mempersingkat


2

waktu dalam pertukaran ataupun pengirimannya. Berikut beberapa contoh

citra asli dan hasil kompresinya:

Gambar 1.1. Citra asli berukuran 77,9 kilobyte (kiri). Citra terkompresi

berukuran 19,11 kilobyte (kanan).

(Sumber: https://old.ntchosting.com/multimedia/jpg-image-file-format.html)

Gambar 1.2. Citra asli (kiri) dan citra terkompresi (kanan).

(Sumber: http://petapixel.com/2009/12/22/why-higher-iso-leads-to-larger-

file-sizes)

Berdasarkan kandungan informasi pada citra hasil kompresi,

pemampatan/kompresi dikelompokkan menjadi dua, yaitu pemampatan tanpa

kehilangan (lossless compression) dan pemampatan berkehilangan (lossy

compression).

1. Pemampatan tanpa kehilangan (lossless compression) adalah teknik

pemampatan yang mampu memadatkan data sama persis seperti data

semula. Maksudnya, tidak ada informasi yang hilang atau harus

dikurangi dalam proses untuk mengurangi ukuran besar data. Contohnya,


3

apabila berkas citra digital berukuran 256x256 berwarna polos (setiap

pixel berwarna sama) dan tiap pixelnya berukuran 4 byte, tanpa

pemadatan, berkas harus disimpan berukuran 4 kali 256x256, sama

dengan 262144 byte. Namun, dengan pemadatan, maka data yang perlu

disimpan hanya data satu warna tersebut. Jadi, data yang perlu disimpan

hanyalah 4 byte ditambah beberapa byte untuk menandakan pengulangan

pixel yang sama.

Gambar 1.3. Ilustrasi Lossless Compression JPEG 2000. Gambar asli (atas);

Gambar terkompresi 1 berukuran 4990 kilobyte (kiri bawah); Gambar

terkompresi 2 berukuran 4184 kilobyte (kanan bawah).

(Sumber: http://www.steves-digicams.com/knowledge-center/whatever-

happened-to-jpeg2000.html)

2. Pemampatan berkehilangan (lossy compression) adalah teknik

pemampatan dengan memangkas bagian-bagian data yang kurang

penting supaya ukuran data bisa dikecilkan. Teknik kompresi ini paling

sering digunakan untuk mengompres data multimedia. Teknik ini


4

menghasilkan ratio kompresi yang lebih besar daripada metode lossless.

Misal terdapat citra digital asli berukuran 12,249 byte, kemudian

dilakukan kompresi dengan JPEG kualitas 30 dan ukurannya menjadi

1,869 byte berarti citra digital tersebut 85% lebih kecil dan ratio

kompresinya 15%. Contoh format gambar yang teknik kompresinya

menggunakan lossy compression adalah JPEG.

Gambar 1.4. Ilustrasi Lossy Compression. Gambar asli berukuran 12 kilobyte

(kiri); Gambar terkompresi 85% berukuran 1,8 kilobyte (tengah); Gambar

terkompresi 96% berukuran 0.56 kilobyte (kanan).

(Sumber:https://onramps.instructure.com/courses/1196409/pages/compressio

n-algorithms)

Dari sudut pandang matematis, citra digital merupakan suatu array

yang berisi nilai-nilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan

deretan bit tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi f (x, y)

berukuran M baris dan N kolom (M x N), dengan x dan y adalah koordinat

spasial, dan amplitudo f di koordinat (x, y) dinamakan tingkat keabu-abuan

dari citra pada titik tersebut (lihat Gambar 1.5) dengan nilai x,y dan f

berhingga dan bernilai diskrit.


5

Gambar 1.5. Koordinat citra digital.

Secara matematis, citra digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai

berikut:

.

)1,1()1,1()0,1(

)1,1()1,1()0,1(

)1,0()1,0()0,0(

),(

NMfMfMf

Nfff

Nfff

yxf

Banyak metode yang dapat digunakan untuk melakukan kompresi,

antara lain metode Huffman, RLE (Run Length Encoding), metode Shannon-

Fano, kompresi citra berbasis transformasi, dan sebagainya. Dalam bidang

matematika, salah satu teori yang dapat diterapkan untuk melakukan

kompresi citra berbasis transformasi adalah Transformasi Fourier Diskrit.

Dalam ilmu matematika, analisis Fourier berumur kurang lebih 200

tahun. Pada tahun 1807, Jean Baptiste Fourier mempresentasikan makalahnya

tentang teori konduksi panas di Paris Academy. Pemaparan tersebut menjadi


6

awal munculnya analisis Fourier. Terdapat dua masalah lain yang menjadi

akar dari munculnya analisis Fourier. Masalah pertama adalah cara untuk

mendeskripsikan getaran yang diciptakan oleh senar yang bergetar bila kedua

ujungnya diikat dengan kencang. Masalah ini mengarah pada persamaan

gelombang, seperti yang telah dirumuskan oleh matematikawan Jean

d’Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, dan Joseph-Louis Lagrange.

Matematikawan Bernoulli memberikan penyelesaian berbentuk deret

trigonometri

...2cos2sincossin atxBatxAy

dengan x adalah koordinat spasial dan t adalah variabel waktu. Penyelesaian

yang diberikan oleh Bernoulli ini menyerupai bentuk kontinyu dari deret

Fourier. Sedangkan, Euler dan Lagrange menDiskritisasi masalah getaran

tersebut dengan menggambarkan bahwa senar tersebut terdiri dari partikel-

partikel yang terbatas dan partikel-partikel tersebut saling terhubung (Gambar

1.6).

Gambar 1.6. Ilustrari getaran dari senar yang diDiskritisasi.


7

Penyelesaian dari masalah Diskritisasi tersebut ialah dengan mencari sampel-

sampel dari fungsi yang menggambarkan pergerakan senar tersebut. Lagrange

memberikan penyelesaian berbentuk jumlahan fungsi sinus dari berbagai

frekuensi yang beragam. Penyelesaiannya ini merupakan dasar transformasi

sinus Fourier Diskrit. Masalah kedua yaitu, menentukan orbit dari benda-

benda langit. Euler, Lagrange dan Alexis Claude Clairaut membuat pemikiran

dasar di mana data yang diambil dari pengamatan diaproksimasi dengan

kombinasi linear dari fungsi periodik. Perhitungan koefisien dalam ekspansi

trigonometri ini mengarah ke perhitungan yang kemudian akan disebut

dengan transformasi Fourier Diskrit.

Transformasi Fourier Diskrit dapat diterapkan untuk menganalisis

data, dekomposisi spektral, penyaringan sinyal, pemrosesan citra (image

processing), seperti kompresi citra, dan lain-lain. Sebagai contoh, pada

penelitian terbaru mengenai Trapridge Glacier di daerah teritorial Yukon,

Kanada. Pada penelitian tersebut, data yang digunakan berasal dari data yang

dikumpulkan dengan sensor-sensor pada hamparan gletser, yang diletakkan

80 meter di bawah permukaan air. Secara khusus, pengukuran kekeruhan

(jumlah bahan tersuspensi) air subglacial diambil setiap Δt = 10 menit

0,0069 hari. Bila diplot, data ini menghasilkan kurva bergerigi seperti yang

ditunjukkan dalam Gambar 1.7 (waktu meningkat ke kanan dan nilai-nilai

kekeruhan diplot pada sumbu vertikal).


8

Gambar 1.7. Grafik dari data asli yang terdiri dari N = 368 data, pengukuran

kekeruhan air diambil setiap Δt = 10 menit.

Grafik data asli di atas menunjukkan pola dan ketidakteraturan. Pada skala

terbesar dari grafik terlihat suatu pola seperti gelombang dengan periodenya

sekitar satu hari. Pada skala waktu yang lebih kecil, data tampaknya terinfeksi

dengan osilasi frekuensi tinggi yang sebagian disebabkan karena derau.

Kemudian, analisis data kekeruhan tersebut dengan mengurangkan setiap

nilai dari data kekeruhan dengan rata-rata dari keseluruhan data kekeruhan.

Gambar 1.8. Grafik data yang setiap data asli dikurangkan dengan rata-rata

datanya.

Nilai data yang muncul sebagai fluktuasi nilai rata-rata dari nol. Dengan

kumpulan data yang disesuaikan, dari data tersebut dapat diperoleh

dekomposisi spektral/frekuensinya dengan menggunakan konsep dari

transformasi Fourier Diskrit. Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1.9.

tingkat

kekeruhan

t (hari)

t

data asli –

rata-rata data


9

Gambar 1.9. Grafik spektrum data setelah diterapkan transformasi Fourier

Diskrit (sumbu horisontal merupakan frekuensi dan sumbu vertikal

merupakan ukuran bobot relatif dari masing-masing frekuensi dalam struktur

keseluruhan data kekeruhan).

Dari grafik spektrum di atas terlihat bahwa sebagian besar ‘energi’ dalam data

berada pada frekuensi yang lebih rendah.

Gambar 1.10. Perbesaran dari grafik spektrum data pada frekuensi rendah.

Dari gambar 1.7 dapat dilihat bahwa dari data asli muncul ‘derau’. ‘Derau’

yang muncul karena kontribusi semua frekuensi tinggi dalam spektrum,

sehingga untuk mengatasi ‘derau’ tersebut dilakukan penyaringan. Istilah dari

penyaringan dapat digambarkan dengan sederhana, yaitu menghilangkan

semua frekuensi yang tinggi pada spektrum di atas frekuensi yang dipilih.

f

f


10

Spektrum baru yang terbentuk direkonstruksi dengan invers dari transformasi

Fourier Diskrit, sehingga dapat dihasilkan data yang grafiknya lebih mulus

dari data aslinya.

Gambar 1.11. Grafik dari data asli setelah dilakukan penyaringan (dengan

menghilangkan frekuensi di atas 50).

Gambar 1.12. Grafik mulus dari data asli setelah dilakukan penyaringan

(dengan menghilangkan frekuensi di atas 10).

Masalah di atas memberikan ilustrasi tentang penerapan transformasi Fourier

Diskrit dalam dekomposisi spektral dan penyaringan sinyal.

Dalam tulisan ini, penerapan transformasi Fourier Diskrit yang akan

dibahas ialah penerapan transformasi Fourier Diskrit dalam pemrosesan citra,

khususnya dalam kompresi pada citra digital

t

t


11

1.2. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan

sebagai berikut.

1. Apa yang dimaksud dengan Transformasi Fourier Diskrit dan bagaimana

landasan teoritisnya?

2. Bagaimana penerapan Transformasi Fourier Diskrit pada kompresi citra

digital?

3. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB untuk kompresi citra

digital dengan Transformasi Fourier Diskrit?

1.3. Pembatasan Masalah

Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan

dibahas, yaitu:

1. Fungsi domain spasial pada citra digital yang akan dibahas dalam tulisan

ini merupakan fungsi yang periodik.

2. Tulisan ini hanya akan membahas penerapan transformasi Fourier Diskrit

2D.

3. Penerapan transformasi Fourier Diskrit 2D hanya dibatasi pada citra

digital beraras keabu-abuan.

1.4. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah mengetahui konsep deret Fourier,

transformasi Fourier, transfromasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam

kompresi citra digital. Sebagai tambahan, akan dipelajari juga bagaimana

algoritma dan pemrogramannya dengan MATLAB. Tulisan ini juga disusun


12

sebagai pemenuhan tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas

Sanata Dharma.

1.5. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan ini adalah memperoleh pengetahuan mengenai

konsep transformasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra

digital. Selain itu, dapat juga dibuat algoritma dan pemrograman MATLAB

sehingga proses komputasi lebih efektif dan efisien.

1.6. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu

dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan pengolahan citra,

sinyal, transformasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra.

1.7. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

1.2. Rumusan Masalah

1.3. Batasan Masalah

1.4. Tujuan Penulisan

1.5. Manfaat Penulisan

1.6. Metode Penulisan

1.7. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

2.1. Aljabar Fungsi


13

2.2. Aljabar Matriks

BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

3.1. Deret Fourier

3.2. Transformasi Fourier

3.3. Transformasi Fourier Diskrit

BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan

5.2. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Aljabar Fungsi

2.1.1. Periode Fungsi

Definisi 2.1

Suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif

p sedemikian sehingga

xfpxf

untuk semua bilangan riil x di dalam daerah asal f . Bilangan p

tersebut disebut periode f .

Contoh 2.1

Fungsi xxf sin mempunyai periode 2 , sebab

2sincos2cossin

2sin2

xx

xxf

xsin , x ℝ .

2.1.2. Kekontinyuan Fungsi

Definisi 2.2

Fungsi xf dikatakan kontinyu di suatu titik c , jika cf terdefinisi

dan

cfxfcx

lim .


15

Definisi 2.3

Suatu fungsi f dikatakan kontinyu pada interval [a,b] jika fungsi

tersebut kontinyu di semua titik pada interval ba, dan jika

afxfax

)(lim dan bfxfbx

)(lim .

Fungsi f dikatakan kontinyu sepotong-sepotong pada [a,b]

jika interval tersebut dapat dibagi menjadi subinterval berhingga dan

pada setiap subinterval tersebut f kontinyu.

Contoh 2.2

Misal,

.21untuk 5

11ln1

,10untuk ln

,01-untuk 2

1

2

)(

xxx

xxx

xx

xf

Fungsi xf merupakan fungsi kontinyu sepotong-sepotong karena

fungsi tersebut kontinyu pada setiap subinterval 1,0,0,1 dan 2,1

(lihat Gambar 2.1) .


16

Gambar 2.1. Grafik dari fungsi sepotong-sepotong xf pada

interval 2,1 .

2.1.3. Turunan Fungsi

Definisi 2.4

Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain 'f (dibaca “ f aksen”)

yang nilainya di sebarang bilangan x adalah

h

xfhxfxf

h

0lim'

asalkan limit ini ada dan bukan atau .

Contoh 2.3

Jika xxxf 73 , maka

h

xxhxhxhhxx

h

xxhxhx

h

xfhxfxf

h

h

h

77733lim

77lim

lim'

33223

0

33

0

0


17

.73

733lim

733lim

733lim

2

22

0

22

0

322

0

x

hxhx

h

hxhxh

h

hhxhhx

h

h

h

2.1.4. Fungsi Mulus

Definisi 2.5

Suatu fungsi f dikatakan mulus pada suatu interval ba, jika f dan

'f kontinyu pada interval tersebut.

Contoh 2.4

Misal,

,21untuk 5

11ln1

,10untuk ln

,01-untuk 2

1

2

)(

2

2

xxx

xxx

xx

xg

dan

.21untuk 11ln12

,10untuk ln2

,01-untuk 2

1

)('

xxxx

xxxx

x

xg

Fungsi xg merupakan fungsi mulus sepotong-sepotong karena

fungsi tersebut kontinyu sepotong-sepotong pada setiap subinterval


18

1,0,0,1 dan 2,1 dan fungsi turunan xg ' juga kontinyu

sepotong-sepotong pada setiap subinterval tersebut.

Gambar 2.2. Grafik dari fungsi mulus sepotong-sepotong xg (kiri)

dan xg ' (kanan) pada interval 2,1 .

2.1.5. Bilangan Kompleks

Definisi 2.6

Jika yixz menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka

zx Re merupakan bagian riil dari z dan zy Im merupakan

bagian imajiner dari z . zRe dan zIm merupakan bilangan riil.

2.1.6. Konjugat Kompleks

Definisi 2.7

Untuk setiap bilangan kompleks yixz , maka bilangan kompleks

yixz

disebut sebagai konjugat dari bilangan z .


19

Contoh 2.5

Misal, 53 iz , maka konjugat kompleksnya adalah

53 iz .

2.1.7. Fungsi Eksponensial Kompleks

Definisi 2.8

Untuk bilangan kompleks yixz didefinisikan

yiyee xz sincos .

Jika diambil yiz , y ℝ, maka

yiyee iyz sincos , untuk y ℝ,

yang dikenal juga dengan nama rumus Euler.

Lemma 2.1

Untuk semua yx, ℝ berlaku

1. ixxi ee 2,

2. 1ixe ,

3. ixix ee ,

4. yxiiyix eee ,

5. yxiiyix eee / ,

6. ixix ieedx

d .


20

2.2. Aljabar Matriks

2.2.1. Matriks Identitas

Definisi 2.9

Matriks persegi yang elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen

lainnya 0 disebut sebagai matriks identitas. Matriks identitas

dinotasikan dengan I ,

100

010

001

I .

2.2.2. Invers Matriks

Definisi 2.10

Jika A merupakan matriks persegi, dan jika ada suatu matriks 1A

dengan ukuran matriks yang sama dengan A sedemikian sehingga

IAAAA 11 , maka A disebut sebagai matriks nonsingular (atau

invertible), dan 1A disebut invers dari A .

Contoh 2.6

Misal

31

52A dan

21

531A , maka

IAA

10

01

21

53

31

521 ,

IAA

10

01

31

52

21

531 .

Jadi, A merupakan matriks nonsingular.


21

Teorema 2.1

Jika A adalah matriks invertible, dan jika B dan C merupakan invers

dari A , maka CB ; yang berarti, suatu matriks invertible

mempunyai invers tunggal.

Bukti:

Karena B adalah invers dari A , kita punya IBA . Kemudian,

kalikan kedua ruas dengan C , sehingga diperoleh

C.CBA

ICCBA

Karena C juga merupakan invers dari A , kita punya IAC .

Sehingga, ruas kiri dari persamaan di atas dapat ditulis kembali

sebagai

BBIACBCBA ,

ini mengakibatkan CB .

Teorema 2.2

Jika A dan B matriks invertible dengan ukuran matriks yang sama,

maka AB invertible dan 111 ABAB .

Bukti:

Akan ditunjukkan: IABABABAB 1111 .

IAAAIAABBAABAB 111111 ,

IBBIBBBAABABAB 111111 .


22

2.2.3. Matriks Simetris

Definisi 2.11

Matriks persegi A disebut matriks simetris jika

AAT .

Secara aljabar, suatu matriks ijaA simetris jika dan hanya jika

jiij AA (atau jiij aa ).

Contoh 2.7

Misal,

53

92A , maka

59

32TA .

2.2.4. Matriks Uniter

Definisi 2.12

Jika A merupakan matriks dengan elemen-elemennya berupa

bilangan kompleks (matriks kompleks), maka transpose konjugat dari

A , dinotasikan dengan *A , didefinisikan oleh

T

AA * .

Contoh 2.8

Misal,

ii

iiA

232

01, maka transpose konjugat dari A ialah

i

ii

i

AAT

0

23

21*

.


23

Definisi 2.13

Matriks kompleks persegi A dikatakan uniter jika

*1 AA atau atau IAA * .

2.2.5. Ruang Hasilkali Dalam dan Norma

Definisi 2.14

Hasilkali dalam pada ruang vektor V adalah suatu operasi pada V

yang memetakan setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V

dengan sebuah bilangan riil yx, yang memenuhi syarat berikut:

i. 0xx, dengan 0xx, jika hanya jika 0x .

ii. xyyx, , untuk semua Vyx, .

iii. zyzxzyx ,,, untuk semua Vzy,x, dan

semua skalar dan .

Suatu ruang vektor V yang dilengkapi dengan hasilkali dalam disebut

ruang hasilkali dalam.

Definisi 2.15

Jika diberikan vektor

nx

x

x

2

1

x dan

ny

y

y

2

1

y , maka hasilkali dalam

x dengan y pada ruang vektor ℝ𝑛 adalah


24

.

,

1

2211

2

1

21

n

i

iinn

n

n

T

yxyxyxyx

y

y

y

xxx

yxyx

Contoh 2.9

Jika

3

1x dan

5

2y ,

maka hasilkali dalam dari x dengan y pada ruang vektor ℝ2 adalah

131525

231

yxyx,

T .

Definisi 2.16

Jika diberikan matriks

mnm

n

aa

aa

A

1

111

dan

mnm

n

bb

bb

B

1

111

,

maka hasilkali dalam dari A dan B pada ruang vektor ℝ𝑚×𝑛 adalah

n

j

ijij

m

i

baBA11

, .

Contoh 2.10

Jika

32

41A

dan

02

71B

,

maka hasilkali dalam dari A dan B pada ruang vektor ℝ2×2 adalah


25

.330428102

71

32

41

BA,

Definisi 2.17

Hasil kali dalam dari dua buah vektor nxx ,,1 x dan

nyy ,,1 y dengan ii yx , ℂ pada ruang vektor ℂ adalah

n

i

ii yx1

,yx .

Definisi 2.18

Hasilkali dalam dari dua fungsi f dan g di dalam ruang fungsi

bernilai kompleks yang didefinisikan dalam interval ba, adalah

b

a

dxxgxfgf , .

Definisi 2.19

Suatu ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma jika untuk

setiap vektor Vv dikaitkan dengan suatu bilangan riil v yang

disebut norma dari v yang memenuhi:

1. 0v dengan 0v jika dan hanya jika 0v ,

2. vv untuk setiap skalar ,

3. wvwv (ketaksamaan segitiga) untuk semua Vwv, .


26

Definisi 2.20

Jika V suatu ruang hasilkali dalam, maka persamaan

vv,v untuk semua Vv ,

mendefinisikan suatu norma pada V .

Contoh 2.11

Jika

3

1x , maka 1091 xx,x .

2.2.6. Ortogonalitas

Definisi 2.21

Dua vektor x dan y di ℝ𝑛 dikatakan ortogonal jika dan hanya jika

0yx, .

Contoh 2.12

Vektor-vektor

4,2,2,11 v dan 2,4,1,22 v

merupakan dua vektor yang ortogonal di ℝ4, sebab

088222442122121 vv .

Contoh 2.13

Fungsi ttf sin dan ttg cos ortogonal di ruang fungsi

-

R dxxffL22 |,:, sebab

.02cos4

12sin

2

1cossin,

tdttdtttgf


BAB III


Pada bab ini, terdapat tiga subbab yang akan dibahas untuk memahami

transformasi Fourier Diskrit, yaitu:

Deret Fourier

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier Diskrit

3.1. Deret Fourier

Deret Fourier menguraikan suatu sinyal pada , ke dalam

komponen-komponen yang bergetar dengan frekuensi-frekuensi berupa

bilangan bulat. Berikut akan dibahas mengenai definisi dari deret Fourier

dalam bentuk kompleks dan riil.

Definisi 3.1

Misal f merupakan suatu fungsi yang bersifat periodik dengan periode

A ℝ.

Maka deret Fourier yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri

k

Akxi

k ecxf 2~)( (3.1)

dengan

2

2

2)(1

A

A

dxexfA

c Akxi

k

.


28

Simbol ~ berarti bahwa deret Fourier berasosiasi dengan fungsi f .

Untuk membuat (3.1) lebih kuat, yaitu nilai ruas kiri dan kanannya sama di

setiap titik, maka akan ditunjukkan bahwa nilai koefisien ck benar dan hal

tersebut bergantung pada sifat ortogonalitas. Untuk menyatakan sifat

ortogonalitas digunakan notasi yang disebut sebagai modular Kronecker

delta.

Definisi 3.2

Misalkan k bilangan bulat, kita definisikan kN dengan

lainnya. 0

,kelipatan atau 0 jika 1ˆ

NkkkN

Contoh 3.1

Jika diketahui N = 4 dan k = {-3, 0, 1,8}, maka modular Kronecker delta

bernilai .18ˆdan ,01ˆ,10ˆ,03ˆ4444

Teorema 3.1 (Ortogonalitas dari Fungsi Eksponensial Kompleks)

Misal j dan k bilangan bulat. Maka fungsi eksponensial kompleks Akxie 2

memenuhi

2

2

)(22

A

A

kjAdxee AkxiAjxi .

Bukti:

Bila j – k = 0 ( j = k), maka 1)( kj

Akan dibuktikan:

2

2

22

A

A

Adxee AkxiAjxi


29

AAAA

xdxdxe

dxedxee

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

xkjAiAkxiAjxi

2

2

221 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

222

Bila j – k 0 ( j k), maka 0)( kj

Akan dibuktikan:

2

2

022

A

A

dxee AkxiAjxi

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2cos

2

1

2sin

2

1

2sin

2cos

2sin

2cos

2

2

222

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

xkjA

x

Akj

i

xkjA

x

Akj

dxxkjA

idxxkjA

dxxkjA

ixkjA

dxedxee xkjAiAkxiAjxi


30

0

coscos2

coscos

sinsin2

2cos

2sin

2

2cos

2

2sin

2

0

2

00

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

kjkjxkj

Ai

kjkji

kjkjxkj

A

xkjA

i

xkjA

xkj

A

xkjA

xkj

Ai

xkjA

xkj

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Ortogonalitas pada kasus kontinyu juga dapat dipandang sebagai

ortogonalitas dari vektor-vektor dalam suatu ruang fungsi yang didefinisikan

dalam interval I. Di dalam ruang vektor 2,22 AAL fungsi-fungsi bernilai

kompleks pada interval 2,2 AA , fungsi-fungsi

Akxik ex 2)( ω , k ℤ

bersifat ortogonal karena


31

).(

,

2

2

2

2

22

kjA

dxee

dxxx

A

A

A

A

AkxiAjxi

kjkj

ωωωω

Untuk mencari koefisien kc , diasumsikan bahwa fungsi f dengan

periode A merupakan jumlahan dari deret Fourier, sehingga

.)( 2

j

Ajxi

jecxf

Kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan AkxieA 21 dan asumsikan

pengintegralan suku demi suku terhadap 2,2 AA diperbolehkan,

k

kj

Axkji

j

j

Axkji

j

j

Akxi

c

dxeA

c

dxecA

dxexfA

A

A

A

A

A

A

2

2

2

2

2

2

2

22

1

1)(

1

Dengan sifat ortogonalitas, A1 dikali integral bernilai nol kecuali saat kj .

Satu-satunya suku yang tersisa dalam deret di ruas kanan bila kj ialah

.)(1 2

2

2

A

A

dxexfA

c Akxi

k

Contoh 3.2

Perhatikan fungsi berikut


32

.0jk 1

0jk 1

x

xxf

Tentukan deret Fourier dari f .

Diketahui: 2

A, maka 2A .

Maka koefisien dari deret Fouriernya adalah

ki

e

kikiki

e

ki

e

ki

e

dxedxe

dxe

dxexfA

c

ikik

xkixki

xikxki

xki

Axki

k

A

A

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

0

0

0

0

22

2

ki

e

ki

ik

22

2

1

genap. jika 0

ganjil jika 2

cos111

k

kk

i

k

ki

k

ei

i

i

ki

e ikik

Sehingga deret Fourier dari f adalah

.

12

2 21222

n

xni

k

Akxi

k en

iec


33

Definisi 3.3

Misal f adalah fungsi bernilai riil dengan periode A. Maka deret Fourier

yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri

11

0 2sin

2cos

2~

k

k

k

kA

kxb

A

kxa

axf

,

dengan

,2 2

2

0

A

A

dxxfA

a

(3.2)

2

2

2cos

2A

A

dxA

kxxf

Aak

(3.3)

untuk k = 1, 2, ..., dan

2

2

2sin

2A

A

dxA

kxxf

Abk

(3.4)

untuk k = 1, 2, ...

Contoh 3.3

Misal,

lainnya.0

,10jika1 xxf

Hitung deret Fourier dari f pada interval 22 x .

Diketahui: 22

A, maka 4A .

Maka koefisien deret Fouriernya adalah

2

1

2

11

2

1

4

2 1

0

1

0

2

2

0

xdxdxxfa .


34

Untuk 1k

k

kkx

kdx

kxdx

xkxfak

2sin

2sin

1

2cos

2

1

4

2cos

4

21

0

1

0

2

2

,

ketika k genap, 02sin k maka 0ka , sedangkan ketika 12 nk

ganjil, nk 12sin , sehingga kita peroleh

,...1,0,12,12

1

nnk

na

n

k

.

,12cos1

12cos

2cos

1

2sin

2

1

4

2sin

4

2

1

0

1

0

2

2

kk

kk

k

kx

kdx

kx

dxxk

xfbk

34

1,34ketika

12

1,24ketika

14

1,14ketika

0,4ketika

mbmk

mbmk

mbmk

bmk

k

k

k

k

dengan ,...1,0m .

Jadi, deret Fourier dari f adalah

11

0

4

2sin

4

2cos

2 k

k

k

k

kxb

kxa

axf

dengan nn ba , yang diberikan di atas.


35

Jika f merupakan suatu fungsi bernilai riil, bentuk riil dari deret

Fourier dapat diturunkan dari bentuk kompleksnya dan sebaliknya. Pertama,

uraikan bentuk kompleks deret Fourier ke dalam suku-suku positif dan

negatif:

1

1

20

0

22~k k

Akxi

k

Akxi

k

k

Akxi

k ececececxf

1

1

2

0

2

k k

Akxi

k

Akxi

k eccec . (3.5)

Jika f merupakan fungsi bernilai riil, maka kk cc karena

k

AkxiAkxi

k cdxexfA

dxexfA

c

A

A

A

A

2

2

2

2

22 11 .

Oleh karena itu, (3.5) menjadi

1

2

1

2

0~k

Akxi

k

k

Akxi

k ececcxf .

Karena zzz Re2 untuk setiap z ℂ, persamaan ini dapat ditulis

sebagai

1

2

0 Re2~k

Akxi

keccxf . (3.6)

Hubungan antara kc dan kk ba , dapat diturunkan dengan menggunakan

rumus Euler, sehingga diperoleh:

2

11 00

0

2

2

2

2

adxxf

Adxexf

Ac

A

A

A

A

.


36

2

2

2

2

2sin

2cos)(

1

)(1 2

A

A

A

A

dxA

kxi

A

kxxf

A

dxexfA

c Akxi

k

.1untuk , 2

1

2

1

22

1

2sin)(

2cos)(

1 2

2

2

2

kibaibaA

A

bAi

aA

A

dxA

kxxfidx

A

kxxf

A

kkkk

kk

A

A

A

A

Dengan menggunakan persamaan (3.6), kita peroleh

,2

sin2

cos2

2sin

2cos

2

2cos

2sin

2sin

2cosRe

2

2sin

2cos

2Re2

2

Re2~

1 1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

0

k k

kk

k

kk

k

kkkk

k

kk

k

Akxi

k

A

kxb

A

kxa

a

A

kxb

A

kxa

a

A

kxb

A

kxai

A

kxb

A

kxa

a

A

kxi

A

kxibaa

eccxf

yang merupakan bentuk riil dari deret Fourier f .

Selanjutnya akan ditunjukkan kekonvergenan dari deret Fourier.

Sebelum membahas hal tersebut, kita berikan definisi berikut.


37

Definisi 3.4

Limit kiri dan kanan dari f di titik x didefinisikan sebagai berikut.

Limit kiri : hxfxfh

0

lim0 .

Limit kanan: hxfxfh

0

lim0 .

Fungsi f dikatakan terdiferensial kiri dan kanan di x jika limitnya

ada:

h

xfhxfxf

h

0lim0' dan

h

xfhxfxf

h

0lim0' .

Teorema 3.2. (Kekonvergenan Deret Fourier)

Misal f merupakan fungsi yang periodik dan kontinyu sepotong-sepotong.

Jika x adalah titik di mana f terdiferensial kiri dan kanan (tetapi tidak

kontinyu). maka deret Fourier dari f di x konvergen ke

2

00 xfxf.

Bukti:

Bukti dapat dilihat pada buku Albert Boggess: A First Course in Wavelets

with Fourier Analysis, hal.70, tahun 2001 .

Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi Fourier.

3.2. Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merupakan bentuk kontinyu dari deret Fourier.

Transformasi Fourier menguraikan suatu sinyal yang terdefinisi pada sebuah


38

interval waktu yang tak berhingga ke dalam suatu komponen dengan

frekuensi , di mana merupakan bilangan riil atau kompleks.

Definisi 3.5

Diberikan fungsi f terdefinisi dalam interval (-,) dan mempunyai sifat,

dxxf , (3.7)

maka f dengan

dxexff xi 2ˆ , (3.8)

f disebut Transformasi Fourier dari f dan

defxf xi2ˆ , (3.9)

disebut sebagai invers Transformasi Fourier f ( dan 1i

merupakan satuan imajiner).

Contoh 3.4

Diberikan fungsi xexf

. Tunjukkan fungsi tersebut memenuhi (3.7).

Diketahui:

0,

0,

xx

xxx , maka

0,

0,

xe

xeexf

x

x

x.

Jadi,


39

2

)10()01(

)()( 00

0

0

0

0

eeee

ee

dxedxe

dxedxe

xx

xx

xx

Selain fungsi pada Contoh 3.4, terdapat fungsi-fungsi lainnya yang

mempunyai sifat tersebut, misal, fungsi kepadatan peluang, fungsi

probabilitas kontinyu, dan sebagainya.

Dari sifat fungsi f , maka fungsi f juga memenuhi (3.7), berarti f

terdefinisi dengan baik pada (-,).

ˆ

ˆ

2

2

dxexff

dxexff

xi

xi

integraluntuk segitigan ketaksamaasifat

2

2

dxexf

dxexf

xi

xi

1 . 2

xiedxxf

Fungsi output transformasi f didefinisikan pada domain frekuensi

atau domain transformasi, sedangkan fungsi input f didefinisikan pada


40

domain spasial jika x merupakan koordinat spasial, atau dalam domain

waktu jika f adalah fungsi yang bergantung pada waktu spasial.

Contoh 3.5

Misal, 1xf pada interval x . Maka transformasi Fourier dari f

adalah

dxexff xi 2ˆ

.

2sin2sin2

2

1

2sin2cos2sin2cos2

1

2

1

2

1

22

2222

22

22

22

ii

iii

eei

ei

dxe

ii

xixi

Gambar 3.1. Grafik fungsi f pada interval , (kiri) dan fungsi f pada

interval , (kanan).


41

Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dasar dari transformasi

Fourier.

3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier

Untuk membahas sifat-sifat dasar transformasi Fourier akan

digunakan notasi alternatif

ℱ ff ˆ ,

dengan ℱ menyatakan transformasi Fourier dari f . Operator Fourier ℱ

dianggap sebagai pemetaan yang domain dan rangenya merupakan ruang

fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada garis bilangan riil. Input

dari ℱ adalah sebuah fungsi, katakanlah f , dan menghasilkan output

berupa fungsi lain, ℱ ff ˆ .

Sedangkan, invers dari transformasi Fourier menggunakan notasi

operator sebagai berikut

ℱ−1 xfxf ˆ .

Teorema 3.3

Misalkan f dan g merupakan fungsi terdiferensial yang terdefinisi pada

garis bilangan riil dengan 0xf untuk x yang semakin membesar

0lim xfx

.

1. Transformasi Fourier dan inversnya bersifat linear, artinya untuk

sebarang konstanta c

ℱ gf ℱ f + ℱ g dan ℱ cf c ℱ f .


42

ℱ−1 gf ˆˆ ℱ−1 f + ℱ−1 g dan ℱ−1 fcˆ c ℱ−1 f .

2. Transformasi Fourier dari suatu hasilkali f dengan nx diberikan oleh

ℱ n

nnn

d

dixfx

ℱ f .

3. Invers transformasi Fourier dari suatu hasilkali f dengan n diberikan

oleh

ℱ−1 n

nnn

dx

dixf ˆ ℱ−1 xf .

4. Transformasi Fourier dari suatu turunan ke- n diberikan oleh

ℱ nn if 2 ℱ f

( nf menyatakan turunan ke- n dari f ).

5. Invers transformasi Fourier dari suatu turunan ke- n diberikan oleh

ℱ−1 nn xixf 2ˆ ℱ−1 xf .

6. Transformasi Fourier dari suatu translasi diberikan oleh

ℱ aieaxf ℱ f .

7. Transformasi Fourier dari suatu rescaling diberikan oleh

ℱ b

bxf1

ℱ

bf

.

8. Jika 0xf untuk 0x , maka

ℱ f ℒ 2if ,

dengan ℒ f merupakan transformasi Laplace dari f yang didefinisikan

oleh


43

ℒ

0

dxexfsf xs.

Bukti:

1. Sifat linear dari transformasi Fourier diperoleh dari sifat linear integral:

ℱ gf =

dxexgxf xi 2

=

dxexgdxexf xixi 22

= ℱ f ℱ g .

ℱ cf =

dxexcf xi 2

=

dxexfc xi 2

= c ℱ f .

ℱ−1 xgf ˆˆ =

degf xi2ˆˆ

=

degdef xixi 22 ˆˆ

= ℱ−1 xf ℱ−1 xg .

ℱ−1 xfcˆ

=

defc xi2ˆ

=

defc xi2ˆ


44

= c ℱ−1 xf .

2. Transformasi Fourier dari suatu hasil kali f dengan nx , kita punya

ℱ

dxexfxxfx xinn 2 .

Gunakan persamaan

xi

n

nnxin exf

d

diexfx

22 ,

sehingga kita memperoleh

ℱ

dxexfd

dixfx xi

n

nnn

2

n

nn

d

di

ℱ f .

3. Invers transformasi Fourier dari suatu hasil kali f dengan n , kita

punya

ℱ−1

deff xinn 2ˆˆ .

Gunakan persamaan

xi

n

nnxin ef

dx

dief 22 ˆˆ ,

sehingga kita memperoleh

ℱ−1

defdx

dixf xi

n

nnn 2ˆˆ

n

nn

dx

di ℱ−1 xf .


45

4. Transformasi Fourier dari turunan ke- n f , kita punya

ℱ

dxexfxf xinn 2 .

Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,

duvvudvu .

Dengan dxxfdv n dan xieu 2 , maka xfv n 1 dan

dxeidu xi 22 , maka diperoleh

dxexfixfedxexf xinnxixin 21122 2 .

Karena 0xf untuk nilai x yang besar maka kita peroleh

dxexfidxexf xinxin 212 2 .

Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu

( nf menjadi 1nf ). Kita juga memperoleh faktor 2i . Dengan

mengulang proses tersebut 1n kali, kita memproleh

dxexfidxexf xinxin 22 2

ni 2 ℱ f .

5. Invers transformasi Fourier dari turunan ke- n f , kita punya

ℱ−1

defxf xinn 2ˆˆ .

Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,


46

duvvudvu

.

Dengan dfdv nˆ dan xieu 2 , maka 1ˆ nfv dan

dexidu xi22 , maka diperoleh

defxifedef xinnxixin 21122 ˆ2ˆˆ .

Karena 0xf untuk nilai x yang besar maka kita peroleh

defxidef xinxin 212 ˆ2ˆ .

Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu

( nf menjadi 1nf ). Kita juga memperoleh faktor xi 2 . Dengan

mengulang proses tersebut 1n kali, kita memperoleh

defxidef xinxin 22 ˆ2ˆ

nxi 2 ℱ−1 xf .

6. Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai

ℱ

dxeaxfaxf xi 2 .

Misal, axs , sehingga asx dan dsdx . Kita peroleh

ℱ

dsesfsf asi 2

dseesf aisi 22


47

dsesfe siai 22

aie 2 ℱ f .

7. Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai

ℱ

dxebxfbxf xi 2 .

Misal, bxt , sehingga b

tx dan

b

dtdx . Kita peroleh

ℱ

b

dtetftf b

ti

2

b

dtetf b

ti 2

dtetfb

b

ti 21

b

1 ℱ f

b

.

8. Diketahui: 0xf untuk 0x , kita peroleh

ℱ

dxexff xi 2

0

2

0

2

0

0

2

dxexf

dxexfdxexf

xi

xixi

Misal, 2is , maka dengan definisi transformasi Laplace diperoleh


48

ℱ

0

dxexff sx ℒ sf = ℒ 2if .

Dengan pengetahuan tentang deret Fourier dan transformasi Fourier

pada subbab sebelumnya, selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi

Fourier Diskrit yang merupakan topik utama dari tulisan ini.

3.3. Transformasi Fourier Diskrit

Transformasi Fourier dan deret Fourier digunakan untuk menganalisis

sinyal-sinyal kontinyu seperti grafik pada Gambar 3.2. Tetapi, sinyal-sinyal

yang ada dalam kebanyakan aplikasi saat ini merupakan sinyal Diskrit,

Gambar 3.3, seperti sinyal yang berasal dari pemutar CD/DVD.

Gambar 3.2. Sinyal Kontinu


49

Gambar 3.3. Sinyal Diskrit

Berikut definisi dari transformasi Fourier Diskrit.

3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit

Berdasarkan pada Definisi 3.5, diasumsikan fungsi yang diberikan

itu terbatas (misalnya, f mungkin mewakili gambar yang memiliki batas-

batas yang terdefinisi dengan baik) atau, f diasumsikan nol di luar beberapa

interval terbatas. Maka, untuk saat ini diasumsikan bahwa 0xf untuk

2Ax , A banyaknya grid. Transformasi Fourier pada fungsi dengan batas

tertentu tersebut diberikan oleh

2

2

22ˆ

A

A

dxexfdxexff xixi (3.10)

Integral tersebut yang akan diaproksimasi secara numerik.

Interval integrasi 2,2 AA dibagi menjadi N subinterval

dengan panjang NAx . Diasumsikan N genap, dengan banyaknya grid

N+1 sama dengan banyaknya titik yang didefinisikan oleh titik-titik

xnxn untuk 2:2 NNn . Dengan demikian titik-titik gridnya ialah


50

2,,0,,

2 220

Axx

Ax NN

.

Kemudian, diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada titik-titik grid

tersebut. Integran dari persamaan (3.10) sebagai

xiexfxg 2 ,

dan terapkan aturan trapesium untuk mengaproksimasi integral (3.10):

1

1

2

2

2

2

22

22

N

N

A

A n

n

Agxg

Ag

xdxxg .

Diasumsikan 22 AgAg , sehingga aproksimasi aturan trapesium

dapat ditulis

.

ˆ

2

2

2

2

2

2

1

2

1

N

N

n

A

A

N

N

n

xi

n

n

n

exfN

A

xgxdxxgf

Aproksimasi dari f dapat dihitung untuk setiap . Karena

aproksimasi f bergantung pada nilai , maka harus ditentukan banyaknya

nilai yang digunakan untuk aproksimasi dan yang mana saja nilai-nilai

tersebut. Dibutuhkan nilai-nilai sampel nxf untuk menentukan

aproksimasi )(ˆ f , dan sebaliknya. Karena N nilai dari nxf digunakan

dalam aproksimasi aturan trapesium, maka ada N nilai juga untuk pada

aproksimasi )(ˆ f .


51

Hubungan Kebalikan

NA dan N

x1

(3.11)

Hubungan kebalikan mengaitkan antara domain spasial dan domain

frekuensi. Dua hubungan kebalikan ini saling bergantung (dependent). Pada

domain spasial dengan interval 2/,2/ AA titik-titik grid dinyatakan

dengan xnxn dan jarak antar titik gridnya Δx. Sedangkan pada domain

frekuensi dengan interval 2/,2/ titik-titik grid dinyatakan dengan

kk dan jarak antar titik gridnya Δ. Diasumsikan terdapat N titik

pada kedua domain tersebut.

Andaikan semua modus (sinus dan kosinus) memiliki periode bulat pada

2/,2/ AA . Gelombang dengan periode terbesar (satu periode penuh pada

2/,2/ AA ) disebut sebagai modus dasar. Gelombang ini juga memiliki

frekuensi 1/A periode per satuan panjang. Frekuensi ini merupakan

frekuensi terendah pada 2/,2/ AA dan dinotasikan dengan

A

1 ,

dan ini akan menjadi jarak antar titik grid pada domain frekuensi. Karena

terdapat N titik grid pada domain frekuensi 2/,2/ dengan jarak antar

titik grid Δ, sama halnya pada domain spasial di mana xNA , maka

pada domain frekuensi . N Dengan mengkombinasikan dua


52

pernyataan, A

1 dan N , maka diperoleh hubungan kebalikan

yang pertama, yaitu

A

NN atau NA .

Hubungan kebalikan yang pertama ini menyatakan bahwa jarak interval

pada domain spasial berbanding terbalik dengan jarak interval pada domain

frekuensi. Dengan kata lain, jika A bertambah, ini mengakibatkan periode

pada domain spasial bertambah panjang dan frekuensi Δ menurun, bila Δ

menurun maka jarak interval pada domain frekuensi juga menurun.

Telah diketahui bahwa pada domain spasial 2/,2/ AA dibagi

menjadi N subinterval grid dengan jarak antar grid Δx dan xNA .

Dengan mengkombinasikan dua pernyataan, A

1 dan xNA , maka

diperoleh hubungan kebalikan yang kedua, yaitu

1

xNA

atau N

x1

.

Hubungan kebalikan yang kedua ini menyatakan bahwa jarak antar titik-titik

grid pada kedua domain berbanding terbalik.

Dengan hubungan kebalikan, aturan aproksimasi trapesium

sebelumnya dapat diselesaikan dengan langkah yang lebih singkat. Misalkan

nf untuk menotasikan nilai-nilai sampel nxf untuk 2:12 NNn .

Untuk mengakprosimasi f pada titik-titik grid frekuensi Akkk ,

knx disederhanakan menjadi


53

N

nk

A

k

N

nAkxnx kn .

Sehingga, jumlahan dalam aturan trapesium menjadi

.ˆ2

2

2

21

2

1

2

N

N

N

N

nk

n

Nkni

n

n

xi

nk efN

Aef

N

Af

Oleh karena itu, aproksimasi transformasi Fourier f pada titik-titik grid

frekuensi Akk diberikan oleh

k

N

N

A

A

F

n

Nkni

n

Nxki

k efN

AexfA

kff

2

2

2

21

22 1ˆˆ , (3.12)

untuk 2:12 NNk . kF pada (3.12) merupakan definisi dari

transformasi Fourier Diskrit. Bila diberikan N nilai sampel nf , maka

transformasi Fourier Diskrit memuat N koefisien

2

21

21N

Nn

Nkni

nk efN

F (3.13)

untuk 2:12 NNk . Dari hasil aproksimasi dengan aturan trapesium

(3.7), dapat disimpulkan bahwa aproksimasi untuk transformasi Fourier

kf ˆ diberikan oleh kk AFf ˆ .

Untuk mempermudah penulisan (3.13), dimisalkan,

,2

sin2

cos/2

Ni

Ne Ni

N

sehingga

.dan /2/2/2/2 NkninkNink

N

NkninkNink

N eeee


54

Definisi 3.6

Misal N bilangan bulat genap positif dan nf barisan N bilangan kompleks

dengan 2:12 NNn , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya

adalah

2

21

1N

Nn

nk

Nnk fN

F (3.14)

untuk 2:12 NNk .

Misal N bilangan bulat ganjil positif dan nf barisan N bilangan kompleks

dengan 21:21 NNn , maka bentuk transformasi Fourier

Diskritnya adalah

2

1

21

1N

Nn

nk

Nnk fN

F (3.15)

untuk 21:21 NNk .

Untuk mendefinisikan transformasi Fourier Diskrit dari barisan nf

akan digunakan notasi 𝒟{𝑓𝑛}, dan 𝒟{𝑓𝑛}𝑘 untuk menunjukkan elemen

transformasi ke k, sehingga 𝒟{𝑓𝑛}𝑘 = 𝐹𝑘 .

Terdapat banyak bentuk alternatif untuk mendefinisikan transformasi

Fourier Diskrit. Misalnya, bila input TFD merupakan barisan yang

bergantung pada waktu akan lebih mudah menggunakan indeks 1:0 N .

Untuk penerapan lainnya (domain spasial), seperti rekonstruksi citra dari

proyeksi, akan lebih mudah untuk menempatkan titik asal di tengah ruang

gambar, yang mengarah ke Definisi 3.6.


55

Definisi 3.7

Misal N bilangan bulat positif dan nf barisan N bilangan kompleks

dengan 1:0 Nn , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah

1

0

1 N

n

nk

Nnk fN

F (3.16)

untuk 1:0 Nk .

Bentuk alternatif TFD (3.16) setara dengan bentuk TFD (3.14).

Salah satu keuntungan dari Definisi 3.7 adalah bahwa rumus tersebut tidak

bergantung pada genap/ganjilnya N .

Secara umum, output dari transformasi Fourier Diskrit, kF , adalah

barisan bernilai kompleks dan juga merupakan barisan dengan periode N

yang memenuhi Nkk FF ,

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

)(2

12

1

1

1

N

Nn

N

Nn

nN

N

nk

Nn

N

Nn

N

Nn

nNnk

Nn

N

Nn

N

Nn

Nkn

Nn

N

Nn

Nk

fN

fN

fN

F


56

.1

11

1

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

N

Nn

k

N

Nn

N

Nn

nk

Nn

N

Nn

N

Nn

nk

Nn

N

Nn

N

Nn

nink

Nn

FfN

fN

efN

Dari rumus TFD dapat ditentukan bagian riil dan imajinernya. Bagian riil

dinotasikan dengan kFRe dan bagian imajiner dinotasikan dengan

.Im kF Notasi tersebut juga digunakan untuk menunjukkan bagian riil dan

imajiner dari input barisan nf , yaitu nfRe dan nfIm , sehingga

diperoleh kF sebagai berikut:

2

12

2

12

/2

2

12

2sin

2cosImRe

1

ImRe1

1

N

Nn

nn

N

Nn

Nkni

nn

N

Nn

nk

Nnk

N

kni

N

knfif

N

efifN

fN

F


57

.2

sinRe2

cosIm

2sinIm

2cosRe

1

2sinRe

2cosIm

2sinIm

2cosRe

1

2

12

2

12

2

12

N

Nn

nn

N

Nn

nn

nn

N

Nn

nn

N

knf

N

knf

N

i

N

knf

N

knf

N

N

knf

N

knfi

N

knf

N

knf

N

Oleh karena itu, bagian riil dan imajiner dari kF didefinisikan sebagai

berikut.

Bentuk Riil dan Imajiner Transformasi Fourier Diskrit

2

12

2

12

2sinRe

2cosIm

1Im

2sinIm

2cosRe

1Re

N

Nn

nnk

N

Nn

nnk

N

knf

N

knf

NF

N

knf

N

knf

NF

Contoh 3.6

Perhatikan 12 titik barisan bernilai riil nf yang diberikan dalam Tabel 3.1.

n,k Re{ nf } Im{ nf }

-5 0.7630 0

-4 -0.1205 0

-3 -0.0649 0

-2 0.6133 0

-1 -0.2697 0

0 -0.7216 0

1 -0.0993 0


58

2 0.9787 0

3 -0.5689 0

4 -0.1080 0

5 -0.3685 0

6 0.0293 0

Tabel 3.1. 12 titik numerik bernilai riil dari nf

Gambar 3.4. Bagian riil (kiri) dan bagian imajiner (kanan) dari 12 titik input

barisan nf .

Maka transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil nf adalah:

6

5

1212

1

n

nk

nk fF ,

untuk 6:5k . Transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil nf

juga terdiri dari 12 titik barisan kF yang diberikan dalam Tabel 3.2.

n,k Re{ kF } Im{ kF }

-5 0.0684 -0.1093

-4 -0.1684 0.0685

-3 -0.2143 -0.0381

-2 -0.0606 0.1194

-1 -0.0418 -0.0548

0 0.0052 0

1 -0.0418 0.0548

2 -0.0606 -0.1194

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


59

3 -0.2143 0.0381

4 -0.1684 -0.0685

5 0.0684 0.1093

6 0.1066 0.0000

Tabel 3.2. 12 titik numerik transformasi Fourier Diskrit barisan nf .

Gambar 3.5. Bagian riil (kiri) dan bagian imajiner (kanan) dari kF .

Transformasi Fourier Diskrit digunakan karena terdapat suatu

masalah yang muncul dalam domain spasial (atau temporal) yang dapat

ditransformasi menjadi masalah yang lebih sederhana dalam domain

lainnya. Penyelesaian yang diperoleh dari domain kedua harus diubah

kembali ke domain aslinya. Untuk mengubahnya, suatu invers transformasi

diperlukan.

Definisi 3.8

Misal N bilangan bulat positif genap dan kF adalah barisan bilangan

kompleks N dengan 2:12 NNk . Maka invers transformasi Fourier

Diskritnya adalah

2

21

N

Nk

nk

Nkn Ff (3.17)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


60

untuk 2:12 NNn .

Jika N bilangan bulat positif ganjil dan kF adalah barisan bilangan

kompleks N dengan 21:121 NNk . Maka invers transformasi

Fourier Diskritnya adalah

2

1

21

N

Nk

nk

Nkn Ff (3.18)

untuk 21:121 NNn .

Definisi ini bersifat periodik pada barisan nf yang memenuhi

Nnn ff ,

2

12

2

12

2

12

2

12

)(2

12

1

1

N

Nk

N

Nk

Nknk

Nk

N

Nk

N

Nk

kNn

Nk

N

Nk

Nn

FN

FN

f

2

12

2

12

1

N

Nk

N

Nk

Nk

N

nk

NkFN

2

12

2

12

21

N

Nk

N

Nk

kink

Nk eFN


61

.1

11

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

N

Nk

n

N

Nk

N

Nk

nk

Nk

N

Nk

N

Nk

nk

Nk

fFN

FN

Seperti pada TFD, untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier

Diskrit dari barisan kF akan digunakan notasi 𝒟−1{𝐹𝑘}, dan 𝒟−1{𝐹𝑘}𝑛 yang

menyatakan elemen ke n dari invers transformasinya, sehingga 𝒟−1{𝐹𝑘}𝑛 =

𝑓𝑛 .

Notasi tersebut menunjukkan bahwa TFD dan ITFD merupakan

invers satu sama lain, tetapi faktanya belum ditunjukkan. Maka selanjutnya

akan ditunjukkan bahwa operator 𝒟 dan 𝒟−1 memenuhi hubungan invers

𝒟−1{𝒟 𝑓𝑛 }𝑛 = 𝑓𝑛 dan 𝒟{𝒟−1 𝐹𝑘 }𝑘 = 𝐹𝑘 .

Untuk membuktikan rumus invers, membutuhkan sifat ortogonalitas

dari fungsi eksponensial.

Teorema 3.4 (Ortogonalitas)

Jika j dan k bilangan bulat dan N bilangan bulat positif, maka

kjNee n

N

n

NkniNjni

ˆ1

0

22 . (3.19)

Bukti:

Misalkan Ni

N e 2 . Perhatikan bahwa N bilangan kompleks k

N untuk

1:0 Nk , yang disebut sebagai akar satuan ke-N karena memenuhi


62

122 kiNNkiNk

N ee ,

dan oleh karena itu 01Nz . k

N adalah salah satu dari akar satuan ke N

untuk setiap bilangan bulat k, tetapi barisan k

k

N berperiode N

k

k

N

k

k

N

k

k

N

k

ik

N

k

NNik

N

k

N

N

k

Nk

Nk

N

i

e

e

1

2sin2cos

2

/2

Sehingga himpunan akar-akar ini dapat ditentukan oleh k

N

untuk setiap

bilangan bulat N berturut-turut k. Pertama, kita faktorkan polinomial 1Nz

seperti berikut

1

0

21

1

111

N

n

n

NNN

zz

zzzzz

Diketahui bahwa k

N adalah akar dari 01Nz , ada dua kasus untuk

diperhatikan. Jika dimisalkan kj

Nz di mana kj bukan kelipatan N,

maka 1z , dan kita mempunyai

01

0

1

0

N

n

nkj

N

N

n

nz .

Kasus lain, jika kj kelipatan N maka 1 kj

Nz dan

NzN

n

N

n

nkj

N

N

n

n

1

0

1

0

1

0

1 .


63

Sifat ortogonalitas terbukti dari kedua kasus tersebut.

Sifat ortogonalitas (Teorema 3.4) juga dapat dibuktikan dengan

langkah yang berbeda, yaitu dengan menerapkan deret geometri:

.1

11

0

N

n

Nn

a

aa

Akan dibuktikan:

.0 jika 0

0 jika ˆ

1

0

22

kj

kjNkjNee n

N

n

NkniNjni

Untuk 0 kj ,

.0

1

2sin2cos1

1

1

1

1

2

0

2

2

2

21

0

2

Nkji

Nkji

kji

Nkji

NNkjiN

n

nNkji

e

kjikj

e

e

e

ee

Untuk 0 kj ,

NeeN

n

N

n

nN

n

nNkji

1

0

1

0

01

0

2 1 .

Karena barisan k

N

berperiode N , sifat ortogonal berlaku ketika

penjumlahan dalam (3.16) dihitung terhadap setiap N nilai n berturut-

turut; dengan kata lain,

kjNee N

NP

Pn

NkniNnji

ˆ1

22


64

untuk setiap bilangan bulat P.

Sifat ortogonal transformasi Fourier Diskrit merupakan sebuah

hubungan antara vektor-vektor. Dengan demikian jika terdapat N vektor

kompleks

kN

N

k

N

k

N

N

k

1

2

0

ω ,

maka

3.3) (Teorema )(ˆ

kompleks)konjugat (sifat

) (definisi

dalam) kali hasil (definisi ,

1

0

22

1

0

*22

1

0

*

kjN

ee

ee

N

N

n

NkiNjni

nk

N

N

n

NkiNjni

N

n

nk

N

nj

N

kj

ωω

Jadi,

)(ˆ, kjN N

kj ωω

dan sembarang N nilai k berturut-turut menghasilkan himpunan vektor

yang ortogonal.

Teorema 3.5 (Invers)

Jika nf adalah barisan N bilangan kompleks dan kF 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 adalah

Transformasi Fourier dari barisan nf , maka 𝒟−1 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 𝑛 = nf .


65

Bukti:

Diketahui:

nf 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛

2

21

N

Nk

nk

NkF dan kF 𝒟 𝑓𝑛 𝑘

2

21

1N

Nn

nk

NnfN

.

Kombinasikan definisi 𝒟 dan 𝒟−1, sehingga

𝒟−1 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 𝑛 = 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 (definisi 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 )

2

21

N

Nk

nk

NkF (definisi 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 )

nk

N

k j

jk

Nj

N

N

N

N

fN

2

2

2

21 1

1 (definisi kF )

2

2

2

211

1N

N

N

N j

jk

Nj

k

nk

N fN

(aturan sigma)

2

2

2

211

1N

N

N

N k

jk

N

nk

N

j

jfN

(aturan sigma)

jnN

k

jnk

N

j

j

N

N

N

N

N

fN

ˆ

1

)(

1

2

2

2

2

1 (aturan pangkat)

Penjumlahan jn pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya

jika nj , sehingga persamaan terakhir tersebut menjadi

𝒟−1 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 𝑛 nn ffNN

1

.

Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama untuk

membuktikan Teorema 3.5 dapat ditunjukkan bahwa 𝒟 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 𝑘 =

𝐹𝑘 .


66

𝒟 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 𝑘 = 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 (definisi 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 )

2

21

1N

Nn

nk

NnfN

(definisi 𝒟 𝑓𝑛 𝑘 )

2

2

2

21 1

1N

N

N

Nn

nk

N

j

nj

NjFN

(definisi nf )

2

2

2

211

1N

N

N

N j

nj

Nj

n

nk

N FN

(aturan sigma)

2

2

2

211

1N

N

N

N n

nk

N

nj

N

j

jFN

(aturan sigma)

)(ˆ

11

2

2

2

2

1

kjN

n

kjn

N

j

j

N

N

N

N

N

FN

(aturan pangkat)

Penjumlahan kj pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya

jika kj dan persamaan terakhir tersebut menjadi

𝒟 𝒟−1 𝐹𝑘 𝑛 𝑘 = kFNN

1= 𝐹𝑘 .

Transformasi Fourier Diskrit (TFD) merupakan pemetaan dari N

nilai nf ke N nilai kF . Oleh karena itu, transformasi Fourier Diskrit dapat

dinyatakan sebagai perkalian dari suatu vektor dengan N elemen dengan

suatu matriks NN . Untuk menyatakan transformasi Fourier Diskrit dalam

bentuk matriks akan lebih mudah bila menggunakan Definisi 3.7.

Definisi 3.9

Jika f menyatakan vektor dari data input,

TNffff 1210 ,,,, f ,


67

dan F menyatakan vektor dari nilai output,

TNFFFF 1210 ,,,, F ,

maka transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis:

WfF ,

dengan

111210

12420

1210

0000

1

NN

N

N

N

N

NN

N

NNNN

N

NNNN

NNNN

N

W .

Matriks W (matriks Fourier) merupakan matriks persegi dan

matriks nonsingular, yaitu matriks yang mempunyai invers. Matriks ini

mempunyai sifat-sifat penting, antara lain:

Karena TFD invertible (nonsingular), maka matriks tersebut

mempunyai invers yaitu 1

W .

Matriks W simetris, sehingga WW T.

Invers dari W merupakan suatu perkalian dari konjugat komplek W

sendiri:

.WW1 N

Oleh karena itu, IWW *N ( * menyatakan transpose konjugat dan I

merupakan matriks identitas), dan W merupakan matriks uniter

terhadap faktor N. Faktor N dapat dimasukkan pada definisi TFD dan

invers TFD, dalam kasus IWW* .


68

Contoh 3.7

Diberikan 3N sehingga

3

2sin

3

2cos32

3

ie i

2

3

2

1i .

Matriks Fouriernya adalah

1

3

2

3

2

3

1

3

4

3

2

3

0

3

2

3

1

3

0

3

0

3

0

3

0

3

1

1

111

3

1

3

1

W .

Jika T271f maka transformasi Fourier Diskrit f adalah

.

4434,11667,1

4434116671

310

271

271

271

3

1

2

7

1

1

1

111

3

1

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

+ i-

, - i, -

W

fF

Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dari

transformasi Fourier Diskrit

3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit

Sama halnya dengan deret Fourier dan transformasi Fourier,

transformasi Fourier Diskrit memiliki sifat-sifat yang berguna untuk

menyelesaikan banyak masalah. Misalnya, suatu masalah tertentu pada

suatu domain (domain spasial atau waktu) dapat dirumuskan kembali ke

dalam bentuk yang lebih sederhana pada domain frekuensi. Penghubung

antara kedua domain tersebut adalah transformasi Fourier Diskrit dan sifat-

sifat dari transformasi Fourier Diskrit yang menjelaskan bagaimana suatu


69

masalah yang diberikan dimodifikasi dari domain yang satu ke domain

yang lainnya.

Untuk memaparkan sifat-sifat transformasi Fourier Diskrit akan

digunakan rumus TFD (3.14) dan inversnya (3.17). Berikut beberapa sifat-

sifat dasar dari transformasi Fourier Diskrit.

1. Periodik

Barisan-barisan fungsi kompleks kF dan nf didefinisikan oleh

N titik, sehingga (3.11) dan (3.14) memiliki sifat periodik. Dengan

kata lain, (3.11) dan (3.14) berperiode N , yang berarti bahwa

2

12

2

12

2

12

2

12

)(2

12

1

1

N

Nn

N

Nn

nNnk

Nn

N

Nn

N

Nn

Nkn

Nn

N

Nn

Nk

fN

fN

F

2

12

2

12

2

2

12

2

12

1

1

N

Nn

N

Nn

nink

Nn

N

Nn

N

Nn

nN

N

nk

Nn

efN

fN


70

,1

11

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

N

Nn

k

N

Nn

N

Nn

nk

Nn

N

Nn

N

Nn

nk

Nn

FfN

fN

dan

2

12

2

12

2

12

2

12

)(2

12

1

1

N

Nk

N

Nk

Nknk

Nk

N

Nk

N

Nk

kNn

Nk

N

Nk

Nn

FN

FN

f

2

12

2

12

1

N

Nk

N

Nk

Nk

N

nk

NkFN

2

12

2

12

21

N

Nk

N

Nk

kink

Nk eFN

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

1

11

N

Nk

n

N

Nk

N

Nk

nk

Nk

N

Nk

N

Nk

nk

Nk

fFN

FN


71

berlaku untuk semua kn, ℤ+.

Sifat tersebut diturunkan secara langsung dari pernyataan bahwa

k

nk

N

k

nk

N

k

nk

N

k

nink

N

k

NnNink

N

k

nN

N

nk

Nk

Nkn

N

nin

e

e

1

2sin2cos

2

/2

dan

.

1

2sin2cos

,

,

,

,

2

,

/2

,,

kn

nk

N

kn

nk

N

kn

nk

N

kn

kink

N

kn

NNkink

N

kn

Nk

N

nk

Nkn

kNn

N

kik

e

e

2. Linear

Salah satu sifat dasar dari TFD adalah linear: transformasi

Fourier Diskrit dari kombinasi linear barisan-barisan input TFD adalah

sama dengan kombinasi linear TFDnya. Sifat linear memungkinkan

untuk memisahkan sinyal-sinyal ke dalam komponen-komponen yang

bervariasi (dasar untuk analisis spektral). Sifat linear dapat ditunjukkan

dengan cara berikut.


72

Jika nf dan ng merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah

N , dan dan adalah bilangan kompleks, maka

𝒟 knn gf 𝒟

knf 𝒟 kng .

Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut:

𝒟 knn gf

2

21

1N

Nn

nk

Nnn gfN

2

2

2

211

11N

N

N

N n

nk

Nn

n

nk

Nn gN

fN

𝒟 knf 𝒟

kng .

Sifat linearitas juga berlaku untuk invers transformasi Fourier

Diskrit, yaitu: Jika kF dan kG merupakan barisan bernilai kompleks

sejumlah N , dan dan adalah bilangan kompleks, maka

𝒟−1 nkk GF 𝒟−1

nkF 𝒟−1 nkG .

Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut:

𝒟−1 nkk GF

2

21

N

Nn

nk

Nkk GF

2

2

2

211

N

N

N

N n

nk

Nk

n

nk

Nk GF

𝒟−1 nkF 𝒟−1

nkG .

3. Pergeseran dan Modulasi

Dua sifat yang saling berhubungan dan memiliki akibat yang

penting adalah pergeseran dan modulasi. Sifat pergeseran menjelaskan


73

akibat dari suatu barisan TFD yang telah digeser (atau ditranslasi).

Suatu barisan nf yang telah digeser ke kanan sebesar j satuan dengan

menggunakan invers dari transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis

sebagai

2

2

2

2

1

1

N

N

N

N

k

nk

N

jk

Nk

k

kjn

Nkjn

F

Ff

𝒟−1 n

jk

NkF .

Dari pernyataan terakhir dapat ditulis pernyataan berikut

𝒟 jk

Nkkjn Ff

.

Dengan kata lain, transformasi suatu barisan yang telah digeser ke

kanan sebesar j satuan berakibat merotasi barisan asli koefisien TFD

di bidang kompleks; pada faktanya, koefisien awal kF dirotasi dengan

sudut Njk2 .

Sifat modulasi atau sifat pergeseran frekuensi memberikan

akibat pada modulasi barisan input, yaitu, mengalikan elemen-elemen

barisan input nf dengan nj

N , dengan j suatu bilangan bulat.

𝒟

2

21

1N

Nn

nk

N

nj

Nnk

nj

Nn fN

f

2

21

1N

Nn

jkn

NnfN


74

𝒟 jkjkn Ff .

Sifat tersebut menjelaskan bahwa jika suatu barisan input dimodulasi

dengan modus jn2cos atau jn2sin dengan frekuensi j siklus

pada domain maka akan menghasilkan TFD yang digeser sebesar j

satuan.

3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi

Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan perluasan dari

transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi (transformasi Fourier Diskrit),

sehingga prinsip-prinsip yang terdapat pada transformasi Fourier Diskrit 2

dimensi sama dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi. Pembedanya

ialah fungsi yang dikenakan pada transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi

memiliki 2 variabel bebas. Oleh karena itu, pada subbab ini kita harus

memandang input dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi berupa suatu

data array yang dinyatakan dalam suatu bidang.

Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi,

definisi dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dimulai dengan

penjabaran input. Input yang diberikan dapat berupa suatu bentuk Diskrit

(misal, data sampel) atau bentuk kontinyu (fungsi dua variabel). Untuk

saat ini diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada

22

,22

:,B

yBA

xA

yx .


75

Seperti dalam kasus 1 dimensi fungsi f harus diberi sampel untuk

dapat diselesaikan secara numerik. Untuk membuat sampel pada daerah

tersebut suatu bidang koordinat dibentuk dengan jarak antar titik koordinat

seragam yaitu MAx dalam sumbu horisontal dan MBy dalam

sumbu vertikal. Titik-titik koordinat yang terbentuk (Gambar 3.6)

diberikan oleh

ynxmyx nm ,,

dengan 2:12 MMm dan 2:12 NNn .

Gambar 3.6. (Kiri) Bidang koordinat spasial. (Kanan) Bidang koordinat

frekuensi dengan jarak antar titik-titik koordinat nm , ialah

M pada sumbu horisontal dan N dengan

2:12 MMm dan 2:12 NNn .

Fungsi input f dapat disampelkan dengan mencatat nilainya pada

titik-titik koordinat tersebut sehingga menghasilkan barisan (array)

bilangan dari nmmn yxff , . Sebagai antisipasi penggunaan array mnf

sebagai input TFD, kita harus menganggap jika mnf mempunyai periode

ganda, yang berarti


76

mnnMm ff , dan mnNnm ff , .

Sekarang diasumsikan bahwa barisan input mnf terpisah, artinya

fungsi nmmn hgf . Dengan asumsi ini, barisan mg dan nh dapat

dinyatakan berdasarkan definisi invers transformasi Fourier Diskrit 1

dimensi, sehingga

2

21

M

Mj

mj

Mjm Gg dan

2

21

N

Nk

nk

Nkn Hh , (3.20)

untuk 2:12 MMm dan 2:12 NNn . Dari (3.20), dapat

dilihat bahwa jG dan kH merupakan koefisien TFD dari mg dan nh ,

yaitu

2

21

1M

Mm

mj

Mmj gM

G dan

2

21

1N

Nn

nk

Nnk hN

H ,

dengan 2:12 MMj dan 2:12 NNk . Dengan penjabaran

secara terpisah di atas, barisan nmmn hgf dapat dikonstruksikan dari

perkalian antara mg dan nh , sehingga

,2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 1

11

M

M

N

N

M

M

jk

N

N

N

N

M

M

j

nk

N

mj

Mjk

k

j

nk

N

mj

M

F

kj

k

k

nk

Nk

j

mj

Mjnmmn

F

HG

HGhgf


77

untuk 2:12 MMm dan 2:12 NNn . Sekarang kita

memiliki koefisien baru yaitu, kjjkjk HGFF , . Sama halnya dengan

barisan mnf , koefisien jkF juga dapat dikonstruksikan dari perkalian antara

jG dan kH , sehingga

,1

11

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1

11

nk

N

m

mj

Mmn

n

n

nk

Nn

m

mj

Mmkjjk

M

M

N

N

N

N

M

M

fMN

hN

gM

HGF

untuk 2:12 MMj dan 2:12 NNk .

Definisi 3.10 (Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi)

Jika diberikan suatu input NM array mnf , maka

nk

N

m

mj

Mmn

n

jk

M

M

N

N

fMN

F

2

2

2

21 1

1, (3.21)

untuk 2:12 MMj dan 2:12 NNk .

Definisi 3.11 (Invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi)

Jika diberikan suatu input NM array jkF , maka

2

2

2

21 1

M

M

N

Nj

nk

N

mj

Mjk

k

mn Ff , (3.22)

untuk 2:12 MMm dan 2:12 NNn .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (3.21) dan (3.22) berperiodik

M pada indeks pertama dan berperiodik N pada indeks kedua dan juga

akan ditunjukkan bahwa (3.21) dan (3.22) saling berinvers satu sama lain.


78

Seperti pada kasus 1 dimensi, sifat invers bergantung pada ortogonalitas.

Pertama, akan ditunjukkan ortogonalitas dari vektor jk

ω dengan

nk

N

mj

M

jk

mn ω . Perhatikan hasil kali dalam Diskrit dua modus dengan

frekuensi kj, dan 00 ,kj ,

.

,

2

2

2

2

00

2

2

2

2

0000

1 1

1 1

M

M

N

N

M

M

N

N

m n

nk

N

mj

M

nk

N

mj

M

m n

kj

mn

jk

mn

kjjk

ωωωω

Dengan sifat perkalian eksponensial ( ba

N

b

N

a

N

) diperoleh

.ˆˆ00

1 1

1 11 1

2

2

2

2

00

2

2

2

2

00

2

2

2

2

00

jkNjjM NM

m n

kkn

N

jjm

M

m n

kkn

N

jjm

M

m n

nk

N

mj

M

nk

N

mj

M

M

M

N

N

M

M

N

N

M

M

N

N

Dengan sifat ortogonalitas dua dimensi tersebut, dapat ditunjukkan bahwa

(3.20) dan (3.21) berinvers satu sama lain. Misalkan,

mnf 𝒟−1 mnjkF

2

2

2

211

N

N

M

M k

nk

N

mj

Mjk

j

F

dan

jkF 𝒟 jkmnf

2

2

2

211

1N

N

M

M n

nk

N

mj

Mmn

m

fMN

.

Sehingga dapat ditunjukkan bahwa,

𝒟−1 𝒟 𝑓𝑚𝑛 𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛


79

2

2

00

2

2

2

20

00

2

20

2

2

2

20

00

00

2

20

2

2

2

2

2

2

1111

1 111

11

1

1

N

N

M

M

N

N

M

M

N

N

N

N

M

M

M

M

N

N

M

M

k

nk

N

mj

M

kk

N

jj

M

jk

kj

j

k

nk

N

mj

M

k

kk

N

jj

Mkj

jj

k

nk

N

mj

Mjk

j

fMN

fMN

F

00

2

2

00

2

2

2

20

00

2

20

ˆˆ

1111

1

knjmMN

k

knk

N

jmj

M

jk

kj

j

NM

N

N

M

M

N

N

M

M

fMN

Penjumlahan 0jm dan 0kn pada persamaan terakhir di atas tidak

bernilai nol tetapi jika 0jm dan 0kn maka persamaan terakhir

tersebut menjadi

𝒟−1 𝒟 𝑓𝑚𝑛 𝑗𝑘 𝑚𝑛 mnmn ffMNMN

1

.

Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama dapat

ditunjukkan juga 𝒟 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝑗𝑘

jkF .

𝒟 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝑗𝑘

𝒟 𝑓𝑚𝑛 𝑗𝑘

2

2

00

2

2

2

20

00

2

20

2

2

2

20

00

00

2

20

2

2

2

2

2

2

1111

1 111

11

1

1

1

N

N

M

M

N

N

M

M

N

N

N

N

M

M

M

M

N

N

M

M

n

nk

N

mj

M

nk

N

mj

M

mk

kj

j

n

nk

N

mj

M

k

nk

N

mj

Mkj

jm

n

nk

N

mj

Mmn

m

FMN

FMN

fMN


80

kkjjMN

n

kkn

N

jjm

M

mk

kj

j

NM

N

N

M

M

N

N

M

M

FMN

00

2

2

00

2

2

2

20

00

2

20

ˆˆ

1111

1

Penjumlahan jj 0 dan kk 0 pada persamaan terakhir di atas tidak

bernilai nol tetapi jika jj 0 dan kk 0 maka persamaan terakhir

tersebut menjadi

𝒟 𝒟−1 𝐹𝑗𝑘 𝑚𝑛 𝑗𝑘

jkjk FFMNMN

1

.

Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi,

transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi juga mempunyai bentuk alternatif,

yaitu:

Definisi 3.12

Jika diberikan suatu input NM array mnf , maka

1

0

1

0

1 N

n

nk

n

mj

Mmn

M

m

jk fMN

F , (3.23)

dengan 1:0 Mj dan 1:0 Nk .

Ada beberapa sifat dalam TFD 2 dimensi yang mengikuti sifat-sifat

dasar TFD 1 dimensi, yaitu: Misal 𝒟 merupakan transformasi Fourier

Diskrit dua dimensi NM , maka

1. 𝒟 periodik: 𝒟 NkMjmnf

,𝒟

jkmnf .

𝒟 NkMjmnf

,

2

2

2

211

1N

N

M

M n

Nkn

N

Mjm

Mmn

m

fMN


81

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

22

1

11

11

1

1

1

1

N

N

M

M

N

N

M

M

N

N

M

M

N

N

M

M

n

nk

N

mj

Mmn

m

n

nimink

N

mj

Mmn

m

n

nN

N

mM

M

nk

N

mj

Mmn

m

n

nN

N

nk

N

mM

M

mj

Mmn

m

fMN

eefMN

fMN

fMN

𝒟 jkmnf .

2. 𝒟 bersifat linear: 𝒟 jkjkjkmnmn GFgf , dan

konstanta.

𝒟 jkmnmn gf

2

2

2

211

1N

N

M

M n

nk

N

mj

Mmnmn

m

gfMN

.

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

11

11

jkjk

n

nk

N

mj

Mmn

m

n

nk

N

mj

Mmn

m

n

nk

N

mj

Mmn

nk

N

mj

Mmn

m

GF

gMN

fMN

gfMN

N

N

M

M

N

N

M

M

N

N

M

M

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula:

3. Pergeseran: 𝒟 jk

kn

N

jm

Mjknnmm Ff 00

00 ,

.

4. Rotasi: 𝒟 00

00

, kkjjjkmn

nk

N

mj

M Ff

.


82

Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan pemetaan dari

NM nilai mnf ke NM nilai jkF . Oleh karena itu, transformasi

Fourier Diskrit 2 dimensi dapat dinyatakan sebagai perkalian dari suatu

matriks dengan M elemen baris dan N elemen kolom dengan matriks

MM dan matriks NN .

Definisi 3.13

Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi pada Definisi 3.12 dapat dihitung

sebagai

TNM WfWF 22 ,

di mana

111210

12420

1210

0000

1

MM

M

M

M

M

MM

M

MMMM

M

MMMM

MMMM

MM

W

dan

111210

12420

1210

0000

1

NN

N

N

N

N

NN

N

NNNN

N

NNNN

NNNN

NN

W

merupakan matriks Fourier.

Contoh 3.8

Hitung transformasi Fourier Diskrit 2-dimensi dari

1176

521f .


83

Diketahui: 2M dan 3N sehingga

1sincos22

2 iee ii

M dan

232132sin32cos32

3 iiei

N .

Matriks Fouriernya adalah

1

21

2

0

2

0

2

0

2

21

11

W , untuk 1:0m dan 1:0j , dan

1

3

2

3

2

3

1

3

4

3

2

3

0

3

2

3

1

3

0

3

0

3

0

3

0

3

3

1

1

111

W , untuk 2:0n dan 2:0k .

Berdasarkan definisi 3.13, maka transformasi Fourier Diskrit 2 dimensinya

adalah

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

31

2

1

2

1

2

1

3

2

3

2

3

1

31

2

322

1

1

111

655

1697

6

1

1

1

111

1157261

1697

6

1

1

1

111

3

1

1176

521

1

11

2

1

T

TWfWF2

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

65565516

1697169732

6

1

.1443,00833,01443,00833,06667,2

0104,19167,00104,19167,03333,5

8660,05,08660,05,016

0622,65,50622,65,532

6

1

ii

ii

ii

ii


84

3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal

Bila diberikan suatu sampel sinyal x dengan elemen-elemen

tkfxk , 10 Nk untuk beberapa fungsi f yang terdefinisi pada

1,0 , dengan Nt 1 . Berikut tahapan kompresi dengan menggunakan

transformasi Fourier Diskrit:

1. Tentukan X , Transformasi Fourier Diskrit dari sinyal x .

2. Tentukan suatu nilai ambang batas (threshold) yang disimbolkan

dengan c antara 10 c .

3. Tentukan kNk XM 10max .

4. Definisikan X~

ℂ𝑁 dengan komponen

. jika,0

, jika,~

cMX

cMXXX

k

kk

k

Tahap 2 sampai tahap 4 merupakan tahapan di mana frekuensi-

frekuensi yang tidak signifikan dieliminasi, yaitu dengan membuat nol

setiap koefisien Fourier X yang berada di bawah nilai ambang batas.

Vektor X~

akan menjadi vektor sinyal yang terkompresi. Bila terdapat

banyak elemen-elemen 0~

kX , maka X~

akan mudah untuk

dikompresi.

5. Tentukan x~ , invers transformasi Fourier Diskrit dari X~

. Tahapan ini

merupakan tahapan dekompresi. Vektor x~ merupakan vektor sinyal

yang terkompresi. Vektor x~ tersebut harus mengaproksimasi x .


85

Untuk mengetahui hasil kompresi tersebut baik atau tidak, hitung

kesalahan relatifnya dengan rumus

100

~

x

xxrelatifkesalahan .

Semakin kecil persentase galat relatif yang diperoleh, maka kompresi citra

digital asli yang dihasilkan semakin baik.

Contoh 3.9

Misal diberikan fungsi 22 )( tttf yang merepresentasikan suatu

sinyal, didefinisikan pada interval tertutup 1,0 dengan 256N . Grafik

fungsi f digambarkan pada Gambar 3.7 (Kiri). Grafik TFD dari f kF ,

yang dinyatakan dengan pasangan NFk k

2, dengan 128127 k ,

digambarkan pada Gambar 3.7 (Kanan).

Gambar 3.7. (Kiri) Grafik fungsi 22 )( tttf dan (Kanan) Grafik

TFD dari f .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

t

f(t)

=(t

-(t2

))2

-100 -50 0 50 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

k

TF

D f


86

Pilih sebuah nilai ambang batas (threshold), misal 001.0c . Kemudian,

hitung kk FM 2550max , diperoleh 5.8M .

Dengan nilai ambang batas tersebut, maka dapat diperoleh suatu vektor

baru, yaitu F~

, merupakan vektor yang akan menjadi sinyal yang

terkompresi. Dari vektor F~

dengan menggunakan definisi 3.8 diperoleh

,~f merupakan vektor dari sinyal yang terkompresi.

Kemudian dihitung kesalahan relatifnya dengan rumus

%.1,361,35999661100

~

f

ffrelatifkesalahan

Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa sinyal

hasil kompresi serupa dengan sinyal aslinya.

Gambar 3.8. Sinyal asli (kiri) dan sinyal terkompresi (kanan).

Hasil dari kompresi sinyal dengan transformasi Fourier Diskrit adalah

sebagai berikut,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Sinyal asli

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07Sinyal Terkompresi


87

Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya presentase kompresi, yaitu

%.53,441002048

11361

100asli sinyal resolusi

si terkompresinyal resolusi1Presentase

Artinya, sinyal asli terkompresi sebesar 44.53%.


BAB IV

APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Pada bab ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier

Diskrit pada kompresi citra digital beraras keabu-abuan. Pertama-tama akan

dibahas mengenai citra diskrit dan citra beraras keabu-abuan.

4.1. Citra Diskrit

Citra diskrit atau citra digital merupakan suatu array yang berisi nilai-

nilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan deretan bit

tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi yxf , berukuran M

baris dan N kolom NM , dengan x dan y adalah koordinat spasial, dan

amplitudo f di koordinat yx, yang merupakan tingkat keabu-abuan dari

citra. Citra diskrit atau digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai

berikut:

.

)1,1()1,1()0,1(

)1,1()1,1()0,1(

)1,0()1,0()0,0(

NMfMfMf

Nfff

Nfff

f

4.2. Citra Beraras Keabu-abuan

Citra beraras keabu-abuan dimodelkan sebagai suatu fungsi bernilai

riil yxg , yang terdefinisi pada suatu bidang 2 dimensi, yaitu . Nilai


89

yxg , menyatakan intensitas keabu-abuan dari citra di titik yx, pada

bidang .

Citra beraras keabu-abuan juga dapat dinyatakan dengan matriks

NM yang komponen elemen-elemennya merupakan bilangan bulat.

Berikut matriks dari citra beraras keabu-abuan:

.

)1,1()1,1()0,1(

)1,1()1,1()0,1(

)1,0()1,0()0,0(

NMgMgMg

Nggg

Nggg

g

Untuk citra 8-bit, nilai intensitas keabu-abuan bernilai dari 0 sampai

255 = 128 . Nilai 0 merepresentasikan hitam murni dan nilai 255

merepresentasikan putih murni.

Gambar 4.1. Contoh citra beraras keabu-abuan.

4.3. Kompresi Citra Beraras Keabu-abuan

Tahapan pada kompresi citra beraras keabu-abuan secara garis besar

sama seperti tahapan pada kompresi sinyal. Dalam kompresi citra beraras


90

keabu-abuan transformasi Fourier Diskrit yang digunakan ialah transformasi

Fourier Diskrit 2 dimensi. Berikut tahapan kompresi citra beraras keabu-

abuan:

1. Inputkan suatu citra yang akan dikompresi ke dalam Matlab dengan

perintah imread, misal,

z=imread('happy.jpg');.

Kemudian konstruksikan citra asli menjadi citra beraras keabu-abuan

dengan

zg=im2double(rgb2gray(z));.

Gambar 4.2. Citra asli ‘happy.jpg’ (kiri) dan citra beraras keabu-abuan

‘happy.jpg’ (kanan).

2. Hitung transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dari citra beraras keabu-

abuan ‘happy.jpg’.

3. Pilih suatu nilai ambang batas (threshold) antara 0 dan 1. Misal,

001.0c .

4. Tentukan nilai maksimum dari mutlak transformasi Fourier Diskrit 2

dimensi yang diperoleh pada tahap 2. Sehingga diperoleh,

Citra Asli Citra Beraras Keabu-abuan


91

229460M .

5. Membuat nol semua frekuensi dari nilai mutlak transformasi Fourier

Diskrit 2 dimensi yang berada di bawah nilai ambang batas.

6. Hitung invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dari hasil pada

tahap 5. Citra hasil pada tahap ini merupakan citra terkompresi.

7. Untuk mengetahui besarnya kesalahan dari citra terkompresi, hitung

kesalahan relatifnya dengan rumus

100

zgkeabuan berarascitra

zc iterkomprescitrazgkeabuan berarascitrarelatifkesalahan

,

sehingga diperoleh,

%1,931,93172887relatifkesalahan .

Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa citra

kompresi hampir serupa dengan citra aslinya.

Gambar 4.3. Citra output dari algoritma kompresi citra dengan

transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi.

Berikut hasil dari kompresi citra beraras keabu-abuan dengan

transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi,

Citra Asli Citra Beraras Keabu-abuan Citra Terkompresi


92

Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya persentase kompresi,

95,989.1002380000

954721

100keabuan citra resolusi

si terkomprecitra resolusi1Persentase

Artinya, citra beraras keabuan terkompresi sebesar 95,99 %.

Bila nilai ambang batas 01.0c , maka hasil kompresinya adalah

Gambar 4.4. Citra output dengan c = 0,01.

Citra Asli Citra Beraras Keabu-abuan Citra Terkompresi


93

Hasil dari kompresi citra beraras keabu-abuan dengan transformasi Fourier

Diskrit 2 dimensinya adalah

Kesalahan relatif yang diperoleh sebesar 6,5 % dan persentase kompresi yang

diperoleh ialah

% 99,851002380000

34081Persentase

,

artinya citra beraras keabu-abuan terkompresi sebesar 99,85 %.

Dengan langkah yang sama untuk nilai ambang batas yang berbeda

diperoleh kesalahan relatif sebagai berikut:

c 510 410 0,001 0,01 0,05 0,1 0,5

Kesalahan

Relatif (%) 0.0036 0,2199 1,9317 6,4955 15,0256 19,4186 28,8257

Tabel 4.1. Tingkat galat relatif.


94

Gambar 4.5. Grafik kesalahan relatif.

Dari grafik kesalahan relatif (Gambar 4.5), terlihat bahwa semakin besar nilai

ambang yang dipilih maka akan semakin besar juga kesalahan relatif yang

diperoleh. Sebab dengan nilai ambang batas yang besar, banyak nilai

frekuensi-frekuensi yang tidak signifikan (di bawah nilai ambang batas)

dibuat nol.

Dengan nilai ambang batas yang berbeda juga dapat diperoleh

besarnya persentase citra asli yang terkompresi sebagai berikut:

c 410 410 4105 4107 0,001 0,005 0,01 0,05

Persentase

(%) 4,91 50,44 88,66 93,37 95,99 99,72 99,86 99,91

Tabel 4.2. Persentase citra asli yang terkompresi.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

30

nilai ambang batas

kesala

han r

ela

tif

(dala

m %

)

GRAFIK KESALAHAN RELATIF


95

Gambar 4.6. Grafik besarnya persentase citra asli yang terkompresi.

Dari grafik pada Gambar 4.6, terlihat bahwa semakin besar nilai ambang

batas yang dipilih maka semakin besar pula persentase citra beraras keabu-

abuan yang terkompresi.

Tahapan kompresi di atas merupakan algoritma kompresi dengan

menggunakan transformasi Fourier Diskrit, khususnya transformasi Fourier

Diskrit 2 dimensi.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

20

40

60

80

100

nilai ambang batas

pers

enta

se c

itra

terk

om

pre

si (d

ala

m %

)

GRAFIK PERSENTASE CITRA ASLI YANG TERKOMPRESI


BAB V

PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Dalam bidang ilmu komputer, sinyal atau citra digital pada suatu

ruang waktu dapat dikonversikan ke dalam bentuk vektor. Selanjutnya, vektor

yang merepresentasikan sinyal atau citra tersebut ditransformasi ke domain

frekuensi dengan transformasi Fourier. Implementasi dari transformasi

Fourier adalah Transformasi Fourier Diskrit (TFD).

Transformasi Fourier Diskrit dapat digunakan dalam proses

pemampatan data, baik data berupa suatu sinyal atau citra digital pada suatu

domain waktu. Data tersebut terlebih dahulu dikonversikan ke dalam bentuk

vektor atau matriks, misalkan x . Kemudian, vektor atau matriks tersebut

ditransformasikan ke dalam ruang frekuensi dengan transformasi Fourier

Diskrit. Output dari transformasi tersebut berupa vektor atau matriks dengan

ukuran yang sama dengan vektor atau matriks aslinya, misalkan X . Elemen-

elemen yang tidak memiliki pengaruh besar di X dianggap nol, sehingga

akan menghasilkan suatu vektor atau matriks baru yaitu X~

. Kemudian, pada

vektor atau matriks X~

dilakukan inversi dengan invers transformasi Fourier

Diskrit yang menghasilkan suatu vektor atau matriks yang serupa dengan

vektor atau matriks aslinya, yaitu x~ .

Nilai ambang batas (threshold) sangat berpengaruh dalam

pemampatan data menggunakan transformasi Fourier Diskrit. Nilai ambang


97

batas ini akan menentukan nilai-nilai frekuensi manakah yang harus dianggap

nol. Apabila nilai ambang batas semakin kecil mendekati nol, maka hasil

kompresi terhadap sinyal atau citra digital semakin serupa dengan sinyal atau

citra digital aslinya dan kesalahan yang dihasilkan dari sinyal atau citra digital

pun akan semakin mendekati nol. Dengan nilai ambang batas ini, jumlah bit

rate (ukuran resolusi) sinyal atau citra digital yang terkompresi akan menjadi

lebih kecil dari sinyal atau citra digital aslinya.

Pada contoh aplikasi transformasi Fourier Diskrit terlihat benar bahwa

transformasi Fourier Diskrit dapat mentransformasikan suatu vektor menjadi

vektor yang lebih sederhana dan apabila diinverskan kembali vektor hasilnya

serupa dengan vektor aslinya (tidak mengalami perubahan yang signifikan).

Hal ini terlihat pada kesalahan relatif yang dihasilkan.

5.2. Saran

Dalam skripsi ini hanya dibahas mengenai aplikasi transformasi

Fourier Diskrit pada kompresi citra. Bagi penelitian-penelitian selanjutnya

dapat membahas lebih luas mengenai aplikasi lain dari transformasi Fourier

Diskrit, seperti penyaringan sinyal.


98

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. & Robert C. Busby. 2003. Contemporary Linear Algebra. New

Jersey: Wiley.

Boggess, Albert. & Francis J. Narcowich. 2001. A First Course in Wavelets with

Fourier Analysis (1st ed). New Jersey: Pearson Prentice-Hall.

Briggs, William L. & Van Emden Henson. 1995. The DFT: An Owner's Manual

For The Discrete Fourier Transform. Philadelphia: Siam.

Broughton, S. Allen. & Kurt Bryan. 2009. Discrete Fourier Analysis and

Wavelets: Application to Signal and Image Processing. Canada: Wiley.

Purcell, Edwin J, dkk. 2007. Calculus (9th

ed). New Jersey: Pearson Prentice-Hall.

Putra, Darma. 2010. Pengolahan Citra Digital. Yogyakarta: Penerbit ANDI.

Soemantri, R. 1994. Diktat: Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta: Universitas

Sanata Dharma.


99

LAMPIRAN

Lampiran 1

clc clear all

%Algoritma Penyelesaian Contoh 3.6 N=12; n=linspace(-5,6,N); k=n; x=[0.7630,-0.1205,-0.0649,0.6133,-0.2697,-0.7216,-0.0993,0.9787,-

0.5689,-0.1080,-0.3685,0.0293]

for l=1:N for s=1:N omg(s)=exp(-2i*pi*n(s)/N); end X(l)=dot(x,(omg.^k(l)))/N; end X for l=1:N for s=1:N omgi(s)=exp(2i*pi*k(s)/N); end xi(l)=dot(X,conj(omgi.^n(l))); end

subplot(221),plot(n,real(x)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(222),plot(n,imag(x)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(223),plot(k,real(X)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(224),plot(k,imag(X)) axis([-5 6 -1 1])

Lampiran 2

clc clear all

%Algoritma Penyelesaian Contoh 3.8 f=[1 2 5;6 7 11] M=2; N=3;

wm=exp(2*i*pi/M); wn=exp(2*i*pi/N); Wm=zeros(M,M);


100

Wn=zeros(N,N);

%Algoritma TFD 2 dimensi for m=1:M for j=1:M Wm(m,j)=(1/M)*wm^(-(m-1)*(j-1)); end end for n=1:N for k=1:N Wn(n,k)=(1/N)*wn^(-(n-1)*(k-1)); end end

F=(Wm*f)*transpose(Wn)

%Algoritma invers TFD 2 dimensi for m=1:M for j=1:M Wmi(m,j)=(1/M)*wm^((m-1)*(j-1)); end end for n=1:N for k=1:N Wni(n,k)=(1/N)*wn^((n-1)*(k-1)); end end

Finv=abs((Wmi*F)*transpose(Wni))*M*N

Lampiran 3

clc clear all

tic %Algoritma Penyelesaian Contoh 3.9 N=256; t=linspace(0,1,N); k=linspace(-127,128,N); f=(t-(t.^2)).^2;

%Transformasi Fourier Diskrit for m=1:N omg(m)=exp(-2i*pi*m/N); end for l=1:N F(l)=dot(f,(omg.^k(l))); end

b=abs(F); y=(b.^2)/N;


101

%Algoritma Kompresi c=0.001; M=max(b); p=c*M; for s=1:N if b(s)>=p Ftilda(s)=F(s); else Ftilda(s)=0; end end

%Invers Transformasi Fourier Diskrit for a=1:N ftilda(a)=abs(dot(Ftilda,conj(omg.^a)))/N; end

Kesalahan_relatif=(norm(f-ftilda)/norm(f))*100;

sp_Ftilda=sparse(Ftilda); sp_ftilda=real(spfun(@ifft,sp_Ftilda));

Sinyal_asli=f; whos 'Sinyal_asli'

Sinyal_terkompresi=sp_ftilda; whos 'Sinyal_terkompresi'

disp('------------------------------------------------------------

-------'); disp(' Nilai ambang batas Kesalahan relatif

'); disp('------------------------------------------------------------

-------'); fprintf('%20.5f %35.8f\n',c,Kesalahan_relatif); disp('------------------------------------------------------------

-------');

subplot(121),plot(t,f) title('Sinyal asli') subplot(122),plot(t,ftilda) title('Sinyal Terkompresi')

Waktu_proses_detik=toc


102

Lampiran 4

clc clear all

disp('------------------------------------------------------------

-------'); disp(' ##### KOMPRESI CITRA KEABUAN TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

#####'); disp('------------------------------------------------------------

-------');

tic

%Algoritma mengubah citra warna menjadi citra beraras keabuan z=imread('happy.jpg'); %Membaca citra input sebagai matriks zg=im2double(rgb2gray(z)); %Mengubah citra input menjadi citra

beraras keabuan

[M,N]=size(zg); %Ukuran matriks dari citra keabuan

%Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi Z=fft2(zg);

%Algoritma Kompresi Zabs=abs(Z); maks=max(max(Zabs)); c=0.05; b=c*maks; Zc=(Zabs>b).*Z; for m=1:M for n=1:N if Zabs(m,n)>=b Zc(m,n)=Z(m,n); else Zc(m,n)=0; end end end

%Invers Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi zc=real(ifft2(Zc));

kesalahan_relatif=100*(norm(zg-zc)/norm(zg));

Citra_asli=z; whos 'Citra_asli'

Citra_keabuan=zg; whos 'Citra_keabuan'

Citra_terkompresi=sparse(abs(Zc)); whos 'Citra_terkompresi'


103

disp('------------------------------------------------------------

-------'); disp(' Nilai ambang batas Kesalahan relatif

'); disp('------------------------------------------------------------

-------'); fprintf('%20.5f %35.8f\n',c,kesalahan_relatif); disp('------------------------------------------------------------

-------');

figure; subplot(1,3,1), imshow(z), title('Citra Asli') subplot(1,3,2), imshow(zg), title('Citra Beraras Keabu-abuan') subplot(1,3,3), imshow(zc), title('Citra Terkompresi')

Waktu_proses_detik=toc


Documents

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … · i TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh