Podudarnost Trouglova i Primene

1

mr VOJISLAV ANDRIĆ, IVANKA TOMIĆ, RADIŠA KOVAČEVIĆ

PODUDARNOST TROUGLOVA I PRIMENE

Pojam podudarnosti je jedan od najvažnijih pojmova u nastavi matematike u osnovnoj školi. Cilj četvoročasovnog izlaganja je da ukaže na jedan od mogućih pristupa ovoj zanimljivoj i kompleksnoj nastavnoj materiji. Konkretno, namera autora je da daju osvrt na sam pojam podudarnosti trouglova, uvođenje aksioma1 podudarnosti trouglova, ali i da ukažu na mnogobojne primene podudarnosti trouglova u planimetriji trougla, četvorougla, mnogougla i kruga, kao i primeni podudarnosti kod odnosa stranica i uglova trougla, značajnih tačaka trougla i odnosa centralnog i periferijskog ugla kruga. 2 Posebna pažnja pri tom biće posvećena korektnom geometrijskom dokazu, kao metodološkom postupku koji se prvi put uvodi u nastavnu praksu upravo u osnovnoj školi, a ima veliki značaj ne samo za matematičko obrazovanje učenika, već i za razvijanje opšte kulture učenika. Celokupno izlaganje biće ilustrovano odgovarajućim primerima primene, pri čemu su sve teme prezentirane u formi zgodnoj za rad sa obdarenim učenicima, jer pored primera za ilustraciju teme sadrže zadataka za uvežbavanje, zadatke sa matematičkih takmičenja, zadatke za samostalan rad, a po negde i zadatke za mala istraživanja.

1. UVODNI METODIČKI OSVRT

Uvođenje podudarnosti nije samo zadatak nastave matematike u VI razredu kada se podudarnost figura eksplicitno dokazuje i iz dokaza podudarnosti izvode određeni zaključci, jer prilika da se intuitivno uvodi podudarnost figura bilo je i ranije. Zato uspešnost formalnog uvođenja pojma podudarnosti u mnogome zavisi od sledećih metodičkih pitanja:

Kako podudarnost najuspešnije približiti učenicima?

Na kojim primerima najbolje ilustrovati aksiome podudarnosti?

Na kojim primerima najefikasnije ilustrovati prividnu podudarnost, tj. one slučajeve kada trouglovi imaju neke elemente podudarne, a ipak nisu podudarni? PRIMER 1. Dokazati da su dijagonale kvadrata jednake. PRIMER 2. Dokazati da se dijagonale kvadrata polove. PRIMER 3. Dokazati da su uglovi na osnovici jednakokrakog trougla jednaki. PRIMER 4. Da li su trouglovi podudarni ako su im svi uglovi jednaki? PRIMER 5. Dati su trouglovi ABC i A’B’C’ tako da je AC = A’C’, BC = B’C’ i ∠BAC = ∠B’A’C’.Da li je AB jednako A’B’? PRIMER 6. Pravougli trouglovi ABC i A’B’C’ imaju jednake hipotenuze, tj. AB = A’B’. Da li su trouglovi ABC i A’B’C’ podudarni?

1 Govorimo o aksiomama podudarnosti trouglova, jer je dokazivanje stavova podudarnosti na uzrastu 12 godina jednostavno neplodotvoran posao 2 Konstruktivni zadaci će ovoga puta izostati, jer autori nameravaju da ovu temu prezentiraju kroz četvoročasovno izlaganje na sledećem seminaru na kome bi pored klasičnih konstruktivnih zadataka bilo reči i o rekonstruktivnim zadacima, konstrukcijama kroz nedostižne tačke, konstrukcijama samo lenjirom, konstrukcijama samo šestarom…

2

2. PRIMENA PODUDARNOSTI NA TROUGAO PRIMER 1. Neka je D tačka na stranici BC datog trougla ABC , takva da je DC=2BD . Odrediti ostale uglove trougla , ako je <ABC=45° i <ADC=60°. PRIMER 2. U jednakokrakom truglu ABC ugao pri vrhu C je 108o . Na kraku BC data je tačka E , takva da prava AE polovi ugao BAC. Ako je duž CD visina ovog trougla dokazati da je AE = 2 CD . PRIMER 3. U trouglu ABC data je visina CE. Simetrala spoljašnjeg ugla kod temena C seče pravu AB u tački D. Ako je CE= 1/ 2CD, onda je α-β=60°. Dokazati. PRIMER 4. Izračunati uglove trougla ako se zna da visina i težišna linija iz istog temena dele ugao kod tog temena na 3 jednaka dela.

PROBLEMI ZA UVEŽBAVANJE

1. * Simetrala pravog ugla proizvoljnog pravog trougla polovi ugao koji obrazuje visina i težišna linija iz temena pravog ugla. Dokazati.

2. * U trouglu ABC , u tački H seku se visine AD i CE. Ako je CH=AB izračunati ugao ACB. 3. * Trougao ABC ima uglove β=15° i γ=30°. Prava koja sadrži tačku A i normalna je na AB seče duž BC u

tački D . Dokazati da je 2AC=BD. 4. * U pravouglom trouglu ABC (∠C=90°) konstruisane su simetrale AD i BE uglova u temenima A i B. Iz

tačaka D i E konsturisane su normale DN i EM na hipotenuzu. Dokazati da je ugao ∠MCN = 45°. 5. Ugao između hipotenuzine visine i simetrale pravog ugla je 12°. Naći oštre uglove datog trougla. 6. Izračunati ugao koji obrazuju visina i simetrala ugla iz temena C trougla ABC , ako su poznati uglovi α i

β. (α>β). 7. U trouglu ABC je ugao BAC=20° i AB=AC. Date su tačke: D∈AB i E∈AC , takve da je ugao BCD

jednak 60° i ugao CBE jednak 50°. Izračunati uglove CDE i BED. 8. U jednakokrakom truglu ABC sa osnovicom AC , prava CD je simetrala ugla ACB (D∈AB). Prava koja

sadrži tačku D i paralelna je osnovici sa visinom BM ima zajedničku tačku N. Prava d koja sadrži tačku D i normalna je na CD ima sa pravom AC zajedničku tačku F. Dokazati da je DN=1/4CF.

9. U jednakokrakom trouglu ABC , kome je ugao pri vrhu ACB=80° , data je tačka O , takva da je ugao BAO=10° i ugao ABO=30°. Izračunati ugao ACO.

ZADACI SA MATEMATIČKIH TAKMIČENJA

10. Na stranici CD kvadrata ABCD date su tačke E i F tako da CE=EF=FD. Duži AE i BF seku se u tački M. Dokazati: a) ∆AED ≅ ∆BFC; b) trougao EFM je jednakokraki. (O-1999)

11. Jedan oštar ugao datog pravouglog trougla je pet puta veći od drugog. Dokazati da je hipotenuza četiri puta veća od svoje visine. (R-2000)

12. Dat je oštrougli trougao ABC. U temena A konstruisane su duži AD i AE tako da je AD normalno na AC i AD=AC; AE normalno na AB i AE=AB, pri čemu su tacke D i E kao i tacke B i D sa raznih strana prave AC. Dokazati da je BD=CE. (M-2001)

13. U trouglu ABC simetrala ugla kod temena seče stranicu BC u tački A1, a simetrala ugla kod temena B seče stranicu AC u tački B1. Ako se duži BB1 i AA1 seku u tački S i ako je ∠γ = 60o, onda je trougao A1SB1 jednakokrak. Dokazati. (R-2001)

KONKURSNI ZADACI

14. Na hipotenuzi BC pravouglog trougla ABC date su tačke D i E, takve da je BE=AB i CD=AC. Izračunati ugao DAE.

15. Na produžecima stranica jednakostraničnog trougla ABC date su tačke K , L , M tako da je A-B-K , B-C-L , C-A-M i BK=CL=AM. Dokazati da je trougao KLM jednakostraničan.

16. Dati trougao ABC i van trougla u istoj ravni tačke P, Q i R takve da su stranice datog trougla osnovice jednakokrakih prvouglih trouglova ABR, ACQ i ACP. Dokazati da je BP=QR i BP⊥QR.

PROBLEM ZA ISTRAŽIVANJE

17. Izračunati uglove trougla ako se zna da visina, simetrala ugla i težišna linija iz istog temena dele ugao kod tog temena na četiri jednaka dela.

3

3. PRIMENA PODUDARNOSTI NA ČETVOROUGAO

PRIMER 1: Dat je paralelogram ABCD , tačka M na stranici AB i tačka N na CD, tako da je MB=DN i ugao ANB=117°. Koliki je ugao između dijagonala četvorougla BCNM?

PRIMER 2: U pravougaoniku je stranica BC dva puta veća od stranice AB. Iz tačke M stranice BC duži AB i AD se vide pod jednakim uglovima. Izračunati ove uglove.

PRIMER 3: U paralelogramu ABCD tačka M je središte duži BC, a tačka N je središte duži CD. Dokazati da prave AM i AN dele dijagonalu BD na 3 jednaka dela.

PRIMER 4: DIjagonale AC i BD jednakokrakog trapeza ABCD sa osnovicom AB seku se u tački O pod uglom AOB=60°. Dokazati da su središta duži OA, OD i BC temena jednakostraničnog trougla.

PROBLEMI ZA UVEŽVABANJE

1. * Dat je pravougaonik ABCD , AB>BC , i tačka B1 tako da je prava AC simetrala duži BB1. Ako je AB1∩CD={E}, dokazati da je trougao ACE jednakokrak.

2. * Dokazati da su središta stranica i podnožje bilo koje visine u trouglu temena jednakokrakog trapeza. 3. Dat je paralelogram ABCD u kome su A1 B1 C1 D1 redom središta stranica BC, CD, DA, AB. Neka prave

DD1 i BB1 seku pravu AA1 u tačkama N i M. Dokazati da je MN=2/5 AA1 . 4. Dve visine romba, konstruisane iz temena tupih uglova, dele jedna drugu na odsečke čije se dužine odnose

kao 1:2. Izračunati uglove tog romba. 5. Normala iz temena na dijagonalu pravougaonika seče tu dijagonalu tako da je jedan odsečak tri puta veći

od drugog odsečka. Izračunati ugao pod kojim se seku dijagonale pravougaonika. 6. Dokazati da središta stranica jednakokrakog trapeza predstavljaju temena romba. Kakav četvorougao

određuju središta stranica bilo kog četvorougla? 7. Dijagonale dva pravougaonika, od kojih je jedan upisan u drugi , seku se u jednoj tački. Dokazati. 8. U jednakokrakom trapezu odstojanje od jednog kraja veće osnovice do naspramnog kraka dva puta je

manje od te osnovice. Izračunati uglove trapeza. 9. U pravougaoniku ABCD simetrala ugla kod temena B seče prave AC i AD redom u tačkama E i F. Kroz E

je konstruisana prava paralelna sa AB , koja seče dijagonalu BD u tački K. Dokazati da je FK⊥AC.


10. Neka je dužina srednje linije m, a h dužina visine trapeza čije su dijagonale normalne. Dokazati da je m ≥ h. (S-1998)

11. Neka su tačke P, Q, R, S redom središta stranica AB, BC, CD, DA paralelograma ABCD. Dalje, neka se prave AQ I PD seku u tači K, prave AQ I RB seku u tački L, prave SC I RB seku u tački M, a prave PD i SC seku u tački N. Dokazati da je četvorougao KLMN paralelogram i da je KL=2/5AQ. (M - 1999)

12. U konveksnom četvorouglu ABCD, ∠ACB=20o, ∠ACD=30o i ∠ADB=40o stepeni. Odrediti ∠BAC ako je AD=BD. (R - 2000)

13. NA starnici AB paralelograma ABCD data je tačka K takva da je ∠ugao AKD jednak ∠DKC. Prava p koja sadrži središte P stranice BC, paralelna je pravoj AB i seče duž KD u tački M, a normala u K na AB seče pravu CM u tački N. Dokazati da je prava DN normalna na pravu CK. (S - 2000)

KONKURSNI ZADACI

14. U paralelogramu ABCD tačka M je središte duži BC a tačka N je srediste duži CD. Dokazati da prave DM

i BN dele dijagonalu AC na tri jednaka dela. 15. Dokazati da rpesečne tačke simetrala unutrašnjih uglova proizvoljnog paralelograma predstavljaju temena

pravougaonika. 16. Oštrougli trougao ima ortocentar H. Tačke M , N, P i Q su redom središta duži BH, CH, AC i AB.

Dokazati da je četovorugao MNPQ pravougaonik.

4

4. PRIMENA PODUDARNOSTI NA MNOGOUGAO

PRIMER 1: Koliko je unutrašnji ugao pravilnog mnogougla koji ima dijagonala 6 puta više nego stranica?

PRIMER 2: Dat je pravilan mnogougao. Koliki je unutrašnji ugao ovog mnogougla, ako je drugi mnogougao koji ima jednu stranicu manje ima za 8 dijagonala manje od datog pravilnog mnogougla?

PRIMER 3: Tačke A1, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 su uzastopna temena pravilnog desetougla upisanog u krug sa centrom O. Poluprečnici OA3 i OA4 seku tetivu A2A5 u tačkama M i N. Dokazati da je zbir duži MN i A3A4 jednak poluprečniku kruga.

PRIMER 4: Neka su AB i BC dve susedne stranice pravilnog devetougla upisanog u krug čiji je centar O. Sa M označimo stredište stranice AB a sa N središte poluprečnika OX koji je normalan na BC. Dokazati da je ugao OMN=30°.


1. * Dokazati da je centralni ugao kruga opisanog oko proizvoljnog pravilnog mnogougla, koji odgovara stranici, jednak spoljašnjem uglu tog mnogougla.

2. Ako se dve nesusedne stranice pravilnog petougla produže do preseka, taj produžetak je jednak dijagonali petougla. Dokazati.

3. Nad svakom stranicom pravilnog šestougla konstruisan je spolja kvadrat. Dokazati da temena ovih kvadrata , koja se ne poklapaju sa temenima šestougla , određuju pravilan šestougao.

4. Izračunati zbir unutrašnjih uglova u vrhovima zvezde petokrake.

5. Dokazati da su suprotne stranice pravilnog šestougla paralelne među sobom.

6. Neka je M proizvoljna tačka manjeg luka AE kruga opisanog oko pravilnog petougla ABCDE. Dokazati da je MB+MD=MA+MC+ME.

7. Ako su u nekom šestouglu dijagonale jednake, a po dve stranice paralelne, dokazati da se oko tog šestougla može opisati krug.

8. Ako se broj stranica jednog mnogougla smanji za jedan, broj njegovih dijagonala se smanji za osam, koji je to mnogougao ?


9. Kada se broj stranica konveksnog mnogougla udvostruči,onda se broj njegovih dijagonala poveća za 1998. Za koliko se stepeni pri tom poveća zbir njegovih unutrašnjih uglova? (M -1998)

10. U proizvoqnom konveksnom petouglu ABCDE dužina stranice AE je 4cm. Neka su P,Q,S i T redom središta duži AB, CD, BC i DE, a M i N redom središta duži PQ i ST. Izračunati dužinu duži MN. (S-1998)

11. Pravilan mnogougao M ima unutrašnji ugao koji je za jedan i po put veći od unutrašnjeg ugla pravilnog mnogougla M1. Odrediti sve parove takvih mnogouglova M i M1.

KONKURSNI ZADACI

12. U konveksnom šestouglu ABCDEF sve stranice su jednake i jednaki su međusobom uglovi A, B, C i E dokazati da je ovaj šestougao pravilan.

13. Dokazati da je svaki tetivan jednakostraničan mnogougao pravilan.

14. Postoji li konveksan mnogougao kod kog su zbirovi unutrašnjih i spoljašnjih uglova u odnosu 15:4 ?

5

5. PRIMENA PODUDARNOSTI NA KRUG PRIMER 1: Dat je polukrug precnika AB i na tom prečniku dve tačke C i D na jednakom rastojanju od centra O. Kroz C i D konstruisane su dve paralelne prave koje seku polukrug u E i F. Dokazati da je ugao CEF prav.

PRIMER 2: Neka je AB dat prečnik kruga k. Ako je k1 proizvoljan krug sa centrom na k , koji dodiruje AB, tada su tangente iz A i B na k1 paralelne međusobom. Dokazati.

PRIMER 3: Tačka A nalazi se unutar 6 krugova. Dokazati da se centar bar jednog od th krugova nalazi u nekom od preostalih.

PRIMER 4: Krugovi k i k1 dodiruju se spolja u tački A . Zajednička tangenta t datih krugova dodiruje krug k u tački B i krug k1 u tački C. Dokazati da je ugao BAC prav.


1. * Neka su M i N tačke simetrične podnožju A1 visine AA1 trougla ABC u odnosu na stranice AB i BC i neka je K presek pravih AB i MN. Dokazati da tačke A, K, A1 , C i N priradaju jednom krugu.

2. * Data su dva kruga sa centrima O i O1 sa dva među sobom paralelna poluprečnika OA i O1A1. Prava AA1 određuje na prvom krugu tetivu AB. U tačkama B i A1 postavljene su tangente na date krugove i one se seku u C. Dokazati da je BC=A1C.

3. U tački T kruga postavljene su tangente i tetiva. Iz središta jednog od lukova određenih tetivom postavljene su normale na tetivu i tangentu. Dokazati da su ove normale jednake.

4. Dva kruga sa centrima O i O1 imaju zajedničke tačke A i B. Prava p , koja sadrži tačku A, seče date krugove u tačkama M i M1 . Dokazati da je ∠OMB=∠O1M1B.

5. Ako se iz krajeva ma kog prečnika datog kruga konstruišu normale na proizvoljnu sečicu tog kruga, dokazati da su delovi te sečice između podnožja normala i preseka sečica sa krugom, jednaki među sobom.

6. Dva kruga se dodiruju spolja. Ako se kroz njihovu tačku dodira D povuku sečice AA1 i BB1 dokazati da su tetive AB i A1B1 paralelne.

7. U krugu k(O , r) konstruisana je tetiva AB. Na pravoj AB određena je tačka C tako da je A-B-C i BC=r. Prava CO seče krug u tački D tako da je C-O-D. Dokazati da je ∠AOD=3∠ACD .


8. U krugu je uočena proizvoljna tačka M. Kroz tačku M je konstruisana tetiva PQ koja sa prečnikom koji sadrži tačku M zaklapa ugao od 45o. Dokazati da je vrednost izraza MP2+MQ2 konstantna i da ne zavisi od izbora tačke M. (R - 1997)

9. Kružnice k (O, r = 3cm) upisana u trougao ABC dodiruje stranicu BC u tački T. Izračunati dužinu stranice BC, ako je ∠BAC=30 i ako je ∠BOT:∠COT=3:4. (O - 1998)

10. Prava p paralelna stranici AB datog trougla ABC, polovi stranicu BC i seče simetralu ∠CAB u tački T. Ako je O centar upisanog kruga trougla ABC, dokazati da je ∠ABC = 2∠OCT. (S - 2000)

Polukrug čiji je prečnik EF pripada stranici BC trougla ABC dodiruje stranice AB i AC redom u tačkama Q i P. Dokazati da presečna tačka K duži EP i EQ pripada visini trougla ABC konstruisanoj iz temena A. (B-2000)

KONKURSNI ZADACI

11. Stranica AB paralelograma ABCD dva puta je veća od stranice BC. Ako je tačka M središte stranice AB

dokazati da CM⊥DM. 12. Iz tačke C van kruga k (O, r) konstruisane su tangentne duži CA i CB na krug k. Prava iz A, normalna na

BC, seče OC u tački D. Dokazati da je AD = r. 13. Neka je u pravouglom trouglu c dužina hipotenuze, a i b katete, a r poluprečnik upisanog kruga. Dokazati

da je a) 2r + c ≥ 2 аb b) a + b + c > 8r.

6

6. ODNOS STRANICA I UGLOVA TROUGLA PRIMER 1. U unutrašnjoj oblasti trougla ABC data je tačka M. Dokazati da važe nejednakosti: a) ∠AMC > ∠ACB; b) AM + MB < AC + BC .

PRIMER 2. Na simetrali spoljašeg ugla kod temena C trougla ABC izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MB > AC + BC.

PRIMER 3. Dati su trouglovi ABC i A1B1C1 takvi da je AB = A1B1, AC = A1C1 i ∠BAC > ∠B1A1C1. Dokazati da je BC > B1C1.

PRIMER 4. U oštrouglom trouglu ABC najveća visina AN jednaka je težišnoj liniji BM. Dokazati da je ugao ABC manji od 60o.

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. * Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je svaki od tih delova manji od susedne stranice.

2. * Dat je trougao ABC i neka je D presek simetrale ugla ACB sa stranicom AB, a E središte duži AB. Dokazati da je težišna duž CE veća od simetralne duži CD.

3. * Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla. 4. * Ako je D proizvoljna tačka stranice AB trougla ABC, tada je AC + BC - AB < 2CD. Dokazati. 5. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla. 6. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ≥ b ≥ c, onda je potreban i dovoljan uslov da

trougao postoji b + c > a. Dokazati. 7. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina trougla. Dokazati

da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme. 8. Simetrale uglova trougla ABC seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla. 9. U jednakokrakom trouglu ABC (AC = AB) osnovica BC je produžena preko temena C do proizvoljne

tačke D. Dokazati da je ∠ABC > ∠ADC. 10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla; b) poluzbira stranica koje polaze

iz istog temena sa težišnom duži. 11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati. 12. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.


13. U jednakokrakom trouglu ABC (AC = BC), tačke A1 i C1 su središta stranica BC i AB. Simetrale stranica BC i AB seku se u tački O, tako da je ∠A1OC1 = 121o. Šta je veće osnovica AB ili krak AC ?

14. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od njegovog poluobima. (O – 1998.) 15. Dat je krug poluprečnika 1 i dve proizvoljne tačke A i B u ravni kruga. Dokazati da postoji tačka M na

kružnici, takva da je MA + MB ≥ 2 (S – 1997.) 16. U jednakokrakom trouglu ABC (AC = BC) simetrala ugla na osnovici i simetrala ugla pri vrhu seku se u

tački S tako da je ∠ASC = 110o. Šta je veće: osnovica AB ili krak BC tog trougla ?

KONKURSNI ZADACI

17. U ravnii trougla ABC, izvan trougla, data je tačka M. Dokazati da je zbir duži MA + MB + MC veći od poluobima datog trougla.

18. U jednakokrakom trouglu ABC (AB = AC) tačka D je središte osnovice BC. Ako je M proizvo-ljna tačka na kraku AC, onda je ⎜ DB - DM ⎥ < AB - AM. Dokazati.

19. U trouglu ABC prava s je simetrala spoljašnjeg ugla kod temena A. Neka je B' podnožje normale iz temena B na pravu sy. Dokazati da je BB' + CB' > AB + AC.

PROBLEM ZA ISTRAŽIVANjE

20. Da li za svaki trougao važi relacija 6r < O < 6R, gde je O obim, r poluprečnik kruga upisanog, a R poluprečnik kruga opisanog oko trougla?

7

7. ZNAČAJNE TAČKE TROUGLA

PRIMER 1: U pravouglom trouglu ABC, CD je visina ( ugao ACB je prav). Tačka M je središte duži CD a tačka N središte duži BD. Dokazati da je prava AM normalna na CN . PRIMER 2: Dat je krug poluprečnika r = 1 i dve proizvoljne tačke A i B u ravni kruga. Dokazati da na krugu postoji tačka X, takva da je XA + XB ≥ 2 . (S – 1997.) PRIMER 3: Ako se dve značajne tačke trougla poklapaju, onda je trougao jednakostraničan. Dokazati. PRIMER 4: Dat je jednakostranični trougao ABC. Nad stranicama AB i BC konstruisani su u spoljašnjoj oblasti trougla kvadrati ABMN i BCPQ. Duži AQ i CM seku se u tački S. Dokazati da je AQ ⊥ CM i CQ = 2AS. (R – 1997.)


1. * Dve visine trougla nisu manje od odgovarajućih strana. Izračunati uglove ovog trougla . 2. * U ravni su date tačke A,B,C i D takve da je AB normalna na CD i AC normalna na BD. Dokazati da je

AD normalno na BC. 3. Dato je pet kolinearnih tačaka i još jedna tačka van te prave. Koliko krugova određuju te tačke? 4. Dokazati da je težišna duž trougla: a) manja od poluobima trougla ; b) manja od poluzbira susednih strana 5. U trouglu ABC, simetrala AE ugla A, seče stranu BC u tački E. Ako je AB>AC, onda je

∠BEA veći od ∠CEA. Dokazati. 6. U trouglu ABC, AC>BC, CD je simetrala ∠ACB i CM težisna duž. Dokazati da je CM>CD.

7. Ugao β jednakokrakog trougla ABC (AC = BC) je 72o. Na produžetku kraka AC izabrana je tačka D tako da je AD = AB. Dokazati da je i trougao CBD jednakokrak.

8. Tačka M pripada unutrašnjosti trougla ABC. Dokazati da je MA + MB < AC + BC. Dokazati da je MA + MB + MC veće od poluobima, a manje od obima trougla ABC.

9. Iz temena C trougla ABC konstruisane su normale na simetrale spoljašnjih uglova kod temena A i B. Normale presecaju pravu AB u tačkama M i N. Dokazati da je duž MN jednaka obimu datog trougla.

10. Na simetrali spoljašnjeg ugla pod temenom C izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MB > AC + BC .

11. Izračunati uglove trougla ABC, ako se zna da visina i težisna linija iz temena C dele ∠ACB na tri jednaka dela.


12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od njegovog poluobima. (O - 1998.) 13. Dat je pravougli trougao ABC, sa pravim uglom kod temena B. Kroz tačku A konstruisana je prava p

paralelna sa BC i na pravoj p je izabrana tačka K, tako da su K i C sa raznih strana prave AB. Ako prava CK seče stranicu AB u tački M i ako je MK = 2AC, onda je ∠ACB = 3⋅∠KCB. Dokazati. (R – 1998.)

14. U nejednakokrakom oštrouglom trouglu ABCiz temena A konstruisana je težišna duž, iz temena B konstruisana je simetrala ugla β, a iz temena C visina. Presečne tačke konstruisanih pravih su tačke P, Q i R. Dokazati da dobijeni trougao PQR nije jednakostranični. (S – 1998.)

15. Dat je jednakostranični trougao ABC i tačka O koja je centar opisanog kruga oko trougla. Na stranici AB data je tačka M, a na stranici AC tačka N, tako da je AM + AN = AB. Dokazati da je OM = ON i odrediti ∠ MON. (O – 1997.)

KONKURSNI ZADACI

16. U jednakokrakom trouglu ABC tačka M je središte osnovice AB. Neka je MN normalna na BC (tačka N je na BC) i S središte duži MN. Dokazati da je CS normalno na AN.

17. Na krugu K dato je 5 tačaka i date su 4 tačke van kruga K, koje nisu na jednom krugu. Koliko krugova odredjuju ovih 9 tačaka?

18. Kroz centar upisanog kruga trougla ABC konstruisana je prava p paralelna sa AB. Prava p seče stranice AC i BC redom u tačkama M i N. Dokazati da je AM + BN = MN.

8

8. CENTRALNI I PERIFERIJSKI UGAO I PRIMENE PRIMER 1. Neka je AB luk kružnice, t tangenta u tački A i α ugao između tetive AB i tangente t koji sadrži luk AB. Dokazati da je ugao α jednak periferijskom uglu nad lukom AB. PRIMER 2. Neka su A,B,C tri nekolinearne tačke i neka je M (M ≠ B) zajednička tačka kružnica konstruisanih nad prečnicima AB i BC. Dokazati da su tačke A, M i C kolinearne. PRIMER 3: Dva kruga jednakih poluprečnika seku se u tačkama A i B. Kroz tačku A konstruisana je prava p, koja date krugove seče još u tačkama P i Q. Dokazati da je trougao PBQ jednakokrak. PRIMER 4: U trouglu ABC tačka H je ortocentar, a tačka O je centar opisane kružnice. Dokazati da je ∠OAH = ∠γ - ∠β. PRIMER 5: Kroz centar O1 kružnice k1 prolazi kružnica k2. Date kružnice se seku u tačkama A i B. Kroz tačku B konstruisana je tangenta t kružnice k2 koja kružnicu k1 seče u tački C. Dokazati da je AB = BC. PRIMER 6: Teme A ugla α je izvan date kružnice k. Kraci ugla seku kružnicu k redom u tačkama B, C, D i E određujući na njoj dva luka BD I CE koji su unutar ugla α i u razmeri su 1:4 (BD : CE = 1:4). Ako većem od ovih lukova odgovara centralni ugao od 50o

, odrediti ugao α.


1. * Dokazati da je u pravouglom trouglu zbir kateta jednak zbiru prečnika upisanog i opisanog kruga. 2. * U krug je upisan četvorougao ABCD. Ako je ∠CAD = 70o i ∠ABD = 40o, dokazati da je AC = CD. 3. * U trouglu ABC ugao ACB je 60o. Ako su AK i BM visine trougla ABC i C1 središte stranice AB, onda

je trougao KMC1 jednakostranični. Dokazati. 4. * Oko oštrouglog trougla ABC opisana je kružnica. Neka su M, N i P redom tačke u kojima visine iz

temena datog trougla seku kružnicu. Dokazati da je ortocentar H trougla ABC, centar upisane kružnice trougla MNP.

5. * Dokazati da se u jednakokraki trapez može upisati krug, ako i samo ako je krak jednak srednjoj liniji trapeza.

6. Duž AB je tetiva kružnice k i M je sredina luka AB. Dokazati da je M podjednako udaljena od tetive AB i tangente na krug u tački B.

7. Tačke A,B,M i N pripadaju istoj kružnici. Iz tačke M konstruisane su tetive MA1 ⊥ BN i MB1 ⊥ AN. Dokazati da su duži AA1 i BB1 paralelne.

8. Dat je krug prečnika AB i na tom prečniku tačke C i D takve da je OC = OD. Kroz C i D konstruisane su dve paralelne prave koje seku krug u tačkama E i F. Dokazati da je ∠CEF prav.

9. Dati su krugovi k (O,R) i l (S,r), pri čemu centar S leži na krugu k. Neka se krugovi seku u tačkama A i B. Kroz tačku A konstruisana je prava p koja seče krugove u tačkama C i D. Dokazati da je trougao BCD jednakostranični.

10. U četvorouglu su tri ugla tupa. Dokazati da je veća ona dijagonala koja sadrži teme oštrog ugla. 11. Ako dve jednake tetive neke kružnice seku, onda su delovi jedne jednaki delovima druge. Dokazati.


12. U kvadratu ABCD dijagonale AC i BD seku se u tački O. Na stranicama BC i CD date su redom tačke M i

N tako da je BM = CN. Ako se prave AM i BN seku u tački P, onda je OP simetrala ugla APN. Dokazati. 13. Stranica AB konveksnog četvorougla ABCD je dva puta veća od stranice CD. Dijagonala AC normalna je

na stranicu BC, a dijagonala BD normalna je na stranicu AD. Odrediti ugao između dijagonala.

KONKURSNI ZADACI

14. Na luku BC kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla ABC data je tačka M. Dokazati jednakost AM = BM + CM.

15. Dve kružnice sa centrima O i S imaju zajedničke tačke A i B. Prava p koja sadrži tačku A seče date kružnice u tačkama M i N. Dokazati da je < OMB = < SNB .

16. Dva kruga se dodiruju spolja. Ako se kroz njihovu tačku dodira D konstruišu sečice AA1 i BB1, dokazati da su tetive AB i A1B1 paralelne.

Documents

Podudarnost Trouglova i Primene