Poliedross - sistema.deltacolegio.com.brsistema.deltacolegio.com.br/upload/08102016021041... · Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o número de arestas é:

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Capítulo 23 – Poliedros

1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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Poliedross

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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Superfície poliédrica fechada

É uma superfície poliédrica fechada.

Não é uma superfície poliédrica

fechada.

23.1

Uma superfície poliédrica fechada é composta de um

número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais

planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies

coincida com apenas um lado de alguma das outras

superfícies.

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Poliedro

a) b) c)

23.2

É chamado de poliedro o sólido geométrico formado

pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com

todos os pontos do espaço delimitados por ela.

Exemplos

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Elementos de um poliedro

23.3

face

aresta

vértice

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Nomenclatura de um poliedro

Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu

número de faces.

“várias” “face”

23.4

Poli edro

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Nomenclatura de um poliedro

Exemplos

a) hexaedro

6 faces

8 vértices

12 arestas

b) tetradecaedro

14 faces

16 vértices

28 arestas

c) dodecaedro

12 faces

20 vértices

30 arestas

23.4

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Nomes de poliedros estudados com maior frequência

23.4

Número de faces

4 5 6 7

Nome do poliedro

tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro

Número de faces

Nome do poliedro

8 12 20

octaedro dodecaedro icosaedro

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Se cada plano que contém uma face de um poliedro

posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço,

então o poliedro é convexo; caso contrário, é não

convexo (ou côncavo).

Poliedro convexo e poliedro não convexo

Observação:

Um plano divide o espaço em dois semiespaços de mesma

origem .

23.5

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Poliedros convexos Poliedros não convexos

Poliedro convexo e poliedro não convexo

Exemplos

23.5

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Relação de Euler

V + F – 2 = A

número de vértices

número de faces

número de arestas

23.6

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Poliedro V F A V + F V + F − 2

Relação de Euler

Observe que a relação de Euler é válida para os

poliedros abaixo.

23.6

8 6 12 14 12

6 6 10 12 10

6 5 9 11 9

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Relação de Euler

Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem

sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo.

V = 24

F = 14

A = 36

24 + 14 – 2 = 36

não convexo

23.6

Observe:

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Exercício resolvido

R1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que

tem 6 faces e 8 vértices.

Resolução

Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros

convexos, temos:

V + F – 2 = A A = 8 + 6 – 2 A = 12

Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.

23.7

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R2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces

triangulares e 5 faces quadradas?

Resolução

Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.

As 4 faces triangulares têm 12 lados (4 3) e as 5 faces

quadradas têm 20 lados (5 4). Então, o número de arestas é

dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces

consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o

poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo:

V + 9 – 2 = 16 V = 9

Portanto, esse poliedro tem 9 vértices.

23.8

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R3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de

7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e

2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas

e quantas faces tem esse poliedro?

Resolução

5 vértices com 4 arestas: (5 4) arestas = 20 arestas

2 vértices com 5 arestas: (2 5) arestas = 10 arestas

23.9

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R3.

Resolução

Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada

vértice), temos:

A = = 15

Pela relação de Euler, obtemos:

V + F = A + 2 7 + F = 15 + 2 F = 10

Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces.

23.9

20 + 102

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Poliedros de Platão

Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se,

e somente se:

é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler;

todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas;

em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m

de arestas.

23.10

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Exemplo

a) Esse poliedro é de Platão, pois:

todas as faces têm 4 arestas;

em todos os vértices concorrem

3 arestas;

ele é convexo, portanto a relação

de Euler é válida (8 + 6 – 2 = 12).

23.10

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b) Esse poliedro não é de Platão, pois,

embora seja convexo e em todos os

vértices concorra o mesmo número

de arestas, nem todas as faces têm

o mesmo número de arestas. Há

faces quadrangulares, pentagonais

e uma triangular.

23.10


Exemplo

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Classe Característica Exemplo

As cinco classes de poliedros de Platão

23.11

Tetraedro

4 faces triangulares, e em

cada vértice concorrem

3 arestas

Hexaedro

Octaedro

6 faces quadrangulares,

e em cada vértice

concorrem 3 arestas



4 arestas

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Classe Característica Exemplo

As cinco classes de poliedros de Platão

23.11

Dodecaedro

12 faces pentagonais, e em


3 arestas

Icosaedro


cada vértice concorrem 5

arestas

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Poliedros regulares

Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais

regulares e congruentes entre si.

Observações:

Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que

a compõe é regular;

Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma

medida e todos os ângulos internos congruentes.

23.12

pentágonoregular

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Poliedros regulares

Veja a seguir os cinco poliedros regulares.

23.12

tetraedroregular

hexaedroregular (cubo)

octaedroregular

dodecaedroregular

icosaedroregular

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Planificação da superfície de um poliedro

A superfície de um poliedro, que é formada por superfícies

poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal

modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos

um lado em comum com outra face.

Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada

de molde do poliedro, planificação da superfície do

poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro.

As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários

modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo

menos um de seus lados.

23.13

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Planificação da superfície de um poliedro

Exemplo

23.13

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R4. Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações.

Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as

outras 9 planificações.

23.14

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R4.

Resolução

A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada.

Estas são as outras possibilidades:

23.14

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R5. Desenhar duas planificações diferentes da superfície do

tetraedro regular.

Resolução

23.15

ou

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R6. Na planificação da superfície

de um cubo, foi assinalado

um ponto A. Marcar nessa

planificação o ponto que

coincidirá com A depois de

o cubo ser montado.

Resolução

23.16

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R7. Qual é o número de vértices

do sólido obtido ao dobrarmos

convenientemente as linhas

tracejadas da figura ao lado?

Resolução

O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7.

Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o

número de arestas é:

Como vale a relação de Euler, temos:

V = 15 – 7 + 2 ou V = 10

23.17

A =5 4 + 2 5

2= 15

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Chama-se prisma o poliedro formado por todos os

segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas

extremidades é um ponto da região P e a outra

extremidade é um ponto no plano .

Prismas

Vamos considerar dois

planos paralelos, e , uma

região poligonal P contida

em e uma reta r que

intercepta os planos e .

23.18

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Prismas

Exemplos

a) b)

c)

23.18

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Elementos de um prisma

23.19

bases: são as regiões poligonais

P e P', congruentes e situadas

em planos paralelos ( e ,

respectivamente);

faces laterais: as regiões poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc.;

arestas das bases: os segmentos AB, BC, ..., A’B’, B’C’ etc.;

arestas laterais: os segmentos AA’, BB’, CC’ etc.;

altura do prisma: a distância h entre os planos das

bases ( e ).

Considerando o prisma ao lado, temos:

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Classificação dos prismas

1o critério

Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos

e que contêm as bases:

23.20

faces laterais são retângulos

prisma reto

faces laterais são paralelogramos

prisma oblíquo

se a reta r não é

perpendicular aos planos

e prisma oblíquo

se a reta r é

perpendicular aos planos

e prisma reto

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2o critério

Consideramos o polígono que determina as bases:

23.20

Classificação dos prismas

se esse polígono é um triângulo

prisma triangular

se é um pentágono

prisma pentagonal,

e assim por diante.

se é um quadrilátero

prisma quadrangular

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Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas

bases são superfícies poligonais regulares.

Prisma regular

23.21

Este prisma não é regular, pois as suas bases não são polígonos regulares.

Este prisma é regular, pois ele é reto e as suas bases são quadradas.

Exemplos

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Paralelepípedo

Entre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em

forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos.

Esses prismas podem ser retos ou oblíquos.

23.22

Exemplos

Paralelepípedooblíquo

Paralelepípedoreto-retângulo oubloco retangular

cubo

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Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento

cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo

que não pertencem a uma mesma face.

Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo

23.23

d =

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23.23

d =

Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo

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Sabemos que: d =

Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos:

d = = =

d =

Logo, a diagonal mede cm.


R8. Calcule a medida da diagonal

do paralelepípedo ao lado.

Resolução

23.24

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R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal

excede em cm a diagonal da base.

Resolução

Sendo d a medida da diagonal do cubo e

f a medida da diagonal da base, temos, pelos

dados do problema:

d = f + ⇒ d – f =

Também temos:

23.25

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Portanto: = cm


R9.

Resolução

Por se tratar de um cubo, sabemos que: d =

Assim: d – f =

23.25

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Representações planas de prismas

Observe, a seguir, a planificação da superfície de um prisma.

Por meio dela, identificamos muitas características desse

prisma. Veja:

tem 7 faces, já que a planificação de sua superfície apresenta

7 regiões poligonais;

23.26

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Representações planas de prismas

tem bases pentagonais, pois faces pentagonais não podem

ser faces laterais de um prisma, que devem ser

necessariamente quadriláteros;

tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), já que as

pentagonais são bases;

tem 10 vértices, uma vez que cada base contém metade dos

vértices do prisma;

é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares;

tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, já

que é reto.

23.26

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Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase

Área da superfície de um prisma

Área da base (Abase): área da face que é base;

Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais;

Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das

duas bases, ou seja:

23.27

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R10. Calcular a área total da superfície

de um paralelepípedo reto-retângulo

de dimensões a, b e c (medidas

dadas em uma mesma unidade).

Resolução

Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as

bases do prisma. Assim, a área total é a soma das áreas de

seis retângulos congruentes dois a dois:

Atotal = 2ab + 2ac + 2bc ⇒ Atotal = 2(ab + ac + bc)

23.28

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R11. Calcular a área total da superfície de um cubo

de aresta a.

Resolução

Como o cubo é um paralelepípedo

reto-retângulo de arestas congruentes, temos:

Atotal = 2(a a + a a + a a)

Atotal = 6a2

23.29

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R12. Calcular a área total da superfície do prisma hexagonal

regular abaixo.

23.30

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R12.

Resolução

A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado a.

Sabemos que um hexágono regular pode ser decomposto em

seis triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero

de lado ℓ é dada por: A =

23.30

Como vimos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto,

suas faces laterais são retangulares e congruentes, de

dimensões a e h.

Assim, a área lateral é dada por: Alateral = 6 ⋅ a ⋅ h

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Portanto, a área da base do prisma é dada por:

Abase =

Logo, a área total da superfície desse prisma hexagonal é:

Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 6ah + 2 ⋅

⇒ Atotal = 3a(2h + a )

23.30

Assim, a área de um hexágono regular de lado ℓ é:

A =

R12.

Resolução

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R13. Determinar a área total da superfície de um prisma

triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as

arestas da base formam um triângulo retângulo de

catetos que medem 6 cm e 8 cm.

Resolução

O prisma tem base triangular. Assim:

Abase = = 24

23.31

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A área lateral é dada pela soma das áreas das faces

retangulares que compõem a superfície lateral. Calculando a

medida da hipotenusa do triângulo retângulo da base, temos:

x2 = 62 + 82 ⇒ x = 10

Portanto: Alateral = 6 ⋅ 12 + 8 ⋅ 12 + 10 ⋅ 12 = 288

Logo, a área total é dada por:


Atotal = 288 + 2 ⋅ 24 = 336

Portanto, a área total da superfície do prisma é de 336 cm2.

23.31

R13.

Resolução

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R14. Determinar a área total da superfície

do prisma oblíquo de base quadrada

representado ao lado, sabendo que

as faces laterais são congruentes.

Resolução

O prisma tem base quadrada. Assim:

Abase = 102 ⇒ Abase = 100

Para calcular a área de uma das faces laterais, vamos obter

a altura h.

23.32

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Assim:

Alateral = 4 ⋅ (10 ⋅ 15 ) = 600


sen 60º =

área do paralelogramo

Logo:


Atotal = 600 + 2 ⋅ 100

Atotal = 200 (1 + 3 )

Portanto, a área total da superfície do prisma é 200 (1 + 3 )cm2.

23.32

R14.

Resolução

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Volume de um prisma

O volume de um prisma corresponde a um único

número real V positivo obtido pela comparação da

porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do

espaço ocupado por uma unidade de medida de volume.

A unidade de medida de volume que usualmente

consideramos é o volume de um cubo unitário (aresta 1 u),

sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo

unitário é 1 u3.

Se a aresta do cubo unitário mede 1 m V = 1 m3

Se a aresta do cubo unitário mede 1 mm V = 1 mm3

23.33

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Volume de um prisma

Exemplo

Vamos calcular quantas vezes o cubo unitário de aresta 1 cm cabe em

um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm.

23.34

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Volume de um prisma

Exemplo

Analisando a figura, observamos que o paralelepípedo é formado

por 4 ⋅ 2 = 8 cubos unitários na base e tem 3 camadas iguais à

camada da base.

Logo, tem 3 ⋅ 8 = 24 cubos unitários no total.

Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 cubos de

1 cm3 de volume. Dizemos, então, que o volume dele é 24 cm3.

23.34

ANOTAÇÕES EM AULA



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Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c

Vcubo = a3

Volume de um paralelepípedo reto-retângulo

23.35

ANOTAÇÕES EM AULA



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Secção transversal de um prisma

Um plano intercepta um sólido através de uma superfície

chamada de secção plana. Quando a secção plana é paralela

à base do prisma, ela é denominada secção transversal.

23.36

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Dois sólidos, S1 e S2, apoiados num plano e contidos

num mesmo semiespaço, terão o mesmo volume V

se todo plano , paralelo a , secciona os dois sólidos

de modo que as secções sejam regiões planas de

mesma área (A).

23.37

Princípio de Cavalieri

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Exemplo

Sobre uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade de

cartões retangulares idênticos. A seguir, modificamos a forma da pilha

sem retirar nem pôr cartão algum. Veja a ilustração de uma possível

situação desse tipo.

23.37


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Exemplo

Observando as pilhas, é possível notar que:

a altura das duas pilhas é a mesma, pois têm a mesma quantidade

de cartões idênticos;

os cartões das duas pilhas ficam à mesma altura da mesa e têm

a mesma área, pois são idênticos;

a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, já que é formada

pelos mesmos cartões e, portanto, ocupa a mesma porção

do espaço.

23.37


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Vprisma = área da base x altura

Volume de um prisma qualquer

23.38

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R15. Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado,

com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de

massa de cimento. Qual é o volume necessário de

massa para revestir essa área?

Resolução

A camada de cimento terá a forma de um paralelepípedo

reto-retângulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura

de 4 cm. Como a espessura do revestimento é de 4 cm ou

0,04 m, o volume de massa é dado por: V = 8 ⋅ 8 ⋅ 0,04

V = 64 ⋅ 0,04 V = 2,56

Logo, são necessários 2,56 m3 de massa para o revestimento.

23.39

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R16. Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem

a forma do prisma a seguir.

23.40

ANOTAÇÕES EM AULA



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Vamos decompor a figura da casa em dois prismas.

1.) Prisma reto-retângulo

V1 = Abase ⋅ altura

V1 = 4 ⋅ 5 ⋅ 3

V1 = 60

23.40

R16.

Resolução

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2.) Prisma reto de base triangular

V2 = Abase ⋅ altura

V2 = ⋅ 5

V2 = 10

Logo, o volume total de ar contido na casa é dado por

V1 + V2, ou seja, 70 m3.

23.40

R16.

Resolução

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R17. Um reservatório de água tem a forma do

prisma hexagonal regular da figura ao lado

e está cheio. Se forem consumidos 3.000

litros, quanto baixará, em metro, o nível da

água desse reservatório?

Resolução

Vamos representar por x, em metro, quanto baixará o

nível da água no reservatório, se forem consumidos os litros

indicados. Os 3.000 litros consumidos ocupam o volume de

um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da

figura e altura de x metro.

23.41

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



A base do prisma é uma região hexagonal

regular de lado 2 m, cuja área é dada por:

Abase = Abase = Abase = 6

Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma

correspondente aos 3.000 litros:

V = Abase ⋅ x = 6 ⋅ x

23.41

R17.

Resolução

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



Como 3.000 litros = 3 m3, temos:

6 ⋅ x = 3 ⇒ x = 0,5

Portanto, o nível da água baixará 0,5 metro.

23.41

R17.

Resolução

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os

segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V

e um ponto da região S.

Pirâmides

Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S

contida em e um ponto V fora de .

23.42

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Elementos de uma pirâmide

23.43

Considerando a pirâmide desenhada

ao lado, temos:

base: a região poligonal S;

vértice da pirâmide: o ponto V;

faces laterais: as superfícies

triangulares AVB, BVC, ..., NVA;

arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;

arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;

altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e

o plano .

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Classificação das pirâmides

Consideramos o número de arestas da base:

23.44

se a base tem 5 arestas

pirâmide pentagonal,

e assim por diante.


pirâmide triangular


pirâmide quadrangular

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Representações planas de pirâmides

Até aqui, representamos pirâmides em perspectiva, como

a ilustrada abaixo.

23.45

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Representações planas de pirâmides

Como os demais poliedros, uma pirâmide também pode ser

representada por meio de planificações de sua superfície. Em

um plano, é possível justapor as faces de uma pirâmide de

diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo

menos uma aresta em comum com outra. Observe:

23.45

ou

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal

regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o

plano da base coincide com o centro O do polígono de

base é chamada de pirâmide regular.

23.46

Pirâmide regular

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


23.46

Observações:

O centro de um polígono regular coincide com o centro da

circunferência circunscrita a esse polígono.

As faces de uma pirâmide regular são determinadas por

triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo

desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.

Pirâmide regular

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Elementos das pirâmides regulares

23.47

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


23.48

Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


23.48

Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Base Figura Relação

Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares

23.49

Triângulo equilátero

ou

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



Quadrado

23.49


ou

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA




Hexágono regular

ou

23.49

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



R18. Um tetraedro regular tem arestas

medindo 10 cm. Calcular a medida

do apótema da pirâmide (g),

a medida do apótema da base (m)

e a altura da pirâmide (h).

Resolução

No ΔDMA, temos:

Como a base é uma superfície triângular equilátera, vem:

23.50

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



Agora, no ΔDMO, temos:

Portanto, as medidas são:

cm, cm e cm

23.50

R18.

Resolução

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Atotal = Alateral + Abase

Área da superfície de uma pirâmide

Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma

a base;

Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais

(superfícies triangulares);

Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base,

ou seja:

23.51

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Atotal =

Área da superfície de uma pirâmide

Observação:

Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em

função da medida ℓ da aresta, será dada por:

23.51

ANOTAÇÕES EM AULA



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R19. Determinar a área da superfície de

uma pirâmide regular hexagonal

sabendo que a aresta da base mede ℓ

e a aresta lateral mede a.

Resolução

A base da pirâmide é uma superfície hexagonal

regular de lado ℓ. Portanto, a área da base é dada por:

Abase =

23.52

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



Como a pirâmide é regular, as faces laterais são formadas por

triângulos isósceles e congruentes, que nesse caso têm base ℓ

e altura g.

No triângulo retângulo VMB, temos:

Dessa forma:

Alateral =

23.52

R19.

Resolução

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



Portanto:

Atotal = Alateral + Abase =

Logo, a área da superfície da pirâmide regular hexagonal é:

Atotal =

23.52

R19.

Resolução

=

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Propriedades das pirâmides

1a propriedade: A razão entre a área S’

de uma secção transversal de uma

pirâmide feita a uma altura h’ em relação

ao vértice e a área S da base dessa

pirâmide de altura h é:

2a propriedade: Se duas pirâmides

têm mesma altura e mesma área de

base, elas têm o mesmo volume.

23.53

ANOTAÇÕES EM AULA



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Vpirâmide triangular =

Volume de uma pirâmide de base triangular

23.54

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Vpirâmide = área da base x altura

Volume de uma pirâmide qualquer

23.55

ANOTAÇÕES EM AULA



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R20. Calcular o volume do octaedro

regular de aresta a.

Resolução

Observe que o sólido é formado

por duas pirâmides quadrangulares

regulares cuja área da base é

Abase = a2.

OB é igual à metade da medida da

diagonal do quadrado da base.

Portanto: OB =

23.56

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



R20.

Resolução

No triângulo retângulo BOE, temos:

Logo, o volume do octaedro é:

Voctaedro = 2 = 2

23.56

ANOTAÇÕES EM AULA



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R21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a.

Resolução

A área da base é a área de uma

superfície triangular equilátera de

lado a. Logo: Abase =

A altura h é tal que:

Assim:

Vtetraedro = ⇒ Vtetraedro = ⇒

⇒ Vtetraedro =

23.57

ANOTAÇÕES EM AULA



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Resolução

Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.

23.58

R22. Determinar o volume de uma

pirâmide regular hexagonal cuja

aresta da base mede 12 cm e a

aresta lateral mede 20 cm.

ANOTAÇÕES EM AULA



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Agora, vamos determinar a

medida m do apótema da base.

Como a base é um hexágono

regular, temos:

Cálculo da altura h da pirâmide:

23.58

R22.

Resolução

ANOTAÇÕES EM AULA



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Cálculo da área da base:

Abase = Abase =

Cálculo do volume da pirâmide:

Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =

Portanto, o volume da pirâmide é cm3.

23.58

R22.

Resolução

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ANOTAÇÕES EM AULA


Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e

base contida em um plano .

23.59

Tronco de pirâmide

ANOTAÇÕES EM AULA



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Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a ,

essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o

vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base

contida no plano , e o que contém a base da pirâmide

maior, denominado tronco de pirâmide, de bases

paralelas.

23.59

Tronco de pirâmide

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Considerando o tronco de pirâmide da

figura ao lado, temos:

base maior: superfície poligonal

ABCDEF;

base menor: superfície poligonal

A’B’C’D’E’F’;

faces laterais: superfícies trapezoidais

AA’B’B, BB’C’C etc.;

altura do tronco (ht): distância entre a

base maior e a base menor (ht = H – h).

Elementos de um tronco de pirâmide

23.60

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Tronco de pirâmide regular

No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que:

as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes;

as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e

congruentes;

a altura de uma face lateral é o apótema do tronco

(de medida p).

23.61

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Área da base menor (Ab): área

da superfície poligonal que forma

a base menor (A’B’C’D’E’F’).

Área da base maior (AB): área

da superfície poligonal que forma

a base maior (ABCDEF).

Área lateral (Alateral): soma das áreas dos trapézios laterais

(A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’, D’DEE’, E’EFF’ e F’FAA’).

23.62

Área da superfície de um tronco de pirâmide

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Atotal = Alateral + Ab + AB

Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das

bases menor e maior, ou seja:

23.62

Área da superfície de um tronco de pirâmide

ANOTAÇÕES EM AULA



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Razão de semelhança

Observação:

Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de

semelhança entre dois segmentos.

= ... =

23.63

ANOTAÇÕES EM AULA



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Vtronco =

Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’

Volume de um tronco de pirâmide

Observação:

Essa fórmula também é válida para pirâmides oblíquas.

ou

23.64

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ANOTAÇÕES EM AULA


R23. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de

lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas

das bases e o volume do tronco.

Resolução

AB = 102 = 100

Logo: AB = 100 cm2

Ab = 42 = 16

Logo: Ab = 16 cm2

Vtronco =

Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312

Logo, o volume do tronco é 312 cm3.

23.65


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de

volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção

feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm.

Resolução

Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k,

então a razão entre seus volumes é:

Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3.

23.66


ANOTAÇÕES EM AULA



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R25. Um tronco de pirâmide regular tem

a aresta lateral medindo dm

e bases quadradas cujos lados

medem 4 dm e 10 dm. Calcular

a área de cada base, a área lateral

e o volume do tronco.

Resolução

Cálculo da área de cada base:

Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2

AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2

23.67


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R25.

Resolução

Cálculo da área lateral:

Para calcular a área lateral, precisamos

da medida de M’M indicada na figura.

Vamos destacar a face lateral BB’C’C.

Pela figura ao lado, temos:

A área de cada face lateral

(trapézio BB’C’C) é:

ABB’C’C =

23.67


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


A área lateral do tronco de pirâmide é:

Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140;

logo: Alateral = 140 dm2

Cálculo do volume do tronco:

Para calcular o volume, precisamos

determinar a altura do tronco de pirâmide.

Observe o trapézio O’M’MO destacado:

Pela figura, temos:

23.67

R25.

Resolução


ht + 32 = 52 ht = 42

ANOTAÇÕES EM AULA



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Portanto:

Vtronco =

Vtronco =

Vtronco = 208

Logo, o volume do tronco é 208 dm3.

23.67

R25.

Resolução

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