Embed Size (px)
DESCRIPTION
Prezentacija vezana za polinome
Citation preview
APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
POLINOMI
Pedagoski fakultet Bihac
Student: Larisa Brkic
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Izraz oblika Axk se naziva MONOM STEPENA k. Sabiranjemmonoma za razlicite vrijednosti od k se dobija POLINOM.
Teorem:
Funkcija f : R −→ R definirana sa
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 (1)
gdje su a0, a1, . . . , an realni brojevi an 6= 0 naziva se polinomstepena n.
Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Izraz oblika Axk se naziva MONOM STEPENA k. Sabiranjemmonoma za razlicite vrijednosti od k se dobija POLINOM.
Teorem:
Funkcija f : R −→ R definirana sa
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 (1)
gdje su a0, a1, . . . , an realni brojevi an 6= 0 naziva se polinomstepena n.
Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Izraz oblika Axk se naziva MONOM STEPENA k. Sabiranjemmonoma za razlicite vrijednosti od k se dobija POLINOM.
Teorem:
Funkcija f : R −→ R definirana sa
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 (1)
gdje su a0, a1, . . . , an realni brojevi an 6= 0 naziva se polinomstepena n.
Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Izraz oblika Axk se naziva MONOM STEPENA k. Sabiranjemmonoma za razlicite vrijednosti od k se dobija POLINOM.
Teorem:
Funkcija f : R −→ R definirana sa
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 (1)
gdje su a0, a1, . . . , an realni brojevi an 6= 0 naziva se polinomstepena n.
Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.
Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Izraz oblika Axk se naziva MONOM STEPENA k. Sabiranjemmonoma za razlicite vrijednosti od k se dobija POLINOM.
Teorem:
Funkcija f : R −→ R definirana sa
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0 (1)
gdje su a0, a1, . . . , an realni brojevi an 6= 0 naziva se polinomstepena n.
Brojeve a0, a1, ..., an nazivamo koeficjenti polinoma.Broj an nazivamo vodeci koeficjent, a broj a0 nazivamo slobodnikoeficjent.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.
Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.
Teorem:
Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.
P(x) = 0 , ∀x ∈ R
ako i samo ako je
a0 = a1 = ... = an = 0
Napomena:
Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.
Teorem:
Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.
P(x) = 0 , ∀x ∈ R
ako i samo ako je
a0 = a1 = ... = an = 0
Napomena:
Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.
Teorem:
Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.
P(x) = 0 , ∀x ∈ R
ako i samo ako je
a0 = a1 = ... = an = 0
Napomena:
Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.
Teorem:
Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.
P(x) = 0 , ∀x ∈ R
ako i samo ako je
a0 = a1 = ... = an = 0
Napomena:
Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.
Teorem:
Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.
P(x) = 0 , ∀x ∈ R
ako i samo ako je
a0 = a1 = ... = an = 0
Napomena:
Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Polinomi
Zapis (1) nazivamo KANONSKI OBLIK.Stepen polinoma je najveca potencija nepoznate x u kanonskomobliku polinoma.
Teorem:
Za polinom (1) vrijedi P ≡ 0 (identicki jednak nuli), tj.
P(x) = 0 , ∀x ∈ R
ako i samo ako je
a0 = a1 = ... = an = 0
Napomena:
Prethodni teorem vrijedi i za polinome s vise argumenata.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Jednakost polinoma
Za dva polinoma P i Q kazemo da su jednaki i pisemo P ≡ Q akovrijedi
P(x) = Q(x), ∀x ∈ R
Teorem:
Dva polinoma P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stepena iodgovarajuci koeficjenti u kanonskom prikazu su im jednaki.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Jednakost polinoma
Za dva polinoma P i Q kazemo da su jednaki i pisemo P ≡ Q akovrijedi
P(x) = Q(x), ∀x ∈ R
Teorem:
Dva polinoma P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stepena iodgovarajuci koeficjenti u kanonskom prikazu su im jednaki.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Jednakost polinoma
Za dva polinoma P i Q kazemo da su jednaki i pisemo P ≡ Q akovrijedi
P(x) = Q(x), ∀x ∈ R
Teorem:
Dva polinoma P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stepena iodgovarajuci koeficjenti u kanonskom prikazu su im jednaki.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Dijeljenje polinoma
Teorem:
Neka je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0
(an 6= 0, ∀x ∈ R), polinom n-tog stepena.
Za svaki polinom P n-tog stepena postoji jedinstven uredeni parpolinoma (Q,r) takav da je
Pn = Q · Pm + r
Napomena:
U slucaju da je r 6= 0 stepen r je manji od m.Stepen polinoma Q je n −m (u slucaju da je n ≥ m).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Dijeljenje polinoma
Teorem:
Neka je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0
(an 6= 0, ∀x ∈ R), polinom n-tog stepena.Za svaki polinom P n-tog stepena postoji jedinstven uredeni parpolinoma (Q,r) takav da je
Pn = Q · Pm + r
Napomena:
U slucaju da je r 6= 0 stepen r je manji od m.Stepen polinoma Q je n −m (u slucaju da je n ≥ m).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Dijeljenje polinoma
Teorem:
Neka je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0
(an 6= 0, ∀x ∈ R), polinom n-tog stepena.Za svaki polinom P n-tog stepena postoji jedinstven uredeni parpolinoma (Q,r) takav da je
Pn = Q · Pm + r
Napomena:
U slucaju da je r 6= 0 stepen r je manji od m.
Stepen polinoma Q je n −m (u slucaju da je n ≥ m).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Dijeljenje polinoma
Teorem:
Neka je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0
(an 6= 0, ∀x ∈ R), polinom n-tog stepena.Za svaki polinom P n-tog stepena postoji jedinstven uredeni parpolinoma (Q,r) takav da je
Pn = Q · Pm + r
Napomena:
U slucaju da je r 6= 0 stepen r je manji od m.Stepen polinoma Q je n −m (u slucaju da je n ≥ m).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Najveci zajednicki djelitelj
Normirani polinom (polinom ciji je vodeci koeficjent jednak 1) uoznaci nzd(f , g) se naziva najveci zajednicki djelitelj (najvecazajednicka mjera) nenultih polinoma f i g, ako on ima sljedecasvojstva:
1. nzd(f , g) je djelitelj i polinoma f i polinoma g
2. ako je P djelitelj i od f i od g, onda je P djelitelj i odnzd(f , g).
Postupak za nalazenje nzd(f , g) se dobija iz Euklidovog algoritmaza polinome.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Najveci zajednicki djelitelj
Normirani polinom (polinom ciji je vodeci koeficjent jednak 1) uoznaci nzd(f , g) se naziva najveci zajednicki djelitelj (najvecazajednicka mjera) nenultih polinoma f i g, ako on ima sljedecasvojstva:
1. nzd(f , g) je djelitelj i polinoma f i polinoma g
2. ako je P djelitelj i od f i od g, onda je P djelitelj i odnzd(f , g).
Postupak za nalazenje nzd(f , g) se dobija iz Euklidovog algoritmaza polinome.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Najveci zajednicki djelitelj
Normirani polinom (polinom ciji je vodeci koeficjent jednak 1) uoznaci nzd(f , g) se naziva najveci zajednicki djelitelj (najvecazajednicka mjera) nenultih polinoma f i g, ako on ima sljedecasvojstva:
1. nzd(f , g) je djelitelj i polinoma f i polinoma g
2. ako je P djelitelj i od f i od g, onda je P djelitelj i odnzd(f , g).
Postupak za nalazenje nzd(f , g) se dobija iz Euklidovog algoritmaza polinome.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Najveci zajednicki djelitelj
Normirani polinom (polinom ciji je vodeci koeficjent jednak 1) uoznaci nzd(f , g) se naziva najveci zajednicki djelitelj (najvecazajednicka mjera) nenultih polinoma f i g, ako on ima sljedecasvojstva:
1. nzd(f , g) je djelitelj i polinoma f i polinoma g
2. ako je P djelitelj i od f i od g, onda je P djelitelj i odnzd(f , g).
Postupak za nalazenje nzd(f , g) se dobija iz Euklidovog algoritmaza polinome.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Euklidov algoritam
f = g · q1 + r1 0 < deg r1 < deg g
g = r1 · q2 + r2 0 < deg r2 < deg r1
r1 = r2 · q3 + r3 0 < deg r3 < deg r2
...
rn−2 = rn−1 · qn + rn 0 < deg rn < deg rn−1
rn−1 = rn · qn+1
⇒ nzd(f , g) =1
arn
gdje je a vodeci koeficjent u rn.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.
Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina
P(x) = 0
tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0
naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina
P(x) = 0
tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0
naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina
P(x) = 0
tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0
naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina
P(x) = 0
tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0
naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina
P(x) = 0
tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0
naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.
Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Broj x za koji vrijedi da je P(x) = 0 naziva se NULA(NULTACKA) polinoma P.Ako je Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0,onda jednacina
P(x) = 0
tj.anxn + an−1xn−1 + ... + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0
naziva se ALGEBARSKA JEDNACINA n-tog stepena.Rjesenja algebarske jednacine su nultacke pripadnog polinoma.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Dijeljenje polinoma P stepena veceg ili jednakog 1 polinomomP1(x) = x − a mozemo zapisati na sljedeci nacin
P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)
⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0
Slijedi da je r(x) konstanta pa imamo
P(x) = Q(x) · (x − a) + r
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Dijeljenje polinoma P stepena veceg ili jednakog 1 polinomomP1(x) = x − a mozemo zapisati na sljedeci nacin
P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)
⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0
Slijedi da je r(x) konstanta pa imamo
P(x) = Q(x) · (x − a) + r
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Dijeljenje polinoma P stepena veceg ili jednakog 1 polinomomP1(x) = x − a mozemo zapisati na sljedeci nacin
P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)
⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0
Slijedi da je r(x) konstanta pa imamo
P(x) = Q(x) · (x − a) + r
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Dijeljenje polinoma P stepena veceg ili jednakog 1 polinomomP1(x) = x − a mozemo zapisati na sljedeci nacin
P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)
⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0
Slijedi da je r(x) konstanta pa imamo
P(x) = Q(x) · (x − a) + r
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Nultacke polinoma
Dijeljenje polinoma P stepena veceg ili jednakog 1 polinomomP1(x) = x − a mozemo zapisati na sljedeci nacin
P(x) = Q(x) · (x − a) + r(x)
⇒ deg r < deg P1 = 1⇒ deg r = 0
Slijedi da je r(x) konstanta pa imamo
P(x) = Q(x) · (x − a) + r
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Bezuov teorem
Ako u P(x) = Q(x) · (x − a) + r uvrstimo x = a ∈ R dobijamo daje
P(a) = r
pa imamo da vrijedi sljedeci teorem.
Teorem:
Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) binomom x − a, a ∈ R jednakje vrijednosti P(a).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Bezuov teorem
Ako u P(x) = Q(x) · (x − a) + r uvrstimo x = a ∈ R dobijamo daje
P(a) = r
pa imamo da vrijedi sljedeci teorem.
Teorem:
Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) binomom x − a, a ∈ R jednakje vrijednosti P(a).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Bezuov teorem
Ako u P(x) = Q(x) · (x − a) + r uvrstimo x = a ∈ R dobijamo daje
P(a) = r
pa imamo da vrijedi sljedeci teorem.
Teorem:
Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) binomom x − a, a ∈ R jednakje vrijednosti P(a).
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.
On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.
Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Osnovni teorem algebrePosljedica osnovnog teorema algebre
Teorem:
Svaki polinom P stepena n ≥ 0 ima bar jednu nultacku x u skupukompleksnih brojeva.
Posljedica:Neka je P po volji odabran polinom stepena n.On ima bar jednu nultacku x1, pa mozemo pisati
P(x) = (x − x1) · P1(x)
gdje je polinom P1 polinom stepena n − 1.Neka je x2 nultacka polinoma P1, tada je
P(x) = (x − x1)(x − x2) · P2(x)
deg P2 = n − 2
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.
Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Posljedica osnovnog teorema algebre
Nastavljajuci ovaj postupak dobijamo:
P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn) · Pn(x)
gdje je Pn polinom stepena n − n = 0, tj. polinom Pn = a jekonstanta, pa imamo:
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
Konstanta a je upravo vodeci koeficjent an polinoma P.Iz ovoga slijedi da polinom mozemo faktorizirati na sljedeci nacin
P(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3) · ... · (x − xn)
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0
Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Hornerov algoritam
Hornerov algoritam se predstavlja tabelarno na sljedeci nacin
an an−1 an−2 ... a1 a0
a bn bn−1 bn−2 ... b1 b0
gdje je bn = an, bk = abk+1 + ak , k = n − 1, ...0Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeca pitanja:
Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x − a?
Da li je polinom P dijeljiv polinomom x − a?
Koliko je P(a)?
Da li je a nultacka polinoma P?
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule za polinom 3. stepena
Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.
Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule za polinom 3. stepena
Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.
Neka je
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule za polinom 3. stepena
Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule za polinom 3. stepena
Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule za polinom 3. stepena
Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.
Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule za polinom 3. stepena
Svaku algebarsku jednacinu s racionalnim koeficjentima mozemomnozenjem s najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika tihkoeficjenata svesti na algebarsku jednacinu s cjelobrojnimkoeficjentima.Zato svu diskusiju o nultackama polinoma mozemo provesti napolinomima sa cjelobrojnim koeficjentima.Neka je
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
po volji odabran polinom stepena 3 cije su nultacke x1, x2, x3.Ako ova polinom faktoriziramo, zatim izmnozimo te faktore paonda izjednacimo njegove koeficjente sa koeficjentima polinomaP(x) = ax3 + bx2 + cx + d , dobijamo sljedece:
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule
a = a
b = −a(x1 + x2 + x3)
c = a(x1x2 + x1x3 + x2x3)
d = −a(x1x2x3)
Sredimo li to dobijamo Vietove formule za polinom 3. stepena:
x1 + x2 + x3 = −b
a
x1x2 + x1x3 + x2x3 =c
a
x1x2x3 = −d
a
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Vietove formule
a = a
b = −a(x1 + x2 + x3)
c = a(x1x2 + x1x3 + x2x3)
d = −a(x1x2x3)
Sredimo li to dobijamo Vietove formule za polinom 3. stepena:
x1 + x2 + x3 = −b
a
x1x2 + x1x3 + x2x3 =c
a
x1x2x3 = −d
a
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je cijeli broj k nultacka polinoma
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0
s cijelobrojnim koeficjentima, onda je koeficjent a0 djeljiv sa k.Ako je racionalan broj p
q gdje su p i q relativno prosti brojevi
(razmolak pq je potpuno skracen) nultacka polinoma P, onda je
koeficjent a0 djeljiv sa p, a koeficjent an je djeljiv sa q.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je cijeli broj k nultacka polinoma
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0
s cijelobrojnim koeficjentima, onda je koeficjent a0 djeljiv sa k.Ako je racionalan broj p
q gdje su p i q relativno prosti brojevi
(razmolak pq je potpuno skracen) nultacka polinoma P, onda je
koeficjent a0 djeljiv sa p, a koeficjent an je djeljiv sa q.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je cijeli broj k nultacka polinoma
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0
s cijelobrojnim koeficjentima, onda je koeficjent a0 djeljiv sa k.
Ako je racionalan broj pq gdje su p i q relativno prosti brojevi
(razmolak pq je potpuno skracen) nultacka polinoma P, onda je
koeficjent a0 djeljiv sa p, a koeficjent an je djeljiv sa q.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je cijeli broj k nultacka polinoma
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a2x2 + a1x + a0
s cijelobrojnim koeficjentima, onda je koeficjent a0 djeljiv sa k.Ako je racionalan broj p
q gdje su p i q relativno prosti brojevi
(razmolak pq je potpuno skracen) nultacka polinoma P, onda je
koeficjent a0 djeljiv sa p, a koeficjent an je djeljiv sa q.
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je racionalan broj pq nultacka polinoma P sa cjelobrojnim
koeficjentima ciji je vodeci koeficjent 1, onda je ta nultacka cijelibroj.
Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli anIz toga slijedi da je q = ±1Zakljucujemo da je
p
q= ±p ∈ Z
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je racionalan broj pq nultacka polinoma P sa cjelobrojnim
koeficjentima ciji je vodeci koeficjent 1, onda je ta nultacka cijelibroj.
Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli an
Iz toga slijedi da je q = ±1Zakljucujemo da je
p
q= ±p ∈ Z
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je racionalan broj pq nultacka polinoma P sa cjelobrojnim
koeficjentima ciji je vodeci koeficjent 1, onda je ta nultacka cijelibroj.
Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli anIz toga slijedi da je q = ±1
Zakljucujemo da je
p
q= ±p ∈ Z
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je racionalan broj pq nultacka polinoma P sa cjelobrojnim
koeficjentima ciji je vodeci koeficjent 1, onda je ta nultacka cijelibroj.
Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli anIz toga slijedi da je q = ±1Zakljucujemo da je
p
q= ±p ∈ Z
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
Racionalne i cjelobrojne nultacke
Teorem:
Ako je racionalan broj pq nultacka polinoma P sa cjelobrojnim
koeficjentima ciji je vodeci koeficjent 1, onda je ta nultacka cijelibroj.
Dokaz:Ako je an = 1, onda je po prethodnoj teoremi, q dijeli anIz toga slijedi da je q = ±1Zakljucujemo da je
p
q= ±p ∈ Z
POLINOMI APLIKATIVNI SOFTVERSEMINARSKI RAD
![Algebra computazionale Dott. Massimo Caboarablog.poormansmath.net/docs/algebra_computazionale.pdf · polinomi di grado inferiore a quello di partenza. Su Q[x], i polinomi irriducibili](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5c689cb709d3f2e4258b93ec/algebra-computazionale-dott-massimo-polinomi-di-grado-inferiore-a-quello-di.jpg)
