Vedrana Grozdanic - Fourierovi Redovi, Polinomi i Integrali

Fourierovi redovi, polinomi i integrali

UVODFourierov red je jedan od najvanijih alata za rjeavanje obinih i parcijalnih diferencijalnih jednadbi. U ovoj radnji naglasak e biti na inenjerskoj praktinoj primjeni Fourierovog reda, a ne toliko na njegovoj primjeni pri rjeavanju parcijalnih diferencijalnih jednadbi. Teorija Fourierovog reda je relativno komplicirana, ali zato je njegova primjena nadasve jednostavna. Fourierov red je openitiji od Taylorovog reda zato jer se mnoge diskontinuirane periodike funkcije koje su od velikog praktinog interesa (a ne mogu se razviti u Taylorov red), mogu razviti u Fourierov red. Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francuski fiziar i matematiar, uveo je u analizu Fourierov red i Fourierov integral - prikaz funkcije u terminima trigonometrijskih funkcija. Tijekom vremena razvijena je harmonijska analiza kao samostalna teorija apstraktnih Fourierovih redova i Fourierovih integrala, isprva vezana za prouavanje funkcija na klasinim geometrijskim objektima kao to su sfera ili euklidski prostor. Uveo nas je u koncept Fourierovih redova. Fourierov red je svaki izraz sljedeeg oblika.

* Neki autori koriste A0/2 umjesto A0.

1


FOURIEROVI REDOVI, OSNOVNI REZULTATISjetimo se da se svaki matematiki izraz oblika:

naziva Fourierovim redom. Definicija A: Fourierov polinom je izraz sljedeeg oblika:

koji se moe pisati i kao:

Konstante a0, ai i bi, Fourierovi polinomi su transformacije:

, se zovu koeficijentima reda Fn(x). - periodine funkcije. Upotrebljavajui trigonometrijske

mogu se jednostavno dokazati sljedee formule:

2


(1) za imamo:

!!!! cos (0x)=1 za sve x pa (1) ne vrijedi kod cos za n=0, inae vrijedi za sve cijele n, a ne samo pozitivne !!!!

(2) za m i n, imamo:

(3) za , imamo:

(4) za , imamo:

Upotrebljavajui gornje formule moemo jednostavno doi do sljedeeg rezultata: Teorem: Ako je:

3


Tada je:

Ovaj teorem pomae povezati Fourierove redove sa svakom funkcijom.

-periodinom

Definicija: Neka je f(x)

-periodina funkcija koja je integrabilna na

.

Trigonometrijski red:

se zove Fourierov red funkcije f(x). To se oznaava na sljedei nain:

4

Primjer: Treba nai Fourierov red funkcije:


Rjeenje: Budui da je f(x) neparna funkcija, tada je an = 0, za pozornost na koeficijent bn. Za svaki , imamo:

. Obratimo

Pojednostavimo:

Stoga:

Slikoviti prikaz razvoja funkcije f(x)=x u Fourierov red


5


Rjeenje: Imamo:

i

b2n = 0 i

Stoga Fourierov red funkcije f(x) je:

Slikoviti prikaz razvoja funkcije

u Fourierov red


6


Rjeenje: Kako je ova funkcije jednaka onoj u gornjem primjeru minus konstanta . Tako je Fourierov red ove funkcije f(x):


u Fourierov red

Definirali smo Fourierove redove za funkcije koje su slino za funkcije koje su L-periodine.

-periodine, kako bi napravili

Pretpostavimo da je funkcija f(x) definirana i integrabilna na intervalu [-L,L] !!! i definirajmo funkciju F s:!!!

Funkcija F(x) je !!! !!! definirana i integrabilna Fourierov red funkcije F(x):

!!!na!!!

. !!!Razmotrimo!!!

7


Koristei supstituciju

, dobivamo sljedeu definiciju:

Definicija. Neka je !!!f!!! funkcija koja je definirana i integrabilna na intervalu [-L,L] tada je Fourierov red od !!!f(t)!!!:

gdje je

za

.

Primjer: Nai Fourierov red funkcije:

Rjeenje: Kako je L = 2, dobivamo:

8


za

. Stoga imamo:


u Fourierov red

9

10


FOURIEROVI REDOVI PO SINUSIMA I KOSINUSIMASjetimo se da je Fourierov red od f(x) definiran sa:

gdje je:

Dobivamo sljedei rezultat:

Teorem. Neka je f(x) funkcija koja je definirana i integrabilna na intervalu (1) Ako je f(x) parna, tada imamo: za sve i

.

(2) Ako je f(x) !!!neparna!!!, tada imamo: za sve i

11


Ovaj teorem pomae definirati Fourierove redove funkcija koje su definirane samo na . Glavna ideja je proiriti te funkcije na interval intervalu definiciju Fourierovog reda. i tada koristiti

Neka je f(x) funkcija definirana i integrabilna na intervalu

i neka je:

i

Tada je f1 neparna a f2 parna. Jednostavno je provjeriti !!!da su !!! obje funkcije definirane i integrabilne na intervalu i jednake f(x) na intervalu . Funkcija f1 se tada naziva "neparnim !!!produenjem!!!" od f(x), dok se f2 naziva "parnim !!!produenjem!!!". Definicija: Neka su f(x), f1(x) i f2(x) definirane na nain kako je to prikazano gore: (1) Fourierov red funkcije f1(x) se naziva Fourierovim redom po sinusima !!! !!! funkcije f(x), i dan je sljedeim izrazom:

gdje je:

12


(2)

Fourierov red funkcije f2(x) se naziva Fourierovim redom po kosinusima funkcije f(x), i dan je sljedeim izrazom:

gdje je:

za !!! u formuli za a_0 ne treba izraz cos(nx)!!! Primjer: Treba nai Fourierov red po kosinusima funkcije f(x) = x za . Rjeenje: Imamo:

i

Stoga, imamo:

Fourierov red po kosinusima funkcije f(x) = x za

.

13


Primjer: Treba nai Fourierov red po sinusima funkcije f(x) = 1 za Rjeenje: Imamo:

.

Zatim:

Fourierov red po sinusima funkcije f(x) = 1 za

.

Primjer: Treba nai Fourierov red po sinusima funkcije . Rjeenje: Imamo:

za

14

to daje b1 = 0 i za n > 1, imamo:


Stoga je:

Fourierov red po sinusima funkcije

za

.

Poseban sluaj 2L-periodinih funkcija: -periodine funkcije, moemo definirati Fourierove !!! redove po sinusima Kao i za i po kosinusima!!! i za funkcije definirane na intervalu [-L,L]. Prvo, sjetimo se Fourierovih redova od f(x):

gdje je:

15


za 1.

.

Ako je f(x) parna, tada je bn = 0, za

. tovie, imamo:

!!! ne treba cos(n ) !!! i

Napokon, imamo:

2. Ako je f(x) neparna, tada je an = 0, za sve ,i

Napokon, imamo:

16

I definicija Fourierovih redova po sinusima i kosinusima moe biti !!!slino!!! proirena. !!! !!!


KONVERGENCIJA FOURIEROVOG REDAVeina rezultata prikazana za -periodin!!!e!!! funkcije, moe se lako proiriti na 2L-periodine funkcije. !!Zato!! emo !!!govoriti!!! samo o -periodinim funkcijama. Definicija: Funkcija f(x) !!! !!! definirana na [a,b] !!! !!! je !!!po dijelovima!!! neprekidna na itavom intervalu ako !!! !!!! postoji podjela da: intervala [a,b] takva

(1) f(x) je neprekidna !!! na!!! intervalu [a,b] osim moda za toke xi, (2) lijeva i desna granica f(x) u !!!tokama!!! xi postoji. Kaemo da je f(x) glatka na itavom intervalu ako, i samo ako su i njezine derivacije definirane na itavom intervalu.

Sjetimo se da je

podjela intervala [a,b] ako je: a = x1 < x2 < ..< xn-1 < xn = b.

Sva mogua rjeenja sume, produkta i kvocjenta postoje i definirana s za neprekidne funkcije. Osim to se jedan od osnovnih matematikih teorema mora malo modificirati. Doista, nema razloga da funkcija f(x) i njena derivacija f'(x) budu neprekidne i definirane u granicama intervala. Ali ako zanemarimo lijevu i desnu granicu intervala u toki x0 i

17

osnovni teorem !!!diferencijalnog rauna!!! se prevodi u:

Prije nego izvedemo fundamentalne rezultate konvergencije Fourierovih redova, trebamo neke "me urezultate". Napomena: Zapamtimo, da je jedan od naih glavnih problema aproksimirati funkciju globalno (na itavom intervalu, dok su Taylorove aproksimacije lokalne). U skladu s navedenim, aproksimacija funcije f(x) bit e izvedena pomou Fourierovih polinoma.


Takvi Fourierovi polinomi nazivat e se Fourierovim parcijalnim sumama. Kako je:

imamo:

postavimo:

Dobivamo sljedei rezultat: Rezultat:

Dokaz: Imamo

18

Koristei trigonometrijske formule dobivamo:

Znai:


Stoga je:

Formula Koristei gornji rezultat, dobivamo:

dokazuje nau tvrdnju.

Ova formula je poprilino interesantna, s obzirom da daje Fourierove polinome od f(x) bez koeficijenata. Definicija: Dirichletov zakon kae:

19

Funkcija DN(x) je neprekidna i periodina, sa gornju formulu, dobivamo:

kao njenim periodom. Koristei

Sada moemo izvesti i dokazati fundamentalni rezultat konvergencije Fourierovog reda !!!koji!!! (prema Dirichletu) kae: Teorem: Neka je f(x) funkcija, koja je dvostruko derivabilna, tako da su f(x), f'(x), i f''(x) definirane (postoje) na itavom intervalu niz . Tada za svaki ,


Fourierovih parcijalnih suma

konvergira u

aritmetiku sredinu

, kada n tei

.

Sjetimo se da oznake f(x+) (odnosno f(x-)) predstavljaju desnu, odnosno lijevu granicu intervala, s obzirom na toku x kao toku gledita i funkciju f. Sada emo povezati f sa novom funkcijom S(f) definiranom na sljedei nain: ako je f neprekidna u x ako je f ima toku prekida u x.

Analogno iz prethodnog teorema sljedi: za svaki Dokaz teorema: Bez gubitka openitosti, moemo pretpostaviti da je funkcija f(x) definirana i periodina na itavom R. Stoga je i funkcija DN(t-x)f(t) je -periodina u t. Koristei Dirichletov zakon dobivamo:

20

Napravimo supstituciju u = t-x. Tada vrijedi:

Kako je DN parna funkcija, pojednostavimo:

Stoga:


Kako su funkcije unutar integrala parne, dobivamo:

S druge strane, dobivamo:

to daje:

Stoga je:

gdje je Pokaimo da je:

i

.

21

Sljedi dokaz da je

Postavimo funkciju

, zatim

za

i


Jednostavno je primjetiti da je U(u) neprekidna i ima kontinuirane derivacije na intervalu . Tako er je jednostavno provjeriti da je: i

Znai, g(u) i njezina derivacija su kontinuirane na itavom intervalu rezultat tada kae:

. Prvi

Stoga je:

Dokaz fundamentalnog teorema je sada kompletan. Primjer: Pokaite da je:

22

Rjeenje: Postavimo:

Funkcija zadovoljava pretpostavke glavnog teorema. Prije nego upotrijebimo zakljuke teorema, prona imo Fourierov red ove funkcije. Imamo: za svaki Jednostavnim sre ivanjem dobivamo: za svakiFourierovi redovi, polinomi i integrali

GIBBSOV FENOMENUbrzo nakon Pojave Fourierovih redova, poelo se istraivati Gibbsov fenomen. Prvo ga je prouavao H. Wilbraham 1848., a zatim ga je u detalje analizirao Josiah W. Gibbs (1839-1903). Krenut emo sa primjerom: Primjer: Promotrimo funkciju

Kako je ova funkcija neparna, imamo an = 0, za daje: za

. Direktno preraunavanje

za

. Fourierove parcijalne sume od f(x) su:

23

Osnovni teorem kae da red konvergira u f(x) osim u toki x0 = 0, kao toki prekida f(x). Gibbs se zainteresirao za ponaanje niza suma ba u okolici te toke.

Ponaanje funkcije f(x) u okolici toke x0 = 0


Gledajui u graf parcijalnih suma , primjeujemo udan fenomen. Zaista, kada se x priblii 0, graf prezentira "skok". Idemo to potvrditi matematiki. Promatrajmo drugu derivaciju od f2n-1, to e nam pomoi nai toke maksimuma.

Koristei trigonometrijske identitete dobivamo:

Kritine toke od f2n-1 su:

Kako su funkcije neparne, fokusirati emo se samo na ponaanje desno od nule. Najblia kritina toka sa te strane je . Kako je:

Da bi nali asimtotu kada je n velik, koristit emo Riemannove sume. Promotrimo

funkciju na intervalu Stoga Riemannova suma izgleda ovako:

, i podjelu

na

.

24

a konvergira u

. Jednostavno raunanje pokazuje da su sume jednake:

Stoga


Koristei Taylorove polinome od

u 0, dobivamo

imamo

Ti "skokovi" u blizini nule se ponaaju kao valovi visine 0,18. To nije sluaj samo sa ovom funkcijom. Zaista, Gibbs je pokazao da ako je f(x) glatka na itavom intervalu , a x0 je toka iljka, tada e Fourierove parcijalne sume imati isto ponaanje, sa "skokovima" visine priblino:

Za izbjegavanje ovog fenomena, uvodimo novi koncept f(x) funkcija koja je glatka na itavom intervalu parcijalna suma. Postavimo:

-aproksimacija. Neka je i fN(x) njena Fourierova

25

gdje je:

i zove se

-factor. Da bi mogli bolje vidjeti niz suma

treba aproksimirati . Koristimo sljedei rezultat:

funkciju f(x), a ne Fourierove parcijalne sume Teorem: Imamo


Dokaz: Imamo:

Slino imamo:

Stoga je:

to vodi do sljedeeg zakljuka:

Koristei gornje zakljuke, moemo lako vidjeti da su sume vrlo dobro aproksimirale funkciju f(x). Na sljedeem grafu vie ne moemo uoiti Gibbsov fenomen.

Primjer: Slika:

26

Uporaba

-aproksimacije

pokazuje da je funkciju f(x):

-aproksimacija pomogla u uklanjanju Gibbsovog fenomena za


Napomena; u ovom sluaju imamo:

i

OPERACIJE S FOURIEROVIM REDOVIMARezultati koji e biti izvedeni na u ovom poglavlju mogu se lako proiriti na funkciju definiranu na svakom intervalu [a,b]. Zato emo bez gubitka openitosti, pretpostaviti da su sljedee prom!!!a!!!trane funkcije Neka je f(x) -periodine i definirane na .

-periodina neprekidna funkcija. Tada je funkcija:

27

-periodina ako i samo ako je i Fourierov neprekidna i koeficijent a0 = 0. Tako er je jednostavno pokazati, da ako je f(x) glatka na itavom intervalu, tada je i F(x). Interesantno bi bilo pronai vezu izme u Fourierovih koeficijenata funkcija f(x) i F(x), ako postoji. Za An i Bn, kao Fourierove koeficijente F(x), imamo:

Integracija po djelovima izraza daje:


za

. Stoga je

Slini proraun daje:

i

To pokazuje sljedee: Teorem: (Integracija Fourierovih redova ) Neka je f(x) -periodina neprekidna funkcija, takva da je a0 = 0. Ako je:

28

Tada je:

gdje je:

.

Kako je F(x) neprekidna, imamo za svaki:


Primjer: Promatramo funkciju:

Imamo:

Kako, za svaki

, imamo:

tada je:

Jednostavni proraun daje: 29

Stoga je:

Neka je f(x)

-periodina neprekidna funkcija takva da vrijedi . Tada je h(x)

.

Postavimo zadovoljava sljedei uvjet:

-periodina neprekidna funkcija i


Kako je:

iz gornjeg rezultata sljedi:

to kompletira dokaz. Teorem: Neka je f(x) integral: -periodina neprekidna funkcija. Tada za svaki x i y,

integriranjem "!!!lan po lan!!!" daje Fourierov red funkcije f(x). Primjer: U gornjem primjeru, pokazali smo da je:

30

Stoga je:

to dovodi do formule:

Ovakva vrsta formula je zapravo jako interesantna. Ne doputa nam pronai aproksimaciju iracionalnog broja . !!! ne razumijem poslj. reenicu!!!


Primjer: Pokaimo da trigonometrijski red:

nije Fourierov red niti jedne funkcije. Rjeenje: Lako je dokazati da red konvergira za svaki . Pretpostavimo da postoji funkcija iji je red zadani red, te da je to ujedno i njezin Fourierov red. Tada:

mora konvergirati, budui da e biti Fourierov red od !!!primitivne funkcije od!!! f(x). Ali ovaj red ne konvergira kada je x=0. Kontradikcija: Nakon to smo rjeili vezu izme u Fourierovog reda funkcije i toga to ne postoji derivacija u svakoj toki te funkcije, prirodno je nai slinu vezu izme u funkcije i njene derivabilnosti. Rjeenje ovog problema je malo kompliciranije. Ali imamo sljedei teorem: Teorem: Neka je f(x) , imamo: -periodina, neprekidna i glatka funkcija. Tada za svaki

31

Drugim rjeima, dobivamo Fourierov red od f'(x) diferencirajui Fourierov red od f(x) !!!lan po lan!!! Teorem: Promotrimo monotonu zatvorenu krivulju u ravnini xy. Oznaimo sa P njezinu duljinu (opseg), a sa A njezinu povrinu. Tada imamo:

Jednakost je !!! !!!! ako i samo ako je krivulja krug.


Dokaz: Parametarska !!!jednadba!!! krivulje moe biti dana na sljedei nain:

uz

i

. Formule kojim se dobivaju P i A su:

i Postavimo:

Tada je . Ukljuimo novu varijablu parametarsku !!!jednadbu stavimo!!! ; dobivamo:

. Sada !!!u!!!

Jadnostavni proraun daje:

32

nova varijabla nam onemoguuje ponovno predoiti krivulju pomou parametara pretpostavljajui kvantitetu:

konstantnom. Stoga:


Kako je krivulja glatka, dobivamo:

Prethodni rezultat o vezi izme u Fourierovih koeficijenata funkcije i njezine derivabilnosti, daje:

i

Parsevalova formula (energetski teorem) kae:

S druge strane imamo:

33

Kako je:

Algebarskom manipulacijom dobivamo:


Kako je drugi dio prethodne jednakosti pozitivan, pojednostavljujemo prvi dio iste. S

druge strane, imat emo

ako i samo ako vrijedi za svaki

To vodi do:

za svaki

. Stoga je krivulja krug sredita u toki (a0,c0) polumjera , to je dokaz teorema.

34

PRIMJENA FOURIEROVIH REDOVA ZA RJEAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADBIOd poetka je Fourier elio pronai efikasan alat za rjeavanje diferencijalnih jednadbi. Zato emo sada govoriti o primjeni Fourierovih redova ba u tu svrhu.Samo emo se osvrnuti na jednadbe sljedeeg oblika: y(n) + an-1y(n-1) + ........+ a1y' + a0 y = f(x), gdje je f(x) -periodina funkcija.

Trebat emo kompleksni oblik Fourierovog reda periodinih funkcija, pa ga idemo prvo definirati:


Definicija: Neka je f(x) glasi:

-periodina funkcija. Kompleksni Fourierov red od f(x)

gdje je:

Koristit emo sljedee oznake:

Ako se pitate o vezi izme u realnih i kompleksnih Fourierovih koeficijenata, odgovorit e vam sljedei teorem: Teorem: Neka je f(x) koeficijente i Imamo sljedee: -periodina funkcija. Promotrimo realne Fourierove od f(x), kao i kompleksne Fourierove koeficijente .

35

za

Dokaz se temelji na Eulerovoj formuli za kompleksne eksponencijalne funkcije.


Napomena: Kada je f(x) 2L-periodina, tada je kompleksni Fourierov red definiran slino kao i prije, samo je:

!!!pomijeano L i c!!! za svaki .

Primjer: Neka je f(x) = x, za kompleksne Fourierove koeficijente !!!to je ovaj znak naopaka zagrada!!! Rjeenje: Imamo d0 = 0 i .

i f(x+2) = f(x). Treba nai njegove

Jednostavnim raunom dobivamo:

36

Kako je

, dobivamo

. Zatim:

!!!Vratimo se!!! na prvobitni problem. Da bi primjenili Fouriera na diferencijalne jednadbe, trebamo vezu izme u kompleksnih koeficijenata funkcije sa njezinom derivabilnou. Imamo sljedei teorem:


Teorem: Neka je f(x) 2L-periodina funkcija. Pretpostavimo de je derivabilna. Ako je:

tada je:

!!!nije c ve L!!! Primjer: Treba nai periodina rjeenja diferencijalne jednadbe: y' + 2y = f(x), gdje je f(x) -periodina funkcija.

Rjeenje: Postavimo:

Neka je y bilo koje

-periodino rjeenje diferencijalne jednadbe. Pretpostavimo: 37

Tada iz diferencijalne jednadbe dobivamo: za svaki n Kako je: za svaki n Stoga imamo:

!!!treba kazati to je f_n!!!Fourierovi redovi, polinomi i integrali

Primjer: Treba nai periodino rjeenje diferencijalne jednadbe:

Rjeenje: Zbog:

dobivamo

uz

za Neka je y periodino rjeenje diferencijalne jednadbe. Ako je:

38

tada je i

. Tako je: u ostalim sluajevima.

Stoga, zadana diferencijalna jednadba ima samo jedno periodino rjeenje:

Najvaniji rezultat moe se izrei sljedeim teoremom:


Teorem: Obratimo pozornost na sljedeu diferencijalnu jednadbu:

gdje je f(x) 2c-periodina funkcija. Pretpostavimo:

za . Tada diferencijalna jednadba ima samo jedno 2cperiodino rjeenje, dano sa:

gdje je

39


ZAKLJUAKZa prvi susret sa ovom temom mogu samo rei da je vrlo iroka i zahtjeva mnoga predznanja, kao i mnoga proirenja (tek steenih znanja) u drugim smjerovima na koje ona ukazuje. Ova radnja moe posluiti kao jedan kratak uvod, ili bolje reeno kao samo jedan od mnogih pogleda na Fourierove redove, polinome, integrale... Logino bi moda bilo u ovom radu osvrnuti se na rubne probleme (kao to su rubni uvjeti, linearnost i sl.), ili pak moda na Fourierovu metodu s!!!e!!!paracije varijabli pri rjeavanju konkretnih diferencijalnih jednadbi (kao to su one kod vo enja topline, oscilacija ice i sl). Jedino to mogu zakljuiti je "da bi ovo mogao biti poetak jednog divnog prijateljstva" sa Fourierom, te da u vjerojatno tek poslije (kroz ostale teme ovog kolegija, u inenjerskoj praksi ili u daljnjem kolovanju) uvidjeti jo neke njegove primjene i prednosti.

40

Documents

Vedrana Grozdanic - Fourierovi Redovi, Polinomi i Integrali