Polinomi

APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD

POLINOMI

Pedagoski fakultet Bihac

Student: Larisa Brkic

POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD

Polinomi

Izraz oblika Axk se naziva MONOM STEPENA k. Sabiranjemmonoma za razlicite vrijednosti od k se dobija POLINOM.

Teorem:

Funkcija f : R −→ R definirana sa

Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 (1)

gdje su a0, a1, . . . , an realni brojevi an 6= 0 naziva se polinomstepena n.

Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.


Polinomi


Teorem:






Polinomi


Teorem:






Polinomi


Teorem:




Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.

Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.


Polinomi


Teorem:






Polinomi

Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.

Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.

Teorem:

Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.

P(x) = 0 , ∀x ∈ R

ako i samo ako je

a0 = a1 = ... = an = 0

Napomena:

Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.


Polinomi

Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.

Teorem:


P(x) = 0 , ∀x ∈ R

ako i samo ako je

a0 = a1 = ... = an = 0

Napomena:



Polinomi


Teorem:


P(x) = 0 , ∀x ∈ R

ako i samo ako je

a0 = a1 = ... = an = 0

Napomena:



Polinomi


Teorem:


P(x) = 0 , ∀x ∈ R

ako i samo ako je

a0 = a1 = ... = an = 0

Napomena:



Polinomi


Teorem:


P(x) = 0 , ∀x ∈ R

ako i samo ako je

a0 = a1 = ... = an = 0

Napomena:



Polinomi


Teorem:


P(x) = 0 , ∀x ∈ R

ako i samo ako je

a0 = a1 = ... = an = 0

Napomena:



Jednakost polinoma

Za dva polinoma P i Q kazemo da su jednaki i pisemo P ≡ Q akovrijedi

P(x) = Q(x), ∀x ∈ R

Teorem:

Dva polinoma P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stepena iodgovarajuci koeficjenti u kanonskom prikazu su im jednaki.


Jednakost polinoma


P(x) = Q(x), ∀x ∈ R

Teorem:



Jednakost polinoma


P(x) = Q(x), ∀x ∈ R

Teorem:



Dijeljenje polinoma

Teorem:

Neka je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0

(an 6= 0, ∀x ∈ R), polinom n-tog stepena.

Za svaki polinom P n-tog stepena postoji jedinstven uredeni parpolinoma (Q,r) takav da je

Pn = Q · Pm + r

Napomena:

U slucaju da je r 6= 0 stepen r je manji od m.Stepen polinoma Q je n −m (u slucaju da je n ≥ m).


Dijeljenje polinoma

Teorem:


(an 6= 0, ∀x ∈ R), polinom n-tog stepena.Za svaki polinom P n-tog stepena postoji jedinstven uredeni parpolinoma (Q,r) takav da je

Pn = Q · Pm + r

Napomena:



Dijeljenje polinoma

Teorem:



Pn = Q · Pm + r

Napomena:

U slucaju da je r 6= 0 stepen r je manji od m.

Stepen polinoma Q je n −m (u slucaju da je n ≥ m).


Dijeljenje polinoma

Teorem:



Pn = Q · Pm + r

Napomena:



Najveci zajednicki djelitelj

Normirani polinom (polinom ciji je vodeci koeficjent jednak 1) uoznaci nzd(f , g) se naziva najveci zajednicki djelitelj (najvecazajednicka mjera) nenultih polinoma f i g, ako on ima sljedecasvojstva:

1. nzd(f , g) je djelitelj i polinoma f i polinoma g

2. ako je P djelitelj i od f i od g, onda je P djelitelj i odnzd(f , g).

Postupak za nalazenje nzd(f , g) se dobija iz Euklidovog algoritmaza polinome.




















Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...

rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1

rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn

gdje je a vodeci koeficjent u rn.


Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...


rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn



Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...


rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn



Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...


rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn



Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...


rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn



Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...


rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn



Euklidov algoritam

f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g

g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1

r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2

...


rn−1 = rn · qn+1

⇒ nzd(f , g) =1

arn



Nultacke polinoma

Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.

Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina

P(x) = 0

tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0

naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.


Nultacke polinoma

Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina

P(x) = 0




Nultacke polinoma


P(x) = 0




Nultacke polinoma


P(x) = 0




Nultacke polinoma


P(x) = 0


naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.

Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.


Nultacke polinoma


P(x) = 0




Nultacke polinoma

Dijeljenje polinoma P stepena veceg ili jednakog 1 polinomomP1(x) = x − a mozemo zapisati na sljedeci nacin

P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)

⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0

Slijedi da je r(x) konstanta pa imamo

P(x) = Q(x) · (x − a) + r


Nultacke polinoma


P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)

⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0


P(x) = Q(x) · (x − a) + r


Nultacke polinoma


P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)

⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0


P(x) = Q(x) · (x − a) + r


Nultacke polinoma


P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)

⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0


P(x) = Q(x) · (x − a) + r


Nultacke polinoma


P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)

⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0


P(x) = Q(x) · (x − a) + r


Bezuov teorem

Ako u P(x) = Q(x) · (x − a) + r uvrstimo x = a ∈ R dobijamo daje

P(a) = r

pa imamo da vrijedi sljedeci teorem.

Teorem:

Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) binomom x − a, a ∈ R jednakje vrijednosti P(a).


Bezuov teorem


P(a) = r


Teorem:



Bezuov teorem


P(a) = r


Teorem:



Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre

Teorem:

Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.

Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati

P(x) = (x − x1) · P1(x)

gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je

P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:


Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.

On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati

P(x) = (x − x1) · P1(x)


P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:



P(x) = (x − x1) · P1(x)


P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:



P(x) = (x − x1) · P1(x)


P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:



P(x) = (x − x1) · P1(x)

gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.

Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je

P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:



P(x) = (x − x1) · P1(x)


P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:



P(x) = (x − x1) · P1(x)


P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2



Teorem:



P(x) = (x − x1) · P1(x)


P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)

deg P2 = n − 2


Posljedica osnovnog teorema algebre

Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:

P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)

gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:

P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)

Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin

P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)




P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)




P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)




P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)




P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)

Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.

Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin

P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)




P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)




P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)


P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)


Hornerov algoritam

Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin

an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0

gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:

Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?

Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?

Koliko je P(a)?

Da li je a nultacka polinoma P?


Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0




Koliko je P(a)?



Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0

gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0

Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:



Koliko je P(a)?



Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0




Koliko je P(a)?



Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0




Koliko je P(a)?



Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0




Koliko je P(a)?



Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0




Koliko je P(a)?



Hornerov algoritam


an an−1 an−2 ... a1 a0

a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0




Koliko je P(a)?



Vietove formule za polinom 3. stepena

Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.

Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d

po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:



Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.

Neka je

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d




Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d





P(x) = ax3 + bx2 + cx + d





P(x) = ax3 + bx2 + cx + d

po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.

Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:




P(x) = ax3 + bx2 + cx + d



Vietove formule

a = a

b = −a(x1 + x2 + x3)

c = a(x1x2 + x1x3 + x2x3)

d = −a(x1x2x3)

Sredimo li to dobijamo Vietove formule za polinom 3. stepena:

x1 + x2 + x3 = −b

a

x1x2 + x1x3 + x2x3 =c

a

x1x2x3 = −d

a


Vietove formule

a = a

b = −a(x1 + x2 + x3)

c = a(x1x2 + x1x3 + x2x3)

d = −a(x1x2x3)

Sredimo li to dobijamo Vietove formule za polinom 3. stepena:

x1 + x2 + x3 = −b

a

x1x2 + x1x3 + x2x3 =c

a

x1x2x3 = −d

a


Racionalne i cjelobrojne nultacke

Teorem:

Ako je cijeli broj k nultacka polinoma

Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0

s cijelobrojnim koeficjentima, onda je koeficjent a0 djeljiv sa k.Ako je racionalan broj p

q gdje su p i q relativno prosti brojevi

(razmolak pq je potpuno skracen) nultacka polinoma P, onda je

koeficjent a0 djeljiv sa p, a koeficjent an je djeljiv sa q.



Teorem:









Teorem:



s cijelobrojnim koeficjentima, onda je koeficjent a0 djeljiv sa k.

Ako je racionalan broj pq gdje su p i q relativno prosti brojevi





Teorem:









Teorem:

Ako je racionalan broj pq nultacka polinoma P sa cjelobrojnim

koeficjentima ciji je vodeci koeficjent 1, onda je ta nultacka cijelibroj.

Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli anIz toga slijedi da je q = ±1Zakljucujemo da je

p

q= ±p ∈ Z



Teorem:



Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli an

Iz toga slijedi da je q = ±1Zakljucujemo da je

p

q= ±p ∈ Z



Teorem:



Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli anIz toga slijedi da je q = ±1

Zakljucujemo da je

p

q= ±p ∈ Z



Teorem:




p

q= ±p ∈ Z



Teorem:




p

q= ±p ∈ Z


Documents

Polinomi