Función racionalDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para la «capacidad de razonar», véase Racionalidad.

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Función homográfica:

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.2

Propiedades[editar] Toda función racional es de clase en un dominio que no incluya las raíces

del polinomio Q(x). Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el

grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de funciones racionales[editar]

Dada una función racional:

Función racional de grado 2:

Función racional de grado 3:

Si el denominador es un polinómico mónico con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

Si entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

Por lo que la integral de la función es una combinación lineal de funciones de la forma  :

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Funciones Polinomiales

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El

grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por f(x) = anXn + an1 − 1Xn − 1 + an − 2Xn − 2 + ... + a1 + a0 donde a0,a1,...,an

son números reales y n es un entero no negativo. Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

Ejemplo #1

f(x) = 3x5 − x2 + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

Función Lineal

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

f(x) = ax + b

Función Cuadratica

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

f(x) = ax2 + bx + c

Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x)

se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Teorema del valor intermedio

Si $f$ es una función polinomial y para $a<b$, entonces $f$ toma todo valor entre $f(a)$ y $f(b)$ en el intervalor $[a,b]$.

Ejemplo #2

Demuestre que f(x) = x5 + 2x4 − 6x3 + 2x − 3 tiene un cero entre 1 y 2.

Al sustituir $x$ con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:

f(1) = 1 + 2 − 6 + 2 − 3 = − 4f(2) = 32 + 32 − 48 + 4 − 3 = 17<center>

Dado que $f(1)$ y $f(2)$ tienen signos contrarios vemos que $f(c)=0$ para almenos un número real $c$ entre 1 y 2.

Ejemplo #3

Sea $f(x)=x^3+x^2-4x-4$. Halle todos los valores de $x$ tales que $f(x)$ sea positivo, y todos los $x$ tales que $f(x)$ sea negativo y traze la grafica de $f$.

Factorizemos primero $f(x)$ de la siguiente manera:

$$\begin{align*} f(x) &= x^3+x^2-4x-4&{\color{DarkRed} {dado}} \\ &=(x^3+x^2)+(-4x-4)&{\color{DarkRed} {agrupar \; términos}} \\ &=x^2(x+1)-4(x+1)&{\

color{DarkRed} {factorizar \; x^2\;\;y\;-4}} \\ &= (x^2-4)(x+1)&{\color{DarkRed} {factorizar \; (x+1)}}\\ &= (x-2)(x+2)(x+1)&{\color{DarkRed} {diferencia \; de \;

cuadrados}} \end{align*}$$

De aqui podemos ver que los cero de $f(x)$ (intersecciones con el eje $x$) son -2, -1 y 2. Notar que al sustituir estos valores en la función la función se hace cero. Los puntos correspondientes de la gráfica dividen el eje $x$ en cuatro partes y consideramos los

intervalos abiertos $$(-\infty,-2), \; (-2,-1), \; (-1,2), \; (2,\infty)$$

Ahoda analizamos el signo de la función en cada uno de estos intervalor, mediante la siguiente tabla.

<center>

Intervalo $(\infty,-2)$ $(-2,-1)$ $(-1,2)$ $(2,\infty)$

Signo de $x+2$ $-$ $+$ $+$ $+$

Signo de $x+1$ $-$ $-$ $+$ $+$

Signo de $x-2$ $-$ $-$ $-$ $+$

Signo de $f(x)$ $-$ $+$ $-$ $+$

Posición en la Grafica

Abajodel eje $x$

Arribadel eje $x$

Abajodel eje $x$

Arriba del eje $x$

Grafica

Ejemplo

1. Para la función (a) Determine el dominio de la función (b) Las intercepciones con los ejes

(a) el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales. (b) Intercepciones con los ejes: Si y=6 La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6) Si

Por división sintética: Los factores de 6 son: Por lo tanto, f tiene un factor de la forma .

El factor , puede descomponerse en:

Finalmente:

Si

Los valores de x son:

La curva corta al eje x en los puntos:

Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea mas clara de como es la grafica de dicha funcion.

Ceros De Polinomios

Si P es un polinomio y c es un numero tal que P(c), entonces decimos que c es un cero de P. A continuacion se presentan formas equivalentes de decir lo mismo:

1. c es un cero de P 2. x = c es una raiz de la ecuacion P(x)=0 3. x-c es un factor de P(x) 4. x=c es una interseccion en x de la grafica de P

Entre cualesquiera dos ceros sucesivos del polinomio, los valores del mismo seran todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros sucesivos la grafica se encontrara en su totalidad por encima o por debajo del eje x.

El comportamiento final esta determinado por el termino en el polinomio que tiene la potencia mas alta de x.

Recomendaciones Para Graficar Un Polinomio

1. Factorice el polinomio para determinar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje x de la grafica.

2. Elabore una tabla de valores del polinomio evaluando x entre y, a la izquierda y a la derecha de los ceros determinados en el paso 1.

3. Grafique las intersecciones y los puntos determinados.

4. Determine el comportamiento final del polinomio.

5. Trace la curva suave que pase por los puntos graficados en el paso 3. y que exhiba el comportamiento final.

La gráfica de una función polinomial de grado 0, que es de la forma f(x) = a es una recta horizontal.

Cómo graficar una función racionalUna función racional es una ecuación que tiene la forma y = N(x)/D(x), donde N y D son polinomios. Tratar de dibujar una gráfica exacta de una de ellas a mano conlleva un exhaustivo repaso de muchos de los temas más importantes de la preparatoria desde álgebra básica hasta cálculo diferencial. Considera el siguiente ejemplo: y = (2x2 - 6x + 5)/(4x + 2).

Pasos

1.

1

Encuentra la intersección con y." Sólo iguala x = 0. Todo excepto los términos

constantes desaparecen, dejando y = 5/2. Al expresar esto como un par

coordenado, (0, 5/2) es un punto en la gráfica. Grafica el punto.

1.

2

Encuentra la asíntota horizontal. Divide el denominador entre el numerador

para determinar el comportamiento de y para valores mayores y absolutos de x.

En este ejemplo, la división muestra que y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Para

valores grandes positivos o negativos de x, 17/(8x + 4) se acerca a cero y la

gráfica se aproxima a la línea y = (1/2)x - (7/4). Usando una línea punteada o

muy delgada, se grafica la siguiente línea.

Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, no se

puede dividir, y la asíntota queda como y = 0.

Si deg(N) = deg(D), la asíntota es una línea horizontal del cociente de los

coeficientes principales.

Si deg(N) = deg(D) + 1, la asíntota es una línea, cuya pendiente es el

cociente de los coeficientes principales.

2. Si deg(N) > deg(D) + 1, entonces para valores grandes de |x|, y va rápidamente

al infinito positivo o negativo como una cuadrática, cúbica o de un grado

polinomial mayor. En este caso, es probable que no valga la pena graficar con

exactitud el cociente de la división. 3

Encuentra los ceros. Una función racional tiene un cero cuando su numerador

es cero, así que iguala N(x) = 0. En el ejemplo, 2x2 - 6x + 5 = 0. El discriminante

de esta cuadrática es b2 - 4ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Dado que el

discriminante es negativo, N(x), y consecuentemente f(x), no tiene raíces reales.

La gráfica nunca cruza el eje x. Si se llega a encontrar algún cero, se deben

agregar esos puntos a la gráfica.

3.

4. 4

Encuentra las asíntotas verticales. Una asíntota vertical ocurre cuando el

denominador es cero. Al igualar 4x + 2 = 0 te da la línea vertical x = -1/2.

Grafica cada asíntota vertical con una línea muy delgada o punteada. Si algún

valor de x hace tanto N(x) = 0 como D(x) = 0, puede que haya o no asíntotas

verticales ahí. Esto es raro, pero ve los consejos de qué hacer si esto llegara a

pasar.

5. 5

Verifica el residuo de la división en el paso 2. ¿Cuándo es positivo, negativo o

cero? En el ejemplo, el numerador del residuo es 17, que es siempre positivo. El

denominador, 4x + 2, es positivo a la derecha de la asíntota vertical y negativo a

la izquierda. Esto significa que la gráfica se acerca a la asíntota lineal por arriba

para valores grandes positivos de x y por abajo para valores negativos grandes

de x. Ya que 17/(8x + 4) nunca puede ser cero, esta gráfica nunca intersecta la

línea y = (1/2)x - (7/4). No agregues nada a la gráfica por ahora, pero toma en

cuenta estas conclusiones para más tarde.

6. 6

Encuentra los extremos locales. Un extremo local puede ocurrir siempre que

N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. En el ejemplo, N'(x) = 4x - 6 y D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x)

= (4x - 6)(4x + 2) - (2x2 - 6x + 5)*4 = 0. Al expandirlo, agrupar términos y dividir entre

4, queda como resultado: x2 + x - 4 = 0. La fórmula cuadrática tiene raíz cerca de x = 3/2

and x = -5/2. (Estos difieren aproximadamente por 0.06 del valor exacto, pero nuestra

gráfica no será lo suficientemente precisa como para preocuparnos por esa clase de

detalles. Al escoger una aproximación racional decente, el siguiente paso será más

sencillo.) escoger una aproximación racional decente, el siguiente paso será más

sencillo.)

7. 7

Encuentra el valor de y para cada extremo local. Evalúa los valores de x del

paso anterior de nuevo en la función racional original para encontrar el valor

correspondiente de y. En el ejemplo, f(3/2) = 1/16 y f(-5/2) = -65/16. Añade

estos puntos, (3/2, 1/16) y (-5/2, -65/16), a la gráfica. Debido a que usamos

valores aproximados en el paso anterior, estos no serán los máximos y mínimos

exactos, pero están muy cercanos a ellos. (Sabemos que (3/2, 1/16) es muy

cercano al valor mínimo local. Del paso 3, sabemos que y es positiva siempre

que x > -1/2 y encontramos un valor tan pequeño como 1/16, así que al menos en

este caso, el error es probablemente menor que el espesor de la línea.)