UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO SUBPROGRAMA DISEÑO ACADÉMICO ÁREA ESTUDIOS GENERALES

PLAN DE CURSO

IDENTIFICACIÓN

Código: 178-179

U.C.: 5 Horas de estudio: 240

Carreras: Licenciatura en Matemática (Cód. 126) / Ingeniería de Sistemas (Cód. 236) / Ingeniería Industrial (Cód. 280) Licenciatura en Educación mención Educación Matemática (Cód.508) T.S.U. Mantenimiento de Sistemas Informáticos (Cód. 237) / T.S.U. Higiene y Seguridad Industrial (Cód. 281) Licenciatura en Contaduría Pública (Cód. 610) / Licenciatura en Administración de Empresas (Cód. 612) Licenciatura en Administración de Empresas mención Riesgos y Seguros (Cód. 613)

Semestre: II

Prelaciones: Matemática I (Cód. 176-177)

Requisito: Ninguno

Autor: Dr. Álvaro Stephens

Diseñador Académico: Dra. Hilda Ortega

Fecha - aprobación por Consejo Académico: 16 de julio de 2019

Fecha - aprobación por Consejo Directivo: 25 de julio de 2019

Vigencia: del año 2019 al año 2021

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FUNDAMENTACIÓN

El curso de Matemática II (178-179) es una asignatura ubicada en el bloque de Estudios Generales de la Universidad Nacional Abierta, y su fin es suministrar herramientas de la matemática que contribuyan con el desarrollo intelectual del estudiantes aplicando técnicas matemáticas con sentido lógico, analítico, ético, riguroso y creativo en la solución de problemas o situaciones relacionadas con su campo profesional; de allí que sea una asignatura obligatoria de las carreras de: Licenciatura en Matemática, Ingeniería de Sistemas, Ingeniería Industrial, Educación mención Educación Matemática, Contaduría Pública, Administración de Empresas, Administración de Empresas mención Riesgos y Seguros, T.S.U. Mantenimiento de Sistemas Informáticos y T.S.U. Higiene y Seguridad Industrial. El contenido de la asignatura proporciona continuidad a los conocimientos adquiridos en el curso de Matemática I del bloque de Estudios

Generales.

El contenido del curso se ha dividido en cuatro Unidades Temáticas:

En la Unidad Temática I se retoman y profundizan los conceptos de límite y continuidad de funciones reales de variable real, iniciado en el curso de Matemática I.

En la Unidad Temática II se desarrolla el cálculo diferencial de funciones reales de una variable real. Se dan diversas interpretaciones de la derivada de una función en un punto y se aplica el cálculo de derivadas para representar gráficamente una función, aproximar funciones a través del polinomio de Taylor, el cálculo de límites indeterminados y hallar la raíz de una función de una variable real mediante el método de Newton-Raphson.

En relación con la Unidad Temática III, su contenido contempla lo básico en lo que respecta a las matrices y sistemas de ecuaciones lineales, estudiando los vectores de Rn como matrices filas o matrices columnas, las operaciones usuales de matrices y la aplicación de las mismas en la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.

La Unidad Temática IV es diferenciada, en el caso del código 178. Se desarrollan distintas aplicaciones de las funciones para modelar diversos aspectos de las ciencias administrativas, utilizando las herramientas del cálculo diferencial y de las matrices. Además, se desarrolla el modelo input-output y la teoría del análisis marginal. En el caso del código 179. Se desarrollan distintos procedimientos matemáticos a los fines de comprobar y demostrar, así como construir modelos matemáticos derivados de situaciones que se presentan en otras disciplinas, pero utilizando los recursos expuestos en las Unidades Temáticas anteriores. Se hacen demostraciones con derivadas, se aplican modelos matemáticos donde intervienen las matrices, modelos del tipo y’=f(x), se desarrolla lo concerniente al método de inducción para hacer demostraciones en aritmética, geometría, cálculo diferencial y con las matrices.

Esta asignatura es de carácter teórico-práctico y en este sentido, las estrategias instruccionales y de evaluación del curso, estarán orientadas hacia la aplicación de los fundamentos teóricos en la resolución de ejercicios y problemas como una forma de brindar al estudiante la oportunidad ver le relación de la matemática con otras disciplinas.

Para apoyar el proceso de aprendizaje de esta asignatura, el estudiante contará con el texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulos I, II, III y IV. Novena reimpresión. UNA: Caracas (material instruccional obligatorio), el cual se encuentra en las bibliotecas de todos los Centro Locales y Unidades de Apoyo. De igual manera lo podrá descargar desde el siguiente enlace: https://drive.google.com/drive/folders/1LHXgq-2bVFtv6XVjpAN4A-p9WdhDlbwA?usp=sharing

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ORIENTACIONES GENERALES

Descarga el libro de Matemática II de la UNA, copiando la siguiente dirección electrónica en tu navegador:

https://drive.google.com/drive/folders/1LHXgq-2bVFtv6XVjpAN4A-p9WdhDlbwA?usp=sharing, este será el material instruccional

obligatorio de la asignatura. Recuerda que solo puedes acceder al materia instruccional usando tu correo gmail. De

igual manera lo podrás encontrar en las bibliotecas de todos los Centro Locales y Unidades de Apoyo. El mismo consta de

cuatro Módulos de Instrucción que se encuentran en biyección con las Unidades Temáticas de esta asignatura. Los primeros

tres módulos son comunes para todas las carreras y el cuarto módulo es diferenciado por carrera.

Planifica tu tiempo de estudio. Para ello se te sugiere que emplees, por lo menos, tres horas diarias por 5 días a la

semana de estudio en cada objetivo. Ten en cuenta tus condiciones personales, familiares, laborales y ambientales para

lograr estructurar un horario que responda cabalmente a estas particularidades y así hagas un aprovechamiento efectivo del

tiempo de estudio. Para cada objetivo a estudiar, deberás dedicar como mínimo 26 horas de estudios.

Además de la atención que te brinda tu asesor en el Centro Local, si lo deseas, también puedes comunicarte con el

especialista en contenido de esta asignatura, a través del siguiente número telefónico 0212-5552080 y el correo electrónico:

cchacon@una.edu.ve

Antes de comenzar a estudiar los contenidos de esta asignatura, realiza una lectura completa del Plan de Curso y focaliza las

actividades de evaluación.

Utiliza un cuaderno donde sintetices los contenidos de los temas y hagas anotaciones de los temas en los que tengas dudas,

esto te permitirá consolidar el contenido y sistematizar tu estudio.

Mientras lees, ten presente la intencionalidad del objetivo de la Unidad Temática y del Objetivo Específico.

Para obtener mejores beneficios durante la lectura, subraya las ideas principales, toma nota, vuelve a leer, responde las

preguntas propuestas o realiza otra actividad que te ayude a comprender y aplicar la temática de la lectura a situaciones

nuevas; selecciona la que te propicie un aprendizaje más efectivo.

Organiza de ser posible un grupo de estudio para propiciar el aprendizaje colaborativo.

Consulta otras bibliografías y medios electrónicos referentes al tema que estés estudiando para ayudarte a aclarar el tópico en

cuestión.

La Unidad Temática IV se evaluará mediante un Trabajo Práctico que le será entregado junto con la primera evaluación escrita,

la cual deberá consignar en su Centro Local dentro de los 5 días continuos siguientes a la fecha de presentación de la primera

evaluación escrita. El estudiante tendrá una segunda oportunidad para entregar el trabajo en la fecha de presentación de la

segunda evaluación escrita, en esta última entrega el estudiante podrá incorporar las correcciones y recomendaciones hechas

por su asesor en la corrección de su primera entrega. Queda entendido que las entregas son independientes y estás son

responsabilidad del estudiante.

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ESTRUCTURA INSTRUCCIONAL BÁSICA

Nombre de la Asignatura: MATEMÁTICA II

Código: 178 - 179

Objetivo Global de la Asignatura: Aplicar en forma rigurosa las técnicas relacionadas con límites de funciones, cálculo diferencial e integral, matrices, y sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas en el área de la matemática y en otras disciplinas.

Unidades Temáticas Comunes códigos 178 y 179:

Unidad I: Límites y Continuidad de funciones Reales de Variable Real.

Objetivo de la Unidad: Resolver con sentido riguroso problemas aplicando los conceptos relacionados con límites y continuidad de funciones.

Objetivos Específicos:

I.1. Interpretar con sentido riguroso la definición de límite de una función real en un punto, en forma geométrica y formal donde se establezcan algunas propiedades para el cálculo de límites de funciones.

I.2. Demostrar con sentido riguroso cálculos de límites cuando x tiende a infinito, cuando f(x) tiende a infinito o límites

indeterminados de las formas:

,

, y .

I.3. Resolver con sentido analítico ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones.

Unidad II: Derivadas de funciones Reales de Variable Real.

Objetivo de la Unidad: Resolver de manera organizada problemas aplicando los conceptos relacionados con el cálculo diferencial.

Objetivos Específicos:

II.1. Resolver de manera objetiva problemas aplicando la definición y propiedades de la derivada de primer orden de una función.

II.2. Aplicar con sentido lógico las derivadas de orden superior a problemas de optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de funciones mediante funciones polinómicas.

Unidad III: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Objetivo de la Unidad: Resolver de forma lógica y organizada sistemas de ecuaciones lineales así como problemas que involucren los conceptos relacionados con las matrices.

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Objetivos Específicos:

III.1. Resolver con sentido analítico problemas que involucren las operaciones con matrices y transformaciones geométricas del plano R2.

III.2. Aplicar de forma organizada el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.

Unidad Temática No Común Código 178:

Unidad IV: Aplicaciones de las Funciones a las Ciencias Administrativas.

Objetivo de la Unidad: Resolver con sentido creativo y ético problemas aplicando los conceptos y técnicas matemáticas específicas a situaciones relacionadas con su campo profesional.

Objetivos Específicos:

IV.1. Aplicar de manera objetiva y lógica los conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal, elasticidad de la demanda, análisis marginal en la construcción de la gráfica de una función.

IV.2. Aplicar el modelo Input-output en forma analítica para la resolución de problemas.

Unidad Temática No Común Código 179:

Unidad IV: Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática

Objetivo de la Unidad: Resolver con sentido creativo y ético problemas aplicando los conceptos y técnicas matemáticas específicas a situaciones relacionadas con su campo profesional.

Objetivos Específicos:

IV.1. Demostrar de forma organizada y rigurosa problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemáticos o proposiciones y teoremas mediante el método de inducción.

IV.2. Aplicar con sentido creativo modelos matemáticos, conceptos relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de ecuaciones lineales a problemas de física, ingeniería o economía.

Adecuación Aprobada por: C.A. 16-07-2019 C.D. 25-07-2019

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DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DE LA ASIGNATURA

Objetivo del Curso: Aplicar en forma rigurosa las técnicas relacionadas con límites de funciones, cálculo diferencial e integral, matrices, y sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas en el área de la matemática y en otras disciplinas.

Objetivo de la Unidad I: Resolver con sentido riguroso problemas aplicando los conceptos relacionados con límites y continuidad de funciones.

Objetivo

Específico Contenido Estrategias Instruccionales

Estrategias de Evaluación

I.1- Interpretar con sentido riguroso la definición de límite de una función real en un punto, en forma geométrica y formal donde se establezcan algunas propiedades para el cálculo de límites de funciones.

Noción de límites de funciones y la interpretación geométrica.

Concepto de límite de una función en un punto y sus Aplicaciones.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo I.1 de la Unidad Temática I. Antes que nada lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje I.1 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, descarga el Material Instruccional desde el siguiente enlace electrónico https://drive.google.com/drive/folders/1LHXgq-2bVFtv6XVjpAN4A-p9WdhDlbwA?usp=sharing,

ubica el Módulo del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo I. Novena reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real”, Unidad I, titulada “Límite de una Función Real de Variable Real”, pág. 25. 1. Repasa las ideas intuitiva y geométrica de la definición de límite de una función que aprendiste en el curso de Matemática I de la UNA. Esto te dará una mejor base para comprender la definición formal de límite de una función en un punto. 2. Analiza los ejemplos que se presentan en la Unidad I del libro Matemática II de la UNA desde la página 27 a la página 32; en algunos de ellos es necesario que utilices una calculadora, sigue las instrucciones indicadas en cada ejemplo, y observa lo que sucede en cada caso. 3. Lee las definiciones intuitiva y geométrica de la definición de límite de una función en un punto en las páginas 32 y 34 respectivamente, que nuevamente encontrarás en este curso. Escribe la definición formal que encontrarás en la página 36 y haz de

los ejemplos 1.3 y el número 2, tomando el número = 0,01 y determina el número

para el cual se cumple 0102

1x , .

4. Realiza los ejercicios propuestos 1.4.1 y 1.4.2 utilizando las propiedades de límites y, en caso que sea necesario, el método de cambio de variable para calcular el valor de los límites dados. 5. Anota todas las dudas, desde el punto de vista teórico y práctico, que se presenten durante el desarrollo de las actividades y al resolver los ejercicios. Acude al Centro Local y busca al Asesor de Matemática para que te asesore y puedas aclarar las mismas. 6. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y secciones de

la bibliografía complementaria que está al final del Módulo y efectúa los ejercicios propuestos, así como la autoevaluación sugerida en el texto. Estas estrategias instruccionales te servirán para el desarrollo de las preguntas en

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá preguntas en las que interpretarás con sentido riguroso la definición formal o geométrica de límite así como, sus propiedades en el cálculo de límites de una función real de variable real.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

las que tendrás que interpretar rigurosamente la definición formal de límite de una función real de variable real en un punto y establecer las propiedades para el cálculo de límite de funciones.

I.2- Demostrar con sentido riguroso cálculos de límites cuando x

tiende a infinito, cuando f(x) tiende a infinito o límites indeterminados de las formas.

Límites: Al infinito, infinitos, indeterminados y laterales.

Algunos límites especiales.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo I.2 de la Unidad Temática I. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje I.2 para

que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo I. Novena reimpresión.

UNA: Caracas, titulado “Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real”, Unidad II, titulada “Límites en el Infinito. Límites Infinitos. Limites

Indeterminados. Límites Laterales. Algunos Límites Especiales. Asíntotas”, página 47.

1. Lee la definición de límite de una función para el caso en que x tiende a un número muy grande y f(x) se acerca a un número finito en la página 50.

Construye otras funciones distintas a la de los ejemplos del libro, cuyas gráficas tengan el comportamiento que refleja esta definición. 2. Escribe las propiedades de los límites en el infinito e identifica las indeterminaciones que se pueden presentar al calcular límites de funciones. 3. Haz los ejercicios resueltos 2.4.1 y el ejemplo 2.4.3 donde se explican algunas maneras de eliminar las indeterminaciones. 4. Lee la definición de límite de una función en el infinito en la página 52, es decir, para el caso en que x se acerca a un número finito y f(x) tiende a un

número muy grande. Construye una función, cuya gráfica tenga el comportamiento que refleja esta definición. 5. También se pueden presentar límites de funciones en que x tienda a un número muy grande y f(x) también, lee la definición 2.4 y haz un gráfico que

refleje este comportamiento. 6. Haz los ejercicios propuestos 2.4. Verifica tus respuestas con las dadas al

final del Módulo . 7. Haz una gráfica para cada uno de los resultados indicados dentro del recuadro en la página 53, esto te servirá para resolver límites infinitos y en el infinito. 8. Realiza los ejercicios propuestos 2.4.1 para afianzar las definiciones y adquirir mayor destreza para resolver límites. Verifícalos con las soluciones

dadas al final del Módulo . Ahora aprenderás a resolver límites que al evaluarlos presentan la

indeterminación 1. Hay un procedimiento para calcular estos límites que consta de diez pasos. 9. Lee este procedimiento que está en un recuadro en la página 65 del

Módulo y aplícalo a los ejemplos 2.4.4 y al ejercicio propuesto 2.4.2.

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá preguntas en las que demostrarás con sentido riguroso el cálculo de límites de funciones reales de una variable real cuando x tiende a infinito, cuando f(x) tiende a infinito o límites indeterminados.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

10. Los límites que presentan indeterminaciones de la forma 00 y 0 se

resuelven con un procedimiento similar al desarrollado para resolver límites de

la forma 1.

Hay casos en que al estudiar el comportamiento de una función en las cercanías de un punto, es necesario estudiar por separado lo que ocurre a la izquierda y a la derecha del punto. 11. Lee las definiciones de límite laterales por la izquierda y por la derecha de la página 70, aplícalas en los ejemplos 2.5.1 y ejercicios 2.5, te darás cuenta del porqué de la existencia del límite de una función en un punto, dado en el teorema 2.1. 12. Resuelve los ejercicios propuestos 2.5 y verifica las soluciones con las dadas

al final del Módulo .

El resultado dado en el Teorema 2.2, conocido con el nombre de Teorema del Sándwich, es de gran utilidad para resolver algunos límites. Uno de ellos es el

límite especial x

xsenlímx 0

el cual se demuestra que es igual a 1. Puedes ver los

detalles de la demostración en las páginas 79 y 80. Encontrarás otros límites especiales, además del anterior, en el recuadro de la página 81 que son de mucha ayuda para resolver límites. 13. Resuelve los ejemplos de esta parte en los que se utilizan estos límites. 14. Resuelve los ejercicios propuestos 2.6 y verifica los resultados con los dados

al final del Módulo . 15. Lee la definición de Asíntota dada en la página 87, te darás cuenta que están presentes los límites infinitos y los límites en el infinito los cuales te darán información del comportamiento gráfico de algunas funciones. Haz los ejemplos 2.7, los ejercicios 2.7 y los ejercicios propuestos 2.7. Verifica las soluciones con

los dados al final del Módulo . 16. Anotas las dudas, tanto teóricas como prácticas, que se presenten al resolver los ejercicios. Acude al Centro Local para que te asesoren y ayuden a aclarar las dudas. 17. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y

secciones de la bibliografía complementaria que está al final del Módulo y efectúa los ejercicios propuestos, así como la autoevaluación.

Las actividades cumplidas te servirán como fundamento para el desarrollo de preguntas en el cual deberás demostrar rigurosamente límites de funciones

reales de variable real cuando x tiende a infinito, cuando f(x) tiende a infinito o

límites indeterminados.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

I.3- Resolver con sentido analítico ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones.

Concepto de función continua en un punto y en un intervalo.

Propiedades de las funciones continuas.

Teorema del valor intermedio, teorema de Bolzano y teorema de existencia de máximo y mínimo de una función continua en un intervalo cerrado. Aplicaciones.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo I.3 de la Unidad Temática I. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje I.3 para

que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo I. Novena reimpresión.

UNA: Caracas, titulado “Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real”, Unidad III, titulada “Continuidad de Una Función Real de Variable Real”,

página 97.

1. Repasa la idea intuitiva de la definición de continuidad de una función que aprendiste en el curso de Matemática I de la UNA.

2. Lee la definición de continuidad de una función en la página 99, la cual es de gran utilidad cuando se realiza el estudio del comportamiento gráfico de las funciones. Haz los ejemplos 3.3, verifica en cada uno de ellos si se cumplen las tres condiciones que se dan en la definición de continuidad. Si no se cumple alguna, identifica ¿qué tipo de discontinuidad presenta la función? 3. Lee en la página 104 las operaciones algebraicas que se pueden realizar con funciones continuas y en la página 106 las condiciones que deben cumplir las funciones para que la composición de ellas sea una función continua. 4. Haz los ejemplos 3.5 y los ejercicios propuestos 3.5. 5. Lee el enunciado del teorema de Bolzano en la página 108 y haz una gráfica que cumpla las condiciones del teorema. 6. Resuelve los ejemplos 3.6 y los ejercicios propuestos 3.7.5, 3.7.6 y 3.7.7. 7. Lee el enunciado del teorema del Valor Intermedio en la página 109 y verifica que este teorema es una generalización del teorema de Bolzano. 8. Realiza las Autoevaluaciones I y II sugeridas en el texto. Si respondiste incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente (ver las recomendaciones de las páginas 126 y 135). 9. Anotas las dudas, tanto teóricas como prácticas, que se presenten al resolver los ejercicios. Acude al Centro Local para que te asesoren. 10. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y

secciones de la bibliografía complementaria que está al final del Módulo .

Las actividades cumplidas te servirán como fundamento para el desarrollo de preguntas en el cual deberás resolver con sentido analítico ejercicios aplicando las propiedades y teoremas asociados con la continuidad de funciones.

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá preguntas en las que resolverás con sentido analítico ejercicios aplicando las propiedades y teoremas asociados con la continuidad de funciones.

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Objetivo de la Unidad II: Resolver de manera organizada problemas aplicando los conceptos relacionados con el cálculo diferencial.

Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

II.1- Resolver de manera objetiva problemas aplicando la definición y propiedades de la derivada de primer orden de una función.

Variación de funciones. Derivada de una función en un punto. Derivadas laterales. Propiedades de la derivada. Relación entre continuidad y derivabilidad. Derivada y antiderivada de algunas funciones. Aplicaciones: Gráfica aproximada de una función. Ecuación de la recta tangente y normal. Ángulo entre curvas. Método de Newton-Raphson. Teoremas del valor medio y sus aplicaciones. Regla de la Cadena.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo II.1 de la Unidad Temática II. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje II.1 para

que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo I del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo II. Novena reimpresión.

UNA: Caracas, titulado “Derivadas de Funciones Reales de Variable Real”, Unidad IV, página 19.

1. Lee la definición 4.1 de la variación de cambio instantánea o razón de cambio instantánea en la página 23, y su interpretación física y geométrica en las páginas 24 y 28 respectivamente. 2. Lo anterior lo podemos tomar como una interpretación física y geométrica de una nueva función llamada “derivada”, lee en la página 37 la definición y sus diferentes maneras de denotarla. 3. Haz los ejemplos 4.6.1 y los ejercicios propuestos 4.2 y, paralelamente, construye la tabla de derivadas de las funciones más conocidas. 4. Lee el teorema 4.1 de la página 47 para establecer la relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función. 5. Lee la definición 4.7 de la página 49, ella te permite definir la derivada de una función en un punto usando un límite. La derivada lateral también te permite definir la derivada de una función en un intervalo cerrado (lee la definición 4.9). 6. Haz los ejemplos 4.6.4 y los ejercicios propuestos 4.3.

El proceso de hallar la derivada de una función usando límites no siempre es el más conveniente ya que para funciones complicadas los límites son más difíciles de resolver. Por lo tanto, con ayuda de la tabla de derivada que empezaste a construir y con las propiedades de la derivada podrás encontrar las derivadas de tales funciones.

7. Haz los ejemplos 4.7.1 y 4.8.2 y los ejercicios propuestos 4.4, 4.5, 4.6 y 4.7.

8. Realiza la Autoevaluación Sigue las instrucciones y el tiempo estipulado para su realización. Intenta de resolver todas las preguntas sin ver la solución, al finalizar el tiempo compara tu solución con la dada en el texto. En caso de que hayas respondido incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente. 9. Aplica las técnicas de derivación que involucran la Regla de la Cadena a funciones dadas en forma implícita, funciones inversas, funciones muy complicadas y de funciones dadas en forma paramétrica para resolver los ejemplos 4.9.3.1, 4.9.4.1 y ejercicios propuestos 4.8. 10. Haz los ejemplos 4.9.5.1 y observa los pasos a seguir para plantear y

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá preguntas en las que resolverás de manera objetiva problemas aplicando la definición y las propiedades de la derivada de una función.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

resolver estos problemas. 11. Lee la sección 10.2, capítulo 10 del libro “Cálculo de una Variable” de Pita Ruiz, Claudio (1998). Prentice Hall Hispanoamérica, S. A., México, que podrás encontrar en la biblioteca del Centro Local, allí encontrarás más problemas resueltos y ejercicios propuestos. Intenta resolver los problemas 11, 13, 15, 19, 23, 25, 31 y 33.

Ahora vas a aprender como determinar los extremos de una función utilizando la derivada. Es necesario recordar el Teorema del Valor Intermedio visto en el

Módulo del texto UNA, página 109.

12. Lee en la página 100 la definición de extremos de una función. 13. Traza una gráfica de alguna función que cumpla con las condiciones del Teorema del Valor Intermedio y ubica en él los extremos. 14. Haz el ejemplo 4.10.1 15. Lee las páginas 103 y 104 para hacer el ejemplo 4.10.3. 16. Lee en la página 105 las condiciones necesarias para que un punto x0 del dominio de una función sea un punto crítico y haz los ejemplos 4.10.4. 17. Escribe el “Criterio de la primera derivada para el crecimiento y decrecimiento de una función”. 18. Haz un esquema del proceso para hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y realiza los ejemplos 4.10.5 y 4.10.6. 19. Realiza la Autoevaluación II. Lee las instrucciones antes de comenzar a

responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

Hay un procedimiento para hallar valores aproximados de la raíz de una ecuación de la forma f(x)=0 llamado método de Newton o método de Newton-Raphson, el

cual consiste en construir aproximaciones sucesivas a la raíz de una ecuación dada por f(x)=0, mediante el uso de rectas tangentes, el mismo está descrito en

la página 116. Tal método se utiliza cuando la raíz de una función no se consigue mediante el uso de fórmulas exactas.

20. Lee las páginas 116 a la 119 para que veas como se construyen las aproximaciones sucesivas de una raíz y haz los ejemplos 4.11.1.

Hay otras aplicaciones de la derivada que están basadas en tres teoremas importantes en el cálculo de la derivada: Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange o Teorema del Valor Medio y el Teorema del Valor Medio de Cauchy. Antes de estudiar estos teoremas debes repasar las propiedades vistas en la Unidad Temática I sobre las funciones continuas como son: el teorema de la

conservación del signo de una función continua, teorema de Bolzano y el teorema del valor intermedio para funciones continuas. Estos son importantes para comprender con claridad el significado geométrico de los teoremas mencionados.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

21. Lee el enunciado del teorema de Rolle en la página 124 y haz una gráfica donde se cumplan las condiciones del teorema y haz los ejemplos 4.11.1, en particular, en el ejemplo 3 el teorema de Rolle te permite decir cuántas raíces reales tiene una ecuación de la forma f(x)=0.

22. Lee el enunciado del teorema de Lagrange o teorema del Valor Medio que está en la página 126, haz una gráfica donde se cumplan las condiciones del teorema y haz los ejemplos 4.11.2. 23. Lee el teorema del Valor Medio de Cauchy en la página 131 y haz los ejemplos 4.11.3. Una de las aplicaciones inmediatas de la fórmula del valor medio de Cauchy, es la obtención de la regla de L’Hôpital en la página 133, para calcular límites indeterminados, la cual está dada en el teorema 4.6, lee el enunciado y las observaciones y haz los ejemplos 4.12.1. 24. Lee el cuadro resumen en las páginas 141, 142 y haz los ejercicios propuestos 4.10. 25. Realiza la Autoevaluación III sugerida en el texto, lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado. Si respondiste incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente. 26. Anotas las dudas, tanto teóricas como prácticas, que se presenten al resolver los ejercicios y acude al Centro Local para que te asesoren. 27. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y secciones de la bibliografía complementaria que está al final del Módulo II del

texto UNA.

Las actividades cumplidas te servirán como fundamento para el desarrollo de preguntas en el cual deberás resolver de manera objetiva problemas en los que apliques la definición y propiedades de la derivada de funciones.

II.2- Aplicar con sentido lógico las derivadas de orden superior a problemas de optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de

Derivadas de orden superior a uno.

Aplicaciones:

Gráfica de funciones.

Problemas de optimización.

Derivadas enésimas.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo II.2 de la Unidad Temática II. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje II.2 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo II

del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo II. Novena reimpresión.

UNA: Caracas, titulado “Derivadas de Funciones Reales de Variable Real”, Unidad V, página 161.

1. Cuando hallas la derivada de una función f obtienes una nueva función f , llamada primera derivada de f , cuyo dominio está contenido en el dominio de la función f . Lee la página 165 para que establezcas las condiciones para obtener las derivadas de orden mayor a uno y las distintas notaciones que se utilizan. 2. Haz los ejemplos 5.1.1, de los cuales el ejercicio 5 y el 6 son para hallar la segunda derivada de funciones dadas en forma implícita, el ejercicio 12 para

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá preguntas en las que aplicarás con sentido lógico las derivadas de orden superior a problemas de optimización, a la representación

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

funciones mediante funciones polinómicas.

Regla de L’Hôpital.

Polinomio de Taylor.

Trazado de curvas planas.

hallar la derivada de orden “n”, los ejercicios 13, 14 y 15 son límites para aplicar la regla de L’Hôpital. Lee el teorema 5.1 de la página 177 que te da las condiciones para aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez en el cálculo de límites. 3. En las páginas 178, 179 y 180 encontrarás la manera de hallar las derivadas de orden “n” de una función dada en forma paramétrica, realiza el ejemplo 5.1.2 y los ejercicios propuestos 5.1. 4. Busca en el glosario de este módulo las definiciones de función cóncava y de función convexa, léelas y haz un gráfico donde estén presentes ambas, la concavidad y la convexidad. Estudia en las páginas 183 y 184 el signo de la segunda derivada para determinar la concavidad de la gráfica de una función y haz los ejemplos 5.2.1.

Con lo que aprendiste en Matemática I con respecto a las propiedades de las

funciones: dominio, naturaleza, simetría, periodicidad, asíntotas y continuidad, y lo aprendido hasta el momento, los criterios de la derivada puedes construir gráficas aproximadas de funciones. En la página 189 se describen los pasos a seguir para hacer el estudio completo de una función y su gráfica. Haz los ejemplos 5.3.1 y los ejercicios propuestos 5.3.

5. Otras aplicaciones de la derivada es la de resolver problemas, como por ejemplo, el de minimizar el gasto del material para construir una caja de máximo volumen. 6. Lee en la página 209 el Teorema de Taylor el cual permite aproximar funciones mediante funciones polinómicas. Lee las páginas 209, 210 y 211 la definición de Polinomio de Taylor y polinomio de MacLaurin y haz los ejemplos 5.5.1 y los ejercicios propuestos 5.5.1. 7. Haz, en el mismo plano coordenado, la gráfica de la función f(x) = ex y las gráficas de los polinomio de Taylor de f de grado 1, 2 y 3 alrededor de c = 0. 8. Realiza las Autoevaluaciones I y II sugeridas en el texto UNA. Si respondiste

incorrectamente las preguntas anota las dudas que se te presenten y acude al Centro Local para que te asesoren. 9. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y secciones de la bibliografía complementaria que está al final del Módulo II del texto UNA.

Las actividades cumplidas te servirán como fundamento para el desarrollo de preguntas en las que deberás aplicar con sentido lógico las derivadas de orden superior a problemas de optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de funciones mediante funciones polinómicas.

gráfica de una función o a la aproximación de funciones mediante funciones polinómicas.

Objetivo de la Unidad III: Resolver de forma lógica y organizada sistemas de ecuaciones lineales así como problemas que involucren los conceptos relacionados con las matrices.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

III.1- Resolver con sentido analítico problemas que involucren las operaciones con matrices y transformaciones geométricas del plano R2.

Definición de Matrices.

Vectores de Rn dados como matrices columnas o matrices filas.

Operaciones con matrices.

Producto escalar de dos vectores de Rn y multiplicación de matrices.

Matriz inversa.

La función

xAx.

Algunas matrices especiales

22 y su interpretación geométrica.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo III.1 de la Unidad Temática III. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje III.1 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo III del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo III. Novena reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales”, Unidad VI, titulada “Matrices”, página 19.

1. Lee en la página 22 la definición de matriz, las notaciones y las características de algunas matrices especiales, haz los ejemplos 6.2, 6.3 y los ejercicios propuestos 6.3. 2. Lee de la página 40 a la 49 las definiciones de adición de matrices y multiplicación de un escalar por una matriz y sus propiedades. Aplica estas operaciones y sus propiedades para resolver los ejercicios propuestos 6.4 y 6.5. 3. Lee de la página 60 a la 66 las definiciones de producto escalar, norma de un vector y ángulo entre vectores y sus propiedades para resolver los ejemplos 6.6.1, 6.6.2 y 6.6.3 y los ejercicios propuestos 6.6.1, 6.6.2 y 6.6.3 4. Otra operación entre matrices es el producto de matrices, lee en la página 71 la definición y sus propiedades y aplícalo a los ejemplos 6.7 y ejercicios 6.6. Realiza los ejercicios propuestos 6.7 5. Lee la definición de matriz inversa en la página 83, resuelve los ejemplos 6.8 y los ejercicios propuestos 6.8. 6. Para ver una matriz como una transformación lineal del plano es necesario que definas transformación lineal. Lee, en la página 87 donde consideran un sistema de ecuaciones lineales, lo representan en forma matricial y luego se establece la definición de transformación lineal. Haz los ejemplos 6.9 y ejercicio 6.9, en ellos se define cuando una matriz es una dilatación, contracción o reflexión y cuando una transformación es una isometría. Haz los ejercicios propuestos 6.9. 7. Realiza la autoevaluación I sugerida en el texto UNA y cumple con el tiempo estimado. Si respondiste incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente. 8. Anotas las dudas que se te presenten y acude al Centro Local para que te asesoren. 9. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y secciones de la bibliografía complementaria que está al final del Módulo III del texto UNA. Las actividades cumplidas te servirán como fundamento para el desarrollo de preguntas en las que deberás resolver con sentido analítico problemas que involucren las operaciones con matrices y transformaciones geométricas del plano R

2.

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá peguntas en las que resolverás con sentido analítico problemas que involucren las operaciones con matrices y transformaciones geométricas del plano R2.

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Objetivo Específico

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

III.2- Aplicar de forma organizada el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones.

Sistemas homogéneos y no homogéneos. Solución de un sistema de ecuaciones.

Interpretar el sistema Ax=b en términos de la función

xAx.

Operaciones elementales entre las filas de una matriz.

Método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones y para determinar la inversa de una matriz.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo III.2 de la Unidad Temática III. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje III.2 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo III del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo III. Novena

reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales”, Unidad VII, titulada “Sistemas de Ecuaciones Lineales”, página 101.

1. Lee en la página 104 la definición de sistemas de ecuaciones lineales y exprésalo en términos de matrices. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos de esta sección. 2. Lee la página 109 e identifica cuando un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo y cuando es no homogéneo. Haz los ejemplos y ejercicios propuestos 7.4. 3. Clasifica los sistemas de ecuaciones según si tiene o no solución, guíate por lo expuesto desde la página 114 a la 116 y haz los ejercicios propuestos 7.5.1. 4. Revisa los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la página 118 y resuelve los ejercicios propuestos 7.5.1, 1 de la página 117. Cuando el sistema de ecuaciones tiene más de tres ecuaciones, resolverlo por éstos métodos resulta bastante tedioso para en estos casos se aplica el método de Reducción de Gauss-Jordan (lee la nota histórica al pie de la página 103). 5. Lee en la pág. 120 las operaciones que se pueden realizar por fila, la notación que se utiliza y los pasos a seguir en la aplicación del método a una matriz. 6. Haz los ejercicios propuestos 7.6, analiza los ejemplos 7.7 y resuelve ejercicios propuestos 7.7. y 7.8, en estos te muestran una manera de calcular la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan. 7. Realiza la Autoevaluación II sugerida en el texto. Si respondiste

incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido. 8. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano, los capítulos y secciones de la bibliografía complementaria que está al final del Módulo III.

Las actividades cumplidas servirán como fundamento para el desarrollo de preguntas en las que deberás aplicar organizadamente el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.

Se evaluará a través de pruebas de desarrollo en las cuales habrá preguntas en las que aplicarás organizadamente el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.

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Objetivo de la Unidad IV (Cód. 178): Resolver con sentido creativo y ético problemas aplicando los conceptos y técnicas matemáticas específicas a situaciones relacionadas con su campo profesional.

Objetivo Específico Cód. 178

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

IV.1- Aplicar de manera objetiva y lógica los conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal, elasticidad de la demanda, análisis marginal en la construcción de la gráfica de una función.

Introducción al estudio del análisis marginal. Costo, ingreso y beneficio marginal.

Elasticidad de la oferta y de la demanda.

Relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda.

Optimización de funciones de costo, ingreso y beneficio.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo IV.1 de la Unidad Temática IV. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje IV.1 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo IV (Cód. 178) del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo IV. Novena reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Aplicaciones de la Funciones a Las Ciencias Administrativas. Análisis Marginal, Modelo Input-Output”, Unidad I, titulada “Análisis Marginal”, página 21.

En esta unidad verás otras aplicaciones del cálculo diferencial. Repasa las definiciones de: función de costo, función de ingreso y función de beneficio, estos los puedes encontrar en el texto UNA de Matemática I (176), Módulo IV.

1. Lee la definición de análisis marginal en la pág. 23, estudia la función costo marginal, haz una gráfica para comprender mejor la definición y haz el ejemplo y el ejercicio 1.3.1. 2. Estudia la función costo medio en la página 27, haz una gráfica para comprender mejor la definición y haz el ejercicio 1.3.2. 3. Estudia la función ingreso marginal en la página 29, haz una gráfica para comprender mejor la definición. 4. Estudia la función ingreso medio en la página 29, haz una gráfica para comprender mejor la definición y haz el ejemplo 1.3.2, el ejecicio1.3.3 y el problema 1.3.1. 5. Estudia las funciones de beneficio marginal y beneficio medio en la página 35 y haz los ejercicios 1.3.4 y los ejercicios propuestos 1.3. 6. Lee la definición de elasticidad de la demanda en la página 40 y haz el ejemplo 1.4.1, el ejercicio 1.4.1 y los ejercicios 1.4.2. 7. Lee la definición de elasticidad de la oferta (pág. 45) y haz los ejercicios 1.5.1 y 1.5.2. 8. Establece la relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda en la página 48, haz el ejemplo, el ejercicio, el problema 1.6 y los ejercicios propuestos 1.6. 9. En la página 54 se dan una serie de ejercicios donde se aplica el cálculo de derivadas para optimizar (maximizar o minimizar) las funciones de costo, ingreso o beneficio, haz los ejercicios, los problemas y los ejercicios propuestos 1.7. 10. Realiza la Autoevaluación I sugerida en el texto UNA. Si respondiste

incorrectamente, anota las dudas y acude al Centro Local para que te asesoren. 11. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano la bibliografía complementaria que está al final del Módulo IV del texto UNA para complementar tu aprendizaje.

Estas estrategias servirán de apoyo para realizar un Trabajo Práctico conformado por preguntas y/o problemas en los que deberás aplicar de manera objetiva y lógica los conceptos relativos a: costo, ingreso, ingreso margina, elasticidad de la demanda, análisis marginal en la construcción de la gráfica de una función.

Se evaluará a través de un Trabajo Práctico en el que aplicarás de manera objetiva y lógica los conceptos de: costo, ingreso, ingreso marginal, elasticidad de la demanda, análisis marginal en la construcción de la gráfica de una función.

Revisa las indicaciones para la realización de este trabajo que se encuentran en el instructivo de evaluación, en la p. 24.

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Objetivo Específico Cód. 178

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

IV.2- Aplicar el modelo Input-output en forma analítica para la resolución de problemas.

Introducción al estudio del modelo Input-Output (entradas y salidas).

Matriz tecnológica. Matriz inversa de Leontief y su interpretación. Aplicaciones.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo IV.2 de la Unidad Temática IV. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje IV.2 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo IV (Cód. 178) del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo IV. Novena reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Aplicaciones de la Funciones a Las Ciencias Administrativas. Análisis Marginal, Modelo Input-Output”, Unidad II, titulada “Modelo

Input-Output (Entradas y Salidas)”, página 75.

Ahora verás como el cálculo matricial te permite abordar un modelo matemático bastante sencillo como es el de los intercambios o interacciones entre las diferentes industrias o sectores de una determinada economía. Este modelo es llamado modelo Input-output (entrada-salida),

1. Lee el análisis de este modelo en la página 77 y haz los ejemplos 2.2.1 y 2.2.2. 2. Define economía viable y no viable (pág. 79) y haz los ejercicios 2.3.1. 3. Establece la ecuación de insumo-producto (ver página 82) y define la matriz de Leontief y la matriz inversa de Leontief (ver página 83). 4. Haz los ejemplos 2.4.1, 2.4.2, el ejercicio 2.4.3 y los ejercicios propuestos 2.4. 5. Realiza la Autoevaluación I sugerida en el texto. Si respondiste incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente. Anotas las dudas que se te presenten y acude al Centro Local para que te asesoren. 6. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano la bibliografía complementaria que está al final del Módulo IV del texto UNA para complementar tu aprendizaje.

Estas estrategias servirán de apoyo para realizar un Trabajo Práctico conformado por preguntas en las que deberás aplicar el modelo Input-output analíticamente en la resolución de problemas.

Se evaluará a través de un Trabajo Práctico en el que aplicarás el modelo Input-output en forma analítica para la resolución de problemas.

Revisa las indicaciones para la realización de este trabajo que se encuentran en el instructivo de evaluación, en la p. 24.

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Objetivo de la Unidad IV (Cód. 179): Resolver con sentido creativo y ético problemas aplicando los conceptos y técnicas matemáticas específicas a situaciones relacionadas con su campo profesional.

Objetivo Específico Cód. 179

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

IV.1- Demostrar de forma organizada y rigurosa problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemáticos o proposiciones y teoremas mediante el método de inducción.

Conceptos y procedimientos relacionados con la demostración de proposiciones o teoremas.

Definiciones por recurrencia. El método de inducción.

Cálculos diferenciales y matrices.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo IV.1 de la Unidad Temática IV. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje IV.1 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo IV (Cód. 179) del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo IV. Novena reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática”, Unidad I, titulada “Pensamiento Matemático”, página 21.

1. Repasa los conceptos y métodos de demostración: teorema, lema, corolario, conjetura, demostraciones directas, demostraciones por reducción al absurdo, contraejemplos, demostración por agotamiento de casos, estos los puedes encontrar en el texto UNA de Matemática I (177), Módulo IV y haz los ejemplos

y ejercicios propuestos1.2.1. 2. Lee desde la página 49 hasta la página 53 lo que significa la palabra “definición” en matemática y como se construye un mapa de conceptos de una definición. 3. haz los ejercicios propuestos 1.3.1.

En Matemática como en otras ciencias existen diversos tipos de definiciones, entre ellas están las definiciones por recurrencia o definiciones recursivas. Particularmente estudiarás lo referente a las sucesiones dadas en forma recursiva o por recurrencia.

4. Lee desde la página 55 hasta página 60 la definición de sucesiones y haz los ejemplos 1.3.2, 1.3.3 para aclarar las definiciones estudiadas. 5. Haz los ejemplos 1.3.4 que se refieren a dos sucesiones definidas por recurrencia que conoces de bachillerato: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica y luego lee la definición. 6. Haz los ejemplos 1.3.5 y resuelve los ejercicios propuestos 1.3.2. 7. Lee en las páginas 69 y 70 las definiciones de conjuntos finitos y conjuntos infinitos numerables y haz los ejemplos 1.4.1.

Cuando tienes un conjunto finito con un número “bastante grande” de elementos, necesitas algún procedimiento para contar ese número de elementos. Uno de esos procedimientos de conteo se denomina “principio de las casillas”.

8. Lee las páginas 72 y 73. Haz los ejemplos 1.4.2 y los ejercicios propuestos 1.4.1. Ahora aprenderás un método que te sirve para demostrar propiedades

Se evaluará a través de un Trabajo Práctico en el que demostrarás de manera organizada y rigurosa problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemáticos o proposiciones y teoremas mediante el método de inducción.

Revisa las indicaciones para la realización de este trabajo que se encuentran en el instructivo de evaluación, en la p. 24.

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Objetivo Específico Cód. 179

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

relacionadas con conjuntos infinitos numerables. Este método se denomina “método de demostración por inducción o por recurrencia” o “inducción matemática” o “inducción completa”. 9. Lee las páginas 76 y 77. Haz los ejemplos 1.4.3, 1.4.4 y los ejercicios propuestos 1.4.2.

10. Responde la Autoevaluación sugerida en el texto. Si respondiste incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente. 11. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano la bibliografía complementaria que está al final del Módulo IV del texto UNA para complementar tu aprendizaje.

Estas estrategias servirán de apoyo para realizar un Trabajo Práctico en los que deberás demostrar organizada y rigurosamente problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemáticos o proposiciones y teoremas mediante el método de inducción.

IV.2- Aplicar con sentido creativo modelos matemáticos, conceptos relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de ecuaciones lineales a problemas de física, ingeniería o economía.

Modelado de situaciones de la física e ingeniería utilizando el cálculo diferencial y el álgebra matricial.

Resolución de los modelos del tipo y’=f(x) o casos sencillos de y’=f(y), así como modelos con sistemas de ecuaciones lineales Ax=b y otros donde se utilicen matrices.

Las estrategias que a continuación se señalan te ayudarán a lograr el objetivo IV.2 de la Unidad Temática IV. Lee cuidadosamente el objetivo de aprendizaje IV.2 para que sepas de manera precisa lo que se espera que aprendas, ubica el Módulo IV (Cód. 179) del texto UNA: Beyer y otros (2016). Matemática II, módulo IV. Novena reimpresión. UNA: Caracas, titulado “Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática”, Unidad II, titulada “Modelando con Matemática”,

página 103.

1. Estudia los modelos matemáticos de: “dinámica de poblaciones” y “presión atmosférica”, “tasas medias de variación” y “tasas geométricas”, modelo lineal o a un modelo exponencial, respectivamente. Esto lo podrás encontrar en el texto UNA de Matemática I (177), Módulo IV. 2. Lee en la página 106 el Cuadro Resumen de Repaso y la definición de “tasa relativa puntual” o “tasa geométrica puntual”. Haz los ejemplos, ejercicios y ejercicios propuestos 2.1.1.

Gran parte de las ecuaciones que se plantean en los modelos matemáticos considerados: dinámica de poblaciones, la salida de líquidos por orificios, la desintegración radioactiva, el llenado y vaciado de un tanque, etcétera, responden a una formulación general conocida con el nombre de “principio de entrada-salida” (Input-Output en inglés).

3. Lee los ejemplos de las páginas 117 y 118, los ejemplos 2.2.1, 2.2.2 y los ejercicios propuestos 2.2.1.

Es recomendable que sigas los pasos que se indican en los diagramas de flujo

Se evaluará a través de un Trabajo Práctico en el que aplicarás con sentido creativo modelos matemáticos, conceptos relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de ecuaciones lineales a problemas de física, ingeniería o economía.

Revisa las indicaciones para la realización de este trabajo que se encuentran en el instructivo de

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Objetivo Específico Cód. 179

Contenido Estrategias Instruccionales Estrategias de

Evaluación

de la página 132 para resolver problemas de matemática o problemas aplicados, así como para la construcción de un modelo matemático.

4. Resuelve los ejercicios propuestos 2.2.2, 2.3.1. 5. Estudia el modelo “insumo-producto” (entrada-salida) de Leontief (pág. 161) y resuelve los ejercicios propuestos 2.4.1 6. Realiza la Autoevaluación II sugerida en el texto. Si respondiste

incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente. Anotas las dudas que se te presenten y acude al Centro Local para que te asesoren. 7. Revisa en la biblioteca del Centro Local más cercano la bibliografía complementaria que está al final del Módulo IV del texto UNA para

complementar tu aprendizaje.

Estas estrategias servirán de apoyo para realizar un Trabajo Práctico conformado por preguntas en las que deberás aplicar con sentido creativo modelos matemáticos, conceptos relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de ecuaciones lineales a problemas de física, ingeniería o economía.

evaluación, en la p. 24.

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BIBLIOGRAFÍA Obligatoria

Beyer, W., Bolívar, M., Chacón, R., Flores, J., Lameda, A., Orellana, M., Pastor, L., Rivas, S. (2016). MATEMÁTICA Cuatro Módulos, Novena

Reimpresión. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA: Caracas. Disponible en: https://drive.google.com/drive/folders/1LHXgq-2bVFtv6XVjpAN4A-

p9WdhDlbwA?usp=sharing

Módulo Título Código (s)

I Límites y Continuidad de funciones Reales de Variable Real. 178-179

II Derivadas de funciones Reales de Variable Real. 178-179

III Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales. 178-179

IV Aplicaciones de las Funciones a las Ciencias Administrativas. 178

IV Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática 179

Complementaria para los objetivos comunes (178 y 179)

Grossman, S. (1992). Álgebra Lineal con Aplicaciones. México: McGRAW-Hill. Un excelente libro con una gran variedad de problemas. En el capítulo 1 se trata la parte de matrices y sistemas de ecuaciones lineales. En el capítulo 3, los vectores en R2 y R3 y en la sección 5.5 le dedican unas páginas a las isometrías.

Joyner, D., Nakos, G. (1999). Álgebra Lineal con Aplicaciones. México: Internacional Thomson Editores S.A. Este texto contiene al final de cada capítulo problemas resueltos con distintos programas matemáticos para computadora. Se recomienda revisar los capítulos 1, 2, 3 y 5 (secciones 5.0 y 5.1)

Kleiman, A. (1985). Matrices, México: Limusa, Se sugiere revisar los capítulos 2, 3, 4, 5, 6 y 8.

Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (1995). Cálculo y Geometría Analítica. 5ta ed. México: McGRAW-Hill. Para las unidades 1, 2 y 3 revisa el capítulo 1 y la sección 4.5 del capítulo 4. Para las unidades 4 y 5, revisa los capítulos 2 y 3 respectivamente.

Leithold, L. (1998). El Cálculo. 7ma ed. México: Oxford University Press. Este texto tiene una gran variedad de ejercicios. La parte de límite y continuidad la puedes revisar en el capítulo 1. El estudio de las derivadas en el capítulo 3.

Lipschutz, S. (1972). Matemáticas Finitas. México: McGRAW-Hill. Se recomienda el capítulo 10.

Perry, W. (1990). Álgebra Lineal con Aplicaciones. México: McGRAW-Hill Este es otro de los buenos libros sobre los tópicos estudiados en el módulo III, especialmente el capítulo donde se estudian las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales.

Pita C. (1991). Álgebra Lineal. México: McGRAW-Hill. Se recomienda revisar el capítulo 1.

Pita, C. (1998) Cálculo de una Variable. México: Prentice Hall Hispanoamericana.

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Es un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas. Además presenta reseñas históricas al final de cada capítulo. El capítulo 2 trata la parte de límites y el estudio de asíntotas, en la sección 9.4 del capítulo 9. En los capítulos 4, 5 y 6 encontrarás lo referente a la derivada y en los capítulos 7, 8, 9, 10 y 11 encontrarás lo referente a las aplicaciones de la derivada.

Purcel, E., Varberg, D., Rig, S. Cálculo. 8va ed. México: Prentice Hall Hispanoamericana Hall. Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas. Se recomienda revisar el capítulo 2, 3 y 4.

Smith, R. & Minton R. (2000). Cálculo. Tomo 1. Colombia: McGRAW-Hill Interamericana, s.a. Excelente libro, gran variedad de ejemplos y ejercicios. La parte de límite la puedes revisar en el capítulo 1. En la sección 0.3 del capítulo 0 hallarás varios ejemplos donde explican las relaciones entre las funciones y sus gráficas, usando calculadoras graficadoras. La parte de derivadas la puedes revisar en el capítulo 2 y la parte de aplicaciones de la derivada, en el capítulo 3.

Stewart, J (1998) Cálculo. 3ra ed. México: Internacional Thomson Editores. Otro de los buenos libros de cálculo. Tiene gran cantidad de ejercicios e ilustraciones. En los capítulos 2 y 3 puedes revisar la parte de límites y derivadas. En el capítulo 4 puedes revisar la parte de aplicaciones de la derivada.

Swokowski, E. (1988). Cálculo con Geometría Analítica. 2da ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Se recomienda revisar el capítulo 2, 3 y 4.

Thomas, G. B. (1998). Cálculo en una Variable. México: Addison Wesley. En el capítulo 1 puedes revisar la parte de límite y en la sección 3.5 del capítulo 3, el estudio de asíntotas.

Complementaria para los objetivos NO comunes (178)

Arya, Jagdish C. Y Lardner, Robin W. (1992). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. 3ra ed. México: Prentice Hall Hispanoamericana.

Call, S. & Holahan, W. (1985). Microeconomía. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Draper, J. & Klingman, J. (1976). Matemáticas para Administración y Economía, 2da ed, México: Editorial Harla.

Haeussler, E. & Paul, R. (1992). Matemáticas para Administración y Economía. 2ª ed. México: Grupo Editorial Iberoamericana.

Hoffman, L. & Bradley, G. (2001). Cálculo para administración, economía y ciencias sociales.7ª ed. Colombia: McGraw–Hill.

Complementaria para los objetivos NO comunes (179)

Krick, E. (1979). Fundamentos de Ingeniería. Métodos, Conceptos y Resultados. 4ta reimpresión 1991. México. Limusa. Este es un libro de introducción a la ingeniería, en sus diversas facetas. Específicamente el capítulo 11 (pp. 219-240) donde hay modelos conducentes a un proceso de optimización. En estos ejemplos puedes indicar los pasos del “flujograma para la construcción de modelos matemáticos”.

Maza Zavala, Domingo F. & González, Antonio J. (1992). Tratado Moderno de Economía. Caracas: Editorial Panapo. Se sugiere para los que quieran profundizar lo relacionado con la elasticidad de la demanda y de la oferta en sus aspectos económicos, capítulo 7 (pp. 123-137 y pp. 143-144). También contiene, en su último capítulo, una breve referencia al modelo de Leontief (pp. 557-559).

Ross, K. & Wright, C. (1990) Matemáticas Discretas. México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A Este es un libro aprovechable para otros cursos. Las secciones 2.6 (Primeras consideraciones de la inducción, pp. 100-109), 3.4 (Definiciones recursivas, pp. 140-147, saltando los ejemplos 4, 5, y 8 que se pueden dejar para una lectura posterior), 3.5 (Relaciones recursivas, pp. 149-153), son útiles para estudiar lo relacionado con las definiciones por recurrencia y el método de demostración por recurrencia (principio de inducción).

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PLAN DE EVALUACIÓN

ASIGNATURA: MATEMÁTICA II

Código: 178 - 179 Créditos: 5 Lapso: 2019-I Semestre: II

Carreras: Lic. en Matemática, Ingeniería Industrial, Ingeniería de Sistemas, Lic. en Educación: mención Educación Matemática, Contaduría Pública, Administración de Empresas y Administración de Empresas mención Riesgos y Seguros.

Responsable: Chanel Chacón

Evaluador: xxxxx Horario de atención: Lun a Vie (8:30 am a 12:00m) Teléfono: (212)5552080/2081

Correo electrónico: cchacon@una.edu.ve

MODALIDAD OBJETIVOS CONTENIDO

Primera Integral Desarrollo

I.1 al III.2 Unidades Temáticas

I al III

Segunda Integral Desarrollo

I.1 al III.2 Unidades Temáticas

I al III

TRABAJO PRÁCTICO

IV.1 y IV.2 Unidad

Temática IV

U O OBJETIVOS COMUNES DE LAS ASIGNATURAS CÓDIGOS 178 Y 179

I

I.1 Interpretar con sentido riguroso la definición de límite de una función real en un punto, en forma geométrica y formal donde se establezcan algunas propiedades para el cálculo de límites de funciones.

I.2 Demostrar con sentido riguroso cálculos de límites cuando x tiende a infinito, cuando f(x) tiende a infinito o límites indeterminados.

I.3 Realizar con sentido analítico ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones

II II.1 Realizar de manera objetiva problemas aplicando la definición y propiedades de la derivada de primer orden de una función.

II.2 Aplicar con sentido lógico las derivadas de orden superior a problemas de optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de funciones mediante funciones polinómicas.

III III.1 Resolver con sentido analítico problemas que involucren las operaciones con matrices y transformaciones geométricas del plano R

2.

III.2 Aplicar de forma organizada el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.

U O OBJETIVOS NO COMUNES DE LA ASIGNATURA CÓDIGO 178

IV IV.1

Aplicar de manera objetiva y lógica los conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal, elasticidad de la demanda, análisis marginal en la construcción de la gráfica de una función.

IV.2 Aplicar el modelo Input-output en forma analítica para la resolución de problemas.

U O OBJETIVOS NO COMUNES DE LA ASIGNATURA CÓDIGO 179

IV IV.1

Demostrar de forma organizada y rigurosa problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemáticos o proposiciones y teoremas mediante el método de inducción.

IV.2 Aplicar con sentido creativo modelos matemáticos, conceptos relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de ecuaciones lineales a problemas de física, ingeniería o economía.

Objetivo I.1 I.2 I.3 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 IV.2 Peso máximo posible: 9 Criterio de dominio de la asignatura: 6 Peso 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Criterio de Aprobación: 60% (Art. 44, Capítulo IX de la Calificaciones y Niveles de aprobación).

Peso Acumulado 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Calificación 1 3 3 4 5 6 8 9 10

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INSTRUCTIVO DE EVALUACIÓN

Portada del Trabajo Práctico Instrucciones y estructura del Trabajo Práctico

El Trabajo Práctico está conformado por preguntas de desarrollo tanto teóricas como prácticas en las que deberás resolver con sentido creativo y ético problemas aplicando los conceptos y técnicas matemáticas específicas a situaciones relacionadas con el campo profesional. Su desarrollo es de carácter individual y el estudiante podrá ser llamado para la discusión y defensa presencial del mismo.

El enunciado del Trabajo Práctico le será entregado al estudiante junto con la primera evaluación escrita y deberá consignar el Trabajo Práctico desarrollado en su Centro Local dentro de los 5 días continuos siguientes a la fecha de presentación de la primera evaluación escrita. Si el estudiante por alguna causa no retira el mismo, puede hacerlo en el Centro Local, en cualquier momento después de la primera evaluación escrita. Queda entendido que no se alteran los momentos de consignación ante el Centro Local.

El estudiante tendrá una segunda oportunidad para entregar el trabajo en la fecha de presentación de la segunda evaluación escrita, en esta última entrega el estudiante podrá incorporar las correcciones y recomendaciones hechas por su asesor en la corrección de su primera entrega. Queda entendido que las entregas son independientes y estás son responsabilidad del estudiante.

Criterio de corrección: Los objetivos a ser evaluados son independientes y serán considerados logrados si el estudiante responde correctamente, justificando y fundamentando los procedimientos realizados. El Trabajo Práctico deberá contemplar los siguientes aspectos:

Portada. Usar el formato recomendado en este anexo.

Introducción. Hacer un breve preámbulo sobre los objetivos a ser evaluados. La misma no debe excederse de dos páginas.

Desarrollo. Resolver las preguntas asociadas a los objetivos evaluados en el instrumento. Las respuestas debes ser detalladas y justificando debidamente de los procedimientos aplicados, así como los elementos teóricos que sustentan las mismas.

Bibliografía. Aplicar las normas APA para las referencias bibliográficas consultadas.