Podudarnost i Primena Podudarnosti

Seminarski rad iz Metodike nastave matematike

Tema : Podudarnost i primena podudarnosti

Gordana Cvetanovi

Profesor: dr. Zoran Lui

Podudarnost i primena podudarnosti Gordana Cvetanovi

SADRAJ

Seminarski rad iz Metodike nastave matematike______________________________________1 Tema : Podudarnost i primena podudarnosti_________________________________________1 _______________________________________________________________________________1 Gordana Cvetanovi_____________________________________________________________1 Profesor: dr. Zoran Lui________________________________________________________1 SADRAJ______________________________________________________________________2 1.0. UVOD_____________________________________________________________________4 2.0. podudarnost trouglova________________________________________________________5 Da bi se dokazala podudarnost dva trougla, nije potrebno dokazivati podudarnost svih stranica i svih uglova. Potrebne i dovoljne uslove za podudarnost trouglova naveemo u sledea 4 stava:_________________________________________________________________5 Visina trougla je du iji su krajevi jedno teme i podnoje normale povuene iz tog temena na naspramnu stranicu. Na prethodnoh slici, du hc je visina na stranicu AB. Trougao ima tri visine._________________________________________________________________________7 2.1. Primena podudarnosti na trougao_____________________________________________7 Zadaci za uvebavanje___________________________________________________________12 2.3. PRIMENA PODUDARNOSTI NA KRUG_______________________________________13 2.4. PRIMENA PODUDARNOSTI NA MNOGOUGAO_____________________________17

24


LITERATURA_________________________________________________________________26

24


1.0. UVOD Aksiome podudarnosti omoguuju da u geometriji prostora En (n = 1, 2, 3) definiemo naroitu klasu transformacija tog prostora koje imaju iroku primenu. To su izometrijske transformacije. Izometrijske transformacije ili geometrijsko kretanje prostora En (n = 1, 2, 3) nazivamo oblektivnu transformaciju J: En En taku da za svake dve take X, Y En i njihove slike X, Y En vai relacija (X,Y) (X,Y). Izometrijskim transformacijama moemo da definiemo relacije podudarnosti bilo kojih figura u tom prostoru. Relacije podudarnosti, kao osnovna relacija bie najpre opisanana skupu parova, tj. dvolanih skupova taaka, a zatim podudarnost uvodimo kao relaciju mau sloene geometrijske figure. Grupu aksioma pududarnosti ine sledee etiri aksiome: AKSIOMA 1: Podudarnost je relacija ekvivalencije na skup svih parova taaka prostora E3. Ovom aksiomom istiemo refleksivnost, simetrinost i tranzitivnost podudarnost parova taaka. Drugim reime vai: 1O refleksivnost ( A,B)(A,B) (A,B) ; 2O simetrinost ( A,B,C,D)(A,B) (C,D) (C,D) (A,B) ; 3O tranzitivnost ( A,B,C,D,E,F)(A,B) (C,D) (C,D) (E,F) (A,B) (E,F) ; AKSIOMA 2: Ako su A, B i A1 date take, takve da je Aa poetna taka neke poluprave a1 postoji tano jedna taka B1, takva da je (A1,B1) (A,B) .C B A C B A

AKSIOMA 3: Neka su A, B, C i A1, B1, C1 take , takve da je A-B-C i A1-B1-C1, tada je (A1,B1) (A,B) i (B1,C1) (B,C) onda je i (A1,C1) (A,C).

1

1

1

AKSIOMA 4: Ako su A, B, C tri nekolinearne take i A1, B1C B A 1 a1 C A1 1

B

1

24


take ivice a1 poluravni a1a1, takve da je (A1,B1) (A,B) , tada u otvorenoj poluravni a1 postoji tano jedna taka C1, takva da je (A1,C1) (A,C) i (B1,C1) (B,C).

2.0. PODUDARNOST TROUGLOVA Dva trougla ABC i A1B1C1 su podudarni ako postoji izometrija koja trougao ABC prevodi u trougao A1B1C1. Zakljuuje se sledee: ABC A1B1C1 (AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1, = 1, = 1, = 1) Uobiajeno je da se stranice trougla oznaavaju malim slovima, koja odgovaraju temenu naspramnog ugla. Npr. Naspram temena A ugla je stranica a=BC, i slino. Na taj nain su oznaeni trouglovi na slici. U tom sluaju za podudarne trouglove vai: ABC A1B1C1 C b A c a b1 B A1 1 c1 (AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1, = 1, = 1, = 1) C1 1 a1 1 B1

Da bi se dokazala podudarnost dva trougla, nije potrebno dokazivati podudarnost svih stranica i svih uglova. Potrebne i dovoljne uslove za podudarnost trouglova naveemo u sledea 4 stava: Teorema (Stav SSS): Dva trougla su podudarna ako i samo ako su stranice jednog trougla jednake odgovarajuim stranicama drugog: ABC A1B1C1 (a = a1, b = b1, c = c1) Dokaz: U ravni A1B1C1 , sa one strane prave A1B1 sa koje je taka C1, postoji tano jedna taka C, takva da je AC = A1C i BC = B1C. Kako je ve AC = A1C1 i BC = B1C1, sledi da je C = C1, pa su (A,B,C) i (A1,B1,C1) dve trojke taaka. Postoji izometrija J(A) = A1, J(B) = B1, J(C) = C1, tj. postoji izometrija koja trougao ABC prevodi u trougao A1B1C1, pa su ova dva trougla podudarna.

24


Teorema (Stav SUS): Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dve stanice jednog trougla i ugao zahvaen njima, jednaki odgovarajuim stranicama i uglu drugog trougla: ABC A1B1C1 (c = c1, b = b1, = 1) Dokaz: Uglovi i 1 su podudarni, pa postoji izometrija J koja ugao prevodi u ugao 1 i J(A)=A1 . Kako je AB =A1B1, na osnovu aksiome (Aksioma: Ako su A i B take prave a i A1 taka prave a1, tada na pravoj a1, sa date strane taka A1, postoji tano jedna taka B1, takva da je du A1B1 podudarna dui AB) i definicije izometrije, taka B se preslikava u taku B1: J(B) = B1. Slino zakljuujemo da je J(C) = C1. Dakle: J(BC) = B1C1, pa je BC=B1C1. Prema prethodnoj teoremi, sledi da je ABC A1B1C1. Teorema (Stav USU): Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba odgovarajua ugla nalegla na tu stranicu: ABC A1B1C1 (c = c1, = 1, = 1)

Teorema (Stav SSU): Dva trougla su podudarana ako su dve stanice i ugao naspram jedne od njih u jednom trouglu jednaki sa dve odgovarajue stranice i uglom u drugom trouglu, a ugao naspram druge stranice u oba trougla su iste vrste (oba otra ili oba prava, ili oba tupa): ABC A1B1C1 oba tupa). (a = a1, b = b1, = 1 i = 1 su oba otra, ili oba prava, ili

Uoiemo jo neke vane elemente trougla. Ugao naporedan unutranjem uglu trougla je spoljanji ugao. Na slici, unutranjem uglu odgovara spoljanji ugao 1. C

1

A

hc B

24


Visina trougla je du iji su krajevi jedno teme i podnoje normale povuene iz tog temena na naspramnu stranicu. Na prethodnoh slici, du hc je visina na stranicu AB. Trougao ima tri visine.

C B1 A1

B A Du AA1 sa slike, gde je A1 sredite stranice BC, je teina linija iz temena A, u oznaci ta. Iz temena B i iz temena C mogu se povui jo dve teine linije: tb i tc. Du iji su krajevi sredita dveju stranica trougla je srednja linija trougla. Ako su A1, B1, C1 sredita stranica BC, CA, AB tada su srednje linije trougla dui: A1B1, B1C1, A1C1.

2.1. PRIMENA PODUDARNOSTI NA TROUGAO Najpre emo prouiti uglove karakteristian je za euklidsku geometriju. trougla. Ovaj deo razmatranja

Teorema 1: (O spoljanjem uglu trougla) Spoljanji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutranja ugla. Dokaz: Neka su , , unutranji uglovi trougla ABC i neka je 1 spoljanji ugao naporedan uglu (sl.3). U uglu 1 konstruiemo polupravu Ap , paralelnu stranici BC i na njoj izaberimo poizvoljnu taku P. Sa c oznaimo pravu AB. Ugao 1 jednak je zbiru uglova CAP i Apc. Ugao Apc jednak je uglu , kao saglasan, a ugao CAP jednak , kao naizmenian. Prema tome 1 = +.A c 1 P p

BS l . 3

C

24


Teorema 2: (O zbiru unutranjih uglova trougla). Zbir unutranjih uglova trougla jednak je opruenom uglu. Dokaz: Iz prethodne teoreme, neposredno dobijamo:1 + = 180 ++ = 180 Na osnovu ove dve teoreme moemo izvui vie zakljuaka-posledica,sa kojima smo se ve sreli u osnovnoj koli:

zbir spoljanjih uglova trougla jednak je punom uglu; svaki trougao moe imati najvie jedan tup ugao ( a takoe i najvie jedan prav ugao),a druga dva su otri uglovi; otri uglovi pravouglog trougla su komplementni;

u jednakokrakom trouglu uglovi na osnovici uvek su otri; uglovi bilo kog jednakostraninog trougla su svi od 60 ; jednakokraki pravougli trougao ima otre uglove od 45 ; ako su dva ugla jednog trougla jednaki odgovarajuim uglovima drugog,onda su im i preostali (trei) uglovi jednaki meu sobom; dva trougla su podudarna meu sobom ako su jedna stranica i dva ugla (bila koja) jednog trougla jednaki jednoj stranici i dvama odgovarajuim uglovima drugog trougla.

Teorema 3: Stranica a trougla ABC vea je od stranice b, ako i samo ako je naspramni ugao vei od ugla .A

B D

CS l . 4

Dokaz: Ako je a > b, odredimo na stranici a taku D, tako da je CD = b, (Sl. 4). Trougao ACD je jednakokrak, pa je < CAD = < CDA =. Zbog b < a, taka D je izmeu B i C, pa je krak AD ugla CAD u uglu , te je > . Meutim, u trouglu ABD ugao je spoljanji pa je > . Konano iz > i > , sledi > . Obrnuto,neka je > . Tada ne moe biti a = b , jer bi moralo biti = ,a takoe ne moe biti ni a , to je suprotno pretpostavci. Dakle,jedino je mogue a > b .24Podudarnost i primena podudarnosti Gordana CvetanoviTeorema 4: (O centru upisanog kruga) Simetrale unutranjih uglova seku se u jednoj taki. Dokaz: Neka je O presena taka simetrale AO i BO uglova i(Sl. 5) i neka su OM, ON i OP normale iz O na stranice AB, BC, CA.C S b O S aPravougli trouglovi AMO i APO podudarni su jer imaju zajedniku hipotezu i po jedan otar ugao /2. Zbog toga je OM = OP. Slino, iz podudarnosti trouglova BMO i BNO, dobijamo OM = ON.Iz OP = OM i OM = ON sledi: ON = OP. Zbog toga su podudarni pravougli trouglovi CNO i CPO(imaju zajedniku A B M ' M hipotenuzu CO). Iz njihove S c podudarnosti sledi jednakost uglova S l . 5 BCO i ACO, to znai da je prava CO simetrala ugla , a taka O zajednika taka simetrala sva tri ugla. Ako bismo pretpostavili da ovaj krug ima, recimo sa stranicama AB zajedniku taku M, razliitu od M, onda bi trougao OMM bio pravougli sa hipotezom OM. Dakle, bilo bi OM > OM pa je taka M van kruga.Teorema 5: (O centru opisanog kruga) Simetrale stranica trougla seku se u jednoj taki.C S2 S S1A S3BDokaz: Neka je S zajednika taka simetrale s1 stranice BC i simetrale s2 stranice AC, sl.6. Kao u primeru da svaka du ima tano jedno sredite, kako je S taka simetrale s1 , vai jednakostSl .624Podudarnost i primena podudarnosti Gordana CvetanoviBS = CS. Zbog toga to S s2 je i CS = AS, pa sledi AS = BS. Dakle, trougao ABS je jednakokraki, pa taka S pripada i simetrali dui AB. Dakle, take S je zajednika taka simetrala triju stranica trougla. Kako je SA = SB = SC, izlazi da krug sa centrom S i poluprenikom SA, prolazi kroz sva temena trougla, pa je to opisani krug trougla ABC.Teorema 6: (O ortocentru) Prave koje sadre visine trougla imaju jednu zajedniku taku. Dokaz: Konstruiimo kroz A pravu paralelnu sa BC,kroz B pravu paralelnu sa aC,kroz C pravu paralelnu sa AB. One se dve i dve seku i odreuju trougao A1B1C1.Lalo se dokazuje da je svaki od triuglova: A1BC, B1AC , C1AB ,podudaran sa trouglom ABC (jedna zajednika stranica,a odgovarajui nalegli uglovi jednaki,kao naizmenini) Otuda je,AC1=AB1=BC,pa je taka A sredite dui B1C1,a visina ha trougla ABC je simetrala stranice B1C1 trougla A1B1C1.Slino se dokazuje da su i osteale visine trougla ABC,ujedno simetrale stranica trougla A1B1C1.I one se seku u jednoj taki. Taka H se naziva ortocentrom trougla, predstavlja zajedniku taku visina u trouglu. Teorema 7: (O teitu) Teine linije seku se u jednoj taki, teitu trougla. Rastojanja su od teita do temena dva puta vea nego rastojanje od teita do sredita naspramne stranice.CN S ASTMPl . 7BDokaz: Neka je taka T zajednika taka teinih linija AM i BN, sl.7. Dokazaemo da i teina linija prolazi kroz taku T. Pretpostavimo da to nije tano, ve da se CP i AM seku u taki S, razliitoj od T. Tada prema razmatranju u ortocentru bie AS = 2SM, odakle AS = ,iz istih razloga je i AT = 2TM, paje AT = . Sledi da su dui AT i AS jednake. Kako su S i T izmeu A i M mora biti po aksiomi 2, S = T. Dakle du CP sadri T i vai AT = 2TM, BT = 2TN i CT = 2TP. Ove etiri take O, S, H, T nazivaju se znaajne take trougla.24Podudarnost i primena podudarnosti Gordana CvetanoviBitne injenice: centar O upisanog kruga i teite T su uvek u trouglu,kod pravouglog trougla centar S opisanog kruga je sredite hipotenuze,a ortocentar H je teme pravog ugla.Kod pravouglog trougla ove dve take su van trougla.kod jednakokrakog trougla su sve etiri take na visini koja odgovara osnovici,a kod jednakostraninog trougla to je samo jedna taka. Primer: 1. Dokazati da je centar opisanog kruga u trouglu najblii temenu najveeg ugla trougla. Neka je u trouglu ABC taka O centar upisanog kruga i > > , sl.COABU AOC je,pa je OC > OA , a u AOB je, pa je BO > AO .2. U jednakokraki trougao ABC taka M je sredite osnovice AB.Neka je Ntaka kraka BC, takva da je MN BC i neka je S sredite dui MN.Dokazati da je prava AN CS. Poznato nam je da je teina linija CM istovremeno i visina na osnovicu.Neka je P sredite dui BN, sl.CN P S A M BDu PS je srednja linija BMN, pa je PS | | BM , to je PS CM , zbog toga je taka S ortocentar CMP (presena taka visina MN i PS). Prema tome,prava CS je trea visina i CS MP . Meutim , du MN je srednja linija ABN , pa je AN | | MP, a otuda je i AN CS .24Podudarnost i primena podudarnosti Gordana CvetanoviZadaci za uvebavanje 1. Neka je D taka na stranici BC datog trougla ABC , takva da je DC=2BD . Odrediti ostale uglove trougla , ako je

Documents

Podudarnost i Primena Podudarnosti