Distribución probabilística de Poisson

En una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de cincuenta, y p, la probabi­ad de éxito de un suceso, se acerca a cero, mientras que q la probabilidad de fracaso, se aproxima

a 1 de tal manera que el producto de np, llamado lambda A, es menor o igual a 5, debe utilizarse la. tribución de Poisson. Algunos autores consideran no sólo el hecho de que p sea muy pequeña, sino

:ambién cuando p es tan grande que se aproxima a 1,también para A> 5, en ambos casos, se puede::mlicar esta distribución.

- fórmula es: le= 2,71828

Siendo . ..1,= np

"Qi=hJmero de casos favorables.

Generalmente se dice que la distribución de Poisson tiene su mayor aplicación, cuando en el

erimento que se realiza ocurren sucesos llamados raros, los cuales se identifican con una probabi­

-d de éxito sumamente pequeña (p) y el número de observaciones (n) grande; pero I~ verdad es__ .J esta distribución se aplica a una variedad de situaciones diferentes, como las ocurrencias respec­

a un campo continuo, como área o tiempo. Algunos de estos eventos aleatorios ocurren en forma-ependiente a una velocidad dentro de un campo o intervalo, generalmente de tiempo o espacio.

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Son eje~e,l~.~p~.r~~elic~ciÓI1 de ladistribuCig~de,~oisson: el númérode personas que llegan",-:..n aJmacéf1;¡R.~n9q'oaerbpoertoen tmtiempO detElrfl1inqdo;el número de lIamé,ldas telefónicas:.;x minuto; ·.el.·.n:: u:·•.m·.·~..:··ro.:d Elqe.fectó..s.. e..n·p.ie..zas .si·m.. j.t...•...a res. e..nel mate..rial, y.a sea por ce.ntím.e.t.r..ocua-

°o centí~~:\r~:·liRe~l;h~~erode ba.St~rias.~n un cultivo;.iinsecto~por·kiIómetro·cuad~ago;el- ":nero de fallá~\~e"uná l1}aq,-!!ría..durq~te una'l1oraó undía;:E)1 nún;¡erodE) accidentes por día; el

ero de re,s)~ITiBstRneio.~s>lisit'-!gE).~·a llDabori)pa.9Ja. de ~egurose(lun determinado período,

.•- Como se~q~9~;g~sé~~.r;:sélra~~.81ball.~fl~pr~9~lJílidad de ocurrenciade cualquixrpúrneroe éxitos (X) IJÓrriDIg,~~#e··I'li~diciórí(n:íihuto:\l1oia,qía\se ritírpetr9: .rri~trOretc;) yenestcis proble­

ue se pres.'.§¡¡¡i~QR~r~~(¡Sblllci<5ndal}'yli¡~lorªelpgráry1etr9Ian1Hdá ('X 1.0SE:¡a.;el.·'.promedio- -azón de ocurréiiC;¡'~5t~féYeñfo' ~léátofjo'pBrlíJnidáadetierlípo ti espaciQy:élnúmero'de éxitos.

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% de las bombiRas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de_--"'. en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas.

13e-1 1(0,36788)"; A = 100 (0,01) = 1 x = 3 P(X=3) =-1- = --~ =0,06131 = 6,13 %3. 3.2.1.

252 Ciro Martínez Bencardino

Ejercicios resueltos

1. Un 10 % de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabTicación resulta ser defectuoso.Hallar la probabilidad de que de una muestra de diez utensilios, seleccionados al azar, sean exac­tamente dos los defectuosos, mediante: a) distribución binomial b) distribución de Poisson

Solución: p = 0,10 q = 0,90 n = 10 x=2

a) Distribución binomial

P(X;2) =C~ (0,1)2 (0,9)8 =45( 0,01)( 0,4305 )=0,1937=19,37%

b) Distribución de Poisson

x=2 íl=np=10(O,1)=1

12 e-1 (1)( 0,36788)p( x; 2)= -2-'- = ---~ = 0,18394 = 18,39%.. 2

2. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinadosuero es 0,001, determinar la probabilidad de que, de un total de 2.000 individuos, a) exactamente3; b) más de 2 individuos tengan reacción.

Solución: p = 0,001 q = 0,999 íl = 2.000 (0,001) = 2 n = 2.000

a) ílX e-Á 23 e-2 _ 8 (0,13534) = 018045 = 18,04 %p(X;3)=Xi=-3-'-- 6 '

b) P(X~2) =? ; x = 3, 4, 5, 2.000

_ 1- [20 ( 0,13534) + 2' ( 0,13534) + 22 (0,13534)]p( x ~2) - O ! ' 1 , 2 !

p( X~3) = 1- ( 0,13534 + 0,27068 + 0,27068) = 1- 0,67670 = 0,3233 = 32,33 %

3. Si el 3 % de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad deque en una muestra de 100 bombillas a) O, b) 1, c) 2, d)3, e) 4, f) 5, sean defectuosas.

Solución: p = 0,03 q = 0,97 íl = O,03 ( 100 ) = 3 n = 100

a) 3° e-3 _ 1( 0,04979) = 0,04979p(X;O) = -0-' --- 1 b)

Capitulo VII. 'Distribuciones Probabilisticas Discretas y Contínuas 253

e)

e)

P(X=2)=

p( X=4) =

32 ( 0,04979) = 0,224042!

34 (0,04979) = 0,168034!

d)

f)

33 ( 0,04979) = 0,22404p( x =3) = _.

35 ( 0,04979) = 0,10082p( X=5) = 5!

a

:;

Con el problema anterior, hallar la probabilidad de: a) más de 5, b) entre 1 y 3, e) 2 bombillaso menos sean defectuosas.

Solución:

p( X>5) =? x = 6,7,8, ·· .. ········· .. ······100

Pr x 5) = 1-l- 3° (0,04979) + + 35 (0,04979)]. >, O! 5!

p( x> 5) = 1- [( 0,04979 + 0,14937 + 0,22405 + 0,22405 + 0,16804 + 0,10082 ))

p( X>5) = 1- 0,91612 = 0,08388 = 8,39 %

3' (0,04979) 32 (0,04979) 33 ( 0,04979)P(1~X~3)= l' +--2-'--+--31--

p( 1~ X ~3) = 0,14937 + 0,22405 + 0,22405 = 0,59747 = 59,75 %

x=2,1,O

32 ( 0,04979 ) 3' ( 0,04979) 3° ( 0,04979 )P(XS2)= 2! + 1! +--O!--p( x ~ 2) = 0,22405 + 0,14937 + 0,04979 = 0,42321= 42,32 %

_ ::1 número de ahogados en accidente, por año, en un país Xes de tres por cada 100.000 habitan-;es. Hallar la probabilidad de que en una ciud¿.d cuya p0blación es de 200.000 haya: a) O,

) 2, e) 6, d) 8, e) entre 4 y 8, f) menos de 3 ahogados por año.

olución:¡

p = 0,00003 A. = 0,00003 ( 200.000 ) = 6 n = 200.000

6° e-6 1(0,002479) 62 ( 0,002479)P X~O) = -0-' - = ----1-- = 0,002479 b) p( X=2 j = . 2! . = 0,044622

p¡ x- 6) = 66 ( ?.:9024~ = ~6.65~13002479l=, 115,6~ = O1606= 16 06 %- 6 , . 720 720' ,

_ = 68 ( 0,002479) = 1.679.616( 0,002479)_ 4.163,76.. 010326 = 10 33 %P x- 6) 8! 40.320 40.320' ,X = 4, 5, 6, 7, 8

64 (0,002479) 65 (0,002479) 66 (0,002479) 67 (0,002479) 68 ( 0,002479)4~X$8)=- 41 + 5! +-'-6-'---+---7'--+ 8i =

1.296(0,002479) 7.776(0,002479) 46.656(0,002479) 279.936 (0,002479)4$X~8)= . 24 - +---12-0---·+----72-0·---+---5.-04-0-- +

256

Ejercicios para resolver(Ver respuestas al final del capítulo)

Ciro Martinez Benca;

1. Supongamos que de cada 5.000 vehículos, dos tienen problemas con las llantas en una autopista. Si 1,vehículos transitan por la autopista durante cierto día, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos vehíolos tengan problemas con las llantas?

2. Supongamos que, en promedio, una casa, de cada 2.000, en cierta zona de Buenos Aires, se incendia durael año. Sí hay 6.000 casas en dicha zona, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) más de 3 casas se incendien durante el año? b) exactamente dos?

3. El promedio de atracos en cierta ciudad es de dos por día. Utilizando la distribución de Poisson, determinarprobabilidad de que en un día dado, haya:

a) no más de tres atracos. b) a lo más dos atracos.

4. Una compañía de seguros considera que solamente a alrededor del 0,01 % de la población le ocurre cierto;;:¡de accidentes cada año. La empresa tiene 10.000 asegurados contra este tipo de accidentes, ¿cuál esprobabilidad de que máximo tres de ellos sufran accidente?

5. Se toma una muestra de 1.500 artículos de un lote de producción que arroja 0,24% de defectuosos, ¿cuá. "la probabilidad de obtener:

a) dos o menos artículos defectuosos? b) más de dos defectuosos?

6 .. Las estadísticas sobre la aplicación de normas de seguridad en una fábrica indican que, en promedio,presentan 10 accidentes cada trimestre. Utilice la distribución de Poisson para determinar la probabilidadque no haya más de doce accidentes de trabajo en cada trimestre.

7. El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio (np) es de tres por día. Cla probabilidad de que en un día cualquiera,

a) no se presente ninguna demanda? b) por lo menos se presenten dos demandas?o La probabilidad de que un cajero se equivoque en el pago de un cheque es de 0,0005. ¿Cuál es la probabide que en 800 cheques pagados por dicho cajero:

a) por lo menos se equivoque en el pago de tres cheques? b) máximo se equivoque en dos?

9. La tasa de mortalidad de cierta enfermedad es de tres por mil. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de ­personas,

a) más de dos mueran? b) como máximo dos mueral'l?

10. En promedio, doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas.es la probabilidad de que durante un período de diez minutos,

a) por lo menos dos se acerquen al'especialista? b) no más de dos se acerquen al especialis;a-

11. Se estima que una de cada 10.000 personas es alérgica a cierta sustancia utilizada en la fabricación de-­para el cabello, ¿cuál es la probabilidad de que 30.000 usuarias de tintes,

a) por lo menos dos sufran reacciones alérgicas?' b) más de una sufra reacciones alérgicas?

12. El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada 2 minutos, ¿cuál es la probabj"que lleguen,

a) exactamente 4 llamadas en un período de 30 segundos?b) como máximo dos llamadas en un período de 15 segundos?

13. Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad de que:a) en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.b) en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente.c) en cualquier hora dada llegue más de uno.

14. Los clientes de una cafetería llegan a razón de nueve, en un período de 30 minutos. Calcule la probab; ---a) de que en la primera media hora por lo menos lleguen 4 personas.b) de que en los 10 primeros minutos no llegue ningún cliente.

15. El cierre de bancos por problemas financieros ha ocurrido a razón de 5,7 clausuras por año,a) encuentre la probabilidad de que ningún Banco sea cerrado durante un período de cuatro meses,b) por lo menos un Banco sea cerrado durante el semestre.