Polígonos

Polígono equilátero : tem todos os lados congruentes (iguais)

Ex. losango, quadrado, ..., etc

Polígonos equiângulos : tem todos os ângulos internos congruentes.

Ex. quadrado, retângulo,..., etc.

Polígono regular : é equilátero e equiângulo simultaneamente.

Ex. quadrado, triângulo equilátero,..., etc.

Em todo polígono convexo de n lados (n≥3) , sendo d o número de diagonais, Si a soma das medidas dos ângulos internos e Se a soma das medidas dos ângulos externos, definimos:

Diagonal d=n⋅(n−3)

2

Ângulo interno Si=(n−2)⋅180 º

Ângulo externo Se=360 º

Look: Em todo polígono regular (tem todos os lados e

os ângulos congruentes) de n lados (n≥3) , sendo a i e

a ae medida de cada ângulo interno e externo, respectivamente:

a i=

(n−2)⋅180 ºn

ae=360 ºn ae+ai=180 º

Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:

NÚMERO DE LADOS

(OU ÂNGULOS

)

NOME DO POLÍGONO

EM FUNÇÃONº DE

ÂNGULOS

EM FUNÇÃO DONº DE LADOS

3 triângulo trilátero4 quadrângulo quadrilátero5 pentágono pentalátero6 hexágono hexalátero7 heptágono heptalátero8 octógono octolátero9 eneágono enealátero10 decágono decalátero11 undecágono undecalátero12 dodecágono dodecalátero15 pentadecágono pentadecalátero

20 icoságono icosalátero

A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo é, em radianos:a) 2π b) 3π c) 4πd) 5π e) 6π

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 36 ângulos retos. A medida em graus do ângulo externo é:a) 6 b) 9 c) 18d) 24 e) 36

Os ângulos externos de um polígono regular medem 20º. Então o número de diagonais desse polígono é:a) 90 b) 104 c) 119d) 135 e) 152

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é:a) 6 b) 7 c) 13c) 16 e) 17

(USF) O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é oa) pentágono b) hexágonoc) octógono d) decágonoe) dodecágono

(FAAP) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:a) 60°b) 45°c) 36°d) 83°e) 51°

(FUVEST) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono éa) 6 b) 7 c) 13d) 16 e) 17

(ITA) Considere as afirmações sobre polígonos convexos:I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.

a) Todas as afirmações são verdadeiras.b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.c) Apenas (I) é verdadeira.d) Apenas (III) é verdadeira.

UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ – UVAUNIVERSIDADE ABERTA VIDA – UNAVIDA

Curso de Licenciatura em matemáticaCurso de Geometria Euclidiana

Aluno:__________________________________________

e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

(UFES) Na figura acima, as retas r e s são paralelas. A soma + + + das medidas dos ângulos indicados na figura é:a) 180°b) 270°c) 360°d) 480°e) 540°

(FUVEST) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo é: a) 32°b) 34°c) 36°d) 38°e) 40°

(UNIFESP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura.Nestas condições, o ângulo mede.a) 108°.b) 72°.c) 54°.d) 36°.e) 18°.

Relações métricas num triângulo qualquer

Observe:

Relações:

1º) A medida de cada cateto é a média proporcional

(média geométrica) entre as medidas da hipotenusa e o da projeção deste cateto

ABC ABD

ac= cn⇒ c2=a⋅n

ABC ACD

ab= bm

⇒ b2=a⋅m

2ª) A medida da altura à hipotenusa é a média proporcional (média geométrica) entre as medidas das projeções dos catetos.

ABD ACD

hn=mh

⇒ h2=m⋅n

3º) O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura a essa hipotenusa.

ABC ABD

ac=bh⇒ b⋅c=a⋅h

4º) Teorema de Pitágoras:

O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

ABC a2=b2+c2

O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede 8 cm. Quanto mede a outra diagonal?3 cm d) 4 cm6 cm e) n.d.r. 5 cm

O triângulo ABC da figura está inscrito na circunferência de centro O e raio 5 cm. Se b = 6 cm e c = 8 cm, os valores de m. n e h em cm, são respectivamente.a) 1; 2 e 3b) 2; 4 e 6c) 3.2; 6.6 e 4.6d) 3.6; 6.4 e 4,8e) n.d.r

Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é:a) 0,8b) 1,4 c) 2,6d) 3,2e) 3,8

O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. Os lados deste triângulo em cm, são:a) 7, 7, 4 b) 5, 5, 8c) 6, 6, 6 d) 4, 4, 10e) 3, 3, 12

A diagonal de uma tela retangular mede 22 polegadas. Determine as dimensões da tela, sabendo que a razão entre os lados é 3/4 .a) 13,2 e 17,6 b) 14,2 e 18,4c) 12,6 e 16,4 d) 15,5 e 19,5e) 11,8 e 15,2

Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se

afastar mais 8 dm do muro, determine o deslocamento efetuado pela extremidade superior da escada.Determine a hipotenusa de um triângulo retângulo e isósceles cujo perímetro é igual a 2 unidades.

Os lados de um retângulo de área 12 m2 estão na razão 1: 3. Qual o perímetro do retângulo.

Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64 m e os

ângulos adjacentes são iguais ao arc cos

725 . Calcule a

área do triângulo.

Num trapézio retângulo, o menor ângulo é 5/7 do maior. Determine a medida dos seus ângulos internos.

A soma de dois ângulos é 126º e um deles é o dobro do complemento do outro. Determine esses dois ângulos.

Calcule os ângulos de um triângulo, sabendo que eles são proporcionais aos números 1, 2 e 5.

O lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede 4 cm. Calculeo raio da circunferênciao apótema do hexágonoa área do hexágonoa área do circulo circunscritoa área do circulo inscrito

Calcule a razão entre as áreas dos hexágonos regulares inscritos e circunscritos a uma mesma circunferência.

O lado de um quadrado mede 8 cm. Calcule as áreas do circulo inscrito e do circulo circunscrito ao quadrado.

Uma tora de madeira tem secção circular de comprimento igual a 62,8 cm. Calcule o lado da maior secção quadrangular que pode ser obtida na tora.

(adote π=3 ,14 )

A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita em um quadrado de lado 2 é:

a) 2 b) √2 c)2√2

d)

√22 e) n.d.r

Calcule a razão entre as áreas dos círculos, circunscrito e inscrito em um triangulo equilátero.

Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de 5 cm de raio. Sabendo que A e B são extremidade de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm, a área do triangulo ABC, em centímetros quadrados, vale:

a) 24 b) 12 c)

5√32

d) 6√2 e) 2√3

O apótema de um hexágono regular é igual à altura de um triângulo equilátero, cujo lado mede 4 cm. A área do hexágono é, em centímetros quadrados, de:

a) 4 √3 b)24 √3 c) 16√3

d)8√3 e) 18√3É dado um hexágono regular de lado 2. A área da figura que se obtém eliminando do hexágono a sua intersecção com os seis círculos de raios unitários e centros, respectivamente, nos vértices do hexágono é:

6√3−2 π3√6−π√6−√3 π6 (√3−π )n.d.r Triângulos

A soma da medida do ângulo interno de qualquer triângulo é sempre 180º.

Mediana é o segmento de reta que une um vértice qualquer ao ponto médio do lado oposto a este ângulo.

O encontro das três medianas de um triângulo é denominado baricentro do triângulo.

Se o triângulo for equilátero à distância do vértice até o baricentro mede 2/3 da altura e do baricentro até o ponto médio de um dos lados mede 1/3 da altura.

A altura de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto a este vértice.

O encontro das três alturas de um triângulo qualquer é denominado ortocentro do triângulo.

A bissetriz é um segmento de reta que divide um ângulo interno de um triângulo qualquer em dois ângulos iguais (divide um ângulo em duas partes iguais).

Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida de sua altura em 20%, a área desse retângulo aumenta em:a) 20% b) 22% c) 30%d) 32% e) 40%

Considere as afirmações:I – Todo retângulo é um paralelogramo.II – Todo quadrado é um retângulo.III – Todo losango é um quadrado.Associe a cada uma delas a letra V (verdadeira) ou F (falsa). Na ordem apresentada temos:a) F F F b) F F Vc) V F F d) V V Fe) Ndr.

Assinale a afirmativa falsa:Todo quadrado é um retânguloTodo quadrado é um losangoTodo losango é um paralelogramo

Todo retângulo é um paralelogramoTodo trapézio é um paralelogramo.

Algumas relações de posição de pontos, retas e planos.

Quais são os tipos de proposições usadas em mate- mática e em particular na geometria?

Existem 3 tipos de proposições: {axiomapostuladoteorema

O que é um axioma?É uma proposição que para ser aceita não necessita de demonstração por ser evidente por si mesma.Ex: "Duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si." Se A = C e B = C então A = B

O que é um postulado? É uma proposição que deve ser aceita sem demonstração mesmo não sendo evidente por si mesma.Ex: Postulado de Euclides : "Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma paralela a esta reta." Os postulados são usados como base das ciências. O Postulado de Euclides é uma das bases da

geometria, que por este motivo é denominada de Geometria Euclidiana.

OBS: Existem outras geometrias que não aceitam o Postulado de Euclides e que por este motivo são chamadas de Geometrias não Euclidianas. São as geometrias de Lobatchevski, Riemann,

Bolyai, denominadas de geometrias não euclidianas.O físico Albert Einstein e o matemático David Hilbert, estabeleceram as bases da teoria da relatividade restrita e da relatividade geral utilizando as ferramentas fornecidas pelo cálculo infinitesimal e a geometria de Riemann

O que é um teorema? É uma proposição que para ser aceita necessita de demonstração.Os teorema são formados por 3 partes:

Hipótese - é a proposição que inicialmente se admite como verdadeira.

Tese - é a proposição que deve ser demonstrada. Demonstração - é o raciocínio que usamos para

evidenciar a tese a partir da hipótese.

Como podemos definir a posição de uma reta a partir do ponto?Por um ponto podemos traçar uma infinidade de retas.Por dois pontos só podemos traçar uma reta, e, portanto dois pontos definem a posição de uma reta.

Como podemos definir a posição de um plano a partir do ponto?Por dois pontos podemos traçar uma infinidade de planos.Por três pontos não colineares só podemos traçar um plano, e, portanto três pontos não colineares definem a posição de um plano.

Como podemos definir a posição de um plano a partir da reta? Por uma reta podemos traçar uma infinidade de planos.Por duas retas concorrentes só podemos traçar um plano, e, portanto duas retas concorrentes definem a posição de um plano.

Posições relativas entre retas e planos O que são retas coplanares?O que são retas reversas?O que são retas paralelas?

Os cinco axiomas de Euclides

I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos.II: Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta.III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.IV: Todos os ângulos retos são iguais.V: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos. (Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a reta dada).

OS: O quinto axioma permanece sem ser provado até hoje, não se constituindo um teorema, apesar de vários matemáticos famosos tê-lo tentado fazer.