Vector de Poynting - Teorema Poynting

Campos y Ondas Vector de Poynting Cap.6

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6. VECTOR DE POYNTING Los campos electromagnticos en general tienen asociados a ellos energa. Una forma de visualizar esta energa asociada es, por ejemplo, el transporte de la misma que realiza una onda electromagntica al propagarse desde su fuente o generador (antena transmisora por ejemplo), hasta un punto distante de recepcin (antena receptora por ejemplo).

6.1. TEOREMA DE POYNTING. Existe una relacin simple y directa entre la velocidad de transferencia de energa y las amplitudes de los campos elctrico e intensidad magntica de una onda electromagntica. Esta relacin puede ser obtenida a partir de las ecuaciones de Maxwell que expresan las fuentes de rotacional de dichos campos. Si se parte de la ecuacin de Maxwell que da la fuente de rotacional del campo intensidad magntica, ecuacin que por otra parte expresa la fuerza magnetomotriz, la cual ha sido citada previamente como la ley puntual de Ampere Modificada, se puede escribir que:

J H E= t (1) En donde se ha reordenado en forma conveniente la ecuacin. La anterior ecuacin expresa una relacin entre densidades de corriente, la cual multiplicada por el campo elctrico expresa ahora una relacin de potencias por unidad de volumen, como se indica a continuacin:

( )

=

t EEHEJE (2)

Si se aplica ahora la siguiente identidad vectorial:

( ) = ( ) ( )E H H E E H (3) Se obtiene la siguiente expresin:

E J H E E H E E = ( ) ( ) t (4) Si ahora se recuerda la ecuacin de Maxwell que expresa la fuente de rotacional del campo elctrico, ecuacin que da la fuerza electromotriz, la cual ha sido citada previamente como ley puntual de Faraday, se tiene que:

= E H t (5) Reemplazando este valor en la ecuacin previa se obtiene:

( )HEEEHHJE =tt

(6)

Si se recuerda que:

H H Ht t=

12

2 (7)

y, del mismo modo:

E E Et t=

12

2 (8)

Resulta:

( )HEEHJE =tt

2222

(9)

Si se integra ahora sobre un volumen V, lo cual da la potencia dentro de dicho volumen, se obtiene que:

( ) ( )dvdvt

dv += HEEHJE 22 22 (10)


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Si se aplica el teorema de la divergencia al ltimo trmino del miembro derecho de la anterior ecuacin, se obtiene:

( ) ( ) SHEHE ddvSC

= (11) Con lo cual la ecuacin de la potencia dentro del volumen V se puede reescribir de la siguiente forma:

( ) ( ) SHEEHJE ddvt

dvSC

+= 22 22 (12) A continuacin se tratar de dar una interpretacin fsica, trmino a trmino, de la anterior ecuacin.

El primer trmino representa la potencia instantnea disipada dentro del volumen V, lo cual surge como una generalizacin de la ley de Joule. Lo anterior puede visualizarse si se supone tener dentro del volumen V a un conductor, de rea transversal S, por el cual circula una corriente I, con una tensin o diferencia de potencial por unidad de longitud igual a E. En tal conductor se desarrollar una potencia por unidad de longitud igual a E.I. Del mismo modo, la potencia disipada por unidad de volumen ser E.I/S = E.J, vatios por unidad de volumen. Se ha su-puesto que E y J tienen la misma direccin, lo cual no es siempre cierto en el caso ms general. Pero an para dicho caso ms general, la potencia por unidad de volumen estar dada por el producto de J por la componente de E que tenga la misma direccin de J. Es decir que la potencia disipada en un dado volumen ser:

( )dv JE (13) Donde en la anterior expresin E representa el valor de campo elctrico requerido para generar una densidad de corriente J en el medio conductor, correspondiendo dicha expresin a la potencia disipada por efecto Joule, o sea a las prdidas hmicas. Si la direccin de E fuese opuesta a la de J, esto implicara que la potencia dada por la anterior expresin sera negativa. Tal caso ocurre, por ejemplo, cuando se pretende cargar una batera, en cuyo caso E aparece como necesario para vencer la diferencia de potencial o f.e.m. de la batera, y hacer circular la corriente I que carga la batera. Por lo tanto no habra en este caso potencia disipada sino ms bien potencia transferida a la batera objeto de la carga.

El primer trmino del segundo miembro de la expresin objeto de este anlisis corresponde a la derivada parcial temporal de la integral de la suma de las densidades de energa o energa acumulada por unidad de volumen en los campos elctrico y magntico. Estas expresiones fueron halladas para el caso de campos estticos, electrosttica y magnetosttica respectivamente. Si se supone que estas cantidades siguen representando densidades de energa almacenadas en los campos aunque estos varen ahora en el tiempo, y no hay razn para suponer lo contrario, la inte-gral de estas densidades de energa sobre el volumen V, representa ahora la energa electromagntica total dentro de dicho volumen. La derivada parcial temporal de esta cantidad, con signo negativo, representa entonces la velocidad conque disminuye la energa electromagntica dentro del volumen V.

La explicacin del ltimo trmino se basa en la aplicacin de la ley de conservacin de la energa. La velocidad de disipacin de la energa dentro del volumen V, debe ser igual a la velocidad conque disminuye la energa electromagntica almacenada en V, ms la velocidad conque entra energa al volumen V a travs de su superficie. El ltimo trmino debe representar, por tanto, la energa entrante a travs de la superficie que limita el volumen. Por lo tanto esta ltima expresin, con el signo positivo, representa el flujo de energa saliente a travs de la superficie que limita el volumen. O sea:

( ) SHE dSC

(14) La expresin anterior, en conjunto con la explicacin desarrollada, lleva a la conclusin que la integral del producto vectorial de E por H sobre una superficie cerrada, es igual a la velocidad del flujo energtico a travs de tal superficie. El vector:

P E H= (15) Tiene dimensiones de vatios por metro cuadrado. Este vector es conocido con el nombre de vector de Poynting, y el teorema de Poynting establece que dicho vector es una medida de la velocidad de flujo de energa por unidad de rea en el punto donde se calcula dicho vector, siendo la direccin de tal flujo de energa perpendicular a E y H, y en el sentido correspondiente al producto vectorial de los mismos.

6.2. INTERPRETACIN DEL VECTOR DE POYNTING. La interpretacin del vector de Poynting como flujo de potencia por unidad de rea, da un concepto de gran utilidad, sobre todo en problemas de radiacin, como es el clculo de la potencia irradiada por una antena, clculo realizado a

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travs de la integracin del vector de Poynting sobre cualquier superficie, con la nica limitacin de que tal superficie encierre a la antena emisora.

Si bien la integral del vector de Poynting sobre una superficie cerrada da el flujo de potencia sobre dicha superficie, no resulta de ello necesario que el vector de Poynting represente correctamente el flujo de potencia en cada punto del espacio.

Para intentar aclarar lo expresado anteriormente, puede suponerse la existencia de un nuevo vector cuya expresin describa realmente el flujo de potencia en cada punto del espacio. Este nuevo vector puede suponerse constituido por la suma de dos trminos, uno de ellos el vector de Poynting y el otro un vector T, siendo T el rotacional de algn otro vector, por ejemplo K.

T K= Por consiguiente, el flujo neto de potencia a travs de cualquier superficie cerrada sera:

( ) ( ) ( )dvddSCSC +=+ TSHESTHE

( ) ( ) SHESTHE ddSCSC

=+ (16) debido a que:

( ) 0= K (17) Se ve entonces que, incluso si se pudiera hallar una expresin correcta para el flujo de potencia a travs de una superficie cerrada, sigue sin ser posible dilucidar donde se halla la energa. Este problema no es precisamente un problema particular del electromagnetismo. La energa potencial total de un peso que se ha elevado es una cantidad fcil de calcular, pero la "distribucin" de esta energa es desconocida. El lugar de residencia fsica de esta energa potencial o de la energa electromagntica, es una cuestin del tipo filosfico, ya que no puede ser contestado en base a medidas que un ingeniero pueda realizar.

6.3. VECTOR DE POYNTING COMPLEJO. Cuando los campos elctrico y magntico varan armnicamente con el tiempo, el vector de Poynting se convierte en un fasor. En estos casos es importante determinar el valor medio del mismo, el cual puede ser calculado realizando la integracin del mismo en un perodo y dividiendo el resultado por dicho perodo. Es til en estos casos, trabajar con notacin compleja (fasores)

*HEP =21 (18)

Donde:

P es un valor medio, no instantneo. tjeE 0EE aEaE == & (19)

aE= versor en la direccin de E (20)

( ) == tj** eH 0HH aHaH & (21) aH = versor en la direccin de H (22)

=desfasaje temporal entre E Hy * (23) H* complejo conjugado de H (24)

( ) == tjeH 0HH aHaH & (25) La cantidad H y su complejo conjugado H* tienen la misma direccin espacial y la misma amplitud, pero difieren en el signo de sus factores de fase. Si se asume que las direcciones de los campos elctrico y magntico son perpendiculares entre s, el vector de Poynting complejo es normal al plano que contiene a estos campos, y su valor es:

JerryResaltado

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jeHE 0021 nP = (26)

donde n es el vector unidad normal a los campos elctrico y magntico.

El vector de Poynting medio, esta dado por la parte real del vector de Poynting complejo, o sea:

P al E Hpromedio = =Re cosP n12 0 0 (27) donde es el desfasaje temporal entre los campos elctrico y magntico. Se sobreentiende que Eo y Ho son amplitudes o magnitudes pico de los respectivos campos. Si en su lugar se usan valores eficaces de los mismos, el factor 1/2 se debe omitir.

La potencia promedio que fluye a travs de una superficie cerrada esta expresada por:

[ ] [ ] SHESP dalRedalRePSC

*

SCpromedio == (28)

Si se divide al vector de Poynting por la densidad de energa, se obtiene una cantidad que dimensionalmente es una velocidad, y cuyo significado fsico es el de ser la velocidad con que se propaga o transmite la energa. En un medio no dispersivo la velocidad de propagacin de la energa es igual a la velocidad de fase. Por ejemplo en un medio no dispersivo y sin prdidas (dielctrico perfecto por ejemplo) se tiene que:

v Vector de PoyntingDensidad de energa venerga fase= = (29)

En un medio dispersivo pero sin prdidas, la velocidad de propagacin de la energa es igual a la velocidad de grupo. En un medio con prdidas, la velocidad de grupo tiende a perder significado fsico, no as la velocidad de propagacin de la energa.

Mientras que la velocidad de fase o la de grupo pueden adoptar valores inferiores o superiores al de la velocidad de la luz, la velocidad de propagacin de la energa es siempre inferior a este lmite terico.

6.4. VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA PROGRESIVA. La expresin de la velocidad del flujo de energa por unidad de rea es fcilmente verificable en una onda plana progresiva que viaja a la velocidad:

v = ( )1

12 (30)

La densidad de energa total de la onda electromagntica, expresada como la suma de las densidades de energa debidas al campo elctrico y al campo magntico es:

W W Welectromagntica elctrica magntica= + (31) Un hecho importante para resaltar es que ambas densidades de energa, las correspondientes al campo elctrico y al campo magntico respectivamente, son iguales entre s, ya que, por ejemplo, para un medio sin prdidas y no limitado espacialmente, se cumple la siguiente relacin entre los mdulos de los campos elctrico y magntico:

21

=

HE

(32)

Igualdad que introducida en la expresin de la densidad de energa, da por resultado:

W H E W Welectromagntica elctrica magntica= = = = 2 2 2 2 (33) Para una onda progresiva que viaja a velocidad v, el flujo de energa por unidad de rea, resulta ser:

( )vEHP 2221 += (34)

Introduciendo la relacin entre campo elctrico y magntico, impedancia intrnseca del medio, resulta:

HE===

+

=

EHvvEHvEHEHP

21

21

21

(35)


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Lo cual no es otra cosa que el vector de Poynting. Si se supone ahora que los campos elctrico y magntico varan armnicamente, se puede hallar la expresin del vector de Poynting complejo, el que para esta onda plana progresiva resulta ser:

( )xtsenEP

= 220

21

(36)

El valor medio y el valor pico del vector de Poynting estn dados por las siguientes expresiones:

220

21

21

21

eficazpromedio EEP

=

=

(37)

20

21

2 EPP promediopico

== (38)

El flujo de energa por unidad de tiempo y unidad de rea, o la densidad de potencia por unidad de rea o vector de Poynting de una onda plana que viaja en la direccin de las x positivas y que vara senoidalmente en el tiempo, est graficado en la figura 6.1.

figura 6.1

En esta figura se muestra el valor del vector de Poynting para dos instantes de tiempo, t = 0 y t = T/8. Los valores de la potencia instantnea por unidad de rea estn dados sobre una distancia igual a una longitud de onda, en la direccin de x.

Si se presta atencin a una sola de las dos curvas, por ejemplo la correspondiente a t = 0, se nota que el vector de Poynting es una entidad pulsante, con dos pulsos por cada longitud de onda.

Comparando ambas curvas, se nota que los pulsos se mueven hacia la direccin de las x positivas, a medida que el tiempo transcurre. Es as que para un tiempo igual a T/8, la onda de densidad de potencia por unidad de superficie se traslad 1/8 de longitud de onda.

Para obtener la densidad instantnea de energa de la onda, se divide al vector de Poynting por la velocidad de propagacin de la onda, con lo que se obtiene:

( )xtsenEvv

PW

== 220

21

1 (39)

Dado que la velocidad de propagacin es:

21

1

= v (40)

La densidad instantnea de energa resulta:

W E t x= ( ) 02 2sen (41)


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Con razonamientos similares a los ya empleados con anterioridad, se pueden calcular las densidades de energa promedio y pico, las que resultan ser:

W E Hpromedio = =12120

202 (42)

W W E Hpico promedio= = =2 02 02 (43)

6.5. VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA. Se supone tener dos ondas planas progresivas, de igual amplitud pero viajando en sentidos opuestos, en un medio dielctrico ideal (espacio libre por ejemplo). Si estas ondas estn polarizadas linealmente, por ejemplo el campo elctrico tiene componente segn el eje y solamente, y que viajan una en el sentido positivo del eje x, con amplitud E1, y otra en el sentido negativo del eje x, con amplitud E2. El valor instantneo de la onda compuesta Ey resultara ser:

E E t x E t xy = ( ) + +( )1 2sen sen (44) Las componentes del campo magntico, ubicadas espacialmente segn el eje z, pueden ser calculadas con la siguiente relacin, derivada de una de las ecuaciones de Maxwell, segn ha sido explicitado con anterioridad. Esta relacin es:

Ex

Ht

y z= (45) Si se realizan las operaciones matemticas correspondientes, se obtiene el valor del campo magntico siguiente:

( ) ( )xtsenExtsenEH z

+

= 21

21

21

(46)

La magnitud del vector de Poynting, realizado el producto vectorial correspondiente, es la siguiente:

P E Hx y z= (47) Si se substituye los valores hallados para los campos elctrico y magntico en la anterior expresin, la magnitud del vector de Poynting resulta ser:

( ) ( )xtsenExtsenEPx

+

= 222221

21

21

(48)

De acuerdo a la anterior ecuacin, el vector de Poynting neto de la onda compuesta resulta ser igual a la diferencia de los vectores de Poynting de la onda incidente menos la reflejada, resultado que intuitivamente parece ser el correcto.

Se plantea ahora el caso de que la onda reflejada tenga origen en una reflexin de la onda incidente, al arribar esta a una superficie conductora perfecta.

La anterior consideracin establece como condicin de contorno, si la reflexin se da en un plano normal a la direccin de propagacin, que las ondas incidente y reflejada de campo elctrico tengan la misma amplitud pero signos opuestos (debido a que la componente de campo elctrico tangencial a una superficie conductora perfecta debe ser nula), es decir que:

E E1 2= (49) Es as que se establece una onda estacionaria pura, con un vector de Poynting neto de valor nulo, lo que es equivalente a que la onda completa no transporta energa.

Sin embargo resulta interesante examinar con ms detalle este caso de onda estacionaria pura, particularmente desde el punto de vista de ubicar en donde est la energa que individualmente transportan cada onda progresiva, ondas incidente y reflejada respectivamente. Para tal fin se halla la expresin de la densidad de energa del campo elctrico en una onda estacionaria pura, la cual resulta ser igual a:

W E t xelctrica = 2 22 2 2 cos sen (50) Por otra parte, conocida la expresin del campo intensidad magntica para una onda estacionaria pura:

H H t xz = 2 2 sen cos (51)


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Es posible calcular la densidad de energa del campo magntico, que resulta ser igual a:

W H t xmagntica = 2 22 2 2 sen cos (52) Si se compara las dos densidades de energa, elctrica y magntica, a medida que transcurre el tiempo, se observa que cuando una de ellas alcanza su mximo la otra es nula y viceversa. Ms an, los puntos espaciales en donde cada una de las densidades de energa es mximo individualmente, estn separados una distancia igual a /4. Es decir que las densidades de energa elctrica y magntica de una onda estacionaria pura estn en cuadratura temporal y espacial. La energa oscila entre energa elctrica y magntica, hablndose en estos casos de energa reactiva o almacenada, pues esta energa no es efectivamente transmitida.

En la figura 6.2 se muestra la variacin temporo-espacial de las densidades de energa elctrica y magntica.

figura 6.2

La expresin del vector de Poynting para esta onda estacionaria pura es la siguiente:

P E H t t x xx = 4 2 2 cos sen cos sen (53) Si se reemplaza el valor cresta de campo magntico por el valor cresta de campo elctrico, conocido que la relacin entre los mismos es la impedancia intrnseca del medio, se obtiene la siguiente expresin para el vector de Poynting de una onda estacionaria pura:

xsenxcostsentcosEPx 2

2

21

4

= (54)


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El valor cresta del vector de Poynting de una onda estacionaria pura es:

22

21

EP crestax

= (55)

Se observa que el vector de Poynting alcanza sus mximos para:

t n con n= +( ) =2 1 4 1 2, ,... (56) En estos instantes de tiempo, la posicin de los mximos es:

x n con n= +( ) =2 1 8 1 2 , ,... (57)

En la parte b) de la figura 6.2 se indica con flechas las direcciones de estos mximos. Como puede apreciarse en esta figura anterior, la energa tiende a agruparse o localizarse en una onda estacionaria pura. Tambin es de resaltar que en una onda estacionaria pura, los puntos de fase constante permanecen estacionarios en el espacio, de lo que se deduce que la concentracin localizada de energa est asociada a velocidades de fase no uniformes o estacionarias.

6.6. VECTOR DE POYNTING EN UN MEDIO CONDUCTOR. En este punto se trata el caso de una onda plana progresiva que se propaga en un medio conductor. Para tal onda se hallar el valor del vector de Poynting correspondiente. Se supone que la onda esta linealmente polarizada, con el campo elctrico segn el eje y, y el campo magntico segn el eje z, adems de viajar segn la direccin positiva del eje x.

Las expresiones de las ondas de campo elctrico y magntico que ingresaron al medio conductor, el cual comienza en x = 0, son:

tjy eEE

0=& (58)

( ) = tjz eHH 0& (59) La magnitud escalar del vector de Poynting medio resulta ser:

[ ] [ ] [ ]jzypromedio ealHEHEalalP ReReRe * 002121 === &&P (60) o

cosHEPpromedio 0021= (61)

Donde

E0 = Amplitud cresta del campo elctrico.

H0 = Amplitud cresta del campo magntico.

= Angulo de fase entre campos elctrico y magntico. Para este caso, el vector de Poynting tiene la direccin del eje x.

Para un medio conductor, el ngulo de fase entre campo elctrico y magntico es cercano a 45. Por otra parte, conocido el hecho de que la relacin entre campo elctrico y magntico es la impedancia intrnseca del medio, el vector de Poynting medio puede expresarse como:

[ ] [ ] [ ]iizi*zzpromedio ZalReHZalReHZHHalReP 202 212121 === &&& (62) La anterior expresin resulta de gran utilidad pues permite determinar el valor del vector de Poynting medio, o lo que es equivalente la potencia promedio por unidad de rea, en un medio conductor a partir del conocimiento de los valores del campo magntico en la superficie y de la impedancia intrnseca del medio.

La potencia absorbida de una onda plana progresiva por parte de un conductor, puede ser convenientemente especificada en trminos de corriente inducida en tal medio. Dado que la ley de Ohm puntual establece que:

J E= (63)


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La densidad de corriente en el medio vara del mismo modo que el campo elctrico, ya que la conductividad se supone constante. As para una onda plana que incide normalmente en un medio conductor, la variacin de la densidad de corriente en el medio queda expresada por:

( )

+

== xjxjx

eJeeJ1

00J (64)

Donde:

J0 = Densidad de corriente en la superficie del medio.

La variacin de la densidad de corriente, o equivalentemente la variacin del campo elctrico, como una funcin de la distancia x dentro del conductor, es del tipo exponencial.

Si se asume que el medio conductor se extiende en forma infinita en la direccin positiva del eje x, la corriente total inducida en el medio conductor, por unidad de ancho en direccin del eje z, esta dada por la integral de la densidad de corriente, desde la superficie del medio (x = 0) hasta infinito, es decir:

( ) 00

00

JdxeJdxA x === J (65) Donde:

A = Corriente por unidad de ancho (A/m).

J0 = Densidad de corriente en la superficie (A/m ).

= 1/e, profundidad de penetracin (m). De esta forma, el rea bajo la curva exponencial es igual al rea de un rectngulo equivalente de ancho segn se muestra en la Figura 6.3.

Figura 6.3

La corriente total por unidad de ancho, corriente A, es igual entonces a aquella que se obtendra si la densidad de corriente en la superficie se mantuviera constante desde la superficie hasta una profundidad () y luego fuera cero para el resto del conductor. De este hecho es que toma significado la profundidad de penetracin 1/e = . La potencia promedio por unidad de rea absorbida por el medio conductor esta dada por:

{ }ipromedio ReHP Z2021= (66)

Pero como:


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{ } RReyAH i == Z0 (67) La potencia promedio resulta ser:

= 22 mW

21 RAPpromedio (68)

Donde:

A=J0 => Corriente por unidad de ancho, en A/m. R=1/ => Resistencia equivalente de una hoja cuadrada de medio conductor, de espesor , en /m. A la resistencia R se la denomina resistencia pelicular, dado que a altas frecuencias la corriente queda normalmente confinada en una capa muy fina de la superficie (equivalente a una pelcula delgada o piel).

6.7. VECTOR DE POYNTING EN UN CABLE COAXIAL. Se considerar ahora la transferencia de potencia a una carga R, a travs de un par de conductores dispuestos concntricamente, cable coaxial.

Sobre dicho cable se aplica una diferencia de potencial continua de valor V, lo cual hace circular una corriente continua, de valor I, por ambos conductores, el interior y el exterior.

Se supone, por razones de simplicidad, que la resistencia de ambos conductores es despreciable. El radio del conductor interior es a, y el del conductor exterior es b, segn se muestra en la Figura 6.4:

Figura 6.4

El campo intensidad magntica adoptar la forma de crculos concntricos alrededor del eje de simetra del cable coaxial, el valor de este campo puede ser calculado a partir de la Ley de Ampere, que da la fuerza magnetomotriz en cualquiera de estos crculos de campo magntico constante en mdulo, es decir que:

lHSJ dIdC

== (69) En el espacio entre los conductores, y por razones de simetra, el valor del campo intensidad magntica es constante, es decir que:

rHId 2== SJ (70) Donde:

r = Radio del crculo donde se calcula la fuerza magnetomotriz.

Por lo tanto:

H I r= 2 (71)


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El campo elctrico estar en direccin radial, ya que se ha supuesto que los conductores no tienen resistencia. Es conocida la expresin que da la diferencia de potencial entre dos conductores concntricos, calculada por aplicacin de la ley de Gauss, la cual es:

=abV ln

2

(72)

Donde:

= Carga por unidad de longitud.

Por otra parte es fcil demostrar la relacin entre esta diferencia de potencial y el campo elctrico, ya que el campo elctrico resulta ser:

E r=2

1 (73)

Y por lo tanto, el valor del campo elctrico en funcin del potencial es:

=abr

VEln

(74)

Recordando que la expresin del vector de Poynting es:

P E H= (75) Este vector de Poynting est dirigido en forma paralela al eje del cable coaxial, y como los campos elctrico y magntico son perpendiculares entre s, el valor del vector de Poynting resulta ser:

P EH= (76) El flujo total de potencia a lo largo del cable esta dado por la integracin del vector de Poynting sobre cualquier seccin transversal.

Dado que los conductores se han supuesto perfectos, solo habr campo elctrico en la regin entre los mismos, lo propio ocurre con el vector de Poynting.

Si se integra el vector de Poynting sobre un elemento de rea igual a:

da r dr= 2 (77) Se obtiene que el flujo de potencia es:

( ) VIrdr

ab

VIdrrrI

abr

VdWb

a

b

aSC=

=

== lnln 22aHE (78)

Este resultado resulta evidente, ya que de antemano se saba que el flujo de potencia en un circuito de las caractersticas del aqu tratado es igual al producto de la diferencia de potencial V por la corriente I.

Es de resaltar el hecho de que este resultado se obtubo integrando sobre un rea que no incluye a los conductores. Es decir que el flujo de potencia es completamente externo a los conductores perfectos.

Incluso si estos conductores no fuesen perfectos tampoco habra flujo de potencia en el interior de los conductores, en el sentido del eje del cable, ya que no habra componente del campo elctrico que sea perpendicular al flujo de la corriente. Si existira, en este caso de conductores imperfectos, una componente del vector de Poynting en el sentido radial, la cual sera la responsable de proveer las prdidas que tienen lugar dentro de los conductores, este caso se ver a continuacin.

6.8. VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR. Si en un conductor, con conductividad finita, circula una corriente continua, se desarrollar un campo elctrico dentro de dicho conductor. Este campo tendr la misma direccin que la corriente, ya que:

E J= (79)


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De esta manera no existir componente radial del campo elctrico, lo que implica que no habr componente del vector de Poynting en el interior del conductor, en la direccin paralela al mismo, sino que la componente de dicho vector ser radial. Si se supone que el conductor posee una longitud L, desarrollada en el sentido del eje z, sobre este conductor habr una cada de tensin entre sus extremos cuyo valor ser igual a:

V E LL z= (80) El vector intensidad de campo magntico ser concntrico con el conductor, y en la superficie del mismo tendr el siguiente valor:

aIH 2= (81)

Donde:

a = radio del conductor.

Los campos intensidad magntica y elctrico son perpendiculares entre s, por lo que la magnitud del vector de Poynting ser la siguiente:

HEP z= (82) La direccin de este vector de Poynting ser radial al conductor y dirigido hacia el interior del mismo. El flujo total de potencia que fluye hacia el interior del conductor, a travs de su superficie ser:

=== L LLz VIdzLIVdzaHEW0 0

2 (83)

Expresin usualmente empleada para calcular las prdidas hmicas en un conductor. Como ya ha sido explicado, puede considerarse que la potencia necesaria para cubrir las prdidas del conductor, llega al mismo desde el campo exterior entrando por su superficie.

Otro aspecto interesante de este ejemplo es considerar cmo contina el flujo de potencia hacia el interior del conductor. El valor del campo intensidad magntica no vara directamente con el radio, en el interior del conductor, ya que la corriente que encierra tiene la siguiente expresin:

22

aIrI erior =int (84)

Por lo tanto el campo intensidad magntica, en el interior del conductor, tendr la siguiente expresin:

H ra

I=2 2 (85)

La potencia que fluye hacia adentro del conductor, a travs de una capa cilndrica, de radio r


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Por otra parte cuando se trata con circuitos es mas conveniente el empleo de magnitudes integrales tales como V, I y P (potencia). El hablar de magnitudes integrales deviene del hecho que la diferencia de potencial o tensin entre dos puntos, es igual a la integral de lnea de el campo elctrico, es decir que:

lE dV = (87) De manera similar la cantidad I, corriente a travs de un conductor, es igual a la integral de circulacin de la intensidad de campo magntico H alrededor de dicho conductor, es decir que:

= lH dI (88) Y la cantidad P, por ejemplo potencia disipada en una carga, es igual a la integral del vector de Poynting a lo largo de una superficie que encierra a la carga, es decir que:

= sP dP (89) Se considera ahora un circuito consistente en una batera conectada, a travs de un par de conductores perfectos, por los cuales circula una corriente, a una carga de resistencia R. Se supone que toda la f.e.m. est concentrada en la batera, y que toda la resistencia esta concentrada en la carga.

En tal circuito se desarrolla un campo elctrico, de modo tal que su integral de lnea, partiendo de un borne de la batera y arribando al otro borne da como resultado la diferencia de potencial existente entre los bornes de la batera, y entre los bornes de la carga ya que se supone conductores perfectos, es decir que:

lE dV = (90) Tambin se desarrolla en este circuito un campo intensidad magntica H alrededor de los conductores de tal manera que la integral de circulacin del mismo da como resultado la corriente que circula por los conductores, es decir que:

= lH dI (91) En cualquier punto el vector de Poynting P esta determinado por el producto vectorial de los campos elctrico e intensidad magntica, es decir que:

P E H= (92) La direccin del vector de Poynting, como as tambin la de los campos elctrico e intensidad magntica esta sugerida en varios puntos del circuito, en la Figura 6.5:


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Figura 6.5

Alrededor de la batera (fuente de energa) el vector de Poynting es hacia afuera (positivo). Alrededor de la resistencia (carga) el vector de Poynting es hacia adentro (negativo). En un plano imaginario ubicado a mitad del circuito, el vector de Poynting va de izquierda (batera) a derecha (carga).

La potencia total entregada por la batera, o tomada por la carga, esta dada por la integral del vector de Poynting sobre una superficie que encierre a la batera (potencia positiva o generada), o sobre una superficie que encierre a la carga (potencia negativa o disipada), o sobre un plano infinito que divide al circuito como ha sido previamente sugerido.

La potencia total sobre la carga ser entonces:

( ) = sHE dP (93) Donde la superficie de integracin encierra a la carga. Los campos E y H son normales entre s en todos los puntos, y adems ellos son tangentes a una superficie cilndrica que encierra a la carga. As, por simples consideraciones geomtricas, el vector de Poynting para este caso resulta ser:

VIddP == 21 lHlE (94) Ya que la diferencia de potencial entre extremos del cilindro, diferencia de potencial entre extremos de la carga, es:

= 1lE dV (95) Y la corriente encerrada por el cilindro, corriente que circula por la carga es:

= 2lH dI (96) De este modo, integrando el vector de Poynting sobre el resistor de carga, se obtiene la misma potencia en la carga predicha por la teora de circuitos. No obstante, desde el punto de vista de la teora de campo, esta potencia es negativa, ya que se dirige hacia el interior de la superficie de integracin que encierra a la carga.

En la anterior figura del circuito se muestran algunas lneas de flujo del vector de Poynting. Resulta evidente que el flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante al circuito, actuando los conductores del circuito como guas para dicha potencia.


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Desde el punto de vista de la teora circuital, usualmente se dice que los conductores transportan la potencia o que la potencia fluye por los conductores, pero esto no es mas que una simplificacin del problema y no representa la situacin real.

Se puede suponer que existe una placa continua e infinita, perfectamente conductora, colocada en la mitad del circuito y con dos pequeos orificios por los cuales pasan los conductores. El flujo de potencia a travs de la placa es nulo, ya que el campo elctrico es nulo en la misma, y todo el flujo de potencia desde la batera a la carga es a travs de los orificios por los cuales pasan los conductores. Ahora el campo elctrico es muy intenso alrededor de las aperturas, al igual que el vector de Poynting. La integral del vector de Poynting sobre estas aperturas iguala otra vez a la potencia total que fluye desde la batera hacia la carga. Las lneas de flujo del vector de Poynting se adensan sobre los orificios como muestra la Figura 6.6:

Figura 6.6

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Vector de Poynting - Teorema Poynting