Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Automatyka – zastosowania, metody i narzędzia, perspektywy

Synteza systemów sterowania z wykorzystaniem regulatorów PID

Materiały pomocnicze do zajęć laboratoryjnych 1

Opracowanie: Robert Piotrowski, dr inż. Bartosz Puchalski, mgr inż. Michał Grochowski, dr inż.

2

Wstęp

Regulatory PID są powszechnie wykorzystywane praktycznie w każdej gałęzi

przemysłu. Stanowią one podstawowe wyposażenie cyfrowych urządzeń automatyki,

np. sterowników programowalnych.

Regulatory PID – przypomnienie wiadomości

Podstawową strukturę jednowymiarowego układu regulacji pokazano na rysunku 1.

Regulator

–

y Urządzenie wykonawcze

Obiekt sterowania

+

Urządzenie pomiarowe

m e yzad

z

Rys. 1. Podstawowa struktura układu regulacji

gdzie:

y – wielkość regulowana (sterowana),

yzad – wielkość zadana,

m – wielkość regulująca (sterująca),

z – wielkość zakłócająca,

e – uchyb (błąd) regulacji.

Wśród licznych metod sterowania, podstawowymi regulatorami używanymi w

praktyce przemysłowej są regulatory PID. Ich działanie oparte jest o przetwarzanie

sygnału uchybu regulacji e z wykorzystaniem trzech elementarnych operacji:

wzmocnienia – część proporcjonalna P regulatora, całkowania – część całkująca I

regulatora oraz różniczkowania – część różniczkująca D regulatora.

Ze względu na wykorzystanie poszczególnych składowych w sygnale generowanym

przez regulator, praktyczne zastosowanie znalazły następujące rodzaje regulatorów:

P, PI, PD i PID. Szczegółową charakterystykę tych regulatorów można znaleźć np. w

pracach [2,3].

W dalszej części opracowania przedstawiony zostanie regulator PID.

3

a). Idealny regulator proporcjonalno – całkująco – różniczkujący PID

Sygnał wyjściowy z idealnego regulatora PID jest postaci:

td

tedTe

Ttektm d

t

i

p

0

1

(1)

gdzie:

kp – współczynnik wzmocnienia,

Ti – stała czasowa całkowania,

Td – stała czasowa różniczkowania

kp, Ti i Td to tzw. nastawy regulatora.

Transmitancja operatorowa idealnego regulatora PID ma postać:

d

i

pr TsTs

11ksG

(2)

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe idealnego regulatora PID

przedstawiono na rysunkach 2-4.

Gr (s) = kp(1+1/s Ti +s Td) X0(s)

Y (s)

–

E (s) M (s)

Wie

lko

ść n

asta

wia

jąca

m

Czas t

kp α

tg α = kp/Ti

Rys. 2. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PID

Re(ω)

ω

Im(ω)

kp

Rys. 3. Charakterystyka amplitudowo – fazowa idealnego regulatora PID

(charakterystyka Nyquist’a)

4

log ω [rad/s]

20 log kp

L (ω) [dB]

log ω [rad/s]

π/2

φ (ω) [rad]

0

0

– π/2

1/Ti

+ 20 dB/dek

1/Td

– 20 dB/dek

di1 TT/1

a).

b).

Rys. 4. Charakterystyki logarytmiczne idealnego regulatora PID

(charakterystyki Bode’a): a). modułu, b). fazy

W praktyce nie jest możliwe uzyskanie różniczkowania w pełnym zakresie

częstotliwości. W związku z tym możliwe do zrealizowania regulatory mają inercję

ograniczającą częstotliwościowo efekt różniczkowania i tym samym otrzymujemy:

rzeczywisty regulator PD i rzeczywisty regulator PID.

b). Rzeczywisty regulator proporcjonalno – całkująco – różniczkujący PID

Sygnał wyjściowy z rzeczywistego regulatora PID jest postaci:

Tt

dt

i

p eT

Te

Ttektm

0

1

(3)

Transmitancja operatorowa rzeczywistego regulatora PID ma postać:

1

11

Ts

Ts

TsksG

d

i

pr

(4)

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe rzeczywistego regulatora PID

przedstawiono na rysunkach 5-7.

5

Rys. 5. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PID

Rys. 6. Charakterystyka amplitudowo – fazowa rzeczywistego regulatora PID

(charakterystyka Nyquist’a)

Rys. 7. Charakterystyki logarytmiczne rzeczywistego regulatora PID

(charakterystyki Bode’a): a). modułu, b). fazy

Dobór nastaw regulatora PID

W praktyce musimy wybrać rodzaj regulatora i określić jego nastawy. Metody doboru

nastaw regulatora PID dzielą się na dwie grupy:

metody inżynierskie,

metody z wykorzystaniem optymalizacji.

Gr (s) = kp(1+1/s Ti +s Td/(sT+1)) X0(s)

Y (s)

–

E (s) M (s)

Wie

lko

ść n

asta

wia

jąca

m

Czas t

kp α

tg α = kp/Ti kp(1+Td/T)

log ω [rad/s]

20 log kp

L (ω) [dB]

log ω [rad/s]

π/2

φ (ω) [rad]

0

0

– π/2

1/Ti 1/Td

21 /1 TTT di

a).

b).

20 log kp(1+Td/T)

1/τ

ω

k p

k p (1+T d /T)

Im(ω)

Re(ω)

6

1. Inżynierskie metody doboru nastaw regulatora PID

Wśród wielu inżynierskich metod doboru nastaw można wymienić np. pierwszą i

drugą metodę Zieglera – Nicholsa, metodę Passena, metodę Cohena-Coona,

metodę Åströma-Hägglunda (przekaźnikowa), metodę Hassena i Offereissena. Ich

szczegółowy opis można znaleźć np. w pracach [1,7].

W dalszej części opracowania zostaną przedstawione dwie z nich.

a). Pierwsza metoda Zieglera – Nicholsa

Ogólnie obiekty regulacji mogą być podzielone na statyczne i astatyczne.

Transmitancję obiektów statycznych można aproksymować transmitancją

operatorową postaci:

0sT

0

KG s e

T s 1

(5)

natomiast transmitancję obiektów astatycznych można aproksymować transmitancją

operatorową postaci:

0 0'

sT sT

0

K KG s e e

s T s

(6)

gdzie:

K – zastępczy współczynnik proporcjonalności obiektu,

T – zastępcza stała czasowa obiektu,

T0 – zastępcze opóźnienie obiektu.

Parametry K, T i T0 wyznacza się na podstawie odpowiedzi obiektu na wymuszenie

skokowe (rysunek 8).

t

K*u

y(t)

0 T0

a).

T t

K*u

y(t)

0 T0

b)

.

T

α = arctg K*u

dla K’ = 1

α

Rys. 8. Wyznaczenie parametrów K, T i T0: a). obiektu statycznego, b). obiektu

astatycznego

7

Badania Zieglera i Nicholsa pokazały, że odpowiedź skokowa większości układów

sterowania ma kształt zbliżony do tych z rysunku 8. Można ją otrzymać z danych

eksperymentalnych lub dynamicznej symulacji obiektu.

Ziegler i Nichols symulacyjnie badali różne obiekty regulacji i stroili parametry

regulatorów, aż do uzyskania odpowiedzi przejściowych zanikających do 25%

poprzedniej wartości w jednym okresie. Tym sposobem uzyskali oni konkretne

wartości nastaw w zależności od rodzaju regulatora ( 0K

a TT

):

Dla regulatora P: 1

pka

,

Dla regulatora PI: 0,9

pka

, 03iT T ,

Dla regulatora PID: 1,2

pka

, 02iT T , 00,5dT T .

Pierwsza metoda Zieglera – Nicholsa daje dobre rezultaty, gdy spełniony jest

następujący warunek:

6,015,00

T

T

(7)

b). Druga metoda Zieglera – Nicholsa

Jest to najbardziej znana, eksperymentalna metoda wyboru regulatora i jego nastaw.

Sposób postępowania jest następujący:

Zakłada się, że dany jest obiekt regulacji, którego opis matematyczny nie musi

być znany.

Do obiektu regulacji dołącza się regulator. Wyłącza się całkujące i

różniczkujące działanie regulatora (tzn. nastawia się maksymalną wartość

stałej czasowej całkowania Ti i minimalną wartość stałej czasowej

różniczkowania Td) i np. dla jednostkowego wymuszenia skokowego,

stopniowo zwiększa się współczynnik wzmocnienia kp regulatora, dochodząc

do granicy stabilności.

8

W stanie oscylacji nietłumionych mierzy się ich okres oscT . Następnie,

otwierając układ regulacji, mierzy się wartość współczynnika wzmocnienia krk

, przy którym te oscylacje występują.

Otrzymaną wartość krk dzieli się przez 2 uzyskując tym samym 0,5p krk k .

Wartość tę przyjmuje się jako docelową.

Przy określonym rodzaju wymuszenia dokonuje się rejestracji wielkości

wyjściowej obiektu w celu zastosowania przyjętego wskaźnika jakości.

Gdy przebieg wyjściowy nie spełnia stawianych wymagań, wówczas w celu

jego poprawy dokonuje się przełączenia regulatora z P na PI lub PID.

W zależności od rodzaju regulatora należy przyjąć:

Dla regulatora P: 0,5p krk k ,

Dla regulatora PI: 0,45p krk k , 1,2

osc

i

TT ,

Dla regulatora PID: 0,6p krk k , 0,5i oscT T , 8

osc

d

TT .

Druga metoda Zieglera – Nicholsa oparta jest na wykorzystaniu tylko dwóch

parametrów: oscT i krk , charakteryzujących granicę stabilności danego układu

regulacji. Nie jest to zatem metoda bardzo dokładna, ale prosta i zapewniająca

stabilną pracę zamkniętego układu regulacji. Zastosowanie tej metody wymaga

doprowadzenia układu regulacji do nietłumionych oscylacji, ale nie ma potrzeby

identyfikacji dynamiki obiektu regulacji. Metoda ta zapewnia dobre tłumienie

zakłóceń, ale daje mały zapas fazy i duże przeregulowanie dla skokowych zmian

wartości zadanej.

2. Metody doboru nastaw regulatora PID z wykorzystaniem optymalizacji

W metodach doboru nastaw wykorzystujących optymalizację niezbędne jest

zastosowanie jednoznacznej oceny doboru nastaw, czyli zaproponować funkcję celu.

Do jej budowy wykorzystuje się rozmaite kryteria całkowe. Uwzględnia się w nich

rozmaite wielkości, np. uchyb regulacji, czas regulacji, szybkość zmian uchybu

regulacji. Przykładowe kryteria:

9

całki uchybu:

0

dtteI (8)

całki kwadratu uchybu (ang. Integral of Square of the Error – ISE):

0

2 dtteI (9)

całki uchybu i czasu:

0

dttteI (10)

całki modułu z uchybu (ang. Integral of the Absolute value of the Error – IAE):

0

dtteI (11)

całki modułu z uchybu i czasu (ang. Integral of the Time and weighted

Absolute Error – ITAE):

0

dttetI (12)

całki sumy kwadratu uchybu i kwadratu pochodnej uchybu z wagą:

0

2 dtteateI (13)

całki modułu różnicy uchybu dynamicznego i statycznego:

0

dteteI st (14)

modułu całki różnicy uchybu dynamicznego i statycznego:

0

][ dteteI st (15)

całki kwadratu różnicy uchybu dynamicznego i statycznego:

0

2][ dteteI st (16)

10

Najbardziej popularnymi kryteriami całkowymi są: ISE, IAE oraz ITAE. Ich krótka

charakterystyka została zawarta poniżej [5]:

Wykorzystanie kryterium IAE owocuje otrzymaniem dobrze tłumionego układu

regulacji, dla układów drugiego rzędu współczynnik tłumienia jest bliski 0,7

prawie jak dla kryterium ITAE. Wykorzystanie kryterium ISE daje współczynnik

tłumienia na poziomie 0,5. Kryterium ISE nie jest wrażliwe na zmienność

parametrów, w przeciwieństwie do kryterium ITAE.

Aby ograniczyć duże błędy regulacji (wartości > 1), kryterium ISE jest lepsze

od kryterium IAE, gdyż uchyb e jest w tym kryterium podniesiony do kwadratu

(im większe błędy regulacji tym większa wartość wskaźnika ISE).

Aby ograniczyć małe błędy regulacji (wartości < 1), kryterium IAE jest lepsze

od ISE (analogicznie do punktu powyżej).

Aby ograniczyć błędy regulacji, które trwają przez długi okres czasu, kryterium

ITAE jest najlepszym kryterium, gdyż współczynnik t zwiększa wartość długo

utrzymujących się małych błędów regulacji (np. uchyb w stanie ustalonym). W

ogólności wynikiem działania tego kryterium są małe oscylacje oraz małe

przeregulowania.

Dla prostych liniowych obiektów sterowania możliwe jest analityczne wyznaczenie

nastaw regulatorów PID z kryteriów całkowych [4]. W innych przypadkach konieczne

jest wykorzystanie metod numerycznych i profesjonalnych inżynierskich środowisk

programistycznych.

Ciekawą analizę wybranych metod doboru nastaw regulatorów PID w sterowaniu

suwnicą 3D przedstawiono w pracy [6].

Wieloobszarowy (ang. multiregional) regulator PID

Nie jest możliwe efektywne sterowanie obiektem nieliniowym (silnie) w pełnym

zakresie zmian jego punktu pracy, przy pomocy jednego uniwersalnego liniowego

prawa sterowania (czyli jednych nastaw regulatora PID). W związku z tym konieczne

jest stosowanie różnych nastaw regulatorów w zależności od aktualnego punktu

pracy. Aby zidentyfikować liczbę i zakres takich obszarów należy przeanalizować

charakterystykę statyczną obiektu. Na podstawie analizy należy dokonać

11

aproksymacji charakterystyki modelami liniowymi (zlinearyzować nieliniowy model w

różnych - charakterystycznych, punktach pracy). Następnie dla tak utworzonych

modeli liniowych należy dobrać odpowiednie nastawy "lokalnych" regulatorów PID.

Powstałe regulatory mogą być przełączane w zależności od punktu pracy w sposób

twardy (sygnał sterujący oddziaływający na obiekt pochodzi z jednego, wybranego

lokalnego regulatora) lub w sposób miękki (sygnał sterujący oddziaływający na obiekt

jest generowany na bazie dwóch lub więcej lokalnych regulatorów - wyjścia z

regulatorów są ważone algebraicznie lub w sposób rozmyty). Najczęściej lepszym

rozwiązaniem jest miękkie przełączanie regulatorów (rysunek 9).

PID 1

–

y Urządzenie wykonawcze

Obiekt sterowania

+

Urządzenie pomiarowe

m e yzad

z

PID 2

PID n

Rys. 9. Struktura układu regulacji wieloobszarowej przy użyciu klejonych w sposób

rozmyty lokalnych regulatorów PID.

Bibliografia

1. Åström K.J., Hägglund T. (1995). PID Controllers: Theory, Design and Tuning.

2nd Edition. Instrument Society of America, North Carolina.

2. Brzózka J. (2002). Regulatory cyfrowe w automatyce. Wydawnictwo MIKOM,

Warszawa.

3. Brzózka J. (2004). Regulatory i układy automatyki. Wydawnictwo MIKOM,

Warszawa.

12

4. Byrski W. (2007). Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych.

Uczelniane Wydawnictwa Naukowo – Dydaktyczne Akademii Górniczo –

Hutniczej w Krakowie, Kraków.

5. Corriou J.-P. (2004). Process Control: theory and applications. Springer-

Verlag, London.

6. Dziendziel T., Gruk M. (2014). Wybrane metody doboru nastaw regulatora PID

w sterowaniu suwnicą 3D. Praca dyplomowa, Politechnika Gdańska, Wydział

Elektrotechniki i Automatyki.

7. Holejko D., Kościelny W.J. (2012). Automatyka procesów ciągłych. Oficyna

Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.