UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD TEMA : POENKARE I POENKAREOV DISK MODEL

Profesor : Zoran Lui Student : Jelii Sneana 148/93

Beograd, maj 2000.Znanstvenik od imena, a posebno matemaitar, osjea u svom radu isto kao i umjetnik; njegova je radost velika i potie od same prirode Henri Poenkare.

Henri Poenkarefrancuski matematiar rodjen 29.aprila 1854.god. umro 1912. god. Predavao je matematiku fiziku i raun vjerovatnoe na Faculte des sciencas u Parizu, a zatim predaje viu analizu i na Ecole Polytechnique.Njegov znanstveni rad obuhvata matematiku, astronomiju i fiziku. Razvio je teoriju automorfnih funkcija i istraivao diferencijalne jednaine, a posebno su vani njegovi radovi na podruju topologije i njegova interpretacija geometije Lobaevskog.U matematikoj fizici prouavao je teoriju titranja trodimenzionalnog kontinuuma, a bavio se i problemima toplinske vodljivosti te teorijom elektromagnetskih titranja. U svojem dijelu O dinamici elekrtona (1905) Poenkare je anticipirao specijalnu teoriju relativiteta.Od njegovih astronomskih radova naroito je vana rasprava o problemu triju tijela.Dao je i nekoliko dijela folozofskog karaktera (Znanost i hipoteza , 1902; Vrijednost znanosti ,1906). Objavio je oko 500 znaajnih radova.Vanija dijela su mu : O teoriji Fuksovih funkcija (1881); Predavanja o nebeskoj mehanici (1905-1910); Kurs matematike fizike(18891904).Poenkareov najoriginalniji rad iz oblasti matematike astronomije razradjen je ukratko u njegovoj velikoj monografiji Nove metode nebeske mehanike ( u tri knjige 1892. , 1893. , 1899. ) Poenkareovo intelektualno nasledje sa obje strane bilo je zdravo.Za vrijeme Napoleonove vojne 1814.god. taj djeda, u mladenakom dobu od 20 godina bio je dodjeljen vojnoj bolnici Saint Quentin. Nakon vraanja mirnodobskom ivotu 1817. god. u Rouen oenio se i imao dva sina; Leona Poenkarea, rodjenog 1828.god. koji je postao odlian ljekar i lan Medicinskog fakulteta;

2

te Antonea, koji se popeo do poloaja inspektora u Ministarstvu za ceste i mostove. Leonov sin Henri postao je prvi matematiar na poetku dvadeset prvog vijeka;jedan od Antoneovih sinova Rejmond posvetio se pravu i izdigao do poloaja predsjednika Republike Francuske za vrijeme prvog svijeskog rata.Antonov drugi sin postao je direktor za srednjoko obrazovanje. Djelimino zahvaljujui neprekidnoj brizi majke, Poenkareov duevni ivot kao djeteta bio je neobino brz. Veoma brzo je nauio govoriti, no isto tako u poetku jako loe, jer je bre mislio nego to je mogao izgovarati rijei. Motorna koordinacija od djetinjstva mu je bila slaba. Kada je nauio pisati, otkrili su da se slui i lijevom i desnom rukom, te da lijevom rukom moe pisati i crtati jednako loe kao i desnom. Poenkare se nikada nije oslobodio svoje fizike nespretnosti. Kao prilino znaajne stvari u vezi sa tim moe se sjetiti toga da se Poenkare, kada je ve bio priznat kao najistaknutiji matematiar i najznaajniji popularizator znanja svoga doba, podvrgnuo Binetovim tekstovima.Da nije bio tako veliki matematiar svrstali bi ga (prema testovima) u duevno zaostale.U petoj godini Poenkarea je zadesila difterija koja mu je devet mjeseci paralizovala grlo.No to ga je natjeralo da se okrene ka vlastitim sposobnostima. Glavna razonoda mu je bila citanje, gdje se iskazao po prvi put njegov neobian talenat. Knjigu koju bi proitao jednom-nevjerovatnom brzinom usvajao je trajno, te je mogao uvijek navesti stranicu i redak gdje se pojedina stvar nalazi. Snanu memoriju sauvao je itav ivot. Tu rijetku darovitost, koju je Poenkare sa Ojlerom, koju je posjedovao u manjem obimu, moglo bi se nazvati vizuelnom ili specijalnom memorijom. Lo oinji vid po svojoj prilici pridonio treoj osobenosti njegove memorije.Veina matematiara teoreme pamti vizuelno,dok u Poenkarea je to pamenje bilo uglavnom po sluhu.Kako tablu nije mogao dobro vidjeti kada je postao student vie matematike sjedio je u zadnjim redovima i sluao, slijedeci i pamtei bez pravljenja zabiljeki. Nemogunost da se vjeto slui prstima svakako mu je stvarala tekoe na laboratorijskim vjebama, to je ini se teta jer je dosta njegovog rada na podruju matematike fizike moglo biti realnije , da je ovladao vjetinom eksperimentisanja. Da je Poenkare bio toliko jak na praktinom podruju znanosti, kao to je bio na teorijskom, mogao je biti etvrti uz trojicu nenadmaljivih Arhimeda, Njutna i Gausa.3

Ljubav prema matematici zgrabila ga je u mladenako doba ili neposredno prije nego to je napunio petnaest godina.Ve od poetku pokazivao je doivotnu osobenost:matematiku je radio u glavi,dok bi neumorno hodao uokolo i stavljao je na papir kad je sve bilo smiljeno.U kasnijoj ivotnoj dobi pisao je matematike znanstvene rasprave u jednom zamahu, ne osvrui se da da pogleda ta je ve napisao i ograniavajui se na veoma rijetka brisanja.Prilian dio Poenkareovog rada pokazuje znakove prenagljenog pisanja, pa on sam kae da nikada nije zavrio rad, a da nije pozalio ili zbog njegovog oblika ili njegova sadraja. Pridravajui se starog francuskog obiaja, Poenkare je prije njegovog specijaliziranja poloio ispite za prve akedemske stepene( iz knjievnosti i prirodnih nauka ).Ovo je poloio god.1871. sa sedamnaest godina nakon to je gotovo pao iz matemetike!! Bio je zakasnio, zbunio se na ispitu i pao na neobino jednostavnom dokau formule koja rijeava zbir konvergentne geometrijske progresije.No on je bio poznat i prije toga.Svakog drugog studenta, osim Poenkarea bi smo oborili, izjavio je glavni ispitiva.Zatim se prijavo za prijemne ispite u umarsku kolu, gdje je vrnjake zapanjio osvajanjem prve nagrade a da se nije bio trudio da pravi bilo kakve zabiljeke o predavanjima. Na kraju godine Poenkare prelazi u Politehniku kolu u kojoj je bio poznat po matematikom otroumlju, po savrenoj nesposobnosti na svim fizikim vjebama, ukljuujuci i vojne vjebe, te krajnjoj nemogunosti da izradi nacrte koji bi podsjeali na bilo ta s neba ili zemlje. Ovo posljednje je bilo vie nego aljivo; njegov broj bodova na prijemnom ispitu iz crtanja, koji je iznosio nula, skoro ga je udaljilo iz kole. Medjutim njegov ostali rad je bio bez premca pa su ga ispitivai propustili.No Poenkareova nesposobnost za crtanje imala je i svoju ozbiljnu stranu kada je stigao do geometrijse, te je izgubio prvo mjesto, zavrivi kolu kao drugi po uspjehu.No ni to mu nije smetalo da postane jedan od eksperata za Hiperboliku geometriju otkivi disk model. Nakon odlaska sa Politehnike kole 1875. godine, u dvadeset prvoj godini ivota, Poenkare se upisao u Rudarsku kolu s namjerom da postane ininjer. Njegov struni studij, premda savjesno odradjen, ostavjao mu je dovoljno vremena da se bavi matematikom, pa je izrazio ono to je bilo u njemu, tako da je naeo glavni problem u diferencijalnim jednainama.Nakon4

tri godine podnosi Fakultetu prirodnih nauka u Parizu disertaciju o istom predmetu. Njegovo prvo akademsko imenovanje za profesora za matematiku analizu bilo je 1. decembar 1879. god. u Kanu. Nakon dvije godin bio je promovisan ( u dvadeset sedmoj godini ) za Sveuilite u Parizu, gdje je 1886. god. ponovo promovisan, uzevi na se brigu za teaj mehanike i eksperimentalne fizike. Poenkareov stvaralaki period poinje sa disertacijom 1878. god. i zavrio njegovom smru 1912. god. U taj relativno kratak vremenski period od trideset etiri godine strpao je mnotvo posla.U njegovom popisu ima 500 radova iz nove matematike, mnogi su od njih opirne znaajne rasprave, te vie od trideset knjiga koji obuhvataju praktino sve grane matematike fizike, teoretske fizike i teoretske astronomije.Tu nisu uraunata njegova klasina dijela o filozofiji prirodnih nauka, te ni njegovi popularni eseji. Ovdje e mo spomenuti samo neka vanija dijela. Poenkareov prvi uspjeh je bio na polju teorije diferencijalnih jednaina, na koju je primjenio sva sredstva iz analize kojom je on apsolutno zagospodario. Ispitivanje diferencijalnih jednaina dovelo je Poenkarea 1880.god., kad mu je bilo dvadeset est godina, do jednog od najsjajnijih otkria, generalizacije eliptikih funkcija ( i nekih drugih ). Trigonometrijska funkcija sin z ima periodian broj 2 , to jest sin(z+2 )=sin z; naime, ako se promjenjiva z poveava za 2 ,sinus funkcija z od vraa se na svoju poetnu vrijednost.Za eliptiku funkciju, recimo E(z) postoje dva razliita periodina broja, recimo p1 i p2 , tako da je E(z+ p1)= E(z), E(z+ p2)= E(z). Poenkare je utvrdio da je periodinost samo specijalan sluaj opteg svojstva: vrijednost nekih funkcija obnavlja se, ako se promjenjiva sama od sebe zamjeni bilo kojom od denumerabilnih beskonanosti linearnih razlomljenih transformacija, a sve te transfotmacije ine skup.Da ne ulaimo dublje u razmatranje ovdje treba napomenuti samo dvije stvari, kako bi smo pokazali ta je Poenkare postigao sa ovim, divljenja vrijednim, pronalaskom.Prvo, njegova teorija obuhvata pronalazak eliptinih funkcija kao jedan detalj.kao to je istaknuti francuski matematiar Dord Humbert rekao Poenkare je ustanovio dvije znaajne teoreme koja su me dala klueve za algebarski kosmos.Dvije automorfne funkcije nepromjenjive u istom skupu,povezane su algebarskom

Poenkare je nazvao neke od svojih funkcija fuksovskim po njemakom matematiaru Lazarusu Fuchsu ( 1833 1902 ), jednom od tvoraca moderne teorije diferencijalnih jednaina.Druge je nazvao klajnovske

5

jednainom.Obrnuto, koordinate take na bilo kojoj algebarskoj krivoj mogu se izraziti u obliku automorfnih funkcija, a odatle jednolikim funkcijama jednoga jedinog parametra ( promjenjive ).Stvaranje ove goleme teorije automorfnih funkcija bilo je jedno od mnogih zadivljujuih problema, koje je Poenkare rijeio prije svoje tridesete godine. Poenkareov najoriginalniji rad iz oblasti matematike astronomije razradjen je ukratko u njegovoj velikoj monografiji Nove metode nebeske mehanike ( u tri knjige 1892. , 1893. , 1899. ). O ovim radovima Darboks( uz podrku mnogih drugih ) izjavljuje da sa njime zaista poinje nova era u nebeskoj mehanici.Poenkare je bio prvi koji je razbio krute okvire, u kojima se inilo da je teorija zatvorena i zavrena s obzirom na njene izglede i nove prozore u svijet.On je u studijama problema dinamike unio ili upotrijebio razliite pojmove: prvi, koji je bio ranije iznesen, i koji se osim toga nije primjenjivao na mehaniku, jeste pojam varijacijskih jednaina, tj. Linearnih diferencijalnih jednaina, koje odredjuju rjeenja problema koji je beskonano blizu datog rjeenja; drugi pojam, pojam o integralnim nepromjanjivim veliinama pripada potpuno njemu i ima glavnu ulogu u ovim istraivanjima. Ovim pojmovima je pridodano jo osnovnih pojmova, naroito onih u vezi sa takozvanim periodinim rjeenjima, radi kojih se tijela ija se kretanja prouavaju vraaju nakon nekog vremena u svoje polazne poloaje i poetne relativne brzine.Posljednjim pojmom zapoeta je sasvim nova grana u matematici: istraivanje periodinih putanja. to se voluminoznog rada na polju matematike fizike tie srea mu nije bila naklonjena.Sve to je uzavrelo u fizikalnim talionicama Poenkare je, kao to se pokazalo, prigrabio i uunio predmetom nekolicine matematikih istraivanja. Kada je izumljena beina telegrafija, prionuo je za taj novi problem i razradio njegovu matematiku. Dok se drugi ili nisu osvrtali na Ajntajnovu ranu djelatnost na podruju specijalne teorije relativiteta, ili su ga primali kao puki kuriozitet, Poenkare je ve bio zaokupljen njenom matematikom, pa je bio prvi naunik visokog ugleda koji je objavio svijetu do ega se stiglo i natjerao ga da budno prati Ajntajna, kao najznaajnijeg fenomena nove ere. Ista je stvar bila i sa Planktovim poetnim oblikom kvantne teorije. Sada prelazimo na jo jednu fazu Poenkareove univerzalnosti: na njegovo zanimanje za hiperboliku geometriju, gdje razvija i jedan model hiperbolike geometrije disk model ( po njemu nazvanim Poenkareov disk model ).po Feliksu Klajnu u znak ironinog priznanja osporavanog prvenstva.

6

ta bi smo mislili o pitanju : DA LI JE EUKLIDSKA GEOMETRIJA TANA ? Nema smisla. Takodje bi mogli da se upitamo jesu li Kartezijeve koordinate ispravne, a polarne neispravne. Jedna geometrija ne moe biti vie ispravna od druge ; ona moe biti samo vie pogodna. Prije nego to ponem obradjivati temu : Poenkareov disk model , da kaem jo neto o kraju Poenkareovog ivota. Posljednje etiri godine Poenkare je patio od mune bolesti, zbog ega mu je poslovni ivot bio miran i sretan. Po njemu su pljutala razna odlikovanja, a 1906. god. u pedeset drugoj godini ivota, postigao je najvee mogue unapredjenje koje moe dobiti francuski nauni radnik : poloaj predsjednika Akademije nauka.Imao je sretan brak i rodile su mu se tri keri i sin. Supruga mu je bila praunuka Etiene-Geoffroya Saint-Hilairea, koji je poznat kao protivnik onog ratobornog komparativnog anatoma Cuviera. Jedna od Poenkareovih strasti bila je simfonijska muzika. Na Medjunarodnom matematikom kongresu 1908.god., odranom u Rimu, Poenkarea je sprijeila bolest da ita svoj nadobudni ( mada preuranjeni ), govor okoji je trebao da glasi : Budunost matematike fizike. Bolovao je od hipertrofije prostate, ega ga je oslobodio italijanski doktor, pa se mislilo da je trajno izlijeen. Po povratku u Pariz latio se odluno posla, kao i uvijek.Ali 1911.god. poeo ga je muiti predosjeaj da po svoj prilici nee ivjeti dugo, pa je 9. decembra pisao izdavau matematikog asopisa, molei ga da prihvati nedovrenu raspravu. U proljee 1912. Poenkare se ponovo razbolio i podvrgao drugoj operaciji 9. juna. Operacija je uspjela, no 17. juna iznenadno umire od embolije, dok se oblaio. Bio je u dobi od pedeset devet godin i na vrhuncu svoje intelektualne sposobnosti iv mozak racionalnih znanosti , rekao je, za Poenkarea, Painlevea.

Obradimo sada temu : Poenkareov disk model .

Poenkare ( 1854 1912 ), Sciense and Hypothesis, New York, 1952. god.

7

Prije nego to predjem na istu samo da napomenem da uz aksiome prve etiri grupe na kojima je zasnovana apsolutna geometrija vai samo jo jedna aksioma pete grupe, tzv. Plejferova aksioma paralelnosti : Aksioma VE : Postoje taka B i prava a koja je ne sadri, takve da u njima odredjenoj ravni ne postoji vie od jedne prave koja sadri taku B, a sa pravom a nema zajednikih taaka. Geometrija koja je zasnovana na aksiomama apsolutne geometrije i Plejferovoj aksiomi paralelnosti naziva se euklidskom. Ako pretpostavimo da uz aksiome prve etiri grupe na kojima je zasnovana apsolutna geometrija vai samo jedna aksioma paralelnosti, tzv. aksioma Lobaevskog. Aksioma VI : Postoje taka B i prava a koja je ne sadri, takve da u njima odredjenoj ravni postoji vie od jedne prave koja sadri taku B, a sa pravom a nema zajednikih taaka. Geometriju koja je zasnovana na aksiomama apsolutne geometrije i aksiomi Lobaevskog zvaemo geometrijom Lobaevskog ili hiperbolikom geometrijom. Moemo vidjeti da se euklidski i hiperboliki aksiomi razlikuju po samo jednoj rijei : vitalna rije ne .Bez znaaja je pitati koja od ove dvije geometrije je ispravna i praktino je nemogue odluiti koja prua pogidniju osnovu za opisivanje svemirskih prostora.Sa gledita iste matematike vanije je pitanje da li je neki aksiom logiki saglasan sa preostalim aksiomama apsolutne geometrije.ak je i ovo teko dogovoriti.Prema filozofu Gedelu ne postoji potpun dokaz doslijednosti za sistem koji ukljuuje beskonane skupove. Moramo biti zadovoljni sa relativnom dosljednosti : ako je euklidska geometrija oslobodjena od kontradiktornosti, onda je i hiperbolika, i obrnuto. Relativna dosljednost

8

je ustanovljena pronalaskom u svakoj geometriji modela druge geometrije. Pri ispitivanju sistema aksioma bilo koje deduktivne teorije pojavljuju se sledea tri problema : problem neprotivurijenosti, problem nezavisnosti i problem potpunosti tog sistema. Problem neprotivurijenosti jednog sistema aksioma sastoji se u dokazivanju da u teoriji koja se izvodi iz tog sistema aksioma ne postoje dva stava koja bi bila medju sobom protivurijena.Taj dokaz neprotivurijenosti nekog sistema aksioma ne moe se izvesti u samoj teoriji koja se zasniva na tom sistemu aksioma. Strog dokaz ovog tvrdjenja nedavno je izveo logiar Kurt Gedel. ta vie, dokazano je da se neprotivurijenost nekog sistema aksioma moe izvesti iskljuivo na izvjesnom modelu u drugoj deduktivnoj teoriji za koju znamo da je neprotivurijena. Naime, ako su T1 i T2 deduktivne teorije izvedene iz dvaju raliitih sistema aksioma, pri emu znamo da je sistem teorije T1 neprotivurijean bie i sistem teorije T2 neprotivurijean ako se u teoriji T1 moe konstruisati takav model na kome vae sve aksiome teorije T2. Tako se, na primjer, neprotivurijenost sistema aksioma euklidske geometrije dokazuje, pretpostavljajui da je neprotivurean sistem aksioma aritmetike.Kasnije emo dokazati da je sistem aksioma geometrije Lobaevskog neprotivurijean pretpostavljajui da je neprotivurijean sistem aksioma euklidske geometrije. Problem nezavisnosti nekog sistema aksioma odnosi se na pitanje da li se neka aksioma iz tog sistema moe izvesti kao teorema iz ostalih aksioma tog sistema, drugim rijeima da li je broj aksioma datih u tom sistemu minimalan.S toga se problem nezavisnosti nekog sistema aksioma esto naziva i problemom minimalnosti tog sistema aksioma. Pri dokazivanju da je jedna aksioma nekog sistema nezavisna od ostalih aksioma tog sistema, dovoljno je dokazati da u teoriji koja se zasniva iz ostalih aksioma tog sistema postoji model na kome vai pomenuta aksioma. Problem potpunosti nekog sistema aksioma svodi se na pitanje mogu li se tom sisitemu aksioma dodati jo neke aksiome koje nisu protuvrjene sa datim aksiomama i koje se ne mogu izvesti iz njih. Pojam protivurjenosti jednog sistema aksioma moe se izraziti na drugi nain.9

Stoga definiimo pojam izomorfnosti dva modela. Ako su u teriji koja su deduktivno izvedena iz nekog sistema aksioma konstruisana dva razliita modema i ako je izmeu njihovih elemanata tj. osnovnoh pojmova dat obostrano jednoznaan odnos u kom odgovarajui elementi imaju isti meusobni raspored, tada kaemo da su ti modeli izomorfni. Sada moemo iskazati ekvivalentnu definiciju potpunosti jednog sistema aksioma. Jedan sistem aksioma kaemo da je potpun ako su u teoriji zasnovanoj na toj teoriji aksioma svaka dva modela meusobno izomorfna. Saglasno iskazanom postupku za dokazivanje neprotivurijnosti jednog sistema aksioma dovoljno u euklidskoj ravni koja je zasnovana na neprotivurijenosti sistemu aksioma konstruisati takav model na kome e da vae sve aksiome planimetrije Loboevskog. Takvih modela u euklidskoj ravni ima vie. Jedan euklidski model hiperbolike ravni je Poenkareov disk model. Proizvoljni krug euklidske ravni nazovimo apsolutom, njegovu unutranjost nazovimo h-ravan, a svaku taku h-ravni nazivamo htakom. Presjek proizvoljnog kruga euklidske ravni koji je ortogonalan na apsoluti sa h-ravni nazivamo h-pravom. Presjene take tog kruga i apsolute zvaemo krajevima te h-prave. Svaki segment kruga koji je upravan apsoluti ija tjemena pripadaju h-ravni nazivamo h-du, a segment tog kruga ije jedno tjeme na apslouti, a drugo pripada hravni nazivamo h-polupravom. Prvo od tih dvaju tjemena zvaemo krajem, a drugo tjemenom h-poluprave. H-prava razlae hravan na dvije oblasti koje nazivamo hpoluravni. Tu h-pravu nazivamo rubom te h-poluravni. Dvije h-poluravni koje imaju zajedniko tjeme razlau hravan na dvije oblasti koje nazivamo h-uglovima, a te dvije poluprave nazivamo kracima tog h-ugla. Ako su X,Y,Z tri h-take koje ne pripadaju jednoj h-pravoj onda skup koji se sastoji iz taaka h-du XY,YZ,ZX nazivamo h-trouglom. Analogno pojmu ugla trougla moe se uvesti pojam ugla h-trougla.

10

Takoe analogno sa odgovarajuim pojmovima apsolutne geometrije uvodimo i pojmove h-poligonske linije i h-poligona kao i pojmove ugla h-poligona, h-poligonske povri i h-tiragulacije, itd. Inverzijom u odnosu na krug k uprava na aspoluti ili refleksijom u odnosu na pravu k upravnu na apsoluti (koja stoga sadri sredite apsolute) , h-ravan se preslikava na sebe. H-refleksijom zvaemo restrikciju te inverzije na h-ravan, a osom te h-refleksije zvaemo hpravu koja pripada krugu ili pravoj k. Da bi smo dokazali da je h-ravan model hiperbolike ravni (Poenkareov disk model) koristimo sljedee teoreme: Teorema 1: Za dvije razne h-take A i B postoji jedinstvena hrefleksija kojom se te dvije take preslikavaju jedna na drugu. Teorema 2: Ako se dvije h-prave sjeku, tada postoje dvije hrefleksije kojima se one preslikavaju jedna na drugu, a ako su disjunktne tada postoji jedinstvena h-refleksija kojom se one preslikavaju jedna na drugu. Teorema 3: Postoji jedinstvena h-refleksija kojom se dvije hpoluprave sa zajednikim tjemenom preslikavaju jedna na drugu. Za h-taku B koja se razlikuje od dvaju h-taaka A i C, rei emo da je h-izmeu tih dvaju h-taaka i pisaemo Bh (A,B,C) , ako h-taka B pripada h-dui AC.Za par h-taaka (A,B) rei emo da je h-podudaran paru h-taaka (C,D) i pisaemo (A,B) =h (C,D) ako postoji niz hrefleksija iji proizvod preslikava par (A,B) na par (C,D). Proizvod tih hrefleksija zvaemo h-podudarnou ili h-izometrijom h-ravni. Teorema 4: je manji od . Zbir unutranjih uglova proizvoljnog h-trougla strogo

Prelazimo na dokazivanje da je h-ravan model hiperbolike ravni. Da kaemo najprije da pojmovi h-take, h-prave, h-izmeu i h-podudarnosti parova taaka zadovoljavaju sve aksiome apsolutne geometrije. Budui da svaki krug sadri bar dvije take i da postoji jedinstven krug upravan na apsolutu koja sadri dvije razne take bie zadovoljene11

prve tri aksiome pripadanja: Svaka h-prava sadri najmanje dvije h-take; postoje njamanje jedna h-prava koja sadri dvije h-take; postoji najvie jedna h-prava koja sadri dvije razne h-take. Ako take jedne h-prave nazovemo h-kolinearnim, a take koje ne pripadaju jednoj h-pravoj hnekolinearne, tada h-ravan sadri tri h-nekolinearne take. Stoga je zadovoljena i posljednja polimetrijska aksioma prve grupe. Neposredno se provjerava da su zadovoljene i prve aksiome rasporeda jer : Ako je Bh (A,B,C), tada su A,B,C tri razne h-kolinearne take; ako je Bh (A,B,C) , tada je Bh (C,B,A); ako je Bh (A,B,C), tada nije Bh (B,A,C); ako su A i B dvije razne take, tada postoji h-taka C takva da je Bh(A,B,C) ili Bh (B,C,A) ili Bh (C,A,B). Vai i Paova aksioma. Zaista, ako su A,B,C tri h-nekolinearne take i ako je p h-prava koja ne sadri htaku i sijee h-pravu BC u taki B takvoj da je Bh (B,P,C) tada taka A pripada ili onoj h-poluravni sa rubom p kojoj pripada i taka B ili onoj hpoluravni kojoj pripada taka C.H-prava p e sijei h-pravu CA u h taki Q takvoj da je Bh (C,Q,A) ili h-pravu AB u h-taki R takvoj da je Bh (A,R,B). Iz definicije h-podudarnisti neposredno slijedi da vai prva aksioma tree grupe: Ako su A,B,C,D h-take takve da je (A,B) =h (C,D) i A=B tada je C=D. Relacija h-podudarnosti zadovoljava drugu aksiomu tree grupe budui da za zadate h-take A i B postoji h-refleksija kojom se te dvije h-take preslikavaju jedna na drugu. Dakle, ako su A i B bilo koje dvije h-take, tada je (A,B) =h (B,A). Kako je svaka inverzija involucija trea aksioma podudarnosti se neposredno provjerava: Ako su A,B,C,D,E,F h-take takve da je (A,B) =h (C,D) i (A,B) =h (E,F) , tada je (C,D) =h (E,F). Da bismo dokazali da vai peta aksioma podudarnosti predpostavimo da su A i B dvije razne h-take, a da je C tjeme neke h-poluprave c. Tada na osnovu Teoreme 1 postoji jednstvena h-refleksija kojom se taka A preslikava u taku C. Neka s tom h-refleksijom h-poluprava AB preslikava na neku h-polupravu e, a taka B u taku E te h-poluprave. Kako postoji h-refleksija kojom se h-poluprave c i e preslikavaju jedna na drugu, tom h-refleksijom se h-taka E preslikava u neku h-taku D. Dakle,ako su A i B dvije razne h-take i C12

tjeme neke h-poluprave, tada na toj h-polupravoj postoji h-taka D takva da je (A,B) =h (C,D). ta vie, h-taka D je jedinstvena. Zaista, ako bi postojala jo neka taka D takva da je (A,B) =h (C,D) , tada bi se h-refleksijom kojom se h-taka E preslikava u h-taku D, htaka D preslikava u neku h-taku E h-poluprave e. Budui da hpodudarnost uva h-uglove, jer uglove uva svaka inverzija (i refleksija) , DDEE e biti h-etvorougao kome zbir unutranjih uglova 2 to je nemogue na osnovu posljedice Teoreme 4 koja glasi: Zbir unutranjih uglova proizvoljnog h-etverougla strogo je manji od 2. Dokaimo da vai esta aksioma podudarnosti. U tom cilju predpostavimo da se ureeni par (A,B) preslikava nekom hpodudarnou na ureeni par (A,B). Ako se h-taka C koja ne pripada h-pravoj AB preslikava tom h-podudarnou u h-taku C, tada je (A,C) =h (A,C) I (B,C) (B,C). U h-poluravni sa rubom AB, kojoj pripada C, postoji jedinstvena h-taka koja zadovoljava te uslove jer hpodudarnost uva h-uglove. Dakle, ako je (A,B) =h (A,B), (B,C) =h (B,C) i (C,A) =h (C,A) tada postoji h-izometrija koja ureenu trojku (A,B,C) preslikava na ureenu trojku (A,B,C). ta vie ta h-izometrija je jedinstvena. Da bismo dokazali da je zadovoljena i sedma aksioma podudarnosti stavimo da su A,B,C i A,B,C dvije trojke nekolinearnih taaka i D i D take h-polupravih BC i BC takve da je (A,C) =h (A,C) , (B,C) =h (B,C) i (B,D) =h (B,D). Kako postoji jedinstvena h-izometrija koja ureenu trojku (A,B,C) preslikava na ureenu trojku (A,B,C), tom hizometrijom se taka D preslikava u taku D tako da je (B,D) =h (B,D). Dokaimo da je zadovoljena etvrta aksioma podudarnosti: Ako su C i C take h-dui AB i AB takve da je (A,C) =h (A,C) i (B,C) =h (B,C) , tada je i (A,B) =h (A,B). Zaista, budui da na hpolupravoj AB postoji jedinstvena taka C takva da je (A,C) =h (A,C), a da na h-polupravoj CB postoji jedinstvena taka B takva da je (C,B) =h (C,B), h-izometrijom kojom se ureeni par (A,C) prelikava na ureeni par (A,C), ureeni par (B,C) prelikava na ureeni par (B,C), pa se njome i ureeni par (A,B) prelikava na ureeni par (A,B).

13

Budui da vai Dedekinova teorema za segmente te da su Arhimedova i Kantorova aksioma posledica Dedekinove teoreme, na h-pravoj su zadovoljene obe aksiome neprekidnosti. Time smo dokazali da pojmovi h-take, h-prave, h-izmeu i hpodudarnosti parova taaka zadovoljavaju sve aksiome apsolutne polimetrije te da je stoga h-ravan model apsolutne ravni. Kako je na osnovu teoreme etiri zbira unutranjih uglova proizvoljnog h-trougla manji od , u h.ravni e vaiti aksioma Loboevskog pa je h-ravan model hiperbolike ravni. Ovim smo konstruisali model hiperbolike ravni koji nazivamo Poenkareovim disk modelom. Svakom pojmu hiperbolike geometrije pridruen je pojam geometrije h-ravni i svaka teorema hiperbolike planimetrije ima svoju interpretaciju geometrije h-ravni. Pojam paralelnosti je jedan od znaajnih pojmova apsolutne geometrije. Ako dvije h-poluprave sa zajednikim tjemenom B imaju iste krajeve kao i neka h-prava a (koja ne sadri B), tada e proizvoljna hpoluprava sa tjemenom B sjei h-pravu a ako i samo ako pripada onom od h-uglova na koje zadate h-poluprave razlau h-ravan, kojem pripada i h-prava a. Za dvije h-prave moemo rei da su meusobno h-paralelne ako imaju jedan zajedniki kraj.

Slika 2

14

Eliptiki pramen h-pravih e biti skup svih h-pravih koje sadre neku h-taku. Krugovi koji sadre h-taku sadrae i njoj inverznu taku u odnosu na apsolutu (budui da su na njoj upravni) pa h-prave nekog eliptikog pramena pripadaju krugovima nekog eliptikog pramena krugova. Paraboliki pramen h-pravih e biti skup svih h-pravih sa zajednikimkrajem. Budui da sjedite krugova koje sadre h-prave jednog parabolikog pramena pripadaju tangenti apsolute u zajednikom kraju zadatog pramena h-pravih, h-prave nekog parabolikog pramena pripadaju krugovima nekog parabolikog pramena krugova. Slino , h-orave nekog hiperbolikog pramena pripadaju krugovima nekog hiperbolikog pramena krugova.

Slika 3 Budui da je skup slika proizvoljne take ravni u inverzijama u odnosu na krugove nekog pramena krug, koji je upravan na svim krugovima zadatog pramena krugova, h-epicikl e biti (euklidski) krug ili dio tog kruga. On e biti upravan na apsolutu osim u sluaju kada je taj hepicikl osnova neke h-ekvidistante. Ako je zadat pramen konkurentnih hpravih, njemu odgovarajui h-krug e biti (euklidski) krug koji pripada hravni. Kako je h-oricikl upravan na parabolikom pramenu, on e biti (euklidski) krug kome nedostaje zajedniki kraj h-pravih zadatog parabolikog pramena. Ako je zadat hiperboliki pramen h-pravih, njemu odgovarajua h-ekvidistanta je dio (eukidkog) kruga koji je upravan na zadatom pramenu krugova.

15

Slika 4 Drugi euklidski model predloio je Beltrami (od 1835-1900) i koristi drugi krug kao na slici 5. Svaka taka u krug predstavlja hiperboliku taku. Dvije paralele na r iz A su tetive koje spajaju A sa krajevima tetive r (tetive ije linije se sjeku izvan predstavljaju ultraparalelne prave). Ovo nazivamo projektivnim modelom zato to prave linije ostaju prave. Nita nije izgubljeno ako zamjenimo krug u euklidskoj ravni sa konusom u projektivnoj ravni. U stvari mnogo se dobija. Mogue je proiriti hiperboliku ravan na projektivnu ravan u smislu elemenata definisanih u samoj hiperbolikoj geometriji.

Slika 5 Kada koristimo modele poeljnije imati dva razliita nego jedan, tako da se izbjegnu iskuenja da se jednom da neopravdana prednost. Nae geometrijsko razmiljanje bi se trebalo zasnivati na aksiomima. Klejn je izloio vezu izmeu konfornih i projektivnih modela u smislu slike 6.

16

Slika 6 Lopta, koja ima isti radijus kao i , dodiruje horizontalnu ravan u S , centar obje i i . Poinjui sa projektivnim modelom koristimo ortogonalnu projekciju da bismo preslikali na ekvator lopte i svaka unutranja taka u dvije take: Jedna u junoj hemisferi, a druga ( koja nije prikazana) u sjevernoj. Svaka tetiva od donosi krug u vertikalnu ravan , tj. krug ortogonalan na . Sada najzad, projektujemo krug u ravan stereografikom projekcijom tako da se projektuje u vei krug koncentrian sa . Zbog prirode stereografike projekcije, uvanje ugla i uvanje kruga vertikalne krugovi donose horizontalne krugove ortogonalne na i mi imamo konforni model. Umesto stereografike projekcije na tangentnu ravan u junom polu S (inverzije u odnosu na sferu radijusa NS) , mogli bi smo korisititi stereografiku projekciju (iz istog sjevernog pola N) na ekvatorijalnu ravan (inverzije u odnosu na sferu kroz tako da napravimo i da se podudaraju sa . Klejnova procedura je opravdana u svojim zakonitostima pravljenja dva modela da se slau u neposrednij okolini od S. Ovo je moralo izgledati vanije nego slaganje beskonanosti.

17

Mora se zapamtiti da su oba modela po jednom gledanju nepravilna. Daje nam utisak da bi centar S trebao igrati centralnu ulogu, gdje su u apsolutnij i hiperbolikoj ravni ove take sline. Kompletnosti radi, trebali bi spomenuti model da bi stanovnici hiperbolikog svjeta pokuavali da zamisle euklidsku ravan. Jedno je rjeenje da bi oni mogli predstaviti euklidske take i prave pravama i ravnima paralelne datim zrakom u hiperbolikom prostoru. I na kraju, evo jo jedne male zanimljivosti kako Bere vidi Poenkareov disk model.

Slika 7

18

LiteraturaZORAN LUI, Euklidska i Hiperbolika geometrija, Grafiti i Matematiki fakultet, Beograd, 1994.

DRAGOMIR LOPANDI , Geometrija Lobaevskog, PMF , Beograd 1968.

H.S.M. COXETER, Non Euclidean Geometry , (5 th . ed.) University of Toronto press 1968.

OPCA ENCIKLOPEDIJA, zavod, Zagreb (1980.) knjiga 6.

Jugoslovenski leksikografski

ERIC TEMPLE BELL, VELIKI MATEMATICARI, Zivot i dostignuca velikih matematicara od Zenona do Poincara, Nakladni zavod znanje (1972.) M. BERE, 1984.

eometr ,

Tom btopo,

Moskva

ANDREA DOMINOVI, 266/92 seminarski rad INTERNET, http:\\ www groups.dcs.st-and.ac.uk

19