POLIEDROSHISTORIAEl origen del estudio de los poliedros regulares corresponde a la escuela pitagrica, Los pitagricos, quienes vean en los resultados matemticos algo parecido a una verdad religiosa, pensaban que era muy importante la observacin de que haba solamente cinco poliedros regulares posibles. Muchos creen que fueron estos sabios quienes hicieron tal observacin por vez primera y por eso llamanslidos pitagricos a los poliedros regulares. Los primeros estudios que se conocen sobre los cinco poliedros regulares se encuentra en los libros XIII y XIV de los Elementos de Euclides, en los cuales se exponen una gran cantidad de resultados acerca de estos cinco poliedros. Euclides opina que Pitgoras nicamente conoca los poliedros regulares en los que convergen tres caras en cada vrtice, es decir, el tetraedro, el hexaedro o cubo y el dodecaedro. Asimismo, Euclides sostiene que el descubrimiento de los otros dos se produjo en la Academia de Platn.Se cree que fue Empdocles quien primero asoci el hexaedro, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cuatro elementos de los griegos antiguos. Luego Platn asoci el dodecaedro con el universo pensando que, en vista de era tan diferente de los dems deba ser la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas de ah que a los poliedros regulares se los conozca tambin como slidos platnicos. Platn concibi el dodecaedro como una representacin del universo, buscando en sus interior todas las relaciones de simetra previsibles en aqul. Un poliedro es regular cuando todas las caras que lo constituyen resultan

DEFINICIONLa palabrapoliedroest compuesta por dos palabras griegaspoli(muchos) yedro (planos, caras).Los poliedros son cuerpos geomtricos cerrados por polgonos. Estos polgonos pueden ser tringulos, cuadrados, rectngulos, etc.Los poliedros se conciben como cuerpostridimensionales, pero hay semejantes topolgicos del concepto en cualquierdimensin. As, el punto o vrtice es el semejante topolgico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensin, elpolgonopara 2 dimensiones; y elpolcoroel de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas comopolitopos, por lo que podemos definir un poliedro como unpoltopo tridimensional.Los poliedros son denominados de acuerdo a su nmero decaras. Su designacin se basa en el griego clsico. Por ejemplotetraedro(4-caras),pentaedro(5),hexaedro(6), heptaedro (7),...icosaedro(20) - icosa es 20 en griego clsico -, etc.Frecuentemente un poliedro se cualifica por una descripcin del tipo de caras presentes en l. Si todas sus caras son iguales se les denominapoliedro regular. Por ejemplo, eldodecaedro regularo dodecaedro pentagonal frente aldodecaedro rmbico

ELEMENTOS DE UN POLIEDROVrticeEs un punto donde dos o ms lneas se encuentran. Esquina.

Angulo polidrico:Unngulo poliedroes la regin del espacio limitada por tres o mssemirrectascon un origen comn, llamadovrtice. Cada semirrecta es unaaristadelngulopoliedro, y dos de estas aristas consecutivas forman un plano llamadocara. Dos caras consecutivas forman unngulo diedro. El ngulo poliedro ms sencillo es unngulo triedro, formado por tres caras.Cuando el ngulo poliedro est todo l en el mismosemiespaciorespecto a cada una de sus caras, se dice que esconvexo, siendocncavoen caso contrario.

ANGULO DIEDROUnngulo diedroes cada una de las dos partes delespaciodelimitadas por dossemiplanosque parten de unaaristacomn. Es un concepto geomtrico ideal y slo es posible representarlo parcialmente como dos paralelogramos con un lado comn, que simbolizan dos semiplanos.El valor de un ngulo diedro es la amplitud del menornguloposible que conforman dos semirectas pertenecientes una a cada semiplano. Se obtiene tomando un plano auxiliarperpendiculara la recta comn, siendo la apertura de las semirrectas interseccin la medida del ngulo diedro.

ARISTA Es el segmento de recta que limita la cara de una figura plana, tambin se le llama lado,en laGeometra slidase le llamaaristaal segmento de recta donde se encuentran dos caras.Untetraedro, por ejemplo, tiene 6 aristas.

CARAEngeometra, unacaraes cada uno de los planos que forman unngulo diedroopoliedro, o cada uno de lospolgonosque forman o limitan unpoliedro. Por ejemplo, cualquiera de loscuadradosque limitan unhexaedro regular(cubo) es una cara del mismo.

DIAGONAL Unadiagonales todosegmentoque une dosvrticesdiagonalmente no consecutivos de unpolgonoo de unpoliedro. En sentido coloquial, una diagonal es una recta o segmento con cierta inclinacin o un conjunto de elementos alineados de esta manera.

TIPOS DE POLIEDROSPOLIEDRO REGULAR Unpoliedro regulares unpoliedrocuyascarassonpolgonos regularescongruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cadavrticedel polgono.Un poliedro regular es identificado por susmbolo de Schlflide la forma {n,m}, dondenes el nmero de lados en una cara, ymel nmero de caras que se encuentran en un vrtice. Estos poliedros son casi normales a los otros si no que tienen una sola diferencia y es que son regulares.

Poliedro regular convexoExisten cinco poliedros regularesconvexos. Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados porPlatn, quien maravillado por sus propiedades, asoci cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofa (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoci el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teora de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la gnesis de la teora molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atmica que obedece a la forma de tales poliedros

Poliedro regular no convexo A parte de los cinco poliedros regulares convexos, existen otros cuatro poliedros regularescncavos.

POLIEDROS IRREGULARES Un poliedro irregular est limitado por caras polidricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el nmero de caras no presenta lmites como ocurre con los poliedros regulares.Los poliedros irregulares ms comunes son los prismas, las pirmides y todas sus variedades.

Prismas Un prisma recto es un poliedro que tiene por base dos poliedros iguales e igualmente dispuestos, y por caras, rectngulos de los cuales dos lados opuestos son lados correspondientes de los polgonos de la base. Si sus caras fuesen como paralelogramo, se llamariaprismaoblicuo.Y un prisma se llamaraprismaregularcuando sus bases sean polgonos regulares.PRISMA RECTO PRISMA OBLICUO.* rea de la superficie. El rea de la superficie lateral de un prisma recto es igual al permetro de la base multiplicado por la altura.Si al rea lateral aadimos el rea de cada una de las bases, obtendremos el rea de la superficie total, que indicaremos con St.SI = p . hSt = p . h + 2ab*volumen de un prisma. para determinar el volumen de los prismas, hay que compararlo con un ortoedro de base un rectngulo equivalente a la base del prisma, y asi poderlo hallar con el principio de Cavalieri.El volumen de un prisma se obtiene multiplicando la base por la altura.v=base . h

Pirmides El nombre de pirmide se remonta al antiguo Egipto, referido a aquellas construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo mas de dos mil aos antes de Cristo para servir de tumbas a los reyes.Una pirmide es un poliedro limitado por un polgono y por tringulos .As, pues si la pirmide tiene de base un triangulo se llama triangular, un cuadrada, cuadrangular, etc.Cuando la base sea un polgono regular, podemos decir que es una pirmide recta de base regular, cuando la altura caiga sobre el centro de la base.ApotemaHipotenusaAlturaPirmide recta de base regular*rea de la pirmide regular. El rea de la superficie lateral de una pirmide recta de base regular se obtiene multiplicando la longitud del permetro de la base por la apotema y dividiendo el producto por dos.SI=1/2 p . aEl rea de la superficie total se obtendr aadiendo al rea lateral el rea de la base.St=1/2 p. a +A*volumen de la pirmide .El volumen de la pirmide es igual al tercio del producto de la base por la altura.v=1/3 A.h

USOS DE LOS POLIEDROS La combinacin de poliedros regulares desarrolla superficies polidricas que pueden ser aprovechadas enarquitectura,ingeniera,diseo industrial... Estas combinaciones de poliedros regulares sonpoliedros arquimedianoso elpoliedro de cataln.Las combinaciones de poliedros regulares pierden regularidad pero a la vez mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayora de los poliedros arquimedianos tienen los iguales valores angulares, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema polidrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y resistentes con materiales tan ligeros como elbamb.La combinacin de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseo industrial y tambin en arquitectura para clulas constructivas, habitaciones, mallas espaciales planas, cpulas geodsicas, etc., e incluso en pocas anteriores para cpulas de piedra (bvedas de crucera renacentistas).