Estudo combinado gráfico e algébrico de polinómios de grau 3

e superior

J. Carvalho e Silva Joaquim Pinto

Vladimiro Machado (Projecto Aleph)

Matemática A Na resolução de problemas deve ser dada

ênfase especial à Modelação Matemática (por exemplo, usando dados concretos recolhidos por calculadoras gráficas ou computadores acoplados a sensores adequados). Deve ser dada ênfase especial à resolução de pro-blemas usando métodos numéricos e gráficos, nomeadamente quando forem usadas ine-quações. A resolução numérica ou gráfica deve ser sempre confrontada com conhecimentos teóricos.

Matemática A

  Deve ser usada a resolução analítica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polinómio em factores. O estudo analítico dos polinómios deve ser suscitado pela resolução de problemas e aí integrado. A resolução analítica de problemas deve ser sempre acompa-nhada da verificação numérica ou gráfica.

Problema de modelação O crescimento do carvalho vermelho é apro-

ximado pela função C(t)=−0.003t^3 +0.137t^2 +0.458t−0.839 onde C é a altura da árvore (em pés) e t é a sua

idade em anos (2≤t≤34). Use uma apli-cação gráfica para traçar o gráfico da função e estimar a idade da árvore quando está a crescer mais rapidamente. Este ponto é o chamado ponto de diminuição dos retornos porque o aumento do crescimento será menor em cada ano que se segue.

adequado?

adequado? O crescimento do carvalho vermelho é

aproximado pela função C(t)=−0.003t^3 +0.137t^2 +0.458t−0.839 onde C é a altura da árvore (em pés) e t é a

sua idade em anos (2≤t≤34).

  Domínio: intervalo [2,34]   Eixo dos yy: usando tabela

de valores

Escolha da janela

  [2,34]x[-1,30] serve neste caso   Note-se que [-1,30] nem é contradomínio

nem conjunto de chegada   A janela tem de ser escolhida caso a caso

ponto de diminuição dos retornos

Generalização

  Qual será o comportamento da função C(t)=−0.003t^3 +0.137t^2 +0.458t−0.839 em toda a recta real e não apenas no

intervalo [2,34]?   Como proceder?

Sobre polinómios

  Corolário do Teorema Fundamental da Álgebra: O número máximo de zeros reais de uma função polinomial de grau n é exactamente igual a n .

  Teorema de Cauchy: todas as raízes reais de um polinómio mónico (em que o coeficiente do termo de grau mais elevado é igual a 1) estão contidas no intervalo [−M −1, M +1] onde M é o maior dos valores absolutos dos coeficientes do polinómio.

Caso geral

  Transformar num polinómio mónico

  Zeros estão todos no intervalo [-280,280]

Primeiro gráfico

  Basta a janela [-100,100]x[-100,100]

Segundo gráfico

  Encontramos três zeros

O caso das raízes inteiras

Critério de divisibilidade: Se um polinómio tem coeficientes inteiros, para que seja divisível por x − a é necessário que o termo independente seja um múltiplo de a

Exemplo

  Estudar zeros de f (x)=10x^3 −15x^2 −16x+12   zeros inteiros: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12   Experimentar para todos f(1)=0?, f(2)=0?

…   Uma alternativa: traçar o gráfico num

intervalo contendo [-12,12]

Exemplo

  Possíveis zeros: apenas -1, 1 e 2

Exemplo

  f(2)=0   f(x)=(x−2)(10x^2 + 5x − 6)

Conclusão

  Deve haver uma maior integração entre o estudo algébrico e o estudo gráfico (tal como determina o programa oficial.

  Teoremas como o de Cauchy de localização das raízes de um polinómio e o da obtenção de todas as raízes inteiras de polinómios de coeficientes inteiros são indispensáveis num estudo elementar mas minimamente eficaz.