Mövzu 5 : Ekonometrik modelləşdirmənin baza anlayışları

Plan

1.Ehtimallı eksperiment, hadisə, ehtimal

2.Təsadüfi kəmiyyət

3.Təsadüfi kəmiyyətlərin ədədi xarakteristikaları

4.Təsadüfi kəmiyyətlərin paylanması qanunları

5.Statistikanın baza anlayışları

6.Statistik nəticələr, hipotezlərin yoxlanması

İqtisadi sistemlər səviyyəsində gedən proseslərin heç biri ciddi şəkildə

determinik proses deyil. Bu o deməkdir ki, bu və ya başqa iqtisadi fəaliyyəti həyata

keçirən mütəxəssis son nəticəyə arxayın ola bilməz, çünki bu proseslər təbiətcə

təsadüfi xarakter daşıyırlar. Bunun əsas səbəbini iki faktorla bağlamaq olar:

1.Qərar qəbul edən şəxsin-insanın özünün davranışını əvvəlcədən

proqnozlaşdırmaq mümkün deyil.

2.İqtisadi prosesə çoxsaylı faktorlar təsir göstərir və onlardan bəzilərini insan

nəzarətdə saxlaya bilmir.

Deməli, iqtisadi proseslərdə təsadüfililiyin rolu böyükdür və onları tədqiq

etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsi anlayışlarından istifadə edilməlidir.

Ehtimallı eksperiment dedikdə nəticələrini əvvəlcədən söyləmək mümkün

olmayan eksperiment başa düşülür. İqtisadiyyatda hər bir fəaliyyət məhz ehtimallı

eksperimentdir.

Hadisə dedikdə hər hansı bir ehtimallı eksperimnetin istənilən nəticəsi və

nəticələri məcmuyu başa düşülür.

Verilmiş eksperiment çərçivəsində baş verə və ya baş verməyə bilən hadisəyə

təsadüfi hadisə deyilir.

Daha sadə hadisələrə ayrılışı mümkün olmayan hadisəyə elementar hadisə

deyilir. Bir neçə elementar hadisə şəklində təsvir oluna bilən hadisəyə isə

mürəkkəb hadisə deyəcəyik.

2

Hadisənin ehtimalı –hadisələrin baş verməsi imkanlarına görə onların

müqayisəsi üçün istifadə olunan kəmiyyət ölçüsüdür.

Ehtimalın klassik tərifi aşağıdakı kimidir:

A hadisəsinin P(A) ehtimalı dedikdə - bu hadisənin baş verməsinə şərait yaradan

elementar hadisələrin m sayının həmin ehtimallı eksperiment çərçivəsində baş

verə biləcək bütün n elemantar hadisələrin sayına nisbəti başa düşülür:

n

mAP )(

Bu ifadədən ehtimalı aşağıdakı xassələri doğur:

1. 1)(0 AP

2. Yəqin hadisənin ehtimalı 1-ə bərabərdir: P(A)=1

3. Qeyri mümkün hadisənin ehtimalı sıfıra bərabərdir: P(A)=0

Təsadüfi hadisə anlayışı kəmiyyətcə ifadə oluna bilən müəyyən

kəmiyyətlərin müşahidələrinin təsviri üçün kifayət deyil. Odur ki, təsadüfi hadisə

anlayışı təsadüfi kəmiyyət anlayışı ilə tamamlanmalıdır.

Təsadüfi kəmiyyət dedikdə (TK) müşahidələr nəticəsində əvvəlcədən

məlum olmayan və təsadüfi vəziyyətdən asılı olan və bu və ya digər qiymət alan

kəmiyyət başa düşülür.Təsadüfi kəmiyyətlər diskret və kəsilməz TK-rə bölünür.

Diskret TK-i təsvir etmək üçün TK-in bütün mümkün qiymətləri və

onların ehtimalları arasında uyğunluq yaratmaq lazımdır. Belə uyğunluq diskret

TK-in paylanma qanunu adlanır. Bu qanunu cədvəl şəklində, analitik şəkildə və ya

qrafik şəkildə vermək olar.

X diskret TK-in cədvəl formada verilişində cədvəlin birinci sətirində onun

mümkün qiymətləri (x1, x2..., xn ), ikinci sətirdə isə onların ehtimalları (P1, P2..., Pn)əks

olunur.

X X1 X2 .... Xn

Pi P1 P2 .... Pn

Əsasən nxxx ...21 hesab edilir. 1....21 nPPP olması isə zəruridir.

3

Analitik şəkildə TK ya paylanma funksiyası ilə, ya da ehtimalların sıxlığı ilə

verilir.

X təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası dedikdə elə bir F(x) funksiyası

başa düşülür ki, bu funksiya X TK-in X–dən kiçik qiymət almasını n ehtimalını

müəyyən edir, yəni:

)()( XXPxF

Bu funksiyanın aşağıdakı xassələri vardır:

1. 1)(0 xF

2. )(xF azalmayan funksiyadır , yəni 21 xx olduqda )()( 21 xFxF

3. )(lim xFx

=0 )(lim xFx

=1

4. )()()( aFbFbxaP

5. )(1)( xFxXP

6. Əgər X TK-in mümkün qiymətləri ba; parçasına aiddirsə,

onda

1

0)(xF əgər

bx

ax

Kəsilməz TK –lər üçün onun müəyyən konkret qiymət almasının ehtimalını

müəyyən etmək mümkün deyil.(nöqtəvi ehtimal). Odur ki, kəsilməz TK-i cədvəl

şəklində vermək olmur və əsasən paylanma funksiyasından istifadə olunur.

Praktikada TK-ri məcmu şəkildə təsvir edən ədədlərdən istifadə etmək daha

əlverişli olur. Belə ədədlər TK-in ədədi xarakteristikaları adlanır.Bu

xarakteristikalar içərisində səpələnmə xarakteristikaları (dispersiya, orta kvadratik

uzaqlaşma və riyazi gözləmə)xüsusi yer tutur.

Riyazi gözləmə TK-in orta gözlənilən qiymətini xarakterizə edir, yəni təqribən

onun orta qiymətinə bərabərdir. Bir çox məsələləri həll edən zaman bu kəmiyyəti

bilmək kifayətdir.

M(x) riyazi gözləmə aşağıdakı kimi hesablanır:

4

i

R

i

i XPxM

1

)(

Burada R-X təsadüfi kəmiyyətin bütün mümkün qiymətlərinin sayıdır. Riyazi

gözləməni o hallarda hesablayırlar ki, tədqiq olunan kəmiyyətin mümkün orta

qiymətini hesablamaq lazım gəlsin.

Riyazi gözləmənin xassələri:

CCM )(.1 burada C-sabitdir.

)()()(.3

)()(.2

YMXMYXM

XMCCXM

bxaMbaxM )()(.4

burada a və b sabitlərdir

5.Asılı olmayan TK-lər üçün )()()( YMXMXYM

TK-in davranışını hərtərəfli tədqiq etmək üçün yalnız orta qiymətdən

istifadə kifayət deyil və TK-in mümkün qiymətlərinin onun orta qiymətlərinə

(riyazi gözləməsinə) nəzərən səpələnməsini xarakterizə edəcək ədədi

xarakteristika lazımdır. Belə ədədi xarakteristika olaraq dispersiya çıxış edir.

X TK-in D(X) dispersiyası dedikdə TK-ın onun riyazi gözləməsindən

kənarlaşmasının kvadratının riyazi gözləməsi başa düşülür. Dispersiya aşağıdakı

formula üzrə hesablanır:

)()())(()( 222 XMXMXMXMXD

Diskret TK üçün dispersiya formulası aşağıdakı kimi alınır:

)())(()( 2

1

2

1

2 XMPxPxMxXDR

i

iii

R

i

i

Dispersiyanın xassələri:

1. D(C)=0, burada C sabitdir.

2. D(CX)=C2D(X)

3. )()()( YDXDYXD burada X və Y –asılı olmayan TK-dır.

4. )()( 2 xDabaxD burada a və b –sabitlərdir.

X TK-in (x) orta kvadrat kənarlaşması dedikdə D(x)

dispersiyasının kvadrat kökü başa düşülür

5

)()( xDx

X və Y təsadüfi kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni təsvir etmək üçün

kovariasiyadan ( iki təsadüfi kəmiyyətin xətti asılılığının ölçüsü) və ya

korrelyasiya əmsalından istifadə olunur.

Kovariasiya aşağıdakı formula üzrə hesablanır:

)()()())())((()cov( 1 YMXMXYMYMYXMXMYX

X və Y təsadüfi kəmiyyətlərin korrelyasiya əmsalı dedikdə aşağıdakı

kəmiyyət başa düşülür:

)()( yDxD

xy

yx

xy

xy

X və Y arasında korrelyasiya əmsalı ilə xarakterizə olunan asılılıq

korrelyasiya adlanır. Əgər xy 0 olarsa, onda X və Y korrelyasiya olunmamış

hesab edilirlər. 0xyP olduqda isə X və Y korrelyasiya olunmuş hesab edilir.

Korrelyasiya əmsalının xassələri:

yxxy PP

Pxx

.2

1.1

11.3 xyP

4.Əgər X və Y asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdisə, onda 0xy

5. 1xy şərti yalnız və yalnız o halda ödənir ki, X və Y arasında xətti

funksional asılılıq mövcud olsun.

Əgər X və Y TK-lər asılı kəmiyyətlərdirsə və bir biri ilə korrelyasiya olunurlarsa,

onda onların cəmi və ya fərqinin dispersiyasının hesablanması formulası aşağıdakı

kimi alınacaqdır:

),cov(2)()()( yxyDxDyxD

yxxyyDxDyxD 2)()()(

İndi isə TK-in paylanma qanunlarını nəzərdən keçirək:

TK-lər əsasən müəyyən paylanma qanununa tabe olurlar və ya bu qanunu

kifayət qədər dolğun approksivasiya edirlər. Əgər paylanma qanunu

məlumdursa,onda TK-in bu və ya digər intervala düşməsinin ehtimalını kifayət

qədər dəqiq söyləmək mümkün olur. Ekonometrikada TK-ri təhlil etmək üçün

6

əsasən normal paylanma qanunundan , eləcə də Styudent paylanmasından , )(xiX

kimi oxunur ) kvadrat paylanmasından və Fişer paylanmasından istifadə edilir.

X təsadüfi kəmiyyətin normal paylanması iki parametrlə müəyyən edilir:

m riyazi gözləmə ilə

orta kvadratik uzaqlaşma ilə

Bu paylanma aşağıdakı formula üzrə ifadə edilir:

2

2

2

)(

)(2

1

mx

x ff

Normal paylanma simvolik olaraq X~N(m, ) kimi göstərilir.

Əgər bu ifadədə 1;0 m olarsa, onda U~N(0,1) standartlaşdırılmış normal

paylanma hesab olunur. Bu paylanma üçün

)0()( uUPu

Laplas funsiyasının qiymətləri cədvəli qurulmuşdur. Bu cədvələ

standartlaşdırılmış normal paylanma cədvəli deyilir.

Qeyd edək ki, u>0 olduqda 5,0)()( uuUP olur. U<0 olduqda isə

)(5,0)( uuUP alınır.

Əgər X~N (m, )-dırsa, onda

)()()(

mamb

bxaP

Styudent paylanması (t-paylanma), ıx -kvadrat ( 2x paylanması ) və Fiser

paylanması (F-paylanma ) bir qisim normal təsadüfi kəmiyyətin cəbri

kombinasiyası nəticəsində alınır. Müəyyən şəraitdə real olaraq nəzərdən keçirilən

təsadüfi kəmiyyət və ya onların müəyyən kombinasiyası bu paylanma

qanunlarından birinə tabe ola bilər.

Styudentin və 2x paylanmasının kritik nöqtələri sərbəstlik dərəcələrinin

sayına görə (bu ədəd məsələnin qoyuluşundan məlumdur), və tədqiqatçı tərəfindən

verilən -ehtimalın əhəmiyyətlilik səviyyəsinə görə müəyyən edilir. Fiser

paylanmasının kritik nöqtələri isə 1 və

2 sərbəstlik dərəcələrinin sayına

(məsələnin şərtindən məlumdur) və əhəmiyyətlilik səviyyəsinə görə tapılır.

7

Beləliklə, baxdığımız iki 1 və 2 sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik C

TK-in kritik nöqtədən böyük olmasının ehtimalı -ya bərabərdir.

Bir çox iqtisadi göstəricilər mahiyyətcə çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər olan bir

neçə ədədlə müəyyən edilir. Məsələn əhalinin həyat səviyyəsinin müəyyən

edilməsində adambaşına düşən ÜDM , gəlirlərin bölüşdürülməsi, malların və

xidmətlərin mövcudluluğu , ömürün uzunluğu və s. kimi göstəricilərdən istifadə

edilir.

Bir sıra iqtisadi göstəricilərin qiymətləri digər göstəricilərin qiymətlərini

müəyyən edir. Odur ki, iqtisadi təhlilin əsas vəzifələrindən biri müxtəlif iqtisadi

göstəricilər (faktiki olaraq TK-lər) arasındakı qarşılıqlı əlaqələrin mövcudluğunu

və onun gücünü müəyyən etməkdir.

Buna görə də ekonometrik təhlil aparılan zaman əsas vəzifələrdən biri TK

qarşılıqlı əlaqələrinin tədqiqidir.

n sayda nxxx ,...,, 21 TK-lər yığımının təsviri üçün aşağıdakı anlayışlardan istifadə

edilir.

Birgə ehtimal

),..,.(),( 22,11,...21...21nnnxxx

xxxxxxPxxxPn

Birgə paylanma funksiyası

),...(),( 22,11,...,21 nnn xxxxxxPxxxF

Ehtimalların birgə sıxlığı

n

n

n

nXXX

xxxFxxxf

...,

),(),(

21

,...,21

,...,21

Riyazi statistikanın metodlarını bilmək və onlardan istifadə etmək bacarığı

səmərəli ekonometrik təhlilin zəruri şərtlərindən biri hesab edilir.

Tutaq ki, müəyyən kəmiyyət xarakteristikasına nəzərən bircins

obyektlərin yığımı nəzərdən keçirilir.

Tədqiq olunan X TK –in bütün mümkün qiymətləri çoxluğu baş

məcmu adlanır.Yığımın tədqiqini asanlaşdırmaq üçün onları

formalaşdıran məlumatları müxtəlif formada nizamlayırlar. Bu formalara

misal olaraq artıma görə nizamlamanı, üst-üstə düşən qiymətlərə görə

8

nizamlamanı , intervallara görə nizamlamanı və s. göstərmək olar. Əsasən

bu qiymətləti azalmamaq əlamətinə görə nizamlayırlar: nxxx ...21 . X

TK-in maksimal və minimal qiymətləri arasındakı fərqə yığımın əhatəsi

deyilir.

Tutaq ki, yığımda müxtəlif qiymətlərin sayı )( nRR -ə bərabərdir. Eləcə

də fərz edək ki, nxxx ...21 -dir. ix Rı ,....,2,1 qiymətləri variantlar

adlanır.

İstənilən X TK- üçün aşağıdakı ədədi xarakteristikalar məlum olmalıdır;

riyazi gözləmə

dispersiya

orta kvadratik uzaqlaşma

Tutaq ki, baş məcmumun həcmi N-ə bərabərdir. Onda X TK-in riyazi

gözləməsi baş orta olacaqdır.

N

ı

ir xN

X1

1

X TK-in dispersiyasi olaraq baş dispersiya çıxış edəcəkdir.

2

1

)(1

N

ı

rir xxN

D

Baş dispersiyanın kvadrat kökü baş orta kvadratik uzaqlaşma hesab

ediləcəkdir.

rr D

Beləliklə, baş ədədi xarakteristikaları hesablamaq üçün bütün məcmu tədqiq

edilməlidir. Real şəraitdə əsasən yığımlarla işlənildiyi üçün yuxarıda göstərdiyiniz

baş xarakteristikaların yığım ədədi xarakteristikalarını –yığım ortasını, yığım

dispersiyasını və yığım orta kvadratik kənarlaşmanı müəyyən etmək lazım gəlir.

Yığım ortası dedikdə yığımın müşahidə qiymətlərinin hesabi ortası başa

düşülür.

n

ı

ixn

X1

1 (1)

9

Əgər yığım statistik şəklində verilmişdirsə, onda yığımın ortası aşağıdakı

formula üzrə hesablanır:

R

ı

ii xnn

X1

1 (2)

Baş dispersiyanın qiyməti olaraq yığım dispersiyası çıxış edir.

2

1

)(1

n

ı

Bi xxn

D (3)

(Biz gələcəkdə yazılışı sadələşdirmək üçün Bx -nı x ilə işarə edəcəyik )

Çox zaman D -ni hesablamaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edilir:

222

1

2 )(21

xxxxxxn

D BBi

n

ı

i

(4)

Yığım statistik sıra şəklində verildikdə alırıq:

)(1 2

1

Bi

R

ı

i xxnn

D

(5)

Yığım dispersiyasından alınmış kvadrat kök yığımın orta kvadratik

kənarlaşması adlanır.

222

1

)(1

xxxxnn

D Bi

R

ı

iBB

(6)

Yığımın variasiya əmsalı (V) yığımın orta kvadratik kənarlaşmasının

yığımın ortasına nisbətinin %-lə ifadəsi kimi hesablanır:

%100x

V B (7)

Variasiya əmsalı ölçüsüz kəmiyyət olub, müxtəlif ölçülü iki yığımın

səpələnməsi kəmiyyətini müqayisə etməyə imkan verir.

İki təsadüfi kəmiyyətin əlaqəsinin daha çox istifadə olunan

xarakteristikası olaraq onların xətti asılılığının ölçüsü –kovariasiya və korelyasiya

əmsalı çıxış edir. Onların qiymətləri olaraq Sxy yığım kovarvasiyası və Rxy

yığımın korrelyasiya əmsalı çıxış edir.

yxyxyyxxn

S ii

n

ı

xy

))((1

1

(8)

10

2222)()( yyxx

yxyx

yX

Sr

BB

xy

xy

(9)

Burada ii yxn

yx 1 -dir.

İndi isə statistik qiymətləndirmə və hipotezlərin yoxlanmasına keçək.

Tutaq ki, baş məcmunun müşahidə olunan X TK-in müəyyən bir parametri

qiymətləndirilir. Tutaq ki, baş məcmudan n həcmli nxxx ,...,2,1 yığım ayrılmışdır və

bu yığıma görə parametrinin * qiyməti tapıla bilər.

parametrinin * nöqtəvi qiyməti dedikdə, bu parametrin n həcmli yığıma

görə tapılmış ədədi qiyməti başa düşülür.

Məsələn m riyazi gözləmənin və )(x orta kvadratik uzaqlaşmanın qiymətləri

üçün alırıq:

;1

1

n

i

ixn

xm 2* )(1

xxn

iB

Əgər parametrinin riyazi gözləməsi qiymətləndirilən bu parametrin

özünə bərabərdirsə, yəni M( *)= , onda * qiyməti parametrinin

sürüşdürülməmiş qiyməti adlanır.

İsbat olunub ki,

n

i

ixn

x1

1

Yığım ortası baş məcmunun M(x) riyazi gözləməsinin sürüşdürülməmiş və

əhəmiyyətli qiymətidir.

İsbat edilib ki,

2

1

)(1

B

n

i

iB xxn

D

Yığım dispersiyası üçün

n

nDB

12

olduğundan, bu dispersiya baş dispersiyası kəsirlə (azlıqla) ifadə edir. Odur ki,

D(x) dispersiyasını qiymətləndirmək üçün düzəldilmiş dispersiyadan istifadə

edilir:

11

2

1

2

1

2 )(1

1)(

1

1

1Bii

R

i

B

n

i

iB xxnn

xxn

Dn

nS

S2 düzəldilmiş dispersiya X TK-in D (x) dispersiyasının sürüşdürülməmiş

və əhəmiyyətli qiymətidir.

* nöqtəvi qiymət alındıqdan sonra onun ehtibarlılığı haqqında məlumatlara

malik olmaq lazımdır. Əgər yığımın ölçüsü böyük deyilsə, bu daha vacibdir. Odur

ki, nöqtəvi qiymət interval qiyməti ilə qiymətləndirilən - parametrinin dəqiq

qiymətinin əvvəlcədən verilmiş ehtimalı ilə yerləşdiyi )( 21 intervalı ilə

tamamlanmalıdır. Bu intervalın tapılması interval qiymətləndirilməsi, intervalın

özü isə ehtibarlılıq intervalı adlanır. Bu halda qiymətləndirilən parametrinin

)( 21 intervalına düşməsinin ehtibarlılıq ehtimalı adlanır.

1)( 21P

Ehtibarlılıq intervalının qurulmasının ümumi sxemi aşağıdakı kimidir:

1. ),( xf məlum paylanmalı X TK-in baş məcmundan n həcmli yığım ayrılır və

bu yığıma görə parametrinin * qiyməti tapılır.

2. parametrlə əlaqəli və f (y, ) məlum ehtimal sıxlığına malik olan (y, ) TK

qurulur.

3. əhəmiyyətlilik səviyyəsi verilir.

4. TK-in Y ehtimal sıxlığından istifadə edilərək elə C1 və C2 ədədləri seçilir ki,

1),())((2

121 dyyfCyCP C

c

şərti ödənsin.

C1 və C2 -nin qiymətləri aşağıdakı şərtlərdən seçilir.

2/))(( 1 CyP ; 2/))(( 2 CyP

5. 1C

2)( Cy bərabərsizliyi sətri metodlarla üçün eynigüclü aşağıdakı

bərabərsizliyə transformasiya edilir:

21

(21 , ) məhz üçün ehtibarlılıq intervalıdır.

Ekonometrik modellərin əksəriyyəti çoxsaylı yaxşılaşdırma və dəqiqləşdirmə

tələb edir. Bu məqsədlə bu və ya digər müddəanın ödənib-ödənməməsinin

12

yoxlanması, tapılmış qiymətlərin keyfiyyətinin təhlili, alınmış nəticələrin

həqiqiliyi ilə bağlı müvafiq hesablamalar aparılmalıdır. Bu hesablamalar bir qayda

olaraq hipotezlərin statistik yoxlanması sxemi üzrə aparılır.

Paylanma qanunu və ya məlum paylanmanın parametrləri haqqındakı

hipotezə statistik hipotez deyilir. Birinci halda hipotez qeyri- parametrik, ikinci

halda isə parametrik adlanır.

Yolanmalı olan 0 hipotezi sıfır (əsas) hipotez adlanır. Sıfır hipotenizi ilə

yanaşı həm də 0 hipotezi qəbul olunmadığı halda qəbul ediləcək 1 hipotenizi

yoxlanılır. Bu hipotezə alternativ (rəqabət aparan) hipotez deyilir.

Statistik hipotezanın yoxlanması yığımın məlumatları əsasında aparılır. Bunun

üçün dəqiq və ya təqribi qiyməti məlum olan xüsusi olaraq seçilmiş TK-dən

(statistikadan, kriteriyadan) istifadə edilir. Bu kəmiyyəti aşağıdakı kimi işarə

edirlər:

U (və ya Z) - əgər TK, standartlaşmış normal paylanmaya malikdirsə;

T- əgər TK Styudent qanunu üzrə paylanmışdırsa;

2x - əgər TK 2x qanunu üzrə paylanmışdırsa;

F- əgər TK Fiser paylanmasına malikdirsə.

Beləliklə, sıfır hipotezini yoxlamaq üçün istifadə edilən K təsadüfi kəmiyyət

statistik kriteriya adlanır. Müəyyən bir kriteriya seçildikdən sonra onun bütün

mümkün qiymətləri iki kəsişməyən alt çoxluğu ayrılır: onlardan birinə kriteriyanın

sıfır hipotezinin qəbul edilmədiyi qiymətləri daxil edilir, ikincisinə isə onun qəbul

edildiyi qiymətlər daxil edilir. Birinci alt çoxluğu kritik oblast , ikincisinə isə

hipotezin qəbul edilməsi oblastı deyilir.

Statistik hipotezlərin yoxlanmasının əsas prinsipini aşağıdakı kimi formalaşdırmaq

olar:

Əgər K kriteriyasının yığıma görə hesablanmış müşahidə qiyməti kritik oblasta

daxildirsə, onda 0 hipotezi qəbul olunmur. Əgər K kriteriyasının müşahidə qiyməti

hipotezin qəbul edilməsi oblastına düşürsə, onda 0 hipotezi qəbul edilir.

Kritik oblastla hipotezin qəbulu oblastın bir-birindən ayıran nöqtələrə kritik

nöqtələr deyilir:

13

Hipotezin yoxlanmasının ümumi sxemini tərtib edək:

1. Yoxlanacaq (sıfır–H0) və alternativ (H1) hipotezlərin formalaşdırılması

2. Uyğun əhəmiyyətlilik səviyyəsinin seçilməsi

3. Yığımın n həcminin müəyyən edilməsi

4. H0-i yoxlamaq üçün K kriteriyasının seçilməsi

5. Kritik oblastın və hipotezin qəbulu oblastının müəyyən edilməsi

6. Kriteriyanın Kmüş müşahidə qiymətinin hesablanması

7. Statistik qərarın qəbul edilməsi

Bu sxemi korrelyasiya əmsalının əhəmiyyətliliyi haqqında hipotezin

yoxlanması misalında aydınlaşdıraq.

Ekonometrik təhlilin mühüm elementlərindən biri müxtəlif göstəricilər

arasında əlaqənin olmasının müəyyən edilməsidir. Əsasən təhlili ən sadə- xətti

asılılıqdan başlayırlar. X və Y iki TK arasında əhəmiyyətli xətti asılılığın

mövcudluğunu təyin etmək üçün korrelyasiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyi

haqqında hipotez yoxlanmalıdır. Bu halda aşağıdakı hipotez yoxlanılır:

0:

0:

)1(

1

0

xy

xy

0 -ı yoxlamaq üçün n həcmli (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn) yığımı üzrə

21

2

xy

xy

r

nrT

statistikası qurulur. Burada rxy – yığım üzrə korrelyasiya əmsalı olub,

2222 yyxx

yxyxrxy

formulası üzrə hesablanır.

0 hipotezinin doğru olması halında T statistikası sərbəstlik dərəcələrinin

sayı 2 nv olan Styudent paylanmasına malik olur. Styudent paylanmasının kritik

nöqtələri cədvəlinə əsasən verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsi və (n-2) sərbəstlik

dərəcələrinin sayına görə t /2, n-2 kritik nöqtəni tapırıq.

Əgər

14

2,2/2

1

2

n

xy

xy

müş trv

nrT

olarsa, onda 0 -ı qəbul etməməyə heç bir əsas yoxdur. Əgər

müşT > 2,2/. nt olarsa, 0 hipotezi doğru deyil və alternativ )1(

1 hipotezi qəbul

edilməlidir.

Əgər 0 qəbul edilmirsə, deməli korrelyasiya əmsalı statistik

əhəmiyyətlidir (sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir). Deməli, X və Y

korrelyasiya olunublar, yəni onlar arasında xətti asılılıq vardır.

Mövzu 6. Cüt xətti regressiya.

Plan:

1. İqtisadi dəyişənlərin qarşılıqlı əlaqələri.

2. Regressiya təhlilinin mahiyyəti.

3. Cüt xətti regressiya.

4. Ən kiçik kvadratlar metodu.

15

1. Bütün dövrlərdə iqtisad elminin əsas vəzifələrindən biri iqtisadi inkişafın

mümkün yolları haqqında təsəvvür formalaşdırmaq, bu və ya digər situasiyanı

proqnozlaşdırmaq, iqtisadi göstəricilərin gələcək vəziyyətlərini öncədən görmək,

iqtisadi situasiyanı arzu olunan istiqamətdə dəyişdirməyin mexanizmlərini

müəyyən etmək olmuşdur. Lakin bir çox hallarda müxtəlif iqtisadçılar bu və ya

digər problemi həll etmək üçün fərqli, çox zaman da bir-birinə zidd olan

mexanizmlər təklif edirlər. Qərar qəbul edən şəxs istehsalı idarə etmək üçün bu

mümkün idarəetmə strategiyalarından hər hansı birini seçir və müəyyən nəticələr

əldə edir. Bu nəticənin yaxşı və ya pis nəticə olduğunu, bundan daha yaxşını əldə

etməyiin mümkün olub-olmadığını qiymətləndirmək isə çox çətindir. Belə ki,

iqtisadi situasiya tam dəqiqliklə praktik olaraq heç vaxt təkrarlanmır və eyni şərtlər

daxilində iki fərqli idarəetmə strategiyasını tətbiq etmək və alınan nəticələri

müqayisə etmək mümkün olmur. Odur ki, iqtisadi təhlilin əsas vəzifələrindən biri

bu və ya digər şəraitin yaradılması zamanı müəyyən bir iqtisadi sistemin inkişafını

proqnozlaşdırmaqdır. Yalnız bir yolla tədqiq olunan prosesin daxili hərəkətverici

qüvvələrini dərk etməklə onun inkişafını səmərəli idarə etmək vərdişləri qazanmaq

mümkündür.

İqtisadi sistemin hər bir iqtisadi göstəricisinin davranışı və qiyməti sonsuz

sayda faktorlardan asılıdır və təbii ki, onların hamısını nəzərə almaq

mümkünsüzdür. Buna heç ehtiyac da yoxdur. Çünki, tədqiq olunan iqtisadi

göstəriciyə təsir edən faktorlar içərisində yalnız məhdud bir qisim faktorların təsiri

həqiqətən də əhəmiyyətlidir. Qalan faktorların təsiri o qədər əhəmiyyətsizdir ki,

onların nəzərə alınmaması iqtisadi sistemin davranışında əhəmiyyətli

kənarlaşmalar yaratmayacaqdır. Odur ki, yalnız real olaraq üstünlük təşkil edən

faktorların aşkar edilməsi və onların iqtisadi sistemin modelində əks etdirilməsi

situasiyanın keyfiyyətli təhlili, proqnozlaşdırılması və idarə olunmasının mühüm

şərti hesab edilir.

İqtisadi nəzəriyyə müxtəlif iqtisadi göstəricilər arasında çoxsaylı

qərarlaşmış və stabil əlaqələr aşkar etmiş və tədqiq etmişdir. Məsələn, tələbin və

ya istehlakın məhsullara olan qiymətlərdən və gəlirlərdən asılılığı, işsizliyin

16

səviyyəsi ilə inflyasiya arasındakı asılılıq, istehsalın həcminin istehsal

faktorlarından asılılığı, əmək məhsuldarlığı ilə mexanikləşmə səviyyəsi

arasındakı asılılıq və s. kifayət qədər yaxşı öyrənilmişdir.

Hər bir iqtisadi siyasətin əsasını iqtisadi dəyişənlərin tənzimlənməsi təşkil

edir. Bu siyasət həmin dəyişənlərin bir-birilə necə əlaqəli olduğu haqqında

biliklərə arxalanmalıdır. Qeyd edək ki, bu biliklər qərar qəbul edən siyasətçi və ya

sahibkar üçün həlledici əhəmiyyət kəsb edir. Məsələn, bazar iqtisadiyyatında

inflyasiyanın tempini bilavasitə tənzimləmək mümkün deyil, lakin bu tempə

fiskal (büdcə-vergi) və monetar (kredit-pul) siyasətlərlə təsir göstərmək

mümkündür. Odur ki, həm də pul təklifi və qiymətin səviyyəsi arasındakı asılılıq

tədqiq edilməlidir.

İqtisadi sistemlərə ətraf mühitin qeyri-müəyyənliklərinin təsiri güclü

olduğundan, qərarlaşmış asılılıqlar da müxtəlif şəkildə təzahür edə bilərlər. Az

öyrənilmiş və stabil olmayan asılılıqların təhlili və modellərinin qurulması isə

daha mürəkkəb məsələdir. Lakin bu tip asılılıqların modellərinin qurulması

ekonometrikanın vacib vəzifələrindən biri hesab edilir. Qeyd edək ki, belə iqtisadi

modelləri onlara daxil edilən dəyişənlərin real statistik məlumatlardan istifadə

etməklə statistik təhlilini aparmadan qurmaq, yoxlamaq və təkmilləşdirmək qeyri-

mümkündür. Belə təhlilin instrumentarisi olaraq ekonometrik metodlar, o

cümlədən regressiya və korrelyasiya təhlili çıxış edir. Asılılıqların statistik təhlili

öz-özlüyündə hadisələr arasındakı səbəbiyyət əlaqələrinin mahiyyətini açıqlamır,

daha doğrusu bu təhlil bir dəyişənin digər dəyişənə hansı səbəbdən təsir etdiyini

müəyyən edə bilmir. Bu məsələlərin həlli başqa müstəvidə yerləşir və əlaqələrin

keyfiyyət təhlilini tələb edir. Bu təhlil ya statistik təhlili qabaqlamalı, ya da

onunla paralel aparılmalıdır.

Təbiət elmlərində rast gəlinən asılılıqlar ciddi (funksional) asılılıqlardır,

yəni dəyişənlərdən birinin hər bir qiymətinə digər dəyişənin yeganə qiyməti

uyğun gəlir.

İqtisadi sistemləri xarakterizə edən iqtisadi dəyişənlər arasında isə bu tip

asılılıqlara əsasən rast gəlinmir. Məsələn, gəlirlə istehlak arasında, qiymətlə tələb

17

arasında, əmək məhsuldarlığı ilə əmək stajı arasında ciddi asılılıq mövcud deyil.

Bunun səbəblərini aşağıdakı kimi izah etmək olar:

1) Bir dəyişənin digər dəyişənə təsiri təhlil edilən zaman bu faktora təsir

edən çoxsaylı digər faktorlar nəzərə alınmır;

2) Bu təsir birbaşa xarakterli olmayıb, digər faktorlar vasitəsilə də

dəyişənə təsir edə bilər;

3) Təsirlərin bir çoxu təsadüfi təbiətli olur və s.

Odur ki, iqtisadi sitemlərdə dəyişənlər arasındakı asılılıqlar funksional

deyil, korrelyasiya (və ya statistik) tipli asılılıqlara aid edilir.

Belə asılılıqların aşkar edilməsi, qiymətləndirilməsi və təhlili

asılılıqların riyazi ifadələrinin qurulması və onların parametrlərin

qiymətləndirilməsi ekonometrikanın mühüm bölmələrindən biri hesab

edilir.

Əgər kəmiyyətlərdən birinin dəyişməsi digərinin paylanmasının

dəyişməsinə gətirib çıxardırsa, onda belə asılılığa statistik asılılıq deyəcəyik.

Məsələn, statistik asılılıq özünü dəyişənlərdən birinin dəyişməsi zamanı digər

kəmiyyətin orta qiymətinin dəyişməsinda göstərir. Bu tip statistik asılılığa

korrelyasiya asılılığı deyilir.

2. İqtisadi sistemlərin X və Y iki dəyişəni arasındakı qarşılıqlı əlaqələri

iki variantda nəzərdən keçirmək olar:

1. X və Y dəyişənlərinin hər ikisi bərabərqiymətli hesab edilir, yəni onlar

birinci və ikinci (asılı olmayan və asılı) dəyişənlərə bölünməyiblər.

2. X və Y dəyişənləri arasındakı qarşılıqlı əlaqələr öyrənilən zaman

dəyişənlərdən biri asılı olmayan (izah edici), digəri isə asılı (izah olunan) dəyişən

kimi qəbul edir.

Birinci variantda tədqiqatın əsas məqsədi X və Y dəyişənləri arasında

qarşılıqlı əlaqələrin mövcudluluğunun və gücünün aşkar edilməsidir. Məsələn,

məhsulun qiyməti və ona olan tələbin həcmi arasında, kartof məhsulu ilə buğda

məhsulu arasında, nəqliyyatla hərəkətin intensivliyi ilə qəzaların sayı arasında

qarşılıqlı əlaqənin tədqiqi buna misal ola bilər. Belə dəyişənlər arasındakı xətti

18

asılılığın gücünün tədqiqi bizi əsas ölçüsü korrelyasiya əmsalı olan korelyasiya

təhlili oblastına gətirib çıxardır. Çox ehtimal ki, bu halda əlaqə ümumiyyətlə

istiqamətlənmiş xarakterdə olmayacaqdır. Məsələn kartofun və buğdanın

məhsuldarlığı eyni bir istiqamətdə dəyişsə də aydındır ki, onlardan heç birinə

müəyyənedici dəyişən kimi baxmaq olmaz.

İkinci variantda birinci dəyişən digərinin dəyişməsində səbəb rolunu oynaya

bilər. Məsələn gəlirin artması istehlakın artmasına gətirib çıxardır. Qiymətin

artması isə tələbi azaldır. Faiz dərəcəsinin azalması investisiyaları artırır.

Valyutanın mübadilə kursunun artması xalis ixracın həcmini azaldır və s. Lakin,

izahedici dəyişənin (izahedici dəyişənlər yığımının) hər bir konkret qiymətinə

digər dəyişənin bir deyil, çoxsaylı qiymətlərinin uyğun gəlməsi baxımından belə

asılılıq birqiyməti olmur. Başqa sözlə desək, izahedici dəyişənin (izahedici

dəyişənlər yığımının) hər bir konkret qiymətinə asılı dəyişənin müəyyən ehtimalı

paylanması uyğun gəlir (bu paylanmaya təsadüfi kəmiyyət kimi (TK) baxılır).

Odur ki, asılı olmayan dəyişənin (dəyişənlərin) asılı dəyişənə “orta hesabla” neçə

təsir etdiyi öyrənilir. Bu tip asılılıq

)()/( xfxyM (1)

kimi ifadə edilir və Y in X -ə görə reqressiya funksiyası adlanır. Bu halda X-i

asılı olmayan (izahedici) dəyişən və ya reqressor, Y - isə asılı (izah olunan)

dəyişən adlandırırlar. İki TK-in asılılığı öyrənilən zaman tədqiqat cüt reqressiya

adlanır. Bir neçə dəyişənin

1/( xyM ,2x ,..., nx ) f (

1(x ,2x ,..., nx ) (2)

şəklində funksiya ilə göstərilən asılılığı isə çox reqressiya adlandırılır.

Reqressiya (geriyə hərəkət, əvvəlki vəziyyətə qayıdış) terminini tədqiqat

prosesində ilk dəfə XIX əsrin sonlarında Frensis Qalton gətirmişdir və bu

termindən valideynlərin boyu ilə uşaqların boyu arasındakı asılılığın

öyrənilməsində istifadə etmişdir. Qalton müəyyən etmişdir ki, çox ucaboy

19

valideynlərin uşaqlarının boyu orta hesabla valideynlərin orta boyundan aşağıdır.

Boyu çox balaca olan valideynlərin uşaqlarının orta boyu isə, əksinə yüksək olur.

Həm birici , həm də ikinci halda uşaqların orta boyu həmin regionda adamların

orta boyuna qayıtmağa meylli olur. Regressiya terminin seçilməsi də məhz bu

asılılıqla bağlıdır.

Müasir dövrdə reqressiya dedikdə, izahedici dəyişənlərlə asılı dəyişənin

şərti riyazi gözləməsi (orta qiyməti) arasında mövcud olan və birincilərin qeyd

edilmiş qiymətlərində bu orta qiymətin proqnozlaşdırılması məqsədi ilə

qurulan funksional asılılıq başa düşülür.

Beləliklə, asılı dəyişənin real qiymətləri bütün hallarda onun şərti riyazi

göözləmələri ilə üst-üstə düşmür və izahedici dəyişənin (izahedici dəyişənlər

yığımının) eyni qiymətlərində müxtəlif qiymətlərə malik ola bilərlər. Odur ki,

faktiki asılılıq mahiyyətcə təsadüfi kəmiyyət olan və asılılığın stoxastik təbiətini

əks etdirən 𝜀 toplananı ilə tamamlanmamalıdır. Onda aydındır ki, asılı və

izahedici dəyişən (dəyişənlər) arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi ifadə olunacaqdır:

)/( xyMy (3)

),...,/( 21 mxxxyMy (4)

(3) və (4) ifadələrinə regressiya modelləri (regressiya tənlikləri) deyilir.

Regressiya modellərində 𝜀 təsadüfi kəmiyyətin (kənarlaşmanın) iştirakının

zəruriliyini müxtəlif şəkildə əsaslandırmaq olar. Bu səbəblərdən daha vacibləri

aşağıdakılardır:

1. Reqressiya modelinə bütün izahedici dəyişənlərin daxil edilməməsi

2. Modelin funksional formasının düzgün seçilməməsi

3. Dəyişənlərin agregasiyası

4. Ölçmələrin səhvləri

5. Statistik məlumatların məhdudluğu

6. İnsan faktorunun təsirinin qeyri-müəyyənliyi

Bu səbəbləri daha ətraflı nəzərdən keçirək.

20

Modelə bütün izahedici dəyişənlərin daxil edilməməsinin 𝜀 təsadüfi

faktorun qarşıya çıxmasına səbəb olmasını onunla izah etmək olar ki, hər bir

reqressiya modeli real iqtisadi sistemin sadələşdirilmiş formal riyazi

təsviridir. Real şərait isə bir çox faktorların mürəkkəb qarşılıqlı

əlaqələrindən ibarətdir və onların bir çoxu modeldə öz əksini tapmır.

Nəticədə asılı dəyişənin real qiymətləri model qiymətlərindən fərqlənir.

Msələn, məhsula olan tələb (Q) onun qiyməti (P) əvəzedici məhsulların

qiymətləri ilə (PS), tamamlayıcı məhsulların qiymətləri ilə (PC)

istehlakçıların gəlirləri ilə (S), onların sayı ilə (N), zövqləri ilə (T), istəkləri

ilə (W) və s. ilə müəyyən edilir. Təbii ki, bunlar Q tələbi müəyyən edən

bütün izahedici dəyişənlər deyil və onların hamısını sadalamaq praktik

cəhətdən mümkünsüzdür. Məsələn, biz ənənələri, milli və dini

xüsusiyyətləri, ərzainin coğrafi vəziyyətini, hava şəraitini və bir çox başqa

faktorları nəzərə almadıq. Onların təsiri real müşahidələrin model

müşahidələrindən kənarlaşmasına gətirib çıxaracaqdır. Əgər bu

kənarlaşmaları 𝜀 ilə işarə etsək, onda tələb modeli aşağıdakı şəkil alacaqdır:

),,,,,,,( WTNSPPPfQSCS (5)

Bu halda başqa bir problem də onunla bağlıdır ki, formalaşmış şərtlər

daxilində hansı faktorların həqiqətən də vacib faktorlar olduğunu, hansıları

iş nəzərə almamağın mümkünlüyünü əvvəlcədən müəyyən etmək çətin olur.

Bəzən də müəyyən bir faktoru nəzərə almaq ona görə mümkün olmur ki, bu

faktor üzrə statistik məlumatlar əldə etmək imkanı olmur. Məsələn, ev

təssərrüfatlarının əmanətlərinin kəmiyyəti yalnız onun üzvlərinin gəlirləri

əsasında deyil, həm də onların sağlamlığı əsasında müəyyən edilir. Lakin

fərdlərin sağlamlığı haqqında informasiya sivil ölkələrdə həkim sirri hesab

olunur və açıqlanmır. Bundan başqa bir sıra faktorlar prinsipial olaraq

təsadüfi xarakter daşıyır (məsələn hava şəraiti) və nəticədə modellərin

birqiymətli olmaması daha da artır (məsələn, kənd təsərrüfatı məhsulunun

yığımını əks etdirən model).

21

Modelin funksional formasının düzgün seçilməməsi tədqiq olunan

prosesin zəif öyrənilməsi və ya bu prosesin dəyişkən təbiətli olması ilə

bağlıdır.

Odur ki, bu səbəblər üzündən həmin prosesi modelləşdirən funksiya

səhv seçilə bilər. Bu səhv modelin real şəraitə adekvatlığını aşağı salacaq

və təbii ki, təsadüfi kəmiyyətin qiymətinə təsir edəcəkdir. Məsələn, bir

faktorlu ( x ) istehsal funksiyası ( ) = bxa funksiyası ilə

modelləşdirilə bilər, həqiqətdə isə azalan səmərələlik qanunu nəzərə alan

)10( bxaY b

modeli seçilməli idi. Bundan başqa, izahedici dəyişənlər

də düz seçilməyə bilər.

Dəyişənlərin aqreqasiyasına gəldikdə, qeyd edək ki, bir çox modellərdə

elə faktorlar arasındakı asılılıqlar nəzərdən keçirilir ki, bu faktorların özləri

başqa, daha sadə dəyişənlərin mürəkkəb kombinasiyasından ibarətdir.

Məsələn, əgər asılı dəyişən olaraq məcmu tələb çıxış edirsə, onda elə bir

asılılığın təhlili aparılacaq ki, bu təhlildə izahedici dəyişən olaraq fərdi

tələblərin mürəkkəb kombinasiyası çıxış edəcəkdir. Nəticədə real qiymətlər

model qiymətlərindən fərqlənəcəkdir.

İqtisadi sistemin modeli nə qədər keyfiyyətli olsa da, dəyişənlərin

ölçmələrinin səhvləri hökmən model qiymətlərinin emprik qiymətlərdən

kənarlaşmasında əks olunacaq və bu da təsadüfi kəmiyyətin qiymətinə təsir

göstərəcəkdir.

Statistik məlumatların məhdudluğu modellərin kəsilməz funksiyalarla

ifadə olunması, istifadə olunan informasiya bazasının isə diskret struktura

malik olması ilə bağlıdır. Yəni, bir çox hallarda iqtisadi sistemlərin

modelləri kəsilməz funksiyalarla ifadə edilir. Lakin bu modellərin qurulması

prosesində istifadə olunan məlumatlar toplusu diskret struktura malik olur.

Bu uyğunsuzluq təsadüfi kənarlaşmada öz əksini tapır.

İnsan faktorunun qeyri-müəyyənliyi, daha doğrusu insanın davranışının

nəticəsinin əvvəlcədən birqiymətli müəyyən edilməsinin mümkünsüzlüyü

22

ən keyfiyyətli modeli də “xarab” edə bilər. Doğurdan da modelin formasının

düzgün seçilməsi, izahedici dəyişənlərin diqqətcə seçimi halında da hər bir

fərdin davranışını proqnozlaşdırmaq qeyri-mümkündür.

Beləliklə, təsadüfi kəmiyyət yuxarıda sadaladığımız faktorların və

eyni zamanda bir çox başqa faktorların təsirinin inikasıdır.

Mövcud emprik məlumatlara və tədqiqatın məqsədlərininə cavab

verən keyfiyyətli reqressiya tənliyinin qurulması kifayət qədər mürəkkəb və

çox pilləli prosesdir. Bu prosesi 3 mərhələy ayırmaq olar:

1) Reqressiya tənliyinin formulasının seçilməsi;

2) Seçilmiş tənliyin parametrlərinin müəyyən edilməsi;

3) Tənliyin keyfiyyətinin təhlili və tənliyin emprik məlumatlara

adekvatlığının yoxlanması, tənliyin təkmilləşdirilməsi.

Dəyişənlərin əlaqə formulasının seçilməsi rreqressiya tənliyinin

spesifikasiyası adlanır. Cüt reqressiya halında əlaqə formulasının seçilməsi

korrelyasiya sahəsinə (səpələnmə diaqramı) görə aparlır. Korrelyasiya sahəsi

dedikdə, real statistik məlumatların dekart koordinat sistemində nöqtələr

şəklində qrafiki təsviri başa düşülür. Bu halda hər bir nöqtənin absisi x

izahedici dəyişənin qiymətinə, ordinatı isə y asılı dəyişənin qiymətinə uyğun

gəlir. Aşağıdakı şəkildə bu səpələnmənin 3 situasiyası göstərilmişdir:

23

Şəkil 1. a-da iqtisadi iqtisadi sistemin X və Y dəyişənləri arasındakı

əlaqə xətti əlaqəyə yaxındır və 1 düz xətti emprik nöqtələrə kifayət qədər

yaxşı uyğun gəlir. Odur ki, bu halda X və Y arasındakı asılılıq olaraq

= b0+b1 X xətti funksiyanı seçmək məqsədəuyğundur.

Şəkil 1-6 –də X və Y arasındakı qarşılıqlı əlaqənin qrafiki təsviri

cbXaXy 2 kvadratik funksiyaya (2 xətti) daha yaxındır və bu real asılılığı

əks etdirmək üçün istifadə edəcəyimiz istənilən düz xəttdən (1 xətti) real nöqtələrin

sapmaları daha əhəmiyyətli və qeyri-təsadüfi olacaqdır.

Şəkil 4.C –də isə X və Y arasında aşkar qarşılıqlı əlaqə mövcud deyil.

Hansı əlaqə formasını seçsək də onun spesifikasiyası və parametrizasiyası

(tənliyin əmsallarının müəyyən edilməsi) uğurlu olmayacaqdır.

Məsələn müşahidələr “buludunun” mərkəzindən keçirilmiş və bir-birinə

əks meylə malik 1 və 2 düz xətlərindən heç biri X dəyişəninin qiymətlərinə

görə dəyişənin gözlənilən qiymətləri haqqında nəticəyə gəlmək üçün yararlı

deyil.

Çoxreqressiya halında isə, asılılığın yararlı növü haqqında qərarın

çıxarılması daha mürəkkəb tədqiqatlar aparılmasını tələb edir.

3. Cüt xətti reqressiya.

Əgər reqressiya tənliyi xəttidirsə, onda tədqiqat xətti reqressiya adlanır. Xətti

reqressiya modeli iqtisadi göstəricilər arasındakı asılılıqların çox yayılmış və sadə

tənliyi hesab edilir. Bundan başqa, qurulmuş xətti tənlik ekonometrik təhlilin

başlanğıc nöqtəsi hesab oluna bilər.

Məsələn Keynsin C fərdi istehlakla i mövcud gəlir arasındakı asılılığı

modelləşdimək üçün təklif etdiyi ibCC 0 formulasını bu tip tənlik hesab

etmək olar. Burada 0C - avtonom istehlakın miqdarı )10( bb istehlaka hüdud

meylidir. Lakin konkret məlumatların təhlilində bu modelən istifadə zamanı biz

həmişə müəyyən xəta ilə qarşılaşacağıq. Çünki bu göstəricilər arasında ciddi

funksional asılılıq mövcud deyil. Digər tərəfdən, danılmaz həqiqətdir ki, böyük

24

gəlirə malik insanlar (ev təsərrüfatları) orta hesabla daha böyük istehlaka malik

olurlar.

Yuxarıdakı mülahizələrə əsaslanaraq belə bir qənaətə gəlmək olar ki, xətti

reqressiya (nəzəri xətti reqressiya tənliyi) dedikdə, y asılı dəyişənin )/( ixxyM

şərti riyazi gözləməsi ilə bir izahedici dəyişən- X arasındakı xətti funksiya başa

düşülür.

ii xxxyM 10)/( (5)

Qeyd edək ki, bu halda tənliyin 0 və 1 parametrlərinə görə xəttiliyi

prinsipial hesab edilir.

y -in hər bir iy fərdi qiymətinin müvafiq şərti riyazi gözləmədən kənarlaşması

faktını əks etdirmək üçün (5) ifadəsinə i təsadüfi toplanana daxil edilməlidir:

iiiii xxxyMy 10)/( (6)

(6) ifadəsi nəzəri xətti reqressiya modeli adlanır; 10 , - reqressiyanın nəzəri

parametrləri (nəzəri əmsalları), i - təsadüfi kənarlaşmadır.

Deməli, iy fərdi qiymətlər iki komponentin- ( ix10 ) sistematik

komponentin və i -təsadüfi komponentin cəmi kimi müəyyən edilir. Nəzəri xətti

reqressiya modeli ümumi şəkildə aşağıdakı kimi ifadə edilir.

xy 10 (7)

Reqressiyanın nəzəri əmsallarının qiymətlərini müəyyən etmək üçün baş

yığımın X və Y dəyişənlərinin bütün qiymətlərini bilmək və istifadə etmək

zəruridir. Bunu etmək isə praktik baxımdan mümkünsüzdür.

Beləliklə, xətti reqressiya təhlilin əsas vəzifəsi X və Y dəyişənlərinin mövcud

);( ii yx ni ,...2,1 statistik məlumatlarına görə aşağıdakılara nail olmaqdır:

a) 0 və 1 məchul parametrlərin ən yaxşı qiymətlərini əldə etmək;

b) modelin parametrləri haqqında statistik fərziyələri yoxlamaq;

c) modelin statistik məlumatlarla kifayət qədər yaxşı uzlaşıb-

uzlaşmadığını (modelin müşahidə məlumatlarına adekvatlığını)

yoxlamaq.

25

Deməli, məhdud həcmli seçimə görə biz empirik reqressiya tənliyi

adlandırılan aşağıdakı tənliyi qura bilərik:

ixbby 10 (8)

burada )/( ixxyMy şərti riyazi gözləmənin qiyməti və 0b və 1b - 0 və

1

naməlum parametrlərin qiymətləridir (bu qiymətləri emprik reqressiya əmsalları

deyilir) Deməli, konkret halda (8) ifadəsini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

ii exbby 10 (9)

burada ie - i nəzəri təsadüfi kənarlaşmanın qiymətidir.

Baş yığım və seçmə üçün statistik bazanın üst-üstə düşməməsi ilə əlaqədar

olaraq 0b və 1b qiymətləri praktik olaraq həmişə 0 və

1 əmsallarının həqiqi

qiymətlərindən fərqlənir. Nəticədə reqressiyanın emprik və nəzəri xətləri üst-üstə

düşmür. Eyni bir baş yığımdan götürülmüş müxtəlif seçmələr üçün bir-birindən

fərqlənən qiymətlər alınır. Nəzəri və emprik reqressiya tənliklərinin arasında

mümkün nisbət aşağıdakı şəkildə əks olunmuşdur:

Qarşıya konkret );( ii yx , ni ,...2,1 seçməyə ğörə 0 və 1 məchul

parametrlər üçün elə 0b və 1b qiymətlərinin tapılması məsələsi çıxır ki, qurulmuş

reqressiya xətti müəyyən mənada bütün digər düz xətlər içərisində ən yaxşısı

olsun. Başqa sözlə desək, qurulmuş xbby 10 düz xətti müşahidə nöqtələri

0 𝑥1 𝑥𝑛 X

Y

𝑒1

𝜀1

𝜀𝑖𝑒𝑛

𝑒𝑖

𝜀𝑛

𝑀(𝑌𝑋⁄ ) = 𝛽0 + 𝛽1𝑋

𝑌

= ��0 + 𝑏1𝑋

𝑥𝑖

26

çoxluğuna nəzərən “ən yaxın” xətt olmalıdır. Tapılmış qiymətlərin keyfiyyət

ölçüsü olaraq

e i, ni ,...2,1 kənarlaşmalarının müəyyən komprozisiyaları çıxış edir. Məsələn,

emprik tənliyinin 0b və 1b əmsallarının qiymətlərini aşağıdakı cəmlərdən bizim

minimumlaşdırmaqla tapmaq olar:

1)

n

i

n

i

n

i

iiiii xbbyyye1 1 1

10 )()ˆ(

2)

n

i

n

i

n

i

iiiii xbbyyye1 1 1

10ˆ

3)

n

i

n

i

n

i

iiiii xbbyyye1 1 1

2

10

22)()ˆ(

Birinci cəm tapılmış qiymətlərin keyfiyyət ölçüsü ola biməz, çünki

n

i

ie1

0 şərtini ödəyən sonsuz sayda düz xətt(o cümlədən yy ) mövcuddur.

Əmsalların qiymətlərinin hesablanması üçün tətbiq edilən ikinci metod ən kiçik

modullar metodu adlanır.

Reqressiya tənliyinin əmsallarını qiymətləndirmək üçün ən çox tətbiq edilən

və nəzəri cəhətdən əsaslandırılmış metod üçüncü cəmin minimumlaşdırılması

metodudur. Bu metod ən kiçik kvadratlar metodu adlanır. ƏKKM hesablanma

mexanizmi baxımından ən sadə metod olmaqla bərabər, həm də bu metodla

tapılmış əmsalların qiymətləri bir sıra optimal xassələrə malik olurlar.

4. Tutaq ki, nıyx ii ,...,2,1),( seçimi üzrə (8) empirik reqressiya tənliyinin a və

b qiymətlərini tapmaq tələb olunur. (şəkil 4)

27

Şəkil 4.

Bu halda ƏKKM –dan istifadə etsək, aşağıdakı funksiya

minimumlaşdırılır:

Q (b0, b1)= 2

10

1

2

1

2)()ˆ( ii

n

i

ii

n

i

i xbbyyye

(10)

Asanlıqla görmək olar ki, Q funksiyası iki parametrin - 0b və 1b

parametrlərinin kvadratik funksiyasıdır (Q=Q 10 ,bb ), çünki ii yx , müşahidələrin

məlum verilənləridir. Q funksiyası kəsilməz, qabarıq və aşağıdan məhdud olduğu

üçün (Q0) onun minimumu mövcuddur.

İki dəyişənin Q 10 ,bb

n

i

ii xbby1

2

10 funksiyasının minimumunun mövcud

olması üçün zəruri şərt onun 0b və 1b məchul parametrər üzrə məxsusi törəmələrinin

sifira bərabər olmasıdır. Sonrakı formulalarda i 1-dən n-ə qədər dəyişdiyini qəbul

edərək -ri indekssiz yazacağıq.

02

02

10

1

10

0

ii

ii

xbbyb

Q

xbbyb

Q

(11)

2

10

10

iiii

ii

xbxbyx

xbnby (12)

𝑥1 𝑥2𝑥3 𝑥4 𝑥5 … 𝑥𝑛 𝑋

Y

0

𝑒1

𝑒3

𝑒2

𝑒4

𝑒5

…

.

𝑒𝑛

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋

28

(12) sisteminin hər iki tənliyini n-ə bölərək, alırıq:

xbyb

xx

yxyxb

yxxbxb

yxbb

10

221

2

10

10 (13)

Burada ixn

x1

, 22 1

ixn

x , iyn

y1

, ii yxn

yx 1

.

Beləliklə , ƏKKM-u ilə b0 və b1 parametrlərinin qiymətləri (13) ifadəsinə

görə hesablanır.

Qeyd edək ki, 1b -in qiymətini aşağıdakı kimi də hesablamaq olar:

221

x

xy

i

ii

S

S

xx

yyxxb

(14)

Onda :

x

y

xy

x

y

yx

xy

x

xy

S

Sr

S

S

SS

S

S

Sb

21 (15)

Burada xyr -seçmə korrelyasiya əmsalıdır. yx SS , -standart kənarlaşmalardır.

Beləliklə, reqressiya əmsalı kovariasiyaya və korrelyasiya əmsalına

proporsionaldır.

Beləliklə, xyr - korrelyasiya əmsalı artıq hesablanmışdırsa, onda ifadəsinə görə

cüt reqressiyanın , 1b əmsalını tapmaq mümkündür.

Əgər y-in x-ə görə reqressiya tənliyindən başqa ( xbby x 0ˆ ), eyni empirik

məlumatlar üçün həm də x-in y-ə görə reqressiya tənliyi ( ybcx y 0ˆ )

tapılmışdırsa, onda xb və yb əmsallarının hasili 2

xyr -nı verəcəkdir.

22 yy

yxyxby

(17)

ybxc y0

Yuxarıdakı mülahizələrə əsasən aşağıdakı nəticələrə gəlmək olar:

1. ƏKKM-un qiymətləri seçimin funksiyaları olduğundan, onları asan

hesablamaq olur;

2. ƏKKM-un qiymətləri nəzəri reqressiya əmsallarının nöqtəvi qiymətləridir.

29

3. (12) münasibətinin ikinci formulasına görə empirik düz xətti yx,

nöqtəsindən keçir.

4. Empirik reqressiya tənliyi elə qurulub ki, ie kənarlaşmaların cəmi, eləcə

də kənarlaşmanın e orta qiyməti sıfıra bərabər olur.

Doğrudan da, 11 ifadəsində 02 10 ii xbby formulasından

001

002 een

ee iii alınır.

5. ie təsadüfi kənarlaşmalar Y asılı dəyişənin müşahidə edilən iy qiymətləri

ilə korrelyasiya olunmayıb.

Bu fərziyəni təsdiq etmək üçün y və e arasındakı kovariasiyanın

sıfıra bərabər olduğunu göstərək. Doğrudan da:

iiiiiyx eyyn

eeyyn

S )(1

)()(1

0 ii eyy olduğunu göstərək . (9) istifadənin bütün asılılıqlarını

)1( uii üzrə cəmləsək alarıq:

iiii xbnbexbnby 1010 0( ie

olduğundan)

Axırıncı asılılığı n-ə bölsək alaraq:

xbby 10

Bu asılılıqı (9) ifadəsindən çıxsaq aşağıdakı formulanı alarıq:

iii exxbyy )(1 (18)

Onda:

0)()(

))(()()(

22

1

22

1

22

11

111

xxbxxbxxbyyxxb

xxbyyxxbexxbeyy

iiiiii

iiiiiii

Deməli, 0yes

6. ie təsadüfi kənarlaşmalar X sərbəst dəyişənin ix müşahidə qiymətləri ilə

korrelyasiya olunmayıb.

30

Doğrudan da, (11) sisteminin ikinci formulasına görə 0yes alınır.

Reqressiya tənliyinin qurulması istənilən halda müəyyən

interpretasiyanın və təhlilin aparılmasını tələb edir. İnterpretasiya ona görə

zəruridir ki, alınmış nəticələri əmsaların izahı ilə təsvir etmək və bununla da

qurulmuş asılılığı ekonometrika üzrə mütəxəssis olmayan şəxsə başa salmaq

mümkün olsun. Fərz edək ki, istehlakın həcmi ilə ailənin gəliri arasındakı

əlaqə öyrənilir və xy 9339,0699,3ˆ reqressiya tənliyi qurulmuşdur. Onda 1b

əmsalı istehlaka hüdud meyli kimi izah ediləcəkdir. Bu əmsal onu göstərir

ki, əgər ailənin gəliri bir vahid artarsa, onda istehlakın həcmi 0,9339 şərti

vahid artacaqdır. Qrafikdə 1b əmsalı reqressiya düz xəttinin absis oxunun

müsbət istiqamətinə meyl bucağının tangensinin müəyyən etdiyindən, bu

əmsala bəzən bucaq əmsalı da deyilir.

Reqressiya tənliyinin 0b sərbəst həddi ailənin malik olduğu X gəlirin

0-a bərabər olması halında Y-in proqnozlaşdırılan qiymətini əks etdirir

(daha doğrusu avtonom istehlakı). Lakin burada müəyyən ehtiyatlılıq

lazımdır. Bu halda izahedici dəyişənin müşahidə qiymətlərinin ordinat

oxundan (asılı dəyişən) nə qədər aralı qalması çox vacidir. Çunki, yığım

üçün reqressiya tənliyinin uğurlu seçilməsiu halında da heç kim təminat verə

bilməz ki, uzaqda da bu seçim uğurlu olaraq qalacaqdır. Bizim misalda

699,30 b -dur. Deməli, reqressiya tənliyinə görə gəlir 0-a bərabər olduqda

istehlaka məsrəflər orta hesabla 3,699 şərti vahid təşkil edəcəkdir. Ayrıca

götürülmüş bir ailə üçün bunu izah etmək olar (ailə öz ehtiyatlarından və ya

aldığı borcdan istifadə edə bilər), lakin ailələr yığımı üçün bunun mənası

olmayacaqdır. Lakin istənilən halda 0b əmsalı reqressiya düz xəttinin ordinat

oxu ilə kəsişməsi nöqtəsini göstərir və reqressiya xəttinin y oxu boyunca

sürüşməsini əks etdirir.

0b və 1b empirik reqressiya əmsalları 0 və

1 nəzəri əmsalların

yalnız qiymətləridir, tənliyin özü isə baxılan dəyişənlərin davranışındakı

ümumi meyli əks etdirir. Dəyişənlərin fərdi qiymətləri bir çox səbəbdən

31

onların model qiymətlərində fərqlənə bilər. Bu kənarlaşmaları biz ie ilə işarə

etmişik. Bu kənarlaşmalar baş yığım üçün i kənarlaşmaların qiymətləri

rolunu oynayır.

Bununla belə, müəyyən şəraitdə reqressiya tənliyi iqtisadi sistemlərin

təhlili və proqnozlaşdırılmasının əvəzolunmaz və keyfiyyətli vasitəsi kimi

çıxış edir.

Odur ki, nəticələrin müvafiq interpretasiyasından sonra qiymətlərin və

bütövlükdə reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin təhlili mühüm əhəmiyyət

kəsb edir.

32

Mövzu 7. Reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin yoxlanması

Plan

1. Ən kiçik kvadratlar metodunun şərtləri. Qaus-Markov teoremi

2. Reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətlərinin təyin edilməsinin

dəqiqliyinin təhlili

3.Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarına aid hipotezaların yoxlanması

4.Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətləri

5.Asılı dəyişən üçün ehtibarlılıq intervalları

6.Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması .R2 determinasiya əmsalı.

1. Reqressiya təhlili reqressiya əmsallarının qiymətlərini müəyyən etməyə imkan

verir. Lakin onlar yalnız qiymətlərdir və təbii ki, empirik reqressiya tənliyinin

bütün baş məcmu üçün tənliyə nə dərəcədə uyğun gəldiyini, 0b və 1b əmsallarının

özlərinin, 0 və 1 nəzəri prototiplərinə nə dərəcədə yaxın olduğunu , iy

qiymətininin )/( ixxyM şərti riyazi gözləməyə nə dərəcədə yaxın olduğunu ,

tapılmış qiymətlərin nə qədər ehtibarlı olduğunu qiymətləndirməyə imkan vermir.

Bu suallara cavab vermək üçün əlavə tədqiqatlar aparılmalıdır. Nəzəri xətti

reqressiyasının ifadəsinə görə yi –nin qiyməti xi –nin qiymətindən və i təsadüfi

kənarlaşmadan asılıdır. Deməli, y dəyişəni i ilə bir başa əlaqəli olan təsadüfi

kəmiyyətdir. Bu isə o deməkdir ki, i -nin ehtimallı davranışında yəqinlik

olmadan , biz qiymətlərin keyfiyyətində əminlik hiss edə bilmərik. Doğrudan da,

isbat edilir ki, reqressiya əmsallarının qiymətləri reqressiya tənliyində təsadüfi

həddən asılı olan təsadüfi kəmiyyətdir.

Tutaq ki, cüt xətti reqressiyanın aşağıdakı modeli verilmişdir:

y= 0 +1 x+ (1)

Fərz edək ki, n sayda müşahidədən ibarət yığıma görə

xbby 10ˆ (2)

33

reqressiyası qiymətləndirilir.

Məlumdur ki, 1b əmsalı

21

x

xy

S

Sb (3)

kimi təyin edilir və təbii ki, təsadüfi kəmiyyətdir. Doğrudan da, Sxy seçmə

kovariasiyanın qiyməti x və y –in hansı qiymətlər alacağından asılıldır.

Əgər iX qiyməti məlum olan ekzogen parametr kimi qəbul etsək , onda y-

in qiyməti i təsadüfi həddən asılı olacaqdır. Onda alırıq:

21

x

xy

S

Sb =

21

x

x

s

s (4)

burada 1 -sabit kəmiyyət olub, reqressiya əmsalının həqiqi qiymətini əks

etdirir. 2

x

xe

s

S- isə təsadüfi komponentdir. 0b əmsalı üçün də analoji nəticəni

əldə etmək olar.

Beləliklə, göstərdik ki, reqressiya əmsallarının xassələri və deməli,

qurulmuş reqressiyanın keyfiyyəti təsadüfi həddin xassələrindən əhəmiyyətli

dərəcədə asılıdır. İsbat edilir ki, ƏKKM –n ilə ən yaxşı nəticələrin alınması

üçün təsadüfi kənarlaşmalar üzrə bir sıra şərtlər ödənməlidir. ƏKKM-nun

şərtləri olan bu şərtlərə bəzən Qaus –Morkov şərtləri də deyilir.

10 . i təsadüfi kənarlaşmanın riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir.

Yəni bütün müşahidələr üçün M( i )=0 dır.

Bu şərt onu göstərir ki, təsadüfi kənarlaşmalar orta hesabla asılı

dəyişənə təsir göstərmirlər. Hər bir konkret halda təsadüfi kəmiyyət ya

müsbət, ya da mənfi ola bilər, lakin bu təsadüfi kəmiyyət sistematik

sürüşməyə malik olmamalıdır.

20 . i təsadüfi kənarlaşmaların dispresiyası sabitdir:

Yəni i və j –un istənilən müşahidələri üçün D( i )=D( j )= 2

34

Bu şərt onu göstərir ki, hər bir konkret müşahidə zamanı təsadüfi

kənarlaşmalar ya böyük , ya da kiçik ola bilər. Yəni, böyük səhvi

(kənarlaşmanı) yaradan aprior səbəb olmamalıdır.

Bu şərtin ödənməsi heteroskedastiklik (kənarlaşmaların

dispressiyasının sabitliyi), onun ödənməməsi isə heteroskedastiklik

adlanır.(Kənarlaşmaların dispresiyasının qeyri-sabitliyi).

)()(M )D( 22

iiii eMM olduğundan, bu şərti aşağıdakı kimi də

ifadə etmək olar:

)( 2

ieM = 2

30 . Bütün ji üçün i və j təsadüfi kənarlaşmalar bir-birindən

asılı deyillər.

Bu şərtin ödənməsi o deməkdir ki, istənilən təsadüfi kənarlaşmalar arasında

sistematik əlaqə mövcud deyil. Başqa sözlə desək, istənilən təsadüfi kənarlaşmanın

kəmiyyəti və işarəsi hər hansı bir başqa kənarlaşmanın kəmiyyəti və işarəsinin

səbəbi ola bilməz.

Əgər bu şərt ödənirsə, onda belə hesab edilir ki, avtokorrelyasiya mövcud

deyil, 10 şərtinin ödənməsi şərti ilə bu şərti aşağıdakı kimi göstərmək olar:

0)( jiM ( ji )

40 .Təsadüfi kənarlaşmalar izah edici dəyişənlərdən asılı olmamalıdırlar.

Modeldə izah edici dəyişənlər təsadüfi kəmiyyətlər olmadığı halda, bu şərt

əsasən avtomatik ödənir.

50 . Model parametrlərinə nəzərən xətti modeldir.

Qaus-Morkov teoremi: Əgər 10-50 şərtləri ödənirsə, onda ƏKKM ilə alınan

qiymətlər aşağıdakı xassələrə malik olurlar:

1. Qiymətlər sürüşdürülməmiş olurlar, yəni ;00 bM 11 bM . Bu xassə

0ieM -dan doğur və reqressiya xəttinin müəyyən edilməsində

sistematik səhvin olmasından xəbər verir.

2. Qiymətlər əsaslıdırlar, yəni müşahidələrin n sayının artması zamanı

parametrlərin qiymətlərinin dispersiyası sıfıra yaxınlaşır:

35

0)(,0 10 nn

bDbD. Başqa sözlə, yığımın həcmi artdıqda,

qiymətlərin ehtibarlılığı artır ( 0b əmsalı 0 ,1b əmsalı isə

1 -ə yaxın olur )

3. Qiymətlər effektivdir, yəni onlar iy kəmiyyətinə görə xətti olan bu

parametrlərin istənilən başqa qiymətləri ilə müqayisədə ən kiçik

dispersiyaya malikdirlər.

İngilis dilli ədəbiyyatlardan tərcümədə bu əmsallar - ən yaxşı xətti

sürüşdürülməmiş qiymətlər adını almışdır (BLUE).

Əgər 20 və 30 şərtləri pozulmuşdursa, yəni kənaraşmaların dispersiyası

sabit deyil və (və ya) ji ee , qiymətləri bir biri ilə bağlıdırsa, onda

sürüşdürülməmişlik və əsaslılıq xassələri saxlanılır, effektivlik xassəsi isə

itir.

Qaus-Markov teoremi ilə müəyyən edilən şərtlərin ödənilməsi ilə yanaşı ,

klassik xətti reqressiya modellərinin qurulması zamanı bəzi əlavə şərtlər də

qoyulur. Məsələn:

İzahedici dəyişənlər təsadüfi kəmiyyətlər deyil;

Təsadüfi kənarlaşmalar normal paylanmaya malikdirlər;

Müşahidələrin sayı izahedici dəyişənlərin sayından əhəmiyyətli

dərəcədə çoxdur;

Spesifikasiyanın səhvləri mövcud deyil;

Kamil multikolenarlıq mövcud deyil.

2. Reqressiya əmsallarının qiymətlərinin təyin edilməsinin dəqiqliyinin

təhlili.

Yığıma elementlərin təsadüfi seçilməsi ilə əlaqədar olaraq nəzəri reqressiya

tənliyinin 0 və 1 əmsallarının 0b və

1b qiymətləri də təsadüfi kəmiyyətər olurlar.

Onların riyazi gözəməlri i kənarlaşmalrı haqqında şərtlər ödəndikdə uyğun olaraq

00 bbM və 11 bbM olur. Bu halda həmin qiymətlərin 0 və 1 ətrafında

səpələnəsi nə qədər az olarsa, daha doğrusu qiymətlərin 0bD və 1bD

dispersiyaları nə qədər az olarsa, onlar bir o qədər ehtibarlı olur. Alınan

36

qiymətlərin ehtibarlılığı i təsadüfi kənarlaşmaların dispersiyası ilə sıx bağlıdır.

Faktiki olaraq, )( iD y dəyişənin reqressiya xəttinə nəzərən )/( ixxyD

dispersiyası dır (y-in x-in təsirindən təmizlənmiş dispersiyası). Əgər ölçmələri

bərabər dəqiqli götürsək, onda belə hesab edə bilərik ki, bütün bu dispersiyalar bir-

birinə bərabərdir (20 şərti):

22)( yD i

Reqressiya tənliyinin əmsallarının 0bD və 1bD dispersiyalarının i təsadüfi

kənarlaşmaların 2 dispersiyası ilə əlaqəsi formulalarını tərtib edək. Bunun üçün

0b və 1b əmsallarının hesablanması formulalarını y-in qiymətinə nəzərən xətti

funksiyalar şəklində təsvir edək:

22221xx

yxx

xx

yxx

xx

yxx

xx

yyxxb

i

ii

i

i

i

ii

i

ii ; çünki 0 xxi -

dır.

Əgər

2xx

xxc

i

ii əvəzləməsi qəbul etsək, alarıq:

ii ycb1 (5)

0b üçün analoji olaraq alırıq:

iiii

iyxc

nxyc

n

yxbyb

110

xcn

d ii 1

əvəzləməsi daxil etsək, alarıq:

Fərz edirik ki, ii ydb0 (6)

Onda aydındır ki, ic və id -yə müəyyən sabit kəmiyyətlər kimi baxmaq olar.

Deməli:

2

2

1 )(xx

bDi

(7)

2

22

0 )(xxn

xbD

i

i (8)

(7) və (8) ifadəsinə görə aşağıdakı nəticələr gəlmək olar:

37

0b və 1b dispersiyaları 2 təsadüfi kənarlaşmanın dispersiyasına düz

mütənasibdir. Deməli, təsadüfilik faktoru nə qədər böyük olarsa,

qiymətlər bir o qədər az dəqiq olacaqdır.

Müşahidələrin n sayı nə qədər böyük olarsa, qiymətlərin dispersiyası

bir o qədər az olacaqdır. Bu tamailə məntiqidir, çünki müşahidələrin

sayı çox olduqca, daha dəqiq qiymətlərin alınması ehtimalı artır.

İzahedici dəyişənin dispersiyası 2

xxi nə qədər böyük olarsa,

əmsalların qiymətlərinin dispersiyası bir o qədər az olacaqdır. Başqa

sözlə, izahedici dəyişənin dəyişməsi oblastı nə qədər əhatəli olarsa,

qiymətlər bir o qədər dəqiq olaacq (onların təyin edilməsində

təsadüfiliyin payı bir o qədər az olacaq) .

Yığıma görə i təsadüfi kənarlaşmaları təyin etmək mümkün olmadığından,

reqressiya əmsallarının qiymətlərinin ehtibarlılığının təhlilində onlar y dəyişənin

yi qiymətlərinin reqressiyanın qiymətləndirmə xəttindən iiii xbbye 0

kənarlaşmalrı ilə əvəz edilir. Təsadüfi kənarlaşnmaların 2 iD dispersiyası

onun

22

12

2

0

2

n

exbby

nS

i

iii (9)

Sürüşdürülməmiş qiyməti ilə əvəz olunur.

Onda alırıq:

2

2

1

2

1xx

SbSbD

i

(10)

2

1

2

2

22

0

2

0 b

i

iSx

xxn

xSbSbD

(11)

2

2

2

n

eS

i izah edilməmiş dispersiyadır (asılı dəyişənin reqressiya xətti boyunca

səpələnməsinin ölçüsü). Qeyd eək ki, izah edilməmiş dispersiyanın

2

22

n

eS i (12)

38

Kvadrat kökü qiymətləndirmənin standart səhvi adlanır (reqressiyanın standart

səhvi).

2

0

2

0 bb SS və 2

1

2

1 bb SS isə 0b və 1b təsadüfi kəmiyyətlərin standart

kənarlaşmaları olub, reqressiya əmsallarının standart səhvləri adlanır.

3.Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətlərinin tapılmasına aid

hipotezaların yoxlanması.

Empirik reqressiya tənliyi sonlu sayda statistik məlumatların bazasında

müəyyən edilir. Odur ki, bu tənliyin əmsalları bir yığımdan digər yığıma dəyişən

təsadüfi kəmiyyətlər olur. Statistik təhlil zamanı tədqiqatçının qarşısına çıxan

zərurətlərdən biri də reqressiyanın 0b və 1b empirik əmsallarını bu əmsalların

nəzəri cəhətdən gözlənilən müəyyən 0 və 1 qiymətləri ilə müqayisə etməkdir.

Bu təhlil hipotezaların ststistik yoxlanması sxemi üzrə aparılır.

110 bH

111 bH

hipotezalarını yoxlamaq üçün (13)

1

11

bS

Bbt

statistikasından istifadə edilir. H0 hipotezası həqiqi olduqda bu statistika

2 nv (burada n – yığımın həcmidir) sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik

Styudent paylanmasına malikdir. Deməli,

2;21

11

ntS

bTmüş

b

(14)

şərti ödənirsə, bu kriteriyaya görə H0:b1 = 1 hipoterası rədd edilir.

Burada - tələb edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsidir.(13) şərti ödənmədikdə

isə belə hesab edilir ki, H0 hipotezasını rədd etmək üçün əsas yoxdur.

Qurulmuş reqressiya modelinin statistik təhlilinin başlanğıc mərhələsində

Y və X arasında xətti asılılığın mövcudluluğunun aşkar edilməsi mühüm

vəzifə hesab edilir. Bu problemi də həmin sxem üzrə həll etmək olar:

H0:b1 =0

39

H1:b1 0

Hipotezanın bu şəkildə qoyuluşuna çox zaman reqressiya tənliyinin

əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyi haqqında hipoteza deyilir. Əgər

bu halda H0 qəbul edilirsə, onda Y kəmiyyətinin X-dan asılı olmadığını qəbul

etməyə əlimizdə əsas olacaqdır. Onda deyirlər ki, b1 əmsalı statistik

əhəmiyyətsizdir (sıfıra çox yaxındır). H0 rədd edildikdə b1 əmsalı

əhəmiyyətli hesab edilir və bu, Y və X arasında müəyyən xətti asılılığın

olmasına işarədir. Bu halda ikitərəfli kritik oblast nəzərdən keçirilir, çünki

doğrusu əsası odur ki, reqressiya əmsalı sıfırdan fərqli olsun və o həm müsbət,

həm də mənfi ola bilər.

Bu halda 1 =0 qəbul edildiyindən, b1 qiymətləndirici əmsalın

əhəmiyyətliliyi formal olaraq onun kəmiyyətinin bu əmsalın 2

1bbi SS

Standart səhvinə nisbəti kimi yoxlanılır. Modelin itkin şərtləri ödənikdə bu

kəsr 2 nv , harada ki n-in müşahidələrin sayıdır, sərbəstlik dərəcələrinin

sayına malik Stydent paylanmasına malik olacaqdır. Bu nisbət–statistika

adlanır:

2

1

1

1

1

bb S

b

S

bt (15)

t-statistika üçün onun sıfıra bərabər olması haqqında sıfır hipotezası

yoxlanılır. Aydındır ki, t=0 olması 01 b olması deməkdir, çünki t 1b -ə

proporsionaldır. Faktiki olaraq bu, X və Y arasında xətti asılılığın olmaması

deməkdir.

Analoji sxem əsasında t-statistikaya görə 0b əmsalının statistik

əhəmiyyətliliyi haqqında hipotez yoxlanılır:

2

0

0

0

0bb S

b

S

bt (16)

Cüt reqressiya üçün 1b əmsalının statistik əhəmiyyətliliyinin təhlili daha

vacib hesab edilir, çünki izahedici X dəyişənin sərbəst Y dəyişəninə təsiri

məhz bu əmsalda cəmləşib.

40

İlk mərhələdə xətti reqressiya əmsalının əhəmiyyətliliyinin

qiymətləndirilməsində cədvəldən istifadə etmədən “kobud qayda” adlandırılan

aşağıdakı qaydadan istifadə edilir.

Əgər əmsalın standart səhvi onun modulundan böyükdürsə ( 1bSib və ya

1t ) onda əmsalı əhəmiyyətli hesab etmək olmaz, çünki ikitərəfli alternativ

hipotez şəraitində ehtibarılılıq ehtimalı 0,7-dən kiçikdir.

Əgər 21 t olarsa, onda nəzərdən keçirilən əmsal nisbi (zəif)

əhəmiyyətli hesab edilir. Bu halda ehtibarlılıq ehtimalı 0,7 iə 0,95 arasında

yerləşir.

Əgər 32 t olarsa, onda deməli, X və Y arasında əsaslı xətti asılılıq

mövcuddur. Bu halda etibarlılıq intervalı 0,95 ilə 0,99 arasındadır.

Nəhayət, əgər 3t olarsa, onda yəginliklə demək olar ki, göstəricilər

arasında xətti asılılıq mövcuddur.

Təbii ki, hər bir konkret halda müşahidələrin sayı rol oynayır. Onların sayı

nə qədər çox olarsa, bütün digər şərtlər dəyişməz qaldıqda əmsalların

əhəmiyyətliliyi haqqında verilmiş qərar bir o qədər etibarlı olur. Lakin 10n

olduqda “kobud qayda” prinsipi bir qayda olaraq həmişə işləyir.

4. Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətləri.

Məlum olduğu kim, ƏKKM-un baza şərtləri i kənarlaşmasının sıfır riyazi

gözləməli və sabit dispersiyalı, yəni normal paylanması haqqında

mülahizədir, yəni 2,0 yNei . Bu müddəanın təbiiliyi ehtimal

nəzəriyyəsindən yaxşı məlum olan mərkəzi hüdud teoremi ilə bağlıdır. Bu

teorem aşağıdakı kimidir:

Əgər TK çoxsayı təsadüfi kəmiyyətlərin cəmindən ibarətdirsə və onların

hər birinin bütün cəmə təsiri əhəmiyyətsiz dərəcədə azdırsa, onda baxılan TK

normala yaxın paylanmaya malik olur.

Lakin i təsadüfi kəmiyyətlər məhz modelə daxil edilməmiş dəyişənlərin

sərbəst dəyişənə təsirini əks etdirir. Belə dəyişənlərin sayı bir qayda olaraq

çox olur və onların fərdi təsirləri kifayət qədər kiçikdir (əks halda onları

41

modelə daxil etmək lazım gələrdi). Deməli, təsadüfi kənarlaşmaları

öyrənərkən biz praktik olaraq MHT-nin şərtləri daxilinə düşürük. Deməli,

i ( ni ,1 ) normal paylanmaya malikdir . .)(,0)( 22 dııM ii

Bu, nəinki xətti reqressiya tənliyinin 0 və 1 əmsallarının ən yaxşı 0b və

1b

sürüşdürülməmiş qiymətlərini tapmağa imkan verir, həm də onlar üçün

interval qiymətləri tapmağa imkan verir. Bu qiymətlər isə bizə müəyyən

dəqiqlik təminatı verəcəkdir.

Yuxarıda verdiyimiz şərtlər belə bir qənaətə gəlməyə əsas verir ki, 0b və

1b təsadüfi kəmiyyətlər normal paylanmağa malikdirlər. Doğrudan da,

məlumdur ki, normal paylanmış TK-in xətti kombinasiyası normal paylanmış

təsadüfi kəmiyyətdir. Lakin, ii yeb 1 və ii ydb 0 olduğu üçün 0b və

1b yi –nin xətti kombinasiyalarıdır . Digər tərəfdən, iii xy 10

formulasına görə iy i -nin xətti kombinasiyasıdır. (Fərz edirik ki, 0 , 1 və

x konstentlar və ya təsadüfi olmayan kəmiyyətlərdir.) Onda1b və 0b i -nin

normal paylanmaya malik xətti funksiyalarıdır. Deməli, 1b və 0b da normal

paylanmışdır.

Məlumdur ki, M( 0b )= 0 , M(1b )=

1 -dir.

D(1b )

2

22

)(1 xx

SS

i

b

2

22

2

0)(

)(0 xxn

xSSbD

i

i

b , burada S2=2

2

n

ei -dir

Digər tərəfdən,

)( 0

00

0bS

btb

;

)(1

11

1bS

btb

statistikaları v=n-2 sərbəstlik dərəcələri saylı Styudent paylanmasına

malikdirlər. Sonra, 00)1(100 -li ehtibarlılıq intervallarını müəyyən etmək

üçün Stydent paylanması cədvəlindən 1 ehtibarlılıq intervalı və v

sərbəstlik dərəcələrinin sayı üçün

42

1)(2;

2n

ttP

2;

2n

t şərtini ödəyən kritik qiymət tapılır. 0bt və

1bt -in qiymətlərini bu

ifadədə yerinə qoysaq və mötərizədəki ifadələri çevirsək, onda 0 və 1

parametrlərini ( 1 ) etibarlılıqla əhatə edən aşağıdakı etibarlılıq

intervallarını alarıq:

)();( 0

2,2

002,

2

0 bStbbStbnn

)();( 1

2,2

112,

2

1 bStbbStbnn

Bu intervallar 0 və 1 nəzəri reqressiya əmsallarının axtarılan qiymətlərini

( 1 ) etibarlılıqla əhatə edir.

5.Asılı dəyişən üçün etibarlılıq intervalları.

Ekonometrik modelləşdirmənin həll etdiyi məsələlər içərisində izahedici

dəyişənlərin müəyyən qiymətlərində asılı dəyişənin qiymətlərinin

müəyyən edilməsi (proqnozlaşdırılması) xüsusi yer tutur. Bu məsələyə iki

mövqedən yanaşmaq olar:

1. İzahedici dəyişənlərinin müəyyən qiymətlərində asılı dəyişənin şərti

riyazi gözləməsini müəyyən etmək (orta qiymətin tapılması)

2. Asılı dəyişənin müəyyən bir konkret qiymətini proqnozlaşdırmaq

(konkret qiymətin müəyyən edilməsi)

1-ci yanaşma. Fərz edək ki, xbby 10ˆ cüt reqressiya tənliyi

qurulmuşdur və bu tənliyə görə y asılı dəyişənin pxx üçün

)/( pxxyM şərti riyazi gözləməsini müəyyən etmək lazımdır. Onda

qarşıya belə bir sual çıxır: Empirik reqressiya tənliyinə görə

hesablanmış py model üzrə orta qiymət müvafiq riyazi gözləmədən nə

qədər kənarlaşa bilər? Bu suala cavab vermək üçün izahedici dəyişənin

istənilən px konkret qiyməti üçün verilmiş 1 dayanıqlı interval

43

qiymətləri müəyyən edilməlidir. Bu halda biz belə hesab edəcəyik ki,

py təsadüfi kəmiyyət konkret parametrli normal paylanmaya malikdir.

pp xxXYM 10)/( üçün etibarlılıq intervalları aşağıdakı kimi

müəyyən edilir:

2

2

2,2

102

2

2,2

10

1;

1

xx

xx

nStxbb

xx

xx

nStxbb

i

p

np

i

p

np

pp yxxyMH )/(:0

pp yxxyMH )/(:1

hipotezalarını yoxlamaq üçün Stydent paylanmasına və 2 nv

sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik aşağıdakı statistikadan istifadə

edilir:

2

2

1

)/(

xx

xx

nS

yxxyMT

i

p

pp

Əgər 2,

2

n

müş tT olarsa, onda 0H hipotezası rədd edilir.

2-ci yanaşma.Praktik həyatda y-in orta qiyməti və ya şərti riyazi

gözləmə üçün etibarlılıq intervallarını bilməkdənsə, onun dispersiyasını

bilmək daha vacib olur. Çünki, bu halda y-in konkret qiyməti üçün

mümkün sərhədləri müəyyən etmək olur.

Tutaq ki, bizi x izahedici dəyişənin müəyyən px qiymətində, y

dəyişənin müəyyən mümkün 0y qiyməti maraqlandırır. pxx üçün

reqressiya tənliyinə görə y-in gözlənilən qiyməti py -dir. Onda

2

2

2,2

10

11

xx

xx

nStxbb

i

p

np

44

İntervalı pxx olduqda 100 %-dən çox olmayan nöqtələrin kənara

çıxdığı sərhədləri müəyyən edəcəkdir. Qeyd edək ki, bu interval şərti riyazı

gözləmə üçün etibarlılıq intervalından daha genişdir.

Qurulmuş intervalların təhlili göstərir ki, xx p olduqda bu

intervallar daha ensizdir. px -nin orta qiymətdən uzaqlaşması ilə etibarlılıq

intervalları genişlənir. Odur ki, alınmış nəticələri proqnoz oblastına kifayət

qədər ehtiyatla ekstropolyasiya etmək lazımdır. Digər tərəfdən, müşahidələrin

n sayı artıqda bu intervallar reqressiya xəttinə tərəf daralır.

6.Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması. R2 determinasiya

əmsalı.

Reqressiyanın hər bir əmsalının əhəmiyyətliliyi yoxlandıqdan sonra

reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyəti yoxlanılır. Daha doğrusu empirik

reqressiya tənliyinin statistik məlumatlarla nə dərəcədə yaxşı uzlaşdığı

aşkar edilir. Nəticə etibarı ilə bu müşahidə nöqtələrinin reqressiya xəttinə

nəzərən nə dərəcədə geniş səpələndiyini aşkar etmək deməkdir. Təbii ki,

əgər bütün nöqtələr qurulmuş reqressiya xəttinin üstündədirsə, onda y-in

x-ə görə reqressiyası asılı dəyişənin davranışını “ideal” şəkildə izah edir.

Real həyatda bu vəziyyətə praktik olaraq rast gəlinmir. Real həyatda y-in

davranışı yanız qismən x dəyişəninin təsiri ilə izah edilir. Dəyişənlər

arasında mümkün münasibətərin qrafiki interpretasiyası Venn diaqramı

adlanır.

a -ya görə x y-ə heç bir təsir göstərmir. Hər sonrakı şəkildə x-in y-ə

təsiri artır. Sonuncu şəkildə isə y-in qiyməti bütünlüklə x-in qiymətinə

görə təyin edilir.

Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin məcmu ölçüsü (reqressiya

tənliyinin statistik məlumatlara uyğun gəlməsi) olaraq R2 determinasiya

əmsal çıxış edir. Cüt reqressiya üçün determinasiya əmsalı korrelyasiya

əmsalının kvadratı ilə üst-üstə düşür. Ümumi halda isə, determinasiya

əmsalı aşağıdakı kimi hesablanır:

45

(17)

Determinasiya əmsalının mahiyyətini izah edək:

Tutaq ki, empirik reqressiya tənliyi aşağıdakı şəkildədir:

xbby 10ˆ

Onda, yi-nin ni ,...,2,1 müşahidə olunan (real) qiymətləri iy model

qiymətlərindən ie kəmiyyəti qədər fərqlənəcəkdir:

iii eyy ˆ

Bu ifadəni aşağıdakı kimi yazaq:

iiii yyyyyy ˆˆ (18)

və ya

iii ekyy

Burada )( yyi - i-ci nöqtənin Y asılı dəyişənin y orta qiymətindən

kənarlaşmasıdır; ik - i-ci nöqtənin reqressiya xəttində y -dan

kənarlaşmasıdır; ie - i ci nöqtənin iy model qiymətindən kənarlaşmasıdır.

Bütün kənarlaşmalar asılı dəyişənin oxu üzrə hesablanır.

(1) Ifadəsinin hər iki mtərəfini kvadrata yüksəldək və alınmış nəticələri yığımın

həcminə görə cəmləyək:

222))ˆ((2)ˆ( iiiii eeyyyyyy

Asanlıqla göstərmək olar ki, ))ˆ(( 2

ii eyy =0 –dır. Onda alırıq:

22222)ˆ( iiiii ekeyyyy

(19)

Burada 2

yyi -kvadratların ümumi (tam) cəmi olub, Y asılı

dəyişənin y -a nəzərən ümumi səpələnməsinin ölçüsü kimi izah oluna

bilər.

2

ik - kvadratların izah olunmuş cəmi olub, reqressiya vasitəsi

ilə izah olunan səpələnməsinin ölçüsü kimi izah olunur.

2

2

2 1yy

eR

i

i

46

)ˆ(2

iii yye - kvadratların qalıq (izah olunmamış) cəmi olub,

səpələnmənin reqressiya tənliyi vasitəsi ilə izah olunmayan qalıq

hissəsinin ölçüsüdür.

(19) ifadəsini onun sol tərəfinə bölsək, alarıq:

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

yy

e

yy

k

yy

e

yy

k

i

i

i

i

i

i

i

i

Əgər

2

2

2

Ryy

k

i

i

əvəzləməsi daxil etsək alarıq:

2

2

2 1yy

eR

i

i

Deməli, R2 determinasiya əmsalı asılı dəyişənin y-in x-ə görə

dispersiyası ilə izah olunan çəpələnməsinin payını əks etdirir.

2

2

yy

e

i

isə asılı dəyişənin y-in x-ə görə dispersiyası ilə izah

olunmamış səpələnməsinin payını müəyyən edir.

Yuxarıdakı izahlardan belə bir qənaətə gəlmək olar ki, ümumi

halda determinasiya əmsalı üçün 10 2 R şərti ödənir.

Əgər X və Y kəmiyyətləri arasında əhəmiyyətli xətti asılılıq

varsa, onda 2

ie 2

yyi -dan əhəmiyyətli dərəcədə azdır.

Doğrudan da, ƏKKM-u elə bir düz xətti tapmağa imkan verir ki, həmin

xətt üçün min2 ie olur, yY düz xətti isə xbby 10 şərtinin

ödəndiyi mümkün xətlərdən biridir. Odur ki, (19) ifadəsində 1-dən

çıxılan kəsrin surətinin qiyməti onun məxrəcinin qiymətindən

əhəmiyyətli dərəcədə azdır (əks halda ƏKKM-u ilə seçilən reqressiya

xətti yY düz xətti olardı). Deməli, bu halda R2 determinasiya

əmsalının qiyməti 1-ə yaxındır. Beləliklə, R2 determinasiya əmsalı y

47

asılı dəyişənin davranışını izah etmək üçün tapılmış reqressiya düz

xəttinin yY üfüqi xəttlərə nəzərən hansı səviyyədə daha yaxşı nəticə

verdiyini müəyyən etməyin ölçüsü kimi çıxış edir.

Deməli, X və Y arasındakı xətti asılılıq nə qədər sıx olarsa, R2-ın

qiyməti 1-ə bir o qədər yaxın olur. Əlaqə nə qədər zəif olarsa, R2 bir o

qədər sıfıra yaxın olacaqdır.

Lakin R2-ın böyük qiymətini mütəqləşdirmək olmaz. Çünki,

tədqiq edilən hər iki x və y kəmiyyətləri onların səbəb-əlaqə asılılığı ilə

bağlı olmayan zamana görə trendə malik olmaları üznüdən də

determinasiya əmsalı 1-ə yaxın ola bilər. İqtisadiyyatda həcmlə bağlı

göstəricilərdə (ÜMM, ÜDM, gəlir, istehlak) əsasən belə trendlərə rast

gəlinir. Templə bağlı və nisbi göstəricilərdə isə (artım tempi,

məhsuldarlıq, faiz dərəcəsi) heç də həmişə trend olmur. Odur ki, zaman

sıralarına görə reqressiya əsasında həcm göstəricilərinin (məsələn,

istehlakın gəlirdən və ya tələbin qiymətindən asılılığı) qiymətləndirən

zaman R2 kəmiyyəti 1-ə çox yaxın ola bilər. Lakin bu, heç də həmişə

tədqiq olunan göstəricilər arasında əhəmiyyətli xətti asılılığın

olmasından xəbər vermir və asılı dəyişənin davranışının yy tənliyi

ilə ifadə olunmanın mümkünsüzlüyündən də xəbər verə bilər.

Əgər reqressiya tənliyi zamanı sıralarına görə deyil, kəsişən

məlumatlara görə qurulursa, onda bu halda R2 –ın qiyməti 0,6-0,7-ni

aşmır. Zaman sıralarında aşkar trend olmadıqda da bu sıralara görə

tapılmış reqressiya üçün də R2 –ın qiyməti analoji alınır (işsizliyə görə

inflyasiyanın tempi, resurs məsrəfinin artım tempinə görə məhsul

buraxılışının artım tempi və s.).

Qarşıya belə bir sual çıxır: R2 hansı qiymətini kafi hesab etmək

olar?

Bütün hallar üçün R2 kafiliyi (statistik əhəmiyyətliliyi) sərhədlərini

dəqiq göstərmək mümkün deyil. Yığımın həcminə, izahedici

dəyişənlərin sayına, trendlərin mövcudluğuna və məzmun

48

interpretasiyasına diqqət yetirmək lazımdır. R2 mənfi də ola bilər. Bu

hal əsasən sərbəst həddi olmayan jj xby xətti reqressiya tənlikləri

üçün rast gəlirik ƏKKM-u əsasında belə tənliyi qiymətləndirən zaman

biz yalnız koordinat başlanğıcından keçən düz xətləri (hipermüstəviləri)

nəzərdən keçirməliyik. R2 –nın qiyməti yalnız o halda mənfi alınır ki,

asılı dəyişənin qiymətinin yy xətti boyunca səpələnməsi koordinat

başlanğıcından keçən istənilən düz xəttlə müqayisədə azdır. R2 <0

olması onu göstərir ki, ii Xby tənliyinə sərbəst hədd əlavə

olunmalıdır ( xbbYi 10 ).

49

Mövzu 8. Çox xətti reqressiya

Plan

1. Reqressiya tənliyinin parametrlərinin müəyyən edilməsi.

2. Çox xətti reqressiyanın əmsallarının hesablanması.

3. Əmsalların dispersiyaları və standart səhvləri.

4. Nəzəri reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətləri.

5. Çox xətti reqressiyanın empirik tənliyinin keyfiyyətinin təhlili.

6. Reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyinin

qiymətləndirilməsi.

7. Reqressiya tənlyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması.

8. ƏKKM-u şərtərinin ödənməsinin yoxlanması. Darbin-Uatson statistikası.

İqtisadi sistemin istənilən göstəricisinə bir deyil, bir neçə amil təsir göstərir.

Məsələn, müəyyən bir nemətə olan tələb yalnız bu nemətin qiyməti ilə deyil, həm

də əvəzedici, tamamlayıcı nemətlərin qiymətləri ilə, istehlakçıların gəlirləri ilə və

bir çox başqa amillərə müəyyən edilir. Bu halda xfxyM )/( cüt reqressiyadan

fərqli olaraq

),...,,(),...,,/( 2121 mm xxxfxxxyM

çox reqressiya nəzərdən keçirilir.

y və mxxx ,...,, 21 dəyişənlərinin qarşılıqlı əlaqəliyinin qiymətləndirilməsi

məsələsi cüt reqressiya halında olduğu kimi qoyulur. Çox reqressiyanın tənliyi

aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər.

),( XfY

burada, ),...,,( 21 mxxxX -asılı olmayan (izahedici) dəyişənlər vektorudur.

-parametrlər vektorudur (onlar təyin edilməlidir)

-təsadüfi səhvdir (kənarlaşma)

y -asılı (izaholunan) dəyişəndir.

50

Fərz edilir ki, baxılan baş yığım üçün məhz f funksiyası tədqiq edilən y

dəyişənini x sərbəst dəyişənlər vektoru ilə bağlayır.

Çox reqressiya modelləri içərisində ən sadə və daha çox tətbiq olunan model

xətti çox reqressiya modelidir.

Nəzəri xətti çox reqressiya modeli aşağıdakı kimi yazılır:

mm xxxy ....22110 (1)

i -nin fərdi müşahidələri üçün ),...,2,1( mi (1) modeli aşağıdakı şəkil alır:

immiiii xxxy ....22110 (2)

burada , ),...,,( 10 m - məchul parametrlərin )1( m ölçülü vektorudur.

j , ),...,2,1( mj reqressiyanın j -ci nəzəri əmsalı adlanır (hissəli reqressiya

əmsalı). Bu əmsal y kəmiyyətinin jx -in dəyişməsinə həssaslığını əks etdirir.

Başqa sözlə bu əmsal modelin bütün digər izahedici dəyişənləri dəyişməz qaldıqda

jx -izahedici dəyişənin y asılı dəyişənin ),...,,/( 21 nxxxyM şərti riyazi gözləməsinə

təsirini əks etdirir. 0 sərbəst hədd olub, bütün jx -izahedici dəyişənlərin qiymətləri

0-a bərabər olduqda y -in qiymətini müəyyən edir.

Model olaraq xətti funksiya seçildikdən sonra reqressiyanın parametrlərini

qiymətləndirmək lazımdır. Fərz edək ki, ),...,,( 21 mxxxx -izahedici faktorlar

vektorunun və y asılı dəyişəninin müşahidəsi vardır:

),,...,,( 21 iimii yxxx , ),...,2,1( ni

m ,...,, 22 parametrlərinin tapılması məsələsini (daha doğrusu ən yaxşı

vektorunun tapılması məsələsini) birqiymətli həll etmək üçün 1mn

bərabərsizliyi ödənməlidir. Əgər bu bərabərsizlik ödənmirsə, onda sonsuz sayda

müxtəlif parametrlər vektorları üçün x və y arasındakı xətti əlaqə formulası

mövcud müşahidələrə tam dəqiqliklə uyğun gələcəkdir. Əgər 1mn olarsa, onda

vektorunun əmsallarının qiymətləri yalnız bir yolla - 1m xətti tənlikdən ibarət

immiii xxxy ....22110 )1,...,2,1( ni

tənliklər sistemini həll etməklə tapılır.

51

Məsələn, 22110 xxy reqressiya tənliyinin parametrlərinin

qiymətlərini birqiymətli şəkildə müəyyən etmək üçün 3 müşahidədən ibarət

),,,( 321 iiii yxxx 3,2,1i yığımına malik olmaq kifayətdir. Lakin bu halda 321 ,,

parametrlərinin tapılmış qiymətləri üçölçülü fəzada elə bir 22110 xxy

müstəvisini müəyyən edəcəkdir ki, bu müstəvi mövcud üç nöqtədən keçsin. Digər

tərəfdən, yığımda olan üç müşahidəyə bir müşahidənin əlavə edilməsi elə bir hala

gətirib çıxaracaqdır ki, ),,,( 4434214 yxxx dördüncü nöqtə qurulmuş müstəvidən

kənarda (ola bilər ki, kifayət qədər uzaqda) yerləşəcəkdir. Odur ki, parametrləri

yenidən qiymətləndirmək lazım gələcəkdir. Beləliklə, normal məntiqə görə

aşağıdakı nəticə alınır:

Əgər müşahidələrin sayı minimal zəruri səviyyədən azdırsa, yəni

1mn şərti ödənmirsə, onda bütün müşahidələri ödəyən xətti forma seçmək

artıq mümkün deyil və optimallaşdırmaya zərurət yaranır. Yəni m ,...,, 21,0

parametrləri üçün elə qiymətlər tapılmalıdır ki, bu qiymətlərdə reqressiya tənliyi

mövcud müşahidələr üçün ən yaxşı yaxınlaşmanı təmin etsin.

Bu halda 1 mnv ədədi sərbəstlik dərəcələrinin sayı adlanır.Əgər

sərbəstlik dərəcələrinin sayı böyük deyilsə, onda qiymətləndirilən formulanın

statistik etibarlılığı yüksək deyil. Məsələn üç müşahidə üzrə dəqiq nəticənin

alınması ehtimalı 30 müşahidə ilə müqayisədə əhəmiyyətli dərəcədə azdır. Belə

hesab edilir ki, çox xətti reqressiyanın qiymətləndirilməsi zamanı statistik

etibarlılığı təmin etmək üçün müşahidələrin sayı qiymətləndirilən parametrlərin

sayından ən azı 3 dəfə çox olmalıdır.

Xətti çoxreqressiya modelinin parametrlərini qiymətləndirmək üçün ən çox

tətbiq olunan metod ƏKKM-dur. Əvvəl qeyd etdiyimiz kimi, bu metodun əsasını

y asılı dəyişəninin müşahidə qiymətlərinin onların reqressiya tənliyinə görə alınan

y dəyişənindən kənarlaşmalarının kvadratları cəminin minimumlaşdırılması

təşkil edir.

52

Reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətlərinin tapılması alqoritminin

təsvirinə keçməzdən əvvəl ƏKKM –u üçün məqsədəuyğun olan şərtləri yada

salaq.

10. i təsadüfi kənarlaşmanın riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir: 0)( iM

(bütün müşahidələr üçün)

20. Homoskedostiklik (kənarlaşmaların dispersiyalarının sabitliyi);

2)()( ji DD , bütün i və j müşahidələri üçün

30. Avtokorrelyasiya mövcud deyil .

i və j təsadüfi kənarlaşmalar bütün jı üçün bir-birindən asılı

deyil.

ji

jieeY jieiej

,

,0),cov(

2

40. Təsadüfi kənarlaşmalar izahedici dəyişənlərdən asılı olmamalıdır.

0ixi

50. Model parametrlərinə nəzərən xəttidir.

Xətti çox reqressiya halı üçün daha iki şərtin ödənməsi vacibdir:

60. Multikollenarlığın olmaması.

İzahedici amillər arasında ciddi (güclü) xətti asılılıq mövcud deyil.

70. i səhvləri normal paylanmaya malikdirlər )),0(~( Ni

Bu şərtin ödənməsi statistik hipotezaların yoxlanması və interval

qiymətlərinin hesablanması üçün vacibdir.

Cüt reqressiyada olduğu kimi, çox reqressiyada da yığıma görə j

parametrlərinin həqiqi qiymətlərini almaq mümkün deyil. Bu halda (1) nəzəri

reqressiya tənliyi əvəzinə empirik reqressiya tənliyi qiymətləndirilir. Bu tənliyi

aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

exbxbxbby mm ...22110 (2)

53

burada b0,b1,b2...., bm – reqressiya əmsallarının 0 ,1 ,..., m nəzəri

kəmiyyətlərinin qiymətləridir, daha doğrusu, empirik reqressiya əmsallarıdır.

e kənarlaşmasının qiymətidir.Fərdi müşahidələr üçün yaza bilərik:

iimmii exbxbby ...110 (3)

Qiymətləndirmə tənliyi ilk növbədə Y asılı dəyişənin qiymətinin

dəyişməsinin ümumi trendini (istiqamətini) təsvir etməlidir. Bu zaman bu

trenddən kənarlaşmaları hesablamaq imkanı mövcud olmalıdır.

n həcmli nixxx inii ,...,2,1),,...,,( 21 yığımdan məlumatlarına əsasən

vektorunun j parametrlərinin qiymətlərini tapmaq, daha doğrusu seçilmiş

modelin parametrləşdirilməsini aparmaq lazımdır (burada imjxji ,...2,1, -ci

müşahidədə jx dəyişənin qiymətidir).

ƏKKM-nin i səhvlərinə nəzərən şərtləri ödəndikdə çox xətti reqressiyanın

m ,...,, 21 parametrlərinin ƏKKM-u ilə tapılmış mbbb ,....,, 21 qiymətləri

sürüşdürülməmiş, səmərəli və əsaslı hesab edilir (BLUE qiymətləri).

(3) ifadəsinə görə y -asılı dəyişənin iy qiymətinin iy model qiymətindən ie

kənarlaşması aşağıdakı kimi hesablanır:

immiii xbxbbye ...110 (4)

Onda ƏKKM-u ilə mbbb ,....,, 21 əmsallarının qiymətlərini tapmaq üçün

aşağıdakı funksiya minimumlaşdırılır.

2

1 1

0

1

2

n

i

m

j

ijji

n

i

i xbbyeQ (5)

(5) funksiyası mjb j ,...1,0, məchul kəmiyyətlərə nəzərən kvadratik

funksiyadır. Q aşağıdan məhduddur, deməli minimumu vardır. Q funksiyasının

minimumunun zəruri şərti onun jb üzrə bütün məxsusi törəmələrinin sıfıra bərabər

olmasıdır. (5) kvadratik funksiyası məxsusi törəmələri aşağıdakı xətti

funksiyalardır:

54

mjxxbbyb

Q

xbbyb

Q

ij

n

i

m

j

ijji

n

i

m

j

ijji

,...2,1,2

2

1 1

0

0

1 1

0

0

(6)

Əgər bu tənlikəri sıfıra bərabər etsək, onda (m+1) məchulu (m+1) xətti

tənlikdən ibarət sistem alarıq:

n

i

ij

m

j

ijji

n

i

m

j

ijji

mjxxbby

xbby

1 1

0

1 1

0

,...2,1,0

0

(7)

Belə sistemin əsasən yeganə həlli olur. Bu sistemə normal tənliklər sistemi

deyilir. Onun həllini vektor-matris qoyuluşunda daha aşkar izləmək mümkündür.

1. Çox xətti reqressiyanın əmsallarının hesablanması.

İqtisadi sistemin dəyişənlərinin müşahidə qiymətlərini və əmsalları matris

formasında təsvir edək:

ny

y

y

y...

2

1

,

nmnn

m

m

xxx

xxx

xxx

x

....1

..................

....1

....1

21

22221

11211

,

mb

b

b

B...

1

0

,

ne

e

e

e...

2

1

Burada y - asılı dəyişənin müşahidələrinin n ölçülü vektor-sütundur;

)1( mnx ölçülü matris olub, i -ci sətiri ( ni ,...2,1 ) mxxx ,...., 21

sərbəst dəyişənlərin qiymətləri vektorunun müşahidələrini əks etdirir.

Vahid 0b sərbəst həddin dəyişəninə uyğun gəlir. B- (m+1) ölçülü

vektor-sütun olub, (2) reqressiya tənliyinin parametrlərini əks etdirir.

ne ölçülü vektor-sütun olub, y asılı dəyişənin iy real qiymətlərinin

immiii xbxbxbby ...ˆ22110

reqressiya tənliyinə görə alınmış iy -qiymətlərinin kənarlaşmalarını əks etdirir.

55

Asanlıqla yəgin etmək olar ki,

n

i

ieQ1

2 funksiyasını matris formasında

),....,( 21 n

T eeee sətir vektorunun e sütun vektoruna hasili kimi yazmaq olar. e

sütun vektorunu həm də aşağıdakı kimi yaza bilərik:

XBYe (8)

Buradan alırıq:

XBXBYXBYYXBXBXBYYXBYYXBYXBYeeQ TTTTTTTTTTTTT 2

(9)

Burada, TTTT YXBe ,,, müvafiq vektor və matrislərə görə transpanirə

edilmiş vektor və matrislərdir. (9) ifadəsini almaq üçün xətti cəbrin aşağıdakı

məlum formulaları tətbiq edilib:

;TTT

XBYXBY TTTXBXB ; XBYYXB TTT

Q funksiyasının ekstremumunun zəruri şərti onun bütün jb parametrləri üzrə

məxsusi törəmələrinin sıfıra bərabər olmalısıdır.

Asanlıqla müəyyən etmək olur ki, B

Q

məxsusi törəmələrin vektor-sütununu

matris formasında

BXXYXB

Q TT )(22

şəklində ifadə etmək olar.

Əgər B

Q

-ni sıfıra bərabər etsək, onda çox xətti reqressiyanın əmsallarını

hesablamaq üçün aşağıdakı formulanı alarıq:

YXXXB

BXXYX

BXXYX

TT

TT

TT

1

022

(10)

Burada XXXX TT 1

matrisinin tərs matrisidir .

(10) ifadəsi istənilən m sayda izahedici dəyişənə malik reqressiya tənliyi

üçün doğrudur.

Məsələn, analoji yanaşmaya əsasən, m=2 olduqda (10) ifadəsi aşağıdakı üç

dəyişənli üç xətti tənliklər sistemi şəklinə düşəcəkdir:

56

2

222110

212

2

11101

22110

iiiiriir

iiiiii

iii

xbxxbxbyx

xxbxbxbyx

xbxbnby

2. Əmsalların dispersiyaları və standart səhvləri.

Dispersiyaların və standart səhvlərin məlum olması tədqiqatçıya qiymətlərin

dəqiqliyini təhlil etməyə, nəzəri əmsallar üçün etibarlılıq intervalları qurmağa,

müvafiq hipotezaları yoxlamağa imkan verir.

Bu xarakteristikaların hesablanması formulalarını matris formasında vermək

daha sərfəli hesab edilir. Əvvəlcədən qeyd edək ki, matris formasında ƏKKM-

un ilk üç şərti aşağıdakı kimi ifadə ediləcəkdir:

1. 0M

2. ID 2)(

3. EMK T 2)()(

burada

ne

e

e

...

2

1

,

1

...

1

1

1 1nI ,

1000

............

0010

0001

nnEE

)(...

............

...)(

...)(

)(

21

.2212

1121

1

1

nnn

n

n

D

D

D

K

(10) ifadəsinə görə çox xətti reqressiyanın empirik əmsalları

YXXXB TT 1)(

formulasına görə hesablanır.

Y-in XY nəzəri qiymətini bu ifadədə nəzərə alsaq, alarıq:

TTTTTTTT XXXXXXXXXXXXXXB1111

Dispersiya-kovariasiya matrisi quraq:

57

1111

XXXXXXMXXXXXXMBBMK TTTT

TTTTTT

jx təsadüfi kəmiyyət olmadığı üçün alırıq:

jji

TTTTTTTT

ZD

XXXXEXXXXXXXMXXXK

2

1212111)()(

Burada 11 XXZZ T

jj matrisinin j-ci diaqanal elementidir.

Yığıma görə 2 dispersiyasının həqiqi qiymətini təyin etmək mümkün

olmadığından, onu aşağıdakı sürüşdürülməmiş qiymətlə əvəz edirik:

1

2

2

mn

eS

i (11)

Burada m - modelin izahedici dəyişənlərinin sayıdır. Qeyd edək ki, bəzən 11

ifadəsində məxrəci knmn 1 kimi ifadə edirlər və k -ya modelin

parametrinin sayı (təyin ediləcək reqressiya əmsalları kimi) kimi baxırlar.

Deməli, yığıma görə biz reqressiyanın empirik əmsallarının yalnız

seçmə dispersiyalarını təyin edə bilərik:

),...2,1(,1

2

22 mjZmn

eZSS jj

i

jjb j

Cüt reqressiyada olduğu kimi, burada da 2SS kəmiyyəti

reqressiyanın standart səhvi adlanır. 22

jj bb SS reqressiya əmsalının standart

səhvi adlanır.

İki izahedici dəyişənə malik 22110ˆ xbxbby tənliyi üçün əmsalların

dispersiyaları və standart səhvləri aşağıdakı formulalar üzrə hesablanır:

2

2

2211

2

22

2

11

221121

2

122

2

22

2

1221

0S

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

nS

iiii

iiii

b

2

12

2

11

22

2

2211

2

22

2

11

2

222

11

xx

SS

xxxxxxxx

xxS

iiiii

i

b

2

12

2

22

22

2

2211

2

22

2

11

2

112

12

xx

SS

xxxxxxxx

xxS

iiiii

i

b

58

2

00 jbb SS ; 2

11 bb SS ; 2

22 bb SS

Burada 12 - 1x və

2x dəyişənləri arasındakı seçmə korrellyasiya əmsalıdır.

Əmsallar arasındakı kovariasiya isə aşağıdakı formula üzrə hesablanır:

2

22

2

11

2

12

2

1221

1

,cov

xxxx

Sbb

ii

(12)

4. Nəzəri reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətəri.

Cüt reqressiyada olduğu kimi, çox reqressiyada da j əmsallarının jb

nöqtəvi qiymətləri tapıldıqdan sonra bu əmsalların interval qiymətləri

hesablana bilər. j əmsallarının interval qiymətlərini qurmaq üçün

bj

jj

S

bt

(12)

t-statistikası hesablanır. Fərz edilir ki, bu t- statistika 1 mnv sərbəstlik

dərəcələrinin sayına malik Stydent paylanmalıdır. (burada n-yığımın

ölçüsü, m-izahedici dəyişənlərin sayıdır.) Tutaq ki, j əmsalı üçün

li )%1(100 ehtibarlılıq intervalı müəyyən edilməlidir. Onda -nın tələb

edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsində və v sərbəstlik dərəcələrinin sayında

Styudent paylanmasının kritik nöqtələri cədvəlindən elə bir 1,2

mnt

kritik nöqtə tapılır ki, bu nöqtə üçün

1)(,(1,

21,

2

)1

2mnmn

mn tttPttP (13)

şərtini ödəsin.

(13)-ü (12)-də yerinə yazsaq, alarıq:

1)1,

2)1,

2( mn

j

jj

mntt

Sb

bP

Bu ifadəni çevirsək, aşağıdakı ifadə alınacaqdır:

1)(1,

21,

2

jmn

jjjmn

j SbtbSbtbP

Məlum olduğu kimi, jSb aşağıdakı formula üzrə hesablanır:

59

jj

i

jjj zmn

ezSSb

1

2

Beləliklə, j parametrinin naməlum qiymətini 1 etibarlılıqla əhatələyən

etibarlılıq intervalı aşağıdakı bərabərsizliklə müəyyən edilir:

jmn

jjjmn

j SbtbSbtb 1,

21,

2

5. Çox xətti reqressiyanın empirik tənliyinin keyfiyyətinin təhlili.

Empirik reqressiya tənliyinin qurulması ekonometrik təhlilin başlanğıc

mərhələsi hesab edilir. Yığıma görə qurulmuş ilk reqressiya tənliyi çox az

hallarda bu və ya digər xarakteristikalara görə kafi hesab edilir. Odur ki,

ekonometrik təhlilin növbəti mühüm vəzifəsi reqressiya tənliyinin

keyfiyyətinin yoxlanmasıdır. Ekonometrikada belə yoxlanışın artıq

formalaşmış sxemi tətbiq edilir. Bütün müasir ekonometrik paketlər məhz bu

sxem üzrə işləyir.

Qiymətləndirilmiş reqressiya tənliyinin statistik keyfiyyəti aşağıdakı

sxem üzrə yoxlanır:

reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyinin

yoxlanması;

reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması;

məlumatların tənliyin qiymətəndirilməsi zamanı ödəndiyi fərz edilən

xassələrinin yoxlanması (ƏKKM–nın şərtlərinin ödənməsinin

yoxlanması )

6. Reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyinin

qiymətləndirilməsi.

Cüt reqressiyada olduğu kimi, m izahedici dəyişənə malik çox xətti

reqressiyanın əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyi də

bj

j

S

bt

t-statistikaya əsasında yoxlanılır. Fərz edilir ki, bu halda t-statistika

60

1 mnv sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik Styudent paylanmalıdır.

(n-yığımın həcmidir) . t-statistikanın müşahidə edilən qiyməti tələb edilən

əhəmiyyətlilik səviyyəsində Styudent paylanmasının 1,

2mn

t kritik nöqtəsi

ilə müqayisə edilir.

Əgər t 1,

2

mn

t olarsa, onda jb əmsalı statistik əhəmiyyətli sayılır.

Əks halda, yəni t1,

2

mn

t olduqda jb əmsalı statistik əhəmiyyətsiz hesab

edilir (statistik sıfıra yaxın). Bu o deməkdir ki, jx faktoru Y asılı dəyişənlə

xətti asılı deyil. Bu dəyişənin izahedici dəyişənlər arasında olması statistik

nöqteyi-nəzərdən özünü doğrultmur. Asılı dəyişənə ciddi təsir göstərməyən

bu dəyişmin qarşılıqlı əlaqələrin mənzərəsini təhrif etməkdən başqa heç bir

rolu yoxdur.Odur ki, jb əmsalının statistik əhəmiyyətsiz olması faktını

aşkar etdikdən sonra reqressiya tənliyindən jx dəyişəninin kənarlaşdırmaq

məsləhət görülür. Bu kənarlaşdırma modelin keyfiyyətinin əhəmiyyətli

dərəcədə pisləşməsinə səbəb olmayacaq , əksinə, onu daha konkret və

mobil edəcək.

Bəzi hallarda əmsalların əhəmiyyətliiyinin ciddi yoxlanması sadə

müqayisəli təhlillə əvəz olunur.

Əgər 1t )(jbj Sb olarsa, onda əmsal statistik əhəmiyyətsizdir.

Əgər 21 t )2(jbj Sb olarsa, onda əmsal nisbətən əhəmiyyətlidir.

Bu halda Styudent paylanmasının kritik nöqtələr cədvəlindən istifadə

etmək məsləhət görülür.

Əgər 32 t olarsa, onda əmsal əhəmiyyətlidir. Bu qərar 20v və

05,0 halları üçün təminatlıdır.

Əgər 3t olarsa, onda əmsal yüksək dərəcədə əhəmiyyətli sayılır.

Əgər müşahidələrin sayı kifayət qədərdirsə, onda bu halda səhvin ehtimalı

0, 001-dən çox olmur.

7. Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması.

61

Hər bir reqressiya əmsalının əhəmiyyətliliyi yoxlandıqdan sonra

reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyəti yoxlanılır. Bunun üçün cüt

reqressiyada olduğu kimi, aşağıdakı formula üzrə hesablanan 2R

determinasiya əmsalından istifadə edilir:

2

2

2 1yy

eR

i

i (14)

Bu əmsalın mahiyyəti cüt korrelyasiyada ətraflı nəzərdən keçirildiyi üçün

burada sadəcə qeyd edəcəyik ki, ümumi halda onun qiyməti 10 2 R

oblastında dəyişir. Əmsalın qiyməti vahidə nə qədər yaxın olsa, reqressiya

tənliyi y asılı dəyişənin davranışını bir o qədər çox izah edəcəkdir. Odur ki,

tədqiqatçı həmişə daha yüksək 2R -na malik reqressiya qurmağa çalışır. Çox

reqressiya üçün determinasiya əmsalı izahedici dəyişənlərin sayının

azalmayan funksiyasıdır. Yeni izahedici dəyişənin əlavə edilməsi heç vaxt

2R -ın qiymətini azaltmır. Doğrudan da, hər sonrakı izahedici dəyişən asılı

dəyişənin davranışını izah edən informasiyanı yalnız tamamlaya bilər, lakin

heç bir halda onu azaltmır. Bu isə y asılı dəyişənin davranışındakı qeyri-

müəyyənlik oblastını azaldır (ən pis halda artırmır).

Bəzən determinasiya əmsalı hesablanan zaman sürüşdürülməmiş

qiymətlər almaq üçün vahiddən çıxılan kəsrin sürətində və məxrəcində

sərbəstlik dərəcələrinin sayına görə düzəliş edilir. Yəni, korrektirovka

edilmiş (düzəldilmiş) determinasiya əmsalı qurulur:

1/

1/1

2

2

2

nyy

mneR

i

i (15)

Asanlıqla görmək olar ki, 1/2

nyyi -ümumi dispersiyanın- y

dəyişənin qiymətlərinin y -dan kənarlaşmasının dispersiyanın sürüşdürülmüş

qiymətidir. Bu zaman onun sərbəstlik dərəcələrinin sayı 1n -ə bərabərdir.

Bir sərbəstlik dərəcəsi y hesablanarkən itir.

62

1/2 mnei isə qalıq dispersiyanın, yəni təsadüfi kənarlaşmaların

(müşahidə nöqtələrinin reqressiya xəttindən kənarlaşması) sürüşdürülməmiş

qiymətidir. Onun sərbəstlik dərəcələrinin sayı 1mn -ə bərabərdir. ( 1m )

sayda sərbəstlik dəyişənin itirilməsi empirik reqressiya tənliyinin əmsalları

hesablanan zaman ( 1m ) sayda xətti tənlikdən ibarət tənliklər sisteminni

həlli ilə bağlıdır. Qeyd edək ki, izah olunmuş dispersiyanın sürüşdürülməmiş

qiymətinin sərbəstlik dərəcələrinin sayı ümumi dispersiya ilə qalıq

dispersiyanın sərbəstlik dərəcələrinin sayı arasındakı fərqə bərabərdir:

mmnn 11 (16)

(14) ifadəsindən məlum olur ki, bütün 1m üçün 22 RR şərti

ödənir. m -in qiyməti artdıqca korrektə edilmiş 2R determinasiya əmsalının

qiyməti 2R adi determinasiya əmsalının qiymətinə nəzərən daha ləng artır.

Yəni, izahedici dəyişənlər artdıqca, bu əmsal azalma istiqamətinə korrektə

edilir. Yalnız 12 R olduqda 22 RR alınır. 2R mənfi qiymət ala bilər

(məsələn, 02 R olduqda).

İsbat edilir ki, yeni izahedici dəyişən daxil edildikdə, yalnız və yalnız

bu izahedici dəyişən üçün t -statistika modulca vahiddən böyük olduqda 2R

artır. Odur ki, modelə izahedici dəyişənlər o vaxta qədər əlavə edilməlidir ki,

korrektə edilmiş determinasiya əmsalının artması davam etsin.

Ekonometrik paketlərdə reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin

məcmu ölçüsü olan 2R və 2R -ın hər ikisi haqqında məlumatlar öz əksini

tapır. Lakin determinasiya əmsalının əhəmiyyətinin mütləqləşdirmək olmaz.

Düzgün qurulmamış lakin yüksək determinasiya əmsalına malik modellər

haqqında çoxsaylı misallar göstərmək olar. Odur ki, determinasiya əmsalına

qurulan modelin təhlilinə xidmət edən göstəricilərdən biri kimi yanaşmaq

lazımdır.

7.1 . Determinasiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyinin

qiymətləndirilməsi.

63

Reqressiya əmsallarından hər birinin fərdi statistik əhəmiyyətliliyini

qiymətləndirdikdən sonra bu əmsalların məcmu əhəmiyyətliliyi təhlil edilir.

Bu tip təhlil ümumi əhəmiyyətlilik haqqında hipotezanın-reqressiyanın

izahedici dəyişənlərdə olan bütün əmsalların eyni zamanda sıfıra bərabər

olması haqqında hipotezanın yoxlanması əsasında aparılır:

0...: 210 mH

Əgər bu hipoteza qəbul edilirsə, onda belə hesab edilir ki, bütün m

sayda mxxx ,...,, 21 izahedici dəyişənlərin y asılı dəyişənə məcmu təsiri

statistik əhəmiyyətsizdir və deməli, reqressiya tənliyinin keyfiyyəti yüksək

deyil.

Bu hipotezanın yoxlanması dispersiya təhlili əsasında aparılır.

Dispersiya təhlili dedikdə- izah edilmiş və qalıq dispersiyaların müqayisəsi

başa düşülür. Müqayisə aşağıdakı halları əhatə edir:

0H : (izah edilmiş dispersiya)=(qalıq dispersiya)

1H : (izah edilmiş dispersiya)>(qalıq dispersiya).

Müqayisə üçün aşağıdakı F –statistika qurulur:

1/ˆ

/ˆ

1/

/2

2

2

2

mnyy

myy

mne

mkF

ii

i

i

i (17)

burada mki /2 - izah edilmiş dispersiyadır;

1/2 mnei -qalıq dispersiyadır.

ƏKKM-un şərtləri ödəndikdə, qurulmuş F –statistika mv 1 ;

12 mnv sərbəstlik dərəclərinin sayına malik Fişer paylanmasına malik

olur. Odur ki, əgər tələb edilən əhəmiyyəlilik səviyyəsində

1,,,kr mnnmmüş FFF olarsa, onda 0H hipotezası 1H hipotezasının xeyrinə

qəbul edilmir (burada 1,,, mnnmF -Fişer paylanmasının kritik nöqtəsidir). Bu o

deməkdir ki, izah edilmiş dispersiya qalıq dispersiyadan əhəmiyyətli

dərəcədə çoxdur. Deməli, reqressiya tənliyi y asılı dəyişənin dəyişməsi

dinamikasını kifayət qədər keyfiyyətli şəkildə əks etdirir. Əgər

64

1,,, mnnmmüş FF olarsa, onda 0H hipotezasını qəbul etməməyə heç bir əsas

yoxdur. Bu isə o deməkdir ki, izah edilmiş dispersiya təsadüfi faktorların

doğurduğu dispersiya ilə müqayisəyə gələndir, yəni modelin izahedici

dəyişənlərinni birgə təsiri əhəmiyyətsizdir və modelin ümumi keyfiyyəti

aşağıdır.

Real iqtisadi həyatda bu hipotezanın əvəzində çox zaman bu hipoteza

ilə sıx əlaqəli olan 2R determinasiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyi

haqqında hipoteza yoxlanılır:

0:

0:

2

0

2

0

RH

RH

Bu hipotezanı yoxlamaq üçün aşağıdakı F-statistikadan istifadə edilir:

m

mn

R

RF

1

1 2

2

(18)

ƏKKM-un Qaus-Markov teoremi liə müəyyən edilən şərtləri

ödəndikdə və 0H hipotezası doğru olduqda F kəmiyyəti (17) F-statistikaya

analoji olan Fişer paylanmasına malik olur. Doğrudan da, (17)-nin surət və

məxrəcini kənarlaşmaların kvadratlarının ümumi cəmi olan 2

yyi -na

bölsək, (18) ifadəsini alarıq:

m

mn

R

R

m

mn

yye

yyRF

ii

ii 1

1

1

/

/2

2

22

22

(18) ifadəsinə görə, F və 2R göstəriciləri eyni zamanda ya sıfıra

bərabərdirlər, ya da bərabər deyillər. Əgər 0F olarsa, onda 02 R və yy

reqressiya xətti ƏKKM na görə ən yaxşı hesab edilir. Deməli, y kəmiyyəti

mxxx ,...,, 21 -dən xətti asılı deyil. 0:0 FH sıfır hipotezasını verilmiş

əhəmiyyətlilik səviyyəsində yoxlamaq üçün Fişerin paylanmasının kritik

nöqtələri cədvəlinə görə 1,,,kr mnnmFF tapılır. Əgər krFF olarsa, sıfır

hipotezası qəbul edilmir. Deməli, 02 R -dır, yəni 2R statistik əhəmiyyətlidir.

65

F statistikasının təhlili belə bir qənaətə gəlməyə imkan verir ki, xətti

reqressiyanın bütün əmsallarının eyni zamanda sıfıra bərabər olması

haqqında hipotezanı qəbul etmək üçün 2R determinasiya əmsalı sıfırdan

əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənməli deyil. Müşahidələrin sayı artdıqca, onun

kritik qiyməti azalır və istənilən qədər kiçik ola bilər.

Qeyd edək ki, cüt reqressiya halında F-statistika üçün sıfır

hipotezasının yoxlanması korrelyasiya əmsalı üçün

21

2

xy

xy

r

nrt

t-statistika üzrə sıfır hipotezasının yoxlanması ilə eyni qüvvəyə

malikdir. Bu halda F-statistika t-statistikanın kvadratına bərabərdir. 2R

əmsalı yalnız çox xətti reqressiyada müstəqil əhəmiyyət kəsb etməyə

başlayır.

7.2. İki determinasiya əmsalının bərabərliyinin yoxlanması.

F-statistikadan istifadənin digər mühüm istiqaməti bütün reqressiya

əmsallarının eyni zamanda sıfıra bərabər olması hipotezasının yoxlanması

deyil, onlardan bir qisminin sıfıra bərabər olması hipotezasının yoxlanmasıdır.

F-statistikadan belə istifadə reqressiya tənliyinə izahedici dəyişənlərin

müəyyən yığımlarının əlavə olunması və ya çıxarılmasının nə dərəcədə əsaslı

olmasını qiymətləndirməyə imkan verir. Qeyd edək ki, reqressiya tənliyində

edilən bu dəyişikliklər xətti reqressiya modelinin təkmilləşdirilməsində çox

vacib addım hesab edilir.

Tutaq ki, n müşahidə üzrə əvvəlcədən tərtib edilmiş reqressiya tənliyi

aşağıdakı şəkildədir:

mmkmkm Xbxbxbxbby ...... .22110 (19)

və bu model üçün determinasiya əmsalı 2

1R -a bərabərdir. K kiçik

yarım sayda izahedici dəyişəni tədqiqatdan kənarlaşdıraq (fərz edək ki,

axırıncı K dəyişəni). Başlanğıc n sayda müşahidə üzrə qalan faktorlar üçün

digər reqressiya tənliyi quraq:

66

KXcxcxccy mkm

...22110 (20)

Bu reqressiya tənliyi üçün determinasiya əmsalı 2

2R -a bərabər olsun.

Təbii ki, 2

1

2

2 RR olacaqdır, çünki hər bir əlavə dəyişən asılı dəyişənin

qiymətinin səpələnməsinin bir hissəsini izah edəcəkdir. Qarşıya belə bir sual

çıxır: y asılı dəyişənin davranışının təviri əhəmiyyətli dərəcədəmi pisləşdi?

Bu suala cavab 0:2

10 RH hipotezasını yoxlamaqla və

R

mn

R

RRF

1

12

1

2

2

2

1

(21)

statistikasından istifadə etməklə vermək olar.

Əgər 0H həqiqi olarsa, onda (20) F-statistikası Kv 1 ; 12 mnv

sərbəstlik dərəclərinə malik Fişer paylanmasına malik olacaqdır. Doğrudan

da, (20) ifadəsini aşağıdakı kimi göstərmək olar:

)1/()1(

/)(2

1

22

2

2

1

mnR

KRRF (22)

Burada KRR )(2

2

2

1 sayda izahedici dəyişənin tədqiqatdan çıxarılması

nəticəsində tənliyin keyfiyyətinni pisləşməsidir; R -əlavə olaraq ortaya çıxmış

sərbəstlik dərəcələridir. )1/()1(2

1 mnR -ilkin tənliyin izah edilməmiş

dispersiyasıdır. Deməli, bu vəziyyət (17) ifadəsinə analojidir.

Fişer paylanmasının kritik nöqtələri cədvəlinə əsasən 1,,kr mnkFF

tapılır ( -tələb edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsidir). Əgər müşF -nin (20)

ifadəsinə görə hesablanmış qiyməti krF -dən çox olarsa, onda determinasiya

əmsallarının bərabərliyi haqqında sıfır hipotezası (reqressiyanın tədqiqatdan

çıxarılmış K əmsalının eyni zamanda sıfıra bərabər olması haqqında

hipoteza) qəbul edilməməlidir. Bu halda K sayda izahedici dəyişənin eyni

zamanda tədqiqatdan kənarlaşdırılması korrekt hesab edilmir, çünki 2

1R 2

2R -ı

əhəmiyyətli dərəcədə üstələyir. Bu o deməkdir ki, ilkin reqressiya tənliyinin

keyfiyyəti tədqiatdan çıxarılmış dəyişənləri reqressiya tənliyinə nəzərən daha

yüksəkdir, çünki o asılı dəyişənin səpələnməsinin daha böyük payını izah

67

edir. Əgər müşahidə edilən F-statistika böyük deyilsə (yəni Fkrit-dən azdırsa),

onda )(2

2

2

1 RR əhəmiyyətsiz olur. Deməli, bu halda R sayda izahedici

dəyişənin eyni zamanda atılması reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin

pisləşməsinə səbəb olmamışdır və onu məqbul qəbul etmək olar.

Reqressiyaya R sayda yeni izahedici dəyişənlərin daxil edilməsinin

əsaslandırılması üçün də analoji mülahizələrdən istifadə etmək olar. Bu halda

aşağıdakı F-statistika hesablanır:

R

mn

R

RRF

1

12

1

2

1

2

2

Əgər bu F-statistika krF -dən çoxdursa, onda yeni dəyişənlərin daxil

edilməsi asılı dəyişənin əvvəl izah edilməmiş dispersiyasının əhəmiyyətli

hissəsini izah edir. Odur ki, bu şəkildə əlavəni məqsədəuyğun hesab etmək

olar. Lakin qeyd edək ki, dəyişənləri bir-bir əlavə etmək məqsədəuyğundur.

Bundan əlavə, izahedici dəyişənlər əlavə etdikdə korrektə edilmiş

determinasiya əmsalından istifadə etmək məntiqi baxımdan daha düzgündür.

Çünki adi 2R əlavə dəyişənin hesabına həmişə artır, 2

R korrektə edilmiş

determinasiya əmsalında isə bu əlavə dəyişən onu azaldan m-in artmasına

səbəb olur.

Əgər yeni dəyişən daxil etdikdə izahedilmiş dispersiyanın payını artımı

əhəmiyyətsizdirsə, onda 2

R azala bilər. Onda bu dəyişənin daxil edilməsi

məqsədə uyğun sayılmır.

Qeyd edək ki, 2

R determinasiya əmsalına görə iki reqressiya tənliyinin

keyfiyyətini yoxlamaq üçün aşağıdakı iki tələbin ödənilməsi zəruridir:

1.Asılı dəyişən eyni formada təsvir edilməlidir.

2.Hər iki model üçün müşahidələrin n sayı eyni olmalıdır.

Məsələn, tutaq ki, eyni bir y göstəricisi aşağıdakı iki tənliklə

modelləşdirilir:

22110

22110

xxlux

xxy -xətti

68

-loq xətti

Onda bu tənliklərin 2

1R və 2

2R determinasiya əmsalları aşağıdakı formulalar

üzrə hesablanacaqdır:

2

2

2

22

2

2

1)(

;) yeye

eR

yy

eR

nin

i

i

i

Bu ifadələrin məxrəcləri fərqli olduğundan , determinasiya əmsallarının

birbaşa müqayisəsini korrekt yanaşma hesab etmək olmaz.

7.3. İki yığım üçün reqressiya tənliklərinin üst-üstə düşməsi haqqında

hipotezanın yoxlanması . Çou testi.

F-statistikadan istifadənin başqa bir istiqaməti ayrı-ayrı müşahidə qrupları

üçün reqressiya tənliklərinin üst-üstə düşməsi haqqında hipoterin yoxlanmasıdır.

Bu hipoterin yoxlanmasının ən çox yayılmış testi Çou testi adlanır. Çou testinin

mahiyyəti aşağıdakı kimidir:

Fərz edək ki, həcmləri n1 və n2 olan iki yığım vardır. Bu yığımlardan hər

biri üçün repressiya tənliyi aşağıdakı kimi qiymətləndirilmişdir.

2,1,...22110 Kexbxbxbby kmmkkkk (23)

Reqressiyanın müvafiq əmsallarının bir-birinə bərabər olması haqqında

mjbbH jj ,...,2,1,: 20 1

Sıfır hipoteri yoxlanılır. Başqa sözlə, hər iki yığım üçün eyni bir reqressiya

tənliyi alınacaq ya yox?

Tutaq ki, Yi qiymətlərinin reqressiya xətlərindən kənarlaşmalarının

kvadratları cəmi )2,1(2

Kle

ik birinci və ikinci reqressiya tənlikləri üçün müvafiq

olaraq 1S və S2 -yə bərabərdir.

(n1+n2) həcmli birləşdirilmiş yığım üçün daha bir reqressiya tənliyinin

qiymətləndirildiyini şərtləsək və bu tənlik üçün Yi -nin reqressiya tənliyindən

kənarlaşmaların kvadratları cəminin S0 olduğunu qəbul edək.

69

Bu halda Ho-ı yoxlamaq ücün aşağıdakı F-statistika qurulur:

)24(1

2221

21

210

m

mnn

SS

SSSF

Əgər Ho doğrudursa, qurulmuş F statistika sərbəstlik dərəcələrinin sayı 1=m+1;

2=n1+n2-2m-2 olan Fiser paylanmasına malik olur.Təbii ki,əgər 210 SSS

olarsa , onda F statistika sıfıra yaxın olur. Bu isə o deməkdir ki, hər iki yığım

ücün reqressiya tənliyi praktik olaraq eynidir. Bu halda 21;; vvFFF kr . Əgər

F>F olarsa, onda hipoter doğru hesab edilmir.

Çou testi baxılan vaxt müddəti üçün yeganə reqresiya tənliyi qurmağın

mümkünlüyü haqda qərar cıxartmağa imkan verir. Əks halda zaman intervalı

parcalara ayrılmalı və hər parça üçün fərdi reqressiya tənliyi qurulmalıdır.

7.8. Darbin- Uatson statistikası

Reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyi və R2

determinasiya əmsalının qiymətinin 1-ə yaxın olması hələ reqressiya tənliyinin

yüksək keyfiyyətinə təminat vermir. Bu hər şeydən əvvəl özünü reqressiya

tənliyinin tipinin düzgün secilməməsində büruzə verir. Bu isə ƏKKM-un

müşahidə nöqtələrinin reqressiya xəttindən i kənarlaşmaları haqqında şərtinin

ödənilməməsinə gətirib cıxardır. Bu kənarlaşmalar daimi (sabit) dispersiyaya

malik deyillər və qarşılıqlı asılı olmayan deyillər. Onda reqressiyanın əmsallarının

alınmış qiymətləri də qeyri-dəqiq olur və onların standart səhvləri artır. Deməli,

tənliyin özü düzgün spesifikasiya olunmamışdır. Odur ki reqresiya tənliyinin

keyfiyyətinin yoxlanmasının növbəti mərhələsi ƏKKM-u haqqında şərtlərin

ödənilməsinin yoxlanmasıdır.

Biz xətti reqressiya tənliyini qiymətləndirən zaman belə fərz edirdik ki,

dəyişənlərin real qarşılıqlı əlaqələri xəttidir, reqressiya düz xəttindən kənarlaşmalar

isə bir-birindən asılı olmayan sıfır riyazi gözləməli və sabit dispersiyalı təsadüfi

kəmiyyətlərdir.

Əgər bu şərtlər ödənmirsə, onda reqressiyanın əmsallarının qiymətləri

sürüşdürülməmişlik, səmərəlilik və əsaslılıq xassələrinə malik deyillər və onların

əhəmiyyətliliyin təhlili dəqiq olmayacaqdır.

70

Kənarlaşmaların yuxarıda sadaladığımız xassələrə malik olmamasının səbəbləri

ya baxılan dəyişənlər arasındakı asılılığın qeyri-xətti xarakterdə olması, ya da

tənlikdə nəzərə alınmamış mühüm faktorun mövcud olmasıdır. Bu halda ƏKKM-

un şərtlərinin ödənilməsi üçün ya hər hansı bir qeyri xətti funksiya

qiymətləndirilməli, ya da reqressiya tənliyinə yeni, izahedici dəyişən daxil

edilməlidir.

Reqressiya tənliyinin statistik təhlili zamanı ilkin mərhələdə məhz bir şərtin,

yəni kənarlaşmaların öz aralarında statistik qeyri-asılılığın ödənilməsi həyata

keçirilir. xy 10 nəzəri reqressiya tənliyinin i qiymətlərinin məchul

qalması ilə bağlı (çünki reqressiya əmsallarının həqiqi qiymətləri qeyri-

müəyyəndir) onların qiymətlərinin - niei ,...,2,1 kənarlaşmalarının statistik qeyri-

asılılığı yoxlanılır. Bu zaman bir qayda olaraq onların sərbəst olmaları üçün

zəruri, lakin qeyri-kafi sərt hesab edilən korrelyasiya olmamaları yoxlanılır. Həm

də bütün ie -in deyil, qonşu ie -in qeyri-korrelyasiya asılılığı yoxlanılır. Bu zaman

qonşu dedikdə zaman sırasına görə qonşu, ya da X izahedici dəyişənin artımına

görə qonşu hədlər başa düşülür.Bu kəmiyyətlər üçün korrelyasiya əmsalı və ya bu

halda birinci tərtib avtokorrelyasiya əmsalı adlanan əmsal hesablanır:

2

1

2

1

1,

ii

ii

eiei

ee

eer

Praktikada kənarlaşmaların korrelyasiyalılığının təhlili üçün

korrelyasiya əmsalının əvəzinə Darbin-Uatson statistikasından istifadə edilir.

2

2

1)(

i

ii

e

eeDW

Sadə çevirmələr vasitəsilə ilə göstərmək olar ki, )(

1ii ee 2

)2(2 1

2

iii eee -dir.

Onda alırıq :

)1(2)(2

12

1

2

re

eeeDW

i

iii

71

Bu ifadəyə görə əgər 1 ii ee olarsa , onda 11

eieir və DW=0 olur.

Əgər 1 ii ee olarsa onda 11 eieir , DW=4 alınır. Bütün qalan hallarda 0< DW<

4 olur.

Kənarlaşmaların təsadüfi davranışı zamanı belə hesab edə bilərik ki, halların

bir yarısında ardıcıl kənarlaşmaların işarələri üst-üstə düşür, digər yarıda isə

işarələr bir-birinə əksdir. Kənarlaşmaların mütləq kəmiyyətlərini orta hesabla eyni

qəbul etdiyimizdən, belə hesab edə bilərik ki, halların bir yarısında 1 ii ee , digər

yarısında isə 1 ii ee Onda alırıq:

245.0

)2(2

1

2

2

2

2

i

i

i

i

e

e

e

e

DW

Beləliklə, təsadüfi kənarlaşmaların asılı olmamasının zəruri şərti Darbin-

Uotson statistikasının qiymətinin 2-yə yaxın olmasıdır. Onda əgər DW=2 olarsa,

reqressiyadan kənarlaşmaları təsadüfi hesab edəcəyik (həqiqətdə belə olmaya da

bilər). Bu o deməkdir ki, qurulmuş xətti reqressiya ehtimal ki, real asılılığı əks

etdirir. Yəqin ki, asılı dəyişənə təsir göstərən əhəmiyyətli amillərdən hec biri

tədqiqatdan kənarda qalmamışdır. Başqa bir qeyri-xətti funksiya statistik

xarakteristikalarına görə təklif edilən xətti modeli üstələmir. Bu halda hətta R2 –ın

qiyməti kicik olduqda belə, reqressiya tənliyini etibarlı hesab etmək olar.

Qarşıya belə bir sual çıxır. DW-nin hansı qiymətlərini statistik olaraq 2-yə

yaxın hesab etmək olar?

Bu suala cavab vermək üçün Darbin-Uotson statistikasının kritik

nöqtələrinin xüsusi cədvəllərindən istifadə edilir. Bu cədvəl n sayda müsahidə, m

sayda izahedici dəysən və verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsində DW

statistikasının məqbulluğu hüdudlarını (kritik nöqtələrini) müəyyən etməyə imkan

verir. Verilmiş , n, m üçün cədvəldə iki ədəd d1-aşağı sərhəd və du-yuxarı sərhəd

göstərilir. Avtokorrelyasiyanın olamaması haqqında hipoteri yoxlamaq üçün

aşağıdakı parçadan istifadə olunur.

---------------------------------------------------------------------

72

Nəticələr aşağıdakı sxem üzrə qəbul edilir:

Əgər DW< d1, onda bu, qalıqların müsbət avtokorreliyasiyanın mövcud

olması deməkdir.

Əgər DW>4-d1, onda bu, qalıqların mənfi avtokorreliyasiyasının mövcud

olması deməkdir.

Əgər du< DW<4-du, onda qalıqların avtokorreliyasiyasının mövcud olmaması

haqqında hipoter qəbul edilir.

Əgər d1< DW< du və ya 4-du< DW<4-dı olarsa, onda avtokorrelyasiyasının

olmaması haqqında hipotez nə qəbul oluna, nə də rədd oluna bilməz.

Darbin-Uotsonun kritik nöqtələr cədvəlinə müraciət etmədən də “kobud

qayda” adlanan yanaşma əsasında qalıqların avtokorreliyasiyasının olub-

olmadığını qiymətləndirmək olar. Belə ki, əgər 1,5< DW< 2,5 olarsa onda

avtokorreliyasiyasının olmaması qərarı qəbul edilir.

Əgər avtokorrelyasiya varsa, onda alınmış reqressiya tənliyi qeyri

qənaətbəxş hesab edilir.

73

74