Polinom Oman

8/19/2019 Polinom Oman

1/25

Inele de polinoame

Dr. Vattam´ any Szabolcs

1 Introducere

Scopul acestui curs este s ă prezinte cititorului polinoamele peste mult , imeanumerelor ı̂ntregi, rat , ionale, reale s, i complexe.Utiliz ăm notat, ia uzual ă: Zmult, imea numerelor ı̂ntregi, Q mult, imea numerelor rat, ionale, R mult, imea nu-

merelor reale, C mult,

imea numerelor complexe. Dup ă claricarea not,

iunilorfundamentale prezent˘am algoritmul euclidian, apoi facem cunos, tint, ă cu anal-iza rădăcinilor polinomului. În nal claricăm care sunt polinoamele ire-ductibile (prime) peste diverse mult , imi de numere.

2 Polinoame

Vă amintim c ă, o structur˘a algebrică cu două operat, ii (R, + , ·) este ineldacă fat, ă de adunare este grup abelian (adic˘a operat, ia este asociativ ă, ex-ist ă element nul, ecare element are element invers s, i operat, ia este comu-

tativ ă), fat, ă de ı̂nmult , ire este semigrup (adic ă ı̂nmult , irea este asociativ ă) s, iı̂nmult , irea este distributiv˘a fat, ă de adunare. Vorbim despre inel comuta-tiv dac ă ı̂nmult , irea este comutativ˘a, vorbim despre inel cu element unitatedacă exist ă (fat, ă de ı̂nmult , ire) element unitate. Dac˘a produsul a dou ă ele-mente nenule difer ă de zero, atunci inelul este făr ă divizori ai lui zero. Inelelecomutative, cu element unitate, f˘ ar ă divizori ai lui zero, sunt domenii de in-tegritate. Structura algebric˘ a cu două operat, ii (K, + , ·) este corp dacă ineluls, i elementele diferite de zero formează un grup abelian fat, ă de ı̂nmult , ire.Inele sunt urm ătoarele:

http://www.huro-cbc.eu1

http://www.huro-cbc.eu/http://www.huro-cbc.eu/


2/25

(1) (Z, + ,

·),

(2) (P, + , ·), unde P este mult, imea numerelor ı̂ntregi pare,(3) mult, imea matricilor n ×n, unde cele două operat, ii sunt adunarea matri-cilor s, i ı̂nmult , irea matricilor.Este clar că, (1) este domeniu de integritate, (2) este comutativ dar nu cont , ineelementul unitate, (3) are elementul unitate dar nu este comutativ (dac˘ an ≥ 2) s, i este făr ă divizor a lui zero. Exemple pentru corpuri: ( Q, + , ·),(R, + , ·), (C, + , ·).Denit

,ie 1. Fie R domeniu de integritate. Polinoamele cu o singur˘ a nede-

terminat˘ a peste R sunt expresii formale de forma

a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ an xn =n

i=0

a i xi

(a i ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, n ∈ N) – cu condit , ia ca, pentru n ≤ m expresiile ni=0 ai x

i , m j =0 b j x j (a i , b j ∈R) indic˘ a acelas , i polinom, dac˘ a s , i numai dac˘ a

a0 = b0, a1 = b1, . . . , a n = bn , bn +1 = . . . = bm = 0.

Elementele din R care gureaz˘ a ı̂n expresie, sunt coecient ,ii polinomului.

Conform acestora, dou˘ a polinoame sunt egale dac˘ a s ,i numai dac˘ a coecient

,ii

lor coincid pe rˆ and. Mult ,

imea polinoamelor cu o singur˘ a nedeterminat˘ a peste domeniul de integritate R este R[x].

Convenim să nu scriem termenii de forma 0x i (i ≥1) a unui polinom dinR[x], respectiv ı̂n loc de 1xi (i ≥1) scriem xi .Denit

,ie 2. Prin suma lui f, g ∈ R[x], f =

ni=0 ai x

i , g = m j =0 b j x

j

ı̂nt ,elegem polinomul

f + g =max (n,m )

l=0

(a l + bl)xl

, unde bm +1 = . . . = bn = 0, dac˘ a n > m , s ,

i an +1 = . . . = am = 0, dac˘ a m > n . Produsul celor dou˘ a polinoame:

fg =n + m

l=0

(i+ j = l

a i b j )xl .

Pentru transparent , ă scriem operat, ia de adunare s, i de ı̂nmult , ire introduseacum, făr ă notat, ii prescurtate. Dac˘a

f = an xn + an − 1xn − 1 + · · ·+ a0, g = bm xm + bm − 1xm − 1 + · · ·+ b0,

2


3/25

s, i n

≥m, atunci s ă complet ăm pe g astfel ı̂nc ât bm +1 = . . . = bn = 0, atunci

f + g = ( an + bn )xn + ( an − 1 + bn − 1)xn − 1 + · · ·+ a0b0.fg = an bm xn + m + ( an bm − 1 + an − 1bm )xn + m − 1 + · · ·+ ( a1b0 + a0b1)x + a0b0.

Exercit,iu 1. S˘ a determin˘ am suma s

,i produsul polinoamelor x3−2x2 +3 x−4s

,i 3x2 −x + 2 din Z[x]!

Rezolvare.

(x3 −2x2 + 3 x −4) + (3 x2 −x + 2) = x3 + x2 + 2 x −2(x3

−2x2 + 3 x

−4)(3x2

−x + 2) =

= 3 x5 −x4 + 2 x3 −6x4 + 2 x3 −4x2 ++9 x3 −3x2 + 6 x −12x2 + 4 x −8 =

= 3 x5 −7x4 + 13 x3 −19x2 + 10 x −8.Observat

,ie: Este clar că polinoamele care gurează ı̂n exercit, iu le putem con-

sidera nu doar polinoame peste numere ı̂ntregi ci s , i peste numere rat, ionale,reale s, i complexe, deoarece ecare dintre aceste mult, imi de numere (cuexcept, ia primei mult, imi) o cont, ine pe cea precedent ă (mai precis submult, imeaizomorfă cu cea precedent ă). Însă, sub aspectul descompunerii pe care o s ă-

l discut ăm mai t ârziu, este esent, ial să claricăm că un polinom dat estepolinom peste care mult, ime de numere , deoarece de acest fapt depinde com-portamentul s˘au.

Prin aplicarea direct˘a a denit, iilor se poate demonstra armat , ia de mai jos.

Teoremă 1. ˆ In cazul unui domeniu de integritate arbitrar R , R[x] formeaz˘ a domeniu de integritate cu cele dou˘ a operat

,ii introduse.

Demonstrat ̧ie. Este evident c ă elementul nul a lui R[x] este polinomul con-stant 0 s, i opusul lui f =

ni=0 ai x

i este polinomul f =

ni=0 (−a i )xi ∈R[x].Deoarece ı̂nmult , irea este asociativ ă s, i distributiv ă ı̂n R fat, ă de adunare (din

R), atunci ı̂nmult , irea din R[x] este asociativă. De asemenea, se observă us, orcă elementul unitate este polinomul constant 1, comutativitatea ı̂nmult , irii s, iinexistent, a divizorilor lui zero se mos, tenesc din R.

Denit,ie 3. Dac˘ a f =

ni=0 ai x

i

∈ R[x] s , i an = 0 , atunci spunem c˘ a num˘ arul n este gradul polinomului, iar elementul an coecientul principal al polinomului. Dac˘ a coecientul principal al polinomului este 1, atunci pe f ı̂l numim polinom principal. S˘ a c˘ adem de acord c˘ a gradul polinomului nul este

−1. Pentru gradul lui f introducem notat , ia f ∗ .

3


4/25

3 Element prim, element ireductibil

În cele ce urmează, dac ă nu se specică altfel, atunci R este domeniude integritate, astfel s , i R[x] este de domeniu de integritate. Denit , iile s, iarmat, iile prezentate ı̂n acest capitol le-am putut dezbate ı̂ntr-un domeniude integritate oarecare.

Denit,ie 4. Spunem c˘ a f ∈ R[x] este divizorul polinomului g ∈ R[x] (sau g este multiplu a lui f ) dac˘ a exist˘ a h ∈ R[x], astfel ı̂ncˆ at fh = g. Acesta ı̂l not̆ am cu simbolul f | g. Divizorii elementului unitate ı̂i numim unit˘ at , i.Dac˘ a f |g s , i g |f se ı̂ndeplinesc concomitent, atunci pe f s , i pe g le numim asociate, notat

,ia acestora este f

∼g.

Concluzie 1. Asociativitatea este o relat ,ie de echivalent

,˘ a. f ∼g exist˘ a dac˘ a s

,i numai dac˘ a exist˘ a o unitate u∈R[x] , pentru care fu = g.

Demonstrat ̧ie. Dacă f ∼g, atunci s, i f | g s, i g | f sunt ı̂ndeplinite, de aceeasau f = g = 0 sau nici f s, i nici g nu sunt egale cu 0. În acest caz din urm ă,exist ă unit ăt, i u, v ∈ R[x] , astfel ı̂ncât fu = g s, i gv = f . Atunci fuv = f ,iar de aici rezult ă că fuv −f = f (uv −1) = 0 . Deoarece f = 0 s, i R[x] estefăr ă divizori ai lui zero, atunci uv −1 = 0, adic ă rezult ă uv = 1 , deci s, i u,s, i v este unitate. Invers, dac˘a u∈R[x] este unitate s, i fu = g, atunci exist ăv ∈R[x], pentru care uv = 1 s, i astfel f |g s, i g |gv = f uv = f , adică f ∼g.Toate cele trei proprietăt , i a relat, iei de echivalent, ă rezult ă direct dindenit, ie. Ca exemplu prezent ăm tranzitivitatea. Dac˘ a f ,g, h ∈R[x], respec-tiv este ı̂ndeplinit f ∼g s, i g ∼h, atunci fu = g s, i gv = h, unde u, v ∈R[x]sunt unit˘at, i. Astfel fuv = h, s, i deoarece s, i u, s, i v divide elementul unitate,atunci s, i produsul lor ı̂l va divide.

Exemplu: (i) Unit ăt, ile lui Z[x] sunt polinoamele constante 1 s, i −1, astfelf, g ∈Z[x] sunt asociate, dac ă s, i numai dac ă f = g sau f = −g.(ii) unit ăt, ile lui Q[x] sunt polinoame constante diferite de 0, de aceea dou˘apolinoame (nu numai peste Q , ci s, i peste un corp arbitrar) sunt asociate,

dacă s, i numai dac ă unul este multiplul celuilalt cu constanta diferit˘ a de 0.Denit

,ie 5. Dac˘ a f, g ∈ R[x] s , i f | g, dar f s , i g nu sunt asociate, atunci f este divizorul propriu-zis a lui g. Un h ∈ R[x] este cel mai mare divizor comun a lui f s

,i a lui g, dac˘ a h | f s , i h | g, respectiv dac˘ a exist˘ a s , i h | f s

,i h | g, atunci h | h. Cel mai mare divizor comun a lui f s , i g ı̂l not̆ am cu (f, g ). Spunem c˘ a polinoamele f s

,i g sunt relativ prime, dac˘ a (f, g )∼1.Polinomul m∈R[x] este cel mai mic multiplu comun a lui f s , i g, dac˘ a f |ms

,i g |m, respectiv dac˘ a exist˘ a s , i f |m s , i g |m , atunci m | m .

4


5/25

Observat ,ie: Nu este sigur dacă ı̂n orice domeniu de integritate dou˘ a elemente

arbitrare au cel mai mare divizor comun.Denit

,ie 6. f ∈ R[x] este ireductibil dac˘ a, f nu este polinom nul, nu este unitate s

,i f ı̂n afar ̆a de asociat

,e proprii nu are alt divizor. ˆ Il numim pe f

element prim dac˘ a, nu este polinom nul, nu este unitate s ,i pentru elemente

arbitrare g, h ∈ R[x], dac˘ a f | gh, atunci f | g sau f | h. Spunem c˘ a descompunerea f = gh (g, h ∈ R[x]) a elementului f ∈ R[x] este trivial˘ a dac˘ a dintre g s ,i h unul este unitate, iar cel˘ alalt este asociatul lui f .

Concluzie 2. Fie f ∈R[x] un polinom diferit de zero s , i de unitate. Polino-mul f este ireductibil, dac˘ a s ,i numai dac˘ a poate descompus doar trivial ca

produsul a dou˘ a elemente din R[x].Observat

,ie: Cele două not, iuni, element ireductibil s, i element prim ı̂n R[x]

coincid. Se poate observa us, or că ı̂ntr-un domeniu de integritate arbitrar ele-mentele prime sunt ireductibile deoarece, dac˘ a D este domeniu de integritates, i q ∈ D element prim, atunci pentru q = uv (u, v ∈ D) avem q | uv, astfelca urmare a faptului c ă sunt prime q | u sau q | v. Deoarece u | q s, i v | q sunt ı̂ndeplinite trivial, atunci q ∼ u sau q ∼ v, adică descompunerea estetrivial ă, astfel q este ireductibil. Invers, adic ă elementele ireductibile sunt s, iprime, nu se ı̂ndeplines , te un domeniu de integritate arbitrar. La aceasta sereferă următorul

Exemplu: Z[i√ 5] = {a + ib√ 5 | a, b ∈ Z}. Dacă prin suma s, i produsula două elemente din Z[i√ 5] ı̂nt, elegem suma s, i produsul uzual a numerelorcomplexe, atunci ( Z[i√ 5], + , ·) este domeniu de integritate. Este clar c˘a s, isuma s, i produsul a dou ă numere complexe de acest fel vor avea aceast ă formă,deci operat, iile rămân ı̂n mult , ime. Elementul nul este 0 = 0+0 i√ 5, opusul luia + ib√ 5 este −a −ib√ 5, elementul unitate este 1 = 1+0 i√ 5, asociativitateas, i comutativitatea ı̂nmult , irii s, i inexistent, a divizorilor lui zero sunt ı̂ndepliniteevident prin operat , ia dintre numerele complexe, deoarece ( C, + , ·) este corp.Să privim descompunerile propriu-zise 9 = 3 ·3 = (2+ i√ 5)(2−i√ 5)! Fiecarefactor este ireductibil ı̂n Z[i√ 5], dar nu sunt primi, deoarece 3 | 9 = (2 +i√ 5)(2 −i√ 5), dar nu divide (̂ın Z[i√ 5]) pe niciunul dintre factori.Observat

,ie: Pentru ca ı̂ntr-un domeniu de integritate arbitrar elementele

ireductibile s ă e s, i prime, este sucient ca oricare dou ă elemente diferitede zero să aibă cel mai mare divizor comun. Fiindcă, atunci este valabil̆ aproprietatea generalizat˘ a a numerelor prime: dac ă a | bc s, i (a, b)∼1, atuncia | c. Dacă aceasta exist˘a, să presupunem c ă p este ireductibil, p | ab s, i p nudivide pe a, atunci din caracterul ireductibil a lui p rezult ă că ( p, a)∼1, iarconform propriet̆ at, ii generalizate a numerelor prime din acesta rezult˘ a exact p | b .

5


6/25

4 Inelul polinoamelor peste un corp

În acest capitol K indică un corp oarecare, astfel K [x] este domeniu deintegritate, pe deasupra oricare dou˘ a elemente diferite de elementul zero aunui corp, adic ă coecientul principal a dou ă polinoame din K [x] le putemı̂mp ărt, i ı̂ntre ele.

Teoremă 2. Fie f, g ∈ K [x] s , i s˘ a presupunem c˘ a g nu este polinom nul.Atunci exist˘ a ı̂n mod clar polinoame q, r∈K [x] , pentru care f = gq + r,

unde r∗ < g∗.

Demonstrat ̧ie. Fie

f = an xn + an − 1xn − 1 + . . . + a0 (a i ∈K )g = bm xm + bm − 1xm − 1 + . . . + b0 (bi ∈K, bm = 0) .

Dacă n < m , atunci f = g ·0 + f . Dacă m < n , atunci s ă ı̂mp ărt, im primultermen a lui f (pe an xn ) cu primul termen a lui g (cu bm xm ), acesta s ă-lı̂nmult , im cu g s, i să sc ădem produsul din f . Să not ăm diferent, a cu f 1.

f − anbm

xn − m g =: f 1. (1)

Deoarece primul termen a lui f se elimină sigur, coecientul lui xn va astfel 0, de aceea gradul lui f 1 este sigur mai mic, decât gradul lui f , adicăf ∗1 < f ∗. Dacă f ∗1 < g∗, atunci am terminat procedeul, dac˘ a f ∗1 > g∗, atuncisă repet ăm procedeul anterior pentru polinoamele f 1 s, i g . Dacă coecientulinit, ial a lui f 1 este cl s, i astfel gradul său este l ≤n −1, atunci

f 1

−

cl

bmxn − m − lg =: f 2, (2)

unde f ∗2 < f ∗1 , adică f ∗2 < n −2. Dacă f ∗2 < g∗, atunci am terminat, dac˘ af ∗2 ≥g∗, atunci s ă repet ăm procedeul pentru polinoamele f 2 s, i g, s, i as, a maideparte. Atuncif ∗ > f ∗1 > f

∗

2 > . . .

s, i astfel ajungem oricum la egalitatea

f k − rtbm

xn − m − t g =: f k +1

6


7/25


8/25

Deci

x5 + 2 x4 −3x3 + 2 x2 + 2 x −1 = ( x3 + 3 x2 −2x −1)(x2 −x + 2) −5x2 + 5 x + 1 ,adică q = x2 −x + 2 s, i r = −5x2 + 5 x + 1.Denit

,ie 7. Numim domeniul de integritate R inel euclidian, dac˘ a exist˘ a o

aplicat ,ie numit˘ a norm˘ a euclidian˘ a : R → N, pentru care se ı̂ndeplinesc urm˘ atoarele

(i) 0 = 0 s , i pentru orice element a∈R diferit de 0 avem a > 0;(ii) pentru elemente arbitrare a, b ∈ R se ı̂ndeplines , te, dac˘ a a | b s , i b = 0 ,atunci

a

≤b ;

(iii) pentru orice elemente a, b ∈ R, b = 0 , exist˘ a elemente q, r ∈ R, astfel ı̂nc ̂at a = bq + r s ,i r < b .

Se poate observa că ı̂n inelele euclidiene exist ă ı̂mp ărt, ire cu rest, dar nupretindem unanimitatea.

Concluzie 3. Inelul polinoamelor K [x] peste un corp arbitrar K este inel euclidian dac˘ a norma euclidian˘ a a lui f ∈ K [x] o interpret˘ am cu condit , ia f := f ∗+ 1 .Denit

,ie 8. Fie f, g

∈ K [x], g

= 0 . Numim algoritm euclidian urm˘ atorul

procedeu: s˘ a ı̂mp ̆art , im cu rest pe f cu g. Dac˘ a restul astfel obt , inut nu este 0, atunci s˘ a ı̂mp ̆art

,im pe g cu restul obt

,inut. Dac˘ a nici restul astfel obt

,inut

nu este 0, atunci s˘ a ı̂mp ̆art ,im ı̂mp ̆art

,itorul acestei ultime ı̂mp˘ art

,iri cu restul

ı̂mp ̆art ,irii s

,i as

,a mai departe.

f = gq 1 + r2, r 2 < g ,g = r2q 2 + r3, r 2 < r 3 ,...

r i − 1 = r i q i + r i+1 , r i+1 < r i ,...

r n − 2 = rn − 1q n − 1 + rn , r n < r n − 1 ,r n − 1 = rn q n .

Observat ,ie: Procedeulı̂l putem continua pˆ ană când obt, inem rest 0. Deoarece

g > r 2 > · · · este un s, ir strict monoton descresc˘ator de numere ı̂ntreginenegative, atunci procedeul trebuie s˘a ia sfârs, it dup ă un num ăr nit de pas, i(ı̂n cel mult g număr de pas, i). Dacă ultimul rest diferit de 0 este rn , atunciprocedeul a luat sf ârs, it.

8


9/25

Figura 1: Statuia lui Euclide ı̂n Oxford

Teoremă 3. Dac˘ a f, g ∈ K [x], g = 0 , atunci ultimul rest diferit de 0 al algoritmului euclidian efectuat pe polinoamele f s ,i g va cel mai mare divizor

comun a lui f s ,i g .

Demonstrat ̧ie. Utilizăm notat, ia din denit, ie. Înaint ând ı̂n sens invers pe

ecuat, iile algoritmului, rezult˘a următoarele constat˘ari. Conform ultimei ecuat , iir n |r n − 1. Din aceasta s, i din penultima ecuat , ie rezultă că rn | r n − 2. Înaint ândı̂n sens invers, din urm˘atoarea ecuat , ie rezultă că r n | r n − 3, continu ând, din adoua ecuat, ie rezultă că rn |g, iar din prima ecuat, ie că rn |f .Dacă h | f s, i h | g, atunci din prima ecuat , ie rezultă că h | r2, apoi dinecuat, iile următoare rezult˘a pe rând că h | r3, . . . , r n , astfel am demonstratcă rn este cel mai mare divizor comun.

Concluzie 4. ˆ In inelul polinoamelor K [x] peste un corp, dou˘ a polinoame oarecare au cel mai mare divizor comun.

Exercit,iu 3. S˘ a determin˘ am ı̂n Q[x] cel mai mare divizor comun al poli-

noamelor f = x4 + x3 −3x2 −4x −1 s , i g = x3 + x2 −x −1! Rezolvare. Prin metoda v ăzut ă ı̂n exercit, iul anterior efectu ăm ı̂mp˘art, irile curest. Rezult ă pe rând urm ătoarele:

(x4 + x3 −3x2 −4x −1) : (x3 + x2 −x −1) = x±x4 ±x3∓ x2∓ x

−2x2 −3x −19


10/25

(x3 + x2 − x −1) : (−2x2 −3x −1) = −12x + 14±x3 ±

32

x2 ± 12

x

− 12

x2 − 32

x −1

∓12

x2∓ 34

x∓ 14

− 34

x − 34

( −2x2 −3x −1) : (−34

x − 34

) = 83

x

∓2x2∓2x

− x −1

(−34

x − 34

) : (−x −1) = 34

,

adică conform formei cunoscute la algoritmul euclidian

x4 + x3

−3x2

−4x

−1 = ( x3 + x2

−x

−1)x + (

−2x2

−3x

−1)

x3 + x2 −x −1 = (−2x2 −3x −1)(−12x + 14) + ( −34x − 34)

−2x2 −3x −1 = (−34

x − 34

)83

x + ( −x −1)

−34

x − 34

= (−x −1)34

,

astfel polinomul −x −1 este cel mai mare divizor comun al polinoamelor f s, i g.Următoarele dou ă teoreme le enunt, ăm pentru inele euclidiene. As, a cum

am observat, inelul polinoamelor K [x] peste corpul arbitrar K este ca atare.Ca o consecint, ă a acestora rezult ă teorema fundamental˘a a teoriei poli-noamelor.

Teoremă 4. Dac˘ a ı̂n inelul euclidian R , b ∈ R nu este zero s , i a ∈ R este divizorul propriu-zis a lui b, atunci a < b .Demonstrat ̧ie. Să presupunem c ă b = 0. Demonstr ăm că, dacă a = b ,atunci a ∼ b. Să ı̂mp ărt, im cu rest pe a cu b: a = bq + r , r ≤ b = a

10


11/25

cu elemente potrivite q s, i r . Deoarece a

| b, atunci a

| a

−bq = r, astfel

r < a s, i a | r poate exista doar dac ă r = 0. Deci este ı̂ndeplinit s, i b | a ,adică a∼b.Teoremă 5. ˆ In inelul euclidian ecare element diferit de zero s

,i de unitate

(f˘ acˆ and abstract ,ie de la ordine s

,i de la elementul unitate) se descompune

explicit ı̂n produsul elementelor ireductibile (prime).

Demonstrat ̧ie. Dacă a este elementul diferit de zero s, i de unitate a unui ineleuclidian, atunci form ăm un s, ir

a(= a0), a1, a2, . . .

, unde ı̂ncep ând de la al doilea, ecare termen este divizor propriu-zis pen-tru termenul care ı̂l precede. Acest s , ir poate avea doar un num˘ar nit determeni, deoarece norma termenilor seriei formeaz˘a o serie strict monoton de-screscătoare format˘a din numere naturale. Evident, ultimul termen al serieieste ireductibil.

Demonstr ăm că, prin acest procedeu a poate descompus - făcând abstract , iede elementul unitate - ca produs al elementelor ireductibile. Prin procedeulanterior am obt , inut factorul ireductibil p1. Dacă a ∼ p1, atunci armat , iaeste adev ărat ă. Dacă a

∼ p1c1, unde c1 este divizorul propriu-zis a lui a,

atunci c1 are un factor ireductibil p2. Dacă c1 ∼ p2, atunci c1 ∼ p2c2, undec2 este divizorul propriu-zis a lui c1. Astfel, sau a ∼ p1 p2 sau a ∼ p1 p2c2.Continu ând procedeul obt, inem un s, ir c1, c2, . . . . Ca s, i mai devreme, s, i acestapoate s ă cont, ină doar un num ăr nit de termeni s, i ultimul termen este ire-ductibil cn = pn . Prin urmare a∼ p1 p2 . . . pn .

Demonstr ăm că descompunerea este univoc ă, să presupunem c ă

a∼ p1 p2 . . . pn ∼q 1q 2 . . . q m ,unde e n

≤ m. Evident p1 divide pe q 1q 2

· · ·q m . Deoarece elementele

ireductibile sunt s, i prime, atunci p1 divide pe careva q i . În partea dreapt˘a,prin modicarea potrivit˘a a ordinii se poate obt, ine p1 | q 1. Dar s, i q 1 esteprim, de aceea p1 ∼q 1. Împărt, ind ambele p ărt, i cu p1 ∼q 1, rezult ă că

p2 . . . pn ∼q 2 . . . q m .Repet ând procedeul anterior rezult˘a pe rând urm ătoarele: p2 ∼ q 2, p3 ∼q 3, . . . , pn ∼q n . De aceea n = m s, i făcând abstract , ie ı̂n mod univoc de ordines, i de unitate a poate descompus ca produsul elementelor ireductibile.

11


12/25

Concluzie 5. Fie K un corp oarecare. Orice polinom neconstant f

∈ K [x]

poate scris sub forma – s , i anume f˘ acˆ and abstract , ie ı̂n mod univoc de ordinea factorilor –

f = aq 1 . . . q n ,

unde a ∈ K, (a = 0) este coecientul principal a lui f , iar q 1, . . . q n ∈ K [x]sunt polinoame principale ireductibile.

5 Valorile de substitut,ie s

,i r̆adăcinile poli-

noamelor

În acest capitol, dac ă nu se specică altfel, R este un inel comutativ, cuelement unitate.

Denit,ie 9. Fie f =

ni=0 ai x

i un polinom oarecare din R[x], respectiv c∈R. Prin valoarea de substitut , ie a polinomului f luat ı̂n locul c, ı̂nt , elegem elementul

f (c) =n

i=0

a i ci

a inelului R.

Teoremă 6. ˆ In cazul unui polinom oarecare f ∈R[x] s , i element c∈R exist˘ a un polinom q ∈R[x], pentru care f = ( x −c)q + f (c).Demonstrat ̧ie. Fie f = ni=0 ai x

i , (a0, a1, . . . , a n ∈R). Atunci pentru diferent , af −f (c)f −f (c) =

n

i=0

a i xi −n

i=0

a i ci =n

i=0

a i (x i −ci ).Deoarece xi −ci = ( x−c)(x i− 1 + cxi − 2 + · · ·+ ci− 2x + ci− 1), atunci ( x−c) poate scos din ecare termen, s, i de aceea există un polinom q

∈R[x], pentru care

f −f (c) = ( x −c)q , adică f = ( x −c)q + f (c).Analizăm dac ă cunoas, tem coecient, ii lui f s, i pe c, cum putem calcula

polinomul q s, i f (c). Reiese s, i faptul că, q este univoc denit.

Este evident c ă, dacă f este polinom constant, atunci f −f (c) = 0, astfelq = 0. În caz contrar q este cu un grad mai mic, decât f . Fie n ≥1,

f =n

i=0

a i xi (a0, a1, . . . , a n ∈R, a n = 0) , q =n − 1

i=0

bi x i (b0, . . . , bn − 1 ∈R).

12


13/25

Figura 2: William George Horner (1786-1837) matematician englez

Atuncin

i=0

a i x i = f = ( x −c)q + f (c) = ( x −c)n − 1

i=0

bi xi + f (c).

Este clar că coecient, ii polinoamelor aat, i de ambele părt, i ale egalităt, ii tre-buie să e ı̂n concordant , ă, de aceea

coecientul lui xn : an = bn − 1,coecientul lui xi : ai = bi − 1 −cbi (i = n −1, . . . , 1),coecientul lui x

0

: a0 = −cb0 + f (c).rearanjatbn − 1 = an ,bi − 1 = ai + cbi (i = n −1, . . . , 1),f (c) = a0 + cb0.

Coecient, ii se aranjează de obicei sub următoarea form ă tabelar ă, numit ăschema Horner :

an an − 1 . . . a1 a0c bn − 1 = an bn − 2 = cbn − 1 + an − 1 . . . b0 = cb1 + a1 f (c) = cb0 + a0

Exercit,iu 4. S˘ a calcul˘ am cu ajutorul schemei Horner valoarea de substitut

,ie

a polinomului f = x4 −3x3 + 6 x2 −10x + 16 luat˘ a ı̂n locul c = 4, respectiv s˘ a determin˘ am acel polinom q , pentru care f = ( x −c)q + f (c)! Rezolvare.

1 −3 6 −10 164 1 4·1 −3 = 1 4 ·1 + 6 = 10 4 ·10 −10 = 30 4 ·30 + 16 = 13613


14/25

Figura 3: Étienne Bézout (1739-1783) matematician francez

Din acesta se poate citi c ă f (4) = 136 s, i

x4 −3x3 + 6 x2 −10x + 16 = ( x −4)(x3 + x2 + 10 x + 30) + 136 .Denit

,ie 10. Spunem c˘ a elementul c∈R este r˘ ad˘ acina (zeroul) polinomului f ∈R[x], dac˘ a f (c) = 0 .

Concluzie 6. ˆ In cazul oric˘ arui polinom f ∈R[x] s , i c∈R , c este r˘ ad˘ acina lui f dac˘ a s ,i numai dac˘ a exist˘ a un polinom q

∈R[x], pentru care f = ( x

−c)q .

Demonstrat ̧ie. Dacă f (c) = 0, atunci ca urmare a prezent˘ arii din teoremaanterioar ă f = ( x −c)q , pentru un polinom q ∈R[x] . Invers, dacă exist ă unpolinom q ∈R[x] , astfel ı̂nc ât f = ( x−c)q , atunci f (c) = ( c−c)q (c) = 0.

Dacă R este domeniu de integritate, atunci s , i R[x] este la fel. În acestcaz, armat, ia care serves, te la caracterizarea r˘adăcinii poate formulat ă subforma x −c | f . Următoarea teorem˘a – teorema lui Bézout – este deciconsecint, a celor anterioare.Teoremă 7. S˘ a presupunem c˘ a R este domeniu de integritate. Pentru un polinom oarecare f ∈ R[x] s , i element c ∈ R , c este r˘ ad˘ acina lui f , dac˘ a s , i numai dac˘ a x −c este divizorul lui f (̂ın R[x]).

Armat, ia poate extins ă pentru cazul ı̂n care exist˘a mai multe r ădăcini.

Teoremă 8. S˘ a presupunem c˘ a R este domeniu de integritate, f ∈R[x] este arbitrar s ,i c1, . . . , ck ∈R sunt elemente distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a. Elementele c1, . . . , ck sunt r˘ ad˘ acinile lui f , dac˘ a s , i numai dac˘ a (x −c1) . . . (x −ck ) este divizorul lui f (̂ın R[x]).

14


15/25

Demonstrat ̧ie. Demonstrat, ia o efectuăm prin induct, ie completă. Dacă k =1, atunci obt, inem din nou teorema lui Bézout, pe care am admis-o deja,deci armat, ia este ı̂ndeplinit˘a. Să presupunem c ă k ≥ 2 s, i armat, ia esteadevărată pentru orice r˘ adăcină k −1 a lui f . Fie c1, . . . , ck ∈R rădăciniledistincte dou ă câte dou ă ale polinomului f . Conform ipotezei induct, iei(x −c1) . . . (x−ck − 1) | f , adică f = ( x−c1) . . . (x−ck − 1)q pentru un polinomq ∈R[x] . Deoarece s, i ck este rădăcina lui f , atunci

0 = f (ck ) = ( ck −c1) . . . (ck −ck − 1)q (ck ).Primii k − 1 factori ai produsului aat ı̂n partea dreapt˘ a a semnului deegalitate nu sunt 0, de aceea, R ind domeniu de integritate, q (ck ) = 0 esteı̂ndeplinit. Conform teoremei lui Bézout, avem x −ck | q , adică exist ă unpolinom q 0 ∈ R[x], pentru care q = ( x −ck )q 0. Scriind aceasta, obt, inem ı̂nprezentarea de mai sus a lui f că f = ( x −c1) . . . (x −ck )q 0.Concluzie 7. Dac˘ a R este domeniu de integritate s

,i f ∈R[x] nu este poli-nom nul, s

,i gradul lui f este n, atunci f are cel mult n r˘ ad˘ acini distincte ı̂n

R.

Demonstrat ̧ie. Fie rădăcinile distincte c1, . . . , ck ∈ R. Conform teoremeianterioare ( x−

c1) . . . (c

−ck )

| f , adică f = ( x

−c1) . . . (x

−ck )h pentru

un polinom h ∈ R[x] . Deoarece ı̂n cazul polinoamelor peste domeniul deintegritate gradul produsului este produsul gradelor factorilor, astfel k ≤n.

6 Polinoame ireductibile ı̂n C[x]

Gauss a demonstrat pentru prima dat˘ a teorema fundamental˘a a algebreiclasice, pe care noi o enunt, ăm făr ă demonstrat , ie.

Teoremă 9. Orice polinom de cel put , in gradul I, cu coecient , i complecs , i,are r˘ ad˘ acin˘ a ı̂n corpul numerelor complexe.

Concluzie 8. ˆ In inelul polinoamelor C[x] un polinom este ireductibil, dac˘ a s

,i numai dac˘ a este de gradul I.

Demonstrat ̧ie. Este clar că polinoamele de gradul unu sunt ireductibile pesteorice corp. Invers, e f ∈ C[x] un polinom ireductibil. Deoarece f este celput, in de gradul unu atunci, conform teoremei fundamentale are r˘ adăcină ı̂n

15


16/25

Figura 4: Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ,,regele matematicii”

C, adică exist ă c ∈ C, astfel ı̂nc ât f (c) = 0. Conform teoremei lui Bézoutx −c | f . Deoarece f este ireductibil, atunci x −c s, i f sunt asociate, deci f este de gradul unu.Concluzie 9.

Orice polinom neconstant f ∈C[x] poate scris sub forma – s , i anume f˘ acˆ and abstract , ie ı̂n mod univoc de ordinea factorilor – f = a(x −c1) . . . (x −cn ) (a, c1, . . . , cn ∈C)

unde a ∈ C este coecientul principal al polinomului f , iar c1, . . . , cn ∈ Cr˘ ad˘ acinile lui f .Prezentarea de mai sus a lui f se mai numes, te s, i forma descompusă ı̂n

factori liniari. Cu ajutorul acesteia se obt , in formulele Viète, care descriucorelat, ia dintre r ădăcini s, i coecient, i.

Teoremă 10. Fie f = an (x −c1) . . . (x −cn ) (c1, . . . , cn ∈C) forma descom-pus˘ a ı̂n factori liniari a polinomului f = ni=0 ai x

i

∈ C[x] de grad n. ˆ Intre

coecient ,ii a0, . . . , a n s , i r˘ ad˘ acinile c1, . . . , cn polinomului f exist˘ a urm˘ atoarele

corelat ,ii:

1≤ j 1


17/25

(1

≤i

≤n) rezult ă că

an − i = (−1)i1≤ j 1


18/25


19/25

8 Polinoame cu coecient,i rat

,ionali s

,i coecient

,i

ı̂ntregi

Denit,ie 11. Polinomul cu coecient

,i ı̂ntregi ı̂l numim polinom primitiv

dac˘ a cel mai mare divizor comun a coecient ,ilor s˘ ai este 1, adic˘ a coecient

,ii

sunt relativ primi.

Teoremă 12. Orice polinom f cu coecient ,i rat

,ionali, indiferent de semn,

poate scris ı̂n mod univoc sub forma

f = r∗g,

unde r∗∈Q s , i g sunt polinoame primitive.

Demonstrat ̧ie. Polinomul f cu coecient, i rat, ionali poate scris sub forma

f = anbn

xn + an − 1bn − 1

xn − 1 + . . . + a1b1

x + a0b0

,

unde nici unul din ai , bi ∈ Z, (0 ≤ i ≤ n) s, i b0, b1, . . . , bn nu este nul. Fie mcel mai mic multiplu comun al numerelor b0, b1, . . . , bn s, i ci :=

ma ibi

, atunci

f = 1m

(cn xn + cn − 1xn − 1 + . . . + c1x + c0).

Fie d cel mai mare divizor comun a numerelor c0, c1, . . . cn s, i c∗i := ci /d .Atunci

f = dm

(c∗n xn + c∗n − 1x

n − 1 + . . . + c∗0).

Dacă forma simplicat ă a lui dm

este rs

, s, i g = c∗n xn + c∗n − 1xn − 1 + . . . + c∗0,unde evident g este primitiv, atunci

f = rs g.

Să presupunem c ă exist ă

f = rs

g ,

unde r s, i s sunt relativ prime s, i g este un polinom primitiv. Atunci dinidentitatea

rs

g = rs

g

19


20/25


21/25

Demonstrat ̧ie. Dacă f este ireductibil ı̂n Z[x], atunci evident este primitiv.Demonstr ăm că ı̂n acest caz f este ireductibil s, i ı̂n Q[x]. Să presupunem ı̂nmod indirect c ă f este primitiv s, i ı̂n Q[x], f = f 1f 2, unde coecient, ii suntde cel put, in grad 1. Conform teoremei 12., f 1 s, i f 2 pot scrise sub forma

f 1 = r1f ∗1 , f 2 = r2f ∗

2

unde r1 s, i r2 sunt numere rat , ionale, iar f ∗1 s, i f ∗2 polinoame primitive. Fier := r1r 2 :=

st

, unde s s, i t sunt relativ prime, atunci rezult˘ a

tf = sf ∗1 f ∗

2

. Deoarece t divide partea st ângă, atunci divide s, i partea dreapt˘a, ceea ceeste posibil doar dac ă t = ±1. În mod similar obt, inem că s = ±1. De aceea

f = ±f ∗1 f ∗2 ,adică f este reductibil ı̂n Z[x], aceasta este o contradict , ie.

Să presupunem c ă f ı̂ndeplines, te cele două condit, ii. Atunci, ı̂n afar˘a de

±1,un alt num ăr ı̂ntreg nu poate divizorul lui f . Nu poate avea ca divizornici un polinom cu coecient, i ı̂ntregi de cel put, in grad 1, deoarece atunci f nu ar ireductibil nici peste Q. Ca urmare f este ireductibil ı̂n Z[x].

Teoremă 15. Polinoamele ireductibile din Z[x] sunt prime.

Demonstrat ̧ie. Dacă f ∈ Z[x] este ireductibil, atunci conform teoremei 14.,f este primitiv s, i ireductibil ı̂n Q[x]. Să presupunem c ă f |gh s, i f g, undeg s, i h sunt primitive. Demonstr˘am că f | h. Deoarece f este ireductibilı̂n Q[x], atunci acolo va s, i prim, adic ă f | h este ı̂ndeplinit. Astfel exist˘apolinom u∈Q[x], pentru care f u = h. Conform teoremei 12. u =

rs

u∗, unde

u∗ este primitiv. De aceea rs

fu ∗ = h, de unde datorit˘a faptului că f , u∗ s, ih sunt primitive, rezult˘a că r =

±1 s, i s =

±1. Astfel u este un polinom cu

coecient, i ı̂ntregi, adic˘a f |h este ı̂ndeplinit ı̂n Z[x].Teoremă 16. ˆ In Z[x], ecare polinom diferit de zero s

,i de unitate poate

descompus - f˘ acˆ and abstract ,ie ı̂n mod explicit de ordinea elementelor s

,i de

elementul unitate - ca produs al polinoamelor ireductibile din Z[x].

Demonstrat ̧ie. Orice polinom f ∈ Z[x] diferit de zero sau de unitate, poate descompus ca produs al polinoamelor ireductibile ı̂n Q[x]:f = f 1 . . . f n .

21


22/25

Ca urmare a teoremei 12., f i = r i f ∗i , unde r i

∈ Q s, i f ∗i sunt primitive.

Fie r1 . . . r n := a, atunci f = af ∗1 . . . f ∗n , unde a este număr ı̂ntreg. Dac˘adescompunerea ı̂n factori primi a lui a este a = p1 . . . pk , atunci rezult ă că

f = p1 . . . pk f ∗1 . . . f ∗

n ,

unde p1 . . . pk sunt numere prime s, i f ∗1 . . . f ∗

n sunt polinoame ireductibile decel put, in grad 1 ı̂n Z[x].

Să presupunem prin metoda cunoscut˘ a că f = q 1 . . . q s g∗1 . . . g∗t este o altădescompunere ireductibil˘a s, i să presupunem de asemenea c ă k ≤s s, i n ≤ t.Atunci

p1 . . . pk f ∗

1 . . . f ∗

n = q 1 . . . q s g∗

1 . . . g∗

t .Deoarece produsele f ∗1 . . . f ∗n s, i g∗1 . . . gt sunt polinoame primitive, astfel potdiferi ı̂ntre ele doar ı̂n privint , a semnului, adic ă

p1 . . . pk == ±q 1 . . . q s s, i f ∗1 . . . f ∗n = ±g∗1 . . . g∗t .Tot, i factorii care gurează aici sunt primi, de aceea prin alegerea potrivit˘ a aordinii factorilor se poate obt, ine

p1 = ±q 1, . . . , p k = ±q k , k = s és f ∗1 = ±g∗1 , . . . , f ∗n = ±g∗n , n = t.

Matematicienilor germani Theodor Sch¨onemann (1812-1868) s, i FerdinandGotthold Max Eisenstein (1823-1852) le apart , ine următoarea armat , ie, careeste o condit, ie sucientă pentru ireductibilitatea polinoamelor cu coecient , iı̂ntregi:

Teoremă 17 (Teorema lui Sch önemann s, i Eisenstein) . Dac˘ a pentru coecient , ii polinomului

f = an xn + an − 1xn − 1 + · · ·+ a1x + a0 ∈Z[x]de cel put , in grad unu se ı̂ndeplines , te cu un num˘ ar prim oarecare p, c˘ a

p an , p | an − 1, . . . , p | a0 s , i p2 a0,atunci f este ireductibil ı̂n Q[x] s

,i dac˘ a este primitiv, atunci s

,i ı̂n Z[x].

Demonstrat ̧ie. Să presupunem c ă f este reductibil ı̂n Q[x] s, i astfel s, i ı̂n Z[x].Este posibil ă deci descompunerea cu numere ı̂ntregi

f = ( br xr + . . . + b1x + b0)(cs xs + . . . + c1x + c0)

22


23/25

, unde 1 < r < n s, i 1 < s < n . Să scriem coecient, ii produsului ı̂ncepˆand dela constant ă

a0 = b0c0a1 = b1c0 + b0c1a2 = b2c0 + b1c1 + b0c2

...an = br cs .

Fiindc ă p | a0, dar p2 a0, de aceea p divide exact pe unul dintre b0 s, i c0.Fie p | b0, p c0. Deoarece p | a1 s, i p | b0, dar p c0, atunci p | b1. Printr-orezolvare similar ă rezult ă că p divide pe rând ecare b0, . . . br , de unde rezult ă p | an , ceea ce este contradict, ie.Teoremă 18. Fie f = ni=0 ai x

i

∈Z[x] un polinom oarecare, respectiv p, q ∈Z ı̂n as

,a fel c˘ a p s

,i q sunt relativ prime. Dac˘ a

pq ∈ Q este r˘ ad˘ acina lui f ,

atunci p | a0 s , i q |an .

Demonstrat ̧ie. Dacă pq

este rădăcina lui f , atunci 0 = f pq

= ni=0 ai pq

i

,

adică ı̂nmult , it cu q n , 0 = ni=0 ai p

i q n − i . Astfel p | ni=1 ai p

i q n − i = −a0q n .Deoarece p, q sunt relativ prime, astfel p |

a0. Demonstrat, ia lui q

| an este

similar ă.

Observat ,ie: Este clar că, dac ă f este polinom principal, atunci an = 1,

astfel solut, iile rat, ionale sunt numere ı̂ntregi, deoarece numitorul poate doar unitatea. De aceea, dac˘a căut ăm solut, iile rat, ionale (̂ıntregi) ale unuipolinom principal cu coecient, i ı̂ntregi, atunci este de ajuns s˘a vedem dacădivizorii membrului constant sunt r˘ adăcini. Acest lucru ı̂l putem realiza deexemplu cu schema lui Horner.

Exercit,iu 6. S˘ a determin˘ am toate r˘ ad˘ acinile rat

,ionale ale polinomului f =

x5

−3x4

+ 2 x3

−8x2

+ 10 x + 12! Rezolvare. Din teoremă s, i observat, ie reiese clar că, dacă alegem un numitorpozitiv (q = 1), atunci solut , iile care pot intra ı̂n discut , ie sunt divizorii lui12. Deoarece 12 = 22·3, atunci numerele ı̂ntregi care trebuie ı̂ncercate sunt:

1, 2, 3, 4, 6, 12, −1, −2, −3, −4, −6, −12.Pentru a reduce num˘arul de r ădăcini posibile se utilizează urm ătoarea

teorem ă

23


24/25

Teoremă 19. Fie f

∈ Z[x] un polinom oarecare, respectiv p, q

∈ Z astfel

ı̂nc ̂at p s ,i q sunt relativ prime. Dac˘ a p

q ∈ Q este r˘ ad˘ acina lui f , atunci pentru orice num˘ ar ı̂ntreg m avem p + mq |f (−m).Demonstrat ̧ie. Fie f =

ni=0 ai x

i . Cazul m = 0 este chiar teorema ante-rioar ă, deoarece ı̂n acest caz f (0) = a0. Dacă m este un ı̂ntreg arbitrar s , i pq

este rădăcina lui f , atunci s ă privim polinomul g = ni=0 ai (x −m) i . În

acest caz pq

+ m = p + mq

q este rădăcina lui g s, i ( p + mq, q ) = 1. Astfel

p + mq

|g(0) = f (

−m).

Observat ,ie: În exemplul din exercit, iul anterior, dac˘a m = 1, atunci p + q |f (−1) = 8, respectiv ı̂n cazul m = −1 , p −q | f (1) = 10. Dac ă le luăm ı̂nconsiderare s, i pe acestea , atunci singura posibilitate este 3.

1 −3 2 −8 10 123 1 0 2 −2 4 24Conform acestora, pentru polinomul f care gurează ı̂n exercit, iul anterioravem f (3) = 24, iar din acesta rezult˘a că nu are r ădăcină rat , ională.

24


25/25

Bibliograe

[1] Szendrei Ágnes: Matematic ă discret ă. POLYGON, Szeged, 2000.

[2] Szendrei János: Algebră s, i teoria numerelor. Tank¨onyvkiad ó, Bu-dapesta, 1978.

Cuprins

1 Introducere 1

2 Polinoame 1

3 Element prim, element ireductibil 4

4 Inelul polinoamelor peste un corp 6

5 Valorile de substitut,ie s

,i r ăd˘acinile polinoamelor 12

6 Polinoame ireductibile ı̂n C[x] 15

7 Polinoame cu coecient,i reali 17

8 Polinoame cu coecient,i rat

,ionali s

,i coecient

,i ı̂ntregi 18

25

Documents

Polinom Oman