Planteamiento de problemas de matemáticas en Educación ...de la resolución de problemas como estrategia didáctica en la Educación Primaria. En este trabajo nos centramos en el

Iván García Garbayo

Luz Roncal Gómez

Facultad de Letras y de la Educación

Grado en Educación Primaria

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Planteamiento de problemas de matemáticas enEducación Primaria que no se encuentran en los libros

de texto

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Planteamiento de problemas de matemáticas en Educación Primaria que no seencuentran en los libros de texto, trabajo fin de grado

de Iván García Garbayo, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia

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Trabajo de Fin de Grado

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN

PRIMARIA QUE NO SE ENCUENTRAN EN LOS LIBROS DE

TEXTO

Autor:

IVÁN GARCÍA GARBAYO

Tutor/es:

Fdo. LUZ RONCAL GÓMEZ

Titulación: Grado en Educación Primaria [206G]

Facultad de Letras y de la Educación

AÑO ACADÉMICO: 2014/2015

RESUMEN

El siguiente documento es un estudio teórico-práctico que se centra en la integración

de la resolución de problemas como estrategia didáctica en la Educación Primaria. En

este trabajo nos centramos en el bloque de contenidos geométricos, pero la idea es poder

desarrollarlo con todos los bloques de contenidos matemáticos del currículo, e incluso

de todas las asignaturas.

La fundamentación teórica de esta estrategia bebe de la metodología de las cuatro

etapas propuestas por Polya. En el presente trabajo propondremos distintos problemas

para realizar en clase, a través de los cuales introduciremos diversos conceptos de

geometría. Para poder realizar este estudio hemos tomado como referencia el libro de

texto de 5º de Primaria de SM. Realizaremos una batería de problemas propuestas por

mí mismo y otros extraídos (y en algunos casos modificados) del propio libro de texto.

A continuación, analizaremos los problemas contenidos en este libro, con la ayuda de la

clasificación sobre problemas matemáticos propuesta por L.J. Blanco.

Este estudio se ha podido llevar a la práctica en el colegio Inmaculado Corazón de

María de Logroño, obteniendo unos resultados positivos. Presentaremos la experiencia

y las conclusiones de dicha puesta en práctica.

Palabras clave: Resolución de problemas, currículo, geometría, estrategia, Polya,

clasificación, L.J.Blanco.

ABSTRACT

The following document is a theoretical and practical study based on the inclusion of

problems resolution as a teaching strategy in Primary Education. This academic project

works through the content block of the geometrical forms, but the idea is to be able to

develop it with every content block of mathematics within the syllabus, even with all

the subjects.

The theoretical basis of this strategy flows from the four stages methodology

proposed by Polya. In the present academic work several problems will be proposed to

do during the lessons, from which different geometrical contents will be introduced. A

5th grade book of mathematics has helped to develop this project as a reference. We will

do a problem battery proposed by myself and other extracted (in some cases modified)

Resolución de problemas Iván García Garbayo Universidad de La Rioja

2

from the text book itself. Next, we will analyse the problems in this book, helped by the

classification of mathematical problems proposed by L.J.Blanco.

This study has been taken into practice in the school of Inmaculado Corazón de

Maria in Logroño, obtaining positive results. Experience and conclusions of such

practice will be showed.

Key words: problems resolution, syllabus, geometry, strategy, Polya, clasification,

L.J. Blanco


3

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 4

OBJETIVO 6

ENFOQUE TEÓRICO 8

Modelos de resolución de problemas 9

Clasificación de los problemas 13

JUSTIFICACIÓN TEÓRICA 16

Propuesta de problemas 16

Análisis del libro de texto 16

DESARROLLO 20

Análisis del libro de texto 25

Análisis problemas propuestos por mí en la Unidad Didáctica 26

Actividades 5º de Primaria, Medir superficies 27

VALORACIONES 38

CONCLUSIONES 40

REFERENCIAS 42

ANEXOS 46


4

INTRODUCCIÓN

La resolución de problemas matemáticos ha sido un tema recurrente a los largo de la

historia. La preocupación por la resolución de problemas en la enseñanza y aprendizaje

de las matemáticas ha ido teniéndose en cuenta gracias a las aportaciones de autores

como Polya {P} o Schoenfeld {S}.Podemos ver reflejadas estas aportaciones en los

contenidos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas dentro de los currículos de

Educación Primaria, llegando a ser un eje transversal en su enseñanza.

Por lo tanto, con este estudio quiero tratar de transmitir la importancia de la

resolución de problemas en la Educación Primaria, así como realizar un análisis de uno

de los libros de texto que se utilizan en las aulas (en muchas ocasiones como recurso

central). En este caso tomaré como tema principal los problemas geométricos. Pero mi

intención es entender la resolución de problemas no solo en el contexto de las

matemáticas, sino como un método de aprendizaje a tener en cuenta en todas las

asignaturas, para que el desarrollo cognitivo del alumnado sea óptimo.

Para comenzar, debemos tener en cuenta los objetivos generales que debemos

conseguir al finalizar el Grado en Educación Primaria, para a continuación poder

profundizar en los objetivos que busco conseguir con este estudio.

Más adelante, debemos ahondar en por qué es importante el uso de la resolución de

problemas y qué puede aportar, haciendo una reflexión sobre el significado de qué es un

problema, diferenciándolo de un ejercicio, pero sin dejar estos últimos tampoco de lado.

Otro punto muy importante será comentar las aportaciones de distintos autores a la

resolución de problemas, sobre todo Polya, que fue uno de los mayores artífices de este

método de aprendizaje. Valoraremos su método heurístico1 conociendo cómo puede

contribuir en el desarrollo de los alumnos.

En este trabajo propongo una serie de problemas matemáticos, en algunos casos

propuestos por mí y otros extraídos del libro, para trabajar con los alumnos de 5º de

Primaria durante la unidad didáctica de geometría a través de la resolución de

problemas.

1 heurístico, ca. (Del gr. εὑρίσκειν, hallar, inventar, y ‒́tico).. En algunas ciencias, manera de buscar la solución de un problema mediante métodos no rigurosos, como por tanteo, reglas empíricas, etc (Diccionario de la RAE)


5

Haremos un análisis previo del libro utilizado, teniendo en cuenta los ejercicios que

propone, valorando el uso de la resolución de problemas y buscando modificaciones o

complementos a los propuestos. Para este fin recurriremos a la clasificación que

propone L. J. Blanco {LJB}, que se mostrará más adelante.


6

OBJETIVO

Antes de tratar los objetivos de este estudio en particular, debido a la importancia que

tiene para poder llevarlo a cabo, me gustaría recoger las funciones del profesorado,

extraídas de la Ley Orgánica de Educación de 2006

https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2006-7899 (Titulo III, Capítulo I,

Artículo 91)

La programación y la enseñanza de las áreas, materias y módulos que tengan

encomendados.

La evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado, así como la evaluación

de los procesos de enseñanza.

La tutoría de los alumnos, la dirección y la orientación de su aprendizaje y el

apoyo en su proceso educativo, en colaboración con las familias.

La orientación educativa, académica y profesional de los alumnos, en

colaboración en su caso, con los servicios o departamentos especializados.

La atención al desarrollo intelectual, afectivo, psicomotriz, social y moral del

alumnado.

La promoción, organización y participación en las actividades complementarias,

dentro o fuera del recinto educativo, programadas por los centros.

La contribución a que las actividades del centro se desarrollen en un clima de

respeto, de tolerancia, de participación y de libertad para fomentar en los

alumnos los valores de la ciudadanía democrática.

La información periódica a las familias sobre el proceso de aprendizaje de sus

hijos e hijas, así como la orientación para su cooperación en el mismo.

La coordinación de las actividades docentes de gestión y de dirección que les

sean encomendadas.

La participación en la actividad general del centro.

La participación en los planes de evaluación que determinen la Administración

educativa o los propios centros

La investigación, la experimentación y la mejora continua de los procesos de

enseñanza correspondientes.

https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2006-7899


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Los objetivos que se pretenden conseguir con este trabajo:

Proponer situaciones que pueden ser resueltas a través de la resolución de

problemas, poniendo en práctica herramientas matemáticas y estrategias propias.

Proponer una batería de problemas propios independientemente de los incluidos

en los libros de texto.

Valorar la metodología de los cuatro pasos de Polya para la resolución de

problemas.

Examinar los problemas que se encuentran en el libro de texto de Matemáticas.

Clasificar los problemas que encontramos en los libros de texto.


8

ENFOQUE TEÓRICO

Me gustaría comenzar con una cita.

«El niño, con su enorme potencial físico e intelectual, es un milagro frente a

nosotros. Este hecho debe ser transmitido a todos los padres, educadores y personas

interesadas en niños, porque la educación desde el comienzo de la vida podría cambiar

verdaderamente el presente y futuro de la sociedad. Tenemos que tener claro, eso sí, que

el desarrollo del potencial humano no está determinado por nosotros. Solo

podemos servir al desarrollo del niño, pues este se realiza en un espacio en el que hay

leyes que rigen el funcionamiento de cada ser humano y cada desarrollo tiene que estar

en armonía con todo el mundo que nos rodea y con todo el universo». María Montessori

{M}

La importancia de la educación y la forma de transmitirla es lo más importante que

tenemos en nuestras manos; así, como padres o docentes, debemos entender esta

importancia esforzándonos e informándonos para conseguir que sea lo mejor posible.

En la educación estamos creando el futuro, por eso no debe ser algo que se tome a la

ligera.

En la actualidad, la resolución de problemas es considerado el eje central en la

enseñanza de las matemáticas (a la vista, sin ir más lejos, del currículo de matemáticas

vigente para la E.P.), pero en muchas ocasiones el significado de problema “dista

mucho de la que subyace en los problemas escolares” (Chamorro y Vecino {CyV})

En la L.O.M.C.E se ha profundizado más en la resolución de problemas y el área de

matemáticas se presenta de la siguiente manera: “Los objetivos generales del área van

encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e iniciarse en la resolución de

problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo,

conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las

situaciones de su vida cotidiana”

Comencemos por buscar definiciones de los autores acerca de qué es un problema:

Tener un problema significa “buscar de forma consciente una acción apropiada para

lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.”

(Polya, {P})


9

Un problema “Es una situación donde los alumnos van a trabajar mucho, donde no

será suficiente aplicar un algoritmo o una fórmula.” (Gaulin {G})

Por otro lado un problema es “una situación en la que se pide a un individuo realizar

una tarea para la que no tiene un algoritmo fácilmente accesible que determine

completamente el método de solución.” (Charles y Lester {CyL})

Por lo tanto queda claro que un problema no es algo que se resuelva nada más verlo o

que sepas la fórmula para conseguirlo. Un problema es algo que se debe meditar y

descubrir su resultado, posiblemente equivocándote la primera vez, pero volver a

pensarlo hasta dar con su solución. Ahí es donde estás realizando la resolución de

problemas y creando herramientas para un futuro poder utilizarlas, como dice

Gaulin{G} “Tener estrategias es como un obrero que tiene una caja de instrumentos,

por ejemplo, un carpintero que, cuando tiene que hacer un trabajo utiliza un instrumento

u otro y, a veces, no sabe si utilizar uno u otro, no sabe si irá bien o no.”

Modelos de resolución de problemas

Existen varios modelos para la resolución de problemas, en estas líneas

comentaremos algunos de ellos. En el estudio realizado en clase, se les explicó el

método de cuatro pasos de Polya y sirvió como herramienta de resolución de problemas

para los alumnos.

Miguel de Guzmán {GM} presenta el siguiente modelo:

1. Familiarízate con el problema.

2. Búsqueda de estrategias.

3. Lleva adelante tu estrategia.

4. Revisa el proceso y saca consecuencias de él.

Dewey {D} señala las siguientes fases en el proceso de resolución de problemas:

1. Se siente una dificultad: localización de un problema.

2. Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto.

3. Se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución.

4. Se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas.

5. Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba


10

Y finalmente las 4 etapas de Polya {P}

1ª etapa, hay que entender el problema.

Hay que leer bien el problema hasta entenderlo.

Si es necesario, volver a enunciar el problema con tus propias palabras.

En caso de que el enunciado lo permita, hacer un dibujo; al ver los problemas

dibujados se entienden mucho mejor

¿Cuáles son los datos?

¿Cuáles son las incógnitas?

2ª etapa, definir una estrategia, definir un plan de resolución.

¿Se parece a algún problema que hayas resuelto antes?

Imaginar un problema parecido pero más sencillo

Probar distintos planes y ver si funcionan o no. Ensayo-error

Buscar un patrón

Hacer una lista, para descomponer el problema y ver tan solo los datos que son

relevantes para nosotros, a veces ver el enunciado, puede confundirnos.

Hacer un dibujo que nos ayude a ver el problema.

¿Utilizamos todos los datos?

¿Se relaciona la situación del final con la del principio?

3ª etapa, aplica el plan, se debe aplicar sin centrarnos tan solo en un método, se debe ir

modificando utilizando las distintas posibilidades que se nos ocurran para llegar a la

solución.

Cuando apliquemos el plan debemos comprobar cada uno de los pasos

Acompañar cada paso de una explicación de porqué lo estamos haciendo

Si nos bloqueamos y no sabemos cómo continuar, debemos volver a empezar,

cambiando de estrategia.

4ª etapa, revisar si todo está bien.

Volver a leer el enunciado y ver si el resultado del problema es lo que nos

pedían

¿Es lógico nuestro resultado?

¿Se podría haber hecho de una forma más sencilla?


11

La solución debe ir acompañada de una explicación de lo que hemos averiguado.

Es recomendable utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y

plantear nuevos problemas.

Todos estos métodos no sirven de nada si no sabemos cómo aplicarlos y es en lo que

hay que trabajar, dándoles nuevas herramientas con las que trabajar, pero enseñándoles

también a utilizar los instrumentos que ya conocen.

Schoenfeld amplía el trabajo de Polya, dando a entender que el proceso de resolución

de un problema no es lineal y propone 4 fases

Análisis

Exploración

Ejecución

Comprobación

Para cada fase, propone una serie de estrategias heurísticas.

ANÁLISIS

1. Trazar un diagrama si es posible

2. Examinar casos particulares

3. Probar a simplificar el problema

EXPLORACIÓN

1. Examinar problemas esencialmente equivalentes

2. Examinar problemas ligeramente modificados

3. Examinar problemas ampliamente modificados

COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

1. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?

1.1. ¿Utiliza todos los datos pertinentes?

1.2. ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?

1.3. ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?

2. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes

2.1. ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?

2.2. ¿Puede quedar concretada en casos particulares?


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2.3. ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?

2.4. ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?

Finalmente, aunque no haremos uso directo de su teoría en este trabajo, hay que

destacar que S. Fernández {F} hizo una recopilación de las estrategias más frecuentes

que se suelen utilizar:

- Ensayo-error

- Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo.

- Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar)

- Experimentar y extraer pautas (inducir)

- Resolver problemas análogos (analogía)

- Seguir un método (organización)

- Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación)

- Hacer recuento (conteo)

- Cambio de estados.

- Sacar partido de la simetría.

- Deducir y sacar conclusiones.

- Conjeturar.

- Reformular el problema.

- Suponer que no (reducción al absurdo)

- Empezar por el final (dar el problema por resuelto)

Como podemos ver, Polya propuso un método de resolución lineal de problemas,

pero con una estructura muy bien marcada y apropiada en muchos casos para guiar en

los casos en que los problemas se nos resistan. Schoenfeld, lo que hizo fue ampliar ese

método, proponiendo más posibilidades de uso, por lo que en el estudio que se realiza

en este trabajo, se utiliza un método entre estos dos autores.

Lo más importante a tener en cuenta es que la resolución de problemas no es un

método cerrado. Cada persona tiene que terminar creando sus propios métodos,

ayudándose en un comienzo en todas las herramientas posibles, para finalmente

conseguir elegir cuál es la adecuada para uno mismo.

Consecuentemente, si lo que debemos conseguir es que aprendan el mayor número

de herramientas, para elegir cuál es la adecuada, es conveniente trabajar en parejas o

grupos. De este modo conseguiremos que a través del diálogo lleguen a conclusiones


13

que tal vez, un alumno al que se le da mal resolver problemas, no llegaría por sí solo. Al

discutirlo con otros, puede que consiga adquirir una nueva herramienta para cuando

vuelva a tener que resolver un problema semejante al que se trabaja.

El motivo de proponer el trabajo por parejas se debe a la poca experiencia de los

alumnos con los que he realizado las prácticas a trabajar a través de la resolución de

problemas. Por este motivo se ha decidido comenzar el trabajo dispuestos de dos en dos,

para una vez conseguido entrar en la dinámica de la resolución de problemas, ir poco a

poco trabajando en solitario. El final que se busca es conseguir que los alumnos puedan

trabajar de manera individual y autónoma.

Clasificación de los problemas

Para afrontar los problemas existen varios tipos de clasificaciones, veremos algunos

ejemplos de ellos:

Polya, en el libro “Cómo plantear y resolver problemas”, los divide en problemas de

encontrar y problemas de probar.

Butts {BU} los divide en:

Ejercicios de reconocimiento

Ejercicios algorítmicos

Problemas de aplicación

Problemas de búsqueda o investigación abiertos

Situaciones problemáticas

Charles y Lester {CyL} lo dividen en 6 tipos de problemas:

Ejercicios de repetición

Problemas de traducción simple

Problemas de traducción compleja

Problemas de procesos.

Problemas aplicados

Problemas de puzles


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Borasi {B} los divide en 7 tipos:

Ejercicios

Word-problem

Problemas de puzles

Problemas de una conjetura

Problemas de la vida real

Situación problemática

Situación

Y finalmente la clasificación que utilizaremos para el estudio, la propone Blanco {LJB}

en 1993:

Ejercicio de reconocimiento

Ejercicios algorítmicos o de repetición

Problemas de traducción simple o compleja

Problemas de procesos

Problemas sobre situaciones reales

Problemas de investigación matemática

Problemas de puzles.

Historias matemáticas

Podemos ver que existen varios tipos de clasificación de problemas. Hemos elegido

la de Blanco porque es quizá la más detallada. Independientemente de la clasificación

elegida, lo importante es seguir un proceso en el que la dificultad de los problemas vaya

aumentando gradualmente, acostumbrando poco a poco el cerebro de los alumnos a la

hora de resolver dichos problemas.


15


16

JUSTIFICACIÓN TEÓRICA

Este estudio está constituido por dos fases, la primera consiste en analizar y clasificar

los problemas que aparecen en el libro de texto. Para este fin, nos basaremos en la

clasificación propuesta por Blanco {LJB} con el fin de organizar los problemas que

aparecen en el libro de texto según su enunciado. Una vez terminada la clasificación

haremos un análisis acerca de los tipos de problemas que podemos encontrar en dicho

libro.

La segunda fase, como hemos comentado, se centra en proponer un conjunto de

problemas matemáticos, como propuesta alternativa a los que aparecen en el libro. Los

problemas que veremos más adelante, en algunos casos han sido propuestos por mí o

modificados, y en otros han sido extraídos directamente del libro de texto. Para poder

escoger bien la forma de proceder y que la propuesta de los problemas sea correcta, me

he basado en I. Echenique {I}

Propuesta de problemas

Echenique habla de la implantación del estudio de las matemáticas a través de la

resolución de problemas de una forma sistemática. Si se comienza desde el primer ciclo,

al finalizar la Educación Primaria se pueden conseguir grandes cosas. Por eso, acerca

del 5º curso de Educación Primaria, comenta que está incluido en un fin de etapa. En

caso de haber practicado la resolución de problemas a lo largo de la Educación

Primaria, los alumnos deben haber interiorizado el proceso y adquirido las herramientas

suficientes para resolver la mayoría de los problemas de una forma más rápida. Valora

también el trabajo por parejas, para de este modo poder conocer diferentes puntos de

vista en el proceso, debido a que en muchas ocasiones no existe solo un camino para

conseguir el resultado, conociendo nuevos métodos.

Análisis del libro de texto

El siguiente punto importante es hacer un análisis de los problemas que aparecen en

el libro utilizado, para de este modo conocer más a fondo la posible aplicación o

modificación del uso de la resolución de problemas.

Para hacer la clasificación de problemas de una forma ordenada nos basaremos en la

propuesta de Blanco {LJB}. Poder disponer de una clasificación en la cual basarnos nos


17

facilitará la tarea de distinguir los diferentes tipos de enunciados que se presentan en el

libro de texto, para analizar si son apropiados.

Vamos a ver la propuesta de 8 tipos de problemas y explicaremos en que consisten:

Ejercicio de reconocimiento

o Con este ejercicio se pretende resolver, reconocer o recordar un factor

específico, una definición o una proposición de un teorema

Ejercicios algorítmicos o de repetición

o Son ejercicios que pueden ser resueltos con un proceso algorítmico, a

menudo un algoritmo numérico

Problemas de traducción simple o compleja

o Son problemas formulados en un contexto concreto y cuya resolución

supone una traducción del enunciado, oral o escrito, a una expresión

matemática.

Problemas de procesos

o Son problemas que se diferencian de los anteriores en que la forma de

cálculo no aparece claramente delimitada, dándose la posibilidad de

conjeturar varios caminos para encontrar la solución

Problemas sobre situaciones reales

o Se trata de plantear actividades lo más cercanas posibles a situaciones

reales que requieran el uso de habilidades, conceptos y procesos

matemáticos

Problemas de investigación matemática

o Son problemas directamente relacionados con contenidos matemáticos,

cuyas proposiciones pueden no contener ninguna estrategia para

representarlos, y sugieren la búsqueda de algún modelo para encontrar la

solución.

Problemas de puzles

o Son problemas en los que se pretende mostrar el potencial recreativo de

las Matemáticas. Obliga a flexibilizar la forma de atacar un problema y a

considerar varias perspectivas ya que normalmente el contexto y la

formulación que se hacen de estos problemas suele ser engañosa.


18

Historias matemáticas

o Frecuentemente podemos observar en las librerías libros de cuentos,

novelas entre los que encontramos algunas propuestas o planteamientos

que requieren de nosotros un esfuerzo que impliquen algún concepto

matemático.

El motivo de escoger esta clasificación se debe a que me pareció la forma más

sencilla para saber a qué grupo pertenece cada problema.

Este análisis se va a realizar con el libro de 5º de Educación Primaria del área de

Matemáticas, puesto que es el libro utilizado en clase, así como una de las editoriales

más utilizadas en las aulas de España, siendo una de las editoriales que más intentan

evolucionar con el desarrollo de la sociedad, proponiendo diferentes problemas y

formas de resolverlos, con la incorporación de la web 2.0, dando utilidad a las pizarras

digitales, Tablet, portátiles… para que los alumnos puedan realizar los problemas.


19


20

DESARROLLO

Introducción

Voy a desarrollar de manera práctica los contenidos teóricos expuestos en los puntos

anteriores. Para ello, explicaré con detalle una Unidad Didáctica que llevé a cabo

durante el ejercicio de las prácticas en un aula de 5º de Primaria.

La Unidad Didáctica, que versa sobre conceptos de geometría, se compone

básicamente de tres aspectos distintos.

Por un lado existe una explicación teórica, donde se pretende que los alumnos

lleguen a deducir las fórmulas para calcular áreas y perímetros de algunas

figuras planas por sí solos. De este modo, podrán entender las fórmulas mejor,

para en caso de verse en la situación de no recordar la fórmula, poder deducirla

por sí solo.

El otro punto importante de esta Unidad Didáctica es la realización de una serie

de ejercicios, propuestos o modificados por mí, así como otros extraídos del

libro de texto. Estos ejercicios serán presentados al comienzo de cada nueva

sesión.

Y finalmente, se ha propuesto realizar una actividad transversal e

interdisciplinar, para trabajar la geometría de manera amena. Dada la cercanía de

la festividad de San Bernabé en la temporalización de la Unidad Didáctica, la

propuesta ha sido ambientada en el Logroño de aquella época. Tras los ataques

franceses a las murallas logroñesas y por encargo del rey Carlos I de España y V

de Alemania, los alumnos deben calcular los m² de muralla que rodeaban

Logroño, para más adelante calcular el costo en maravedíes que conlleva

pintarla. Con esta actividad se busca incrementar la curiosidad matemática de

los alumnos, por lo que se han ido dando indicaciones a lo largo de la unidad

didáctica. Para ello en cada sesión se fueron dejando cartas escritas con letra

gótica con las indicaciones a seguir (estas fases se pueden encontrar en los

anexos) o bien dejando información complementaria en el portátil o pizarra

digital.

Trabajarán en parejas, pero el trabajo final lo entregarán, de manera individual, en un

carpeta que les habré dado al principio, con todos los ejercicios que han ido realizando.


21

Y para que puedan disponer de una guía de cómo proceder a la hora de resolver los

problemas, se les ha colgado en el aula un cartel, con la propuesta de resolución de

problemas de Polya.

Características del grupo

El grupo de alumnos de mi clase de 5º de Educación Primaria está formado por 24

alumnos, de los cuales 14 son chicas y 10 son chicos.

Dentro del grupo de la clase podemos encontrar a un alumno A. C. N. E. E. el cual

debe seguir un ritmo diferente a la clase, debido a que su nivel es diferente que el de los

demás compañeros. Para ello se le preparó una actividad alternativa para realizar

mientras se desarrolla la clase.

Como ya se ha comentado, la Unidad Didáctica de matemáticas está diseñada para

realizarse en el 3º ciclo de Educación Primaria, más concretamente para 5º de Primaria,

por lo que se realizará en horario lectivo con alumnos con edades comprendidas entre

10 y 11 años.

Para la realización de esta propuesta se ha tenido en cuenta:

Evolución intelectual y personal

Desde el punto de vista del desarrollo intelectual este ciclo corresponde con lo que

conocemos como periodo de las operaciones formales. Esto quiere decir que el niño

adquiere las ideas abstractas y el pensamiento simbólico en los procesos de

razonamiento.

Sus pensamientos ya no se limitan exclusivamente al presente y adquiere la

capacidad de la hipótesis y la deducción.

Por lo general en la clase de 5º de Primaria , así es, pero no se puede hablar del

mismo nivel en todos los casos. Al ser el primer curso del 3º ciclo, tal vez algunos no

hayan adquirido todas las habilidades de esta etapa, por lo tanto se pueden ver notables

diferencias entre los que las han adquirido y los que no, por ejemplo en matemáticas, a

la hora de plantearse los ejercicios, saben realizarlos pero al formular como un

problema el mismo ejercicio, ya no saben cómo realizarlo. De todas maneras, tienen lo

que les queda de curso y sexto al completo para poder adquirir todas las habilidades


22

correspondientes a la etapa, por lo que seguir trabajando utilizando la resolución de

problemas es muy conveniente.

Principales objetivos educativos

En matemáticas se ampliará el conocimiento de los números, incluyendo las fracciones

y los números decimales y en este caso la geometría, llevándolo a través de la

formulación de problemas, a un conocimiento de las matemáticas que nos rodean

diariamente. Muchos de los contenidos que van a tratar no los habían visto nunca, como

puede ser el m², por lo que se debe actuar con precaución y sin apresurarse desde el

primer momento. Deben conocer los nuevos conceptos adecuadamente.

En este apartado se pueden ver grandes diferencias en la comprensión de las

matemáticas, debido a que en muchos casos no las entienden y necesitan ayuda. Para

estos casos, se ha propuesto un comienzo de la propuesta trabajando en parejas, así

conseguir que vayan ganando confianza y adquiriendo herramientas de resolución de

problemas.

Alumno A.C.N.E.E

D.G. es un alumno con necesidades educativas especiales, que está cursando 5º de

Primaria, pero tienes unos libros especiales para él, que son de nivel de 1º y 2º de

Primaria. La mayor parte del tiempo está en la misma clase con el resto de sus

compañeros, pero tiene uno horario especial en el que a veces se ausenta para recibir

clases adecuadas a su nivel.

En este caso, estuvo presente en todas las horas de esta Unidad Didáctica, salvo en

una, y se estuvo realizando ejercicios en relación con el tema que se estaba tratando.

Se imprimieron en una hoja un triángulo, un cuadrado, un rectángulo, un pentágono,

un hexágono, un heptágono y un octógono. Empezó recortando y coloreando distintos

polígonos.

Una vez terminado, se utilizó el juego de GEOMAG, para que realizase las formas

que había recortado y contase el número de lados que tiene cada una de ellas.

Para terminar y poder incluir el trabajo realizado en su carpeta personal, se le entregó

una hoja donde se encontraban escritas el número de lados de cada uno de los polígonos


23

que utilizó, donde él debía pegar las figuras recortadas el primer día en su el lugar

adecuado.

Temporalización

La Unidad Didáctica que se va a presentar es una Unidad Didáctica de geometría

realizada entre el 18 de mayo de 2015 y el 5 de junio de 2015.

La Unidad Didáctica se divide en 5 sesiones de 60’ de duración de los cuales son

efectivos aproximadamente 50’.

Objetivos generales de la Unidad Didáctica

1. Utilizar instrumentos de dibujo y herramientas tecnológicas para la construcción

y exploración de formas geométricas.

2. Calcular el área y el perímetro de: rectángulo, cuadrado, triángulo.

3. Aplicar los conceptos de perímetro y superficie de figuras para la realización de

cálculos sobre planos y espacios reales y para interpretar situaciones de la vida

diaria.

4. Clasificar cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados.

5. Identificar y diferencia los elementos básicos de circunferencia y circulo: centro,

radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y sector circular.

6. Calcular perímetro y área de la circunferencia y el círculo.

7. Utilizar la composición y descomposición para formar figuras planas y cuerpos

geométricos a partir de otras.

8. Identificar y nombrar polígonos atendiendo al número de lados.

9. Comprender y describir situaciones de la vida cotidiana, e interpretar y elaborar

representaciones espaciales (planos, croquis de itinerarios, maquetas…),

utilizando las nociones geométricas básicas (situación, movimiento, paralelismo,

perpendicularidad, escala, simetría, perímetro, superficie).

10. Resolver problemas geométricos que impliquen dominio de los contenidos

trabajados, utilizando estrategias heurísticas, de razonamiento (clasificación,

reconocimiento de las relaciones, uso de contraejemplos), creando conjeturas,

construyendo, argumentando, y tomando decisiones, valorando las

consecuencias de las mismas y la conveniencia de su utilización.


24

11. Reflexionar sobre el proceso de resolución de problemas: revisando las

operaciones utilizadas, las unidades de los resultados, comprobando e

interpretando las soluciones en el contexto, proponiendo otras formas de

resolverlo.

12. Identificar las unidades del Sistema Métrico Decimal. Longitud y superficie

13. Medir con instrumentos, utilizando estrategias y unidades convencionales y no

convencionales, eligiendo la unidad más adecuada para la expresión de una

medida.

14. Explicar de forma oral y por escrito los procesos seguidos y las estrategias

utilizadas en todos los procedimientos realizados.

15. Resolver problemas utilizando las unidades de medida más usuales, convirtiendo

unas unidades en otras de la misma magnitud, expresando los resultados en las

unidades de medida más adecuadas, explicando oralmente y por escrito, el

proceso seguido.

Contenidos Unidad Didáctica

1. Situación en el plano y en el espacio.

2. Formas planas y espaciales: figuras planas: elementos, relaciones y clasificación.

3. Clasificación de cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados.

4. Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados.

5. Perímetro y área.

6. La circunferencia y el círculo.

7. Elementos básicos: centro, radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y sector

circular.

8. Unidades del Sistema Métrico Decimal. Longitud y superficie.

9. Desarrollo de estrategias para medir figuras de manera exacta y aproximada.

10. Elección de la unidad más adecuada para la expresión de una medida.

Realización de mediciones.


25

Análisis del libro de texto

El tema escogido para la realización de esta unidad didáctica pertenece al tema 11

del libro de texto de Matemáticas de 5º de Educación Primaria de la editorial SM. Es un

tema que se centra en la geometría plana y se le ha llamado “Medir superficies”

Número de problemas en el tema de geometría: 42 problemas.

Ahora procedemos a realizar una tabla con la variedad de problemas que se proponen

en el tema de geometría escogido del libro de 5º de Matemáticas.

Número de ejercicios-problemas 1 Ejercicios de reconocimiento 5 2 Ejercicios algorítmicos o de repetición 10 3 Problemas de traducción simple o compleja

5

4 Problemas de procesos 6 5 Problemas sobre situaciones reales 11 6 Problemas de investigación matemática 2 7 Problemas de puzles 2 8 Historias matemáticas 1

Por lo tanto podemos ver que la edición SM encamina, en su mayoría, una propuesta

basándose en la resolución de problemas. Uno de los motivos puede ser que en el

currículo actual la resolución de problemas de problemas ha ganado en importancia y

las editoriales deben ajustarse a la forma de trabajar propuesta.

12%

24%

12%14%

26%

5%5%

2%

Libro de texto

1 2 3 4

5 6 7 8


26

Si dividimos la gráfica en ejercicios y problemas, vemos como el 36 % son ejercicios

y el resto, un 66% problemas, por lo que vemos que se le da más importancia a estos

últimos.

Aun así, esto no debe disminuir la importancia de seguir proponiendo problemas

matemáticos alternativos a los que se proponen en los libros de texto. Hay que

conseguir que los alumnos salgan lo más formados posibles y las matemáticas aparte de

ser una asignatura troncal, es muy importante dominarla en la vida cotidiana. Si se

trabaja a través de la resolución de problemas, se consigue proporcionar un abanico de

herramientas útiles para la vida cotidiana, puesto que en caso de encontrarte con un

problema puedas recurrir a tus estrategias adquiridas para solucionarlo.

Por este motivo, voy a proponer una serie de actividades y problemas en la unidad

didáctica, con el apoyo del libro de texto.

Análisis problemas propuestos por mí en la Unidad Didáctica

Partiendo de la base del mismo tema que encontramos en el libro de texto, se

proponen una serie de actividades alternativas:

Número de ejercicios-problemas Ejercicios de reconocimiento 2 Ejercicios algorítmicos o de repetición 3 Problemas de traducción simple o compleja

2

Problemas de procesos Problemas sobre situaciones reales 6 Problemas de investigación matemática 2 Problemas de puzles 2 Historias matemáticas 7


27

Aquí vemos la gráfica de las actividades propuestas en este estudio. Lo primero que

podemos destacar es la disminución de la parte de ejercicios. Si sumamos el punto 1 y 2

referidos a ejercicios, vemos que hemos destinado un 22% de actividades a este fin. Por

lo tanto se ha disminuido, pero seguimos pensando que es importante introducir alguno

de los ejercicios típicos, siempre y cuando la parte central sea la resolución de

problemas matemáticos.

En este aspecto notamos sobretodo un aumento importante de las historias

matemáticas (pasando de un 2% a un 29%). Esta propuesta de formular los problemas,

nos parece muy interesante para llegar a los alumnos, porque la ven de forma lúdica

mientras resuelven los problemas. En el punto de problemas sobre situaciones reales,

vemos que es prácticamente el mismo y pensamos que es la parte que más se ha

trabajado en las editoriales.

Actividades 5º de Primaria, Medir superficies

Antes de comenzar con el desarrollo de las actividades, propongo unas claves para

poder diferenciar a quien pertenece cada uno de los problemas:

PM: Propuesta por mí

ML: Modificada del libro de texto

L: Extraída del libro de texto

9%

13%

8%

0%

25%8%

8%

29%

Unidad didáctica

1 2 3 4

5 6 7 8


28

Los objetivos y contenidos que encontramos en las sesiones, han sido numerados

correspondientemente a los objetivos generales y contenidos mostrados anteriormente.

Sesión 1. Formas de medir superficies

Objetivos

1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 14

Contenidos

1, 2, 3, 6

Parte teórica

La disposición de la clase es en grupos de 6 personas, por lo que aprovecharemos para

poder trabajar en grupo y resolver los problemas juntos.

Comenzamos haciéndoles la pregunta ¿qué es una superficie?

Si tomamos la definición de superficie desde el punto de vista geográfico, la superficie

es la extensión o el área que ocupa un territorio.

Pero concretando un poco más, en matemáticas la superficie es aquello que solo tiene

longitud y anchura, es plano.

Problemas:

1- Vamos a empezar por trabajar la superficie de la clase. (PM) - Vamos a pensar distintas formas de medir la superficie de la clase,

- ¿Qué formas de medir que superficie ocupa el aula se os ocurren?


29

2- Una vez que ya tenemos una unidad de medida adecuada, me podéis decir: (PM) - ¿Qué superficie ocupa la mesa del profesor?

- ¿Y la de todos los pupitres?

- ¿Hace falta medir cuánto ocupa cada pupitre uno a uno?

3- ¿Qué tenemos que hacer para saber en baldosas la superficie que ocupa la clase?

(PM) 4- Si nuestra unidad de medida es el cuadrado ¿qué superficie ocupan estas

figuras? (L)

5- Con la ayuda de un tangram, que debemos

recortar, tenemos que calcular la superficie usando

como unidad de medida los cuadritos del cuaderno.

¿Qué superficie ocupa en total? (ML)

6- Con las fichas debemos crear la siguiente figura, ¿qué superficie ocupa? (PM)


30

Sesión 2.Unidades de medida de superficie

Objetivos

1, 2, 3, 10 11, 12, 13, 14, 15

Contenidos

3, 4, 6, 9, 10, 11

Parte teórica

La unidad de medida principal y que más se utiliza es el 𝑚2.

Equivalencias

1 𝑚2: 100 𝑑𝑚2

1 𝑑𝑚2: 100 𝑐𝑚2

1 𝑚2: 100 𝑑𝑚2: 10000 𝑐𝑚2

Para comprender la equivalencia nos apoyaremos en la siguiente imagen:


31

Problemas:

1- Aproximación de medidas a través de fotos. (L)

a) 7000 𝑚2 a) 352 𝑚2

b) 7000 𝑑𝑚2 b) 352 𝑑𝑚2

c) 7000 𝑐𝑚2 c) 352 𝑐𝑚2

2- Por grupos y sin hacer ruido, tenemos que ir recopilando las siguientes

superficies que ocupan objetos de la clase: (PM)

Pizarra

Pizarra digital

Pupitre

Mesa del profesor

Librería

3- Siempre hemos querido tener un ajedrez y por fin hemos encontrado el tablero

que nos gusta, pero viene sin fichas, así que tenemos que fabricarlas. El lado de

nuestro tablero mide 18 cm, pero para poder hacer las fichas a medida, ¿Cuánto

miden cada una de sus casillas? (PM)


32

Sesión 3. Área de polígonos.

Objetivos

1, 2, 3, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15

Contenidos

3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Parte teórica:

Calcular las fórmulas de los polígonos con ayuda de un folio.

Se les entrega un folio recortado en forma de cuadrado y otro folio normal.

Se les lanza la pregunta: ¿alguien puede decirme cuál es la fórmula del área de estos

polígonos? ¿Se os ocurre, sabiendo todo lo que hemos tratado los días anteriores, alguna

idea?

Se les recuerda cómo calculamos la superficie de la clase.

Les hago observar que de manera análoga calculábamos la superficie de la

clase,contando baldosas (ver actividad inicial). Lo mismo hacemos con el rectángulo

diferenciando que en este caso es base por altura.

Pero y ¿con los triángulos? ¿Cómo sabemos cuál es su área?

Doblamos el cuadrado por la mitad y salen dos triángulos iguales, ¿Cuál es la fórmula

entonces? Llegando a la conclusión de que el área del cuadrado y del rectángulo ocupa

lo mismo que la de dos triángulos, por lo tanto, el área del triángulo es la misma que la

del cuadrado y rectángulo, dividida entre dos: Base por altura partido de 2,

consiguiendo de este modo que lleguen a la conclusión ellos mismos.


33

Problemas:

1- Si sabemos que cada lado del cuadrado mide 1dm, ¿Cuál es el área de las

siguientes figuras? (ML)

Parte teórica:

Romboide

Se les entrega una hoja con el dibujo de un romboide:

¿A qué figura se parece el romboide? Y si cortamos el romboide por la altura, ¿Qué

figura podemos crear? ¿Ocupa el mismo espacio?


34

Por lo tanto el área del romboide es: Base x altura

Rombo

Se les entrega una hoja con un rombo dibujado en ella:

El rombo tiene una diagonal mayor y una diagonal menor.

Vamos a cortar el rombo por la mitad por su diagonal mayor. ¿Qué figura podemos

crear? Ocupa la mitad de la superficie del rectángulo anterior.

Por lo tanto el área del rombo es: (Diagonal mayor x diagonal menor) : 2

Problemas:

2- Ya que tenemos preparado el tangram, lo vamos a utilizar para calcular su

superficie en cm2, ¿Quién me puede decir que superficie tiene cada una de sus

fichas y el tangram al completo? (PM) 3- ¿Y qué superficie ocupa en dm2? ¿Y en m2? (PM)

Sesión 4. Área de un polígono regular

Objetivos

1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Contenidos

1, 3, 5, 6, 9, 10, 11

Parte teórica:

Crear nuestro propio desplegable, un hexágono regular

3 cm

2,6 cm


35

6 cm

4 cm

5,2 cm

Desde los vértices, trazamos líneas para unirlas con el centro. ¿Cuántos triángulos nos

salen?

Si sabemos que la apotema mide 2,6 cm, que casualmente coincide con la altura del

triángulo y que los lados del hexágono miden 6 cm, ¿Cuál es el área del triángulo?

Ahora que tenemos el área de un triángulo ¿qué tenemos que hacer para saber el área

del hexágono? Lo multiplicamos x 6

Por lo tanto el área del hexágono regular:

((Nº de lados x longitud del lado) x apotema) : 2

(Perímetro x apotema) : 2

Problemas:

1- Dibuja un octógono de 10 cm de lado, sabiendo que la apotema mide 12,1 cm,

¿Cuál es el área del octógono? Calcula el área con y sin formula. (PM) 2- Calcula el perímetro y el área de estos polígonos: (ML)

3- El rey Carlos I de España necesita una vez

más nuestra ayuda. Para saber si sus torres

son realmente eficientes, quiere saber el área

de pasillo que recorren los arqueros en su

vigilancia en la torre. Así, podrá considerar si

estos pasillos son suficientemente anchos para

que circulen con comodidad. Las torres son

hexagonales. Sabemos la medida de sus lados

interiores y exteriores, así como las apotemas,

y nos ha mandado un dibujo: ¿se os ocurre

cómo podemos resolverlo? (PM)

20,7 17,3 13,7


36

Sesión 5. Área del círculo

Objetivos

1, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Contenidos

3, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Parte teórica:

A= (perímetro x apotema) : 2

Calcular el área del círculo como la de un polígono regular, en este caso con muchos

lados. Y cambiamos apotema por radio.

A = (Longitud de la circunferencia x radio) : 2

A = 2 x πx r x r

A = π x r²

A = 3,14 x 3² = 28,26

El área del círculo es 28,26 cm²

Problemas:

4- Calcula las áreas de los siguientes círculos (L)

Apotema

r = 3 cm

Radio 5 cm Radio 20 mm Radio 60 mm


37

1- Hoy es día de pizza y hemos pedido tres pizzas artesanas de diferentes tamaños.

Pero te vas un momento y tus amigos se han comido parte de la pizza y quieres

saber quién es el que más ha comido. Pablo ha dividido la pizza en 3 trozos y se

ha comido 2 trozos, el radio de su pizza media 15 cm. Clara en cambio ha divido

la pizza en 4 trozos y se ha comido 3 trozos, el radio de su pizza media 12 cm.

Finalmente Ana confiesa que ha dividido la pizza en 6 trozos y se ha comido 4

trozos. ¿Quién es el que más cantidad de pizza ha comido? (PM) 2- El rey Carlos I vuelve a enviarnos una carta, en este caso quiere saber qué

perímetro circular pueden llegar a alcanzar sus arqueros, sabiendo que un

arquero normalmente puede llegar a disparar a una distancia de 83 metros.

Necesita una respuesta rápida para proteger bien las murallas que vais a

reformar. (PM)


38

34%

58%

8%

¿Qué tipo de problema te ha gustado más?

Libro. Resolución de problemas Ninguno

25%

62%

13%

¿Qué problemas te han parecido más dificiles?

Libro Resolución de problemas Ninguno.

VALORACIONES

Para poder realizar unas valoraciones teniendo en cuenta lo importante, como es la

aceptación de la forma de proceder por parte de los alumnos, realicé las siguientes

encuestas:

Para empezar vamos a hablar sobre la incorporación de la resolución de problemas

en el aula.

En este gráfico podemos ver que les ha parecido más entretenido las actividades

propuestas fuera del libro. Entre ellas destacar la implicación en el problema que

realizamos acerca de la muralla, pues varios alumnos comentaron que les gustó mucho

y que además consiguieron hacerlo.


39

El resultado de esta gráfica me llamó mucho la atención y quise volver a hablar con

los alumnos para saber por qué les habían parecido más difíciles los ejercicios

propuestos que no estaban en el libro, si no obstante les habían parecido más divertidos

de hacer. Los alumnos me respondieron en general diciéndome que a la mayoría de

problemas que aparecen en el libro están acostumbrados. Sin embargo, los propuestos

les habían entretenido pero no estaban acostumbrados a hacerlos, por lo que al principio

les costó mucho saber cómo tenían que hacerlo. Lo cual quiere decir que muchos de los

ejercicios que hacen en clase los responden mecánicamente y sin pensar.

Con estos resultados y citando a Isabel Echenique de nuevo, “En caso de haber

practicado la resolución de problemas a lo largo de la Educación Primaria, deben haber

interiorizado el proceso y adquirido las herramientas suficientes para resolver la

mayoría de los problemas de una forma más rápida.”, queda patente la importancia de

trabajar la resolución de problemas desde las primeras etapas.

A la vista de estas cuestiones podemos comprobar cómo a los alumnos, aun

pareciéndoles más difícil el trabajo a través de la resolución de problemas (debido a no

haber practicado a lo largo de los diferentes cursos en su educación), les han parecido

más entretenidos.


40

CONCLUSIONES

Para la realización de este método es muy importante el papel que tiene el docente.

Polya, al igual que otros autores como Bruner, piensan que el papel del maestro es el de

ayudar al alumno, un facilitador. Este punto puede ser un poco subjetivo, pues la ayuda

tiene que ser la suficiente para que puedan realizar la actividad, pero sin ser excesiva de

modo que la resuelva. Por lo tanto puede ser complicado llevarla a cabo, pero al final es

una cuestión de sensatez y experiencia. Por ejemplo, no se puede proponer un problema

muy complicado y no ayudar al alumno, pero tampoco hay que terminar dando la

respuesta; por lo tanto hay que estar atento y si ves que existe un bloqueo dar pistas para

que puedan continuar.

De este modo, Polya propone que nos pongamos en el lugar de los alumnos,

pensando las preguntas que se les puedan ocurrir, para poder echarles una mano cuando

se bloqueen, o realizando esas preguntas en alto para contestarlas entre todos.

También es muy importante tener en cuenta el contexto en el que se sitúen los

problemas, tanto para determinar el éxito como el fracaso, como para incidir en el

futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. Se debe crear una situación

apetecible y que les llame la atención. En este caso, utilizando la edad Media y algo

cercano, como ambientar los problemas en sucesos ocurridos en Logroño en el pasado,

hizo que participasen de manera más amena. Incluso formulaban preguntas que les

surgían tanto de las matemáticas como de historia. Al final lo importante es conseguir

que se fomente la curiosidad en los alumnos, porque si quieren saber algo, se esforzarán

por conocerlo.

Es muy importante tener en cuenta que nos encontramos con grupos de alumnos, que

distintos entre sí. Cada alumno tiene unos ritmos de aprendizaje distintos y hay que

saber cubrir las necesidades de todos. Nos podemos encontrar con ejemplos de alumnos

con buenas notas en otras asignaturas, tienen grandes dificultades en adquirir los

conceptos básicos de otras asignaturas, debido a que su ritmo de aprendizaje en ese

ámbito es más lento. Y en estos casos debemos entenderlo y ponernos en su lugar, para

buscar la forma de conseguir que lo entienda y disfrute. Pero del mismo modo, debemos

prestar atención a los alumnos aventajados e incentivar su desarrollo, proponiéndole

retos.


41

Por concretar un poco más con casos específicos, por ejemplo en esta etapa en 5º de

Primaria, los alumnos deben tener adquirida la conservación de los cuerpos y en la

actividad de calcular la superficie del tangram en su forma básica y después volver a

calcular la superficie con las mismas fichas pero con otra forma (en este caso fue la

forma de un pato, hubo algunos alumnos que no podían creer ni veían que un cuadrado

y un pato con las mismas fichas pudieran tener la misma superficie.

Por ello, es importante atender a estos casos. De nada sirve seguir con la clase

adelante sin que entiendan el porqué. Así como es importante volver a replantearse un

problema una y otra vez para resolver, igual de importante o más es que nosotros como

docentes tengamos la capacidad de replantear un problema una y otra vez hasta

conseguir que los alumnos lo entiendan.

Por último y en resumen, la única forma de aprender a resolver problemas es

resolviendo problemas. Una de las cosas más importantes es conocer las técnicas y

procedimientos de la resolución de problemas, pero si nos quedamos tan solo en la parte

teórica, nuestro conocimiento es solo parcial y nos falta la parte más importante que es

ponerlo en práctica. Por lo tanto para la aplicación de la resolución de problemas en las

aulas, hay que hacer los esfuerzos que sean necesarios, es importante que los alumnos

consigan desarrollar sus estructuras cognitivas resolviendo problemas. Esto les dará

herramientas para cualquier circunstancia que les pueda ocurrir en el día a día, no solo

en el aula, sino fuera de ella también, que es al final para lo que se les enseña, para

prepararlos en su incorporación a la sociedad.


42

REFERENCIAS

Bibliografía

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para la elaboración, tutorización y evaluación del trabajo fin de grado” (Logroño,

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Ciclo Inicial de E.G.B. Dos aspectos importantes para el análisis didáctico: Realidad y

Lenguaje". (Revista Campo Abierto nº6.)

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43

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[Traducción castellana de Julián Zugazagoitia, Cómo plantear y resolver problemas.

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http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wp-

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http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0029/File/Objetos_Didacticos/TPEmpleabilidad/

modulo6/Recursos_conceptuales_RESOLUCION_PROBLEMAS_%20APLICAR_AL

TERNATIVAS_DE_SOLUCION.pdf

http://www.boe.es/boe/dias/2014/03/01/pdfs/BOE-A-2014-2222.pdf

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44

Libro de texto

Libro 5º de Educación Primaria de ediciones SM


45


46

ANEXOS

EJERCICIOS MURALLA

Primera etapa

Estamos en el año 1522, soy el rey Carlos I de España y V de Alemania. Me dirijo a

vosotros, puesto que me han dicho que sois muy buenos en matemáticas y necesito

ayuda con urgencia. Como sabéis las tropas francesas nos asediaron con mucho fervor

el pasado año y es necesario reconstruir la muralla para recordar tal hazaña.

Para este fin os encomendaré distintas pruebas que deberéis ir resolviendo, para

finalmente decirme cuánto mide la muralla y cuántos maravedís nos costaría pintarla.

Como aún queda cerca la batalla, haremos todo esto en secreto, así que os iré dejando

notas en este mismo lugar para que vayáis resolviendo el problema.

Segunda etapa

El rey Carlos primero nos ha escrito, dándonos las primeras indicaciones para

resolver el problema que nos ha plateado.

Nos ha enviado el dibujo de una parte de la muralla, para que nos hagamos una idea

de la forma que tiene, para calcular la superficie. Nos ha enviado una muestra de 11

metros. Una vez obtengamos qué superficie ocupa esa parte, nos enviará más datos.

4 metros

1,1 metros

1,1 metros

11 metros


47

Tercera etapa

Parece que esto avanza viento en popa, por lo que nos ha escrito dándonos datos más

ampliados de la muralla. En este caso nos envía el mapa de la zona para que podamos

ver lo bonita que es nuestra ciudad en esos años y nos dice que la muralla en total mide

6 km que fortifican Logroño.

Cuarta etapa

¡Oh qué fallo! Disculpad las molestias pero se me olvidó deciros que también la

muralla está compuesta por 8 torres con forma pentagonal, que también debemos saber

la superficie para pintarlas, tienen una altura de 8 metros y cada cara mide 4 metros.

¿Me podéis decir su superficie?

Quinta etapa

Ya debéis tener toda la superficie de la muralla, pero para poder seguir tenemos que

conocer la moneda que se usaba entonces. Aquí al lado de la carta, debe de haber algún

objeto con una tecnología que no conozco, donde podéis informaros un poco de las

monedas de la edad media.

http://www.maravedis.org/tiposmonedas.html

http://www.maravedis.org/tiposmonedas.html


48

¿Os suena alguna? Pues el presupuesto que tenemos que hacer para pagar la muralla

es en maravedís. Os puedo decir que el metro cuadrado de pintura cuesta 5 maravedís,

¿me podéis decir cuánto cuesta pintar la muralla?

Sexta etapa

Finalmente creo que ya tenéis la superficie y el precio de la pintura para la muralla,

ahora debéis meter todo vuestro trabajo en las carpetas que se os dieron al principio para

que me lo traigan y pueda ver vuestras aportaciones. Logroño está en deuda con

vosotros, veo que está poblada por gente valerosa y ahora entiendo por qué resistieron a

los franceses. Gracias a esto se escribió mucho acerca de Logroño y os dejo algo de

información con estos dos libros. Gracias por todo.

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Planteamiento de problemas de matemáticas en Educación ...de la resolución de problemas como estrategia didáctica en la Educación Primaria. En este trabajo nos centramos en el