Prof. dr Esad Jakupović

Teorija skupova je nastala krajem prošlog vjeka kao opisna matematička teorija. Tvorac teorije skupova je bio njemački matematičar G. Cantor. Od njega potiče i opisna »definicija« skupa navedena u uvodnom poglavlju (»Skup je objedinjenje izvjesnih elemenata u jednu cjelinu«). U izgradnji teorije skupova potrebno je pretpo staviti da važe izvjesne aksiome (istine koje se ne dokazuju, tj. rečenice koje prihvatamo za istinite).Kantor je implicitno koristio sledeće tri aksiome:

Aksioma o jednakosti dva skupa. Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

Aksioma apstrakcije. Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x | P(x)} čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.

Aksioma izbora. Za svaki neprazan skup S postoji funkcija čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa a slike su elementi originala, tj.

: \ .S f P S S A A S A f A A

Teorija skupova izgrađena na ovim aksiomama je protivrječna. Aksioma ap strakcije dovodi do sledeće kontradikcije poznate pod nazivom Russelov paradoks po B. Russelu koji gaje otkrio 1903. g.Russelov paradoks. Posmatrajmo skup P svih skupova S koji nisu sami sebi element; ;, tj. P={ }, (Na primjer, skup nije sam sebi element jer {1, 2} {1, 2}). Može se postaviti pitanje da li je . Ako se pretpostavi P P onda je P jedan od skupova S za koje važi S S pa slijedi P P. Međutim, pretpostavka P P kaže da je P jedan od skupova S za koje je S S pa P P. Dakle, postoji kontradikcija.Ovaj i drugi paradoksi otkriveni u teoriji skupova doveli su do njene revizije jer je bilo potrebno jednu fundamentalnu matematičku disciplinu kao što je teorija skupova osloboditi od protivrječnosti. To je dovelo i do razvoja matematičke logike (na primjer, do uvođenja formalnih teorija, između ostalog, i formalnih teorija sku pova). Raznim programima revizije teorije skupova uklonjene su uočene pretivrječnosti ali nije dokazano da se nove protivrječnosti ne mogu pojaviti.

|S S S

P P

Kardinalni broj kA (ili ) konačnog skupa A je broj elemenata toga skupa. Za beskonačne skupove kardinalni brojevi se označavaju posebnim simbolima. Kardinalni broj kN skupa prirodnih brojeva N se obeležava sa (čitati: alef nula). Kardinalni broj kR skupa realnih brojeva R obilježava se sa c.Kardinalni brojevi beskonačnih skupova takođe imaju smisao broja elemenata u skupu ali je ovde situacija bitno komplikovanija u odnosu na konačni slučaj. Radi lakšeg manipulisanja sa kardinalnim brojevima uvodi se sljedeća definicija.Definicija 1. Skupovi A i B imaj isti kardinalni broj (ili imaju istu moći ili ekvivalent ni su) ako postoji preslikavanje f: A B koje je bijekcija.Ako su skupovi A i B konačni; njihova ekvivalentnost znači da imaju isti broj elemenata. Ovakvo tumačenje ekvivalentnosti skupova prihvata se i za slučaj besko načnih skupova.

| |A

0N

Relacija ekvivalentnosti skupova je relacija ekvivalencije. Zaista, A je ekvi valentno sa A jer je identičko preslikavanje skupa A bijekcija iz A u A (refieleksivnost). Ako je A ekvivalentno sa B, onda postoji koje je bijekcija, inverzno preslikavanje je takođe bijekcija i B je ekvivalentno sa AAko je A ekvivalentno sa B i B ekvivalentno sa C onda postoje bijekcije no tada je takođe bijekcija i A je ekvivalentno sa C (tranzitivnost)Klase ekvivalencije relacije ekvivalentnosti skupova sadrže skupove istog kardinalnog broja. Kardinalni broj skupa je dakle zajednička karakteristika posmatranog skupa i svih njemu ekvivalentnih skupova. Sasvim apstraktno, kardinalni broj skupa se može definisati kao klasa ekvivalencije (u odnosu na relaciju ekvivalentnosti skupova) kojoj skup pripada.Neobična činjenica u vezi kardinalnih brojeva se sastoji u tome što kardinalni brojevi beskonačnih skupova nisu svi isti. Do tog zaključka dolazimo na osnovu sledeće teoreme.

:f A B1 :f B A

: i g:B C;f A B :fg A C

Teorema 1. Skup Ai njegov partitivni skup P( A) imaju različite kardinalne brojeve.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da A i P(A) imaju iste kardinalne brojeve. Tada: prema definiciji 1 postoji bijekcija .Posmatrajmo skup , , tj. skup svih elemenata iz A koji nisu elementi svoje slike (a). ( (a) je element skupa P(A), tj. podskup skupa A). Pošto je Z P(A) i pošto je bijekcija, postoji b A takvo da je .Razmotrimo da li je b Z. .

Ako je b , onda b , tj. B Z.Ako , onda , tj. b Z.

U oba slučaja dobijamo kontradikciju. Dakle, bijekcija ne postoji. Ovim je teorema dokazana.

:f A P A

Z a a A a f a f

f f b Z

Z f b b Z b f b

Definicija 2. Skup je prebrojiv ako je ekvivalentan skupu prirodnih brojeva N. Beskonačni skupovi koji nisu ekvivalentni sa N nazivaju se neprebrojivi..Prebrojivi skupovi imaju, naravno, kardinalni broj N0 i oni se karakterišu činjenicom što se njihovi elementi mogu poredati u niz. Naime, po definiciji, niz je funkcija , a ako su svi elementi od S u nizu onda je bijekcija a to znači S je ekvivalentno sa N.Konačni i prebrojivi skupovi nazivaju se diskretni skupovi.

Teorema 2. Skup realnih brojeva je neprebrojiv.Dokaz. Skup realnih brojeva R je ekvivalentan sa intervalom (0, 1) jer je funkcija bijekcija iz R u (0, 1).

Dokazaćemo da je interval (0, 1) neprebrojiv skup.Elementi ovog intervala se na jedinstven način mogu prikazati pomoću decimalnih brojeva koji imaju beskonačno mnogo cifara iza decimalne zapete.To važi i za racionalne brojeve jer se, na primer, broj 0,543 može predstaviti kao 0,542999...

:f N S

f

1

x

x

e

e

Pretpostavimo daje (0, 1) prebrojiv. Tada se njegovi elementi mogu svrstati u niz. Neka je taj niz predstavljen sledećom šemom u kojoj označava j-tu cifru i-tog broja u nizu.Tzv. Kantorovim dijagonalnim postupkom određujemo broj koji pripada intervalu (0, 1) a koji se ne nalazi u navedenom nizu brojeva. To je, na primer, broj , gdje je Ovako formiran broj različit je od prvog broja niza jer im se prve cifre razlikuju. Slično tome, taj broj je različit od n-tog člana niza jer razlika postoji u n-toj cifri.Ovim je teorema dokazana. Dakle, N0<c. Može se takođe dokazati daje kardinalni broj partitivnog skupa P(N) skupa prirodnih brojeva N upravo jednak c. Imajući u vidu odgovarajuću relaciju za konačne skupove piše se simbolički .U vezi sa navedenim postavlja se i pitanje egzistencije skupa čiji se kardinalni broj nalazi između N0 i c. Ovaj problem je poznat kao hipoteza kontinuuma.

1 20, , ,..., ,...nb b b 0 i=1,2,...i iib a

ija

2kAkP A 02N c

U uvodnom poglavlju definisali smo binarne operacije nad skupovima, uniju i presjek, pomoću sledećih formula

Zajednička karakteristika ovih operacija se sastoji u tome što je predikat koji definiše navedene skupove logička operacija (disjunkcija odnosno konjunkcija) nad predikatima » « i » «. Ovo navodi na misao da bi se svakoj binarnoj ope raciji (i=1, 2,.. . ,16) iskazne algebre mogla pridružiti jedna binarna operacija nad skupovima , prema obrascuU češćoj upotrebi su samo neke od ovako konstruisanih operacija. Ovde navodimo diferenciju i simetričnu diferenciju skupova.Diferencija A\B skupova A i B definiše se pomoću i ona odgovara negaciji implikacije, tj. operaciji Simetrična diferencija A B skupova A i B definiše se pomoću

tj. ona odgovara ekskluzivnoj disjunkciji.

, A B=A B x x A x B x x A x B

x A x B

i

i i iA B x x A x B

\A B x x A x B 12

A B x x A x B

Očigledno je

Unarnoj logičkoj operaciji negaciji odgovarala bi unarna operacija nad skupovima koja bi skupu A pridruživala skup A koji nazivamo komplement skupa A definisan pomoću

Ovako definisan komplement bi bio preopširan jer nije precizirano koji mu sve objekti pripadaju i mogao bi da dovede do kontradikcije.Stoga se podrazumjeva da su svi skupovi podskupovi izvjcsnog fiksiranog skupa I koji se naziva univerzalni skup. Univerzalni skup može da se mjenja ako se raspravlja o različitim problemima.Komplement A skupa A u odnosu na univerzalni skup I definišc se pomoću

Postoje i dalje analogije između iskazne algebre i operacija nad skupovima.Skupovni identiteti odgovaraju tautologijama iskazne algebre.

\ \A B A B B A

A x x A

,

\

A x x I x A

A I A

Primjer 1. Dokazati relaciju .

Prema definiciji jednakosti dva skupa treba dokazati tačnost ekvivalencije

Ako rečenicu »x A« označimo sa P a rečenicu »x B« sa Q ova ekvivalencija dobija oblik P .

Ovoj složenoj rečenici odgovara formula iskazne algebre koja je tautologija.

Svakoj tautologiji iskazne algebre u kojoj se pojavljuje jedan simbol odgovara jedan skupovni identitet na sledeći način.

Iskazna slova tumačimo kao oznake za skupove.

Simbole logičkih operacija zamjenjujemo odgovarajućim simbolima sku-povnih operacija i simbol zamenjujemo znakom jednakosti.

A A B A

x A A B x A

P Q P

p p q p

Na taj način se, polazeći od tautologija navedenih u 3.2, dobijaju, na primjer, slJedeći skupovni identiteti:

Analogno iskaznoj algebri definiše se algebra skupova.

-

------------

, A A

, A A=A

A B=B A, A B=B A

A B C , A B C

, A A B

, A B C

, A B

A A I

A A A

A B C A B C

A A B A A

A B C A B A C A B A C

A B A B A B

Definicija 1. Uređen par (P(I), { } gde je I proizvoljan skup naziva se algebra skupova.Algebra skupova se označava i pomoću uređene četvorke .U definiciji su posebno istaknute operacije . Ostale operacije se ne ističu jer se mogu, na osnovu zaključka o bazama iskazne algebre, izraziti pomoću navede nih skupovnih operacija.Izrazi i jednakosti u algebri skupova mogu se ponekad pregledno ilustrovati tzv. Vennovim dijagramima. Kao što je poznato, ravna prosta zatvorena Jordanova kriva djeli ravan u kojoj se nalazi na dve (Otvorene) oblasti — spoljašnju i unutrašnju.Proizvoljan skup se može simbolički predstaviti unutrašnjom oblašću jedne takve zatvorene krive.Na primjer, izrazi predstavljeni su sledećim Vennovim dijagramima:

, , , , .P I

, ,

, , \ ,A B A B A B A B

Definicija 1. Uređen par (X, ρ), gdje je X neprazan skup a ρ relacija parcijalnog ure đenja u skupu X, naziva se parcijalno uređen skup.Često se sam skup X (a ne uređen par (X, ρ)) naziva parcijalno uređen skup.Parcijalno uređeni skupovi su, u stvari, grafovi posebnog oblika. No zbog njihovog posebnog značaja izgrađena je zasebna teorija koja naravno ima sličnosti sa teorijom grafova.

Primjer 1. Uređen par (P(X), ), gdje je X proizvoljan skup, je parcijalno uređen skup jer je inkluzija relacija parcijalnog uređenja. Opštije, proizvoljan skup skupova je parcijalno uređen inkluzijom. Skup realnih brojeva R je parcijalno uređen relacijom . Skup prirodnih brojeva N snabdjeven re lacijom djeljivosti | je parcijalno uređen skup.Parcijalno uređeni skupovi se pregledno predstavljaju grafovima koji se naziva ju Hasseovi dijagrami. Konstrukcija Hasseovog dijagrama se vidi u sledećem primjeru.

Primjer 2. Neka je Y= {a, b, c}. Hasseov dijagram parcijalno uređenog skupa (P(Y), ) predstavljen je na sl. 1 a).Svakom elementu parcijalno uređenog skupa pridružuje se jedan čvor u Hasseovom dijagramu, čvorovi x i y su povezani granom orijentisanom od x ka y ako i samo ako je x ρ y i ne postoji element z (različit od X i y) takav da je istovremeno xρz i zρy.Umjesto orjentisanim grafom Hasseov dijagram se predstavlja obično ne orjentisanim grafom (sl.1b) uz konvenciju da je čvor x na crtežu niže postavljen od čvora y kad god je xρy.

Primjer 3. Hasseov dijagram parcijalno uređenog skupa ({30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1}, |) dat je na sl. 1 c).Vidi se da su Hasseovi dijagrami iz primjera 2 i primjera 3, u stvari, isti. Oni imaju istu strukturu a razlikuju se po oznakama koje imaju čvorovi. Parcijalno uređeni skupovi koji su pred stavljeni Hasseovim dijagramima iste strukture zovu se izomorfni parcijalno uređeni skupovi. Pojam izomorfnosti uvodimo sledećom definicijom.

Definicija 2. Parcijalno uređeni skupovi su izomorfni ako postoji bijekcija tako da važiBijekcija f naziva se izomorfizam parcijalno uređenog skupa na parcijalno uređeni skup (X2, ).Preslikavanje definisano pomoću:

predstavlja jedan izomorfizam parcijalno uređenog skupa iz primjera 2 na parcijalno uređeni skup iz primjera 3.

1 1 2 2, i X ,X

1 2:f X X 1 2 1,x y X f x f y x y 1 1,X

2

,1 , ,2 , ,3 , ,5 , , ,6 ,

a,c ,10 , , ,15 , , , ,30

f a b c a b

b c a b c

Definicija 3. Parcijalno uređeni skup je podskup parcijalno uređenog skupa (X,ρ) ako je (tj. je restrikcija relacije ρ definisane u skupu X na podskup Y).

Definicija 4. Elementi x i y parcijalno uređenog skupa su uporedivi ako važi .Elementi x i y su neuporedivi ako vazi .

Definicija 5. Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva (neuporediva) naziva se totalno uređeni skup ili lanac (totalno neuređen skup ili antilanac).

Primjer 4. Parcijalno uređen skup iz primjera 2 sadrži kao podskupove lance i antilance.Jedan takav lanac i jedan antilanac prikazani su na sl. 2.Hasseovi dijagrami antilanaca se sastoje od izolovanih čvorova.

1,Y 1 i Y X Y Y 1

x y y x x y y x

Definicija 6. Neka je (X, ) parcijalno uređen skup 1° Element a je najmanji element skupa (X,≤) ako važi a ≤ b za

svako .2° Element je najveći element skupa (X,≤)ako važi

b ≤ a za svako .3° Element je minimalni element skupa (X,≤)ako ne postoji tako da važi b ≤ a.4° Element je maksimalni element skupa (X,≤) ako ne postoji tako da važi a ≤ b.

Očigledno je najveći element maksimalan ali svaki maksimalan element ne mora biti najveći.

Slično tome najmanji element je minimalan ali minimalan element ne mora biti najmanji.

b X

b X

X

a X

a X

a X b X b a

b X b a

Primjer 5. U parcijalno uređenom skupu iz primjera 3 broj 30 je najveći element a broj 1 je najmanji element (u smislu relacije djeljivosti).Ako se, međutim, iz posmatranog skupa udalje brojevi 1 i 30 dobija se parcijalno uređen skup predstavljen na sl. 3 svojim Hasseovirn dijagramom.Sada najveći i najmanji element ne postoje. Međutim, skup ima tri maksimalna i tri minimalna elementa.

Teorema 1. Najveći i najmanji element su jedinstveni (ukoliko postoje).Dokaz. Pretpostavimo da u parcijalno uređenom skupu (X,≤) postoje dva najmanja elementa: x i y. Tada je prema definiciji najmanjeg elementa x≤y i y≤x. Zbog aritisimetričnosti relacije ≤ dobija se x=y.

Sličan dokaz je u važnosti za najveći element.

Definicija 7. Totalno uređen skup u kome svaki neprazan podskup ima najmanji ele ment naziva se, dobro uređen skup.

Primjer 6. Skup (N,≤) je dobro uređen dok je skup (Z, ≤) samo totalno uređen.

Definicija 8. Neka je (X,≤) parcijalno uređen skup i neka je A X.

1° Element je gornja međa podskupa A ako je b ≤ a za svako b A .2° Element je donja međa podskupa A ako je a ≤ b za svako b A.3° Supremum podskupa A je najmanji element u skupu njegovih gornjih meda.4° Infimum podskupa A je najveći element u skupu njegovih donjih međa.

Dakle,

a Xa X

sup A b Aa b a d X c A c d a d

Primjer 7. Na osnovu prethodne relacije za supremum praznog skupa (kao podskupa parcijalno uređenog skupa) dobijamo

Kako je za elemente praznog skupa svako tvrđenje istinito dobija se

tj. supremum praznog skupa je najmanji element parcijalno uređenog skupa, ukoliko ovaj postoji.

Definicija 9. Parcijalno uređni skup se naziva mreža (ili S-mreža) ako svaka dva njegova elementa (tj. svaki njegov dvoelementni podskup) imaju supremum i infimum.

Primer 8. Partitivni skup P(X) proizvoljnog skupa X parcijalno uređen inkluzijom je S-mreža jer je za

supa b b a d X c c d a d

supa d X a d

,A B P X

sup A,B , inf A,BA B A B

Teorema 2. Svaki parcijalno uređen skup je izomorfan nekom skupu skupova parcijalno uređenih inkluzijom.

Dokaz. Neka je dat parcijalno uređeni skup (X,≤). Za svako formirajmo skup i neka je .

Dokazaćemo da su skupovi (X, ≤) i izomorfni.

Izomorfizam je preslikavanje definisano pomoću f(a) = Sa za svako .

Lako se može vidjeti da su u važnosti relacije

čime je teorema dokazana.

a X

aS x x X x a aS S a X

,S

:f X Sa X

,

, a b

, ,

a b b a

a b b a b

a b

S S a S b S a b b a a b

S S a S a b S S

a b X a b S S

Definicija 1. Refleksivna i tranzitivna relacija se naziva kvaziuređenje ili kvaziporedak.Relacija parcijalnog uređenja je istovremeno i relacija kvaziuređenja ali obrnuto ne važi u opštem slučaju.Relacija kvaziuređenja se obično obilježava znakom . Oznaka x y se čita: x je ispred y.

Primjer 3. Neka je u skupu kompleksnih brojeva C zadata binarna relacija pomoću

Ova relacija je kvaziuređenje jer je uvjek z z (refleksivnost) i (tranzitivnost).

Međutim, relacija nijc ni simetrična ni antisimetrična, tj. ona nijc ni relacija ekvivalencije ni relacija parcijalnog uređenja.

, , , \ .

1 2 1 2 1 2, z Re Rez z C z z z

1 2 2 3 1 3z z z z z z

Kod skupova X sa kvaziuređenjem korisno je posmatrati relaciju definisanu pomoću

Relacija je relacija ekvivalencije. Ako se iz svake klase ekvivalencije izabere jedan predstavnik i izvrši restrikcija relacije iz X na skup Y predstavnika klasa ekvivalencije, dobija se parcijalno uređenje na skupu Y.

U primjeru 1 bi imali

tj. .

Stoga su klase ekvivalencije skupovi kompleksnih brojeva sa konstantnim realnim dijelom.

Ako se iz svake klase ekvivalencije kao predstavnik uzme realan broj, skup predstavnika Y je jednak R.

U skupu R relacija je ne samo kvaziuređenje već i parcijalno uređenje.

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1Re Re Re Re ,z z z z z z z z z z

1 2Re Rez z

x y x y y x