Polarizzazione Teorema di Poynting Energia e quantità di ...ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Soluzioni: onde piane ... • Una differenza di π/2 in δfa passare da un seno

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

PolarizzazioneTeorema di Poynting

Energia e quantità di moto dell'onda

Lezione n. 35 – 18.05.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 365

Soluzioni: onde piane • Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale• Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva )

• Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono• Un'onda che viaggia verso "destra": kζ−ωt• Un'onda che viaggia verso "sinistra": kζ+ωt

• Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e±i(…)

• La soluzione generale sarà data da

• Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A*• Definiamo ρ = |A| = |B| e δ = arg(A) = − arg(B)

• Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa)• Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno• Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni

( )( , ) i k tf t e ζ ωζ ± ±=

i iAe Beφ φ+ −+ φ può essere kζ−ωt oppure kζ+ωt

i i i i i iAe Be e e e eφ φ δ φ δ φρ ρ+ − + + − −+ = + ( ) ( )i ie eφ δ φ δρ + + − +⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦( )2 cosρ φ δ= +

( )sin k tρ ζ ω δ± + ( )cos k tρ ζ ω δ± + sono anche monocromatiche

1294357


Soluzioni: onde piane • Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali• Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali• Per tale motivo si indica la soluzione nella forma• La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ• Alla fine del calcolo si prende la parte reale

• Usiamo il vettore d'onda• La soluzione diventa• Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo

• Le costanti E1ξ e E2ξ sono complesse• Per la componente Eη del campo si trova una soluzione analoga

• In forma vettoriale

• Il simbolo ∼ (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse

( )i k tAe ζ ω±

ˆk=k k( )i tAe ω⋅ ±k r

( ) 1 2, i i t i i tE t E e E eω ωξ ξ ξ

+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rr

( ) 1 2, i i t i i tE t E e E eω ωη η η

+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rr

( ) 1 2, i i t i i tt e eω ω+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rE r E E

x

y

z

k̂r ζ

ξ

η

ˆζ = ⋅r k x y zk x k y k z= + +


Soluzioni: onde piane • Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga

• Troviamo una relazione fra i vettori E1 e E2 e i vettori B1 e B2

• Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva )

• Calcoliamo le derivate

• Introduciamo nell'equazione di Maxwell

• Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc)

( ) 1 2, i i t i i tt e eω ω+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rB r B B

ˆtζ

∂ ∂× = −

∂ ∂E B

k

1036361

( ) 1 2, ik i t ik i tt e eζ ω ζ ω+ − − −= +E r E E

1 2ik i t ik i tik e ik eζ ω ζ ω

ζ+ − − −∂

= −∂E

E E

ricordiamo il campo E

( )1 2ik i t ik i ti e e

tζ ω ζ ωω + − − −∂

= − +∂B

B B

( )1 2ˆ ik i t ik i tik e eζ ω ζ ω+ − − −× −k E E ( )1 2

ik i t ik i ti e eζ ω ζ ωω + − − −= +B B

1 1îk iω× =k E B 1 1

1 ˆc

= ×B k E 2 2îk iω× = −k E B 2 2

1 ˆc

= − ×B k E

2 2ˆc= ×E k B1 1

ˆc= ×E k B


0tω =

x

zy

2t

πω =

z

x

y

Soluzioni: onde piane • Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z• Il vettore E1 è nella direzione x• Il vettore B1 punta nella direzione y

• Il periodo dell'onda

• La lunghezza d'onda

ˆzk=k e

1 ˆxE=E e

1 1

1 ˆc

= ×B k E ˆ ˆz x

Ec

= ×e e ˆyEc

= e ( ) 1, ikz i tt e ω+ −=E r E

2T

πω

=

cTλ = Tkω

=2kω π

ω=

2kπ

λ =

2k

πλ

=


Lo spettro delle onde elettromagnetiche


Lo spettro visibile


Polarizzazione dell'onda• L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x• L'onda è polarizzata linearmente• Naturalmente il vettore E può puntare in qualsiasi direzione• La direzione del vettore E è la direzione in cui è polarizzata l'onda• Ad esempio polarizzazione "orizzontale", "verticale" oppure "obliqua"

• Si può costruire un'onda dalla sovrapposizione di altre due onde • Ad esempio due onde con polarizzazione diversa

• Scegliamo i due vettori Ea e Eb nel modo seguente (polarizzazione obliqua) ( ), ikz i t

at e ω+ −=E r E ( ), ikz i tbt e ω+ −=E r E

â xE=E e ˆb yE=E e


Polarizzazione dell'onda• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• Un onda di questo tipo è polarizzata linearmente• Consideriamo ad esempio

• È l'andamento temporale delcampo sul piano z = 0• La direzione del vettoreè sempre la stessa

• La lunghezza del vettoreoscilla

( ), ikz i t ikz i ts a bt e eω ω+ − + −= +E r E E ( )ˆ îkz i t ikz i t

x yE e eω ω+ − + −= +e e

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, Re , cos cosx yz t z t E kz t kz tω ω⎡ ⎤= = − + −⎣ ⎦E E e e

( ) ˆ ˆ0, cosx yt E tω⎡ ⎤= +⎣ ⎦E e e


Polarizzazione dell'onda• Utilizziamo adesso altre due onde• Il vettore Eb ha una parte immaginaria• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• In questo caso la polarizzazione è circolare• Studiamo il campo sul piano z = 0

• Il vettore E ruota in senso antiorario: polarizzazione sinistra • Se lo sfasamento è −π/2 E ruota in senso orario: polarizzazione destra

( ) ( )/2ˆ ˆ, ikz i t ikz i t is x yz t E e eω ω π+ − + − += +E e e

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, Re , cos cos / 2s x yz t z t E kz t kz tω ω π⎡ ⎤= = − + − +⎣ ⎦E E e e

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, cos sins x yz t E kz t kz tω ω⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦E e e

( ), ikz i t ikz i ts a bz t e eω ω+ − + −= +E E E 2ˆ ˆ

iikz i t ikz i tx yE e e e

πω ω+ − + −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠e e

â xE=E e /2îb yE e π=E e

( ) ˆ ˆ0, cos sins x xt E t tω ω⎡ ⎤= +⎣ ⎦E e e


Polarizzazione dell'onda• Se le lunghezze di Ea e Eb sono differenti la polarizzazione è ellittica

• Calcoliamola parte reale

( ), ikz i t ikz i ts a bz t e eω ω+ − + −= +E E E /2ˆ îkz i t ikz i t i

x x y yE e E eω ω π+ − + − += +e e

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, Re , cos cos / 2s x x y yz t z t E kz t E kz tω ω π= = − + − +E E e e

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, cos sins x x y yz t E kz t E kz tω ω= − − −E e e

( ) ˆ ˆ, cos sins x x y yt E t E tω ω= +E e e


Teorema di Poynting• Abbiamo scritto l'energia associata ai campi elettrici e magnetici con le seguenti espressioni

• Queste espressioni valgono anche per campi variabili nel tempo• Per un campo elettromagnetico si scrive

• Supponiamo che una distribuzione di cariche ρ e di correnti J generiun campo elettromagnetico descritto dai campi E e B• Supponiamo che le cariche si muovano• v è la velocità dell'elemento di carica contenuto in dV• Calcoliamo il lavoro fatto su di esse nel tempo dt• Consideriamo un elemento di volume dV

• Su questa carica agisce la forza di Lorentz• Il lavoro fatto è dato da

20

2EU E dVε

= ∫ 2

0

12MU B dVμ

= ∫

2 20

0

1 12EMU E B dVε

μ

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫

q dVρ= dV dVρ=J v

dW d= ⋅F s dt= ⋅F v ( )q dt= + × ⋅E v B v q dt= ⋅E v

q= v


Teorema di Poynting• La potenza erogata nel volume dV è data da

• Integrando

• Consideriamo l'equazione di Maxwell

• Introducendo nell'equazione per la potenza

• Sviluppiamo il primo termine utilizzando (vedi diapositiva )

dWq dV

dtρ= ⋅ = ⋅E v E v

dWdV

dtρ= ⋅∫ E v dV= ⋅∫ E J

0 0 0 tμ μ ε

∂× = +

∂E

B J∇ 00

1t

εμ

∂= × −

∂E

J B∇

00

1dWdV

dt tε

μ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= ⋅ × − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ EE B E∇

113655( ) ( ) ( )⋅ × = ⋅ × − ⋅ ×A C C A A C∇ ∇ ∇

( )⋅ × = − ⋅ × + ⋅ ×E B E B B E∇ ∇ ∇t

∂× = −

∂B

E∇

( )t

∂⋅ × = − ⋅ × − ⋅

∂B

E B E B B∇ ∇


Teorema di Poynting

• Inseriamo nella espressione della potenza

• Osserviamo che

• Sostituendo

• Il secondo integrale è l'energia elettromagnetica• Trasformiamo il primo integrale con il teorema della divergenza

( )t

∂⋅ × = − ⋅ × − ⋅

∂B

E B E B B∇ ∇

00

1dWdV

dt tε

μ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= ⋅ × − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ EE B E∇

( ) 00 0

1 1dWdV

dt t tε

μ μ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜= − ⋅ × − ⋅ − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ B EE B B E∇

212B

t t∂ ∂

⋅ =∂ ∂B

B21

2E

t t∂ ∂

⋅ =∂ ∂E

E

( ) 2 20

0 0

1 1 12

dWdV B E dV

dt tε

μ μ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= − ⋅ × − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ∫E B∇


Teorema di Poynting

• Utilizzando il teorema della divergenza

• Il simbolo ∂V indica la superficie che delimita il volume V• Sostituendo

• Definiamo il vettore di Poynting

• Interpretiamo l'equazione trovata

( ) 2 20

0 0

1 1 12

dWdV B E dV

dt tε

μ μ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= − ⋅ × − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ∫E B∇

( ) ( )V V

dV d∂

⋅ × = × ⋅∫ ∫E B E B a∇

( ) 2 20

0 0

1 1 12V V

dWd B E dV

dt tε

μ μ∂

⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟= − × ⋅ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ⎝ ⎠∫ ∫E B a

0

1μ

= ×S E B EM

V

UdWd

dt t∂

∂= − ⋅ −

∂∫ S a

Il lavoro fatto sulle cariche e sulle correnti dalle forze elettromagnetiche è uguale alla diminuzione dell'energia del campo meno l'energia che

fluisce attraverso la superficie che delimita il sistema

1 2Js m− −⎡ ⎤ =⎣ ⎦S


Teorema di Poynting

• La relazione precedente può essere messa in forma differenziale• Definiamo delle quantità per unità di volume: densità

• Utilizziamo il teorema della divergenza

• Sostituendo nella relazione iniziale

• Uguagliamo gli integrandi

EM

V

UdWd

dt t∂

∂= − ⋅ −

∂∫ S a

V

W wdV= ∫ EM EMV

U u dV= ∫

V V

d dV∂

⋅ = ⋅∫ ∫S a S∇

EM

V V V

uwdV dV dVt t

∂∂= − ⋅ −

∂ ∂∫ ∫ ∫S∇

EMuwt t

∂∂= − ⋅ −

∂ ∂S∇

Lavoro per unità di volume w

Densità di energia del campo uEM


Quantità di moto• Abbiamo visto il campo elettrico generato da una carica in moto rettilineo uniforme ( vedi diapositiva )

• Una carica in movimento genera anche un campomagnetico• Ricaveremo in seguito l'espressione del campo

che anticipiamo

• Le linee di campo sono delle circonferenzecentrate sulla traiettoria• L'intensità del campo magnetico dipende

dall'angolo θ• La forma dei campi appena introdotta permettedi convincersi che in elettrodinamica è necessariointrodurre anche il concetto di quantità di motodel campo elettromagnetico• A tal fine consideriamo due esempi

( )32

2

2 2 20

1 1ˆ

4 1 sinr

Q

r

βπε β θ

−=

−E e

848129

zv

E

zv

B

2

1

c= ×B v E

ˆ ˆcos r zθ = ⋅e e


Quantità di moto• Come primo esempio consideriamo due cariche q1 e q2 in movimento (v1 = v2)• Le due cariche generano un campo elettrico E

secondo la formula della diapositiva precedente• Le forze elettriche sono (le distanze da O sono uguali)

• Le forze elettriche rispettano la terza legge di Newton• Le due cariche generano anche un campo magnetico• I campi magnetici B1 e B2 (perpendicolari allo schermo)• Le forze sulle due cariche sono date dalla legge di Lorentz

• Si verifica facilmente che le due forze magnetiche hanno lo stesso modulo• Tuttavia le due forze magnetiche non agiscono lungo la congiungente• Non obbediscono alla terza legge di newton

• La violazione della terza legge di Newton sarebbe molto grave• La conservazione della quantità di moto dipende dalla terza legge• Il problema viene risolto dall'introduzione della quantità di moto del campo

elettromagnetico• Vedi: Keller J.M. – Newton's Third Law and Electrodynamics - American Journal of Physics 10, p. 302 (1948)

z

x

y

1q1v

2q2v2q=12 1F E 1 2q=21F E = −12 21F F

12F

21F

1B

2B2q= ×m12 2 1F v B 2q= ×m21 2 1F v B

m12F

m21F

O


Quantità di moto• Il secondo esempio è presentato sotto forma di paradosso • Consideriamo due sistemi di riferimento Σ e Σ′• Σ′ si muove da destra verso sinistra con velocita v′• Supponiamo che nel sistema Σ′ due cariche q1 e q2 si

muovano con velocità opposte con lo stesso modulo v′• Naturalmente nel sistema Σ la carica q1 è fermamentre la carica q2 si muove con una velocità v

• Osserviamo innanzitutto che in entrambi i sistemi l'interazione fra le due cariche è solo elettrica• Infatti il campo magnetico nella posizione delle cariche è nullo

• Il campo elettrico generato dalle due cariche è

• Nel sistema Σ′ su ciascuna carica agisce la forza

• Le due forze soddisfano la terza legge di Newton

x

y

2q

′v

y ′

x ′

Σ

′Σ

1q

′−v

v0=v

2

1

c= ×B v E se v ed E sono paralleli segue che B = 0

( )32

21,2

1,2 2 2 20

1 14 1 sin

qE

r

βπε β θ

′−=

′ ′ ′−( )1,2 22

0

11

4

q

rβ

πε′= −

′

sin 0θ′ =vc

β′

′ =

r ′

( )21 22

0

1ˆ1

4 xq q

rβ

πε ′′= ± −′1,2F e


Quantità di moto• Analizziamo adesso il fenomeno nel sistema Σ• Nella posizione della carica q1 il campo elettrico è

• Nella posizione della carica q2 il campo è elettrico è

• Osserviamo che le due forze agiscono sulla congiungente ma hanno moduli diversi• La terza legge di Newton non è soddisfatta

• Ancora una volta la soluzione si trova attribuendo quantità di moto al campo• Si dimostra che la quantità di moto del campo è

• Vedremo che l'equilibrio delle forze è

• Sommiamo F12 e F21

x

y

2q

′v

y ′

x ′

Σ

′Σ

1q

′−v

v0=v

r ′

r( )222

0

1ˆ1

4 xq

rβ

πε= − −1E e ( )21 2

20

1ˆ1

4 xq q

rβ

πε= − −12F e

12

0

1ˆ

4 xq

rπε=2E e 1 2

20

1ˆ

4 xq q

rπε=21F e

EM q=p A ( ) 0 2 ˆ, 0, 0,4 x

q vx t

r vt

μπ

=+

A e 22

0

1ˆ

4x

q v

r vtcπε=

+e

EMd

dt+ = −12 21

pF F

21 22

0

1ˆ

4 xq q

r

βπε

+ =12 21F F e

2EMd d

qdt dt

=p A

( )

21 2

2 20

1ˆ

4x

q q v

c r vtπε= −

+e

Jefimenko O. – European Journal of Physics 20 (1999) p. 39

21 22

0

1ˆ

4 xq q

r

βπε

= − e

t = 0


Quantità di moto• Troviamo adesso un'espressione per la quantità di moto del campo elettromagnetico simile a quella dell'energia• Per l'energia avevamo trovato

• Vogliamo trovare

• È una relazione più complicata: ci sono tre componenti i = x, y, z• La quantità di moto è un vettore• Il flusso attraverso una superficie deve essere un vettore• La grandezza corrispondente a S non può essere un vettore• È un tensore: il tensore degli stress di Maxwell

• Pensiamo al flusso di quantità di moto attraverso una superficie• Ad esempio una superficie attraversata da particelle• Il flusso attraverso la superficie (x−y) produce

quantità di moto nelle tre direzioni• Lo stesso attraverso superfici x−z e y−z

( )mech .EM

ii i

flussoqmotot t

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ⎟⎜⎟⎜= − − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠p

p

EMUdWd

dt t∂

= − ⋅ −∂∫ S a

S

xy

z

( )mech

.i

i

q motomateria⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

p

( ) .EM i

i

q motocampo

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠p

p


Quantità di moto

• Il termine a primo membro rappresenta la variazione di quantità di moto all'interno di un volume V nell'unita di tempo• La variazione di quantità di moto è la forza che agisce sulla materia

• Introduciamo la forza per unità di volume

• Si potrebbe procedere in modo analogo a quanto fatto per il teorema di Poynting

• Si introducono ρ e J nell'espressione utilizzando le equazioni Maxwell• Si elabora l'espressione utilizzando le altre equazioni e opportune identità

vettoriali• Il calcolo è lungo e non particolarmente illuminante• Si può consultare Griffiths § 8.2.2

EM

V

UdWd

dt t∂

∂= − ⋅ −

∂∫ S a mech.

EM

ii i

flussoq motot t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜= − −⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠p p

( )ρ= + ×f E v B

( )q= + ×F E v B

ρ= + ×E J B

mech ( )V VdV dV

tρ

∂= = = + ×

∂ ∫ ∫p

F f E J B

mech

t∂

=∂p

F

ρ =v J

Ricordiamo l'espressionedella forza di Lorentz


Quantità di moto• Si giunge al risultato

• Il primo membro è la componente i di un vettore• La quantità fra parentesi del secondo termine del secondo membro è la

componente i di un vettore che rappresenta la quantità di moto del campo• Introduciamo la densità di quantità di moto

• Il primo termine nel secondo membro rappresenta il flusso di quantità di moto al secondo attraverso la superficie che delimita il volume

• La grandezza Tij è il Tensore degli Stress di Maxwell• L'integrale di superficie (un flusso) deve produrre un vettore• D'altro canto il flusso è il prodotto di un vettore e la normale alla superficie• Per questo motivo nell'integrando compare un tensore

2 2

00

12 2ij i j ij i j ij

E BT E E BBε δ δ

μ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ij jV j

T n da∂∑∫

EM VdV= ∫p g

2

1c

=g S Notiamo che g è proporzionale al vettore di Poynting

mech2

1ij j

V V ii j

T n da dVt t c∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ = − ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠ ∑∫ ∫p

S


Il tensore degli stress di Maxwell• Esaminiamo ancora l'integrale

• Deve produrre tre componenti• Consideriamo la componente i• Consideriamo inoltre l'elemento di superficie da• Attraverso questa superficie il campo contribuiscequantità di moto lungo la direzione i tramite le tre proiezioni di da nelle direzioni x, y, z• Proiettiamo la superficie da nelle tre direzioni degli assi

• L'integrando della componente i è pertanto

• Infine scriviamo la legge di conservazione in forma differenziale

ij jV j

T n da∂∑∫

x

y

z

n̂ˆd da=a n

ˆ ˆ ˆ( )x x y y z zd da n n n= + +a e e e 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ( )da n n n= + +e e e

1 1 2 2 3 3i i iT n da T n da T n da+ +

( ) 2j ijii

Tt c

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= ∂ − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∂S

f( )i

ρ ρ+ × =E v B j ij j ijj

T T∂ ≡ ∂∑È la "divergenza" del tensore


Il tensore degli stress di Maxwell• Per meglio comprendere il significato e l'uso del tensore degli Stress di Maxwell risolviamo il seguente problema• Consideriamo una sfera di raggio R e carica Q• Immaginiamo che la sfera sia divisa in due emisferi• Calcolare la forza su ciascun emisfero

• Il problema si può risolvere con metodi standard• Sappiamo che all'interno della sfera il campo è

• L'elemento di volume interno alla sfera è

• La forza esercita sull'elemento di volume dv è

• La forza totale è

• Si verifica facilmente che l'unico contributo diverso da zero è Fz

304

Q

Rπε=

rE

2 sindv r d d drθ φ θ=

d dq dvρ= =F E E

sin cos

sin sin

cos

r

θ φθ φφ

θ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

r

22

23

0 0 00

1sin

4

RQdr d r d

R

ππρφ θ θ

πε= ∫ ∫ ∫F r

3

3

4

Q

Rρ

π=


Il tensore degli stress di Maxwell• La forza è pertanto

• In definitiva, la forza sull'emisfero superiore è

• Ripetiamo adesso il calcolo utilizzando il tensore degli stress• Bisogna calcolare il flusso di Tij attraverso la

superficie dell'emisfero• Attraverso la superficie della calotta• Attraverso la base della calotta• Per brevità calcoliamo solo la componente z delle forza• Sappiamo già che le altre componenti sono nulle• Si potrebbe trarre la stessa conclusione con argomenti di simmetria

22

23

0 0 00

1cos sin

4

R

z

QF dr d r r d

R

ππρφ θ θ θ

πε= ∫ ∫ ∫

14

300

1 12 cos cos

4 4Q

R dR

ρπ θ θ

πε= ∫

016QR

ρε

=

3

3

4

Q

Rρ

π=

2

20

3ˆ

64 z

Q

Rπε=F e


Il tensore degli stress di Maxwell• Le componenti cartesiane del campo sono

• Scriviamo le componenti necessarie del tensore

• L'elemento di superficie sulla calotta sferica è• Le componenti sono

• Il contributo alla forza della calotta Fc è pertanto

k=E r sin cosxE kr θ φ=

30

14Q

kRπε

= sin sinyE kr θ φ=

coszE kr θ=

0/zx z xT E Eε = 2 2 sin cos cosk r θ θ φ= 0/zy z yT E Eε = 2 2 sin cos sink r θ θ φ=

210 2

/zz z zT E E Eε = − 2 2 2 2 212

cosk r k rθ= −

sin cos

sin sin

cos

r

θ φθ φ

θ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

rr

2 ˆsind R d dθ φ θ=a r

2 2 2ˆsin sin cosx xda R d d r R d dθ φ θ θ φ φ θ= =2 2 2ˆsin sin siny yda R d d r R d dθ φ θ θ φ φ θ= =2 2ˆsin sin cosz zda R d d r R d dθ φ θ θ θ φ θ= =

3 2 3 2 2 21 12 2

( , ) sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos sinI θ φ θ θ φ θ θ φ θ θ θ θ θ θ= + + −

2 2 2 212

(cos sin )k r θ θ= −

cz zx x zy y zz zF T da T da T da= + +∫ 22

2 20

0 0( , )d d k R I

ππφ θε θ φ= ∫ ∫


Il tensore degli stress di Maxwell

• Pertanto

• Rimane da calcolare il contributo della superficie inferiore• L'elemento di superficie sulla base equatoriale è• Sulla superficie inferiore (θ = π/2)

• La forza totale è

3 2 3 2

2 21 12 2

( , ) sin cos cos sin cos sin

sin cos cos sin cos sin

I θ φ θ θ φ θ θ φθ θ θ θ θ θ

= + +

−3 2 21 1

2 2sin cos sin cos cos sin cos sinθ θ θ θ θ θ θ θ= + −

2 2 21 1sin cos (2 sin cos sin ) sin cos2 2

θ θ θ θ θ θ θ= + − =

22

2 20

0 0sin cos

2czF k R d dππε

φ θ θ θ= ∫ ∫

30

14Q

kRπε

=

2 20

2k R

επ=

2

4032

Q

Rπε=

bz zz zF T da= ∫ˆzd rdrdφ= −a e

zda rdrdφ= −2 2 2 20 (cos sin )

2zzT k rε

θ θ= − 2 20

2zzT k rε

→ = −

22 30

0 02

R

bzF k d r drπεφ= ∫ ∫

42

0 4R

kε π=2

2064

Q

Rπε=

2

20

3

64z cz bz

QF F F

Rπε= + = In accordo con il risultato

della diapositiva 3891412389


Il tensore degli stress di Maxwell• Non è obbligatorio utilizzare la superficie dell'emisfero• È sufficiente utilizzare una superficie che contiene la carica sulla quale

vogliamo effettuare il calcolo• Eventualmente anche nel caso magnetico • Una superficie chiusa che contiene tutte le cariche e le correnti di interesse

• Possiamo utilizzare una superficie differente• Ad esempio una calotta più grande• Al crescere del raggio della semisfera il contributodella superficie sferica tende a zero• Bisogna tuttavia aggiungere il contributo della

superficie piana da r = R a r = ∞• Per r > R il campo elettrico E giace sulla superficie e ha modulo• La componente di Tij di interesse è Tzz

2

4032cz

QF

Rπε= 0→

20

14Q

Erπε

=

200 2zz z zT E E E

εε= −

2

2 40

1

32

Q

rπ ε=

2 2

2 400

1

32 R

Qd rdr

r

πφ

π ε

∞= − ∫ ∫

zda rdrdφ= −

2

20

232 2

Q

R

ππε

=

L'elemento di superficie è lo stesso di prima

ez zz zF T da= ∫2

2032ez

QF

Rπε=


Il tensore degli stress di Maxwell• Riassumendo• Il contributo del piano per r < R è

• Il contributo restante del piano (R − ∞)

• Complessivamente la forza è

• In accordo con il risultato precedente• Il risultato trovato è molto importante e utile• Si può' calcolare la forza su un sistema complicato di cariche (e correnti)

ignorandone i dettagli calcolando il flusso del tensore degli stress su una superficie chiusa arbitraria (conveniente) che racchiude tutto il sistema di interesse

• Esercizio• Riprodurre la forza di Coulomb fra due cariche utilizzando il tensore degli

stress di Maxwell

2

2064bz

QF

Rπε=

2

2032ez

QF

Rπε=

z bz ezF F F= +2 2

2 20 064 32

Q Q

R Rπε πε= +

2

20

3

64

Q

Rπε=

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