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E l S i d Fí i M t áti
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Física y MatemáticasLicenciatura en Física y Matemáticas
“Teoría de Representaciones y Cocientes Finitos del Grupo de Trenzas”
TESISTESIS
que presenta
Bruno Aarón Cisneros de la
CruzBruno Aarón Cisneros de la Cruz
Para obtener el grado de
Licenciado en Física y Matemáticasce c ado e
s ca y ate át cas
Asesores
Dr. Miguel Alejandro Xicoténcatl MerinoDr. Pablo Lam Estrada
México, D.F.Diciembre del 2009
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Agradecimientos
Quiero expresar un profundo
agradecimiento al Dr. Miguel
Alejandro
Xicoténcatl Merino por la dirección
y apoyo brindado para
la realización de
este trabajo y por
la guía que ha
sido en mi vida profesional.
Al Dr. Pablo
Lam Estrada por aceptar
ser mi Asesor dentro de la
E.S.F.M. y el apoyo
brindado en este proceso. Al
jurado, Dra. Flor de María Correa Romero, Lic.
Salvador Quintín Flores García y
candidato a Dr. Rubén Santos
Mancio
Toledo, por sus valiosos y acertados comentarios al trabajo aquí presentado.
Así mismo quiero agradecer a mis profesores que durante estos últimos dos
años me han brindado conocimientos
y una preparación excepcional sin
la
cual no podría
imaginar el universo que hay por
aprender ahí afuera: Dra.
Flor de Ma. Correa
Romero, Dr. Pablo Lam Estrada,
Lic. Salvador Quintín
Flores García, Dr. José María Rocha Martínez.
Por último también agradezco
al Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología
(CONACYT) por el apoyo brindado
bajo el proyecto AP LIC 104577
y al
Consejo Mexicano de Ciencia y Tecnología (COMECYT) por el apoyo brindado
con la beca 09BTL0301 para la realización de esta tesis de licenciatura.
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Dedicatorias
“La Filosofía está escrita en ese gran libro del Universo, que
está continuamente abierto ante nosotros para que lo observemos.
Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el
lenguaje y el alfabeto en que está compuesto. Está escrito en el
lenguaje de las Matemáticas y sus caracteres son triángulos,
círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente
imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje,
navegamos en un oscuro laberinto.”
Galileo Galilei
A Dios por su fiel compañía y su oído atento.
A Rosy por el amor que compartimos y alimenta los engranes de mi vida, siempre
tuyo…
A mi familia, mis tíos Lalo
y Lolis, mis padres Juan y
Jacqueline y mis hermanos
Diana y Andrés por su
incansable apoyo y ánimos
infundidos para ser un hombre
de bien.
A todos aquellos que han estado presente y han sido parte de este viaje cósmico:
Nora, Luis, Tania, Cesar, Tomás,
Juan, Judith, Alain, Jonathan, Karen,
Balú,
Regalado, prestados y al por mayor no mencionados aquí… a todos gracias!
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i
Introducción
El concepto de trenza se remonta a muchas centurias atrás, pues
las trenzas se han utilizadouniversalmente como objetos
decorativos, art́ısticos e incluso para amarrar cosas.
Matemáti-camente se puede dar una definición rigurosa del
concepto de trenza de n cuerdas en elespacio. Al conjunto de dichas
trenzas se le denota generalmente por Bn y para su estudio sele da
la estructura de grupo estableciendo una relación de equivalencia
sobre dicho conjuntoy defniendo el producto de dos trenzas como su
“yuxtaposición”.
Fue E. Artin quien, en un art́ıculo publicado en 1926 [2],
introdujo formalmente el grupode trenzas. En dicho art́ıculo
propuso el uso de las trenzas para el estudio de nudos yprobó
además que el grupo de trenzas denotado por Bn admite la siguiente
presentación:
Bn =
〈x1, . . . , xn−1
∣∣∣∣ xixj = xjxi |i− j| ≥ 2xixi+1xi = xi+1xixi+1 i = 1, 2, . . .
, n− 1〉.
En el mismo art́ıculo, E. Artin observó que el grupo cociente
de Bn por el subgrupo normalgenerado por x21, . . . , x
2n−1 es isomorfo al grupo simétrico Sn, el cual es finito.
Por otra parte, en 1902, W. Burnside plantea una de las más
viejas e importantes preguntasen teoŕıa de grupos:
“Sea B(n,m) el grupo cociente de Fn = 〈 x1, . . . , xn 〉, el
grupo libre de ngeneradores, y N el subgrupo normal en Fn generado
por x
m1 , . . . , x
mn . ¿Para
qué valores (n,m) ∈ N2 será B(n,m) finito?”
H.S.M. Coxeter en [8], plantea al grupo de trenzas como una
posible generalización de losgrupos abelianos y definiendo el
grupo Bn(m) como el grupo cociente del grupo de trenzaspor el
subgrupo generado por xm1 , . . . , x
mn−1. Surge una pregunta natural:
¿Para qué (n,m) ∈ N2, será Bn(m) finito?
En el mismo art́ıculo H.S.M. Coxeter responde esta pregunta,
encontrando que dicho cocienteserá finito para (n,m) ∈ N2 tales
que (n − 2)(m − 2) < 4. Aśı pues las soluciones de
dichaecuación corresponden al tipo (n,m) de los sólidos
plátonicos, donde n es la cantidad devértices que tiene cada cara
y m es la cantidad de aristas que concurren en cada vértice.
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ii Introducción
Poliedros regularesvértices x cara aristas x vértice
Poliedro
3 3 Tetraedro3 4 Hexaedro3 5 Octaedro4 3 Dodecaedro5 3
Icosaedro
Tetraedro Hexaedro Octaedro
Dodecaedro Icosaedro
De hecho, Coxeter probó el siguiente teorema:
Teorema 0.1. Sea Bn el grupo de trenzas con la presentación de
Artin y Bn(m) el co-ciente del grupo de trenzas por el grupo normal
generado por xm1 , . . . x
mn−1. Entonces, Bn(m)
será finito si y sólo si (n− 2)(m− 2) < 4.
En su art́ıculo original [8] resolvió el problema utilizando
geometŕıa hiperbólica, lo que la hacemuy extensa. De manera mas
reciente, J. Assion [5] presentó una demostración del
mismoteorema utilizando la teoŕıa de representación de grupos
finitos. El objetivo de este trabajoes desarrollar la demostración
de Assion, para lo que utilizaremos algunos resultados clásicosde
la teoŕıa de representación de grupos, aśı como algunos
resultados de presentaciones degrupos.
La tesis esta organizada como sigue:
En el Caṕıtulo 1 desarrollamos los resultados de teoŕıa de
representación de grupos finitosque utilizaremos para la
demostración del teorema.
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Introducción iii
En el Caṕıtulo 2 introducimos formalmente el concepto
geométrico de trenza y cómo segeneraliza este concepto para
formar el grupo de trenzas, aśı como algunas de sus
propiedadesmás importantes y su relación con el grupo
simétrico.
En el Caṕıtulo 3 caracterizamos los grupos cocientes infinitos,
de la forma Bn(m), del grupode trenzas, lo que nos permite acotar
los grupos cocientes que pueden ser finitos, basados enel art́ıculo
de J. Assion.
En el Caṕıtulo 4 presentamos los grupos cocientes finitos, de
la forma Bn(m), del grupo detrenzas.
Finalmente en los apéndices se presentan algunos resultados
complementarios que se utilizanen el texto, como es el método de
Reindeinmeister-Scherier que nos permite, a partir de
lapresentación de un grupo, encontrar una presentación de
cualquiera de sus subgrupos.
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v
Índice general
Introducción i
Índice general v
Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos 11. Representación de
Grupos 12. FG-Módulos 63. FG-Submódulos y Reducibilidad 114.
Algebra de grupo 125. FG-homomorfismos 176. El Teorema de Maschke
21
Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas 251. El Grupo de Trenzas
Geométrico 252. El Grupo de Trenzas de Artin 333. Propiedades del
Grupo de Trenzas 344. El grupo de trenzas y el grupo simétrico
375. Los grupos cocientes de la forma Bn(m) 42
Caṕıtulo 3. Cocientes Infinitos de la forma Bn(m) 451. Grupos
cocientes del grupo de trenzas 452. Representación de Burau 473.
Algunos resultados de la teoŕıa de Grupos 504. Un lema auxiliar
515. Cocientes infinitos de la forma Bn(m) 54
Caṕıtulo 4. Cocientes finitos de la forma Bn(m) 611. Algunos
resultados preliminares 612. Cocientes finitos de B3 623. Cocientes
finitos de B4 744. Cocientes finitos de B5 815. Caracterización de
los cocientes de la forma Bn(m) 84
Conclusiones y Perspectivas 87Conclusiones 87Perspectivas 89
-
vi Índice general
Apéndice A. Un poco de teoŕıa de grupos 911. Grupos libres
912. Presentaciones de grupos 933. El método Reidemeister-
Scherier 94
Apéndice B. Un resultado sobre el grupo A5 97
Bibliograf́ıa 99
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1
Caṕıtulo 1
Representaciones de Grupos
1. Representación de Grupos
A lo largo de este texto consideraremos a F como el campo R ó
C, a menos que se indiquelo contrario, sin embargo hacemos notar
que los resultados que se presentan en este cápituloen general se
cumplirán considerando F como cualquier campo.El conjunto de
matrices de n × n sobre F (Matn(F )) es un anillo. Además el
conjuntode todas las matices invertibles en Matn(F ), forma un
grupo con el producto de matrices,llamado el Grupo Lineal (GL(n, F
)).
Definición 1.1. Una representación matricial de un grupo G
sobre F es un homomorfismode grupo ϕ : G→ GL(n, F ). El grado de ϕ
es el entero n.
De aqúı entonces ϕ es una representación si y sólo si
1. ϕ es una función de G en GL(n, F )2. ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) ∀g, h
∈ G
Definición 1.2. Sean ϕ : G → GL(m,F ) y ψ : G → GL(n, F ) dos
representaciones de Gsobre F . Decimos que ϕ es equivalente a ψ si
n = m y existe una matriz invertible n× nT tal que
ψ(g) = T−1ϕ(g)T
Observación 1.1. La equivalencia de representaciones de un
grupo G sobre un campo F esuna relación de equivalencia sobre la
clase de representaciones de G sobre F .
Demostración. En efecto, sean ϕ, ψ y % tres representaciones de
G sobre F entonces
1. ϕ(g) = Iϕ(g)I ∀g ∈ G luego ϕ es equivalente a ϕ.2. si ϕ es
equivalente a ψ entonces existe T ∈ GL(n, F ) tal que
ψ(g) = T−1ϕ(g)T ∀g ∈ G
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2 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
de aqúı entonces para toda g ∈ G tenemosTψ(g)T−1 =
(T−1)−1ψ(g)T−1
= (T−1)−1T−1ϕ(g)TT−1
= ϕ(g)
luego ψ es equivalente a ϕ.3. si ϕ es equivalente a ψ y ψ es
equivalente a % entonces existe T, P ∈ GL(n, F ) tal
que
ψ(g) = T−1ϕ(g)T ∀g ∈ G%(g) = P−1ψ(g)P ∀g ∈ G
entonces para toda g ∈ G tenemos%(g) = P−1ψ(g)P
= P−1T−1ϕ(g)TP
= (TP )−1ϕ(g)TP
luego % es equivalente a ϕ.
�
Definición 1.3. Sea ϕ : G → V una representación de G sobre F
, definimos el kernel deϕ como
ker(ϕ) = {g ∈ G|ϕ(g) = I}donde I es la matriz identidad de GL(n,
F ).
Definición 1.4. Sea ϕ una representación de G sobre F ,decimos
que ϕ es trivial si ker(ϕ) =G
Definición 1.5. Sea ϕ una representación de G sobre F ,decimos
que ϕ es una represen-tación fiel si ker(ϕ) = {1} donde 1 es el
elemento identidad de G.Observación 1.2. Si ϕ : G → GL(n, F ) es
una representación de G sobre F entonces elkernel de ϕ es un
subgrupo normal de G.
Demostración. Sea g ∈ G y h ∈ ker(ϕ), entoncesϕ(ghg−1) =
ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g−1)
= ϕ(g)Iϕ(g)−1
= ϕ(g)ϕ(g)−1
= I
de aqúı entonces ghg−1 ∈ ker(ϕ) �Proposición 1.1. Sea ϕ una
representación de G sobre F , ϕ es una representación fiel siy
sólo si Im(ϕ) es isomorfo a G.
-
1. Representación de Grupos 3
Demostración. Sabemos que G/ ker(ϕ) ∼= Im(ϕ).Supongamos ker(ϕ)
= {1} entonces G/ ker(ϕ) = G isomorfo a Im(ϕ).Supongamos G isomorfo
a Im(ϕ), tenemos que
|G/ker(ϕ)| = |Im(ϕ)| = |G|de aqúı tenemos que
|G| = |ker(ϕ)||Im(ϕ)| = |ker(ϕ)||G|luego
|ker(ϕ)| = 1y puesto que 1 ∈ ker(ϕ) tenemos que ker(ϕ) = {1}. De
aqúı se concluye ϕ es una represen-tación fiel. �
Ejemplo 1.1. (La representación de Burau del grupo de trenzas)
Sea n ∈ N definimos
Bn :=
〈σ1, . . . , σn−1
σiσj = σjσi |i− j| ≥ 2 i ∈ {1, . . . , n− 1}σiσi+1σi =
σi+1σiσi+1 i ∈ {1, . . . , n− 2}
〉Bn es llamado el grupo de trenzas de n cuerdas de Artin (ver
Caṕıtulo 2).Para n ≥ 2 consideremos las siguientes mátrices n× n
sobre C
Ui =
Ii−1 0 00 U 00 0 In−i−1
i ∈ {1, . . . , n− 1}donde
U =
(1− t 1t 0
)Ik denota la matriz identidad k × k. Definimos ψn : Bn →
GL(2,C) por ψn(σi) = Ui. ψn esuna representación de Bn la cual es
llamada la representación de Burau.
Demostración. Necesitamos verificar que Ui es invertible para
toda i ∈ J = {1, . . . , n−1} y que se cumplen las dos relaciones
que definen al grupo Bn en las imagenes de losgeneradores bajo ψn,
es decir que UiUj = UjUi para i, j ∈ {1, . . . , n− 1} tal que |i−
j| ≥ 2y que UiUi+1Ui = Ui+1UiUi+1 para i ∈ {1, . . . , n− 2}.Para
ver que Ui es invertible notemos que Ui es una matriz diagonal por
bloques. Por elteorema de Hamilton-Cayley sabemos que para toda
matriz M , 2× 2 sobre C, satisface que
M2 − tr(M)M + det(M)I2 = 0donde tr(M) es la traza de M y det(M)
es el determinante de M . Para M = U tenemosentonces que
U2 − (1− t)U − tI2 = 0
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4 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
Ahora notemos que las matrices identidad también satisfacen
esta relación. Por lo que tene-mos que
U2i − (1− t)Ui − gIn = 0 ∀i ∈ J
Esto puede lo podemos escribir como:
Ui(Ui − (1− t)In) = tIn ∀i ∈ J
.De aqúı entonces Ui es invertible y su inversa estará dada
por
U−1i = t−1(Ui − (1− t)In) =
Ii−1 0 0 0
0 0 t−1 00 1 1− t−1 00 0 0 In−i−1
Ahora, si i, j ∈ J tal que |i − j| ≥ 2, sin pérdida de
generalidad podemos suponer quej = i+ 2 + k con k ∈ {0, . . . , n−
i− 3} tenemos entonces al multiplicar Ui y Uj
UiUj =
Ii−1 0 0 0 0
0 U 0 0 00 0 Ik 0 00 0 0 I2 00 0 0 0 In−(i+2+k)−1
Ii−1 0 0 0 0
0 I2 0 0 00 0 Ik 0 00 0 0 U 00 0 0 0 In−(i+2+k)−1
=
Ii−1 0 0 0 0
0 U 0 0 00 0 Ik 0 00 0 0 U 00 0 0 0 In−(i+2+k)−1
=
Ii−1 0 0 0 0
0 I2 0 0 00 0 Ik 0 00 0 0 U 00 0 0 0 In−(i+2+k)−1
Ii−1 0 0 0 0
0 U 0 0 00 0 Ik 0 00 0 0 I2 00 0 0 0 In−(i+2+k)−1
= UjUi
-
1. Representación de Grupos 5
por último para verificar que UiUi+1Ui = Ui+1UiUi+1, basta
notar que(U 00 1
)(1 00 U
)(U 00 1
)=
1− t 1 0t 0 00 0 1
1 0 00 1− t 10 t 1
1− t 1 0t 0 00 0 1
=
1 0 00 1− t 10 t 1
1− t 1 0t 0 00 0 1
1 0 00 1− t 10 t 1
=
(1 00 U
)(U 00 1
)(1 00 U
).
�
Ejemplo 1.2. Sea n ≥ 3 y V1, V2, . . . , Vn−1 las matrices (n−
1)× (n− 1) sobre C dadas por
V1 =
−t 1 00 1 00 0 In−3
, Vn−1 =In−3 0 00 1 0
0 t −t
y para 1 < i < n− 1
Vi =
Ii−2 0 0 0 0
0 1 0 0 00 t −t 1 00 0 0 1 00 0 0 0 In−i−2
Entonces para toda i = 1, . . . , n− 1
Wi = CUiC−1 =
(Vi ∗i0 1
)donde C es la matriz n× n
C = Cn =
1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0...
......
. . ....
1 1 1 . . . 1
y ∗i es la columna de longitud n− 1 igual a 0 si i < n− 1 e
igual a (0, . . . , 0, 1)t si i = n− 1y Ui son las matrices de la
representación de Burau (ejemplo 1.1).
De aqúı entonces Ψ : Bn → GL(n,C) dada por Ψ(σi) = Wi es una
representación de Bnequivalente a la representación de Burau.
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6 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
Demostración. Es suficiente probar que para toda i ∈ {1, . . .
, n−1} se cumple CUi =WiC.
CUi =
1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0...
......
. . ....
1 1 1 . . . 1
Ii−1 0 0 0
0 1− t 1 00 t 0 00 0 0 In−i−1
.Fijemos i y observemos que para k = 1, . . . , n el k-ésimo
renglón de CUi es la suma de losprimeros k renglones de Ui. Una
comparación directa nos muestra que CUi se obtiene de
Creemplazando la (i, i)-ésima entrada por 1− t y reemplazando la
(i+ 1, i)-ésima entrada por1.Similarmente al fijar i y hacer el
producto WiC, tendremos entonces que para l = 1, . . . , n,la
l-ésima columna de WiC es la suma de las ultimas l columnas de Wi.
De aqúı entonces uncalculo directo nos muestra que WiC se obtiene
de C reemplazando la (i, i)-ésima entradapor 1 − t y la (i + 1,
i)-ésima entrada por 1, es decir, las mismas modificaciones del
casoanterior. Luego tenemos la igualdad que buscabamos. �
2. FG-Módulos
Definición 2.1. Sea V un espacio vectorial sobre F y sea G un
grupo. Entonces la dupla(V, ◦) es un FG-módulo dónde ◦ : G × V →
V es una función que satisface las siguientescondiciones para toda
u, v ∈ V, λ ∈ F y g, h ∈ G:
1. g ◦ v ∈ V2. (gh) ◦ v = g ◦ (h ◦ v)3. 1 ◦ v = v4. g ◦ (λv) =
λ(g ◦ v)5. g ◦ (u+ v) = g ◦ u+ g ◦ v
Observemos que usamos las letras F y G en el nombre FG-módulo
para indicar que V esun espacio vectorial sobre F y que G es el
grupo del cual estamos tomando los elementosg para formar el
producto g ◦ v, con v ∈ V . En adelante cuando nos refiramos a un
(V, ◦),FG-módulo, si no hay confusión con la operación, lo
llamaremos simplemente FG-móduloV .
Observación 2.1. Las condiciones 1,4 y 5 en la definición
aseguran que para toda g ∈ G,la función v 7→ g ◦ v con v ∈ V , es
un endomorfismo de V.
La definición de un FG-módulo es para espacios vectoriales de
dimensión finita o infinita,sin embargo para nuestros fines
consideraremos a V como un espacio vectorial de
dimensiónfinita.
-
2. FG-Módulos 7
Definición 2.2. Sea V un FG-módulo y sea B una base de V .
Para cada g ∈ G, denotamos[g]B la matriz del endomorfismo v 7→ g ◦
v con v ∈ V , relativa a la base B.
A continuación presentamos una serie de resultados que nos
permite ver la equivalencia quehay entre los FG-módulos y las
representaciones de G sobre F .
Teorema 2.1.
1. Si ϕ : G→ GL(n, F ) es una representación de G sobre F , y V
= F n, entonces V esun FG-módulo si definimos la operación ◦ : G×
V → V de la siguiente manera
g ◦ v = (ϕ(g))v.
Lo que es más, si B es una base de V , entonces
ϕ(g) = [g]B.
2. Supongamos que V es un FG-módulo y sea B una base de V
entonces la función
g 7−→ [g]B (g ∈ G)
es una representación de G sobre F .
Demostración.
1. Sean u, v ∈ F n, λ ∈ F y g, h ∈ G notemos que ϕ(g) ∈ GL(n, F
), tenemos entonces:a) ϕ(g)v ∈ V puesto que al multiplicar una
matriz n × n por un vector 1 × n
obtenemos nuevamente un vector 1× nb) ϕ(gh)v = (ϕ(g))(ϕ(h)v)
puesto que ϕ es un homomorfismo.c) ϕ(1)v = Iv = v puesto que ϕ es
un homomorfismo.d) ϕ(g)(λv) = λϕ(g)v por las propiedades de la
multiplicación de matrices.e) ϕ(g)(u+v) = (ϕ(g)u)+(ϕ(g)v) por las
propiedades de las operaciones de matrices
de aqúı entonces F n es un FG-módulo con esta operación. Lo
que es más, si consi-deramos a B como la base canónica de F n
entonces ϕ(g) = [g]B para toda g ∈ G.
2. Sea V un FG-módulo con base B. Puesto que (gh)◦v = g◦(h◦v)
para todo g, h ∈ Gy para todo v ∈ V en la base B, tenemos que
[gh]B = [g]B[h]B
en particular tenemos que
[1]B = [g]B[g−1]B ∀g ∈ G,
de aqúı entonces 1◦v = v, ∀v ∈ V , entonces [1]B es la matriz
identidad, luego la matriz[g]B es invertible, cuya matriz inversa
será [g
−1]B = ([g]B)−1. De aqúı concluimos que
g 7→ [g]B con g ∈ G es un homomorfismo de G en GL(n, F ), donde
n = dim(V ), yluego una representación de G sobre F .
�
-
8 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
Definición 2.3. Sea ϕ : G→ GL(n, F ) una representación de G
sobre F y B una base deF n, definimos ◦ : g × V → V como
g ◦ v = (ϕ(g))v = [g]Bv
entonces (F n, ◦) lo llamaremos el FG-módulo inducido por ϕ en
la base B
Ejemplo 2.1. Consideremos la representación de Burau del grupo
de trenzas, ψ : Bn →GL(n,C) presentada en el ejemplo 1.1 y sea B
una base de Cn. Con esta representaciónpodemos considerar a Cn
como el FG-módulo inducido por ψ en la base B.
Ejemplo 2.2. Consideremos la representación del grupo de
trenzas, Ψ : Bn → GL(n,C),presentada en el ejemplo 1.2 y sea B′ una
base de Cn, con esta representación podemosconsiderar a Cn como el
FG-módulo inducido por Ψ en la base B′.
Proposición 2.1. Sea {vi}ni=1 una base del espacio vectorial V
sobre F . Supongamos quetenemos una multiplicación ◦ : V ×G→ V la
cual satisface las siguientes condiciones paratodo i ∈ {1, 2, . . .
, n}, g, h ∈ G y {λi}ni=1 ⊂ F :
1. g ◦ vi ∈ V2. (gh) ◦ vi = g ◦ (h ◦ vi)3. 1 ◦ vi = vi4. g ◦
(
∑ni=1 λivi) =
∑ni=1 λig ◦ vi
Entonces V es un FG-módulo
Demostración. Es claro de (3) y (4) que 1◦v = v para toda v ∈ V
con esto aseguramosla condicion (3) de la definción.Además las
condiciones (1) y (4) implican que para toda g en G, la función v
7−→ g ◦ v esun endomorfismo de V , es decir para toda u, v ∈ V , λ
∈ F
g ◦ v ∈ Vg ◦ (λv) = λg ◦ v
g ◦ (u+ v) = (g ◦ v) + (g ◦ v)
Con esto verificamos las condiciones (1),(4) y (5) de la
definción.Además de aqúı concluimos también que para toda ui ∈
V y g ∈ G
(2.1) g ◦ (n∑i=1
λiui) =n∑i=1
λig ◦ ui
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2. FG-Módulos 9
Resta probar la condición (2) de la definción. Sea v ∈ V y
sean g, h ∈ G. entonces existenλ1, . . . , λn tal que v =
∑ni=1 λivi y tenemos que
(gh) ◦ v = (gh) ◦ (n∑i=1
λivi)
=n∑i=1
λi(gh) ◦ vi
=n∑i=1
λig ◦ (h ◦ vi),
pero por la ecuación 2.1
n∑i=1
λig ◦ (h ◦ vi) = g ◦ (n∑i=1
λih ◦ vi)
= g ◦ (h ◦ v).�
Notemos que podemos ver el producto ◦ : G× V → V como una
acción de G en V . Estoinduce la siguiente definición.
Definición 2.4. Sea x ∈ V al conjunto Gx = {g ∈ G| gx = x} le
llamamos el estabilizadorde x en G. Análogamente si S ⊆ V , al
conjunto GS = {g ∈ G| gx = x ∀x ∈ S} lellamamos el el estabilizador
de S en G.
Observación 2.2. Es fácil ver de la definición que
GS =⋂x∈S
Gx.
Definición 2.5. Decimos que un FG-módulo es trivial si GV =
G.
Definición 2.6. Decimos que un FG-módulo es fiel si GV =
{1}.
Ahora consideremos G un subgrupo de Sn (el grupo simétrico de
permutaciones de A ={1, 2, . . . , n}). Sea V un espacio vectorial
n-dimensional sobre F , con base B = {v1, v2, . . . , vn},tal que
para cada i ∈ A y cada permutación σ ∈ G definimos ◦ : G× V → V de
la siguientemanera:
σ ◦ vi = vσ(i).De aqúı entonces tenemos lo siguiente
1. vσ(i) ∈ V2. σ, γ ∈ G
(σγ) ◦ vi = v(σγ)(i) = v(σ(γ(i))) = σ ◦ (γ(i))3. 1 ◦ vi =
vi.
-
10 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
4. Para cada σ ∈ G , vi ∈ B y λ1, λ2, . . . , λn ∈ F
definimos:
σ ◦ (n∑i=1
λivi) =n∑i=1
λiσ ◦ vi
entonces, definida la operación ◦ : G×V → V de esta manera,
hacemos de V un FG-módulo.
Definición 2.7. Sea G un subgrupo de Sn. Entonces el FG-módulo
con base {vi}ni=1 tal quepara toda σ ∈ G, i ∈ {1, 2, . . . , n}
σ ◦ vi = vσ(i)es llamado el módulo permutaciones de G sobre F .
y llamamos a {vi}ni=1 la base na-tural de V .
Ejemplo 2.3. Sea G = S4 y sea β una base de V . Si σ = (1, 2),
entonces
σ ◦ v1 = v2σ ◦ v2 = v1σ ◦ v3 = v3σ ◦ v4 = v4
y si γ = (1, 3, 4) entonces,
γ ◦ v1 = v3γ ◦ v2 = v2γ ◦ v3 = v4γ ◦ v4 = v1
y tenemos que:
[σ]B =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
[γ]B =
0 0 1 00 1 0 00 0 0 11 0 0 0
Ahora notemos que un FG-módulo induce una representación para
cada base B de V , todasde la forma
g → [g]β (g ∈ G)sin embargo con el siguiente resultado vemos que
todas ellas son equivalentes y lo que esmás, si dos
representaciones de G sobre F son equivalentes entonces existe un
FG-módulodel cual provienen.
Teorema 2.2. Supongamos que V es un FG-módulo de dimensión n
con base B y sea ϕ larepresentación de G sobre F definida por
ϕ : g 7→ [g]B
-
3. FG-Submódulos y Reducibilidad 11
1. Si B′ es una base de V , entonces la representación
φ : g 7→ [g]B′es equivalente a ϕ.
2. Si σ es una representación equivalente de ϕ entonces existe
una base B′′ tal que paratoda g ∈ G
σ : g 7→ [g]B′′
Demostración.
1. Sea T la matriz de cambio de base de B a B′. Entonces para
toda g ∈ G tenemos[g]B = T
−1[g]B′T
por lo que φ es equivalente a ϕ.2. Supongamos que σ es una
representación equivalente de ϕ, entonces existe una matriz
invertible T tal que para todo g ∈ Gρ(g) = T−1σ(g)T
Sea B′′ la base de V tal que la matriz de cambio de base de B a
B′′ sea T . Entoncespara todo g ∈ G
[g]B = T−1[g]B′′T
de aqúı entonces σ(g) = [g]B′′ .
�
Ejemplo 2.4. Consideremos la representación ψ presentada en el
ejemplo 1.1, sea B la basecanónica y consideremos el CBn-módulo
inducido por ψ en la base B. Por el ejemplo 1.2tenemos que Ψ es una
representación equivalente de ψ, el teorema anterior, inciso 2,
aseguraque existe una base B′ de Cn, a saber {
∑i=ji=1 ei}nj=1, tal que el CBn-módulo inducido por ψ
en la base B y el CBn-módulo inducido por Ψ en la base B′
coinciden.
3. FG-Submódulos y Reducibilidad
Definición 3.1. Sea V un FG-módulo. Un subconjunto W de V se
dice que es un FG-submódulo de V si W es un subespacio vectorial
de V y si g ◦ w ∈ W para todo g ∈ G ypara todo w ∈ W .
Definición 3.2.
1. Un FG-módulo V se dice que es irreducible si V 6= 〈0〉 y sus
únicos FG-módulosson 〈0〉 y V .
2. Si V tiene un FG-submódulo W con W 6= V y W 6= 〈0〉 entonces
decimos que esreducible.
3. Una representación ϕ : G→ GL(n, F ) es irreducible si el
FG-módulo F n inducidopor ϕ es irreducible.
-
12 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
4. Una representación ϕ : G→ GL(n, F ) es reducible si el el
FG-módulo F n inducidopor ϕ es reducible.
Observación 3.1. Ahora supongamos que V es un FG-módulo
reducible, entonces existeun FG-submódulo W con dimW < dimV .
Consideremos B1 una base de W y extendamosesta base a una base B de
V . Entonces para toda g ∈ G , la matriz [g]B tiene la forma:
(3.1) [g]B =
(Xg Yg0 Zg
)para algunas matrices Xg, Yg, Zg, donde Xg es una matriz k × k,
con k = dimW .
Observación 3.2. Si ϕ : G → GL(n, F ) es una representación de
grado n, entonces ϕ esuna representación reducible si y sólo si
es equivalente a una representación de la forma 3.1,dónde Xg es
una matriz k × k con 0 < k < n
Ejemplo 3.1. Consideremos la representación Ψ del ejemplo 1.2,
la cual tiene la forma 3.1,por la observación anterior entonces Ψ
es reducible y por lo tanto el CBn-módulo inducidopor Ψ en la base
B es reducible.Lo que es más si consideramos ψr : Bn → GL(n−1,C)
como ψr(σi) = Vi ∀i ∈ {1, . . . , n−1}donde Vi son las matrices del
ejemplo 1.2, entonces ψ
r es una representación de Bn sobre Cde grado n− 1.Además,
sabemos que la representación Ψ es equivalente a la
representación de Burau, porlo que a la representación ψr se le
llama la representación reducida de Burau
4. Algebra de grupo
Definición 4.1. Sea G = {gi}ni=1 un grupo finito, llamaremos FG
al espacio vectorial cuyabase es G, y la dimensión de FGes igual a
n. De aqúı entonces los elementos de FG son lassumas formales:
n∑i=1
λigi λi ∈ F
con las operaciones usuales, es decir si u =∑n
i=1 λigi, v =∑n
i=1 µigi ∈ FG y γ ∈ F
suma
{u+ v =
n∑i=1
(λi + µi)gi
producto escalar
{γu =
n∑i=1
(γλi)gi
Definición 4.2. El espacio vectorial FG, con la multiplicación
definida por
(∑g∈G
λgg)(∑h∈G
µhh) =∑g,h∈G
λgµh(gh)
-
4. Algebra de grupo 13
donde (λg, µh ∈ F ). es llamado el álgebra de grupo de G sobre
F .
Proposición 4.1. La multiplicación en FG satisface las
siguientes propiedades para todor, s, t ∈ FG y λ ∈ F
1. rs ∈ FG2. r(st) = (rs)t3. r1 = 1r = r4. (λr)s = λ(rs) =
r(λs)5. (r + s)t = rt+ st6. r(s+ t) = rs+ rt7. r0 = 0r = 0
Demostración. Sean r, s, t ∈ FG y λ ∈ F tal que
r =∑g∈G
λgg s =∑h∈G
λhh t =∑k∈G
λkk
1.
rs = (∑g∈G
λgg)(∑h∈G
µhh)
=∑g,h∈G
λgµh(gh)
=∑
s=gh∈G
(∑gh=s
λgµh)s ∈ FG
2.
(rs)t = ((∑g∈G
λgg)(∑h∈G
µhh))(∑k∈G
λkk)
= (∑gh∈G
λgµh(gh))(∑k∈G
λkk)
=∑
g,h,k∈G
λgµhλk
= (∑g∈G
λgg)(∑h,k∈G
µhλkhk) = r(st)
3. consideremos el elemento 1 := 1e donde e ∈ G es el elemento
identidad
1r =∑e,g∈G
1λgeg =∑g∈G
λgg
= r =∑g,e∈G
λg1ge = r1
-
14 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
4.
(λr)s = (∑g∈G
λλgg)∑h∈G
λhh =∑g,h∈G
λλgµh(gh)
= λ(rs) =∑g,h∈G
λλgµh(gh)
= (∑g∈G
λgg)∑h∈G
λλhh = r(λs)
Consideremos
r =
|G|∑i=1
λigi s =
|G|∑i=1
µigi t =
|G|∑i=1
γigi
5. Tenemos entonces
r(s+ t) =
|G|∑i=1
λigi(
|G|∑i=1
µigi +
|G|∑i=1
γigi)
=
|G|∑i=1
λigi(
|G|∑i=1
(µi + γi)gi)
=
|G|∑j=1
|G|∑i=1
λj(µi + γi)gjgi
=
|G|∑j=1
|G|∑i=1
(λjµi + λjγi)gjgi
= (
|G|∑i=1
λigi)
|G|∑i=1
µigi + (
|G|∑i=1
λigi)
|G|∑i=1
γigi
= rs+ rt
6. Similarmente:
-
4. Algebra de grupo 15
(s+ t)r = (
|G|∑i=1
µigi +
|G|∑i=1
γigi)
|G|∑i=1
λigi
= (
|G|∑i=1
(µi + γi)gi)
|G|∑i=1
λigi
=
|G|∑j=1
|G|∑i=1
(µi + γi)λjgigj
=
|G|∑j=1
|G|∑i=1
(µiλj + γiλj)gigj
= (
|G|∑i=1
µigi)
|G|∑i=1
λigi + (
|G|∑i=1
γigi)
|G|∑i=1
λigi
= sr + tr
7. Es inmediato.
�
Observación 4.1. Notemos que el álgebra de grupo FG es un
anillo con las operacionesdefinidas, pues con la suma es un grupo
abeliano, con el producto es un semigrupo y elproducto es
distributivo sobre la suma, además de ser un espacio vectorial
sobre F .
Observación 4.2. Consideremos V = FG como espacio vectorial de
dimensión n = |G|.Entonces para toda u, v ∈ V , λ ∈ F y g, h ∈ G
tenemos que
1. gv ∈ V2. (gh)v = g(hv)3. 1v = v4. g(λv) = λ(gv)5. g(u+ v) =
gu+ gv
de aqúı entonces FG es un FG-módulo.
Resumiendo, podemos ver al álgebra de FG, como anillo, espacio
vectorial y comoFG-módulo.
Definición 4.3. El espacio vectorial FG, con la multiplicación
natural gv (v ∈ FG, g ∈ G),es llamado el FG-módulo regular.La
representación ϕ : g → GL(n, F ), donde n = |G|, dada por ϕ(g) =
[g]β obtenida tomandoa β como la base natural de FG es llamada la
representación regular de G sobre F .
Podemos ver los FG-módulos regulares como una copia del grupo,
puesto que el móduloregular FG es fiel, como lo probaremos en la
siguiente proposición.
-
16 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
Proposición 4.2. El módulo regular FG es fiel.
Demostración. Sea g ∈ kerG(◦) entonces gv = v ∀v ∈ FG, en
particular g1 = 1donde 1 ∈ G es elemento identidad, luego g = 1.
Por lo tanto kerG = {1} y de aqúı elmódulo regular es fiel. �
Recordemos que un FG-módulo es una dupla (V, ◦), donde V es un
espacio vectorial sobreF , junto con una multiplicación ◦ : G × V
→ V que cumplen ciertas propiedades. Ahorabuscamos extender la
definición de la multiplicación de tal manera que podamos hacer
elmismo producto no sólo con los elementos de G sino con todos los
elementos del álgebrade grupo FG. Entonces tenemos la siguiente
definición.
Definición 4.4. Sea V un FG-módulo, v ∈ V y r ∈ FG, digamos r
=∑
g∈G µgg dóndeµg ∈ F ∀g ∈ G, definimos de manera natural
• : FG× V → V
r • v =∑g∈G
µgg ◦ v
Observación 4.3. La operación • es una extensión de la
operación del FG-módulo (◦), esdecir, g • v = g ◦ v ∀g ∈ G ∀v ∈ V
. En adelante cuando nos refiramos a la extensión de laoperación
del FG-módulo, la llamaremos como se haya definido en el
FG-módulo.
Notación 1. En caso de que no haya confusión con la operación
del FG-módulo ◦, cuandonos refiramos a ella o a su extensión
simplemente diremos la multiplicación por elementosdel grupo G o
por elementos del álgebra de grupo FG. Y cuando escribamos la
operaciónomitiremos el śımbolo ◦, es decir, escribiremos gv y rv
en lugar de g◦v y r•v respectivamente,donde g ∈ G r ∈ FG v ∈ V
.
Proposición 4.3. Sea V un FG-módulo, entonces las siguientes
propiedades se cumplenpara todo u, v ∈ V , λ ∈ F y para todo r, s ∈
FG:
1. rv ∈ V2. (rs)v = r(sv)3. 1v = v4. r(λv) = λ(rv) = (λr)v5. (r
+ s)v = rv + sv6. r(u+ v) = ru+ rv7. r0 = 0r = 0
Demostración. La demostración es similar a la de las
propiedades de la multiplicacióndel álgebra de grupo FG. �
Observación 4.4. Tenemos entonces que si V es un FG-módulo, al
extender la multiplica-ción del FG-módulo a FG, hacemos de V un
álgebra sobre FG.
-
5. FG-homomorfismos 17
5. FG-homomorfismos
Para grupos y espacios vectoriales, las funciónes que preservan
la estructura se llaman res-pectivamente homomorfismos de grupos y
transformaciones lineales. Las funciónes análogasde los
FG-módulos son llamadas FG-homomorfismos, y vamos a presentarlas
en esta sección,aśı como algunas de sus propiedades.
Definición 5.1. Sea V y W dos FG-módulos. Una función ϕ : V →
W se dice que es unFG-homomorfismo si ϕ es una transformación
lineal y además se cumple que:
ϕ(gv) = gϕ(v).
En otras palabras, si ϕ manda v a w entonces manda gv en gw.
Notemos que si G es un grupo finito y ϕ : V → W es un
FG-homomorfismo, entonces∀v ∈ V y r =
∑g∈G λgg ∈ FG tenemos:
ϕ(rv) = rϕ(v)
puesto que:
ϕ(rv) =∑g∈G
λgϕ(gv) =∑g∈G
λggϕ(v) = rϕ(v).
El siguiente resultado muestra que un FG-homomorfismo genera
FG-submódulos de unamanera natural.
Proposición 5.1. Sea V y W dos FG-módulos y sea ϕ : V → W un
FG-homomorfismo.Entonces ker(ϕ) es un FG-submódulo de V e Im(ϕ) es
un FG-submódulo de W .
Demostración. Primero notemos que ker(ϕ) es un subespacio
vectorial de V e Im(ϕ)es un subespacio de W , puesto que ϕ es una
transformación lineal.Resta probar que el producto por los
elementos del grupo es cerrado en ker(ϕ) y en Im(ϕ).Sea v ∈ ker(ϕ)
y g ∈ G, entonces
ϕ(gv) = gϕ(v) = g0 = 0
De aqúı entonces gv ∈ ker(ϕ). Entonces ker(ϕ) es un
FG-submódulo de V.Ahora sea w ∈ Im(ϕ), tal que w = ϕ(v) para
algún v ∈ V . Tenemos que:
(∀g ∈ G) gw = gϕ(v) = ϕ(gv) ∈ Im(ϕ)De aqúı entonces Im(ϕ) es un
FG-submódulo de W . �
Definición 5.2. Sean V y W dos FG-módulos. Decimos que una
función ϕ : V → W esun FG-isomorfismo si ϕ es un FG-homomorfismo y
ϕ es invertible. Si existe tal FG-isomorfismo, entonces decimos V y
W son FG-módulos isomorfos y escribimos V ∼= W .
Proposición 5.2. Si ϕ : V → W es un FG-isomorfismo, entonces la
inversa ϕ−1 : W → Vtambién es un FG-isomorfismo.
-
18 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
Demostración. Sabemos que ϕ−1 es una tranformación lineal
invertible, necesitamosprobar solamente que ϕ−1 es un
FG-homomorfismo. Sea w ∈ W y g ∈ G,
ϕ(gϕ−1(w)) = gϕ(ϕ−1(w)) = gw = ϕ(ϕ−1(gw))
como ϕ es inyectiva, tenemos entonces que gϕ−1(w) = ϕ−1(gw).
Luego ϕ−1 es un FG-isomorfismo. �
Como consecuencia de la proposición anterior tenemos la
siguiente observación.
Observación 5.1. La relación de ser FG-isomorfos es una
relación de equivalencia sobrela clase de los FG-módulos.
Supongamos ahora que ϕ : V → W es un FG-isomorfismo, con V y W
de dimensión finita.Entonces podemos usar ϕ y ϕ−1 para
transladarnos entre los FG-módulos V y W isomorfosy probar que V y
W comparten las mismas propiedades estructurales como las
siguientes:
1. dim V=dim W (puesto que {vi}ni=1 es una base de V ⇐⇒
{ϕ(vi)}ni=1 es una base deW);
2. V es irreduccible ⇐⇒ W es irreducible (Puesto que X es un
FG-submódulo de V⇐⇒ ϕ(X) es un FG-submódulo de W).
3. V contiene un FG-submódulo trivial ⇐⇒ W contiene un
FG-submódulo trivial.
Teorema 5.1. Supongamos que V es un FG-módulo con base B, y W
es un FG-módulocon base B′. Entonces V y W son FG-isomorfos si y
sólo si las representaciones:
ρ : g → [g]B y σ : g → [g]B′
son equivalentes.
Demostración.
1. Los FG-módulos V y W son FG-isomorfos si y sólo si existe
una base B1 de V yuna base B2 de W tal que:
[g]B1 = [g]B2 ∀g ∈ G
En efecto, supongamos que ϕ es un FG-isomorfismo de V sobre W y
sea {vi}ni=1 unabase B1 de V ; entonces {ϕ(vi)}ni=1 es una base B2
de W . Sea g ∈ G. Puesto queϕ(gvi) = gϕ(vi) para cada i ∈ {1, . . .
, n}, se sigue que [g]B1 = [g]B2 .
Rećıprocamente, supongamos que {vi}ni=1 es una base B1 de V y
{wi}ni=1 es unabase B2 de W . tal que [g]B1 = [g]B1 , ∀g ∈ G. Sea ϕ
la transformación lineal invertiblede V a W tal que ϕ(vi) = wi
para todo i. Veamos que éste es un FG-isomorfismo,basta probar que
preserva el producto con los elementos de G.Sea g ∈ G. Puesto que
[g]B1 = [g]B2 , tenemos por definición de ϕ que ϕ(gvi) =
gϕ(vi)para toda i, luego ϕ es un FG-isomorfismo.
-
5. FG-homomorfismos 19
2. Ahora supongamos que V y W son FG-módulos isomorfos. Del
inciso anterior exis-ten bases B1 de V y B2 de W , tal que [g]B1 =
[g]B2 para todo g ∈ G. Definimosla representación φ de G por φ : g
7→ [g]B1 . Entonces por el teorema 2.2 (1), φ esequivalente a ρ y a
σ. Luego ρ y σ son equivalentes.
Rećıprocamente, supongamos que ρ y σ son equivalentes, Entonces
por el teorema2.2(2), existe una base B′′ de V tal que σ(g) =
[g]B′′ para todo g ∈ G, es decir tenemosque [g]B′ = σ(g) = [g]B′′
para todo g ∈ G. Luego por el iciso anterior tenemos que Vy W son
FG-módulos isomorfos.
�
A continuación presentaremos una breve discusión de sumas
directas de módulos y mostra-remos que éstas nos generan
FG-homomorfismos de una manera natural.
Definición 5.3. Dado un espacio vectorial V , Un endomorfismo π
en V se dice que es unaproyección de V , si satisface
π2 = π.
Proposición 5.3. Sea V un FG-módulo y π una proyección de V ,
que además es un FG-homomorfismo, entonces
V = Imπ ⊕ kerπ.
Demostración. Ya sabemos que Imπ y kerπ son FG-submódulos de V
, entonces restaprobar que dado v ∈ V existen u ∈ Imπ y w ∈ kerπ
tal que v = u + w y además queImπ ∩ kerπ = {0}.Tenemos que dado v
∈ V , v = π(v) + (v − π(v)), claramente π(v) ∈ Imπ, por otra
partetenemos que v − π(v) ∈ kerπ puesto que
π(v − π(v) = π(v)− π2(v) = π(v)− π(v) = 0.Finalmente sea v ∈ Imπ
∩ kerπ. Como v ∈ Imπ existe u ∈ V tal que π(u) = v, luego
π(v) = π2(u) = π(u) = v
y puesto que v ∈ kerπ tenemos que 0 = π(v) = v. Por lo tanto
tenemos queImπ ∩ kerπ = {0}.
�
Sea V un FG-módulo, y supongamos que
V = U ⊕ Vdonde U y W son FG-submódulos de V . Sea {ui}mi=1 una
base B1 de U , y {wj}nj=1 una baseB2 de W . Entonces B = B1 ∪B2 es
una base de V , y para g ∈ G tenemos que:
[g]B =
([g]B1 0
0 [g]B2
).
-
20 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
De forma general tenemos que si V = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Ur es una
suma directa de FG-submódulos Ui, y si Bi son bases de Ui
respectivamente, entonces B = ∪ri=1Bi será una basede V y para g ∈
G tendremos:
[g]B =
[g]B1 0. . .0 [g]Br
.Proposición 5.4. Sea V un FG-módulo, y supongamos que:
V = U1 ⊕ . . .⊕ Urdonde cada Ui es un FG-submódulo de V . Para
v ∈ V , tenemos que v = u1 + . . .+ ur, paravectores únicos ui ∈
Ui. Definimos πi : V → Ui con (1 ≤ i ≤ r) de la siguiente
manera:
π(v) = ui.
Entonces cada πi es un FG-homomorfismo, y también es una
proyección de V.
Demostración. Claramente tenemos que πi es una transformación
lineal; y πi es unFG-homomorfismo, puesto que dado v ∈ V , con v =
u1 + . . .+ ur con uj ∈ Uj para todo j,y g ∈ G tenemos:
πi(gv) = πi(gu1 + . . .+ gur) = gui = gπi(v).
Además,π2i (v) = πi(ui) = πi(v),
de aqúı entonces π2i = π. Luego πi es una proyección. �
Proposición 5.5. Sea V un FG-módulo, y supongamos que
V = U1 + · · ·+ Ur,donde cada Ui es un FG-submódulo irreducible
de V . Entonces V es una suma directa dealgunos de los
FG-submódulos Ui.
Demostración. La idea es escoger la mayor cantidad de
FG-submódulos de los queconforman a V , de tal manera que la suma
directa de éstos nos genere a V .Consideremos la colección Y =
{Wj}sj=1 de FG-submódulos de Z = {Ui}ri=1 tal que tiene
lassiguientes propiedades:
1. W1 + · · ·+Ws = W1 ⊕ · · · ⊕Ws2. W1 + · · ·+Ws + Ui con Ui /∈
Y no es directa.
Notemos que Y 6= ∅ puesto que si consideramos el siguiente
conjunto,X = { {Wi}si=1 | Wi ∈ Z y W1 + · · ·+Ws = W1 ⊕ · · ·
⊕Ws}
X 6= ∅ y si además lo ordenamos con el orden de la contención,
es facil ver que cada cadenatiene un elemento máximal (la unión
de los elementos de la cadena), luego por el lema deZorn, existe un
elemento máximo en X. Dicho elemento es un elemento de Y . De
hecho Yestá conformado por los elemento máximos de X.
-
6. El Teorema de Maschke 21
Sea W = W1 + · · ·+Ws. Afirmamos que Ui ⊆ W para todo i.Si Ui ∈
Y es claro que Ui ∈ W . Supongamos entonces que Ui /∈ YEntonces
tenemos que W + Ui no es una sumadirecta, luego W ∩ Ui 6= {0}. Pero
W ∩ Ui esun FG-submódulo de Ui el cual es irreducible, entonces W
∩ Ui = Ui. de aqúı que Ui ⊆ W .Ahora puesto que Ui ⊆ W para todo i
∈ {1, . . . , r}, tenemos que V = W = W1 ⊕Ws. �
Observación 5.2. Si V1, . . . , Vr son FG-módulos, entonces
podemos hacer la suma directaexterna V1 ⊕ · · · ⊕ Vr en un
FG-módulo definiendo:
g(v1, . . . , vr) = (gv1, . . . , gvr) vi ∈ Vi i ∈ {1, . . . ,
r} y g ∈ G
6. El Teorema de Maschke
Teorema 6.1. (Teorema de Maschke) Sea G un grupo finito, Sea F =
R ó C, y sea Vun FG-módulo. Si U es un FG-submódulo de V ,
entonces existe un FG-submódulo W deV tal que:
V = U ⊕W.
Demostración. Tenemos que U es un FG-submódulo del FG-módulo
V . Escojamosal subespacio vectorial W0 de V tal que
V = W0 ⊕ U.Sabemos que existe tal espacio, por ejemplo, si
{ui}i=si=1 es una base de U , elegimos unacompletación de dicha
base para el espacio V , de tal manera que {ui}i=si=1 ∪ {wj}
j=nj=s+1 es una
base de V , luego consideramos al espacio generado por
{wj}j=nj=s+1 y este nos sirve como elW0 buscado.Dado v ∈ V ,
tenemos que existen únicos u ∈ U y w ∈ W0 tal que v = u+w,
Consideramos laproyección de V en U , es decir definimos φ : V → U
como φ(v) = u. Tenemos que kerφ = W0y que Imφ = U .Buscamos
modificar la proyección, para crear un FG-homomorfismo de V a V
con imagenU . Para este fin definimos Υ : V → V como:
Υ(v) =1
|G|∑g∈G
g−1φgv (v ∈ V )
Es claro que Υ es un endomofismo de V, además tenemos que ImΥ ⊆
U . En efecto, comoU es un FG-submódulo tenemos lo siguiente:
Vg−→ V φ−→ U g
−1−−→ U.
Primero mostraremos que Υ es un FG-homomorfismo. Sea v ∈ V y x ∈
G
Υ(xv) =1
|G|∑g∈G
g−1φg(xv).
-
22 Caṕıtulo 1. Representaciones de Grupos
Notemos que como g corre sobre todos los elementos de G (G
finito) entonces también lohace h = gx. Luego
Υ(xv) =1
|G|∑g∈G
xx−1g−1φ(gx)v
=1
|G|∑h∈G
xh−1φhv
= x(1
|G|∑h∈G
h−1φhv)
= xΥ(v).
De aqúı entonces Υ es un FG-homomorfismo.Afirmamos que Υ2 = Υ.
Notemos que para toda u ∈ U y g ∈ G, gu ∈ U , luego φ(gu) =
gu.Usando esto tenemos:
Υ(u) =1
|G|∑g∈G
g−1φgu =1
|G|∑g∈G
g−1gu
=1
|G|∑g∈G
u = u.(6.1)
Sea v ∈ V entonces Υ(v) ∈ U , luego por (6.1), tenemos Υ(Υ(v)) =
Υ(v), entonces se cumpleque Υ2 = Υ como se afirmó.Tenemos entonces
que Υ : V → V es una proyección y un FG-homomorfismo. Lo que
esmás (6.1), implica que ImΥ = U . Sea W = ker Υ, entonces W es un
FG-sumbódulo de Vy además tenemos que V = ImΥ⊕ ker Υ = U ⊕W .
Luego W = ker Υ es el FG-submódulobuscado. �
Observación 6.1. Podemos asegurar el resultado para grupos
finitos, sin embargo no pode-mos asegurarlo para grupos no
finitos.
Observación 6.2. Notemos que si F 6= C ó R, y car(F ) - |G| la
demostración sigue siendovalida. Por lo que podemos generalizar el
resultado a FG-módulos, donde G sea finito ycar(F ) - |G|.
Observación 6.3. Dado un grupo G finito, si podemos elegir una
base B de un FG-móduloV , tal que [g]B tiene la forma (recordando
la observación 3.1)
[g]B =
(∗ ∗0 ∗
)∀g ∈ G
entonces podemos encontrar una base B′ tal que [g]B′ tiene la
forma
[g]B′ =
(∗ 00 ∗
)∀g ∈ G
-
6. El Teorema de Maschke 23
Ahora, utilizando el Teorema de Maschke mostaremos que todo
FG-módulo no cero, de ungrupo finito G, es una suma directa de
FG-submódulos irreducibles.
Definición 6.1. Dado un FG-módulo V decimos que es
completamente reducible si
V = U1 ⊕ · · · ⊕ Urdonde cada Ui es un FG-submódulo irreducible
de V .
Teorema 6.2. Si G es un grupo finito y F = C ó R, entonces todo
FG-módulo es comple-tamente reducible.
Demostración. Procederemos por inducción sobre la dimensión
de V .Si dim(V ) = 1 entonces V es trivial, luego
irreducible.Supongamos pues que dim(V ) = n y que todo FG-módulo W
, tal que dim(W ) < n, escompletamente reducible.Si V es
irreducible, entonces se cumple el resultado, supongamos pues que V
es reducible,existe entonces un FG-submódulo, no trivial, U de V
(es decir que U 6= V ó {0}),luego porel teorema de Maschke existe
un FG-submódulo de V tal que V = U ⊕W . Notemos quedimU < dimV
= n y dimW < dimV = n, luego por hipotesis de inducción existen
{Ui}si=1y {Wj}rj=1 FG-submódulos de U y de W irreducibles tales
que:
U = U1 ⊕ · · · ⊕ Us, W = W1 ⊕ · · · ⊕Wrde aqúı entonces tenemos
que
V = U ⊕W = U1 ⊕ · · · ⊕ Us ⊕W1 ⊕ · · · ⊕Wrluego V es una suma
directa de FG-submódulos irreducibles, i.e. completamente
reducible.
�
Proposición 6.1. Sea V un FG-módulo, donde F = C ó R y G es
un grupo finito, suponga-mos que U es un FG-submódulo de V .
Entonces existe un FG-homomorfismo suprayectivode V sobre U .
Demostración. Por el teorema de Maschke, existe un
FG-submódulo W de V tal queV = U ⊕W . Entonces la función π : V →
W dfinida por
π : u+ w 7→ u (∀ u ∈ U, w ∈ W )es un FG-homomorfismo sobre U.
�
-
25
Caṕıtulo 2
El grupo de trenzas
En este cápitulo presentaremos el grupo de trenzas, en primera
instancia daremos una defi-nición geométrica, aśı como un esbozo
de la forma en que E. Artin construyó la presentacióndel grupo de
trenzas que lleva su nombre, en la segunda parte veremos la
presentación delgrupo de trenzas de Artin, aśı como algunas de
sus propiedades y su relación con el gruposimétrico
[2][3][19][15].
1. El Grupo de Trenzas Geométrico
Denotaremos por I al intervalo [0, 1]
Definición 1.1. Llamaremos cuerda a una función γ : I → R3
continua. Los extremos dela cuerda serán los puntos γ(0) y γ(1) en
R3.
Observación 1.1. Cualquier cuerda γ lo podemos expresar en
términos de sus funcionescoordenadas. Es decir γ(t) = (γ1(t),
γ2(t), γ3(t))
Definición 1.2. Sea D = { (x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ 1 } = I × I
× I el cubo unitario en R3.Fijemos n puntos, A1, . . . , An, en la
cara superior y n puntos, B1, . . . , Bn en la cara inferiorde D.
Consideremos n cuerdas γn, tales que
1. γi(0) ∈ {A1, . . . , An} y γi(1) ∈ {B1, . . . , Bn}, para i ∈
{1, . . . , n}2. γi([0, 1]) ∩ γj([0, 1]) = ∅ para i 6= j3. La
función coordenada correspondiente al eje z es estrictamente
decreciente, i.e.
γi3(t1) > γi3(t2) 0 ≤ t1 < t2 ≤ 1
Entonces a la configuración β = {Ai, Bi, γi, i ∈ {1, . . . ,
n}} la llamaremos una n-trenza y acada cuerda γi lo llamaremos la
i-ésima cuerda de la trenza β.
Observación 1.2. En la definición anterior, sin pérdida de
generalidad podemos suponerque γi(I) ⊂ D.
-
26 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Observación 1.3. Es importante notar que los puntos fijos
están ordenados. De aqúı en-tonces sin pérdida de generalidad
podemos definir los puntos Ai y Bi de la siguiente manera
Ai = (1
2,
i
n+ 1, 1) i ∈ {1, . . . , n}
Bi = (1
2,
i
n+ 1, 0) i ∈ {1, . . . , n}
y denotaremos a una trenza como el conjunto β = {γi, i ∈ {1, . .
. , n}}
Observación 1.4. Notemos que las condiciones anteriores nos
garantizan lo siguiente
1. Por la condición 2, dos cuerdas de la trenza no pueden tener
un extremo en común2. Por la condición 3, ninguna cuerda puede
tener retornos, lo cual impide que se anuden
las cuerdas.
Ejemplo 1.1. A continuación damos un ejemplo de una trenza y de
dos diagramas que nocumplen con la definición de trenza.
no trenza 4-trenza no trenza
La figura de la izquierda no es una trenza pues no cumple la
condición 3, mientras que lafigura de la derecha no cumple la
condición 2.
Definición 1.3. Definimos la trenza trivial de n-cuerdas como
aquella que une por mediode ĺıneas rectas los puntos Ai con Bi
para i ∈ {1, . . . , n}. La denotaremos por en.
Ejemplo 1.2. La trenza trivial de 3-cuerdas
Definición 1.4. Sean γ1 y γ2 dos cuerdas. Decimos que F : I × I
→ R3 es una homotopiade γ1 y γ2, si
1. F es continua.2. F (0, s) = γ1(s), para s ∈ I3. F (1, s) =
γ2(s), para s ∈ I
-
1. El Grupo de Trenzas Geométrico 27
y decimos que γ1 y γ2 son homotópicas.
Observación 1.5. Notemos que para toda t ∈ I, F (t, s) : I → R3
es una cuerda.Observación 1.6. La relación de homotoṕıa es una
relación de equivalencia.
Definición 1.5. Sean β1 y β2 dos n-trenzas, decimos que β1 y β2
son isotópicas si cada unade sus cuerdas son homotópicas y
además existen n homotoṕıas asociadas a las n cuerdasde las
trenzas, Fi : I × I → R3 i ∈ {1, . . . , n}, tal que
1. para toda t ∈ I la configuración {Fi(t, s), i ∈ {1, . . . ,
n}} es una trenza.2. Fi(t, 0) = γ1i(0) = γ2i(0) para i ∈ {1, . . .
, n}.3. Fi(t, 1) = γ1i(1) = γ2i(1) para i ∈ {1, . . . , n}.
A dicho conjunto de homotoṕıas le llamaremos isotoṕıa entre β1
y β2. Si β1 y β2 sonisotópicas, lo denotamos como β1 ∼
β2Observación 1.7. La relación de isotoṕıa es una relación de
equivalencia [3][19, p.5].
Ejemplo 1.3. A continuación presentamos una serie de trenzas
las cuales son isotópicas.
∼ ∼ ∼ ∼
Ejemplo 1.4. A continuación presentamos dos trenzas que no son
isotópicas
�
Saber si dos trenzas son equivalentes no es un problema
sencillo, sin embargo hay ciertaspropiedades que se preservan a
través de la relación de isotoṕıa, que nos permiten saber sidos
trenzas NO son equivalentes, estas propiedades son llamados
invariantes de trenzas yse definen de la siguiente manera.
Notación 2. Denotaremos por B el conjunto de trenzas y por Bn
el conjunto de trenzas den-cuerdas.
Definición 1.6. f : B → X una función, decimos que f es un
invariante de trenzas siβ1 ∼ β2 implica que f(β1) =
f(β2).Observación 1.8. En general si f es un invariante de trenzas
y f(β1) = f(β2) NO implicaque β1 ∼ β2Observación 1.9. Sea β una
n-trenza, notemos que la i-ésima cuerda de β conecta el puntoAi
con el punto Bj. Denotamos πβ ∈ Sn a la permutación de los
extremos de las cuerdas deβ.
-
28 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
A continuación presentaremos dos invariantes de trenzas.
Proposición 1.1. Las siguientes funciones son invariantes de
trenzas:
1. Sea c : B → N la función que asigna a cada trenza el número
de cuerdas que tiene.2. Sea π : Bn → Sn la función que asigna a
cada trenza la permutación de los extremos
de sus cuerdas.
Demostración. 1. Es claro que si β1 ∼ β2, entonces son dos
n-trenzas, luegoambas tienen la misma cantidad de cuerdas.
2. Sean β1 ∼ β2, Sabemos que los puntos Ai y Bi son fijos. Si
πβ1 6= πβ2 entonces existei tal que πβ1(i) 6= πβ2(i), de aqúı la
i-ésima homotoṕıa asociada a la i-ésima cuerdade las trenzas o
bien no es continua o al deformar β1 en β2 deja de ser una trenza
enel camino. Luego πβ1 = πβ2 .
�
Ejemplo 1.5. Sean β1, β2, β3 y β4, las siguientes trenzas
Tenemos entonces que
1. π(β1) = (1, 3, 2), π(β2) = e, π(β3) = (1, 2) y π(β4) = (1, 2,
3), de aqúı entoncesninguna de las trenzas es isotópica.
2. c(β1) = c(β2) = 3, sin embargo por el inciso anterior β1 �
β2
Ahora que hemos definido la equivalencia de trenzas, podemos
hacer una observación sobre lavalidez de los diagramas de trenzas
que hemos estado utilizando. Una n-trenza, β, está dentrodel cubo
unitario en R3, al considerar la proyección, p(β), sobre el playo
y − z obtenemosuna serie de cuerdas que se intersectan en distintos
puntos, sin embargo por medio isotoṕıaspodemos formar una trenza
equivalente a la original cuya proyección cumpla las
siguientescondiciones [19, p.6]:
1. Las cuerdas de p(β) tienen a lo más una cantidad finita de
intersecciones2. Si Q es un punto de intersección en p(β) entones
p−1(Q) ⊂ β tiene exactamente dos
puntos.3. Ningún vértice de β se proyecta en un punto
doble
De aqúı entonces podemos tener un diagrama muy aproximado de la
trenza, de hecho losúnicos puntos donde existe ambiguedad de lo
que pasa con la trenza es en los puntos deintersección
(Fig.1).
-
1. El Grupo de Trenzas Geométrico 29
Fig.1 Fig. 2 Fig. 3
En estos puntos por construcción su imagen inversa tendrá
exactamente dos puntos en latrenza, cada uno de los cuales
pertencera a sólo una de las cuerdas que se intersectan enla
proyección. Si la imagen inversa de la cuerda que baja de derecha
a izquierda está “porencima” de la otra la dibujaremos como en la
figura 2, y en caso contrario como en la figura3.Luego podemos
representar cualquier trenza a partir de estos diagramas, lo que es
más,cualquier trenza la podemos representar por medio de la
concatenación de elementos cuyaforma sea una combinación de la
figura 2, la figura 3 y la trenza trivial [19, p.16] [15, p.15].Lo
que nos lleva a introducir las siguientes definiciones.
Definición 1.7. Definimos la n-trenza σi , para i ∈ {1, . . . ,
n−1} como aquella que conectapor medio de ĺıneas rectas los puntos
Aj con Bj para j ∈ {1, . . . , i−1, i+2, n} y Ai con Bi+1por
“abajo”.
. . . . . .
Similarmente definimos la n-trenza Σi , para i ∈ {1, . . . , n −
1} como aquella que conectapor medio de ĺıneas rectas los puntos
Aj con Bj para j ∈ {1, . . . , i−1, i+2, n} y Ai con Bi+1por
“encima”.
. . . . . .
Definición 1.8. Sean β1 = {γ1i , i ∈ {1, . . . , n}}, β2 = {γ2i
, i ∈ {1, . . . , n}} en Bn, definimosβ1β2 = {γi, i ∈ {1, . . . ,
n}}, tal que
γi(t) =
{γ1i(2t) t ∈ [0, 12 ]γ2πβ1 (i)
(2t− 1) + 12e3 t ∈ [12 , 1]
donde πβ1(i) es el extremo donde termina la i-ésima cuerda de
β1 y e3 = (0, 0, 1).
-
30 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Ejemplo 1.6. σ1e2 ∼ σ1 ∼ e2σ1
× = ∼
× = ∼
Ejemplo 1.7. Σ1e2 ∼ Σ1 ∼ e2Σ1
× = ∼
× = ∼
Ejemplo 1.8. σ1Σ1 = e2 = σ1Σ1
× = ∼
× = ∼
-
1. El Grupo de Trenzas Geométrico 31
Ejemplo 1.9.
× =
Observación 1.10. Notemos que cualquier trenza en Bn es
equivalente a un producto finitode σ′is y Σ
′js con i, j ∈ {1, . . . , n}.
A partir de aqúı cuando consideremos una trenza, supondremos
que está expresada como enla observación anterior.
Proposición 1.2. El conjunto de n-trenzas identificado bajo
isotoṕıas, i.e Bn/ ∼, es ungrupo con la operación definida
anteriormente. Es llamado el grupo de n-trenzas y lodenotaremos
simplemente Bn.
Demostración. Los detalles de la prueba se pueden consultar en
[19, 15]. �
Observación 1.11. Por la observación 1.10 sabemos que σ1, . .
. , σn−1 serán generadores delgrupo Bn.
Buscamos ahora las relaciones para una presentación de Bn.
-
32 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Definición 1.9. Consideremos los movimientos Ω1, Ω2 y Ω3 que se
describen a continuación
. . . . . . . . .
� Ω1 //
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Ω1 //
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
� Ω1 //
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Ω1 //
. . . . . . . . .
� Ω2 // � Ω2 //
� Ω3 // � Ω3 //
Denotamos por Ω−11 , Ω−12 y Ω
−13 los movimientos descritos anteriormente pero con la flecha
en
sentido contrario. Estos movimientos son isotoṕıas de trenzas y
son llamados movimientosde Reidemeister [15, p.8].
Definición 1.10. Sean β1 y β2 dos n-trenzas, decimos que β1 y
β2 son R-equivalentes siβ1 se puede deformar por medio de una serie
finita de movimientos de Reidemeister (Ω
±11 ,
Ω±12 y Ω±13 ).
Ejemplo 1.10.
� Ω1 // � Ω3 // � Ω2 // � Ω2 // � Ω2 // � Ω2 //
Teorema 1.1. Dos trenzas son equivalentes si y sólo si son
R-equivalentes.
-
2. El Grupo de Trenzas de Artin 33
Demostración. La demostración de se puede consultar en [15,
p.9] y en [19, p.19]. �
Observación 1.12. Por el Teorema 1.1 y la Observación 1.10,
tenemos entonces que elgrupo de trenzas está completamente
determinado por los generadores σ1, . . . , σn−1 y
lasrelaciones
1. σiσj = σjσi para |i− j| ≥ 2 (movimiento Ω1).2. σiσ
−1i = en para i ∈ {1, . . . , n− 1} (movimiento Ω2).
3. σiσi+1σi = σi+1σiσi+1 par i ∈ {1, . . . , n− 1} (movimiento
Ω3).
2. El Grupo de Trenzas de Artin
Definición 2.1. El grupo de trenzas de Artin Bn, es el grupo
con n − 1 generadores,x1, . . . , xn−1, que cumple las siguientes
relaciones
1. xixj = xjxi para |i− j| ≥ 2.2. xixi+1xi = xi+1xixi+1 para i ∈
{1, . . . , n− 1}.
Observación 2.1. De la definición del grupo de trenzas de
Artin, tenemos la siguientepresentación
Bn =
〈x1, . . . , xn−1 |
xixj = xjxi |i− j| ≥ 2xixi+1xi = xi+1xixi+1 i ∈ {1, . . . , n−
1}
〉.
Observación 2.2. Notemos que para n = 1, B1 es el grupo trivial
y para n = 2, B2 es elgrupo ćıclico infinito, i.e. B2 ∼= Z
Lema 2.1. Si s1, . . . , sn−1 son elementos de un grupo G que
satisfacen las relaciones delgrupo de trenzas, entonces existe un
único homomorfismo f : Bn → G tal que f(xi) = sipara i ∈ {1, . . .
, n− 1}.
Demostración. Sea Fn el grupo libre generado por el conjunto
{x1, . . . , xn−1} y seaH < G el subgrupo de G generado por s1,
. . . , sn−1, entonces existe un único homomorfismof̄ : Fn → H
talque f̄(xi) = si para i ∈ {1, . . . , n− 1}.Sea K/Fn el subgrupo
normal generado por xixjx
−1i x
−1j para |i−j| ≥ 2 y xixi+1xix−1i+1x−1i x−1i+1
para i ∈ {1, . . . , n− 1}. Existe entonces un único
homomorfismo f inducido por f̄ que haceal siguiente diagrama
conmutativo.
Fnf̄ //
π��
H
Fn/Kf
-
34 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Observación 2.3. Notemos que los generadores de Bn cumplen las
relaciones del grupo detrenzas Bn
Teorema 2.1. Para � = ±1, existe un único homomorfismo ϕ� : Bn
→ Bn tal que ϕ�(xi) =σ�i para i ∈ {1, . . . , n− 1}. Lo que es
más, ϕ� es un isomorfismo.
Demostración. La prueba se puede consultar en [15, p.16]. �
Tenemos que el grupo de trenzas geométrico y el grupo de
trenzas algebráico son equiva-lentes y podemos entonces trabajar
con las relaciones algebraicas o bien con las nocionesgeométricas
según nos convenga. Por convención denotaremos al grupo de
trenzas por Bn.
Corolario 1. Definimos ι : Bn → Bn+1 por ι(σi) = σi, entonces ι
es un monomorfimo paratoda n ∈ N.
Demostración. Es claro que los elementos σ1, . . . , σn−1
vistos en Bn+1 cumplen lasrelaciones del grupo de trenzas, luego
por el lema 2.1 ι es un homomorfismo.En lenguaje geométrico ι
agrega a una trenza geométrica β de n cuerdas una cuerda
verticalque conecta los n + 1-ésimos puntos. Si ι(β) ∼ en+1, para
reducir dicha trenza a la trivialno necesitamos aplicar ningun
movimiento de Reidemeister a la última cuerda, luego existenuna
serie finita de movimientos Ω±11 ,Ω
±12 Ω
±13 aplicados únicamente a las primeras n cuerdas
que reducirán la trenza ι(β) a la identidad, notemos que estos
movimientos en realidad losestamos aplicando sobre la trenza β. De
aqúı la trenza β es reducida a la trenza trivial pormedio de una
serie finita de movimientos de Reidemeister, i.e. β ∼ en. Luego
ker(ι) = {en}e ι es un monomorfismo. �
3. Propiedades del Grupo de Trenzas
Proposición 3.1. Se cumplen las siguientes relaciones en Bn
para i ∈ {1, 2, . . . , n− 2}1. σiσ
−1i+1σ
−1i = σ
−1i+1σ
−1i σi+1
2. σiσi+1σ−1i = σ
−1i+1σiσi+1
3. σiσli+1σ
−1i = σ
−1i+1σ
liσi+1 para l ∈ Z
4. para n ≥ 1a) (σ1σ2 . . . σn−1)σi = σi+1(σ1σ2 . . . σn−1)b)
(σn−1σn−2 . . . σ1)σi = σi−11(σn−1σn−2 . . . σ1)
Demostración. Utilizando las relaciones de Bn(m), tenemos lo
siguiente
1. De la segunda relación del grupo de trenzas tenemos que para
i ∈ {1, . . . , n− 2}σiσi+1σi = σi+1σiσi+1 ⇔ (σiσi+1)σiσ−1i+1σ−1i
(σ−1i+1) = 1
⇔ σiσ−1i+1σ−1i = (σiσi+1)−1σi+1⇔ σiσ−1i+1σ−1i = σ−1i+1σ−1i
σi+1
-
3. Propiedades del Grupo de Trenzas 35
2. Utilizando el inciso anterior tenemos
σiσ−1i+1σ
−1i = σ
−1i+1σ
−1i σi+1 ⇔ (σiσ−1i+1σ−1i )−1 = (σ−1i+1σ−1i σi+1)−1
⇔ σiσi+1σ−1i = σ−1i+1σiσi+1
3. Si l = 0 es trivial, si l > 0 procederemos por inducción.
El caso l = 1 se reduce alinciso 2. Supongamos válido para k y lo
probaremos para k + 1. Tenemos
σiσk+1i+1 σ
−1i = σiσ
ki+1(σi+1σ
−1i )
= (σiσki+1σ
−1i )σ
−1i+1σiσi+1
= σ−1i+1(σki (σi+1σ
−1i+1)σi)σi+1
= σ−1i+1σk+1i σi+1
Si l < 0, se procede similarmente por inducción sobre −k, y
utilizando el inciso 1.4. para n ≥ 1 Tenemos
a)
(σ1σ2 . . . σn−1)σi = σ1 . . . [σiσi + 1σi] . . . σn−1
= σ1 . . . σi−1σi+1σiσi+1 . . . σn−1
= σi+1(σ1 . . . σn−1)
b) Se procede de manera análoga que en el inciso anterior.
�
Proposición 3.2. Para i ∈ {1, . . . , n− 1}, tenemos que
σi = (σ1σ2 . . . σn−1)i−1σ1(σ1σ2 . . . σn−1)
1−i
Demostración. Si i = 1 es trivial. Si i ≥ 2, por el inciso 4(a)
de la proposición anteriortenemos que
(σ1σ2 . . . σn−1)i−1σ1(σ1σ2 . . . σn−1)
1−i = σi−1+1(σ1σ2 . . . σn−1)i−1(σ1σ2 . . . σn−1)
1−i
= σi(σ1σ2 . . . σn−1)i−1+1−i
= σi
�
Lema 3.1.
σ1(σ1σ2 . . . σn−1)2 = (σ1σ2 . . . σn−1)
2σn−1
-
36 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Demostración. Por la proposición 3.1 4 (a) se cumple
σ1(σ1 . . . σn−1)σ1σ2 . . . σn−1 = σ1σ2(σ1 . . . σn−1)σ2σ3 . . .
σn−1
= σ1σ2σ3(σ1 . . . σn−1)σ3σ4 . . . σn−1...
= (σ1 . . . σn−1)(σ1 . . . σn−1)σn−1
= (σ1 . . . σn−1)2σn−1
�
Proposición 3.3. Sea γ = (σ1σ2 . . . σn−1)n en Bn entonces γ
está en el centro de Bn
Demostración. Por la proposición anterior y la proposición
3.1 se cumple para i ∈{1, . . . , n− 1}
(σ1 . . . σn−1)nσi = (σ1 . . . σn−1)
i+1σn−1(σ1 . . . σn−1)n−i−1
= (σ1 . . . σn−1)i−1σ1(σ1 . . . σn−1)
n−i+1
= σ1+i−1(σ1 . . . σn−1)i−1(σ1 . . . σn−1)
n−i+1
= σi(σ1 . . . σn−1)n
�
Observación 3.1. De hecho Van Buskirk [V] demostró que γ
genera el centro de Bn. Ademásveremos más adelante que γ 6= 1,
luego Z(Bn) 6= {1}.
Proposición 3.4. Sean m,n ∈ N, y m ≤ n, entonces ι : Bm → Bn
definido como ι(σi) = σies un monomorfismo.
Demostración. Esta proposición es una generalización del
corolario 1. Se sigue deinmediato considerando la siguiente
composición
B1ι↪→ B2
ι↪→ B3
ι↪→ · · · ι↪→ Bk
ι↪→ Bk+1
ι↪→ . . .
�
Observación 3.2. Por la proposición anterior si m ≤ n podemos
considerar Bm como unsubgrupo de Bn bajo el monomorfismo ι.
Proposición 3.5. Para i ∈ {1, . . . , n− 1}, σi ∈ Bn tiene
orden infinito.
Demostración. Por la observación 2.1 sabemos que B2 = 〈σ1〉 ∼=
Z y por la proposiciónanterior B2 < Bn para n ≥ 2, luego el
orden de σ1 es infinito.Supongamos ahora que σ2 tiene orden finito,
luego existe k ∈ N tal que σk2 = 1, luego tenemosque
(σ1σ2σ1)σk2(σ1σ2σ1)
−1 = 1
-
4. El grupo de trenzas y el grupo simétrico 37
Utilizando la proposición 3.1 tenemos entonces que
1 = σ1σ2(σ1σk2σ−11 )σ
−12 σ
−11
= σ1σ2σ−12 σ
k1σ2σ
−12 σ
−11
= σk1
lo cual es absurdo, de aqúı σ2 tiene orden infinito.Supongamos
que σ1, σ2, . . . , σk tienen orden infinito y supongamos σk+1
tiene orden finito,existe m ∈ N tal que σmk+1 = 1. De aqúı se
sigue que (σkσk+1σk)σmk+1(σkσk+1σk)−k = 1
1 = σkσk+1(σkσmk+1σ
−1k )σ
−1k+1σ
−1k
= σkσk+1σ−1k+1σ
mk σk+1σ
−1k+1σ
−1k
= σmk
lo cual es absurdo, de aqúı σk+1 tiene orden infinito. Luego
por inducción se cumple laproposición. �
Finalmente presentaremos otro invariante de trenzas
Definición 3.1. Sea β ∈ Bn podemos escribir β = σe1i1 σe2i2. .
. σekik donde ej = ±1 para
j ∈ {1, . . . , k}. Definimos exp : Bn → N como exp(β) = e1 + e2
+ · · ·+ ek.
Proposición 3.6. La función exp es un invariante de
trenzas.
Demostración. Sabemos que dos trenzas son equivalentes si y
sólo si una se puedeconvertir en la otra a través de una serie
finita de movimientos de Reidemeister, de aqúı ne-cesitamos
verificar que los movimientos de Reidemeister son invariantes bajo
la función exp.
1. Notemos que exp(σiσj) = 2 = exp(σjσi) para |i− j| ≥ 2. luego
exp(Ω1(β)) = exp(β).2. Similarmente exp(σiσ
−1i ) = 0 = exp(en) = 0 = exp(σ
−1i σi), para i ∈ {1, . . . , n − 1}.
Luego exp(Ω2(β)) = exp(β).3. Finalmente exp(σiσi+1σi) = 3 =
exp(σi+1σiσi+1), para i ∈ {1, . . . , n − 2}. Luegoexp(Ω3(β)) =
exp(β).
Se sigue que la función exp es un invariante de trenzas. �
Observación 3.3. Si β ∈ Bn y β ∼ en, necesariamente exp(β) =
0.
Corolario 2. En Bn tenemos que γ = (σ1σ2 . . . σn−1)n � en.
Luego γ 6= 1
Demostración. Se sigue de inmediato de la proposición y
observación anterior queexp(γ) = n× (n− 1) 6= 0 = exp(1). Luego γ
6= 1. �
4. El grupo de trenzas y el grupo simétrico
Definición 4.1. Sea X un conjunto arbitrario y σ : X → X una
función biyectiva, decimosque σ es una permutación de los
elementos de X.
-
38 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Consideremos el conjunto de las permutaciones del conjunto {1, .
. . , n}, si a este conjunto leasociamos un producto, definido como
la composición de dos permutaciones, entonces dichoconjnto
claramente será un grupo, tenemos entonces la siguiente
definición.
Definición 4.2. Sean N = {1, . . . , n} y Sn el conjunto de
permutaciones de N , entonces Sncon la operación definida por la
composición de funciones es un grupo. Llamado el n-ésimogrupo
śımetrico
Observación 4.1. Utilizando técnicas de conteo se puede
verificar que |Sn| = n!.Definición 4.3. Sea σ ∈ Sn
1. Decimos que σ deja fijo a k ∈ N si σ(k) = k.2. Consideremos σ
∈ Sn tal que
k1 7→ k2 k2 7→ k3 . . . ks−1 7→ ks ks 7→ k1con 1 ≤ ki ≤ n y ki
6= kj para i 6= j, decimos entonces que σ es un s-ciclo, y
lodenotamos
σ = (k1, k2, . . . , ks)
Si σ es un 2-ciclo, decimos que σ es una transposición.3. Sean
σ = (k1, . . . , ks)y τ = (r1, . . . , rl) decimos que σ y τ son
ciclos disjuntos siki 6= rj para i ∈ {1, . . . , s} y j ∈ {1, . . .
, l}
Observación 4.2. Notemos que si σ y τ son ciclos disjuntos,
entonces se cumple que στ =τσ. Además si σ es un r-ciclo entonces
σr = 1, en particular cualquier 1-ciclo es la identidad,i.e., deja
fijo a todos los elementos de N .
Observación 4.3. Sabemos de la teoŕıa de grupos que podemos
descomponer cualquier per-mutación de Sn como un producto de
ciclos disjuntos [21, p.6], y es fácil demostrar quecualquier
r-ciclo se puede descomponer como el producto de r− 1 2-ciclos. De
aqúı entoncestenemos que Sn está generado por los 2-ciclos y
además cualquier 2-ciclo lo podemos expre-sar como un producto de
σ′is, donde σi = (i, i + 1), de aqúı entonces Sn está generado
por{σ1, . . . , σn−1}Proposición 4.1. En Sn los 2-ciclos {σ1, . .
. , σn−1}, definidos como en la observación an-terior, cumplen las
siguientes propiedades
1. σiσj = σjσi para |i− j| ≥ 2 e i, j ∈ {1, . . . , n− 1}2.
σiσi+1σi = σi+1σiσi+1 para i ∈ {1, . . . , n− 2}
Demostración. 1. Sean σi, σj ∈ Sn con |i − j| ≥ 2. Sin pérdida
de generalidadpodemos suponer i > j, Luego i + 1 > i ≥ j + 2
> j + 1 > j. De aqúı entonces σi yσj son ciclos disjuntos,
luego σiσj = σjσi.
2. Sea 1 ≤ i ≤ n− 2, tenemos entonces(i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2)(i, i+
1) = (i, i+ 2)(i+ 1) = (i, i+ 2)
(i+ 1, i+ 2)(i, i+ 1)(i+ 1, i+ 2) = (i, i+ 2)(i+ 1) = (i, i+
2)
�
-
4. El grupo de trenzas y el grupo simétrico 39
Observación 4.4. Tenemos que por el lema 2.1 existe un único
homomorfismo de Bn a Sntal que xi 7→ σi, lo que es más dicho
homomorfismo será suprayectivo, pues la observación4.3 nos
asegura {σ1, . . . , σn−1} genera a Sn, de aqúı podemos considerar
dicho epimorfismocomo una proyección. La que denotamos por π.
Corolario 3. El grupo Bn es no abeliano para n ≥ 3.
Demostración. Por la observación anterior existe un
epimorfismo de Bn a Sn, puestoque Sn no es abeliano para n ≥ 3,
tampoco lo será Bn. �
Proposición 4.2. Sea n ∈ N, entonces Sn tiene la siguiente
presentación
(4.1) Sn =
〈x1, . . . , xn−1
∣∣∣∣∣∣xixj = xjxi |i− j| ≥ 2xixi+1xi = xi+1xixi+1 1 ≤ i ≤ n−
2x2i = 1 1 ≤ i ≤ n− 1
〉.
Demostración. Sea G el grupo que tiene la presentación 4.1 y
consideremos el homo-morfismo inducido por
ϕ : Sn → Gσi 7→ xi
Ahora notemos que ϕ(1Sn) ∼ 1G pues ϕ(1) = ϕ(σ21) = x2i ∼ 1.Por
otra parte consideremos
Ψ : G→ Snxi 7→ σi
Tenemos que Ψ es un epimorfismo por la proposición 4.1 y la
observación 4.3. Ademásϕ ◦Ψ = IdG, luego Ψ es inyectiva por lo
tanto Ψ es un isomorfismo y G ∼= Sn. �
Observación 4.5. Si consideramos N como la cerradura normal de
σ21, por la proposición3.2 y la proposición anterior tenemos
que
Bn/N =
〈x1, . . . , xn−1
∣∣∣∣∣∣xixj = xjxi |i− j| ≥ 2xixi+1xi = xi+1xixi+1 1 ≤ i ≤ n−
2x2i = 1 1 ≤ i ≤ n− 1
〉= Sn
Luego Bn/N ∼= Sn.
Para dar una interpretación geométrica de esta observación,
recordemos que en la proposición1.1 hab́ıamos definido una
función π : Bn → Sn, que asignaba a cada trenza la permutación
delos extremos de sus cuerdas. Notemos que de hecho dicha función
coincide con la proyecciónde Bn sobre Sn presentada en la
observación 4.4
Definición 4.4. Sea Pn = { β ∈ Bn | π(β) = 1}, entonces Pn es
un subgrupo normal de Bn,llamado el grupo de trenzas puras.
-
40 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Demostración. Es claro que Pn es un grupo. Veamos que es
normal. Sea β ∈ Pny γ ∈ Bn, tenemos entonces que π(βγβ−1) =
π(β)π(γ)π(β)−1 = π(β)π(β)−1 = 1. Deaqúı entonces βγβ−1 ∈ Pn, luego
Pn es un grupo normal. �
Ejemplo 4.1. Tenemos que
1. σ1σ2σ1σ2 /∈ P4 pues π(σ1σ2σ1σ2) = (1, 2, 3)
2. σ21, σ22 ∈ P4 y σ21σ22 ∈ P4
× =
3. σ1σ22 /∈ P4, pues π(σ1σ22) = (1, 2)
4. σ21 ∈ P4 y σ2σ21σ−12 ∈ P4
× × =
Observación 4.6. Notemos que Pn = π−1(1) = ker(π) (luego Pn es
normal en Bn), por el
tercer teorema de isomorfismos tenemos que
Bn/Pn = Bn/ ker(π) ∼= Sn = Bn/N
donde N es la cerradura normal de {σ1, . . . , σ2n−1}, luego N
∼= Pn.
Observación 4.7. Sea σ ∈ Sn, sabemos que podemos escribir a σ
como un producto de ciclosdisjuntos de manera única, salvo por el
orden de los mismos, a su vez estos los podemosescribir como un
producto de transposiciones. Notemos que esta descomposición es
única,salvo por el orden.
Definición 4.5. Sea σ ∈ Sn y sea σ = σ1σ2 . . . σk la
descomposición de σ como producto detransposiciones. Decimos que σ
es par ó impar si k es par ó impar respectivamente.
Proposición 4.3. Sea An = { σ ∈ Sn | σ es par }. Entonces An es
un subgrupo de Snllamado el grupo alternante.
Proposición 4.4. [Sn : An] = 2, luego An es un grupo normal de
Sn.
-
4. El grupo de trenzas y el grupo simétrico 41
Proposición 4.5. Sn tiene la siguiente presentación
(4.2) Sn =
〈s1, . . . , sn−1
∣∣∣∣∣∣s2i = 1 1 ≤ i ≤ n− 1(sisi+1)
3 = 1 1 ≤ i ≤ n− 2(sjsk)
2 = 1 1 ≤ j < k ≤ n− 1 y |j − k| ≥ 2
〉.
Demostración. Retomando la presentación 4.1 de Sn dada en la
proposición 4.2, sabe-mos que Sn tiene n− 1 generadores. Basta
pues demostrar la equivalencia de las relaciones.
1. Notemos que s2i = 1 implica que si = s−1i
2. Utilizando 1 tenemos que sisi+1si = si+1sisi+1 ⇔ sisi+1si =
s−1i+1s−1i s−1i+1 ⇔ 1 =sisi+1sisi+1sisi+1 = (sisi+1)
3 para 1 ≤ i ≤ n− 23. Similarmente tenemos que sjsk = s
−1k s−1j ⇔ 1 = sjsksjsk = (sjsk)2 para |j − k| ≥ 2
�
Proposición 4.6. An tiene la siguiente presentación
An =
〈x1, . . . , xn−2
∣∣∣∣∣∣∣∣x2i = 1 1 ≤ i ≤ n− 3(x3n−2 = 1(xixi+1)
3 = 1 1 ≤ i ≤ n− 3(xjxk)
2 = 1 1 ≤ j < k ≤ n− 2 y k − j ≥ 2
〉
donde xi = sisn−1 = (i, i+ 1)(n− 1, n).
Demostración. Utilizaremos el método de Reidemeister-Scherier
(para detalles consul-tar Apéndice A) para encontrar la
presentación deAn. Tenemos que S = {1, sn−1 = (n−1, n)}es un
sistema Scherier completo para Sn/An, de aqúı entonces An tendrá
los siguientes ge-neradores
xj = ρ(1, sj) = sjsj−1 = sjs
−1n−1 = sjs
−1n−1 1 ≤ j ≤ n− 1
yj = ρ(sn−1, sj) = sn−1sj(sn−1sj)−1 = sn−1sj 1 ≤ j ≤ n− 1
Notemos que xn−1 = sn−1s−1n−1 = 1 = s
2n−1 = yn−1. Ahora utilizando las relaciones R1, R2 y
R3 de la presentación 4.2 y el método R-S, las relaciones de
An serán las siguientes
1. Para 1 ≤ j ≤ n− 1, R1 = s2j implica que
R1,1 = τ(s2j) = ρ(1, sj)ρ(s̄j, sj) = xjyj = 1
R1,2 = τ(sn−1s2js−1n−1) = ρ(1, sn−1)ρ(sn−1, sj)ρ(1, sj)ρ(sn−1,
sn−1) = xn−1yjxjyn−1 = yjxj = 1
como xn−1 = 1 = yn−1 tenemos entonces que en An, xjyj = 1 para 1
≤ j ≤ n− 2.2. Para 1 ≤ j ≤ n− 2, R2 = (sjsj+1)3 = 1 implica que
R2,1 = τ((sjsj+1)3) = (ρ(1, sj)ρ(sn−1, sj+1))
3 = (xjyj+1)3 = 1
R2,2 = τ(sn−1(sjsj+1)3sn−1) = (ρ(1, sn−1)ρ(sn−1, sj)ρ(1,
sj+1)ρ(sn−1, sn−1))
3
= (xn−1yjxj+1yn−1)3 = (yjxj+1)
3 = 1
-
42 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Puesto que xn−1 = 1 = yn−1 tenemos que en An
(xjyj+1)3 = 1 = (yjxj+1)
3 1 ≤ j ≤ n− 3x3n−2 = 1 = y
3n−2
3. Para 1 ≤ j < k ≤ n− 1 tenemos R2 = (sjsk)2 = 1 implica
que
R3,1 = τ((sjsk)2) = (ρ(1, sj)ρ(sn−1, sk))
2 = (xjyk)2 = 1
R3,2 = τ(sn−1(sjsk)2sn−1) = (ρ(1, sn−1)ρ(sn−1, sj)ρ(1,
sk)ρ(sn−1, sn−1)
2 = (yjxk)2 = 1
Usando el hecho de que yn−1 = 1 = xn−1 tenemos que en An
x2j = 1 = y2j 1 ≤ j ≤ n− 3
(xjyk)2 = 1 1 ≤ j, k ≤ n− 2 y |j − k| ≥ 2
Notemos que xj = y−1j para 1 ≤ j ≤ n − 2, luego podemos eliminar
los generadores yj
sustituyendolos por x−1j . Haciendo las sustituciones y
ordenando tenemos la presentaciónque buscamos. �
Corolario 4. Tenemos las siguientes presentaciones para A3, A4 y
A5
1. A3 = 〈 x1 | x31 = 1 〉.2. A4 = 〈 x1, x2 | x31 = x32 = (x1x2)2
= 1 〉.3. A5 = 〈 a, b | a3 = b5 = (ab)2 = 1 〉.
Demostración. Para A3 y A4, basta aplicar la proposición
anterior y para A5 se aplicala proposición anterior y se hace el
cambio de variable a = x3x1x2x1 = (134) y b = x2x1x
−13 =
(12453). �
5. Los grupos cocientes de la forma Bn(m)
En las observaciones 4.5 y 4.6 vimos que Sn es un grupo cociente
de Bn, a partir de estarelación del grupo simétrico y el grupo de
trenzas, H.S.M Coxeter preguntó, ¿que pasaŕıa sien vez de añadir
la relación σ2i = 1, agregamos la relación σ
mi para m ∈ N, para 1 ≤ i ≤ n−1
[8]?.Para estudiar la pregunta de Coxeter, primero veamos el
planteamiento geométrico.
Definimos la 2-trenza ∆2 como “torsión” de la trenza trivial
una vez, sin importar el sentido,como en la figura siguiente
oo ∆2 � � ∆2 //
Notemos que la trenza ∆2 es equivalente a considerar σ2i o σ
−2i , luego cuando consideramos
el cociente Bn/N, donde N es la cerradura normal de {σ21, . . .
, σ2n−1}, lo que hacemos es
-
5. Los grupos cocientes de la forma Bn(m) 43
idententificar la imagen de ∆2 con la identidad. Como se muestra
en la siguiente figura:
ooBn/N // //
Bn/Noo
En este caso se sigue de inmediato que σi = σ−1i , lo que es
equivalente a identificar el cruce
por “arriba” con el cruce por “abajo”
ooBn/N //
por medio de esta equivalencia podemos poner en niveles
distintos cada cuerda de la trenza,caracterizándola por completo
con la permutación de sus extremos.
ooBn/N //
De aqúı se sigue la equivalencia del cociente Bn/N con el grupo
simétrico. Generalizandoeste proceso, consideremos ∆m la
“torsión” de e2, m veces, como en la siguiente figura
oo ∆5 � � ∆5 //
Al conciderar el cociente de Bn con Nm, la cerradura normal de
{σm1 , . . . , σmn−1}, lo quehacemos es identificar ∆m con la
identidad, como se muestra en la siguiente figura:
ooBn/N // //
Bn/Noo
Todo esto nos lleva a la siguiente definición.
Definición 5.1. Sea Nm la cerradura normal de {σm1 , . . . ,
σmn−1}.
Bn(m) := Bn/Nm
-
44 Caṕıtulo 2. El grupo de trenzas
Observación 5.1. Tenemos la siguiente presentación para
Bn(m)
Bn(m) =
〈σ1 . . . σn−1
σiσi+1σi = σi+1σiσi+1 i ∈ {1, . . . , n− 2}σiσj = σjσi |i− j| ≥
2σm1 = 1
〉De aqúı entonces la pregunta de Coxeter se reduce a estudiar
los grupos cocientes de Bn dela forma Bn(m). En los dos siguientes
cápitulos estudiaremos dichos grupos, caracterizandocuándo son
finitos y obteniendo su orden.
-
45
Caṕıtulo 3
Cocientes Infinitos de la forma Bn(m)
En este Caṕıtulo presentaremos al grupo cociente Bn(m) del
grupo de trenzas Bn. Proba-remos que cualquier grupo cociente
finito de Bn es isomorfo a un grupo cociente de algúnBn(m). Una
vez vistos estos resultados presentaremos algunas propiedades de
los grupossimétricos y alternantes, aśı como algunos resultados
de la teoŕıa de grupos, que nos permi-tirán estudiar los grupos
cocientes de Bn de la forma Bn(m), probaremos que si se cumpleque
(m− 2)(n− 2) ≥ 4 entonces el grupo Bn(m) es infinito [5].
1. Grupos cocientes del grupo de trenzas
Lema 1.1. Sea f : G → K un homomorfismo de grupos y H E G tal
que f(x) = e paratoda x ∈ H, entonces existe un único homomorfismo
f̃ : G/H → K tal que f = f̃ · π, dondeπ : G→ G/H es la proyección
de G sobre G/H.Es decir queremos encontrar f̃ tal que haga el
siguiente diagrama conmutativo.
Gf //
π��
K
G/Hf̃
-
46 Caṕıtulo 3. Cocientes Infinitos de la forma Bn(m)
Primero veamos que está bien definida, es decir que no depende
del representante de gH,sean g, g′ ∈ G tal que g ∼ g′ entonces
g ∼ g′ ⇒ ∃h, h′ ∈ H tal que ghg−1 = h′
⇒ f(ghg′−1) = f(h′) = e⇒ g(g)f(h)f(g′−1) = f(g)f(g′−1) =
f(g)f(g′)−1 = e⇒ f(g) = f(g′)⇒ f̃(gH) = f̃(g′H).
Veamos ahora que es un homomorfismo de grupos. Sean g, g′ ∈
Gf̃(gg′H) = f(gg′) = f(g)f(g′) = f̃ gH (̃g′H).
Además f̃ hace el diagrama conmutativo. En efecto sea g ∈
Gg̃(π(g)) = f̃(gH) = f(g) f̃ · π = f
Finalmente, si h : G/H → K tal que h(π(g)) = f(g) entoncesh(gH)
= f(g) = f̃(gH)
de aqúı entonces h = f̃ , luego f̃ es única.�
Definición 1.1. Dado n,m ∈ N. Definimos el grupo Bn(m) como el
grupo generado por{σ1, . . . , σn−1} tal que cumplen
σiσj = σjσi |i− j| ≥ 2 i, j ∈ {1, . . . , n− 1}(1.1)σiσi+1σi =
σi+1σiσi+1 i ∈ {1, . . . , n− 2}(1.2)
σmi i ∈ {1, . . . , n− 1}.(1.3)Tenemos entonces que Bn(m) =
Bn/〈σm1 , . . . , σmn−1〉, donde 〈σm1 , . . . , σmn−1〉 es el grupo
normalgenerado por σm1 , . . . , σ
mn−1.
Observación 1.1. Tenemos la siguiente igualdad
〈σmi 〉n−1i=1 = 〈σm1 〉donde 〈σm1 〉 es el grupo normal generado
por σm1 . De aqúı entonces tenemos que
Bn(m) = Bn/〈σmi 〉n−1i=1 = Bn〈σm1 〉.Demostración. Es claro que
〈σmi 〉n−1i=1 ⊇ 〈σm1 〉 puesto que σm1 ∈ 〈σmi 〉n−1i=1 .
Veamos entonces que 〈σmi 〉n−1i=1 ⊆ 〈σm1 〉.Notemos que
σi = (σ1 . . . σn−1)i−1σ1(σ1 . . . σn−1)
1−i
de aqúı entoncesσmi = (σ1 . . . σn−1)
i−1σm1 (σ1 . . . σn−1)1−i ∈ 〈σm1 〉
luego se cumplen las igualdades de la observación. �
-
2. Representación de Burau 47
Definición 1.2. Dado un grupo G, un cociente de G es un grupo
isomorfo a un grupo de laforma G/H donde H E G
Proposición 1.1. Si Fn es un cociente finito de Bn entonces
existe m ∈ N tal que Fn esgrupo cociente de Bn(m)
Demostración. Sea Fn un grupo cociente finito tal que |Fn| = m
existe pues H E Bntal que Fn ∼= Bn/H. De aqúı tiene sentido
considerar las proyecciónes
π1 : Bn → Fnπ2 : Bn → Bn(m)
las cuales son epimorfismos.Verifiquemos que π1 y π2 cumplen las
condiciones del lema 1.1 para encontrar h : Bn(m)→Fn tal que el
siguiente diagrama sea conmutativo
Bnπ1 //
π2��
Fn
Bn(m)h
;;xx
xx
x
Sea g ∈ 〈σmi 〉n−1i=1 , tenemos entonces que g = g1σmi1 g−11 . .
. gkσ
mikg−1k con gj ∈ Bn, ij ∈
{1, . . . , n − 1} y j ∈ {1, . . . , k}, Además como |Fn| = m,
hn = e para toda h ∈ Fn lue-go tenemos que
π1(g) = π1(g1)π1(σi1)mπ1(g1)
−1 . . . π1(gk)π1(σik)mπ1(gk)
−1
π1(g) = π1(g1)eπ1(g1)−1 . . . π1(gk)eπ1(gk)
−1
π1(g) = e . . . e
π1(g) = e
De aqúı entonces π1(g) = e para toda g ∈ 〈σmi 〉i=n−1i=1 , luego
se cumplen las condiciones dellema 1.1 entonces existe un único
homomorfismo h : Bn → Fn, tal que π1 = h · π2, como π1es un
epimorfismo, etonces h también lo será, luego por el primer
teorema de isomorfismostenemos que
Bn(m)/ ker(h) ∼= Fnpor lo tanto se cumple la proposición. �
2. Representación de Burau
En el primer Caṕıtulo hablamos de la teoŕıa de representación
de grupos y dimos algunosejemplos de las representaciones del grupo
de trenzas, en esta sección las presentaremosformalmente y
buscamos utilizar estas representaciones para construir una
representacióndel grupo Bn(m).
-
48 Caṕıtulo 3. Cocientes Infinitos de la forma Bn(m)
Definición 2.1. (La representación de Burau) Sea n ∈ N tal que
n ≥ 2 y Jn ={1, . . . , n− 1}, consideremos las siguientes matrices
n× n sobre C
Ui =
Ii−1 0 00 U 00 0 In−i−1
i ∈ {1, . . . , n− 1}donde
U =
(1− t 1t 0
)Ik denota la matriz identidad k×k y t ∈ C. Definimos ψn : Bn →
GL(n,C) por ψn(σi) = Ui.ψn es un
