18. 09. 2017 1

Pokročilá fyzika C803fIIp_05

Chování nevodivých látek v elektrickém poli

Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

http://webak.upce.cz/~stein/msfIIp15.htmlhttp://stein.upce.cz/fIIp/fIIp_05.ppt

18. 09. 2017 2

Hlavní body• Přebytečný náboj ve vodivém tělese• Deskový kondenzátor a jeho nabíjení• Jímání elektrické energie• Elektrický dipól• Vložení vodiče do kondenzátoru.• Vložení dielektrika do kondenzátoru.• Mikroskopický popis dielektrik• Příklad dielektrických měření

18. 09. 2017 3

Soustřeďte se na tyto otázky• Co znamená a jak se používá Gaussova věta?• Jaký fyzikální význam má kapacita kondenzátoru?• Co je to elektrický dipól?• Jak modelujeme dielektrikum?• Co je to relativní permitivita?

18. 09. 2017 4

Nabitý plný vodič I• Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně• Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa

kladně. • Pro naše účely můžeme mezery po chybějících

elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry. Na vodivosti pevných látek se ale vždy podílejí elektrony, které jsou pohyblivější.

• Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.

18. 09. 2017 5

Nabitý plný vodič II• Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a

mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu.

• Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charakteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule.

• Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí. Existují ovšem síly, které drží náboje v látce a lze je též chápat jako potenciálovou jámu.

18. 09. 2017 6

Tok elektrické intenzity• Tok elektrické intenzity je definován jako :

.• Popisuje množství elektrické intenzity ,

která proteče kolmo ploškou , která je tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní a je popsána svým vnějším normálovým vektorem .

• Zopakujme si skalární součin.

SdEd e

E

Sd

18. 09. 2017 7

Gaussova věta I• Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou

uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua

• Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích.

0

QSdEd e

18. 09. 2017 8

Gaussova věta II• V nekonečnu mohou siločáry začínat i

končit.• Gaussova věta platí protože intenzita klesá s

r2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r2.

• Skalárním součinem je ošetřena vzájemná orientace siločar a plošek.

18. 09. 2017 9

Gaussova věta III• Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry,

které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. • Je-li celkový uzavřený náboj kladný více siločar

vystoupí než vstoupí.• Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný více

siločar vstoupí než vystoupí.• Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly.• Nekonečno může být i zdrojem i propadlem.

18. 09. 2017 10

Gaussova věta VI• Gaussova věta může být považována za

základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon.

• Dokonce je obecnější!• Gaussova věta je užitečná :

• pro teoretické úvahy• v případech speciální symetrie• při studiu elektrických vlastností materiálů

18. 09. 2017 11

Hustota náboje• V reálných situacích obvykle nepracujeme s

bodovými náboji, ale s nabitými tělesy.• Potom je vhodné zavést nábojovou hustotu, tedy

náboj na jednotku objemu, plochy nebo délky, podle symetrie problému.

• Hustota je obecně funkcí polohy. Jednoduše je použitelná v případě, že tělesa jsou nabita rovnoměrně, jako v případě nabité vodivé roviny.

18. 09. 2017 12

Nekonečná nabitá rovina I• Můžeme-li předpokládat rovnoměrné nabití,

můžeme definovat plošnou hustotu náboje :

• Obě veličiny mohou sice být nekonečné, ale mohou mít konečný podíl.

• Ze symetrie musí být intenzita všude kolmá k nabité rovině.

][ 2 CmSQ

18. 09. 2017 13

Nekonečná nabitá rovina II• Za Gaussovu plochu zvolíme válec, jehož

osa je kolmá k rovině tak, aby ho rovina půlila.

• Tok pláštěm libovolného tvaru bude nulový, jenom tok podstavami o ploše S bude nenulový :

•

0

2SSEdSESdE

ErE 02

)(

18. 09. 2017 14

Nekonečná nabitá rovina III• Intenzita nezávisí na vzdálenosti.• Protože má všude stejnou velikost i směr,

vytváří nekonečná nabitá rovina speciální, takzvané homogenní pole.

• Homogenní pole je možné popsat jediným parametrem a má velký teoretický i praktický význam.

E

18. 09. 2017 15

Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje

• Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá.

• Elektrické pole :• uvnitř vodiče je nulové• vně je kolmé k povrchu plochy

• Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou

• Pozor na hrany! není obecně konstantní!0

E

18. 09. 2017 16

Jímání náboje I• V 18. století dostaly veřejné popravy tvrdou

konkurenci lidé začali být fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji, doprovázenými silným zábleskem a velkým hlukem• Baviči si všimli, že různá tělesa nabitá stejným

způsobem produkovala různě silné výboje a tedy obsahovala různá „množství elektřiny“. Nyní říkáme tělesa nabitá na stejné napětí, nesou různý náboj.

18. 09. 2017 17

Jímání náboje II• Vyvstal problém, jak pojmout co možná

největší náboj, při maximálním dostupném napětí.

• Nejprve se šlo cestou větších a větších těles, ale později se nalezlo mnohem lepší řešení!

• Mějme vodivou kouli o poloměru ri=1 m.• Můžeme pojmout libovolný náboj?

18. 09. 2017 18

Jímání náboje III• Samozřejmě NE!• V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V suchém

vzduchu je to cca Em 3106 V/m.• Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí vodiče, ale

jistá hodnota by existovala i ve vakuu. • Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude

samovolně vybíjet. To se užívá se při studiu struktury.• Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých

povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

18. 09. 2017 19

Jímání náboje IV• Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0

uvnitř koule a E=kQ/ri2 těsně u povrchu.

• Z obecného vztahu lze z intenzity určit potenciál těsně u povrchu koule = kQ/ri .

• Kombinací dostaneme : = riE pro r > ri

• Maximální napětí a náboj na kouli tedy je : = 3 106 V Qmax = 3.3 10-4 C.

18. 09. 2017 20

Jímání náboje V• V 18. stol. ale bylo možné vygenerovat nejvýše cca

105 V. To je napětí o řád menší, než mezní napětí pro naší kouli a odpovídá mu náboj :Q = Uri /k = 105/9 109 = 1.11 10-5 C.

• Baviči si ale všimli, že zvětšení koule ri vede k většímu výboji. Našimi slovy schopnost jímat náboj se zvětšuje prostým zvětšováním koule.

• Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli o poloměru ri umístil do nepatrně větší koule o poloměru ro, kterou uzemnil.

18. 09. 2017 21

Jímání náboje VI• Výboje se výrazně zvětšily, tedy nové uspořádání

neslo při stejném napětí větší náboj!, aniž by se výrazně zvětšila velikost koule.

• Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to jen na jejím vnitřním povrchu.

• Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesl, přičemž náboj zůstal zachován!

18. 09. 2017 22

Jímání náboje VII• Potenciál způsobený vnitřní koulí :

i = kQ/ri pro r ri ; i = kQ/r pro r > ri

• Potenciál způsobený vnější koulí :o = -kQ/ro pro r ro ; o = -kQ/r pro r > ro

• Z principu superpozice :(r) = i(r)+ o(r)

• Pro r ro bude potenciál bude nulový!

18. 09. 2017 23

Jímání náboje VIII• Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně napětím

mezi koulemi :Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

• Pro ro = 1.01 m a U = 105 V Q = 1.12 10-3 C tedy náboj vzrostl 101 krát!

• Pro ro = 1.001 m a U = 105 V Q = 1.12 10-2 C a tedy náboj vzrostl 1001 krát!

• Zařízení, které jsme sestrojili se nazývá kondenzátor.• (Qmax = 3 10-4 C jsme však takto nezvýšili! )

18. 09. 2017 24

Kapacita• Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na

náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji :

Q = C U• Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá

kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj.

• Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

18. 09. 2017 25

Dvě paralelní nabité roviny • Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d.

Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -.

• Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí?• A) Ei= 0, Eo=/0

• B) Ei= /0, Eo=0• C) Ei= /0, Eo=/20

18. 09. 2017 26

Určení kapacity kondenzátoru I• Obecně najdeme závislost náboje Q na

napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti.

• Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q:

• Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S• Také : E=U/d Q = 0SU/d C = 0S/d

18. 09. 2017 27

Určení kapacity kondenzátoru II• Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru platí :

Ui = kQ/ri C = ri/k• Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by

bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita závisí na velikosti koule, ale také silně na přítomnosti vodičů v jejím blízkém okolí.

18. 09. 2017 28

Určení kapacity kondenzátoru III• V případě našeho kulového kondenzátoru

jsme měli :Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

To odpovídá kapacitě :

Srovnejte se vztahem pro kondenzátor deskový!

)(4

)(0

io

oi

io

oi

rrrr

rrkrrC

18. 09. 2017 29

Nabíjení kondenzátoru • Kondenzátor nabíjíme

• obecně docílíme toho, že na elektrodách kondenzátoru jsou rozdílné potenciály. Po dosažení rovnováhy bude na každé elektrodě stejný náboj ale opačné polarity a stejný potenciál:

• budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru v obvodu blíž kladnému a druhou blíž zápornému pólu zdroje stejnosměrného napětí

• nebo na jednu elektrodu přivedeme náboj a druhou uzemníme

• Ukažme si chování nábojů na jednotlivých plochách v čase.

18. 09. 2017 30

Jímání elektrické energie I• K nabití kondenzátoru musíme vykonat práci.• Tato práce je uschována jako potenciální energie a

veškerá (neuvažujeme-li ztráty) může být využita později. Například při rychlém vybití optimalizujeme výkon (fotoblesk, defibrilátor).

• Při změnách parametrů nabitého kondenzátoru může konat práci vnější činitel nebo pole. Musí se odlišit situace, kdy ke kondenzátoru zůstává připojen vnější zdroj.

18. 09. 2017 31

Jímání elektrické energie II

• Nabít kondenzátor znamená brát postupně malé kladné náboje ze záporné elektrody a přenášet je na elektrodu kladnou nebo přenášet obráceně náboje záporné. V obou případech se zvyšuje potenciální energie přeneseného náboje na úkor vnější práce.

• Práce nezávisí na cestě. Můžeme představit, že náboj přenášíme přímo přes prostor mezi elektrodami, i když takto ve skutečnosti náboj proudit nesmí!

18. 09. 2017 32

Jímání elektrické energie III

• Kondenzátor s kapacitou C nabitý nábojem Q nebo na napětí U má energii :

• Faktor ½ v těchto výrazech svědčí o tom, že proces nabíjení je poněkud složitější, než by se zdálo na první pohled. Po přenesení určitého náboje se změní i napětí mezi elektrodami, takže se musí integrovat.

QUCUC

QEp 212

21

2

2

18. 09. 2017 33

Jímání elektrické energie IV• Hustota energie :

• Mějme deskový kondenzátor S,d,C, nabitý na napětí U :

• Protože Sd je objem kondenzátoru a pole mezi deskami je homogenní, můžeme považovat 0E2/2 za hustotu (potenciální) energie.

• To platí pro všechny druhy kondenzátorů i polí.

202

122

0221

2ESd

ddSECUEp

18. 09. 2017 34

Elektrický dipól I• Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i

když je v nich celkový náboj vykompenzován.• Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice

(oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech.

• Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

18. 09. 2017 35

Elektrický dipól II• Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :

• Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různého znaménka +Q and –Q.

• Zavedeme vektor , který začíná v –Q a končí v +Q • Dipólový moment můžeme definovat

• Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

l

lQp

18. 09. 2017 36

Elektrický dipól III• Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme

tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli.

• Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment.

• Interakce dipólových momentů je také příčinou některých slabších ale důležitých meziatomových vazeb.

18. 09. 2017 37

Chování elektrického dipólu ve vnějším poli

• V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly , které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar).

• V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

18. 09. 2017 38

Vložení vodiče do kondenzátoru I

• Vložme vodivou desku o ploše S a tloušťcw < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,0,.

• Vodivá destička obsahuje dostatek volných nosičů náboje, aby na svých plochách vytvořila nábojovou hustotu p stejnou, jako je hustota budící. V důsledku platnosti principu superpozice je pole uvnitř destičky přesně kompenzováno a tedy je nulové. Náboje se přesunují, dokud k této rovnovážné situaci nedojde. V ní bude destička na konstantním potenciálu, takže mezera mezi deskami se efektivně zmenšila na d - .

18. 09. 2017 39

Test• Vložení vodivé destičky s plochou S a

tloušťkou < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,C, zvýší jeho kapacitu.

• Kam bychom měli destičku vložit, aby bylo zvýšení největší ?• A) těsně k jedné z desek.• B) aby byla rovinou symetrie.• C) při zachování rovnoběžnosti na poloze nezáleží.

18. 09. 2017 40

C: je to jedno !

• Vložme destičku do vzdálenosti x od levé desky kondenzátoru. Získáváme sériovou kombinaci kondenzátorů, které mají stejnou plochu S, ale jeden má vzdálenost desek x a druhý d-x-. Tedy :

S

dS

xdS

xC 000

1

d

SC 0

18. 09. 2017 41

Vložení vodiče do kondenzátoru II

• Vložením vodiče kapacita vzrostla.• V případě odpojeného zdroje se zachová náboj

a energie se sníží – práci koná pole a destička by byla mezi desky vtažena.

• V případě připojeného zdroje se zachová napětí a energie se zvýší – práci musí vykonat vnější činitel, destička má snahu vyskakovat.

18. 09. 2017 42

Vložení dielektrika do kondenzátoru I

• Nabijme kondenzátor, odpojme od zdroje a měřme na něm napětí. Zaplňme nyní celou mezeru nevodivým, tzv. dielektrickým materiálem (destičkou).

• Pozorujeme : • napětí pokleslo v jistém poměru r = U0/U• destička byla polem vtažena

r nazýváme dielektrickou konstantou nebo lépe relativní permitivitou dielektrika.

r totiž ve skutečnosti závisí na řadě veličin (T, f) a obecně je komplexní veličinou!

18. 09. 2017 43

Vložení dielektrika do kondenzátoru II

• Co se stalo uvnitř: Protože vložená destička je dielektrická nemá volné nosiče náboje, které by vytvořily nábojovou hustotu dostatečnou k úplné kompenzaci vnitřního pole.

• Pole ale zorientuje nebo předtím i vytvoří elektrické dipóly uvnitř dielektrika. Výsledkem je opět objevení se plošného náboje na okrajových plochách destičky. Nyní je ale plošná hustota indukovaného náboje nižší, takže dojde pouze k zeslabení pole. Nicméně kapacita se opět zvýšila.

18. 09. 2017 44

Vložení dielektrika do kondenzátoru III

• Náboje zorientovaných dipólů se vykompenzují v celém objemu, kromě hraničních ploch. Na nich zůstává nenulová plošná nábojová hustota p < .

• Výsledné makroskopické pole je opět superpozicí původního pole, vytvořeného původními hustotami a pole indukovaného, vytvořeného indukovanými nábojovými hustotami p.

18. 09. 2017 45

Vložení dielektrika do kondenzátoru IV

• Podrobnější studium dielektrik vyžaduje určit pole mikroskopické. Při tom je nutné ještě uvažovat pole blízkých dipólů. U látek s malou symetrií jde o náročnou záležitost, vyžadující aproximace.

• Polarizace dielektrik může mít několik mechanismů, lišících se rychlostí. Nejrychlejší je elektronická, dále iontová, orientační, polarizace rozhraní.

• Makroskopicky se rychlost polarizace projevuje závislostí r na frekvenci budícího pole a chování dielektrika zvláště po vypnutí tohoto pole.

18. 09. 2017 46

Vložení dielektrika do kondenzátoru V

• V případě homogenní polarizace je indukovaná hustota náboje rovna p = P, což je polarizace neboli hustota dipólového momentu.

• Vložení dielektrika je nejefektivnější způsob zvyšování kapacity. Protože se současně snižuje elektrické pole a zvyšuje mezní náboj, kterým lze kondenzátor nabít.

18. 09. 2017 47

Vložení dielektrika do kondenzátoru VI

• Navíc mezní intenzita je pro řadu dielektrik větší než pro vzduch. Jsou tedy lepšími izolátory. Prohlubují potenciálovou jámu, ve které jsou volné elektrony.

• Je ovšem třeba mít na paměti, že v případné poruše dielektrika. Například v dutině intenzita vzroste na hodnotu blízkou hodnotě ve vakuu a toto místo se může stát zárodkem průrazu a zničení dielektrika.

Polární dielektrika

q > 0 q < 0

E

18. 09. 2017 49

Hustota energie v dielektriku

• V případě homogenních dielektrik lze definovat celkovou permitivitu :

= r0

a použít ji ve všech vztazích, v nichž ve vakuu vystupovala permitivita vakua.

Tedy například hustotu elektrické energie v dielektriku lze psát jako : E2/2.

18. 09. 2017 50

Kondenzátor vyplněn dielektrikem částečně

• Je-li možné zanedbat okrajové jevy, tedy, jsou-li příčné rozměry kondenzátoru i vloženého dielektrika zanedbatelné proti rozměrům ploch, můžeme takový systém považovat za určitou sério-paralelní kombinaci kondenzátorů

Intenzita pole v dielektrikuElektrodaElektroda

131 rrr

Siločáry

Dielektrikum VakuumVakuuma b c

U1 = a.E0 U2 = b. E0/3 U3 = c.E0

18. 09. 2017 52

Relativní statické permitivity látek• Vzduch 1,000585 0°C, atm. tlak• H2 1,000264 0 °C• Sklo 5 – 7,5• Porcelán 6,6• Mramor 7 – 8• Etylalkohol 26 20 °C• Voda 81 18 °C

18. 09. 2017 53

Superkondenzátory I• Veškerou energii, kterou lidstvo vyrobí, musí téměř okamžitě

spotřebovat. Kromě optimalizace výroby a přenosu energie se proto vyvíjí postupy jejího ukládání.

• Tradičně používáme akumulátory a kondenzátory:• Akumulátory - umožňují uložit relativně velkou energii, ale

odebíraný výkon je malý a ztrátový. • Kondenzátory - umožňují uložit relativně malou energii,

odebíraný výkon je velký a bezeztrátový.• Vývíjí se

• Superkondenzátory - překlenují prostor mezi C a AKU• Palivové články - se snaží zvětšit uloženou energii

18. 09. 2017 54

Super C II - Ragone plot

18. 09. 2017 55

Feroelektrické materiály I

• Jejich relativní permitivita závisí na velikosti budícího pole a historii. • jedno-osá polarizace – např. Rochellova sůl

KNaC4H4O6.4H2O• více-osá polarizace – vede na anizotropii např.

Kerrův jev

Feroelektrické materiály II• BaTiO3 PZT = Pb[ZrxTi1-x]O3 LiNbO3 LiTaO3 atd

Ba, Pb, Li ….(A2+)

Zr, Ti, …(B4+)

O2-

- perovskitová struktura (CaTiO3) - spontánní polarizace- doménová struktura,- Curieova teplota- piezoelektrické vlastnosti

18. 09. 2017 57

Hysterézní smyčka

E [V/m]

D [V/m]

EC

PS

PR

Elektrooptické jevyKerrův jev : dvojlom, vyskytující se u některých kapalin (nitrobenzen, sirouhlík ad.) v elektrickém poli; spočívá v orientaci molekul v elektrickém poli.

E

Dráhový rozdíl paprsků mimořádného a řádného:

Lnn oe )(

L

Využití Kerrova jevuPřerušování světla, modulace světla elektrickým polem.

Z P AI

Doba, během které se molekuly stačí v el. poli orientovat, nepřevyšuje 10-9 s, tj odezva na změnu intenzity elektrického pole je téměř okamžitá.

Paprsek mimořádný

Nikol (Nicolův hranol)

Paprsek řádný

CaCO3

Dvojlom

18. 09. 2017 61

Dielektrická měření I• Kromě mechanického napětí, můžeme látky namáhat

napětím elektrickým. Sleduje se tak opět visko-elastické chování.

• Vzorek se vhodně vytvaruje a vloží mezi elektrody měřícího kondenzátoru. Měří se relativní permitivita v závislosti na různých fyzikálních veličinách – zvláště frekvenci a teplotě.

• Relativní permitivitu lze definovat jako komplexní veličinu. Její reálná část souvisí s elastickým chováním a imaginární se ztrátami.

18. 09. 2017 62

Dielektrická měření II• Vzorek se namáhá buď harmonickým nebo skokovým napětím

nebo je součástí nějakého typu rezonátoru.• Harmonická měření se provádějí obvykle můstkově. Vedou na

určení kapacity a činného odporu. První veličina vypovídá o elastických vlastnostech, druhá o ztrátách.

• Skoková měření vyžadují velmi rychlé a přesné měření malých proudů. Komplexní permitivita se získá Fourierovou transformací časové změny nabíjecího nebo vybíjecího proudu.

• Dosti obecně lze tvrdit, že pohyb velkých a méně pohyblivých útvarů se projevuje při nižších frekvencích.

18. 09. 2017 63

Dielektrická měření III• Proud je součtem nabíjecího a ztrátového proudu• Je-li C0 kapacita bez vzorku, je možné vyjádřit

kapacitu se vzorkem a vodivost . Potom platí

kde komplexní permitivita

0,CC r

0,, CG r

rrr CUjjCUjGCjUI ˆ)()( 0,,,

0

,,,

0

ˆˆ rrr j

18. 09. 2017 64

Piezoelektřina • Mechanické napětí může zorganizovat dipólové

momenty v látce a na ní se objeví napětí elektrické – senzory napětí, sonary, zapalovače, energy harvesting.

• Může to fungovat i obráceně – změna elektrického pole způsobí změnu mechanického napětí – generátory tlaku.

• Existují například piezoelektrické transformátory, které fungují podobně, jako transformátory normální, ale vazba mezi primární a sekundární částí je akustická.

18. 09. 2017 65

Piezoelektrický jev(a) Piezoelektrický krystal bez mechanického napětí nebo elektrického pole.(b) Krystal je zatížen vnější silou. Ta způsobí polarizaci, vznik indukovaného plošného náboje a elektrického napětí. (c) Vnější pole způsobí vznik mechanického napětí v krystalu – komprese.(d) Vnější pole způsobí vznik mechanického napětí v krystalu – expanze.

18. 09. 2017 66

Piezoelektrický zapalovač.

18. 09. 2017 67

Pyroelektrický detektor: Záření je absorbováno v detekčním elementu A, generujícímpyroelektrické napětí, které je dále zesíleno a měřeno. Druhý element, B má reflexníelektrodu a záření neabsorbuje. Jeho funkcí je kompenzovat piezoelektrickéefekty v obvodu. Ty generují v obou elementech stejná napětí a ta se při vhodném zapojení zruší.

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách)

Definice II

n

iiibac

1

cosbac

Skalární součin je součin průmětu jednoho vektoru do směru druhého a jeho velikosti.

^

bac

Gaussova věta• Přesná definice:

0q

SdEd e

• V případech speciální symetrie můžeme najít integrační plochu, na níž je velikost E všude stejná a vektor je všude paralelní s vnější normálou. Potom jednoduše:

0

qSEd e

^

E

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší

• Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál :

rR

rR

Rr

SQ

sq

rR

SsRr

Ss

RrQq

rkq

RkQ

2

2

2

2

2

2 1144;

^

• Hustota náboje na menší kouli je tedy větší!

Nabíjení kondenzátoru I• Mějme dvě velké desky postavené rovnoběžně a svisle v určité vzdálenosti od sebe. • Veličiny související s levou deskou označíme indexem s (sinistra) a s pravou indexem

d (dextra). Protože se náboj na každé desce rozdělí především mezi její plochy, zavedeme pro veličiny na levých plochách desek index L a na pravých index P.

• Nejprve nabijeme levou desku nábojem Qs= Q a pravou necháme nenabitou QD= 0.• Levá deska vytváří homogenní pole o intenzitě úměrné Q

QSQE ~

2 0

Nabíjení k. II• Vektory elektrické intenzity jsou kolmé na desky a má tedy smysl zkoumat pole

pouze v bodech jisté horizontální osy.• Pole, směřující doprava považujme za kladné.• Existují-li jen obě desky, je pole v každém bodě superpozicí polí generovaných

jednotlivými plochami každé z desek. Znaménko je kladné, je-li uvažovaný bod napravo od kladně nabité plochy a záporné, je-li nalevo.

• Výsledná intenzita ovšem ještě závisí na polaritách příslušných nábojů.

Nabíjení k. III - obecné rovnice• Například napravo od obou desek je tedy pole:

a nalevo je stejně velké, ale opačné:

V rovnováze musí být uvnitř v každé desky nulové pole uvnitř S : QSL QSP QD = 0uvnitř D : QS + QDL – QDP = 0

• a současně na nich zachován celkový náboj : na S : QSL + QSP = QS

na D : QDL + QDP = QD

PDSDPDLSPSLL EQQQQQQE

DSDPDLSPSLP QQQQQQE

Nabíjení k. IV - počátek• Dosadíme-li počáteční podmínky QS= Q a QD= 0 do těchto rovnic, snadno zjistíme, že se náboj na

levé desce rozloží přesně na polovinu QSL = QSP = Q/2 a na pravé desce QDL = – Q/2 a QDP = Q/2.

• Protože celkový náboj na pravé desce je nulový, jeho rozložení nijak neovlivní pole jinde, než v jejím vnitřku. Speciálně napravo od ní bude pole stále

• EP ~ Q. • Propojíme-li pravou desku např. se zemí, bude toto pole nutit kladné náboje ji opouštět.

Nabíjení k. V - průběh• Odpojme nyní uzemnění od pravé desky dříve, než došlo k

rovnováze, v době, kdy pravou desku již opustil jistý kladný náboj q. Potom již tato deska není neutrální ale platí

• • Po dosazení do výchozích rovnic tedy platí

2qQQDL

2qQQDP

qQD

Nabíjení k. VI• Skutečnost, že celkový náboj na pravé desce již není nulový, ovlivní samozřejmě rozložení náboje v

desce levé :

• Pole vně desek bude již sice sníženo EP ~ Q q a EL ~ (Q q), ale po případném uzemnění jedné z desek by z ní odtékal náboj.

• S odcházejícím nábojem z pravé desky se tedy náboj postupně přemísťuje z vnějších ploch na vnitřní a současně se snižuje pole vně desek. Náboj bude odcházet, dokud bude toto pole nenulové, čili dokud neodejde všechen náboj, tedy q > Q. 2

qQQSP

2qQQSL

Nabíjení k. VII - konec• Pro určení rovnováhy tedy dosadíme za q = Q do předchozích rovnic, vidíme, že náboj nakonec

zůstane jen na vnitřních plochách a pole vně desek EP i EL jsou nulová.

• Proto se tato rovnováha udrží bez ohledu na to, zda spojíme nebo nespojíme kteroukoli z desek se zemí.

• Rovnováhu lze změnit jen přivedením dalšího náboje na jednu nebo obě desky nebo jejich zkratováním nebo propojením třeba přes rezistor.

^

;0;;;0 DPDLSPSL QQQQQQ

Potenciál elektrického dipólu I• Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě,

určeném vektorem . Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

)()(

)()()(

rkQgradld

rkQ

rkQ

ldrrr

ld

r

Potenciál elektrického dipólu II

• První dva pomalu klesající výrazy se zruší :

33)(r

rpkr

rldQkr

• Potenciál je tedy symetrický podle své osy a bod v polovině spojnice nábojů je inverzním středem symetrie.

• Potenciál klesá jako 1/r2!^

Elektrický dipól – Moment síly• Mějme homogenní pole s intenzitou .

Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly :

sin2

2 QElT

• Obecně je moment síly vektorový součin:

EpT

^

E

Elektrický dipól - tah• Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož

intenzita se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku).

dxdEQdlQEQE

dlQEQEF

)0()0(

)()0(

• Obecně :pEgradF

^

E

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách)

Velikost vektoru

kjijki bac

sinbac

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

bac

ba,

c

Vektorový součin II

zyx

zyx

zyx

bbbaaauuu

c

Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.

ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}

^

c

a b

Nabíjení kondenzátoru• Mějme v určitém okamžiku nabíjení kondenzátoru o

kapacitě C mezi jeho elektrodamihave jisté napětí U(q), které závisí na současném náboji q. na přenesení dalšího náboje dq přes toto napětí musí vnější činitel vykonat práci dEp = U(q)dq. Tedy celková práce k dosažení náboje Q je :

CQdqqdqqUE

Q

C

Q

p 2)(

2

0

1

0

^

Polarizace IVýsledné pole v dielektriku popisujeme vztahy, které vysvětlíme dále:

00

000

PEEEEE pp

Z krajních rovností vyjádříme původní (budící) hustotu náboje :

PEE 0000

Lze to chápat tak, že budící pole je tedy rozděleno na výsledné pole a polarizaci podle schopnosti látky se zpolarizovat.

Polarizace IIPolarizace dielektrika se s růstem budícího pole saturuje. Pro intenzitu pole vázaných nábojů platí

Pro velká pole dosahuje limitní hodnotyPro malá pole platí a dielektrikum je lineární. Potom

^

maxpE

EEEEEEE P )1(000

max1

pEEP

EE

EEP

Polarizace Hustota dipólového momentu III

Mějme jistý objem V homogenně zpolarizovaného materiálu, malý z hlediska makroskopického, ale velký z hlediska mikroskopického. Můžeme ho považovat za reprezentativní pro celý vzorek :

V

pP V

Polarizace Hustota dipólového momentu IV

Předpokládejme, že jeden dipól s momentem p = lq lze uzavřít do hranolu o objemu v = sl. Objem V homogenně zpolarizovaného dielektrika je sestaven z těchto hranolků, čili polarizace v něm musí být stejná jako polarizace v každém z nich :

psq

sllq

vp

Vp

P

^

Polarizace VPodobně lze u lineárního dielektrika použít vektor

polarizace , který je úměrný výslednému poli . Veličiny jsou vázány dielektrickou susceptibilitou e:

EEEEEP

re

e

00000

0

)1(

^

Výsledné pole E je r krát slabší než pole budící E0 .

Definujeme celkovou permitivitu dielektrického materiálu. Ta vystupuje ve vztazích na místě 0.

Za nelineárních podmínek je situace složitější a neplatí ani princip superpozice!

E

P

Polarizace VI- elektrická indukcePři studiu materiálů je pohodlné popisovat pole

vektorem elektrické indukce , který je nezávislý na prostředí a tedy stejný jako v budícím poli :

EEEED re

0000 )1(

^

Pro tok elektrické indukce platí také Gaussova věta, na jejíž pravé straně vystupuje celkový budící náboj:

D

qSdDd e