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POLITECNICO DI MILANO
SCUOLA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL’INFORMAZIONE
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA BIOMEDICA
SVILUPPO DI UNA METODOLOGIA PER LO STUDIO
NUMERICO-SPERIMENTALE DEL COMPORTAMENTO
A FATICA DI DISPOSITIVI IN LEGA DI TITANIO:
APPLICAZIONE AD UNA VITE PEDUNCOLARE
Relatore: Prof. Tomaso VILLA
Correlatore: Ing. Luigi LA BARBERA
Tesi di Laurea Magistrale di:
Francesco VALLE matr.824014
Anno Accademico 2014-2015
1
Indice
Sommario .............................................................................................................................. 4
Summary .............................................................................................................................. 15
Introduzione ......................................................................................................................... 25
Capitolo 1 La fusione spinale per mezzo di viti peduncolari .......................................... 28
1.1. Fissazione spinale rigida ....................................................................................... 28
1.1.1. Le viti peduncolari ......................................................................................... 31
1.1.2. Indicazione clinica ......................................................................................... 33
1.1.3. Risultati .......................................................................................................... 33
1.2. Complicanze di una fissazione rigida ................................................................... 34
1.2.1. Complicanze intra-operatorie ........................................................................ 34
1.2.2. Complicanze post-operatorie ......................................................................... 35
1.2.3. La rottura di viti peduncolari ......................................................................... 36
1.3. Fissazione spinale non rigida ................................................................................ 38
1.3.1. Fissazione semi-rigida e flessibile ................................................................. 39
1.3.2. Fissazione dinamica ....................................................................................... 39
1.4. Studio del meccanismo di rottura ......................................................................... 41
1.4.1. Studi preclinici ............................................................................................... 41
1.4.2. Studi post-clinici di viti espiantate ................................................................ 49
1.4.3. Studi clinici in vivo ....................................................................................... 53
Capitolo 2 La rottura per fatica ....................................................................................... 54
2.1. Introduzione alla fatica ......................................................................................... 54
2.2. Meccanismo di rottura a fatica .............................................................................. 56
2
2.2.1. Eterogeneità del materiale ............................................................................. 56
2.2.2. Materiali fragili e duttili ................................................................................ 57
2.2.3. Fasi della rottura a fatica ............................................................................... 57
2.3. Approcci per lo studio della fatica ........................................................................ 59
2.4. Stress-based approach ........................................................................................... 60
2.4.1. Effetto del valore medio di sforzo ................................................................. 65
2.4.2. Effetto di elementi propri del pezzo meccanico ............................................ 69
2.5. Approccio computazionale allo studio della fatica ............................................... 74
2.5.1. Approccio classico ......................................................................................... 75
Capitolo 3 Materiali e metodi .......................................................................................... 80
3.1. Obiettivo ............................................................................................................... 80
3.2. Dispositivo studiato .............................................................................................. 81
3.3. Caratterizzazione geometrica ................................................................................ 82
3.3.1. Misure al microscopio e al proiettore d’ombra ............................................. 83
3.3.2. Disegno CAD ................................................................................................ 86
3.4. Caratterizzazione del materiale ............................................................................. 89
3.4.1. Microstruttura: Sezione metallografica ........................................................ 89
3.4.2. Proprietà meccaniche: Nanoindentazioni ...................................................... 91
3.5. Prove sperimentali ................................................................................................ 95
3.5.1. Set-up: ASTM F2193 (2002) ......................................................................... 95
3.5.2. Macchina di prova ......................................................................................... 99
3.5.3. Prove statiche ............................................................................................... 100
3.5.4. Prove a fatica ............................................................................................... 101
3.6. Modelli FEM ....................................................................................................... 104
3.6.1. Messa a punto della simulazione numerica ................................................. 105
3
3.6.2. Elaborazione dei risultati statici .................................................................. 114
3.6.3. Criteri a fatica: Goodman e Sines ................................................................ 115
Capitolo 4 Risultati e Discussione ................................................................................ 121
4.1. Caratterizzazione del materiale ........................................................................... 121
4.1.1. Sezione metallografica ................................................................................ 121
4.1.2. Nanoindentazioni ......................................................................................... 126
4.2. Analisi statica ...................................................................................................... 130
4.2.1. Prove sperimentali ....................................................................................... 130
4.2.2. Simulazioni numeriche ................................................................................ 134
4.2.3. Confronto sperimentale-numerico ............................................................... 137
4.3. Analisi a fatica .................................................................................................... 140
4.3.1. Prove sperimentali ....................................................................................... 140
4.3.2. Previsioni numeriche ................................................................................... 145
4.3.3. Previsioni numeriche corrette ...................................................................... 157
Conclusione e Sviluppi futuri ............................................................................................ 169
Bibliografia ........................................................................................................................ 171
4
Sommario
Introduzione e obiettivi
La fusione spinale è una tecnica chirurgica ampiamente utilizzata per trattare una varietà di
problemi legati alla colonna vertebrale. Il metodo più diffuso per ottenere la fusione è
rappresentato dai sistemi di fissazione posteriore, basati sull’utilizzo di viti inserite nei
peduncoli delle vertebre e connesse fra loro da barre (Figura 0.1).
Figura 0.1: Classificazione delle viti peduncolari in base al collegamento fra la testa e la parte cilindrica
filettata.
Nonostante i buoni risultati clinici ottenuti attraverso la fissazione peduncolare, sono state
riportate molte complicanze sia connesse alla procedura chirurgica, che legate al suo
decorso post-operatorie, in particolare il fallimento meccanico della strumentazione
impiantata. In particolare, critica è la rottura delle viti peduncolari (3-12%), spesso
associata a fenomeni di fatica meccanica dovuti ai numerosi carichi ciclici flessionali cui la
strumentazione è sottoposta quotidianamente. Il cammino, rappresenta l’attività
5
considerata più critica sia per il carico trasmesso alla strumentazione che per il numero di
ripetizioni giornaliere. In letteratura sono presenti vari studi mirati a comprendere i
meccanismi di rottura a fatica e i parametri che più influenzano la resistenza del
dispositivo, in modo da ridurne l’incidenza. Particolarmente utili sono gli studi pre-clinici,
basati su prove sperimentali comparative in vitro e ex vivo, spesso molto dispendiose in
termini di tempo e di costi. Molto promettenti sono invece gli studi computazionali basati
sul metodo degli elementi finiti, che ben si prestano a studiare stati di sforzi anche
complessi che agiscono in corrispondenza di intagli marcati, quali le filettature. Un altro
strumento ingegneristico, ad oggi poco diffuso in ambito ortopedico, è l’uso di criteri di
resistenza per fare predizioni sul comportamento a fatica del dispositivo. Il metodo più
semplice è basato sul confronto dello sforzo effettivamente agente sul pezzo per
confronto con il valore di sforzo limite del pezzo meccanico , ottenuto correggendo
quello del materiale.
L’obiettivo del presente lavoro di Tesi è di mettere a punto una metodologia utile, tanto in
fase di progettazione che in fase di verifica del dispositivo, che combini prove sperimentali
e modelli numerici validati che, accoppiati ad opportuni criteri di previsione basati sugli
sforzi, diano informazioni circa il suo comportamento a fatica. Tale approccio è stato
applicata allo studio di una vite peduncolare monoassiale in Ti6Al4V ELI. In particolare,
avendo a disposizione viti da due lotti di produzione differenti, si è voluto anche studiare
se vi siano differenze in termini di risposta a fatica riconducibili a processi tecnologici.
Materiali e Metodi
Il dispositivo oggetto dello studio è una vite peduncolare monoassiale (Expedium system,
DePuy Synthes) in Ti-6Al-4V ELI. I dispositivi a disposizione provengono da due lotti di
produzione differenti, identificati nel seguito come lotto rosso e lotto blu.
La geometria della vite è stata ricostruita a partire da misurazioni al proiettore d’ombra (2D
TESA-SCAN50) e al microscopio (Nikon SMZ800®).
I modelli CAD delle viti dei due lotti sono stati costruiti con SOLIDWORKS a partire
dalle misure ottenute.
6
Per caratterizzare la microstruttura del materiale componente le viti, ne sono state eseguite
le analisi della sezione metallografica, sia operando un taglio trasversale che longitudinale
al filettatura.
Le proprietà meccaniche del materiale componente le viti sono state caratterizzate con
prove di nanoindentazione sulla sezione trasversale(Figura 0.2), eseguite su diversi livelli
di carico (nel range 20-300 mN) e al variare della distanza dal bordo della sezione, per
individuare l’effetto di eventuali trattamenti superficiali.
Figura 0.2: Prove di nanoindentazione eseguite sulle sezioni trasversali delle viti peduncolari.
Per caratterizzare le proprietà meccaniche statiche e a fatica delle viti, sono state utilizzate
prove di flessione a sbalzo, basate sulla norma ASTM F2193 (2002). Tale prova consiste
nel vincolare la testa e applicare il carico su un blocchetto di polietilene (PE) avvitato alla
vite attraverso un cilindretto in acciaio(Figura 0.3). Il set-up è stato montato su una
macchina servoidraulica MTS MiniBionix.
Figura 0.3: Set-up sperimentale da norma ASTM F2193 (2002) e set-up effettivamente utilizzato.
7
Le prove statiche sono state condotte in controllo di spostamento eseguendo più cicli di
carico-scarico anche oltre snervamento. Dalle curve Forza-spostamento ( ,) è stata
calcolata la rigidezza flessionale del tratto lineare sul primo step di carico ( e la forza
di snervamento flessionale ( ).
Le prove a fatica sono state eseguite applicando un carico sinusoidale su diversi livelli di
forza, così da costruire il diagramma di Wöhler del dispositivo. In particolare è stato
studiato l’effetto del rapporto di carico ⁄ ) e l’effetto del lotto di appartenenza
delle viti. Le viti appartenenti al lotto rosso sono state testate a e , quelle
del lotto blu solo a =0.1.
Al fine di riprodurre le prove sperimentali su ciascun lotto di viti, sono stati costruiti due
modelli ad elementi finiti in ABAQUS. Ogni modello è stato costruito importando il CAD
della vite e disegnando anche il blocchetto di PE e il tutto è stato assemblato come nella
prova sperimentale; per simulare il cilindretto di applicazione del carico è stata utilizzata
una superficie curva rigida, ponendo un coefficiente di attrito di 0.3 fra questa e il PE. Le
proprietà assegnate ai materiali sono state: modulo elastico della lega di titanio, 111GPa
per il lotto rosso e 103 GPa per quello blu, entrambi ottenuti dalle nanoindentazioni;
modulo elastico del PE, 300 MPa; coefficienti di Poisson, 0.33 per la lega di titanio e 0.4
per il PE. Per le simulazioni che comprendono anche la plasticizzazione, è stato utilizzato
un modello bilineare con sforzo di snervamento e sforzo ,
corrispondente a una deformazione plastica residua . Tale modello bilineare è
stato utilizzato soltanto per la simulazione delle prove statiche. Per la simulazione delle
prove a fatica è stato assunto un modello di materiale elastico lineare, coerente con
l’analisi della fatica attraverso un approccio basato sugli sforzi. La mesh è stata creata in
modo da avere una discretizzazione fitta nelle zone di maggiore interesse, lasciando più
rade le restanti. Entrambi i modelli sono stati discretizzati con circa 300 mila elementi
(Figura 0.4).
8
Figura 0.4: Modelli numerici con le relative mesh realizzati per le viti dei due lotti.
Le componenti di sforzo calcolate per i due modelli sono state elaborate secondo i criteri
multiassiali di Goodman e di Sines con uno script in MATLAB e rappresentate sul piano di
Haigh sia a fatica limitata ( ) che a fatica illimitata ( ):
(
)
Risultati e Discussione
L’analisi metallografica della sezione traversale di entrambi i lotti ha evidenziato una
struttura equiassica molto fine (dimensione grano dell’ordine dei micrometri) caratterizzata
da una matrice omogenea di fase α (chiara) in cui sono dispersi finemente grani di fase β
(scuri) (Figura 0.5 sinistra). La sezione longitudinale del lotto blu appare con delle fasi
marcatamente allungate in direzione della filettatura della vite e dell’estrusione del
semilavorato da cui è stata ricavata (Figura 0.5 destra).
9
Figura 0.5: Sezione metallografica trasversale (sinistra) e longitudinale (destra).
In tutte le sezioni indagate, le nanoindentazioni hanno evidenziaro una riduzione
statisticamente significativa del modulo elastico al crescere del livello di carico, a meno dei
livelli a 200 e 300 mN dove il valore si assesta. Questo fenomeno è noto con il nome di
size effect. L’elaborazione dei risultati riguardanti la durezza ha mostrato una differenza
statisticamente significativa soltanto fra il livello di carico 300 mN e gli altri. I risultati
delle nanoindentazioni al crescere della distanza dal bordo non mostrano alcun trend, ad
escludere eventuali variazioni in termini di proprietà meccaniche al crescere della distanza
dal bordo. Combinando i risultati provenienti dai due lotti, è emersa una differenza
statisticamente significativa fra lotto blu e lotto rosso, con quest’ultimo mediamente più
elevato del 6.9%. Dal modulo elastico ridotto è stato calcolato il modulo elastico per
ciascun lotto: per il lotto rosso e per il lotto blu. Entrambi i valori sono
in linea con quelli tipici di letteratura per una lega Ti-6Al-4V ELI.
Le prove statiche (Figura 0.6) hanno evidenziato per il lotto rosso un valore di
, maggiore dell’8% rispetto a lotto blu, un valore di , senza
differenze significative con lotto blu, e infine valori di forza più alti a parità di
spostamento, rispetto al lotto blu.
10
Figura 0.6: Curve Forza-Spostamento sperimentali(sinistra) e computazionali (destra).
Le ragioni di sono da ricercare nel materiale più rigido del lotto rosso e nella
geometria che determina un momento di inerzia complessivo maggiore per il lotto rosso:
l’analisi della geometria ha mostrato infatti che i due lotti si differenziano per il punto di
inizio filettatura, più vicino rispetto alla testa per il lotto blu, più distale per il rosso.
Le ragioni di simili e ma comportamenti oltre snervamento differenti può
dipendere dal fatto che il materiale del lotto rosso snervi per valori di sforzo leggermente
più bassi, rispetto a quello blu, ma presenti comunque un tratto di incrudimento a pendenza
maggiore. Confrontando i modelli FEM del lotto rosso e del lotto blu (figura), ottenuti
considerando anche la plasticizzazione della vite, si vede come il modello della vite
appartenente al lotto rosso abbia una , maggiore del 10% rispetto al
blu, una , maggiore del 3% rispetto al modello blu, e infine raggiunga nel
tratto orizzontale plastico della curva valori di forza più elevati a parità di spostamento.
Tale situazione è stata già osservata sperimentalmente, a meno del valore di .
Questo dipende dal fatto che sono stati utilizzati gli stessi parametri per descrivere la
plasticità dei due materiali. Tali valori di snervamento trovano riscontro con i dati di
letteratura e soddisfano le proprietà meccaniche minime descritte nella norma ASTM F136
(2011).
I risultati della campagna sperimentale a fatica mostrano che una vite caricata con carico
pulsante ( , cioè carico medio diverso da zero) resiste maggiormente di un’altra
caricata con carico alternato simmetrico ( , carico medio pari a zero); quest’ultima è
11
più bassa di circa 100 N. A parità di rapporto di carico ( ), le viti provenienti dal
lotto blu resistono meno rispetto a quelle del lotto rosso (Figura 0.7). Per quanto riguarda
il punto di innesco e propagazione della cricca, questo è stato individuato in diverse
posizioni a seconda del rapporto di carico (Figura 0.8).
Figura 0.7: Curva σ-Nf a R=-1 su entrambi i lotti di viti.
Figura 0.8: Punti di innesco della cricca al variare del rapporto di carico R.
Questa diversità di comportamento a fatica è attribuibile ad una combinazione di
geometria, vale a dire uno spostamento dell’intaglio nel lotto blu in posizioni a momenti
flettenti maggiori, e proprietà meccaniche del materiale differenti.
Il fatto che il modello FEM con materiale elastico non si discosti dal modello con materiale
plastico fino a 350 N dimostra che, almeno fino a questo valore di forza, la risposta
meccanica della vite si mantiene sostanzialmente in campo elastico. Questo risultato
12
giustifica l’utilizzo di un approccio agli sforzi per l’analisi previsionale a fatica del
dispositivo al di sotto di questo valore di forza.
I diagrammi di Goodman e Sines a e a sono stati costruiti
attraverso uno script realizzato in MATLAB a partire dai valori di sforzo nodali del
modello FEM a determinati livelli di carico. Tali diagrammi sono stati confrontati con una
banda, formata da due curve limite ellittiche, che rappresenta possibili comportamenti
trovati in letteratura per la lega Ti-6Al-4V ELI. Parallelamente, sono state generate delle
mappe cromatiche in ABAQUS riportanti gli sforzi equivalenti sulla vite. A titolo di
esempio, Goodman a predice una rottura molto probabile per e meno
probabile per (Figura 0.9), quando sperimentalmente la vite sopravvive.
Figura 0.9: Diagramma di Goodman per R=-1 e R=0.1 ottenute dal lotto rosso.
Come si può vedere dalla Figura 0.9, pur avendo scelto delle proprietà anche elevate per il
limite superiore della banda, le nuvole FEM vanno oltre la banda. Ciò può essere dovuto
dai valori di sforzo del modello FEM che sono troppo elevati. Un fattore che può essere
introdotto per ridurre lo sforzo e che non viene considerato nelle simulazioni FEM è fattore
di sensibilità all’intaglio a fatica . Per effettuare tale correzione, è stato prima di tutto
calcolato il coefficiente di intaglio a partire dal modello numerico. Poi assumendo da
13
letteratura , è stato calcolato . Per correggere i valori ottenuti dal modello
numerico con il appena calcolato si è utilizzata la seguente formula:
Il risultato di tale correzione sullo stesso diagramma precedente è osservabile in Figura
0.10.
Figura 0.10: Diagramma di Goodman corretto per R=-1 e R=0.1 ottenute dal lotto rosso.
A seguito della correzione si assiste ad una riduzione dello sforzo equivalente. Inoltre, i
modelli numerici accoppiati ai criteri previsionali di Goodmann e Sines colgono quali zone
della vite raggiungono valori di sforzo critico e trovano riscontro nei risultati sperimentali.
Ciò vale indipendentemente dal lotto di vite considerato e dal rapporto di carico.
I valori di sforzo equivalente massimo ricadono, in generale, all’interno della banda di
valori corrispondenti alle proprietà materiali ritrovate in letteratura per una lega di
Ti6Al4V ELI. Non avendo a disposizione tutte le proprietà effettive del materiale per
ciascun lotto, risulta difficile definire in modo quantitativo la bontà del modello numerico-
previsionale a sé stante.
Conclusioni e Sviluppi Futuri
Il presente lavoro ha mostrato come dispositivi nominalmente identici possano differire sia
in termini di proprietà meccaniche che per geometria.
14
I modelli numerici sviluppati sono in grado di cogliere la diversa risposta meccanica di due
lotti di viti peduncolari sotto carico statico. Inoltre, il modello numerico accoppiato ai
criteri di Goodmann e Sines opportunamente corretti, riesce a cogliere le zone critiche,
ovvero soggette al maggior stato di sforzo, e a descrivere i modi di rottura confermati
sperimentalmente al variare del rapporto di carico. I risultati hanno mostrato che la
correzione delle previsioni numeriche per il fattore di sensibilità all’intaglio a fatica è
necessaria per migliorare la previsione del modo di rottura.
15
Summary
Introduction and Aims
Spinal fusion is a surgical technique widely used to treat a variety of diseases of the
vertebral column. The most common method to obtain spinal fusion takes advantage of
posterior spine fixators, composed of screws inserted in vertebral pedicles and connected
with rods (Figura 0.1).
Figure 0.1: Pedicle screws classified by the connection between screw head and threaded
cylindrical part.
Despite the good clinical results obtained thanks to pedicle fixation, several complications
related to surgical procedure, or to post-operative recovery, have been reported. The most
important one is the mechanical failure of the implanted instrumentation. In particular,
pedicle screw breakage (3-12%) plays a crucial role, being often connected with
mechanical fatigue phenomena, caused by the many flexional cyclical loads the
16
instrumentation has to withstand every day. Walking represents the most critical activity
both because of the load supported by the instrumentation and for the number of daily
repetitions. In the literature, several studies are focused on the comprehension of fatigue
failure mechanisms and on the parameters that most influence device resistance, in order to
reduce it. Especially useful are the pre-clinical studies, based on comparative experimental
tests in vitro and ex vivo, often greatly time consuming and money demanding. Much
promising are the computational studies based on Finite Element Method (FEM) that can
study also complex stress distributions acting on notches, as for example threads. A
second engineering method, currently little spread in the orthopaedic field, is the use of
resistance criteria to predict the fatigue behavior of the device. The easiest method is based
on the comparison between the actual stress and the stress limit of the mechanical
device, obtained by correcting the one of the material.
The aim of the present thesis is to set up a methodology to be used both in the design step
and in the device validation process, combining experimental tests and validated numerical
models. By coupling them with suitable resistance criteria, it will be possible to have
information on fatigue behavior of the device. This method is applied to a monoaxial
pedicle screw in Ti6Al4V ELI alloy. By testing screws coming from different batches, the
effect of technological production procedures on fatigue behavior is investigated.
Materials and Methods
The device here considered is a monoaxial pedicle screw (Expedium system, DePuy
Synthes) made of Ti-6Al-4V Extra Low Interstitial. The specimens come from different
production batches, herein named as red and blue batch.
The geometry of the screws was reconstructed based on the measurements taken with a
shadow projector (2D TESA-SCAN50) and a microscope (Nikon SMZ800®). The CAD
models of the screws for each batch were drawn in SOLIDWORKS.
To characterize the microstructure of the material for each screw batch a metallographic
section analysis was performed cutting the threads both on the transversal and longitudinal
planes.
17
The mechanical properties of the bulk material was characterized with nanoindentation
tests on the transverse section (Figure 0.2). Tests were performed at different load levels
(in the range 20-300 mN) and at different distances from the border, to highlight any
gradient in mechanical properties close to the surface.
Figure 0.2: Nanoindentation tests on pedicle screw’s cross section.
To characterize the mechanical properties in static and dynamic test conditions, flexural
test based on standard ASTM F2193 (2002) were performed. During testing the screw head
is constrained and the load is applied with a cylindrical pin pushing on the threaded part of
the screw through a polyethylene test block (Figure 0.3). The tests were performed on a
servohydraulic MTS MiniBionix testing machine.
Figure 0.3: Experimental set-up by standard ASTM F2193 (2002) and set-up actually used.
Static tests were performed in displacement control repeating load-unload cycles even
beyond yielding. Force versus displacement curves ( ,) were analyzed to calculate the
flexural stiffness of the initial linear response on the first cycle ( and a yielding force
( ).
18
Fatigue test were performed applying a sinusoidal force at different load levels, in order to
build a Wöhler’s diagram representing force versus number of cycles to failure. In
particular the effect of load ratio ⁄ ) and the screw batch was investigated.
Screw belongin to the red batch were tested at e , those from the blue
batch only at =0.1.
In order to describe the experimental test on each screw batch, two finite element model
were built in ABAQUS. Each model was built importing the corresponding CAD model
and drawing the polymeric test block. Each part was assembled as in the experimental test,
describing the cylindrical pin with a rigid surface with a friction coefficient of 0.3 at the
interface with the block. The titanium alloy was described with 111GPa and 103 GPa
respectively for the red and blue batches, as measured by nanoindentation tests, and a
Poisson ratio of 0.33. The test block has a modulus of 300 MPa and Poisson coefficient of
0.4. Simulations also considering the plastic behavior were also run, using a bilinear
response with yielding and ultimate stress of ,
corresponding to a residual strain of . Such a bilinear model was used only to
reproduce static tests, while an elastic material behavior was used for the fatigue analysis,
consistent with stress-based approach. Each model was discretized in order to have a fine
mesh on the region of interest, with a less fine mesh on others. Both model were
discretized with about 300,000 elements (Errore. L'origine riferimento non è stata
trovata.).
Figure 0.4: Numerical models with its mesh made for the screws of the two batches.
19
The stress components calculated on each nodes of both models were combined according
to Goodmann and Sines multiaxial criteria using a script in MATLAB and represented in
Haigh plane at limited fatigue ( ) and at infinite life ( ):
(
)
Risults and Discussion
The metallographic analysis led on the transverse section highlighted for both batches a
typical equaxied fine microstructure (grain dimension of the order of microns)
characterized by a homogeneous α phase with a fine dispersion of β grains (Figure 0.5
left). The longitudinal section of blue batch demonstrates long phases elongated in
direction of the longitudinal axis of the screw and direction (direction of extrusion)
(Figure 0.5 right).
Figure 0.5: Metallographic cross section (left) and longitudinal (right).
In each tested section, nanonindentation tests demonstrated a statistically significant
reduction in the elastic modulus with increasing the load level, but the 200 and 300 mN,
where the value stabilizes. Such phenomenon is known as a size effect. The hardness
exhibited a statistically significant difference only at 300 mN. Results of nanoindentation
20
tests at the border do not highlight any trend, discarding the hypothesis of any variation in
the mechanical properties of the materials with increasing the distance from the border.
The results obtained on each batch demonstrated that the red batch has statistically
significant higher elastic modulus than the blue one. The elastic modulus obtained for the
red batch is , while it is for the blue one. Both these values are in good
agreement with the range of values available in literature for Ti-6Al-4V ELI .
Static tests (Figure 0.6) demonstrated to a stiffness value of for the
red batch, which is 8% higher than the one obtained for the blue batch.
for the red batch, without any statistically significant difference with respect to the blue
batch, and higher force values at a given displacement, with respect to the blue batch.
Figure 0.6: Force-Displacement experimental curves (left) and computational (right).
The difference in can be due to the higher elastic modulus of the red batch and in the
geometry which determines a greater moment of inertia for the red batch: the analysis of
the geometry demonstrates that the two batch differ because the point where the thread
starts is closer to the head for the blue batch, while it is more distal for the red batch.
The reason beacuse are similar while the plastic behavior are different may depend
on the plastic behavior of the material from the red batch, which may yield at lisghtly
lower stress values then the blue one, but having a higher slope of the plstic plateau.
Comparing the FE models for both batches, obtained assuming a bilinear plastic behavior,
it can be observed that the screw from the red batch has , about 10%
higher than the blue one, while , 3% higher than the blue batch, and
finally reaches higher force levels at a given displacement.
21
Such a situation was already observed for the experimental tests, but on the value of
. This is due to the fact that the same parameters were used to describe the
plasticity of of both batches in the FE simulations. However the yield values here assumed
are reflected with the literature data and comply with the minimum mechanical properties
described in standard ASTM F136 (2011).
The results of fatigue tests demonstrate that a screw loaded with a load ratio
(average force different from zero) can resist more than another loaded with an alternate
symmetric load with (zero average force); moreover, such a curve is lower of
about 100 100 N. A the same load ratio , screws belonging from a blue batch resist
less than those from the red one (Figure 0.7). As concern the most critical point, it changes
position depending on the load ration applied during fatigue tests (Figure 0.8)
Figure 0.7: σ-Nf curve R = -1 on both batches of screws.
Figure 0.8: Trigger points of the crack to vary the load ratio R
22
Such a difference in the fatigue responds can be attributed to a combination of geometry,
due to a shift of the threads in the blue batch towards positions at higher bending moments,
and different mechanical properties.
Since the FEM model with elastic material behavior does not deviate from the model with
plastic material up to 350 N, it can be derived that at least up to this force level, the
mechanical response of the screw keeps in the elastic range. Such a result justifies the use
of a stress-based approach during the following fatigue analysis.
Goodman and Sines alternate and average components were calculated and represented on
a Haigh plane at and at can be compared to the literature range,
based on an elliptical limit curve and representing some possible material properties found
in the literature for a Ti-6Al-4V ELI alloy. The equivalent stress color maps were also
represented. For instance, the numerical prediction based on Goodman criterion at
predicts a possible failure when the load ratio is , while it is less
probable for (Figure 0.9), where the specimens revived the experimental tests.
Figure 0.9: Goodman diagram for R=-1 and R = 0.1 obtained from the red batch
As we can see from the Figure 0.9 even assuming that the mechanical properties lie with
the superior limit of literature values, the numerical model predicts values beyond the
range. This may be due to the high stress levels calculated with the numerical model.
Another reason that can be introduced to reduce the stress values and which is not
23
considered by the FE model is the notch sensitivity factor . In order to take into account
for this correction, the static notch factor was calculated. Then, assuming from
literature that , it was possible to calculated . The stress values calculated with
the FE model can be corrected applying the following relation:
The effect of correction on the same diagram can be appreciated in the following Figure
0.10.
Figure 0.10: Correct Goodman diagram for R=-1 and R = 0.1 obtained from the red batch.
After the correction, a reduction of the equivalent stress was found. Numerical models,
coupled with Goodmann and Sines prediction criteria, can describe the most critical
stressed regions and are in good agreement with experimental results. This is independent
on the screw production batch and on load ratio.
Values of equivalent maximum stress fall into a range corresponding to material properties
from literature values for Ti6Al4V ELI alloy. Missing all actual material properties for
each batch, it cannot be possible to quantitatively define the goodness of the numerical
model alone.
Conclusion and Future Development
The present thesis shows how nominally identical devices can be actually different in
terms of mechanical properties and geometry.
24
The numerical models here presented can represent mechanical response to static load of
two different screw batches. Moreover, the numerical model, coupled with Goodmann and
Sines fatigue criteria, conveniently corrected, can predict the critical zones, subject to the
maximum stress. Moreover, it can be possible to describe the different breakage modes
experimentally validated, at varying load ratio.
The results show that a correction of numerical procedure that takes into account the notch
sensitivity factor, is necessary to improve failure prediction.
25
Introduzione
La lega Ti-6Al-4V rappresenta la lega di titanio più comunemente utilizzata in diversi
settori industriali (aerospaziale, meccanico, biomedicale) a causa della combinazione
ideale di proprietà che può offrire, quali un’elevata resistenza meccanica, una buona
resistenza a fatica, una bassa densità, una buona tenacità a rottura e anche buona resistenza
alla corrosione. In particolare la lega Ti-6Al-4V ELI (“Extra Low Interstitial”), a basso
contenuto di elementi interstiziali, quali ossigeno, azoto, carbonio e ferro, presenta un
miglioramento della tenacità a rottura e della duttilità che la rende particolarmente adatta
ad applicazioni biomedicali, sia nel settore ortopedico/spinale che in quello dentale.
Nel presente lavoro si è scelto di studiare una vite peduncolare per fissazione spinale
posteriore. Tale dispositivo trova applicazione nei sistemi di fissazione spinale volti alla
stabilizzazione, ed eventualmente anche all’immobilizzazione, di tratti di colonna
vertebrale in modo da promuovere la completa fusione di vertebre contigue. Uno degli
aspetti più problematici connessi a tali sistemi è la rottura delle viti peduncolari per fatica
meccanica, dovuta al numero elevato di sollecitazioni cicliche cui la strumentazione è
sottoposta durante l’utilizzo quotidiano. Ogni attività, in particolare il cammino, determina
un carico che si traduce in un momento flettente sulle viti peduncolari. Da ciò si
comprende come lo studio della fatica di questi dispositivi riveste un ruolo molto
importante.
In generale, la fatica meccanica risulta una problematica che riveste fondamentale
importanza nella progettazione ingegneristica e in quella biomedica in particolare;
l’affidabilità del dispositivo biomedico per ciò che concerne la resistenza alla fatica
meccanica diventa infatti un requisito essenziale, non soltanto per escludere cedimenti
26
catastrofici di protesi o impianti all’interno dell’organismo, ma anche in generale per
assicurare la corretta funzionalità dei dispositivi e la loro durata nelle normali condizioni di
esercizio.
Lo studio della fatica meccanica può essere approcciato attraverso diversi metodi
ingegneristici. Fra questi, ci sono i metodi sperimentali, in genere molto dispendiosi in
termini di tempo e di costi, anche se spesso richiesti dalle norme prima dell’immissione in
commercio del dispositivo; e i metodi numerici, molto promettenti, in particolare se
accoppiati a modelli previsionali a fatica. A tale livello si colloca l’obiettivo di questo
lavoro di tesi. In particolare, si vuole mettere appunto una metodologia che combini prove
sperimentali e modelli numerici validati che, accoppiati ad opportuni criteri previsionali a
fatica, dia informazioni in fase di progettazione (a priori) o in fase di verifica (a posteriori).
Tale metodologia è stata applicata allo studio di una vite peduncolare monoassiale in
Ti6Al4V ELI. Dato che le viti a disposizione, pur essendo nominalmente identiche,
provengono da due lotti di produzione differenti, si è voluto anche studiare se esistano
differenze fra i due lotti eventualmente correlabili a variabilità nel materiale e/o nelle
lavorazioni termo-meccaniche che il dispositivo ha subito.
Il presente lavoro di Tesi si articola nei seguenti 5 Capitoli.
Il primo Capitolo può essere suddiviso in due parti. Nella prima è contenuta una
panoramica generale sull’applicazione di dispositivi di fissazione che fanno uso di viti
peduncolare, mettendo in luce le problematiche maggiori cui tali dispositivi possono
andare incontro. Nella seconda è contenuto un approfondimento sugli studi trovati in
letteratura mirati a comprendere il meccanismo di rottura e i parametri che più influenzano
la resistenza del dispositivo, in modo da ridurne l’incidenza di rottura.
Nel secondo Capitolo viene descritta nel dettaglio la problematica della rottura per fatica
meccanica. Dopo aver identificato come avviene tale tipo di rottura, sono stati descritti i
possibili approcci per studiarla. In particolare, ci si è soffermati sullo stress-based
approach e sulla sua integrazione con l’analisi numerica agli elementi finiti e con i criteri
di fatica multiassiali.
27
Il terzo Capitolo presenta i Materiali e i Metodi e può essere diviso in due parti. Nella
prima parte sono riportati i metodi utilizzati per caratterizzare sperimentalmente il
dispositivo oggetto dello studio. In particolare, è descritta la caratterizzazione del materiale
e la messa appunto del set-up sperimentale per le prove statiche e a fatica del dispositivo.
Nella seconda parte è descritta nel dettaglio la procedura seguita per la costruzione dei
modelli numerici ad elementi finiti utilizzati per riprodurre le prove sperimentali statiche e
per cercare di predire il comportamento a fatica del dispositivo
Nel quarto Capitolo sono contenuti i Risultati e delle Discussioni critiche relativi alla
caratterizzazione del materiale, alle prove sperimentali e al modello numerico. In
particolare, viene sviluppato un confronto fra sperimentale e computazionale in modo da
discutere la validità del modello numerico costruito.
Nel Capitolo Conclusione e Sviluppi Futuri sono contenute le conclusioni del lavoro svolto
ed una panoramica sui possibili sviluppi futuri. Dopo aver illustrato una panoramica
generale del lavoro svolto e delle conclusioni a cui si è pervenuti, sono stati esposti i
principali punti di forza e le limitazioni di questo lavoro. Sulla base di queste
considerazioni, sono state successivamente illustrate le prospettive future del lavoro di tesi
fin qui svolto.
28
Capitolo 1
La fusione spinale per mezzo di
viti peduncolari
1.1. Fissazione spinale rigida
La fusione spinale è una tecnica chirurgica utilizzata per trattare problemi connessi alle
strutture che compongono la colonna vertebrale, vale a dire le vertebre e i dischi
intervertebrali. L’idea che sta alla base di questa procedura è di realizzare una artrodesi,
ovvero fondere fra loro una o più unità funzionali spinali in modo da eliminare il moto
relativo fra le vertebre e di conseguenza il dolore. Inevitabilmente, unendo vertebre
contigue, si perde una parte di flessibilità della colonna vertebrale, ma spesso si tratta di
piccoli segmenti che non limitano eccessivamente il movimento. A tutt’ora, la fusione
spinale rappresenta il gold standard nel dare stabilità a segmenti spinali instabili (Mobbs et
al., 2012).
I dispositivi di stabilizzazione basati sull’utilizzo di viti peduncolari rappresentano oggi
una tecnica largamente diffusa per stabilizzare, ed eventualmente anche immobilizzare,
29
tratti di colonna vertebrale in modo da promuovere la completa fusione di vertebre
contigue. Questa tipologia di fissazione, di cui un esempio è mostrato in Figura 1.1,
consiste nell’utilizzo di viti, inserite nei peduncoli delle vertebre e connesse fra loro da
barre e piastre per aumentare la stabilizzazione dei segmenti vertebrali strumentati. Tale
tecnica fu introdotta negli anni 70’ grazie al lavoro di Roy-Camille, Harrington e Steffe; in
precedenza nessun chirurgo aveva fatto uso di viti inserite nei peduncoli (Rabinowitz et al.,
1997). Fino a quel momento, venivano utilizzate viti vertebrali, introdotte negli anni 50’ da
King e applicate penetrando vertebre contigue in modo da unirle direttamente, e altre
tipologie di fissazione. Pur perseguendo tutti una stabilità immediata della colonna
vertebrale, le viti peduncolari presentano il beneficio di richiedere la presenza intatta dei
peduncoli, ma non di altri elementi anatomici vertebrali, quali lamine, faccette articolari e
processi spinosi (Kabins et al., 1991).
Figura 1.1: Dispositivo di fissazione spinale composto da viti peduncolari, barre e piastre.
I sistemi di fissazione spinali basati su viti peduncolari vengono impiantati solitamente
attraverso un approccio chirurgico posteriore esponendo direttamente la spina dorsale. Un
corretto posizionamento delle viti all’interno dei peduncoli può essere agevolato da
30
un’analisi preoperatoria morfometrica degli stessi e, ancor di più, da tecniche di imaging
fluoroscopiche che assistono l’inserimento delle viti in tempo reale (Tang et al., 2014).
Nell’ultimo periodo si stanno diffondendo tecniche d’impianto mini-invasive che si basano
sempre su tecniche di imaging fluoroscopiche. Nonostante siano tecniche che riducono il
campo visivo dell’intervento, presentano molti vantaggi tra cui il minor impatto
dell’intervento sui tessuti molli, il minor rischio di sanguinamento e la minor degenza
ospedaliera (Mobbs et al., 2012).
In generale, la fissazione della colonna vertebrale attraverso sistemi basati su viti
peduncolari può sia essere utilizzata come tecnica stand alone, cioè come tecnica a se
stante, sia essere facilmente accostata a procedure chirurgiche tradizionali anch’esse stand
alone. In particolare, quest’ultime sono le tecniche che fanno uso di cages, di cui alcuni
esempi mostrati in Figura 1.2, vale a dire gabbiette in grado di ospitare innesti ossei,
autologhi o allologhi, che vanno inserite negli spazi intervertebrali o in sostituzione di
vertebre, come ad esempio nel caso di vertebrectomia, per favorire la fusione del segmento
vertebrale.
Figura 1.2: Esempi di cages oggi in commercio.
Le procedure tradizionali più diffuse, combinabili con strumentazioni basate su viti
peduncolari, sono: la fusione lombare posteriore intersomatica (PLIF), che prevede
l’inserimento di cages nello spazio intervertebrale attraverso un accesso posteriore; la
fusione lombare transforaminale intersomatica (TLIF), simile alla precedente, ma con
accesso posteriore attraverso i forami intervertebrali; la fusione lombare anteriore
intersomatica (ALIF), che prevede sempre l’inserimento di cages, ma attraverso un accesso
31
addominale; e infine, la fusione postero-laterale (PLF), che non prevede l’utilizzo di cages,
bensì di innesti ossei posti fra i processi laterali di due vertebre contigue.
Le strumentazioni che fanno uso della sola componente posteriore vengono definite
incomplete, mentre quelle che comprendono anche un supporto anteriore vengono definite
complete. Questo concetto è mostrato nelle radiografie in Figura 1.3, dove in quella di
destra si nota la cage posta nello spazio intersomatico.
Figura 1.3: Radiografia di una strumentazione completa (destra) e di una incompleta (sinistra).
1.1.1. Le viti peduncolari
Le viti peduncolari si compongono in genere di una testa, opportunamente scavata in modo
da ospitare la barra posteriore longitudinale di fissazione, e di una parte cilindrica filettata.
A seconda dei movimenti concessi dal collegamento utilizzato fra queste due parti, si
possono distinguere vari tipologie di viti peduncolari. Queste, come mostrato in Figura 1.4,
si distinguono in: mono-assiali, poli-assiali e uni-planari.
32
Figura 1.4: Classificazione delle viti peduncolari in base al collegamento fra la testa e la parte cilindrica
filettata
Le viti mono-assiali hanno la peculiarità di vincolare la testa alla parte longitudinale
filettata, impedendo quindi i movimenti relativi fra le due parti. Tali movimenti vengono
invece consentiti nelle viti poli-assiali. Il vantaggio principale di una vite poli-assiale è
quello di favorire l’inserzione delle barre longitudinali grazie al libero movimento della
testa. Nonostante ciò, queste viti presentano anche un potenziale svantaggio in quanto la
zona di collegamento, potrebbe comportare dei micromovimenti relativi fra i componenti,
ma in certi casi anche al disassemblaggio completo del sistema. In una vite poli-assiale, la
zona di collegamento rappresenta il punto più critico del dispositivo (Fogel et al., 2003;
Chen et al., 2008). Le viti uni-planari, invece, sono state sviluppate per cercare di superare
questo problema. Infatti, queste consentono movimenti su unico piano (da proiettare sui
piani sia coronale che sagittale), ma limitando il movimento sul piano sagittale,
responsabile del potenziale scivolamento sotto carico. Le viti mono-assiali, quindi, pur
essendo meno versatili delle altre tipologie di viti, sono ancora normalmente utilizzate
nella pratica clinica data la stabilità del collegamento fra la testa e la parte longitudinale
filettata.
Il collegamento fra la testa e la barra longitudinale avviene, nella maggior parte dei casi,
sfruttando un grano di pressione, che, avvitato alla madrevite presente nello scavo della
33
testa, preme la barra sul fondo dello scavo, bloccando attraverso l’attrito i movimenti
relativi fra i due pezzi. Un esempio di grano di pressione è mostrato in Figura 1.5.
Figura 1.5: Grano di pressione che, avvitato alla madrevite presente sulla testa, blocca i movimenti relativi
fra vite e barra.
1.1.2. Indicazione clinica
Fra le indicazioni cliniche in cui sistemi basati su viti peduncolari vengono utilizzati, e che
quindi richiedono una fusione spinale, rientrano: le malattie degenerative del disco; la
spondilolistesi, ossia lo scivolamento anormale relativo delle vertebre; la spondilolisi; le
fratture vertebrali; le lussazioni; la stenosi spinale; le curvature della colonna vertebrale, tra
cui scoliosi, cifosi e lordosi; le forme tumorali; e infine la pseudoartrosi, ossia una fusione
spinale precedente non andata a buon fine (Whitecloud et al.,1989).
1.1.3. Risultati
Nonostante l’utilizzo clinico di sistemi basati su viti peduncolari si fondasse inizialmente
su benefici teorici, ora la loro efficacia nel favorire la fusione è stata ben dimostrata.
Infatti, vari studi clinici in letteratura hanno mostrato un tasso di fusione molto vicino al
100% (Schwab et al., 1995; West et al., 1991; Suda et al., 2006; Glaser et al., 2003; Schnee
et al., 1997).
Se consideriamo la riduzione del dolore nei pazienti trattati con strumentazione
peduncolare per favorire la fusione, i risultati sono abbastanza buoni (Whitecloud et al.,
1989; Thalgott et al., 1989; Marchesi et al., 1992). Da considerare è che una raggiunta
34
fusione spinale non implica necessariamente una riduzione completa del dolore; infatti, ci
sono casi in cui, pur avendo raggiunto una fusione spinale, il rilascio di dolore non è
avvenuto totalmente (Hwang et al., 2009; West et al., 1991; Schnee et al., 1997).
Considerando poi gli effetti della fissazione peduncolare in indicazioni cliniche specifiche,
l’utilizzo di viti peduncolari per la cura di scogliosi ha prodotto risultati migliori, in termini
di correzione nel piano sagittale e coronale e di mantenimento della correzione, rispetto a
costrutti basati sull’utilizzo di uncini vertebrali. Per quanto riguarda, invece, la cura di
fratture, grazie all’uso di viti peduncolari si è riusciti a limitare l’estensione della
strumentazione, vale a dire una stabilizzazione che interessa soltanto una unità funzionale
spinale sopra e una sotto la vertebra fratturata (Gaines, 2000). La riduzione dei livelli
vertebrali interessati dalla fusione porta come grande vantaggio il mantenimento di
maggiore mobilità della colonna vertebrale (McLain, 2006).
1.2. Complicanze di una fissazione rigida
Nonostante i buoni risultati ottenuti attraverso la fissazione peduncolare nel favorire la
fusione spinale e nel ridurre il dolore, molte complicanze sono state riportate in letteratura.
In generale queste possono essere suddivise in due categorie: complicanze connesse alla
procedura chirurgica e complicanze post-operatorie.
1.2.1. Complicanze intra-operatorie
Nelle complicanze connesse alla procedura chirurgica si possono menzionare: il mal
posizionamento della strumentazione, i danni a strutture neurologiche e vascolari, le
infezioni e le fratture dei peduncoli. Il tasso di complicanze intraoperatorie, riscontrato in
studi clinici presenti in letteratura, è molto variabile: si può trovare un 23,3 % (Pellisè et
al., 2014), un 12 % (Fokter and Strahovnik, 2011) o ancora un 6 % (Blumenthal and Gill,
1993). Un’attenta programmazione pre-operatoria, come ad esempio lo studio della
morfologia dei peduncoli, una cura dei dettagli intraoperatori e l’utilizzo di tecniche di
imaging per assistere l’impianto possono ridurre enormemente questi rischi (Rabinowitz et
35
al.,1997; Youkilis et al., 2001; Patel et al., 2010). L’utilizzo di tecniche di imaging si rende
ancora di più necessario nel caso di fissazione sacrale. A questo livello vertebrale, infatti,
il fissaggio corticale anteriore fornisce la maggior parte della stabilità della vite, ma ciò
comporta elevati rischi data la vicinanza alla parte anteriore della colonna di strutture
vascolari alla parte anteriore della colonna (Rabinowitz et al., 1997).
1.2.2. Complicanze post-operatorie
Nelle complicanze post-operatorie, invece, rientrano tutte quelle connesse al fallimento
della strumentazione impiantata, come ad esempio: la rottura, l’allentamento, la
deformazione plastica della vite, la rottura della barra longitudinale posteriore e il
disaccoppiamento barra-vite (Pihlajamäki et al., 1997). Queste complicanze possono
portare alla perdita del fissaggio, con conseguente ritorno del dolore, e alla pseudoartrosi,
vale a dire la mancata consolidazione ossea del tratto strumentato. In generale, la
pseudoartrosi non è dovuta soltanto al fallimento della strumentazione (Bailey et al., 1996).
Oltre alle complicanze connesse al fallimento della strumentazione impiantata, nelle
complicanze post operatorie bisogna menzionare anche quelle connesse alla presenza del
dispositivo nella colonna del paziente. Questo, infatti, comporta un irrigidimento dei
segmenti vertebrali strumentati, che ha come conseguenza un’iper-mobilità compensatoria
e una possibile degenerazione dei segmenti vertebrali adiacenti.
Fra le condizioni di fallimento della strumentazione dovute a carichi ciclici ripetuti, le più
comuni sono la perdita di stabilità all’interfaccia vite-osso (in inglese, screw loosening) e
la rottura delle viti peduncolari (Sterba et al., 2007). La letteratura riporta tassi di screw
loosening piuttosto elevati: 32 % (Abul-Kasim and Ohlin, 2014); 48 % (Kim et al., 2008).
Considerando invece l’incidenza della rottura delle viti peduncolari, sono stati trovati
valori variabili a seconda degli autori e del tipo di strumentazione: 2.5 % (Farrokhi et al.,
2010); 10 % (Butt et al., 2007); 12.1 % (Jutte and Castelein, 2002); 2.9 % con supporto
anteriore e 10.3% senza (Hwang et al., 2009); 15 % con strumentazione breve e 0 % in
strumentazione lunga (Sapkas et al., 2010).
Nonostante siano stati riscontrati valori molto elevati, la perdita di stabilità della vite in
molti casi può essere asintomatica e presentare un’integrazione ossea nel periodo
36
successivo che può ridare stabilità alla vite. In generale, l’allentamento tende ad essere una
problematica molto connessa alla qualità dell’osso del paziente e ha un’incidenza maggiore
in pazienti di età avanzata o con patologie, quali il diabete (Wu et al., 2011). Si può dire,
quindi, che l’allentamento è una complicanza meno connessa all’aspetto meccanico del
dispositivo e più alla particolarità specifica del paziente. La rottura della vite, invece,
mostra una dipendenza molto più forte dall’aspetto meccanico e tecnologico/progettuale
del dispositivo. Inoltre, bisogna considerare che il protocollo utilizzato negli studi clinici
per la valutazione dell’allentamento della vite non è sempre lo stesso: questo può
influenzare molto, sia in positivo che in negativo, i risultati di uno studio clinico
(Galbusera et al., 2015). A differenza di questo, la valutazione della rottura della vite
risulta essere molto meno soggetta ad interpretazioni e più certa.
1.2.3. La rottura di viti peduncolari
Il modo di rottura principale, come mostrano alcuni studi su viti espiantate in seguito a
rottura, è la fatica meccanica (Griza et al., 2012; Chen et al., 2005). Questa è dovuta al
numero elevato di sollecitazioni cicliche cui la strumentazione è sottoposta durante
l’utilizzo. Una trattazione generale della fatica meccanica è possibile trovarla al Capitolo 2.
Da studi effettuati attraverso impianti strumentatati per valutare il carico supportato in vivo
durante normali attività quotidiane, è emerso che il cammino determina le condizioni più
critiche. Ogni attività, infatti, determina un carico che si traduce in un momento flettente
sulle viti peduncolari. I momenti torcenti e le forze assiali sono in genere ridotti per la
maggioranza delle attività. A seconda del numero di cicli di applicazione di uno specifico
carico si possono avere fenomeni di fatica meccanica. Dato che il cammino è anche una
delle attività più frequenti della giornata, si pensa quindi che abbia un ruolo fondamentale
nel determinare la rottura per fatica delle viti peduncolari (Rohlmann et al., 2002). Bisogna
considerare poi che il fallimento della strumentazione non avviene solo in caso di
pseudoartrosi, bensì anche nei casi di completa consolidazione ossea. Questo perché il
carico con cui la strumentazione è caricata in vivo può mantenersi a livelli molto elevati
anche ad avvenuta fusione e quindi può comunque portare alla rottura il dispositivo.
Questo spiega i fallimenti riportati anche a distanza di mesi dall’intervento (Chen et al.,
2005; Rohlmann et al., 2000).
37
Le percentuali di rottura descritte in precedenza rivelano situazioni con tassi di rottura più
elevati rispetto che altre. Una strumentazione incompleta, ad esempio, cioè senza supporto
anteriore intervertebrale, determina un carico maggiore sulla strumentazione posteriore.
Questo spiega l’incidenza maggiore di rotture in tali situazioni rispetto a strumentazioni
con anche il supporto anteriore. L’utilizzo di tali supporti intervertebrali anteriori, come
ALIF e PLIF, può quindi ridurre il carico gravante sulla strumentazione posteriore e di
conseguenza il numero di rotture (Hwang et al., 2009; Jutte and Castelein, 2002).
Considerando anche l’utilizzo di una strumentazione breve, rispetto ad una lunga, sembra
esserci un’incidenza di rotture maggiore (Sapkas et al., 2010). Questo era particolarmente
vero, inizialmente, nella cura di fratture vertebrali attraverso strumentazione breve, dove
veniva registrata una percentuale di rotture elevatissima. Per superare tale problema, fu
sviluppata una classificazione, come mostrato in McCormack et al. (1994), sulla capacità
di supportare carico da parte della vertebra fratturata. Questa classificazione, mostrata in
Figura 1.6, si basa sulla valutazione, attraverso esami radiologici sulla vertebra fratturata,
del grado di comminuzione (o frammentazione) della vertebra, della posizione più o meno
sparsa dei frammenti e dell’angolo di cifosi da recuperare. Sulla base di tali parametri
viene indirizzata la scelta fra fissazione anteriore e/o posteriore con strumentazione. In
questo modo è stato possibile ridurre notevolmente il numero di rotture connesse ad un
utilizzo di una strumentazione breve in situazioni limite (McCormack et al., 1994).
L’utilizzo della strumentazione breve, nonostante consenta un minor grado d’invasività,
appare quindi molto delicato e va deciso caso per caso.
38
Figura 1.6: Classificazione sulla capacità di condivisione di una vertebra fratturata in base a : A- grado di
comminuzione; B- posizione dei frammenti; C- angolo di cifosi da recuperare.
1.3. Fissazione spinale non rigida
Oggigiorno sono disponibili diversi modelli di fissatori spinali posteriori, sviluppati per
adattarsi meglio alle varie problematiche della colonna vertebrale e per cercare di risolvere
alcuni problemi presenti in una fissazione spinale troppo rigida. Infatti, una fissazione
spinale troppo rigida può provocare una distribuzione di carichi non fisiologica a livello
dei segmenti strumentati e di quelli adiacenti, provocando la rottura del dispositivo e danni
ai segmenti funzionali adiacenti (Benezech et al., 2016).
In base alla rigidezza della strumentazione, i fissatori spinali possono essere classificati in
quattro tipologie: rigidi, semi-rigidi, flessibili e dinamici (Schmidt et al., 2009; Galbusera
et al., 2010). La rigidezza della strumentazione può essere variata utilizzando materiali
diversi per la barra longitudinale posteriore vincolata alle viti peduncolari introdotte in
precedenza: con acciaio inossidabile e titanio si può ottenere fissazione rigida; con
materiali compositi di polimero e fibre di carbonio, come l’ostaPek® (coLigne, 2008),
39
fissaggi semi-rigidi; con materiali come il PEEK fissaggi flessibili (Galbusera et al., 2010).
Per ottenere un fissaggio dinamico, invece, si può ricorrere a molle di varie tipologie poste
in serie alla barra posteriore oppure utilizzando sistemi di fissazione totalmente diversi
vincolati sui processi spinosi (Courville et al., 2008).
1.3.1. Fissazione semi-rigida e flessibile
L’idea che sta alla base di una fissazione semi-rigida e flessibile è quella di favorire la
fusione spinale condividendo un carico più fisiologico con la parte anteriore della colonna,
evitando così lo stress shielding che si raggiungerebbe con un impianto eccessivamente
rigido. Questa migliore condivisione di carico può, in teoria, consentire di ridurre lo sforzo
trasmesso alle vertebre adiacenti, diminuendo l’incidenza di danni alle unità funzionali
adiacenti, e di ridurre la forza all’interfaccia osso-vite, diminuendo il rischio di rottura
della vite (Schroeder et al., 2011; Turner et al., 2010).
A conferma di ciò, uno studio biomeccanico in vitro di confronto fra un costrutto con barra
posteriore in titanio e uno con barra in PEEK, impiantati in segmenti spinali porcini e
sollecitati a fatica, ha mostrato che il costrutto in PEEK riesce a mantenere un’altezza
discale e una pressione intra-discale ai livelli adiacenti maggiore di quello in titanio,
riducendo il rischio di danni a segmenti adiacenti. Inoltre il costrutto con barre in PEEK
garantisce una riduzione dello sforzo all’interfaccia vite-osso e sulla barra posteriore,
riducendone l’incidenza di rottura (Chou et al. 2015).
Anche uno studio clinico fatto su 21 pazienti, trattati con sistemi di fissazione con barre in
PEEK, con un periodo di follow-up di due anni e mezzo, ha mostrato un buon
mantenimento dell’altezza discale dei segmenti adiacenti e non ha rilevato alcuna rottura
alla strumentazione (Benezech et al., 2016).
1.3.2. Fissazione dinamica
La fissazione dinamica, invece, non si propone la fusione vertebrale, bensì di mantenere un
moto fisiologico, in termini di range of motion e di asse di rotazione, di ridurre il carico
sulla struttura anatomica sofferente e di mantenere un corretto bilanciamento sagittale
40
(Barrey et al., 2008). L’idea alla base di questa tecnica è che il dolore sia dovuto allo
schiacciamento delle radici nervose che sbucano fra i peduncoli di vertebre adiacenti. Tale
schiacciamento è dovuto al fatto che il disco si riduce di altezza, quindi la strumentazione è
usata per rialzare il disco, supportare una parte del carico che grava su di esso e, di
conseguenza, evitare lo schiacciamento delle radici nervose (Sengupta, 2005). Il fatto di
mantenere il moto relativo fra le vertebre presenta il vantaggio teorico di ridurre, rispetto
alla fusione, l’incidenza di degenerazione delle unità funzionali adiacenti (ASD: “Adjacent
Segment Disease”) (Courville et al., 2008). Detto questo, tuttavia, in uno studio clinico di
confronto fra fissazione dinamica e rigida, si è visto che la strumentazione dinamica
presenta si benefici clinici nel preservare il moto del tratto strumentato, ma senza
differenze significative nell’incidenza di danni ai segmenti adiacenti (Yang et al., 2014).
Nonostante sia una tecnica abbastanza recente e quindi manchino dati clinici rilevanti, la
complicanza più frequente per i dispositivi dinamici sembra essere la perdita di stabilità
delle viti peduncolari rispetto alle strutture ossee (Chiu et al., 2011). Ciò può essere
spiegato dall’elevato carico agente sulle viti nell’immediato post-operatorio nei casi in cui
non si utilizzano dispositivi inter-somatici anteriori: la presenza di tali dispositivi
permetterebbe, invece, di scaricare l’interfaccia osso-vite. Un carico eccessivo può portare
a micromovimenti e alla formazione della capsula fibrotica, che determina poi la
mobilizzazione (Galbusera et al., 2015). Oltre a questo, bisogna considerare il problema
della rottura per fatica meccanica, molto significativa in quanto il dispositivo è soggetto a
movimenti per periodi di tempo indefiniti. La chiave per evitare questo tipo di fallimento è
far funzionare il dispositivo correttamente, vale a dire come un dispositivo load-sharing e
non come load-bearing a ogni angolo di funzionamento (Sengupta et al., 2012).
In generale, la fissazione dinamica è una procedura che non può essere utilizzata nei casi di
eccessiva instabilità vertebrale, ma solo nei casi di dolore dato da lieve degenerazione del
disco intervertebrale e delle faccette articolari (Sengupta et al., 2012).
41
1.4. Studio del meccanismo di rottura
Il meccanismo di rottura delle viti peduncolari è stato associato, in generale, alla fatica
meccanica e a una mancanza di vincolo meccanico della vite nella vertebra. Per fatica
meccanica s’intende la rottura del dispositivo in seguito per lo più a carichi flessionali
ripetuti nel tempo, particolarmente elevati in assenza di un supporto nella parte anteriore
della colonna vertebrale (Rohlmann et al., 1997). Per mancanza di vincolo meccanico si
intende, invece, tutto ciò che comporta una presa non ottimale della vite all’interno della
vertebra. Tale mancanza di vincolo può essere determinata ad esempio da un
malposizionamento rispetto all’asse dei filetti e da una sporgenza eccessiva della vite
dall’osso corticale (La Barbera et al., 2014); può essere, poi, eventualmente influenzata da
meccanismi biologici, che comportano un ritardo nell’unione ossea e la pseudoartrosi.
In letteratura sono presenti vari studi mirati a comprendere il meccanismo di rottura e i
parametri che più influenzano la resistenza del dispositivo, in modo da ridurne l’incidenza
di rottura. Questi studi, in generale, possono essere classificati in due grandi categorie a
seconda che vengano svolti prima o dopo l’utilizzo clinico del dispositivo. I primi vengono
definiti studi pre-clinici, mentre i secondi studi post-clinici. Oltre a questi, in letteratura si
possono trovare anche studi clinici che non indagano il meccanismo di rottura, bensì i
carichi agenti sul dispositivo durante le normali attività quotidiane.
1.4.1. Studi preclinici
Gli studi pre-clinici comprendono sia studi sperimentali in vitro, svolti solitamente su
modelli standard normati, o ex vivo, su campioni estratti da cadavere, che studi
computazionali in silico semplificati e/o complicabili a piacere includendo vertebre,
blocchi e/o afferraggi.
Studi sperimentali in vitro su set-up normati
L’analisi sperimentale permette di confrontare direttamente viti peduncolari che presentano
differenti aspetti connessi alla geometria, al materiale o alla lavorazione del dispositivo, ma
anche di verificare se il design in corso di progetto è meccanicamente affidabile. L’analisi
42
viene svolta testando le viti secondo un set-up sperimentale molto semplificato rispetto
all’effettivo utilizzo clinico, spesso regolamentato da norme sulla valutazione sperimentale
dei componenti spinali. Fra queste ci sono norme ASTM, fra cui la F2193 (2002), la F1798
(2008), la F1717 (2014), e norme ISO, fra cui la 12189. Esempi di set-up sperimentali
previsti da tali normi sono riportati in Figura 1.7. Le prime due riguardano i singoli
componenti o sub-assemblaggi, mentre le ultime due il dispositivo nella sua completezza.
In particolare, la ASTM F2193 (2002) propone per la vite peduncolare una flessione a
sbalzo, riproducendo il carico dominante osservato in vivo dovuto alla flesso/estensione
della colonna vertebrale. L’obbiettivo è quello di testare le proprietà statiche e a fatica
della singola vite isolata dal costrutto spinale completo. La ASTM F1798 (2008) propone
set-up sperimentali per la valutazione delle interconnessioni fra i componenti della
strumentazione spinale. Ad esempio, per il collegamento fra testa e barra longitudinale
posteriore, studia l’abilità della vite di resistere allo scivolamento rispetto alla barra. Infine,
la ASTM F1717 (2014) e la ISO 12189 (2008) studiano le proprietà meccaniche del
dispositivo spinale completo in condizioni di vertebrectomia, e quindi mancanza di un
qualsiasi supporto anteriore, la prima, mentre in condizioni di distribuzione dei carichi più
fisiologiche, la seconda.
43
Figura 1.7: Esempi di set-up sperimentali previsti da alcune norme riguardanti i dispositivi di fissazione
spinale.
Esempi di studi sperimentali che valutano l’influenza di aspetti geometrici o soluzioni
progettuali particolari sulle proprietà meccaniche di viti peduncolari sono lo studio di Chao
et al (2008), Amaritsakul et al. (2014) e Shih et al. (2015). In tutti gli studi citati, accanto
alle prove sperimentali sulla vite peduncolare, sono stati creati dei modelli ad elementi
finiti riproducenti la prova sperimentale. I risultati ottenuti in vitro e in silico sono stati poi
correlati. Come esempio rappresentativo di tali studi, in Figura 1.8 è mostrato il setup
sperimentale e il modello computazionale di Shih et al. (2015).
44
Figura 1.8: Setup sperimentale (a) e modello computazionale (b) dello studio di Shih et al. (2015).
Gli aspetti geometrici studiati da Chao et al (2008) e Amaritsakul et al. (2014) riguardano
la conicità dell’elemento cilindrico filettato. In particolare, vengono testate viti con diversi
pattern di conicità, confrontandole anche con semplici viti cilindriche, mantenendo fisso il
diametro di nocciolo in punta della vite. Shih et al. (2015) indaga, invece, le proprietà
meccaniche di viti canulate cilindriche e coniche rispetto a quelle tradizionali piene. La
configurazione di prova, per tutti gli studi citati, prevede una semplice prova di flessione a
sbalzo, eseguita vincolando la testa e applicando il carico su un blocchetto di polietilene
cilindrico avvitato alla vite. Questa tipologia di set-up risulta molto simile a quello indicato
nella norma ASTM F2193 (2002). I risultati dei primi due studi mostrano un
comportamento flessionale maggiore, in termini di rigidezza, resistenza e vita a fatica,
delle viti coniche rispetto a quelle cilindriche. La conicità della vite permette di avere
diametri di nocciolo maggiori in corrispondenza dei punti dove il momento flettente è
maggiore. Il terzo studio rivela che la presenza di cannulazione non intacca le proprietà
meccaniche delle viti con conicità, mentre sembra ridurla enormemente nelle viti
cilindriche. In tutti gli studi citati in precedenza, i risultati dei modelli in silico hanno
mostrato una correlazione con i risultati sperimentali. In particolare, i modelli
computazionali predicono correttamente il punto di rottura a fatica, corrispondente allo
sforzo massimo di von Mises in trazione.
Fogel et al. (2003) studia, a differenza degli studi precedenti, diversi meccanismi di
interconnessione fra la testa ed la parte cilindrica in viti poli-assiali. Il set-up sperimentale
45
si differenzia dal precedente in quanto la testa della vite è vincolata a una barra di
fissazione spinale in modo che l’asse longitudinale della vite sia perpendicolare alla barra;
il carico è, invece, applicato a un cilindretto di ceramica in cui la vite è inserita
perpendicolarmente a quest’ultima. Tale set-up sperimentale tende a semplificare quello
poi specificato nella norma ASTM F1798 (2008) per la valutazione dell’interconnessione
fra vite e barra longitudinale. In ogni prova è stato registrato il carico di fallimento, che
può essere dato o da una deflessione della vite oppure da un disaccoppiamento della testa
poliassiale. I risultati hanno permesso di stilare una classifica di resistenza delle viti e
hanno mostrato che il punto più debole del costrutto è l’accoppiamento testa-vite, in quanto
tutte le viti cedono in tale punto.
Studi sperimentali ex vivo
Accanto agli studi sperimentali citati in precedenza, che utilizzano set-up semplificati per
valutare le proprietà meccaniche delle viti, sono presenti in letteratura studi sempre
sperimentali, ma che fanno uso di una configurazione di prova più simile a quella reale.
Questi sono gli studi sperimentali in vitro, su modelli di colonna vertebrale sintetici, ed ex
vivo, su modelli di colonna reale espiantati da cadavere. In generale, questi studi utilizzano
viti peduncolari, o altri componenti del sistema di fissazione, strumentate con strain
gauges in modo da misurare le deformazioni e quindi ricavare i carichi interni a cui
componenti vanno incontro. Lo studio di Freeman et al. (2012) mette appunto un metodo
in grado di misurare il valore e l’orientazione del momento flessionale di una vite
opportunamente strumentata con quattro strain-gauges. In particolare, dopo una fase di
calibrazione, questo metodo di misura viene testato su colonne espiantate da cadavere.
Nonostante il metodo presenti delle limitazioni, come ad esempio il fatto che le viti devono
avere teste con quattro superfici piane per l’applicazione di strain-gauges, predice in modo
accurato i momenti agenti sulla strumentazione. Un esempio di studio ex vivo, basato su
modelli cadaverici di spondilolistesi, è lo studio di Wu et al. (2012). In questo studio,
l’autore analizza, sotto diverse condizioni di carico, la distribuzione degli sforzi nelle viti
in sistemi di fissazione comprendenti due o tre livelli vertebrali. I risultati mostrano una
riduzione dello sforzo nei sistemi comprendenti tre livelli vertebrali. Questo può
46
comportare una riduzione della probabilità di rottura per fatica della vite. In Figura 1.9
sono riportate i passi dell’esperimento di Wu et al. (2012).
Figura 1.9: Fasi dell'esperimento di Wu et al. (2012): (a) espianto di una parte di colonna da cadavere; (b)
impianto della strumentazione spinale strumentata con strain-gauges; (c) imposizione del carico su macchina
di prova.
Studi in silico
Rispetto agli studi sperimentali in vitro, in cui non è possibile ottenere la distribuzione
completa degli sforzi e deformazioni interne del dispositivo pur utilizzando viti
strumentate con strain gauge, le simulazioni computazionali a elementi finiti consentono
una descrizione completa delle sollecitazioni interne del dispositivo. In aggiunta,
consentono una modifica rapida di molti parametri riguardanti sia la vite che la tipologia di
prova impiegata.
Fra i modelli computazionali si possono trovare modelli simulanti il complesso vertebra-
vite peduncolare con l’obbiettivo di indagare il trasferimento di carico fra i due elementi,
in modo da identificare, al variare di alcuni parametri, i punti della vite più caricati e quindi
più a rischio di rottura (Chen et al., 2005). Per fare questo vengono costruiti modelli a
elementi finiti del complesso vertebra-vite, che possono comprendere anche il resto della
strumentazione, ai quali vengono applicati carichi, vincoli e interazioni fra le parti in modo
da riprodurre un aspetto specifico di ciò che succede nella realtà clinica.
47
In un conteso di questo tipo, si collocano lo studio di Chen et al. (2003) e quello di Chen et
al. (2005). Il primo, attraverso un modello a elementi finiti del complesso vertebra-vite,
comprendente un solo livello vertebrale, indaga il trasferimento di carico al variare del tipo
d’interfaccia vite-vertebra imposto, legame oppure contatto, per diverse lunghezze della
vite. Le due differenti condizioni descrivono uno scenario di integrazione stabile della vite
nell’osso e quello di un’integrazione solo parziale. Il modello è stato poi sottoposto a due
condizioni di carico differenti: la prima, con carico applicato sul corpo vertebrale e testa
della vite vincolata, simulante il segmento superiore di un sistema di fissazione; la
seconda, con corpo vertebrale vincolato e forza applicata sulla testa della vite, simulante il
segmento inferiore di un sistema di fissazione. Il secondo studio, invece, utilizza un
modello molto più complesso, comprendente cinque livelli vertebrali e quattro dischi
intervertebrali più la strumentazione spinale completa. Questo si propone di indagare il
punto più caricato della strumentazione per diverse tipologie di carico, quali flessione,
estensione, rotazione e flessione laterale della colonna vertebrale. Sempre in questo studio,
attraverso un modello bidimensionale, comprendente la vite filettata, l’osso spongioso e
corticale della vertebra, viene studiato lo sforzo all’interfaccia vite-osso simulando diverse
livelli d’inserzione della vite. Il carico applicato a questo modello si basa sui risultati
ottenuti dal modello tridimensionale.
Quello che emerge dallo studio di Chen et al. (2003) è che il modo di carico principale è la
flessione e il punto più caricato, in tutti i modelli simulati, si trova appena prima del primo
filetto, con sforzi maggiori utilizzando un’interfaccia di contatto fra vite e osso. Questo
dipende dal fatto che un’interfaccia di contatto è in grado di trasferire solamente una
pressione di contatto e uno sforzo di taglio; ma, data la presenza dei filetti, la trasmissione
di carico avviene quasi totalmente con una pressione di contatto. Se invece si utilizza
un’interfaccia vite-osso completamente vincolata, il trasferimento del carico può avvenire
anche con uno sforzo di trazione riducendo l’elevate pressioni di contatto del caso
precedente e di conseguenza lo sforzo interno alla vite. Questo risultato suggerisce che un
rivestimento di idrossiapatite può favorire il legame fra osso e vite, riducendo così lo
sforzo massimo sviluppatosi sulla vite. Per quanto riguarda la lunghezza della vite, si è
visto che questa può essere trascurata solo se è tale da permettere alla vite di penetrare fino
48
al corpo vertebrale, oltrepassando la zona dei peduncoli. Se ciò non avviene si ha un
incremento elevato degli sforzi interni alla vite.
Il modello di Chen et al. (2005) mostra che, in tutte le condizioni di carico studiate, la vite
caudale sperimenta uno sforzo maggiore rispetto a quella craniale, spiegando la maggiore
incidenza di rotture nella vite caudale. Oltre a ciò, i risultati del modello hanno mostrato
che l’impianto, nonostante un’avvenuta fusione, continua a sopportare parte del carico e
quindi ad essere sollecitato a fatica. Questo perché, data l’elevata rigidezza della
strumentazione, che sia rigida o semi-rigida la strumentazione si trova sempre a sopportare
una parte del carico. Da qui si può capire l’elevata incidenza di rotture anche a fusione
avvenuta. I risultati del modello bidimensionale mostrano che il caso in cui il primo filetto
è al di fuori dell’interfaccia vite-osso rappresenta la situazione più sfavorevole a causa
dell’effetto d’intaglio dato dal filetto esposto. Questa risulta, quindi, una situazione da
evitare utilizzando accorgimenti per ridurre l’intaglio.
Accanto a modelli di questo tipo, sono presenti modelli generalmente più semplici, il cui
obbiettivo non è quello di studiare il complesso vertebra-vite, ma quello di riprodurre in
modo semplificato le principali modi di carico che avvengono in vivo. Questi studi si
propongono di indagare gli sforzi massimi generati all’interno della vite, al variare di
aspetti progettuali marcatamente geometrici, come ad esempio la conicità, il diametro
esterno o di nocciolo, il raggio di fondo filetto ecc.. Le prove a cui si rifanno questi studi
sono in genere derivanti dalle norme sulla valutazione sperimentale dei componenti spinali.
Studi di questo tipo sono presenti nei già citati articoli di Chao et al (2008), Amaritsakul et
al. (2014) e Shih et al. (2015). In questi articoli si è notata una buona correlazione fra
risultati in silico e in vitro. Questo ci porta a dire che, dal confronto fra le misure
sperimentali e le predizioni numeriche, è possibile validare il modello ad elementi finiti
rendendolo uno strumento molto potente per progettare nuove viti peduncolari e meglio
comprendere i meccanismi di rottura a cui sono soggette anche in condizioni molto
complesse. Ciò, ad esempio, può essere molto utile durante lo sviluppo di un nuovo
prodotto dato che possono portare ad un risparmio di tempo e costi che, invece, si
avrebbero nell’esecuzione di prove meccaniche sperimentali.
49
1.4.2. Studi post-clinici di viti espiantate
L’obbiettivo dell’analisi di una vite peduncolare, espiantata in seguito alla rottura, è quello
di comprendere il modo di rottura e di correlare il fallimento meccanico della vite con
aspetti legati sia al materiale che alla geometria/finitura superficiale del dispositivo.
Il primo aspetto utile da identificare macroscopicamente in una vite espiantata è il punto di
iniziazione e propagazione della rottura. La zona dove si osserva la maggior parte delle
fratture durante l’utilizzo in vivo è il tratto di giunzione fra l’elemento cilindrico non
filettato e l’inizio della filettatura (Chen et al., 2003). Questo perché in questa zona,
quando la vite è serrata fino alla fine della filettatura e la fissazione nella parete corticale
del peduncolo è abbastanza rigida, si ha una concorrenza di effetti che determinano uno
sforzo molto elevato. Infatti, a questo livello si ha un momento flettente alto, dovuto ad un
braccio di leva elevato, unito a un effetto d’intaglio dovuto sia alla presenza della
filettatura che alla discontinuità del momento d’inerzia fra vite+osso, solo vite e testa della
vite+barra. Tuttavia, possono essere identificate rotture anche, seppur in misura minore,
nella zona dei filetti intermedi. Questo succede quando, per ragioni connesse
all’assemblaggio del sistema di fissazione, la vite non è fissata fino a fine filettatura,
comportando un’esposizione di alcuni filetti al di fuori dell’osso corticale. In questo caso si
ha un trasferimento del carico al primo filetto in presa nell’osso peduncolare. Questo può
comportare sforzi anche molto elevati, in particolare per una vite conica. La stessa cosa
succede quando, per svariate ragioni connesse alla qualità dell’osso del paziente, il
supporto corticale è meno solido e il carico viene trasferito ai primi filetti intermedi in
presa (Griza et al.,2012).
Il modo di rottura della vite può essere compreso attraverso un’analisi della superficie di
frattura attraverso tecniche di miscroscopia, quali il microscopio a scansione elettronica
(SEM: Scanning Electron Microscopy), lo stereomicroscopio e il microscopio ottico.
Questi strumenti permettono un’indagine qualitativa della superficie di frattura. In
generale, la morfologia macroscopica maggiormente osservata presenta una superficie
liscia, dovuta allo sfregamento delle due parti, e linee di spiaggia, dovute a periodi di stop
delle sollecitazioni, che si dipartono ad arco dalla radice del filetto, dove è avvenuta la
50
nucleazione della cricca, fino ad arrivare alla zona diametralmente opposta, dove si ha lo
strappo finale (Figura 1.10 a). Tutto ciò suggerisce una rottura per fatica con carico
flessionale predominante (Chen et al., 2005; Griza et al., 2012; Giacaglia et al., 2015). Non
mancano però casi in cui può accadere anche una frattura fragile della vite (Griza et al.,
2012). L’aspetto esterna di un pezzo rotto per rottura fragile non mostra segni di
deformazione plastica. La superficie di frattura mostra, invece, una rugosità più o meno
accentuata a seconda di come è avvenuta la frattura: nel caso di frattura per clivaggio
(Figura 1.10 b), vale a dire una frattura transgranulare, si nota un’elevata rugosità della
superficie; nel caso di rottura intergranulare, che succede nei casi in cui i bordi di grano
risultano particolarmente fragili, la superficie appare più liscia.
Figura 1.10: Esempi di superfici risultanti da una rottura per fatica (a, SEM) e per clivaggio (b, microscopio
ottico da). Immagini estratte da Griza et al. (2012).
Accanto a queste analisi per identificare il modo di rottura della vite, è possibile, attraverso
analisi più mirate sul materiale e sulla geometria, identificare gli aspetti che maggiormente
hanno pesato nella rottura del dispositivo.
L’analisi della sezione metallografica permette di ottenere informazioni sul tipo di
microstruttura interna del materiale. La microstruttura interna, che è il risultato di una serie
di processi termo-meccanici cui il materiale/pezzo è stato sottoposto, può essere correlata
alle proprietà meccaniche, sia statiche che a fatica, del materiale. Per effettuare un’analisi
della sezione metallografica è necessario ricavarsi una sezione interna del pezzo, grattarla
51
con una carta abrasiva per rimuovere i residui del taglio e infine attaccarla con una
soluzione acida per far risaltare la microstruttura interna del materiale. Infine, la sezione
risultante va osservata attraverso un microscopio ottico. Tutte le microstrutture che si
discostano da quelle suggerite dalle norme riguardanti i materiali per i dispositivi
impiantabili possono portare a una riduzione della resistenza del dispositivo. Ad esempio
la norma ASTM F136 (2011), riguardante i requisiti di una lega di titanio Ti-6Al-4V ELI,
suggerisce che la microstruttura del materiale dovrebbe essere una dispersione fine delle
due fasi di cui è composta la lega. L’analisi metallografica su viti andate incontro a rottura,
presente in Griza et al. (2012), ha rilevato una microstruttura lamellare (Figura 1.11 a) e
piastri-forme (Figura 1.11 b). Tali microstrutture avvengono quando il materiale ha subito
trattamenti termo-meccanici non propriamente corretti. In Giacaglia et al. (2015), l’analisi
metallografica su una vite andata incontro a rottura ha mostrato invece microstruttura
simile a quella indicata nelle norme (Figura 1.11 c).
Figura 1.11: Analisi della sezione metallografica di viti espiantate: (a) strtuttura lamellare; (b) struttura
piastriforme; (c) struttura a dispersione fine. Immagini estratte da Griza et al. (2012) e da Giacaglia et al.
(2015).
Passando agli aspetti geometrici della vite che più possono influenzare la resistenza della
vite, il raggio di raccordo fra la cresta della filettatura e il fondo filetto riveste un ruolo
fondamentale. Infatti, un raggio molto ristretto determina un intaglio elevato che può
ridurre di molto la resistenza a fatica della vite (Griza et al., 2012). Due diversi raggi di
raccordo sono mostrati in Figura 1.12.
52
Figura 1.12: Raggi di raccordo fra la cresta della filettatura e il fondo del filetto : (a) di circa 0.15 mm; (b) di
circa 0.05 mm. Immagini estratte da Griza et al. (2012).
Un altro aspetto connesso alla progettazione meccanica della vite riguarda la finitura
superficiale esterna. Studi recenti mostrano che il livello di rugosità che può favorire
l’osteointegrazione sta nel range nanometrico; rugosità maggiori o minori non garantiscono
ancoraggio alla cellula (Griza et al., 2012). Quindi, se da un lato una corretta rugosità può
favorire l’osteointegrazione, bisogna tenere presente che questa, fornendo dei potenziali
punti d’innesco della cricca, intacca la resistenza a fatica del pezzo. Accanto a una rugosità
prescritta da progetto, vi può essere anche una rugosità derivante da un processo di
lavorazione troppo grossolano, e quindi non voluta. Un esempio di tale rugosità è mostrato
in Figura 1.13. Se i segni lasciati dalla lavorazione si collocano in zone ad elevato effetto
di intaglio possono diventare molto pericolosi (Giacaglia et al., 2015).
Figura 1.13: Ondulazioni lasciate sul fondo della filettatura dalla lavorazione meccanica. Immagine estratta
da Griza et al. (2012).
53
Concludendo, per evitare una riduzione eccessiva della resistenza a fatica, le viti
dovrebbero avere una finitura superficiale levigata, un raggio di fondo filetto il più ampio
possibile, oltre che una microstruttura simile a quella suggerita dalle norme sui materiali
per i dispositivi impiantabili. Considerando la non osservanza di tutti questi aspetti, la
resistenza a fatica del materiale può essere ridotta fin dell’80% (Griza et al., 2012).
1.4.3. Studi clinici in vivo
Accanto a tutti gli aspetti connessi alla vita a fatica del dispositivo visti finora, bisogna
considerare un altro aspetto fondamentale nella vita a fatica di un dispositivo. Tale aspetto
riguarda il carico reale, in termini di entità e di numero di sollecitazioni, cui il dispositivo
viene sottoposto durante le normali attività quotidiane. Per eseguire delle misure sul carico
che grava sul dispositivo durante le normali attività quotidiane, è necessario utilizzare
strumentazioni posteriori dotate di opportuni sensori per misurare le forze e i momenti che
si sviluppano all’interno del dispositivo. Significativi a tal proposito, sono gli studi di
Rohlmann et al. (1997, 2000 e 2001) che indagano con questo metodo i carichi supportati
dalla strumentazione per diverse attività quotidiane. In particolare, quello che emerge è che
l’attività che più mette a dura prova la strumentazione spinale è il cammino, in quanto
risulta una delle attività più frequenti della giornata e sviluppa carichi elevati sul
dispositivo. I valori dei carichi sviluppati durante il cammino possono arrivare fino a 300
N di forza risultante e a quasi 10 Nmm di momento flettente risultante. Questi valori
possono poi anche aumentare nella fase di discesa delle scale.
54
Capitolo 2
La rottura per fatica1
2.1. Introduzione alla fatica
Gli elementi meccanici sono spesso soggetti a sollecitazioni che variano nel tempo in
modo ciclico, cioè a storie di carico nelle quali si può identificare una successione di valori
massimi (picchi) e minimi (valli) alternati. Gli effetti di una sollecitazione variabile nel
tempo vengono riassunti nel termine fatica. Come caratteristica generale, la rottura per
fatica avviene dopo un numero di cicli abbastanza elevato e in presenza di un carico che
normalmente è decisamente inferiore al carico limite statico del materiale, vale a dire lo
sforzo di snervamento per i materiali duttili o lo sforzo di rottura statica per i materiali
fragili. Quello che si verifica è che il pezzo per un po’ resiste per poi cedere di schianto.
Questo determina il fatto che, anche per i materiali duttili, la frattura ha un aspetto fragile e
avviene senza apprezzabili deformazioni plastiche. Nel complesso si tratta di un fenomeno
di fondamentale importanza nella progettazione meccanica, in quanto circa l’80% dei
cedimenti meccanici va inquadrato in questo ambito.
1 Tratto da: Dispense del corso di “Costruzioni Biomeccaniche A.A. 2014-2015”-Prof Pennati G. e dal libro
“Fatigue Testing and analysis”-Lee Y., Pan J., Hathaway R., Barkey M.
55
Il metodo utilizzato per progettare organi di macchine premette ipotesi forti, ma molto
lontane dalla realtà: il materiale è considerato elastico, lineare e isotropo; il pezzo viene
considerato non avere storia precedente e quindi in grado di reagire sempre allo stesso
modo; infine per quanto riguarda i carichi, importa solo il valore massimo raggiunto e
quindi non il numero di cicli. Se si considerano carichi statici, queste ipotesi semplificative
sono ancora accettabili. Nel caso di carichi ripetuti ciclicamente, queste ipotesi non sono
più accettabili: tutto questo produce un notevole scostamento dalle previsioni teoriche.
Questo era effettivamente quello che succedeva in passato, quando ancora non si sapeva
che un materiale caricato ciclicamente avesse una resistenza minore. Questa correlazione
fu scoperta nella seconda metà dell’800’ da August Wöhler, ingegnere delle ferrovie
tedesche, in seguito alle frequenti rotture di assali delle carrozze dei treni, in presenza di
carichi molto inferiori rispetto a quelli stimati in fase di progettazione, con classica verifica
di resistenza. Wöhler iniziò, quindi, ad eseguire prove a flessione rotante su provini, in
modo da dare una sollecitazione ciclica al materiale. Registrando poi il valore di sforzo
massimo applicato, in funzione del numero di cicli dopo il quale il provino si rompeva,
otteneva il grafico di funzionamento del materiale a fatica, quello che tutt’oggi è chiamato
diagramma di Wöhler. Un esempio di tale diagramma, unito ai punti sperimentali da cui
esso deriva, è mostrato in Figura 2.1.
Figura 2.1: Esempio di diagramma di Wöhler.
56
Tale diagramma viene indistintamente chiamato diagramma o curva di Wöhler, oppure
anche curva – , in cui è il valore di sforzo limite e il numero di cicli a rottura.
Tali curve, se derivano da prove eseguite su dispositivo e non su provino, vengono
rappresentate come curve – , in cui indica il valore di forza limite. In ogni caso,
bisogna tenere presente che il diagramma di Wöhler è una curva statistica, dato che è il
risultato di un’interpolazione di dati sperimentali. Il numero di campioni può influenzare
molto la curva risultante dall’interpolazione. Solitamente il diagramma tracciato
corrisponde ad una probabilità di rottura del 50 %, ma questa probabilità può anche
variare. In ogni caso, la certezza di aver tracciato la curva vera la si può avere soltanto
testando infiniti valori. Per questo spesso, accanto alla curva che rappresenta la rottura,
vengono rappresentate delle bande che forniscono un campo di variazione all’interno del
quale ci si aspetta di trovare la curva vera con un certo livello di confidenza, ad esempio 95
o 99 %.
2.2. Meccanismo di rottura a fatica
2.2.1. Eterogeneità del materiale
Per spiegare il meccanismo fisico del danneggiamento per fatica si deve innanzitutto
osservare che i materiali non sono mai omogenei e isotropi, seppure queste condizioni
possano essere realizzate mediamente; infatti, ad esempio i metalli, si può notare come essi
siano formati da grani cristallini aventi dimensione, orientamento, composizione, variabili
da punto a punto e ancora che vi possono essere altri elementi di disomogeneità locale
quali cricche, inclusioni di grani, intagli, vacanze ecc. che alterano le proprietà originarie
della struttura cristallina. Tutto questo comporta, per ognuno dei grani cristallini, una
risposta diversa alle sollecitazioni esterne applicate sul pezzo, per cui in alcuni grani si può
superare la tensione limite di snervamento, anche se la risposta macroscopica del materiale
è ancora in campo elastico. Da questo si può dire quindi che, un elemento pur soggetto ad
un carico massimo inferiore al limite elastico del materiale, al momento della eliminazione
del carico, non ritornerà più al suo stato iniziale, ma rimarrà, in modo più o meno marcato,
57
danneggiato. Applicando ad un pezzo una sollecitazione ripetuta, con successive alternanze
di carico e scarico, la variazione interna al materiale, dovuta al superamento locale del
limite elastico, si ripete ad ogni applicazione del carico. Questo significa che, ad ogni ciclo,
si ha un accumulo di danni localizzati causati da deformazioni cicliche in campo plastico
che possono portare il pezzo al cedimento per fatica. Le zone più svantaggiate sono quelle
a tensione più elevata, ad esempio le zone di concentrazione di sforzo, e la superficie
esterna. Quest’ultima, in particolare, rappresenta la parte più delicata dell’insieme, in
quanto si possono trovare difetti da lavorazioni meccaniche, intagli geometrici e sforzi
massimi dovuti a sollecitazioni di flessione e torsione.
2.2.2. Materiali fragili e duttili
Bisogna ora distinguere come il danneggiamento si sviluppa in base alle proprietà di
duttilità o fragilità del materiale. Nei materiali duttili si ha uno sviluppo di bande di
scorrimento, cioè uno scorrimento reciproco dei piani atomici. I primi scorrimenti si pensa
avvengano in quei grani che hanno i piani reticolari orientati secondo la direzione della
massima tensione tangenziale applicata e successivamente nei grani diversamente orientati.
Se in un carico statico, tutti i grani si deformano e si distorcono allo stesso modo, in un
carico ciclico le inversioni di carico determinano scorrimenti in pochi grani caratterizzati
da elevati sforzi, dovuti a difetti o intagli, producendo intrusioni ed estrusioni. Queste
costituiscono degli eccellenti intensificatori di sforzo in corrispondenza delle quali si
possono innescare delle microfratture interne al grano. Queste, estendendosi ai grani
contigui, possono dare origine a fratture macroscopiche. Nel caso di materiali fragili, il
meccanismo di avanzamento delle cricche di fatica può non essere legato alla formazione
di bande di scorrimento, ma può invece essere legato alla formazione di microfratture in
corrispondenza di difetti superficiali o interni e, quindi, crescere lungo piani di massima
sollecitazione a trazione.
2.2.3. Fasi della rottura a fatica
La rottura per fatica può essere considerata un processo progressivo composto da 3 fasi: la
fase di nucleazione di una cricca, che può avvenire a partire da intrusioni e estrusioni o da
58
difetti interni o superficiali presenti nel materiale; la fase di accumulo o propagazione della
cricca, in cui la microfrattura iniziale si estende nel tempo al resto della sezione, riducendo
quindi la sezione resistente fino a quando non è più in grado di sostenere il carico esterno;
la fase di cedimento di schianto o di rottura fragile, che determina la rottura del pezzo a
basse deformazioni e senza strizione. In realtà, la distinzione fra le prime due fasi è
abbastanza arbitraria; di solito si assume che la distinzione avvenga quando le
microfratture raggiungono dimensioni tali da costituire una cricca vera e propria e la
concentrazione di tensioni assume il valore critico di propagazione del materiale. Il numero
di cicli interessato dall’una o dall’altra fase dipende dal tipo di materiale e dal carico
applicato: maggiore è lo sforzo, più breve è la fase di nucleazione, mentre per basse
tensioni la maggior parte della vita è impiegata per la formazione della cricca.
Queste fasi possono anche essere individuate sulla superficie di frattura come mostrato in
figura. Su questa, infatti, come mostrato in figura Figura 2.2:Figura 2.2, è possibile
riconoscere due distinte aree di frattura: una zona liscia, dovuta allo sfregamento reciproco
delle superfici, con sopra linee di spiaggia, determinate dai periodi di arresto della
macchina; una zona rugosa, determinata dalla rottura fragile per distacco improvviso dei
piani cristallini. Le linee di spiaggia si dispongono come archi di diametro via via più
grande a partire dal punto di innesco della frattura.
Figura 2.2: Esempio di superficie risultante da una frattura a fatica.
59
2.3. Approcci per lo studio della fatica
Ciò che rende il fenomeno della rottura a fatica estremamente complesso e allo stesso
tempo molto delicato, è il fatto che è una tipologia di rottura improvvisa e totale; questo a
differenza della rottura di tipo statico che è generalmente accompagnata da preavvisi, come
ad esempio deformazioni elevate e visibili ad occhio nudo. Per studiare tale fenomeno,
connesso a modifiche del materiale a livello microscopico, si è cercata una connessione fra
i parametri che caratterizzano il danneggiamento microscopico e quantità macroscopiche di
sforzo e deformazione; è a queste che si fa riferimento nelle valutazioni di rischio di rottura
e previsione di vita a fatica. In generale, il fenomeno dipende simultaneamente dal livello
di sollecitazione applicato e dalla distribuzione di difetti localizzati nel materiale. Questo
fa della fatica un fenomeno stocastico, determinato dalla probabilità di trovare difetti nel
materiale nelle zone di sforzo più elevato. Questa casualità la si osserva soprattutto nella
grossa dispersione di dati che si può avere anche su pezzi con materiale e geometria
nominalmente identici.
L’analisi a fatica di un dispositivo biomedico, e in generale di un qualunque componente
meccanico, può essere affrontata utilizzando diversi approcci. I tre approcci più diffusi, di
analisi e progettazione della fatica meccanica, sono lo “Stress-based approach”, basato
sugli sforzi, lo “Strain-based approach”, basato sulle deformazioni e il “Damage tolerant
approach”, basato sulla meccanica della frattura. Questi metodi cercano di predire la vita di
un dispositivo in termini di numero di cicli a rottura per un carico specifico.
Lo “Stress-based approach” è l’approccio tradizionale che funziona molto bene per lo
studio della fatica ad alto numero di cicli, in cui i livelli di sforzo sono sufficientemente
ridotti e gli effetti di snervamento non sono significativi nel determinare il comportamento
meccanico del pezzo. Questo approccio risulta però meno adeguato per applicazioni a
basso numero di cicli.
Lo “Strain-based approach”, sviluppatosi solo verso la meta del XX secolo, mette in gioco
un’analisi più dettagliata della deformazione plastica localizzata in corrispondenza di
60
elevati gradienti di sforzo. È un metodo molto adatto per lo studio della fatica a basso
numero di cicli.
Da ultimo, il “Damage tolerant approach”, sviluppatosi solo nella seconda metà del XX
secolo, analizza il fenomeno di propagazione di cricche, assunte come già presenti e
individuate nel materiale.
Accanto a questi approcci, utilizzabili sia in fase di progettazione sia di previsione della
vita a fatica di un dispositivo, è presente anche un altro tipo di approccio, quello
sperimentale, il più antico e intuitivo di tutti. Questo prevede l’esecuzione di prove in vitro,
generalmente definite da apposite norme, su prototipi funzionali. Dati i costi per realizzare
i prototipi e i tempi elevati per realizzare le varie prove, risulta un approccio di difficile
impiego nel processo di progettazione di un dispositivo. Dove può e molto spesso deve
essere utilizzato, è in fase di valutazione preclinica prima dell’immissione sul mercato. Nel
caso di dispositivi biomedici, le norme prevedono di verificare che la vita richiesta, diversa
a seconda del tipo di dispositivo, venga raggiunta in presenza di opportune condizioni di
carico, spesso accelerate e non fisiologiche. Questa tipologia di esperimenti, noti come
“testing for survival”, risultano spesso inadeguati per applicazioni delicate, in quanto non
ci dicono quanto siamo effettivamente vicini alla rottura del dispositivo. Per ottenere
questo, si dovrebbe proseguire la prova fino alla rottura, così da sapere quanto i cicli
richiesti sono lontani da quelli limite del dispositivo. Questi esperimenti sono noti come
“testing to failure” e, dato che possono durare anche molto, sono spesso molto più onerosi
dei precedenti.
Nel seguito verranno analizzate le caratteristiche fondamentali dell’approccio Stress-based
che verrà utilizzato nel seguito del lavoro di tesi.
2.4. Stress-based approach
L’approccio basato sugli sforzi è il più utilizzato da un punto di vista pratico in quanto è il
più semplice. Il dato in ingresso per la valutazione della vita a fatica è la tensione nominale
61
che si sviluppa sul pezzo meccanico, ottenuta considerando il materiale elastico lineare e
corretta, poi, con opportuni coefficienti.
Introduciamo ora qualche grandezza che verrà poi utilizzata in seguito. Come accennato in
precedenza, le sollecitazioni a cui può essere sottoposto un pezzo meccanico raramente
sono costanti nel tempo, ma sono, in un modo più o meno visibile variabili; in generale, i
vari protocolli di prova per la caratterizzazione a fatica dei materiali prevedono
l’applicazione di sollecitazioni cicliche che variano con legge sinusoidale, del tipo:
In cui, rappresenta la frequenza di applicazione del carico, mentre e indicano
rispettivamente la componente media e alternata della sinusoide, calcolate come:
{
in cui, e rappresentano rispettivamente il valore massimo e minimo di sforzo.
Per descrivere il tipo di forma d’onda è possibile utilizzare il coefficiente R che esprime il
rapporto fra valore minimo e massimo raggiunti dalla forma d’onda:
Il rapporto di carico può assumere i seguenti valori:
rappresenta un sollecitazione statica pura in cui
rappresenta una pulsante dallo zero positiva in cui
rappresenta una sollecitazione alternata simmetrica in cui
rappresenta una pulsante dallo zero negativa in cui
Le forme d’onda risultanti per diversi valori di sono mostrate in Figura 2.3.
62
Figura 2.3: Forme d'onda sinusoidali al variare del rapporto di carico
Per un’applicazione corretta del metodo, è necessario conoscere le caratteristiche del
materiale sottoposto al carico ciclico, vale a dire conoscere le curve – . Queste
esprimono il valore di sforzo limite , in termini di , o più frequentemente di , in
funzione del numero di cicli a rottura . Quando questi dati non sono disponibili in
letteratura, è necessario ricorrere a delle prove sperimentali che prevedono di sottoporre un
provino a sollecitazioni variabili ciclicamente, determinando i cicli necessari per la rottura;
il numero di ripetizioni per ogni livello di carico è suggerito nelle norme apposite, come ad
esempio la ASTM E739 (2004), in base al tipo di studio che si vuole svolgere. Per far si
che l’inizio della rottura avvenga casualmente in relazione ai difetti del materiale e non per
errori sistematici presenti nella prova, nelle prove vengono utilizzati provini standardizzati
aventi una geometria controllata a osso di cane, a sezione circolare di diametro d <10mm,
con un ampio grado di raccordo per ridurre l’effetto di intaglio e con superficie lucidata
(rugosità ) per eliminare i difetti superficiali. Le prove possono essere svolte a
flessione rotante, a trazione-compressione alternata oppure a torsione. Elaborando poi
statisticamente i dati sperimentali si ottiene la curva di Wöhler che rappresenta la rottura
63
con una certa probabilità che dipende da come è stata interpolata la nuvola di punti
sperimentale. Essa è solitamente rappresentata in scala semi o bi-logaritmica.
Il diagramma di Wöhler, come mostrato in Figura 2.4, può essere suddiviso in tre zone
distinte:
il campo della resistenza quasi statica o regime LCF (Low Cycle Fatigue), per
, caratterizzato da un basso numero di cicli, con processo governato
da deformazioni plastiche macroscopiche;
il campo della resistenza a termine o regime HCF (High Cycle Fatigue), per
, caratterizzato da alto numero di cicli, con processo
governato da deformazioni elastiche macroscopiche;
il campo della resistenza a fatica illimitata o regime VHCF (Very High Cycle
Fatigue), per , caratterizzato da un numero di cicli molto alto e bassi
livelli tensionali; il passaggio a questa parte del grafico è segnato dalla presenza del
ginocchio della curva, che può essere più o meno netto a seconda del materiale. In
alcuni materiali questo tratto è orizzontale, in altri vi è una leggera pendenza.
Figura 2.4: Rappresentazione delle zone in cui può essere suddiviso il diagramma di Wöhler a seconda della
numero di cicli.
64
In generale, tenendo presente questa classificazione, l’approccio Stress-based può essere
utilizzato in regime HCF e VHCF, in quanto le sollecitazioni si mantengono ancora in
campo elastico e le deformazioni plastiche sono contenute.
Nel campo della resistenza a termine, se si rappresenta il diagramma di Wöhler in
coordinate logaritmiche, si osserva comunemente una relazione lineare. Un esempio di ciò,
nel caso di un acciaio, è mostrato in Figura 2.5.
Figura 2.5: Rappresentazione dello stesso diagramma di Wöhler in scala lineare e in scala doppio
logaritmica
L’equazione comunemente utilizzata descrivere questo tratto della resistenza a termine è
l’equazione di Basquin:
con coefficiente di resistenza a fatica e b esponente della resistenza a fatica, entrambi
paramenti del materiale determinabili fittando i dati sperimentali,. Valori di questi
parametri, trovati in letteratura per una lega di titanio, sono mostrati in Tabella 2.1.
65
Tabella 2.1: Valori dei parametri dell’equazione di Basquin per una lega di titanio presi da letteratura..
Quello che si fa in una verifica di resistenza a fatica è confrontare il valore di sforzo
effettivamente agente sul pezzo , con il valore di sforzo limite del pezzo meccanico ,
ottenuto dal valore di sforzo limite del materiale e opportunamente corretto in modo da
tenere conto sia della componente media di sollecitazione sia delle differenze fra materiale
e pezzo meccanico. La verifica a fatica può essere riassunta dalla seguente disuguaglianza:
in cui rappresenta il coefficiente di sicurezza. Analizziamo ora l’influenza della
componente media e delle differenze fra pezzo e provino standardizzato.
2.4.1. Effetto del valore medio di sforzo
Se il diagramma di Wöhler è stato ottenuto solo per sollecitazioni alternate simmetriche,
quindi con componente media nulla, per studiare i casi in cui è presente anche una
componente media diversa da zero, bisognerebbe disporre delle curve di Wöhler per
diversi valori di tensione media. Dato che sarebbe troppo oneroso ricavarsi
sperimentalmente le curve di Wöhler per vari valori di tensione media e che le
informazioni a disposizione in letteratura sono al massimo quelle per componente media
nulla, il problema della vita a fatica, in presenza di tensione media, è quello di ricondurre
la coppia - , effettivamente agente, al valore di sforzo cui corrisponde lo stesso
numero di cicli di vita , sul diagramma di Wöhler alternato simmetrico.
66
Sperimentalmente si osserva che il valore limite, in corrispondenza di un numero di
cicli Nf, diminuisce al crescere di una positiva. Una negativa è quasi ininfluente sul
valore di limite. Un esempio dell’effetto della tensione media, riguardante una lega di
titanio Ti-6Al-4V ed estratto dallo studio di Kallmeyer et al. (2002), è mostrato in Figura
2.6. In particolare, si nota come gli esperimenti con rapporto di carico siano in una
posizione superiore rispetto agli altri. Questo effetto può essere riassunto in maniera
semplificata considerando che una tensione media positiva riduce la vita del provino
perché facilità l’apertura di una cricca, mentre una tensione media negativa porta ad un
miglioramento delle prestazioni, ritardando la propagazione della cricca stessa.
Figura 2.6: Risultati di prove sperimentali a fatica a differenti rapporti di carico R e quindi diverse
componenti medie (Kallmeyer et al., 2002).
Per tenere conto della componente media di tensione, è possibile riportare tutte le coppie
- corrispondenti a una certa vita , sul piano di Haigh avente in ascissa il valore di
e in ordinata il valore di . Si osserva che i punti sperimentali possono essere
interpolati da diverse forme analitiche. Poiché realizzare questi diagrammi per vari valori
di , richiederebbe una mole di dati eccessiva, si può ricorrere a metodi semplificati che
possono essere utilizzati dalla semplice conoscenza del valore di sforzo alternato
simmetrico a un determinato valore di , della tensione di snervamento e di
quella di rottura statica . Qualunque sia il criterio o equazione analitica utilizzata per
67
semplificare il diagramma di Haigh, il punto di partenza è sempre per
che proviene dal diagramma di Wöhler alternato simmetrico. I criteri più utilizzati,
di cui la rappresentazione grafica in Figura 2.7, sono:
Il criterio di Gerber (Germania, 1874):
( ) ( (
)
)
è rappresentato da una parabola passante da [ ( )] e [ ], localizzata
abbastanza centralmente rispetto ai dati sperimentali. Tale criterio non limita la
possibilità di snervamento.
Il criterio di Goodman (1899):
( ) (
)
è rappresentato da una linea retta da [ ( )] a [ ]. Tale criterio non limita
la possibilità di snervamento.
Il criterio di Soderberg (USA, 1930):
( ) (
)
è rappresentato da una linea retta da [ ( )] a [ ]. Questo criterio limita
anche lo snervamento.
Il criterio di Morrow (USA, anni 60’):
( ) (
)
Identico a Goodman, se non per il fatto di utilizzare al posto di . Tale
criterio non limita la possibilità di snervamento.
Il criterio ellittico:
( )√ (
)
68
è rappresentato da un ellisse passante da [ ( )] e [ ]. Come per la
relazione di Gerber, risulta più centrata rispetto ai dati sperimentali rispetto alle
altre. Tale criterio non limita la possibilità di snervamento.
Figura 2.7: Curve risultanti dai criteri empirici utilizzati per tenere conto dell’effetto della componente
media sulla resistenza a fatica alternata simmetrica.
Se successivamente si considerano altri valori di sarà possibile disegnare altrettante
curve, che risultano sempre più esterne per valori di sempre minori. La curva più
interna è quella che corrisponde al limite di fatica ed essa racchiude con gli assi un’area
detta zona di stabilità in quanto i punti interni resistono a un numero illimitato di cicli.
Questa è detta curva limite a fatica illimitata.
Come si può vedere dalla Figura 2.7, alcune curve sembrano essere più conservative di
altre in quanto più interne. Quindi, quando si ha la necessità di essere particolarmente
conservativi, come ad esempio può succedere in fase di progettazione, è bene utilizzare le
curve più interne come quelle di Goodman e Soderberg, così da avere un margine di
sicurezza maggiore. Se si è invece interessati a fittare i dati sperimentali, la forma analitica
più corretta è quella che rappresenta in modo migliore i dati sperimentali. Fra quelle
elencate in precedenza, quelle solitamente più centrate rispetto ai dati sperimentali sono la
curva di Gerber e quella ellittica. In generale, al variare del materiale la curva che fitta i
69
dati sperimentali in modo migliore cambia. Nello studio di Kallmeyer et al. (2002)
vengono analizzati i criteri più diffusi per la previsione a fatica di pezzi fatti in lega di
titanio Ti-6Al-4V. In particolare, i criteri di Goodman, Gerber e Soderberg correlano in
modo corretto i dati ottenuti in prove biassiali.
2.4.2. Effetto di elementi propri del pezzo meccanico
Fino ad ora i limiti di sforzo considerati sono stati quelli ottenuti da prove effettuate su
provini standardizzati. Quando si passa a determinare il limite a fatica di un pezzo
meccanico, che si differenzia anche solo in minima parte dal provino standardizzato,
bisogna considerare dei coefficienti correttivi che abbassano il ottenuto dal provino di
materiale. Questi coefficienti, però, non riescono a coprire tutte le possibili condizioni che
si possono realizzare nella realtà, per cui non di rado è necessario che le prove vengano
effettuate su campioni del pezzo che effettivamente si dovrà utilizzare. Prima di descrivere
i vari coefficienti riduttivi, bisogna ricordare che, siccome il materiale è composto da un
insieme di grani, nella verifica a fatica non è sufficiente considerare il valore di sforzo nel
punto più sollecitato, ma occorre analizzare come lo sforzo cambia all’interno del grano.
I principali effetti che influenzano il limite a fatica e che concorrono a un coefficiente
correttivo sono: la tipologia di carico (coefficiente , l’intaglio geometrico (coefficiente
, la finitura superficiale (coefficiente ) e la dimensione del pezzo (coefficiente .
Partendo quindi da uno sforzo limite , ottenuto su provino standardizzato caricato a
flessione rotante, lo sforzo limite di un pezzo meccanico può essere ottenuto in questo
modo:
Analizziamo ora uno ad uno i vari coefficienti introdotti.
Effetto del tipo di carico
In generale, le curve – vengono ottenute in prove di flessione rotante. I componenti
reali sono spesso soggetti a altre condizioni di carico; questo significa che il limite a fatica
70
a flessione deve essere modificato per altre condizioni di carico. Infatti, a parità di sforzo
massimo si possono avere situazioni di diverso pericolo a seconda della condizione di
carico. Le condizioni di carico che determinano un elevato gradiente sono anche le meno
pericolose. Questo perché maggiore è il gradiente di sforzo, minore è la zona interessate da
elevati sforzi e quindi minore è il rischio di innesco e di propagazione della cricca. Detto
questo, un carico assiale sarà più pericoloso rispetto a un carico flessionale; per tenere
conto di ciò nel caso di carico assiale, se si hanno a disposizione dati a flessione, bisogna
moltiplicarli per un coefficiente riduttivo che varia da 0.7 a 0.9. Nel caso di carico
torsionale, disponendo di dati a flessione, assume valori di 0.5-0.6.
Effetto d’intaglio geometrico
Con il termine intaglio geometrico s’intende una qualsiasi forma di discontinuità
geometrica che può essere data ad esempio da fori o da variazioni improvvise nella sezione
resistente. Ogni intaglio produce una sovrasollecitazione che può essere espressa dal
fattore di concentrazione degli sforzi statico , definito come:
in cui rappresenta la tensione massima teorica nel pezzo con intaglio e la tensione
nominale considerando il pezzo privo di intaglio. Se l’influenza di nel caso di materiali
duttili sollecitati con carico statico è praticamente nulla, nel caso di sollecitazioni cicliche
no; infatti, dato che la fatica è un fenomeno locale, basta che in un punto venga superato il
limite a fatica che il pezzo vada incontro a cedimento. Per tenere conto dell’effetto
d’intaglio geometrico sullo sforzo limite a fatica, si può definire quindi un coefficiente di
intaglio a fatica , definito come:
in cui è il limite a fatica senza intaglio è il limite a fatica di un elemento meccanico
con intaglio. non dipende però solo dalla forma dell’intaglio, e quindi da , ma che da
altri fattori. Infatti, si ha in genere che:
71
La spiegazione di ciò sta nel fatto che a parità di tensione massima, l’elevato gradiente di
sforzo generato dall’intaglio limita la pericolosità del livello di tensione perché la zona
soggetta a sforzi elevati è meno estesa e di conseguenza è minore la probabilità di trovare
cristalli più deboli dove possa innescarsi una cricca di fatica. Il calcolo del valore di
dipende quindi da un fattore, proprio del materiale, che è il fattore di sensibilità all’intaglio
a fatica , definito come:
in cui:
{
dove è lo sforzo massimo teorico con intaglio e lo sforzo limite a fatica con intaglio.
Otteniamo quindi:
Il fattore di sensibilità all’intaglio esprime la capacità del materiale di attenuare l’effetto
della sovrasollecitazione e dipende sia dal gradiente locale di sforzo che dalla dimensione
del grano cristallino. Diminuendo il gradiente di sforzo sul grano e tenendo la dimensione
del grano costante, lo sforzo medio sul grano aumenta e quindi la sensibilità all’intaglio è
maggiore; invece, aumentando la dimensione del grano e tenendo il gradiente costante, lo
sforzo medio sul grano diminuisce e quindi la sensibilità all’intaglio è minore. Il
coefficiente può variare tra 0 e 1. Per l’acciaio, ma non per le leghe di titanio, sono
disponibili delle formule analitiche per il fattore . In particolare, la formula di Neuber
pone:
√ ⁄
72
in cui ⁄ ed è il raggio di raccordo in prossimità
dell’intaglio. Per quanto riguarda le leghe di titanio, in letteratura, non sono disponibili
molte informazioni riguardo al fattore di sensibilità all’intaglio a fatica . Hosseini (2012)
arriva alla conclusione che la sensitività di una lega di Ti-6Al-4V è molto minore rispetto a
quella dell’acciaio grazie alla struttura esagonale compatta della fase della lega. In
Figura 2.8 sono mostrati i valori di al variare di per un fattore di concentrazione degli
sforzi statici .
Figura 2.8: Andamento di al variare di per un fattore di concentrazione degli sforzi statici
(Hosseini (2012).
Niinomi (2008), studiando il fattore per diversi materiali, fra cui la lega Ti-6Al-4V,
arriva ai risultati mostrati in Figura 2.9.
73
Figura 2.9: Andamento di al variare di per diversi materiali (Niinomi (2008).
In particolare, per la lega Ti-6Al-4V, si può vedere come a un può corrispondere
un .
Effetto della finitura superficiale
Quando il pezzo presenta una rugosità peggiore di quella del provino, che viene
solitamente lucidato (rugosità ), è necessario introdurre il coefficiente
superficiale , definito come:
in cui rappresenta la resistenza a fatica del pezzo e la resistenza a fatica del provino.
Bisogna tenere presente che non dipende solo dalla rugosità data da una determinata
lavorazione superficiale, ma anche dalla resistenza statica del materiale. Infatti, più è
elevato e più l’effetto peggiorativo dato da una lavorazione è maggiore. Questo suggerisce
il fatto che materiali anche molto resistenti, se non vengono ben lavorati superficialmente,
perdono le loro prestazioni meccaniche rispetto alla fatica.
Effetto della dimensione del pezzo
Le dimensioni del pezzo entrano in gioco, diminuendo la resistenza a fatica, quando queste
superano le dimensioni del provino (diametro ). Dimensioni maggiori
74
comportano, innanzitutto, un aumento della superficie esterna con relativo aumento della
possibilità di difetti superficiali. Nei casi di sforzi variabili lungo la sezione, come
flessione e torsione, e non trazione-compressione, si ha poi che a parità di sforzo massimo
sulla sezione, pezzi più grandi presentano gradienti minori. Questo effetto è racchiuso nel
coefficiente dimensionale , definito come:
in cui rappresenta la resistenza a fatica del pezzo e la resistenza a fatica del provino.
Per dimensioni elevate, tende asintoticamente a 0.7.
2.5. Approccio computazionale allo studio
della fatica
Quando si ha a che fare con dispositivi medici, e in generale meccanici, che presentano una
geometria complessa o comunque non facilmente schematizzabile con un approccio
analitico (ad esempio quello di de Saint Venant), l’utilizzo di modelli numerici ad elementi
finiti (FEM : “Finite elements models”) rappresenta uno strumento molto utile per
determinare il comportamento meccanico del dispositivo. Infatti, partendo da un modello
tridimensionale del dispositivo, su cui poi sono imposti carichi e vincoli, è possibile
calcolare il campo degli sforzi e delle deformazioni interni al dispositivo. Se fino a qualche
tempo fa il loro utilizzo in campo biomedico, a differenza di altri campi come quello
meccanico e aerospaziale, era abbastanza ristretto, ora invece si va sempre più affermando.
Rimanendo in campo biomedico, questi strumenti possiedono il grande vantaggio di poter
essere utilizzati per simulare sia set-up sperimentali imposti da norme per la valutazione
preclinica del dispositivo, che condizioni di reale funzionamento in vivo. In questo modo si
potrebbe quindi sia ridurre il numero delle lunghe e costose prove sperimentali, sia avere
maggiori informazioni sul loro funzionamento in vivo prima di un’effettiva
sperimentazione clinica.
75
Nell’ambito della previsione del comportamento a fatica, l’analisi FEM può essere
utilizzata sia nel processo di progettazione sia nella verifica di affidabilità di un dispositivo
esistente. In particolare, l’utilizzo combinato di prove sperimentali e analisi numeriche
permette la validazione del modello numerico così da poterlo utilizzare per predire il
comportamento in altre condizioni di carico. In generale, è possibile individuare due
diversi approcci computazionali che utilizzano il FEM: l’approccio classico e l’approccio
locale. Il primo si pone a un livello macroscopico, senza valutare i fenomeni locali di
origine e propagazione della cricca; il secondo si pone a un livello microscopico, in cui
viene supposta l’esistenza della cricca e studiata la sua propagazione.
Nel seguito verrà analizzato l’approccio classico.
2.5.1. Approccio classico
Grazie all’utilizzo di modelli FEM è possibile estendere il metodo stress-based anche a
geometrie tridimensionali complesse o aventi intagli particolari. Le raccomandazioni fatte
in precedenza nella sezione 2.3 sul metodo stress-based valgono tuttora: per ottenere dei
risultati affidabili è necessario che i livelli di sforzo siano sufficientemente ridotti e gli
effetti di snervamento non siano significativi nel determinare il comportamento meccanico
del pezzo. Tale approccio funziona bene soltanto per vite a fatica elevate.
Il dato in ingresso per un approccio stress-based, qualsiasi sia il criterio utilizzato, è la
tensione ottenuta dal modello FEM, considerando il materiale elastico lineare. Se prima
sforzi e deformazioni venivano ottenuti schematizzando il modello con travi di de Saint
Venant, ora sono calcolati con un modello FEM. Il valore di sforzo ottenuto ora non è più
da correggere con il fattore di concentrazione degli sforzi statico : il modello numerico
considera già tutte le discontinuità geometriche presenti nel pezzo meccanico. Questo però,
in generale, non è vero per il coefficiente d’intaglio a fatica , che oltre a dipendere dal
coefficiente , dipende anche dal fattore di sensibilità all’intaglio a fatica . Questo
fattore non può essere considerato nel modello FEM. Detto questo, i risultati del modello
FEM sono rappresentativi della situazione reale soltanto se , altrimenti devono essere
rielaborati per tenerne conto. Riguardo a tutti gli altri coefficienti correttivi introdotti nella
sezione 2.4.2, ad eccezione di in quanto già utilizzato per correggere i valori di sforzo
76
ottenuti dal modello, questi devono essere ancora considerati per passare dallo sforzo
limite a fatica, ottenuto su provino standardizzato, allo sforzo limite del pezzo meccanico.
Si ricorda ancora che l’utilizzo di tali correzioni per l’approccio computazionale
presuppone un modello FEM che considera il materiale elastico lineare.
In generale, uno stato di sforzo multiassiale nel pezzo può essere determinato o da una
geometria particolare o dai carichi esterni. È a questo punto che entrano in gioco i criteri di
fatica multiassiale: questi hanno lo scopo di ridurre la sollecitazione ciclica multiassiale ad
uno sforzo uniassiale equivalente, confrontabile con i dati sperimentali relativi a prove
monoassiali. La generalizzazione del concetto di limite a fatica per stati di sforzo
multiassiali richiama l’idea di una simbolica divisone dello spazio tridimensionale degli
sforzi in due parti: il cosiddetto safe space, che comprende l’origine e rappresenta la zona
in cui il pezzo non si rompe, e l’unsafe space, che rappresenta la zona in cui si ha il
fallimento del pezzo. Il criterio di fatica multiassiale può quindi essere espresso attraverso
una disuguaglianza simile a quella introdotta precedentemente, in cui è lo sforzo
presente nel pezzo ottenuto dal criterio multiassiale. I criteri di sforzo utilizzati in questo
studio sono tutti criteri basati sugli invarianti di sforzo, in quanto la sollecitazione
uniassiale equivalente è definita come una combinazione lineare di quantità di sforzo
invarianti. Criteri di questo tipo sono in grado di prevedere la rottura per fatica, ma non
forniscono informazioni sull’orientazione di possibili cricche. Questi si differenziano dai
criteri di sforzo basati sul concetto di piano critico, nei quali la sollecitazione equivalente è
una combinazione lineare dello sforzo normale e di quello tangenziale agenti su una
particolare giacitura, detta appunto piano critico.
I criteri basati sugli invarianti di sforzo utilizzati in questo studio sono il criterio di Sines e
il criterio di Goodman.
Criterio di Goodman
Il criterio di Goodman rappresenta un’estensione al caso multiassiale dell’espressione
introdotta nella sezione 2.4.1 per tenere conto dell’effetto della componente media sulla
resistenza a fatica alternata simmetrica. Sotto forma di disuguaglianza, tale espressione
originale, può essere riscritta nel seguente modo:
77
Per tenere conto della multiassialità della sollecitazione, Kallmayer et al. (2002) pongono:
{
cioè riferiscono la componente media e alternata dello sforzo uniassiale alla componente
media ed alternata dello sforzo di Von Mises. Utilizzando la definizione di Von Mises per
la componente media, impone di differenziare fra valore in compressione e in tensione
dello sforzo equivalente medio in quanto lo sforzo di Von Mises è sempre positivo.
L’espressione risultante di tale criterio è:
Il primo membro di tale disuguaglianza rappresenta la sollecitazione uniassiale
equivalente, chiamata , che va confrontata con le proprietà a fatica alternate
simmetriche del materiale. Il discorso fatto sullo sforzo limite fatto precedentemente
per il criterio di Sines vale ancora.
Criterio di Sines
Il criterio di Sines può essere formulato nel seguente modo:
(√ )
in cui (√ ) rappresenta la componente alternata della radice quadrata del secondo
invariante del deviatore di sforzo e è la componente media dello sforzo idrostatico.
Considerando gli sforzi principali , , , le espressioni di e sono:
{
[
]
78
Le costanti e possono essere determinate conoscendo i limiti a fatica del materiale per
due diversi stati di sollecitazione. Se si ipotizza di conoscere il limite a fatica pulsante, in
cui componente alternata e media sono uguali a , e il limite a fatica alternata
simmetrica , sostituendo nella formula del criterio si ha:
{
√
√
da cui:
{
√
√
√
Siccome il limite è difficilmente reperibile fra le proprietà dei materiali, ricorrendo alla
retta di Goodman per la correzione della componente media è possibile esprimere in
funzione di . Si ottiene:
In definitiva Sines può essere espresso in questo modo:
√ (√ ) (
)
Il primo membro di tale disuguaglianza rappresenta la sollecitazione uniassiale
equivalente, chiamata , che va confrontata con le proprietà a fatica alternate
simmetriche del materiale. Una formulazione maggiormente operativa del criterio di Sines
può essere scritta servendosi delle seguenti espressioni:
{ √[ ]
√
79
in cui rappresenta lo sforzo equivalente di Von Mises, mentre l’invariante primo di
sforzo. La nuova espressione risultante del criterio di Sines è dunque:
(
)
Le disuguaglianze ottenute fanno riferimento a un limite a fatica alternato simmetrico
qualunque. L’estensione ai vari tipi di sollecitazione (assiale, flessionale o torsionale) e
l’inclusione di fattori per tenere conto del pezzo reale e non del provino si traduce soltanto
nella sostituzione del limite a fatica con un valore limite particolare.
80
Capitolo 3
Materiali e metodi
3.1. Obiettivo
Alla luce degli studi dalla letteratura esposti nel Capitolo 1, si è visto che la fatica
meccanica è un aspetto problematico per le viti peduncolari in particolare. In generale,
questo è dovuta al numero elevato di sollecitazioni cicliche cui la strumentazione è
sottoposta durante l’utilizzo quotidiano. Ogni attività, in particolare il cammino, determina
un carico che si traduce in un momento flettente sulle viti peduncolari.
In letteratura, sono disponibili diversi metodi ingegneristici per studiare il fenomeno della
fatica meccanica (Capitolo 2). Fra questi, ci sono i metodi sperimentali, in genere molto
dispendiosi in termini di tempo e di costi, anche se spesso richiesti dalle norme prima
dell’immissione in commercio del dispositivo; e i metodi numerici, molto promettenti, in
particolare se accoppiati a modelli previsionali a fatica.
L’obiettivo di questo lavoro di tesi è quello di mettere appunto una metodologia che
combini prove sperimentali e modelli numerici validati che, accoppiati ad opportuni criteri
previsionali a fatica, dia informazioni in fase di progettazione (a priori) o in fase di verifica
(a posteriori). Dato l’ampio utilizzo in ambito ortopedico e spinale delle leghe di titanio,
81
tale metodologia è stata applicata allo studio di una vite peduncolare monoassiale in
Ti6Al4V, presa come esempio applicativo. Dato che le viti a disposizione, pur essendo
nominalmente identiche, provengono da due lotti di produzione differenti, si è voluto
anche studiare se esistano differenze fra i due lotti eventualmente correlabili a variabilità
nel materiale e/o nelle lavorazioni termo-meccaniche che il dispositivo ha subito.
3.2. Dispositivo studiato
Il dispositivo oggetto dello studio è una vite peduncolare monoassiale (Expedium 5.5
System, DePuy Synthes) avente dimensioni nominali del diametro esterno di 4.35 mm e 30
mm di lunghezza, disponibile in commercio e di normale utilizzo clinico nei tratti cervicale
e toracico alto. La vite, mostrata in Figura 3.1, si compone di una testa lavorata in modo da
ospitare la barra longitudinale posteriore e di un grano di serraggio, ovvero un elemento
cilindrico filettato. Lo scavo ricavato nella testa presenta una filettatura rettangolare in cui
durante l’impianto viene avvitato il grano di pressione che vincola la barra longitudinale
alla vite.
Figura 3.1: Vite peduncolare monoassiale oggetto dello studio.
82
Il materiale utilizzato per fabbricare la vite è una lega di Titanio Ti-6Al-4V ELI. Tale
materiale fa parte delle leghe di titanio α+β, cioè leghe che presentano una dispersione di
fasi α con struttura cristallina esagonale compatta e leghe β con struttura cristallina cubica
a corpo centrato. La sigla ELI sta per “Extra Low Interstitial”, vale a dire una lega con
bassa quantità di elementi interstiziali, come ossigeno, azoto, carbonio e ferro. Questa
minor quantità di elementi interstiziali da maggiore duttilità e tenacità a rottura rispetto a
una semplice lega Ti-6Al-4V. Tale lega, quando viene utilizzata per la fabbricazione di
dispositivi impiantabili, deve possedere i requisiti descritti nella norma ASTM F136
(2011). Tale norma specifica le proprietà chimiche, fisiche, meccaniche e metallurgiche
minime che la lega deve possedere per essere utilizzata per dispositivi impiantabili. Le
proprietà meccaniche minime richieste dalla norma sono valori di resistenza e duttilità che
il materiale deve avere in applicazioni ad elevati sforzi in cui questa lega spesso è
utilizzata. La composizione chimica della lega descritta nella norma è stata usata con
successo in dispositivi a contatto con tessuti molli e con tessuto osseo.
Le viti peduncolari considerate in questo studio, pur essendo nominalmente identiche,
appartengono a due lotti differenti: BDE1VSF e BDET3SL. Da qui in avanti, per
semplicità e facilità di comprensione, il lotto BDE1VSF verrà indicato come lotto rosso,
mentre il lotto BDET3SL come lotto blu.
3.3. Caratterizzazione geometrica
In questa sezione vengono illustrati i metodi e le tecniche utilizzate per ottenere un
modello CAD (Computer-Aided Design) della vite peduncolare mono-assiale oggetto di
questo studio. A una prima fase di caratterizzazione dei parametri principali della vite, ha
fatto seguito la vera e propria realizzazione del pezzo virtuale attraverso un software di
modellazione CAD tridimensionale. Il modello è stato poi utilizzato per svolgere analisi
numeriche con la tecnica degli elementi finiti.
83
3.3.1. Misure al microscopio e al proiettore d’ombra
La geometria della vite peduncolare monoassiale è stata ricostruita a partire da misurazioni
svolte presso Leghe Leggere Lavorate, (Buccinasco, Milano, Italia) attraverso la 2D
TESA-SCAN50 (TESA SA, Renens, Switzerland), uno strumento di misura che non
richiede il contatto diretto con il pezzo. L’assenza di contatto garantisce un’elevata
flessibilità, rapidità e accuratezza nel rilevamento delle misurazioni. Il principio di
funzionamento di tali dispositivi si basa sull’illuminazione del pezzo da parte di un fascio
di luce bianca parallela. Una volta orientato il dispositivo in modo che l’asse della
filettatura sia ortogonale al fascio, è possibile ottenere la proiezione del suo profilo.
Tramite il software della macchina è poi possibile acquisire l’immagine e condurre delle
misure anche molto precise (risoluzione 0.5 mm) sui dettagli geometrici del dispositivo,
quali ad esempio lunghezze, raggi di curvatura, angoli. Da questo, infatti, sono stati
ottenuti i parametri fondamentali che definiscono la parte filettata della vite. Lo strumento
di misura, insieme all’immagine di output ottenuta dalla vite, è mostrato in Figura 3.2.
Figura 3.2: Strumento di misura 2D TESA-SCAN50 con l’immagine di output ottenuta dalla vite.
Oltre a questo strumento, ci si è serviti anche di uno microscopio (Nikon SMZ800®),
presente al Laboratorio di Meccanica delle Strutture Biologiche (LaBS) del Politecnico di
Milano, su cui è montata la telecamera (TV Lens C-0.6X Nikon®) collegata poi a
computer per l’acquisizione di immagini. Attraverso questo, sono state scattate delle
fotografie della vite a diversi ingrandimenti su cui poi sono state fatte delle misurazioni,
84
come mostrato in Figura 3.3. Il microscopio è stato utilizzato, in particolare, per eseguire
misurazioni sul raccordo testa-parte filettata e per descrivere l’andamento del transitorio
iniziale della filettatura. In generale, dato che questo è un metodo manuale, per ottenere
una misura più robusta, vengono effettuate 5 misure dello stesso elemento che vengono poi
mediate.
Figura 3.3: Fotografia della vite ottenuta allo stereomicroscopio su cui sono state fatte delle misure.
I valori delle misure riportate in seguito rappresentano il valore medio su più misurazioni.
Questi stessi valori sono stati utilizzati per la successiva fase di riproduzione della
geometria della vite peduncolare monoassiale in SOLIDWORKS.
La testa e l’elemento cilindrico della vite sono collegate attraverso un raccordo di raggio
. L’elemento cilindrico presenta una lunghezza di . I due lotti di viti a
disposizione presentano un punto di inizio filettatura differente. Infatti, misurando la
distanza fra la base della testa e l’inizio della filettatura si ottengono per i due lotti i valori
riportati in Figura 3.4. Questo è l’unico aspetto per cui i due lotti si differenziano nella
geometria.
85
Figura 3.4: Distanza fra la testa e l’inizio della filettatura per i due lotti.
Il tratto di filettatura inziale partendo dalla testa è caratterizzato da un transitorio con uno
sprofondamento progressivo del filetto fino ad arrivare al valore di regime. Misurando la
distanza cresta-valle del filetto sull’elica della filettatura ogni 90°, è stato costruito il
profilo del transitorio, come mostrato in Figura 3.5. Si può notare come il filetto raggiunge
il regime dopo un giro e mezzo a partire dall’inizio della filettatura.
Figura 3.5: Andamento del transitorio iniziale della filettatura confrontato con il valore a regime.
I parametri fondamentali della filettatura a regime e i relativi valori sono invece indicati in
Figura 3.6.
86
Figura 3.6: Parametri fondamentali della filettatura a regime.
3.3.2. Disegno CAD
Partendo dalle misure riportate in precedenza è stata ricostruita la geometria della vite
attraverso un software di disegno tecnico vettoriale di precisione. Tutti i software dedicati
alla progettazione assistita al computer vengono definiti CAD, che sta per “Computer-
Aided Design”. In particolare, in questa tesi è stato utilizzato il software CAD
SOLIDWORKS, distribuito da Dassault Systèmes SolidWorks Corporation. Il software
consente ad esempio di creare geometrie tridimensionali parametriche, di creare disegni
tecnici costruttivi dal pezzo creato, di fare rendering e animazioni e anche calcoli strutturali
e fluidodinamici di massima.
La costruzione del modello 3D della vite peduncolare monoassiale è iniziata con il disegno
del profilo di massima della vite. Da questo, attraverso la funzione di Rivoluzione, è stato
creato un solido da cui poi, attraverso la funzione Taglio, sono state sottratte delle parti
fino ad arrivare alla geometria finale della vite. Il profilo di rivoluzione, insieme al corpo
risultante dalla rivoluzione è mostrato in Figura 3.7.
87
Figura 3.7: Profilo della vite e relativa rivoluzione.
In particolare, la filettatura è stata creata con la funzione “Taglio con sweep” che vuole in
ingresso il profilo di taglio della “lama” e il percorso che questa dovrà seguire. Come
profilo di taglio è stato utilizzato il profilo della filettatura a regime, mentre come percorso
un’elica avvolta attorno all’elmento cilindrico della vite. Il tutto è mostrato in Figura 3.8.
Il profilo, muovendosi attorno all’elemento cilindrico pieno, “rimuove” una parte del
materiale lasciando la filettatura. Per creare il transitorio iniziale della filettatura è stato
utilizzata un’elica con diametro che decresce linearmente partendo dal valore del diametro
esterno della vite fino ad arrivare al valore del diametro di nocciolo .
88
Figura 3.8: Profilo e percorso della funzione Taglio con sweep.
Infine, in Figura 3.9, sono mostrati i modelli CAD per i due diversi lotti di provenienza
delle viti, utilizzati per le successive simulazioni numeriche. Si ricorda che i due modelli
differiscono solo per la distanza fra la testa e l’inzio della filettatura.
Figura 3.9: Modello CAD finale per i due lotti di provenienza delle viti, che si differenziano per la distanza
di inizio filettatura.
89
3.4. Caratterizzazione del materiale
Per la lega Ti-6Al-4V ELI utilizzata nella costruzione della vite peduncolare, pur
conoscendo il tipo di materiale, sono sconosciute le proprietà meccaniche effettive. Le
caratteristiche meccaniche di questi materiali sono legate, oltre che alla composizione
chimica, anche alla microstruttura interna del materiale. Data una determinata
composizione chimica della lega di titanio, la microstruttura può essere modificata
scegliendo opportunamente i trattamenti termici e i processi meccanici che la lega subisce.
Il trattamento termico tipico per questa lega consiste nel riscaldare il materiale ad una
temperatura che può essere superiore o inferiore alla temperatura di trasformazione dalla
fase α alla fase β dopo di che il materiale viene raffreddato a velocità diverse. Per il Titanio
puro questa temperatura è di 883 °C, mentre per le leghe di Titanio è funzione degli
elementi presenti in lega e delle loro quantità. A seconda della temperatura raggiunta dal
trattamento e delle velocità di raffreddamento, si possono ottenere, a partire dalla stessa
lega, una gran quantità di microstrutture differenti, caratterizzate da proprietà meccaniche
diverse. In genere si ottiene una microstruttura che presenta un’alternanza di grani α e β
più o meno fini, lamellari o equiassici.
Sul materiale della vite peduncolare monoassiale sono state eseguite sia analisi della
sezione metallografica, in modo da trovare una qualche relazione fra microstruttura e
proprietà meccaniche, sia delle prove di nanoindentazione, per caratterizzare la durezza e il
modulo elastico del materiale. Nelle due analisi, è stata anche indagata la possibile
presenza di una differenza nel materiale dei due lotti da cui le viti provengono.
3.4.1. Microstruttura: Sezione metallografica
Attraverso uno studio metallografico del materiale, è possibile quindi risalire al trattamento
termico cui il pezzo è stato sottoposto in modo da ottenere un valore indicativo delle
proprietà meccaniche. Lo studio metallografico sulla vite peduncolare monoassiale è stato
eseguito attraverso un microscopio ottico, disponibile presso il Servizio di Analisi
Microstrutturali dei Materiali del Dipartimento di Chimica, Materiali e Ingegneria Chimica
90
del Politecnico di Milano. I campioni metallografici da analizzare sono stati ottenuti
estraendo delle sezioni trasversali da alcune viti, vite 1 e vite 2 provenienti dal lotto rosso e
vite 3 proveniente dal lotto blu. I tagli sono stati eseguiti a livello del secondo (sezione T) e
quinto (sezione P) filetto. Accanto a queste, da altre viti, una per lotto, sono stati ricavati
altri campioni estraendo delle sezioni lungo l’asse longitudinale della vite (sezione L).
Tutte le sezioni sono rappresentate in Figura 3.10.
Figura 3.10: Tagli eseguiti sulla vite per l’analisi metallografica.
I campioni ricavati sezionando la vite trasversalmente e quelli longitudinalmente sono stati
poi tutti inglobati in resina, come mostrato in Figura 3.11. La preparazione delle superfici
da ispezionare è stata eseguita attraverso una lucidatura sequenziale con carte abrasive in
carburo di Silicio con granulometria 100P, 320P, 600P, 1200P, 4000P, fino alla lucidatura
finale in allumina da 0,3 m. L’attacco metallografico è stato eseguito con una soluzione
acida Kroll, basata sulla diluizione di acido nitrico, acido fluoridrico in acqua distillata.
91
Figura 3.11: Campioni di viti inglobate in resina.
3.4.2. Proprietà meccaniche: Nanoindentazioni
Le prove di nanoindentazione sono uno strumento molto utile per caratterizzare le
proprietà di un materiale. Le ragioni del suo grande utilizzo sono la semplicità intrinseca
dell’esperimento, la preparazione minima richiesta per il campione e la possibilità di
eseguire un numero elevatissimo di prove su un singolo campione. Avendo a disposizione
soltanto la vite peduncolare monoassiale, caratterizzata da dimensioni particolarmente
piccole che impediscono di ricavare provini da sottoporre ai classici test di trazione, la
prova di nanoindentazione rappresenta uno strumento fondamentale per ottenere
informazioni sul materiale con cui le viti sono costitutite.
Una prova di nanoindentazione consiste nell’applicare una pressione sulla superficie
d’interesse mediante un indentatore. La punta dello strumento è fatta di un materiale duro e
può avere forme differenti. Durante ciascuna prova vengono misurati in continuo il carico,
indicato con P, e lo spostamento, indicato con h, in modo da costruire una curva P – h. Tale
curva si compone di una curva di carico e di una di scarico: la prima rappresenta la fase in
cui l’indentatore preme sulla superficie provocando deformazioni plastiche ed elastiche; la
seconda la fase in cui viene rilasciato il carico e dipende solo dalle proprietà elastiche de
materiale. Dopo la completa rimozione del carico rimane una deformazione plastica
residua. Dalle analisi delle curve ottenute dalla prova è possibile ottenere informazioni
sulla durezza e sul modulo elastico del materiale.
In questo studio, la durezza e il modulo elastico del materiale sono stati ottenuti utilizzando
il metodo proposto da Oliver and Pharr (1992). Tale metodo parte dall’assunzione che il
92
primo tratto della curva di scarico sia attribuibile totalmente a fenomeni elastici. Viene
quindi fittata la curva di scarico con una legge di potenza del tipo:
( )
dove , sono i parametri di best-fitting della curva di scarico e è la profondità residua
dopo la fase di scarico. Derivando tale curva nel punto di massima penetrazione si
ottiene la rigidezza di contatto alla massima penetrazione:
|
L’area di contatto dipende dalla forma dell’indentatore. Considerando una punta
Berkovivh, la stessa utilizzata negli esperimenti, che presenta una forma a piramide con
base a tre lati, l’area di contatto in funzione della profondità di contatto risulta essere:
Ora è possibile calcolare il modulo elastico del materiale attraverso le seguenti
equazioni:
(
)
√
√
in cui è il modulo ridotto, è il fatto di correzione legato alla forma dell’indentatore
utilizzato ( per una punta Berkovich), è il coefficiente di Poisson del campione
(assumendo per il Titanio; Cai et al., 2011), e il coefficiente di Poisson e il
modulo elastico dell’indentatore. Per un indentatore in diamante si ha (Cai et al., 2011):
Il valore della durezza è dato invece da:
93
In cui è il valore di carico massimo raggiunto in ciascun esperimento.
Gli esperimenti di nanoindentazione sono stati eseguiti utilizzando una macchina
NANOTEST della Micromaterials Ltd (Wrexham, UK)disponibile presso il LabS, su cui è
stato montato un indentatore Berkovich, costituito da un punta piramidale a 3 lati. I
campioni testati sono gli stessi utilizzati precedentemente per l’analisi metallografica. In
Figura 3.12 è mostrato il set-up di nanoindentazione con l’indentatore che penetra in un
campione di vite.
Figura 3.12: Set-up per la nanoindentazione con l’ndentatore che penetra in un campione di vite.
I parametri da definire per svolgere una prova di nanoindentazione sono: il carico massimo
raggiunto nella prova, la velocità di applicazione del carico e di rimozione del
carico , il tempo di dwell e il tempo di deriva . Il parametro
rappresenta il tempo di mantenimento del carico alla fine della fase di carico. Questo serve
per rilasciare le deformazioni viscoelastiche in modo tale da non intaccare la curva di
scarico della prova utilizzata poi per estrarre i parametri del materiale. Il parametro
rappresenta, invece, il tempo di mantenimento del carico eseguito nella fase di scarico.
94
Questo serve rilevare eventuali variazioni nei segnali P e h dovuti alla contrazione od
espansione termica del campione e attraverso questi correggere la curva P – h.
Per indagare l’effetto del carico sulle proprietà di bulk del materiale sono state volte prove
a diversi valori di nella zona centrale della vite; per indagare un possibile mutamento
delle proprietà meccaniche in prossimità del bordo, dovuto a una qualche lavorazione
superficiale della vite, sono state svolte prove a muovendosi dal bordo al
centro in direzione radiale tenendo una spaziatura di 50 m. Un carico così ridotto è stato
utilizzato per evitare che i risultati venissero alterati dalla vicinanza dal bordo. Questo,
infatti, a livelli di carichi maggiori può influenzare molto la distribuzione degli sforzi
nell’intorno dell’indentatore rendendo i risultati inaffidabili. Per quanto riguarda gli altri
parametri, in tutti gli esperimenti è stato imposto , ,
e ; infatti, prove preliminari hanno escluso differenze
statisticamente significative nei risultati al variare di questi parametri. Il programma
completo degli esperimenti è riassunto in Tabella 3.1, mentre la distribuzione degli
esperimenti su una sezione esemplificativa in Figura 3.13.
Tabella 3.1: Programma completo degli esperimenti di nanoindentazione.
95
Figura 3.13: Rappresentazione schematica della distribuzione degli esperimenti di nanoindentazione su una
sezione di vite.
Per evidenziare se le differenze fra le misure ottenute siano o meno statisticamente
significative sono stati svolti una serie di test statistici (T-test) al variare del livello di
carico, del lotto di provenienza delle viti e della distanza dal bordo. Il livello di
significatività p assunto è pari a 0.05.
3.5. Prove sperimentali
3.5.1. Set-up: ASTM F2193 (2002)
Per la caratterizzazione meccanica della vite peduncolare si è fatto riferimento alla norma
ASTM F2193 (2002). Questa norma, in generale, rappresenta il riferimento per la
caratterizzazione di tutti i componenti utilizzati nella fissazione chirurgica della colonna
vertebrale, quindi anche delle barre longitudinali e delle piastre trasversali. Dato che i modi
di carico fisiologici in vivo si possono differenziare molto dalle configurazioni di carico
descritte nella norma, i risultati ottenuti possono non descrivere le performance in vivo del
componente o del costrutto completo. Possono invece essere utilizzati per fare confronti, in
termini di performance meccaniche caratteristiche, fra diversi design oppure con
dispositivi già in commercio e di cui è già noto il funzionamento in vivo.
96
La sezione della norma ASTM F2193 (2002) che descrive il metodo per la
caratterizzazione meccanica di viti spinali è l’Annex A4. In particolare, il metodo è stato
ideato per misurare le proprietà meccaniche statiche e cicliche flessionali delle viti. Questo
perché la flessione è il modo di carico più comune osservato in vivo. L’obbiettivo è quello
di ottenere la risposta meccanica del componente e non del materiale che lo costituisce.
La norma suggerisce una prova di flessione “a sbalzo”: la testa della vite viene vincolata
attraverso un incastro e il carico viene applicato perpendicolarmente all’asse longitudinale
della vite. Il set-up suggerito dalla norma è mostrato in Figura 3.14. Il set-up deve essere
costruito in modo da essere sufficientemente rigido così che la deformazione registrata sia
totalmente attribuibile al campione testato. Per l’applicazione del carico, la norma
suggerisce di utilizzare un blocchetto di materiale polimerico, nel quale la vite è avvitata e
sul quale il carico viene poi applicato. In figura è possibile osservare il set-up riportato
dalla norma con indicate alcune grandezze di interesse per la prova sperimentale. In
particolare, la lunghezza esposta della vite, indicata come “Exposed length”, che
rappresenta la distanza fra il luogo dove la vite è incastrata e la superficie del blocchetto in
cui la vite è inserita e il braccio del momento flessionale, indicato con “L”.
Figura 3.14: Set-up sperimentale suggerito dalla norma ASTM F2193 (2002) per prove su viti peduncolari.
97
Il set-up sperimentale utilizzato per le prove statiche e a fatica prende spunto dalla norma
ASTM F2193 (2002). Di questa norma non ne sono state prese tutte le indicazioni presenti
in quanto l’obbiettivo del lavoro non è quello di ottenere dati da confrontare con altri
design o viti già in commercio. La rappresentazione schematica del set-up sperimentale
utilizzato per ottenere una flessione a sbalzo, insieme alla distribuzione dei momenti nella
struttura, è mostrata in Figura 3.15.
Figura 3.15: Rappresentazione schematica del set-up sperimentale utilizzato per le prove sulle viti
peduncolari.
Il set-up si compone di due elementi: quello inferiore è collegato alla cella di carico
vincolata a terra con un incastro e serve per vincolare la testa della vite; quello superiore,
invece, è collegato all’attuatore, vincolato a terra con un pattino, e serve per applicare il
carico al campione testato. Il collegamento vite-elemento inferiore avviene attraverso un
incastro, che li rende solidali. Il collegamento fra elemento superiore e vite è un semplice
appoggio, rappresentabile con un vincolo a carrello, che comporta una trasmissione del
carico solo assiale. La distanza L fra il punto di appoggio e l’incastro della vite rappresenta
il braccio del momento flessionale. Dalla distribuzione dei momenti flettenti si può vedere
come, essendo la direzione del carico allineata con la cella di carico, il momento gravante
98
su quest’ultima sia nullo. L’unica sollecitazione applicata alla cella di carico è quella
assiale. Questo è fondamentale per escludere componenti eccentrici di forza, non rilevabili.
Il set-up reale, montato sulla macchina di prova, è invece mostrato in Figura 3.16.
Figura 3.16: Set-up reale montato sulla macchina di prova e utilizzato per le prove statiche e a fatica sulla
vite peduncolare.
L’elemento inferiore presenta una forma ad L e è molto simile a quello suggerito dalla
norma. La testa della vite è completamente vincolata in un foro presente nella parte
verticale della struttura ad L. La parte filettata della vite è invece inserita in un blocchetto
di polietilene, proviene da una lastra presente in laboratorio e opportunamente tagliata, in
modo a ottenere una lunghezza esposta della vite di 11 mm. Nella lunghezza esposta, come
suggerito dalla norma, sono inclusi almeno 5 mm di filettatura della vite. Il blocchetto
utilizzato ha la forma di un parallelepipedo di lunghezza (direzione longitudinale della
vite) 16 mm, larghezza 15.3 mm e altezza 12.5 mm. L’assemblaggio della vite nel
blocchetto è stato favorito da un pre-foro di 3 mm eseguito con un trapano a colonna e
coincidente con l’asse longitudinale del blocchetto. Il foro ha una dimensione minore
99
rispetto al diametro di nocciolo della vite in modo da garantire un fissaggio stabile nel
blocchetto. L’elemento superiore è invece composto da due cilindri di diametro 9 mm,
posti uno sopra l’altro e distanziati di 13 mm. Tale distanza è necessaria per permettere al
blocchetto di porsi fra i due rulli nelle prove di fatica alternata simmetrica. Il braccio del
momento flessionale L che si viene a creare con questo set-up è di 20.5 mm.
La rigidezza elevata del materiale e le sezioni resistenti elevate degli elementi del set-up
fanno sì che le deformazioni di questi siano trascurabili. In questo modo lo spostamento
registrato dalla macchina di prova è attribuibile totalmente al campione testato.
3.5.2. Macchina di prova
In questo lavoro di tesi sono state eseguite sia prove statiche che a fatica su viti
peduncolari. La macchina di prova utilizzata per le prove è la macchina servo-idraulica
MTS MiniBionix, n° di serie 1014952, (MTS, Minneapolis, MN) installata presso il
Laboratorio di Meccanica delle Strutture Biologiche del Politecnico di Milano e mostrata
in figura.
La macchina di prova MTS è costituita da una parte superiore mobile ed una inferiore
fissa. Quella superiore è dotata di un attuatore idraulico assial-torsionale, con capacità
assiale di 15 kN e torsionale di 150 Nm, e di un LVDT (“Linear Variable Differential
Trasformer”), attraverso il quale è possibile misurare spostamenti in un intervallo di 100 o
10 mm a seconda delle necessità. Quella inferiore è invece equipaggiata di una cella di
carico assiale-torsionale, modello 662.20D-04, numero di serie 1011239, in grado di
rilevare carichi assiali in un range ±15 kN e tosionali in ±100 Nm. Entrambe sono dotate di
afferraggi composti da due ganasce con pressione di contatto regolabile.
La macchina può funzionare sia in controllo di posizione, spostamento lineare o angolare,
oppure di carico, forza assiale o momento torsionali. La modalità di controllo può essere
manuale, attraverso un pannello di comando, oppure tramite computer.
100
3.5.3. Prove statiche
Le prove statiche sono state condotte in controllo di spostamento e in ogni prova sono stati
eseguiti più cicli di carico-scarico. Sono state considerate quattro viti, due per ogni lotto.
All’inizio della prova su ogni campione è stato imposto un precarico di -30 N, utile a non
fare perdere il contatto fra blocco e rullino durante fasi successive di scarico e carico. Ogni
ciclo è composto da una fase di carico fino ad un valore massimo determinato e da una fase
di scarico fino a -1 N. I valori di carico massimo raggiunti per i vari cicli sono: 350 N per i
primi due cicli, 400 N per il terzo, 450 N per il quarto, 500 N per il quinto e infine si è
caricato fino a plasticizzazione totale della sezione. La velocità di carico e di scarico
dell’attuatore è stata pari a 2 mm/min. Durante ogni prova sono stati registrati nel tempo
sia la forza misurata dalla cella di carico che lo spostamento misurato dal trasduttore
lineare di posizione. I dati del primo ciclo di carico-scarico di ogni prova sono stati
scartati, in quanto necessari per far assestare il contatto tra rullino e blocchetto. I valori di
spostamento sono stati elaborati in modo da annullare lo spostamento a 30 N del primo
ciclo di carico. I dati sono stati poi disposti su un grafico , recante sull’asse delle
ordinate i valori di forza, mentre sull’asse delle ascisse i valori di spostamento.
Dalle curve ottenute è stata calcolata la rigidezza flessionale del tratto lineare del primo
step di carico utile. Considerando il valore di forza, a cui tutte le curve sono ancora lineari,
come il 100%, la formula utilizzata per calcolare la rigidezza flessionale è :
dove e sono i valori di forza al 70% e al 40% di 350 N, mentre e i
valori di spostamento corrispondenti a quelle determinate forze.
È stata calcolata poi la forza di snervamento flessionale, cioè il valore di forza necessaria
per produrre uno spostamento residuo plastico di 0.002 volte il braccio di leva della prova
sperimentale. Il valore, come mostrato dalla Figura 3.17 presa dalla norma ASTM F2193
(2002), è ottenuto intersecando la curva sperimentale con una retta passante per tale
spostamento residuo plastico e inclinata come il tratto lineare iniziale della curva
sperimentale.
101
Figura 3.17: Metodo per il calcolo della forza di snervamento flessionale (punto C).
3.5.4. Prove a fatica
Al fine di studiare la risposta meccanica del dispositivo è stata eseguita una campagna
sperimentale a fatica, mirata a evidenziare come varia la risposta meccanica al variare del
rapporto di carico R (=Fmin/Fmax) e al variare del lotto di appartenenza.
Le prove a fatica sono state eseguite in controllo di forza imponendo sollecitazioni
sinusoidali a diversi rapporti di carico . Come impone la norma ASTM F2193 (2002), il
valore massimo del carico ciclico non deve eccedere la resistenza flessionale di
snervamento della vite testata, in modo tale da mantenere la risposta complessiva della vite
in campo lineare elastico. In questo modo le deformazioni plastiche sulla sezione della vite
rimangono limitate. Se ciò non fosse rispettato, sarebbe necessario procedere in controllo
di spostamento e adottare, successivamente, un approccio basato sulle deformazioni per lo
studio della fatica. I rapporti di carico utilizzati per le prove a fatica sono stati e
per le viti provenienti dal lotto rosso, per le viti provenienti dal lotto blu.
Tali valori corrispondono ad un carico pulsante dallo zero ( ) e ad un carico
alternato e simmetrico ( ). Tutte le prove sono state condotte in aria a temperatura
102
ambiente con frequenza massima di 30 Hz, conformemente alla norma ASTM F2193
(2002). La frequenza 5 Hz è stata utilizzata per il rapporto di carico -1 per evitare elevate
vibrazioni, dovute al gioco con cui il blocchetto è inserito fra i due rulli, al momento di
ogni inversione di carico. Questa frequenza consente, inoltre, di raggiungere i valori di
forza desiderati a fronte dell’incremento della deflessione applicata sulla vite con carico
alternato simmetrico: il carico massimo applicato con è infatti lo stesso delle
prove a .
La campagna delle prove a fatica è stata impostata nel modo seguente: per ogni livello di
carico sono stati testati almeno tre campioni; per ogni rapporto R e per ogni lotto di
provenienza delle viti sono stati testati almeno tre livelli di carico più uno in cui non si
sono registrate rotture prima dei 5 milioni di cicli, cioè il numero di cicli a fatica illimitata
scelto per le prove a fatica. Tale valore, essendo il doppio di quello suggerito dalla norma
ASTM F2193, fornisce un coefficiente di sicurezza maggiore rispetto alla norma. I livelli
di carico per ogni rapporto sono stati scelti partendo da un livello con forza massima
ancora nel tratto elastico lineare della curva statica ( N). Da qui, si è scesi nel
valore massimo ogni volta di 25 N fino a raggiungere il livello di carico a resistenza
illimitata. Individuato questo, sono state fatte due ripetizioni per il livello di carico a
resistenza illimitata e per i tre livelli appena sopra quest’ultimo. Il report complessivo della
campagna sperimentale è riassunto in Tabella 3.2.
103
Tabella 3.2: Report complessivo della campagna sperimentale a fatica svolta sulla vite peduncolare.
Le condizioni utilizzate per decretare la fine di una prova sono la propagazione di una
cricca oppure il raggiungimento del numero di cicli a fatica illimitata. La propagazione di
una cricca viene individuata utilizzando il seguente criterio:
con spostamento massimo corrente rilevato e spostamento massimo a regime rilevato
dopo i primi cicli di assestamento. Infatti, eseguendo le prove nel tratto lineare elastico
della curva statica, un aumento di spostamento può essere dovuto soltanto alla
propagazione di una cricca. Pur non rappresentando l’effettiva rottura, una volta propagata
la cricca, la rottura avviene dopo un numero trascurabile di cicli. Al termine di ciascuna
prova viene registrato il numero di cicli a cui si è giunti. Questi valori, associati al
livello di carico della prova espresso in termini di forza massima o di sola
componente alternata , possono essere rappresentati su un piano .
Dato che la rottura a fatica è un fenomeno probabilistico, per l’elaborazione dei risultati
ottenuti dalla campagna di prove è necessaria un’analisi statistica. L’analisi statistica
104
utilizzata in questo studio segue le indicazioni presenti nella norma ASTM E739 (2004).
Attraverso questa è possibile costruire il diagramma di Wöhler del dispositivo e delle
relative bande di confidenza per dati che presentano una relazione lineari o
linearizzabile attraverso l’utilizzo del logaritmo in base 10, come ad esempio:
oppure:
In questo caso è stata utilizzata la prima relazione in quanto non è stato necessario
utilizzare per linearizzare i dati.
Le ipotesi alla base dell’analisi sono le seguenti: i campioni testati sono casuali e
rappresentativi della popolazione da cui sono stati estratti; l’analisi non deve considerare
campioni giunti al numero di cicli a fatica illimitata senza rottura; il logaritmo della vita a
fatica è distribuito come una normale e la sua varianza costante nell’intervallo di
livelli di carico considerato. Nell’analisi il numero di cicli, espresso con , rappresenta
la variabile dipendente ed è indicata con Y; la forza, espressa in termini di o di , è
la variabile indipendente ed è indicata con X. Partendo da queste ipotesi, seguendo le
formule presenti nella norma, sono stati calcolati gli stimatori a massima verosimiglianza
dei coefficienti A e B, la stima della varianza della distribuzione di e le bande di
confidenza al 99% e al 95% della curva interpolante i dati sperimentali.
3.6. Modelli FEM
Nel seguito è descritta la costruzione del modello computazionale simulante la prova
sperimentale delineata precedentemente. In particolare, ne è stato generato uno per ogni
lotto di provenienza delle viti. Tali modelli si sono basati sui disegni CAD dei due
dispositivi -nominalmente identici, ma aventi in realtà delle discrepanze- descritti nella
105
sezione 3.3.2 e sulle proprietà del materiale ottenute nella sezione 3.4.2. Infine è riportata
l’elaborazione dei dati ottenuti dalla simulazioni.
3.6.1. Messa a punto della simulazione numerica
Il software utilizzato per la simulazione numerica sul modello di vite peduncolare
monoassiale sottoposta a una prova di flessione a sbalzo è stato SIMULIA ABAQUS
(versione 6.14), distribuito dalla Dassault Systèmes. Questo software è suddiviso in
moduli, ognuno dei quali definisce un aspetto del processo di modellizzazione secondo un
ordine logico. In generale, lo schema concettuale adottato nella costruzione e definizione
della simulazione numerica è il seguente:
Creazione o importazione della parte;
Assegnazione delle proprietà dei materiali;
Importazione nell’assembly:
Definizione degli step;
Assegnazione delle interazioni;
Creazione della mesh;
Assegnazione dei carichi e dei vincoli;
Esecuzione dei calcoli;
Analisi dei risultati.
Creazione delle parti
Il modello CAD della vite, generato nella precedente fase attraverso SOLIDWORKS, è
stato importato in ABAQUS con il formato ACIS (*.sat). Le altre parti del modello sono
state create direttamente nell’ambiente del software, in particolare nel modulo “Part”. È
stato quindi costruito un blocchetto di dimensioni uguali a quello reale, con caratteristiche
di corpo trdimensionale deformabile, e una superficie curva di raggio pari a quello
dell’elemento cilindrico reale (rullino) utilizzato per applicare il carico. Questa, per
riprodurre l’elevata rigidità dell’elemento cilindrico, è stata creata come superficie
analitica infinitamente rigida.
106
Assegnazione delle proprietà meccaniche
Dopo aver messo a punto le singole parti, sono stati definiti i materiali da assegnare alle
singole parti, in particolare alla vite e al blocchetto. In particolare, la vite è costituita da
una lega di titanio Ti-6Al-4V ELI, mentre il blocchetto da Polietilene. Per la superficie
curva, invece, essendo una parte rigida, non è stato necessario definire alcun materiale.
L’assegnazione del materiale alle singole parti avviene attraverso la definizione di
“sections”, cioè di un insieme di proprietà geometriche e fisiche, che vengono poi associate
a specifiche parti del modello. Avendo solamente due aree a cui assegnare diverse
proprietà del materiale, sono state definite due “sections”, entrambe di tipo “Solid” e
omogenee, dato che è stato assunto un comportamento isotropo dei materiali. Ad ogni
section sono stati assegnati i rispettivi parametri del materiale, che il software associa agli
elementi del modello corrispondenti. I parametri minimi da assegnare per un’analisi
puramente elastica sono il modulo elastico e il coefficiente di Poisson di ciascun
materiale. Il modulo elastico della lega di titanio, identificato attraverso le prove di
nanoindentazione descritte in 3.4.2, è di 111 GPa per le viti provenienti dal lotto rosso,
mentre 103 per quelle dal lotto blu, come riportato nella sezione 4.1.2 dei risultati. Per il
Polietilene è stato invece utilizzato un modulo elastico di 300 MPa, ottenuto da precedenti
prove di compressione su provini cubici dello stesso materiale. Il modulo di Poisson
utilizzato per i due materiali è di 0.33 per la lega di titanio (Cai et al., 2011) 0.4 per il
polietilene2.
Se invece si vuole svolgere un’analisi che comprende anche la plasticizzazione del
materiale, bisogna disporre almeno del valore di sforzo a cui il materiale si snerva, in
modo da definire il comportamento di un materiale elasto-perfettamente plastico. Questo
risulta il modello più semplice ed è quello che spesso è utilizzato per calcoli di prima
approssimazione in campo plastico. Per includere oltre a ciò anche una legge di
incrudimente del materiale, bisognerebbe disporre di un altro valore di sforzo con
corrispondente deformazione plastica residua dopo uno scarico perfettamente elastico da
tale valore di sforzo. In questo modo si definisce un modello di comportamento bilineare.
Entrambi i modelli sono rappresentati in Figura 3.18.
2 http://www.vinidex.com.au/technical/material-properties/polyethylene-properties/
107
Figura 3.18: Modello elastico-plastico ideale e modello bilineare per un materiale.
Disponendo di più valori di sforzo e rispettiva deformazione plastica residua è possibile
definire modelli che si avvicinano sempre di più al comportamento reale del materiale.
Tali informazioni non sono però note per la lega di Titanio di cui è costituita la vite
peduncolare. La strategia adottata per identificare tali parametri è stata quella di procedere
con soluzioni di tentativo con diversi valori di , valutando i valori di forza di
snervamento flessionali e confrontandoli con i valori sperimentali medi
.
Dopo aver calibrato , si è passati ad un modello di comportamento del materiale
bilineare, come quello mostrato in Figura 3.18, per cercare di riprodurre in modo più
accurato il tratto orizzontale della curva sperimentale. Questo tipo di modello di
materiale considera un incrudimento nel tratto plastico che dipende dalla pendenza data a
questo tratto. Tale pendenza è stata introdotta fissando il valore di deformazione plastica
residua , ottenuta dopo uno scarico completamente elastico, e variando il
valore sforzo che produce tale deformazione plastica residua. In particolare, alzando tale
valore la pendenza aumenta, abbassandolo la pendenza si riduce. I valori che permettono di
ottenere una vicina a quella sperimentale e allo stesso tempo di riprodurre in modo
accurato tutta la curva sono per entrambi i modelli: e .
Tale modello bilineare della lega Ti-6Al-4V ELI è stato utilizzato soltanto per la
simulazione delle prove statiche. Per quanto riguarda le simulazioni delle prove a fatica è
stato utilizzato un modello di materiale elastico ideale in quanto necessario per svolgere
un’analisi della fatica meccanica attraverso l’approccio stress-based.
108
Assemblaggio dei componenti
La fase successiva della costruzione del modello numerico è stata l’assemblaggio dei
componenti nel modulo “Assembly” in modo da riprodurre la prova sperimentale. Vite e
blocchetto sono stati assemblati operando una differenza booleana fra il modello
tridimensionale del blocchetto pieno e la vite . In questo modo è stato creato un blocchetto
forato che fa da madrevite alla vite peduncolare testata. Per riprodurre l’elemento di
trasmissione del carico sperimentale, sono state importate due identiche superfici analitiche
rigide: una è stata disposta sopra al blochetto, l’altra sotto al blocchetto. In Figura 3.19
sono riportati i modelli per entrambi i lotti della vite peduncolare.
Figura 3.19: Modelli di entrambi i lotti della vite peduncolare. Si ricorda che i due lotti posseggono
dimensioni nominali identiche a meno della distanza fra la filettatura e la testa della vite (leggermente
maggiore per il lotto BLU).
Definizione dello step
Nel modulo “Step” è scelto il tipo di analisi da effettuare. Dato che si tratta di un problema
di tipo statico, si è scelta l’opzione Static, General. Si è potuto utilizzare questa tipologia di
analisi in quanto il problema studiato presenta degli effetti d’inerzia trascurabili, come pure
i fenomeni tempo-dipendenti dati dalla presenza di un materiale visco-elastico come il
Polietilene.
Lo step di applicazione del carico è stato espresso normalizzato all’unità, il che significa
che la forza massima applicata si ha in corrispondenza dello step pari a 1. Per quanto
109
riguarda gli incrementi interni allo step, è stato imposto un incremento iniziale di 0.01, un
incremento minimo di 1*10-10
e un incremento massimo di 1. Nello step è stato anche
abilitato il modulo dedicato alle non-linerità geometriche: questo permette di considerare
variazioni non-lineari della rigidezza causate da deformazioni elvate o anche dall’utilizzo
di materiali non lineari. Questo modulo, pur appesantendo il modello, porta ad una
simulazione più raffinata.
Per quanto riguarda il metodo risolutivo per risolvere il sistema di equazioni del problema,
è stato scelto un metodo diretto, vale a dire un metodo che permette di risolvere il sistema
in un numero finito di passi. Il metodo di soluzione adottato è stato invece il metodo Full
Newton. Attraverso tale metodo, si procede nella soluzione per passi succcessivi di
equilibrio e ogni passo è scomposto ulteriormente in un serie di altri incrementi.
Definizione delle condizioni al contorno
Dal momento che il modello computazionale deve riprodurre la prova sperimentale cui il
pezzo è sottoposto, è necessario implementare le condizioni al contorno in modo il più
possibile aderenti alla realtà.
Nella prova sperimentale la testa della vite è completamente incastrata nell’elemento
inferiore del set-up. Dato che la parte di testa incastrata non subisce deformazioni, come
pure il set-up sperimentale a causa delle sezioni molto grandi e dell’elevata rigidità del
materiale con cui è costituito, tutta questa parte è stata trascurata dalla simulazione
numerica. In questo modo è stato ridotto il costo computazionale della simulazione. La
parte di testa incastrata è stata sezionata creando una partizione di volume, sulla cui
superficie derivante è stato applicato un vincolo d’incastro.
Il foro presente nel blocchetto di Polietilene reale è di diametro inferiore rispetto alla vite
in modo che questa, una volta inserita, sia incastrata in modo stabile nel blocchetto e che
non ci siano movimenti relativi fra i due pezzi durante la prova sperimentale. Per
riprodurre tale incastro nella simulazione numerica, è stato utilizzato un vincolo tie che
consente di legare due superfici in modo che non ci sia alcun moto relativo fra esse. In
particolare, la superficie interna del foro è identificata come superficie master, mentre la
superficie esterna della vite come superficie slave.
110
Fra blocchetto e superficie curva è stata invece implementata un’interazione di contatto. La
superficie curva è stata definita come superficie master, mentre la superficie del blocchetto
come superficie slave. Per definire completamente il contatto, è necessario imporre il
coefficiente di attrito tangenziale e la relazione fra pressione di contatto e distanza fra le
due superfici. Dato che il coefficiente di attrito reale fra cilindretto di applicazione del
carico e il blocchetto di polietilene non è noto, è stato necessario calibrare il modello per
confronto con le curve statiche sperimentali. Infatti, conoscendo i moduli elastici dei
materiali che entrano in gioco nella simulazione, l’unica grandezza rimanente è l’attrito
che può quindi essere calibrato. Avendo trovato in letteratura per un contatto
polietilene acciaio3, sono state fatte simulazioni per diversi valori di (
valutando la pendenza del tratto lineare inziale della curva Forza-Spostamento,
ottenuta graficando la forza applicata e lo spostamento misurato nel punto di applicazione
del carico. Questi valori sono stati confrontati con il valore medio ottenuto dalle prove
statiche sperimentali . In particolare, si è visto che è il valore che meglio
approssima la rigidezza sperimentale in entrambe i modelli numerici. Per questo motivo,
tale valore è stato scelto come coefficiente di attrito per le successive simulazioni. La
relazione fra pressione di contatto e distanza fra superfici scelta è quella di tipo hard
contact. Questo tipo di relazione, impedisce ai nodi della superficie “master” di penetrare
nella superficie master, mentre non viene imposta alcuna restrizione ai nodi della
superficie master.
Definizione del carico
L’applicazione del carico non avviene direttamente sulla superficie curva, ma su un punto
di riferimento appositamente creato e vincolato rigidamente a questa superficie. Il punto di
riferimento è vincolato a muoversi solo perpendicolarmente all’asse longitudinale della
vite in modo da riprodurre l’applicazione di carico nella prova sperimentale in cui
l’attuatore della macchina si muove solo assialmente mantenendo la stessa distanza rispetto
all’incastro applicato sulla testa della vite.
3 http://www.engineershandbook.com/Tables/frictioncoefficients.htm
111
Il carico imposto è stato definito in modo da riprodurre quello delle prove sperimentali.
Nella simulazione della prova statica è stato imposto un carico con andamento a rampa,
vale a dire che il carico varia in modo lineare durante lo step. Il valore massimo raggiunto
dalla rampa è stato di 650 N per il modello numerico della vite appartenente al lotto rosso e
600 N per il modello della vite appartenente al lotto blu. Per quanto riguarda le prove a
fatica, è stata utilizzata sempre una rampa in cui si è imposto il passaggio della soluzione
numerica per i livelli di carico testati sperimentalmente.
Discretizzazione
Data che i modelli generati per le due viti differiscono soltanto per la distanza di inizio
della filettatura rispetto alla testa, la mesh è stata costruita prima sul modello di vite
appartenente al lotto blu, poi è stata ricreata in modo identico sull’altro modello.
La mesh è stata creata in modo da avere una discretizzazione fitta nelle zone di maggiore
interesse, lasciando più rade le restanti. Questo permette di descrivere in modo più
accurato possibile gli sforzi presenti in queste zone. L’infittimento è stato fatto imponendo
un seeding maggiore in queste zone rispetto al resto della parte. Con il termine seeding
s’intende l’imposizione di una certa distribuzione di nodi su bordi/spigoli del modello;
infatti, il seeding può essere imposto solamente su questa tipologia di dettaglio geometrico.
L’elemento finito utilizzato per discretizzare il modello, sia per quanto riguarda la vite che
il blocchetto, è stato un elemento tetraedrico. Questa scelta è dovuta all’impossibilità di
usare elementi esaedrici a causa dell’elevata irregolarità di entrambe le geometrie. La mesh
sulla vite è stata creata utilizzando elementi quadratici a 10 nodi, mentre sul blocchetto
elementi lineari, a meno delle zone d’interazione fra le varie parti del modello discretizzate
invece con elementi quadratici.
Per far sì che lo sforzo ottenuto dalle simulazioni fosse rappresentativo di quello reale, è
stata fatta un’analisi di convergenza sulla mesh nei punti della vite dove gli sforzi sono
massimi. Questi, situati alla base delle creste dei filetti esterni, sono anche i punti in cui è
stata osservata la rottura sperimentale a fatica per un determinato rapporto di carico.
Attraverso delle partizioni di volume, come quelle mostrate in Figura 3.20, sono state
isolate tali zone in modo da garantire un seeding più efficace e un controllo maggiore della
112
dimensione degli elementi. Dopo di che, per seeding sempre più fitti sono state fatte delle
simulazioni di flessione a sbalzo e sono stati valutati gli sforzi. La mesh è stata definita a
convergenza quando la differenza registrata nei valori di sforzo, fra una mesh e il suo
infittimento è inferiore al 5%.
Figura 3.20: Partizioni di volume per isolare e seminare con un seeding più fitto le zone sotto la cresta.
Come si può vedere dalla figura, fra fondo filetto e cresta del filetto è presente uno spigolo
molto pronunciato. Nella geometria reale del pezzo questo spigolo vivo sembra essere
raccordato con un raggio di raccordo molto ridotto, avente dimensioni che non è stato
possibile individuare. In presenza di questo spigolo, si è visto che, pur infittendo tali zone
con elementi aventi spigoli fino a 0.025 mm, gli sforzi massimi nei pressi della base della
cresta si concentrano sempre su un’unica fila di elementi e crescono continuamente senza
convergere. Questo fa si che il valore di sforzo ottenuto risulti inaffidabile.
Per ovviare all’inevitabile concentrazione di sforzo, si è deciso di inserire nel disegno CAD
della vite un raccordo di raggio 0.1 mm fra la cresta e il fondo della filettatura. Su questa
nuova geometria della vite sono state create delle partizioni identiche a quelle mostrate in
Figura 3.20. Il nuovo raccordo è stato discretizzato con un numero di elementi crescente
fino alla convergenza dei valori di sforzo. In particolare, il raccordo è stato discretizzato
prima con un solo elemento, poi con due ed infine con quattro elementi. La convergenza è
stata raggiunta discretizzando il raccordo con 2 elementi, come mostrato in Figura 3.21.
113
Figura 3.21: Raccordo di raggio 0.1 mm discretizzato con due elementi.
Dato che ai fini dello studio non è d’interesse il comportamento del blocchetto di
Polietilene, la mesh su questa parte è stata lasciata rada, con un seeding globale di 1.5 mm.
Le uniche zone del blocchetto in cui è stata creata una mesh leggermente più fitta sono
state le partizioni create in prossimità di superfici soggette ad interazioni con altre parti del
modello. In particolare, queste sono la zona che fa da slave nel contatto con la superfice di
applicazione del carico, seminata con un seeding locale di 0.5 mm, e la zona che fa da
master nel tie con la superficie filettata della vite, seminata con un seeding locale di 0.6
mm.
Un volta realizzata la mesh sul modello di vite appartenente al lotto blu, questa è stata
ricreata nello stesso modo sul modello di vite del lotto rosso. Il report complessivo del
numero di nodi ed elementi per i due modelli è mostrato in Tabella 3.3. In Figura 3.22
sono, invece, riportate le mesh di entrambi i modelli.
114
Tabella 3.3: Report complessivo della discretizzazione di entrambi i modelli.
Figura 3.22: Visione globale di entrambe le mesh generate sui due modelli.
3.6.2. Elaborazione dei risultati statici
In questa sezione viene presentata l’elaborazione dei risultati ottenuti dalle simulazioni
numeriche impostate precedentemente riproducenti le prove sperimentali statiche.
I valori di Forza e spostamento, ottenuti dal punto di applicazione del carico nel modello
numerico, sono stati disposti su un grafico come fatto per le prove sperimentali.
Sempre seguendo l’iter svolto sui risultati delle prove sperimentali, sono stati calcolati i
115
valori di rigidezza flessionale del tratto lineare iniziale e i valori di forza di
snervamento flessionale .
3.6.3. Criteri a fatica: Goodman e Sines
In questa sezione viene presentata l’elaborazione dei risultati delle simulazioni numeriche
per l’implementazione dei criteri a fatica multiassiali di Goodman e di Sines, introdotti
nella sezione 2.5.1. I valori di sforzo calcolati dal modello numerico sono stati elaborati
per creare i diagrammi sul piano di Haigh relativi ai due criteri a (fatica limitata)
e a (fatica illimitata); questi sono stati poi confrontati con le
relative curve limite ottenute per un materiale dello stesso tipo preso da letteratura. In
sezione 4.3.3 è riportata la correzione dei valori di sforzo del modello numerico per tenere
conto dell’effetto della sensibilità all’intaglio a fatica .
Ricordando le espressioni introdotte nella sezione 2.5.1, si ha che il criterio di Goodman è
espresso da:
mentre il criterio di Sines da:
(
)
con e
gli sforzi equivalenti dei due criteri.
Entrambi i criteri utilizzano lo sforzo alternato di Von Mises per la componente
alternata equivalente, mentre per quella media, il primo, utilizza l’invariante primo di
sforzo , il secondo, lo sforzo medio di Von Mises . I diagrammi relativi ai due
criteri sono stati implementati attraverso uno script realizzato in MATLAB. Lo script
prende in ingresso le componenti del tensore degli sforzi estrapolate in corrispondenza dei
nodi del modello ad elementi finiti, li elabora per ottenere , e , ed infine fa
corrispondere ad ogni nodo del modello un punto sul piano di Haigh , costruendo
delle nuvole di punti. Per chiarezza, le nuvole di punti sono state costruite soltanto per i
116
filetti in cui è stata osservata la rottura sperimentale. I valori di sforzo nodali da passare
allo script sono quelli ottenuti dal modello numerico a determinati livelli di carico, ottenuti
a loro volta dalle curve di Wöhler sperimentali a e a . In
particolare, da queste ad un numero di cicli fissato viene estratto il livello massimo ; il
livello minimo è ottenuto, invece, attraverso il rapporto di carico in questo modo:
Imponendo il passaggio della simulazione numerica per e si hanno a
disposizione i valori di sforzo nodale cercati. Da questi valori, lo script calcola componente
media e alternata dello sforzo e tutte le grandezze necessarie per la costruzione delle
nuvole di punti dei due criteri ( , e ). Dato che per la vite proveniente dal
lotto rosso sono state eseguite prove a fatica per ed , i diagrammi relativi
ai criteri multiassiali saranno costituiti da due nuvole di punti, una per ogni rapporto di
carico; per la vite appartenente al lotto blu si avrà soltanto la nuvola di punti del rapporto
di carico .
Confronto con da letteratura
Tali grafici, rappresentati come nuvole di punti, sono stati confrontati con delle curve
limite del materiale, generate utilizzando le equazioni introdotte in 2.4.1. Fra queste, è stata
utilizzata la curva del criterio ellittico in quanto più adatta rispetto alle altre in fase di
verifica di un componente. Per tracciare tale curva è necessario disporre delle proprietà
meccaniche statiche e a fatica del materiale. Dato che per la lega di titanio, con cui sono
fatte le viti, non si dispone di tali valori, è stato necessario utilizzare dei valori presi da
letteratura. In particolare, come si può vedere in Tabella 3.4, i valori di e per una
lega di titanio Ti-6Al-4V ELI possono essere molto vari.
117
Tabella 3.4: Valori di e per una lega di titanio Ti-6Al-4V ELI trovati in letteratura.
Dato che il modo di carico unico della vite peduncolare è la flessione, i valori di sforzo
limite assiali devono essere corretti con coefficienti opportuni per tenere conto della
minore pericolosità di un carico flessionale. Nella sezione 2.4.2 si è visto che per passare
da un limite di resistenza assiale ad uno flessionale è necessario dividere per
.
Data l’elevata variabilità dei dati presenti in letteratura, anziché di un’unica curva limite, è
stata tracciata una banda in modo da rappresentare tutte le possibili proprietà meccaniche
della lega Ti-6Al-4V ELI. Per fare questo, dai valori riportati in Tabella 3.4 sono stati
selezionati per ogni vita a fatica considerata ( , ) due materiali: uno
avente maggiori proprietà meccaniche ( , ), l’altro inferiori ( ,
. In particolare, per a è stato scelto il range proposto da
Niinomi et al. (1998):
Per è stato scelto, utilizzando l’equazione di Basquin:
118
Per lo sforzo a rottura è stato scelto il range proposto da Niinomi et al. (1998) con
e per entrambe le vite a fatica. Inserendo tali
valori nell’equazione della curva limite ellittica, data da:
( )√ (
)
sono state costruite le bande per i due livelli di vita a fatica considerati.
Il significato di tale rappresentazione sta nel fatto che se la nuvola di punti del modello ad
elementi finiti eccede la banda, il criterio utilizzato (Goodman o Sines) predice la rottura
della vite anche considerando un materiale dalla buone proprietà meccaniche. Se i punti del
modello ad elementi finti stanno all’interno della banda, il criterio suggerisce che la vite
può sopravvivere in quanto, in letteratura, sono disponibili dei materiale con sufficienti
proprietà meccaniche. Infine, se la nuvola di punti sta al di sotto della banda, il criterio
predice la sopravvivenza del dispositivo in quanto sono disponibili in letteratura materiali
con adeguate proprietà. I risultati delle predizioni sono da confrontare con le evidenze
sperimentali, in cui, si ricorda, a sotto i carichi imposti nella prova, poi riprodotti
nel modello numerico, la vite si rompe; a invece no.
Sempre attraverso tali proprietà del materiale, in ABAQUS sono state create delle mappe
cromatiche riportanti gli sforzi equivalenti di Goodman. e di Sines
:
(
)
119
Il vantaggio di una simile procedura è il fatto di poter visualizzare direttamente sul pezzo i
punti soggetti ad un maggiore rischio di rottura per fatica. Questo è stato fatto servendosi
di sue grandezze disponibili direttamente tra i risultati della simulazione:
lo sforzo di Von Mises ;
la variabile pressure , legata all’invariante primo degli sforzi dalla relazione:
Dai valori di e ottenuti ai livelli di carico e , estratti sempre dalle curve di
Wöhler sperimentali, sono stati definiti:
{
in cui e sono i valori ottenuti a , mentre e sono i valori
ottenuti a . Imponendo nelle equazioni degli sforzi equivalenti:
le espressioni finali degli sforzi equivalenti di Sines e Goodman risultano:
(
)
(
)
120
121
Capitolo 4
Risultati e Discussione
4.1. Caratterizzazione del materiale
4.1.1. Sezione metallografica
L’analisi metallografica, come si può vedere in Figura 4.1 e in Figura 4.2, ha evidenziato
una struttura equiassica molto fine (dimensione grano dell’ordine dei micrometri)
caratterizzata da una matrice omogenea di fase α (chiara) in cui sono dispersi finemente
grani di fase β (scuri). Tale microstruttura è in linea con le indicazioni della normativa
ASTM F136 (2011) e risulta paragonabile a precedenti analisi svolte su dispositivi spinali
in lega di titanio (Bernabai et al., 2012). Se nella sezione trasversale non si notano
particolari differenze fra le microstrutture provenienti dai due diversi lotti (Figura 4.1),
nella sezione longitudinale si (Figura 4.2). Le sezioni trasversali P presentano una struttura
del tutto simile a T, per questo motivo non sono state riportate.
122
Figura 4.1: Fotografie al microscopio ottico della sezione metallografica trasversale di due viti, una per lotto,
a ingrandimenti di 500 e 1000x.
123
Figura 4.2: Fotografie al microscopio ottico della sezione metallografica longitudinale di due viti, una per
lotto, a ingrandimenti di 500 e 1000x.
124
Le differenti microstrutture che si possono avere in una lega di titanio sono generate da
trattamenti termomeccanici. Questi non sono altro che delle complesse sequenze di
deformazione, ricottura e invecchiamento schematizzate in Figura 4.3.
Figura 4.3: Rappresentazione schematica dei trattamenti termo-meccanici cui una lega di titanio può andare
incontro (Leyens et al., 2003).
La microstruttura osservata sulla vite peduncolare avviene quando il materiale è soggetto
ad un trattamento meccanico di deformazione plastica in fase α-β seguito da uno termico di
ricottura. In particolare, quest’ultimo consiste nel portare il materiale a una temperatura
inferiore alla temperatura di transizione dalla fase α alla fase β, mantenerlo a questa
temperatura per un tempo determinato per poi raffreddarlo. All’aumentare del tempo di
ricottura, la dimensione dei grani si fa sempre più grossolana. Nel nostro caso, essendo in
presenza di una grana fine, è più probabile un tempo di ricottura non molto elevato.
Operando invece un raffreddamento a partire da temperature superiori a quella di
transizione, si ha la formazione di una struttura lamellare, con dimensione delle lamelle
che varia a seconda delle velocità di raffreddamento. Infatti, all’aumentare della velocità di
raffreddamento, la grandezza delle lamelle si riduce.
125
Riguardo alle proprietà meccaniche delle due microstrutture, una struttura equiassica
garantisce una resistenza meccanica, una duttilità e una resistenza alla propagazione di
cricca maggiore, mentre una microstruttura lamellare comporta invece una tenacità a
rottura maggiore (Leyens et al., 2003). Tali proprietà per le due differenti microstrutture
sono confermate anche da Chao and López (2006). Come si può vedere in Tabella 4.1,
infatti, le proprietà meccaniche ottenute su Ti-6Al-4V avente una microstruttura
equiassica, in particolare fine, sono maggiori di quelle di una microstruttura lamellare, a
meno soltanto della tenacità prima della rottura. Accanto a ciò, viene descritta anche una
riduzione del 30 % nella resistenza a fatica di un materiale con microstruttura lamellare,
rispetto ad uno con microstruttura equiassica.
Tabella 4.1: Proprietà meccaniche ottenute su due provini di Ti-6Al-4V aventi diversa microstruttura (Chao
and López, 2006)
A causa delle proprietà meccaniche appena viste, le norme riguardanti i materiali per
applicazioni biomedicali, come ad esempio la ASTM F136 (2011), suggeriscono di evitare
una microstruttura lamellare in favore di una microstruttura finemente dispersa di α e β.
Quanto alle differenze fra lotto rosso e lotto blu, sulla sezione trasversale le due
microstrutture sono praticamente identiche. Sulla sezione longitudinale, invece, la
microstruttura del lotto rosso non mostra differenze rispetto alla sezione trasversale; quella
del lotto blu appare, invece, con delle fasi visibilmente allungate in direzione verticale. Si
fa notare come la direzione verticale è anche la direzione di sviluppo della filettatura;
pertanto tale allungamento può essere dovuto all’estrusione del semilavorato, da cui poi è
stata ricavata la vite per asportazione di truciolo. Questo fa pensare a un possibile
comportamento anisotropo del materiale del lotto blu. Si ricorda che nel modello ad
elementi finiti i materiali di entrambi i modelli sono stati assunti isotropi.
126
4.1.2. Nanoindentazioni
In questa sezione sono riportati i risultati delle prove di nanoindentazione. In particolare,
sono riportati gli andamenti del modulo elastico ridotto e della durezza al variare del livello
di carico e della distanza dal bordo della sezione.
In Figura 4.4 è possibile osservare il risultato delle impronte lasciate sul materiale
dall’indentatore dopo un esperimento di studio dell’effetto del carico. In particolare, si può
notare una matrice 5x5 di impronte data dai 5 livelli di carico massimo indagati, ognuno
dei quali ripetuto 5 volte. Nel caso delle prove a 25 mN, dato il valore molto basso di
carico, le impronte lasciate dall’indentatore non sono visibili a causa della elevata rugosità
superficiale del campione. A livelli di carico più elevati, invece, è possibile notare
l’impronta triangolare caratteristica di una punta Berkovich.
Figura 4.4: Matrice 5x5 di impronte lasciate dall’indentatore Berkovich dopo uno studio dell’effetto del
livello di carico.
127
Effetto del livello di carico
In Figura 4.5 si nota una riduzione del modulo elastico ridotto al crescere del carico,
mentre per la durezza , invece, non sembra esserci un trend chiaro. Analizzando i risultati
sperimentali attraverso un T-test, in tutte le sezioni indagate, è stata trovata una riduzione
statisticamente significativa del modulo elastico ridotto al crescere del livello di carico, a
meno dei livelli a 200 e 300 mN dove il valore si assesta. Questo fenomeno, noto con il
nome di size effect, indica una stabilizzazione di oltre i 100 mN. Anche fra sezioni P e T
di uno stesso lotto a pari valore di carico massimo non si riscontra pressoché alcuna
differenza statisticamente significativa. L’elaborazione dei risultati riguardanti la durezza
ha mostrato una differenza statisticamente significativa soltanto fra il livello di carico
300 mN e gli altri.
Figura 4.5: Andamento del modulo e della durezza al variare del livello di carico sia per il campione
del lotto rosso (2) che per quello del blu (3) per le seziondi di testa (T) e punta (P).
Risultati molto simili sono stati trovati in Cai et al. (2011), dove, in prove eseguite su una
lega di titanio Ti-6Al-4V, il modulo elastico si mantiene all’incirca costante per carichi
compresi fra 100 e 300 mN, mentre la durezza tende a decrescere.
128
Effetto della distanza dal bordo
I risultati delle nanoindentazioni al crescere della distanza dal bordo, riportati in Figura 4.6,
non mostrano trend statisticamente significativi.
Figura 4.6: Andamento del modulo e della durezza al crescere della distanza dal bordo.
Tale mancanza di un chiaro trend di variazioni di e di può essere dovuta o
all’effettiva assenza di variazioni nelle proprietà meccaniche, oppure anche al livello di
carico ridotto utilizzato (25 mN) che non è in grado di cogliere leggere differenze a causa
della dispersione dei risultati. Si tenga conto che a questo affondamento i risultati risultano
particolarmente dispersi e sono sicuramente affetti dall’elevata rugosità della sezione del
campione indentato. Peraltro, a questo stesso livello di carico le differenze statistiche fra i
due lotti in termini di si perdono.
129
Effetto del lotto
Combinando i risultati sperimentali di P e T di un medesimo lotto, è emersa una differenza
statisticamente significativa di fra lotto rosso e lotto blu in tutti i livelli di carico, con il
valore del lotto rosso mediamente più elevato del 6.9% rispetto al blu (Tabella 4.2). Per
quanto riguarda la durezza , fra lotti differenti invece è stata trovata una differenza
statisticamente significativa in tutti i livelli di carico, ad eccezione di 50 mN. Il valore del
lotto rosso è apparso mediamente più elevato rispetto al blu (4.8±0.2 GPa e 4.5±0.1 GPa,
rispettivamente, a 300 mN).
La differenza statisticamente significativa fra i due lotti ha permesso di calcolare il modulo
elastico della lega Ti-6Al-4V ELI per i due diversi lotti a partire dal modulo ridotto
medio a 300 mN. Questo è stato fatto utilizzando la formula introdotta in 3.4.2:
(
)
Il valore di ottenuto per lotto rosso e lotto blu mostrato in Tabella 4.2.
Tabella 4.2: Modulo elastico per i due lotti ottenuto da a 300 mN. È indicata anche la
deviazione standard dei valori di .
Si può vedere come il materiale proveniente dal lotto rosso appare molto più rigido di
quello del lotto blu. Entrambi i valori, e , sono in linea con i valori di
modulo elastico che si ritrovano in letteratura per una lega Ti-6Al-4V ELI (Niinomi,
1998).
130
4.2. Analisi statica
In questa sezione sono riportate le curve Forza-Spostamento ottenute dalle prove
sperimentali statiche carico-scarico e dalle simulazioni computazionali. Su tali curve, è
stata calcolata la rigidezza e la forza di snervamento flessionale .
4.2.1. Prove sperimentali
Le curve carico-scarico sperimentali, riportate in Figura 4.7 e in Figura 4.8, mostrano come
le viti provenienti dal lotto rosso raggiungano a parità di spostamento valori di forza
maggiori. Questo è un indice della maggior rigidezza a flessione delle viti appartenenti al
lotto rosso.
Figura 4.7: Curve ottenute da prove sperimentali statiche per il lotto di viti rosso.
131
Figura 4.8: Curve ottenute da prove sperimentali statiche per il lotto di viti blu.
I valori di rigidezza , calcolati sulle curve sperimentali e mostrati in Tabella 4.3 e
Tabella 4.4, rivelano una risposta mediamente più rigida (maggiore dell’ 8%) per le viti
appartenenti al lotto rosso rispetto al lotto blu. I valori di forza di snervamento flessionale
, mostrati sempre in Tabella 4.3 e Tabella 4.4, non mostrano differenze
statisticamente significative fra i due lotti. La differenza percentuale fra valor medio del
lotto rosso rispetto al blu è di 1.8 %, che è minore della dispersione osservata per il lotto
blu 2.2%.
Tabella 4.3: Valori di rigidezza flessionale e forza di snervamento ottenuti dalle prove statiche
sperimentali sul lotto rosso.
132
Tabella 4.4: Valori di rigidezza flessionale e forza di snervamento ottenuti dalle prove statiche
sperimentali sul lotto blu.
Su una configurazione di prova molto simile e su viti peduncolari in lega di titanio, i
risultati ottenuti da Chen et al.(2008), raggiungono valori di intorno a 200-300
N/mm, mentre di anche intorno a 600-800 N. Per effettuare un confronto diretto
fra le due prove, è necessario introdurre parametri di prova più precisi. In particolare, il
braccio di leva utilizzato da Chen et al. (2008) è di , contro un
utilizzato in questo studio. Inserendo tali valori nelle formule per il calcolo della rigidezza
flessionale della vite e per il momento flettente di snervamento , presenti nella
norma ASTM F2193 (2002), tale per cui:
i valori di tali grandezze ottenuti nel nostro studio sono molto minori di quelli di Chen et
al. (2008). In particolare, infatti, i diametri e le lunghezze delle viti di Chen et al. (2008),
indicativi di un utilizzo nel tratto lombare, sono tutti maggiori rispetto a quelle di questo
studio che sono indicate per i tratti cervicale e toracico alto.
Tornando alle differenze osservate nelle risposte date dalle viti appartenenti ai due lotti, di
cui un confronto diretto delle curve è mostrato in Figura 4.9, si è visto che le curve
ottenute dal lotto rosso presentano la parte lineare elastica iniziale più rigida, cioè più
elevato, e raggiungono nella parte plastica dei valori di forza più alti a parità di
spostamento. Per quanto per tali motivi ci si possa aspettare anche una forza di
133
snervamento maggiore, i risultati sperimentali restituiscono valori simili e, anzi, la
prova 1 del lotto blu presenta un valore maggiore rispetto a tutti gli altri.
Figura 4.9: Confronto diretto fra prove sperimentali sui due lotti.
Le ragioni di tali differenze nel valore di sono da ricercare sia nella geometria delle
due viti che nel materiale, entrambi diversi come visto nella sezione 3.3.1 e 4.1. Infatti,
nella vite appartenente al lotto rosso già solo il materiale, con modulo elastico più
elevato, tende a produrre di per sé un aumento di rigidezza del tratto lineare iniziale.
Aggiungendo poi la geometria, che, presentando una filettatura spostata verso il punto di
applicazione del carico (pur mantenendo inalterata la distanza relativa fra carico e vincolo),
determina un momento d’inerzia complessivo della vite maggiore.
Il fatto che i due lotti presentino valori di simili ma tratti plastici differenti può
dipendere dal fatto che il materiale del lotto rosso snervi per valori di sforzo leggermente
più bassi, rispetto a quello blu, ma presenti comunque un tratto di incrudimento a pendenza
maggiore. Tale situazione è schematizzata in Figura 4.10.
134
Figura 4.10: Legami costitutivi per i materiali dei due lotti che spiegano le curve sperimentali.
Questa lettura della situazione risulta non è in linea con il fatto che la durezza del materiale
è correlata alla snervamento (Boyer et al. 1994). Infatti, il lotto rosso, come visto in 4.1.2,
avendo una durezza significativamente maggiore del lotto blu dovrebbe avere anche uno
sforzo di snervamento maggiore. Ma ciò vale per i valori di snervamento a compressione,
che, siccome le leghe di titanio non hanno un comportamento simmetrico (Gilles et al.,
2012), non sono uguali a quelli a trazione. In aggiunta, dalle simulazioni numeriche con
materiale plastico riportate in 4.2.2, si vede che, utilizzando un materiale con
comportamento plastico identico fra i due lotti, il valore di per il modello rosso
appare maggiore del 3% rispetto a quello del modello blu, quando invece nella realtà sono
identici. Questo significa che il valore di snervamento del materiale del lotto rosso può
potenzialmente essere minore di quello del lotto blu.
4.2.2. Simulazioni numeriche
Le riportate in Figura 4.11 e Figura 4.12 , mostrano come variano le curve ottenute
dal modello ad elementi finiti variando il modello di materiale assegnato alla vite
peduncolare. In particolare, si confrontano un modello lineare elastico, che verrà poi anche
135
utilizzato nella successiva analisi a fatica, un modello elastico-perfettamente plastico e un
modello bilineare, vale a dire plastico con incrudimento.
Figura 4.11: Curve ottenute dal modello FEM della vite appartenente al lotto rosso per diverse
tipologie di materiale inserito nel modello.
Figura 4.12: Curve ottenute dal modello FEM della vite appartenente al lotto blu per diverse tipologie
di materiale inserito nel modello.
136
Tali curve mostrano come fino ad una forza queste siano quasi totalmente
sovrapponibili, sia nel modello della vite appartenente al lotto rosso che al lotto blu.
Questo fatto dimostra che fino a tale valore di forza le deformazioni plastiche sulla sezione
della vite sono piccole e possono quindi essere trascurate: questo è particolarmente
importante per l’utilizzo di un approccio basato sugli sforzi nel successivo confronto con le
prove a fatica. Superato tale valore forza, in particolare per valori oltre la , la
plasticizzazione della vite diventa via via più estesa e i modelli che effettivamente tengono
conto della plasticità del materiale si separano da quella totalmente elastica. Infine a
si ha una successiva separazione delle curve: quella superiore, che tiene meglio
conto dell’incrudimento del materiale attraverso un modello bilineare meglio le curve
sperimentali, rispetto ad un modello perfettamente plastico.
Confrontando i modelli per il lotto rosso e per il lotto blu, in cui è stato inserito un modello
comportamentale bilineare per la lega di titanio, si vede come il modello della vite
appartenente al lotto rosso produca una maggiore del 10%, una maggiore
del 3% (Tabella 4.5) e raggiunga nel tratto orizzontale plastico della curva valori di forza
più elevati a parità di spostamento (Figura 4.13).
Tabella 4.5: Valori di rigidezza flessionale e forza di snervamento ottenuti dal modello ad
elementi finiti.
137
Figura 4.13: Confronto fra simulazioni ottenute sui due modelli FEM per i diversi lotti, imponendo un
comportamento plastico del materiale identico.
4.2.3. Confronto sperimentale-numerico
Sovrapponendo le curve computazionali a quelle sperimentali (Figura 4.14, Figura 4.15), si
vede come i modelli ad elementi finiti, costruiti per entrambi i lotti in modo da cogliere le
differenze in termini di proprietà elastiche e geometria, riescano a riprodurre il relativo
comportamento sperimentale. Se nel lotto blu le curve sono praticamente sovrapponibili,
nel lotto rosso, la curva computazionale sembra piegare leggermente dopo di quella
sperimentale. In entrambi i lotti, comunque, la parte di curva plastica orizzontale oltre i 3
mm è del tutto confrontabile fra computazionale e sperimentale.
138
Figura 4.14: Confronto fra prove sperimentali (EXP) e modello ad elementi finiti (FEM) per la vite
appartenente al lotto rosso.
Figura 4.15: Confronto fra prove sperimentali (EXP) e modello ad elementi finiti (FEM) per la vite
appartenente al lotto blu.
139
Considerando ora dati più quantitativi, i valori di rigidezza e di forza di snervamento
sono tutti prossimi al range ottenuto sperimentalmente (Tabella 4.6). L’unico che
si discosta maggiormente, come per altro già osservato qualitativamente in Figura 4.14, è il
valore di del modello rosso. Tale valore presenta comunque una differenza
percentuale inferiore al 5% rispetto allo sperimentale.
Tabella 4.6: Valori di rigidezza flessionale e forza di snervamento ottenuti dal modello ad
elementi finiti e confrontati con i valori sperimentali.
La situazione descritta in Figura 4.14, Figura 4.15 e in Tabella 4.6 mostra due modelli ad
elementi finiti molto vicini al relativo comportamento reale sperimentale dei due lotti.
L’unico aspetto che differenzia maggiormente il computazionale dallo sperimentale è il
valore di . Infatti, se nel caso sperimentale veniva pressoché identico per i due lotti,
nei modelli FEM appare quello del lotto rosso è inferiore del 3% a quello del lotto blu.
Questo dipende dal fatto che sono stati utilizzati gli stessi parametri per descrivere la
plasticità dei due materiali. Tali valori di snervamento trovano per altro riscontro con i dati
di letteratura raccolti in Tabella 3.4 e soddisfano le proprietà meccaniche minime descritte
nella norma ASTM F136 (2011).
Anche riducendo il valore di nel modello FEM del lotto rosso a 800 MPa, si ottiene
una di 396 N/mm, diversa da quella sperimentale dell’ 1.5%. In questo modo però,
tutto il tratto plastico iniziale del modello FEM sottostima quello sperimentale, anche se
per spostamenti superiori a 3mm le curve tornano a sovrapporsi. Con questa scelta si
riproduce bene la prima parte plastica, con quella precedente si riproduce meglio il tratto
140
plastico successivo. Procedendo con un’ulteriore approssimazione si potrebbe
incrementare l’accordo fra la previsione numerica con la misura sperimentale,
incrementando ulteriormente la pendenza della risposta plastica del materiale della vite
proveniente dal lotto rosso.
4.3. Analisi a fatica
4.3.1. Prove sperimentali
In questa sezione sono presentati i risultati della campagna sperimentale a fatica in modo
da cogliere l’effetto del rapporto di carico
a parità di lotto di provenienza delle
viti e l’effetto del lotto a pari rapporto di carico .
Per quanto riguarda il punto di innesco e propagazione della cricca, questo è stato
individuato in diverse posizioni a seconda del rapporto di carico (Figura 4.16). In
particolare, con è stato individuato alla base della cresta del primo filetto, con
, invece, al centro del secondo filetto. Quest’osservazione si conferma
indipendentemente dal lotto di appartenenza della vite.
141
Figura 4.16: Punti di innesco e propagazione della cricca osservati sperimentalmente per i rapporti di carico
e .
Siccome le prove sono state eseguite a livelli di carico distanti ognuno 25 N, non è
possibile sapere con precisione il limite di forza a fatica illimitata. Le curve mostrano un
marcato cambio di comportamento passando dal tratto a termine ( ) a quello a
fatica illimitata. Questo gomito è tipico delle leghe di titanio (Kallmeyer et al., 2002), che
mostrano un tratto a fatica illimitata leggermente pendente (Figura 2.6 del Capitolo 2):
fatto che rende ancora più difficile e dispendioso (in termini di numero di campioni e
tempo di prova) caratterizzare questa parte del grafico in modo dettagliato.
Effetto del rapporto di carico
La risposta a fatica delle viti provenienti dal lotto rosso dimostra che il carico medio ha
effetto molto importante (Figura 4.17). A parità di carico massimo applicato, una vite
caricata con carico pulsante ( ) resiste maggiormente di un’altra caricata con carico
alternato simmetrico ( ). Di conseguenza, la curva per è più bassa di circa
100 N.
142
La dispersione dei risultati ottenuti su entrambi i rapporti di carico mostra valori coerenti.
A meno del rapporto di carico , per cui sono stati testati solo 9 campioni su 3 livelli
di carico, le bande di confidenza ottenute sugli 11 campioni testati su 5 livelli di forza con
mostrano valori meno dispersi.
Figura 4.17: Punti sperimentali della campagna a fatica sul lotto rosso per due diversi rapporti di carico, con
curve di interpolazione del tratto a termine al 50% e relative bande di confidenza al 95%. Per ciascun
campione rotto si utilizzano indicatori pieni, mentre per quelli che hanno raggiunto fatica illimitata ( cicli) si usano indicatori vuoti e il numero di ripetizioni.
Tale effetto dato dal rapporto di carico si spiega con il fatto che, aggiungendo sempre più
componente media a una sollecitazione, si arriva al limite a una sollecitazione sopportabile
dalla vite che presenta una forza media ( : forza di rottura statica) e una forza
alternata . Questa è la situazione statica, in cui, avendo una componente alternata
nulla, il materiale cede soltanto quando si oltrepassa il limite di rottura. Tale aspetto è
spiegato in Figura 4.18, dove sono rappresentate le sollecitazioni sinusoidali limite per un
determinato numero di cicli, oltre le quali si ha rottura, per diversi valori di componente
media. Si vede come, aumentando la componente media, la forza massima sopportabile dal
dispositivo aumenta. Questo non è però l’unico effetto. Infatti, si nota come, aumentando
143
la componente media, la componente alternata sopportabile si riduce fino ad arrivare a zero
come nel caso statico.
Figura 4.18: Sollecitazioni sinusoidali limite per un determinato numero di cicli e per diversi valori di
componente media.
Effetto del lotto di provenienza
Le prove eseguite a parità di rapporto di carico ( ) sui due lotti, dimostrano che viti
provenienti dal lotto blu resistono meno rispetto a quelle del lotto rosso (Figura 4.19).
Inoltre, la dispersione fra i risultati è coerente per ciascun gruppo, ad indicare che il
metodo di prova è affidabile da individuare questa differenza di comportamento per i due
gruppi.
144
Figura 4.19: Punti sperimentali della campagna a fatica per uno stesso rapporto di carico sui due lotti
differenti, con curve di interpolazione del tratto a termine al 50% e relative bande di confidenza al 95%. Per
ciascun campione rotto si utilizzano indicatori pieni, mentre per quelli che hanno raggiunto fatica illimitata
( cicli) si usano indicatori vuoti e il numero di ripetizioni.
Questa diversità di comportamento a fatica è dovuta ad una combinazione di geometria e
proprietà meccaniche del materiale, vale a dire negli aspetti per cui i due lotti si
differenziano. Il materiale, come mostrato nella sezione 4.1, presenta una microstruttura
leggermente diversa, un modulo elastico e una durezza con differenze statistiche
significative. Per questo motivo non è da escludere che anche le proprietà del materiale a
fatica possano essere effettivamente diverse. La geometria, poi, come visto nella sezione
3.3.1, è leggermente diversa in quanto il tratto filettato nelle viti appartenenti al lotto blu
inizia in un punto più prossimo alla testa rispetto al lotto blu. Ciò comporta una traslazione
dell’intaglio, dato dalla filettatura, in una posizione prossima all’incastro e quindi soggetta
a momenti flettenti maggiori. Un momento flettente maggiore su un identico intaglio
produce sforzi più elevati che determinano una vita a fatica inferiore per le viti del lotto
blu.
145
4.3.2. Previsioni numeriche
Come già detto nel Paragafo 4.2.2, il fatto che il modello FEM con materiale elastico non
si discosti dal modello FEM con materiale plastico fino a 350 N dimostra che le
deformazioni plastiche sulla sezione della vite sono piccole e possono essere trascurate.
Questo risultato autorizza l’utilizzo di un approccio agli sforzi per l’analisi a fatica del
dispositivo al di sotto di questo valore di forza; qualora avessimo avuto deformazioni
plastiche significative a tali livelli di carico, tale approccio non sarebbe stato in grado di
descrive la situazione reale in modo affidabile e si sarebbe dovuto passare ad approcci
basati sulle deformazioni (Ploeg et al., 2008).
Criterio di Goodaman
Come si può notare dalle mappe cromatiche del criterio di Goodman (Figura 4.20, Figura
4.21, Figura 4.22, Figura 4.23), i punti maggiormente caricati identificati sulle viti del
lotto rosso e blu sono si trovano qualitativamente nelle stesse posizioni e non variano per le
due diverse vite a fatica considerate. Dato che tale criterio utilizza lo sforzo di Von Mises
per la componente media dello sforzo, il criterio di Goodman non è in grado di distinguere
le zone soggette a trazione (valor medio positivo) da quello in comrpessione (valor medio
negativo). In pratica, è come se tale criterio assegnasse lo stesso livello di pericolosità ai
due casi. In realtà, come riportato in sezione 2.4.1, un valor medio positivo tende ad essere
più critico, rispetto ad uno negativo, in quanto tende ad aprire e far propagare eventuali
cricche di frattura. Se per , tale problema non esiste, in quanto la componente
media è praticamente nulla, per è necessario non considerare le zone soggette a
compresione . Sotto queste premesse, per Goodman identifica il punto più caricato
nel sotto-cresta del secondo filetto, anche se sperimentalmente, è stata osservata la rottura
al centro del filetto (Figura 4.16). Per , invece il criterio identifica correttamente
come punto critico l’effettivo punto di rottura sperimentale.
I diagrammi di Goodman a e ottenuti dai punti del modello
numerico del lotto rosso non stanno mai al di sotto della banda limite, indicando che la vite
può sopravvivere oppure no, a seconda delle proprietà del materiale (Figura 4.20,Figura
4.22). Gli stessi diagrammi ottenuti dal modello numerico del lotto blu si trovano invece al
146
limite inferiore della banda, suggerendo una sopravvivenza molto più probabile della vite
di questo lotto (Figura 4.21, Figura 4.23).
Figura 4.20: Mappe cromatiche e diagramma di Haigh, entrambi a e a , relativi al criterio di
Goodman a per il modello del lotto rosso.
147
Figura 4.21: Mappa cromatica e diagramma di Haigh, entrambi a , relativi al criterio di Goodman a
per il modello del lotto blu.
Confrontando i diagrammi a (Figura 4.20, Figura 4.21) con quanto osservato
sperimentalmente, il diagramma del lotto rosso predice correttamente una possibile rottura,
quello del lotto blu predice invece una molto probabile sopravvivenza. Questo suggerisce
che le proprietà del materiale del lotto blu sono forse inferiori a quelle indicate dalla banda,
148
oppure anche la rottura sperimentale è stata provocata da difetti presenti nella vite che
hanno ridotto notevolmente il limite a fatica del materiale.
Figura 4.22: Mappe cromatiche e diagramma di Haigh, entrambi a e a , relativi al criterio di
Goodman a per il modello del lotto rosso.
149
Figura 4.23: Mappa cromatica e diagramma di Haigh, entrambi a , relativi al criterio di Goodman a
per il modello del lotto blu.
A , quando sperimentalmente la vite non si spacca, i diagrammi di entrambi i
lotti (Figura 4.22, Figura 4.23) predicono una sopravvivenza possibile, a meno del caso
150
del lotto rosso in cui il diagramma predice una rottura molto probabile. Ciò indica
che il materialepotrebbe avere proprietà maggiori rispetto a quelle della letteratura, oppure
la vite porebbe avere subito trattamenti superficiali che ne hanno migliorato il
comportamento a fatica. Un altro aspetto, descritto nel paragrafo 4.3.3 è che i valori di
sforzo ottenuti siano da correggere.
Criterio di Sines
Come si può notare dalle mappe cromatiche del criterio di Sines (Figura 4.24, Figura
4.25, Figura 4.26, Figura 4.27), i punti critici identificati sulle viti del lotto rosso e blu
sono si trovano nelle stesse posizioni e non variano per le due diverse vite a fatica
considerate. Sines, rispetto a Goodman, utilizza l’invariante primo di sforzo come
componente media, che è in grado di differenziare fra zone in trazione, maggiormente
pericolose, rispetto a quelle in compressione, meno critiche. I punti critici identificati dalle
mappe cromatiche sono gli stessi del criterio di Goodman. Quello che cambia sono i valori
dello sforzo equivalente in cui supera
mediamente del 10%.
In entrambi i diagrammi di Sines a e a , ottenuti dal modello
numerico del lotto rosso, le nuvole di punti si trovano in prossimità del limite superiore
della banda, indicando una sopravvivenza poco probabile (Figura 4.24, Figura 4.26). Gli
stessi diagrammi ottenuti dal lotto blu per e si trovano, invece, in
una posizione quasi centrale della banda, indicando a seconda delle caratteristiche del
materiale che la vite può sopravvivere oppure no (Figura 4.25, Figura 4.26). In generale,
si nota che le nuvole di punti per sono molto simili al caso precedente in quanto
dipendono entrambe fortemente dalla componente alternata dello sforzo di Von Mises.
Quelle a , invece, si differenziamo maggiormente in quanto la componente media
di sforzo assume un peso più rilevante: le nuvole di Sines portano ad uno sforzo
equivalente maggiore rispetto a quello ottenuto con Goodman.
151
Figura 4.24: Mappe cromatiche e diagramma di Haigh, entrambi a e a , relativi al criterio di
Sines a per il modello del lotto rosso.
152
Figura 4.25: Mappa cromatica e diagramma di Haigh, entrambi a , relativi al criterio di Sines a
per il modello del lotto blu.
153
Confrontando i diagrammi a (Figura 4.24, Figura 4.25) con quanto osservato
sperimentalmente, il diagramma del lotto rosso predice correttamente una possibile rottura,
in quanto le nuvole sono prossime al limite superiore della banda. Quello del lotto blu
predice invece una più probabile sopravvivenza. Detto ciò, vale la stessa considerazione
fatta per Goodman sulle viti del lotto blu, in cui le sue proprietà del materiale sono forse
inferiori a quelle indicate dalla banda.
154
Figura 4.26: Mappe cromatiche e diagramma di Haigh, entrambi a e a , relativi al criterio di
Sines a per il modello del lotto rosso.
155
Figura 4.27: Mappa cromatica e diagramma di Haigh, entrambi a , relativi al criterio di Sines a
per il modello del lotto blu.
156
A , quando sperimentalmente la vite non si spacca, i diagrammi (Figura
4.26, Figura 4.27) predicono una sopravvivenza poco probabile per il lotto rosso, in
quanto le nuvole si trovano vicino o addirittura oltre al limite superiore della banda. Per il
lotto blu, invece, la sopravvivenza è molto più probabile in quanto la nuvola si trova
all’interno della banda.
Considerazione finale
I diagrammi mostrati in precedenza possono essere classificati qualitativamente in base
alla posizione delle nuvole numeriche rispetto all’effettivo comportamento sperimentale. In
particolare, se la nuvola di punti è prossima o al di sotto della curva limite inferiore, la
probabilità di sopravvivenza è buona; se, invece, la nuvola di punti è prossima o al di sopra
della curva limite superiore, la probabilità di rottura è buona. Da questa classificazione si
possono avere i seguenti casi:
1. rottura predetta probabile confermata sperimentalmente: Goodman e Sines a
modello rosso (Figura 4.20, Figura 4.24);
2. rottura predetta probabile non confermata sperimentalmente: Goodman e Sines a
, modello rosso (Figura 4.22, Figura 4.26);
3. sopravvivenza predetta probabile confermata sperimentalmente: Goodman e Sines
a , modello blu (Figura 4.23, Figura 4.27);
4. sopravvivenza predetta probabile non confermata sperimentalmente: Goodman e
Sines a , modello blu (Figura 4.21, Figura 4.25).
Si ricorda che questa classificazione è qualitativa e dipende fortemente dalle proprietà del
materiale adottate per la costruzione della banda di confronto.
Dall’elenco precedente si vede come i criteri di Goodman e Sines siano molto simili,
nonostante Sines, come si nota dalle nuvole di punti prodotte dal criterio, sia meno
conservativo di Goodman in quanto presenti nuvole leggermente più dilatate. I casi che
maggiormente si discostano dall’effettivo comportamento reale sono il secondo e il quarto.
Il quarto caso può dipendere dal fatto che la banda del materiale è stata definita troppo alta;
questa può essere abbassata o dalle effettive proprietà intrinseche del materiale che nella
157
realtà sono molto minori, oppure da fattori, quali ad esempio la rugosità, che riducono
fortemente il limite a fatica del materiale. Se la prima può essere verosimile, in quanto
sono state osservate differenze nel materiale fra i due lotti, come osservato in 4.1, la
seconda meno in quanto entrambe le viti dei due lotti sono state ottenute dallo stesso
processo lavorativo.
Il secondo caso, invece, avendo scelto delle proprietà anche elevate per il limite superiore
della banda e supponendo una rugosità dei provini da cui sono stati ottenuti questi valori
abbastanza lisci, può dipendere dal fatto che i valori di sforzi ottenuti dal modello
numerico sono troppo elevati. Un fattore che può essere introdotto per ridurre lo sforzo e
che non viene considerato nelle simulazioni FEM è fattore di sensibilità all’intaglio a fatica
.
4.3.3. Previsioni numeriche corrette
Come è stato già anticipato nella sezione 2.5.1, i modelli ad elementi finiti considerano già
tutte le discontinuità geometriche presenti nel pezzo meccanico: lo sforzo, infatti, non è da
correggere con il fattore di concentrazione degli sforzi statico . Tale aspetto, in generale,
non è vero per il coefficiente d’intaglio a fatica , che oltre a dipendere dal coefficiente
, dipende anche dal fattore di sensibilità all’intaglio a fatica secondo la formula:
Dato che q non può essere considerato nel modello numerico, i risultati ottenuti da
quest’ultimo sono rappresentativi della situazione reale soltanto se e quindi
, altrimenti devono essere rielaborati.
Per tenere conto dell’effetto di su nelle sollecitazioni a fatica, e quindi correggere il
modello numerico, è stato prima di tutto calcolato il fattore effettivamente agente nel
pezzo. Dato che in letteratura non sono presenti formule analitiche che fanno riferimento
ad una geometria simile a quella della filettatura della vite, il fattore di concentrazione
degli sforzi statico è stato calcolato in questo modo:
158
in cui è il valore di sforzo ottenuto con il modello numerico (con materiale elastico
lineare) all’apice dell’intaglio, mentre è lo sforzo nominale ottenuto con la formula
di De Saint Venant schematizzando la vite come una trave cilindrica sollecitata a flessione.
L’espressione di risulta:
in cui è la forza applicata, è braccio in corrispondenza del punto intagliato, è il raggio
del punto intagliato. Il trovato per punti critici della vite, unito alle grandezze utilizzate
per calcolarlo, è mostrate in Figura 4.28. Dato che il valore di ottenuto al centro del
filetto è pari a 1, gli sforzi ottenuti dal modello numerico provenienti da questa zona non
vanno corretti per tenere conto del fattore . Diverso è il caso delle zone sotto la cresta,
dove, essendo , i valori di sforzi andranno corretti per tenere conto di e quindi del
fatto che .
Per quanto riguarda il fattore , come riportato nella sezione 2.4.2, per la lega Ti-6Al-4V
non sono disponibili formule analitiche. L’unica informazione quantitativa utile per una
lega Ti-6Al-4V è presente in Niinomi et al. (2008). L’autore ha trovato un quando
. Se, invece, si utilizza la formula di Neuber, valevole per gli acciai, imponendo
e , si ottiene , non molto lontano dal precedente. In
questo studio è stato utilizzato .
159
Figura 4.28: Valori di e (considerando ) trovati per i punti critici della vite, con in aggiunta le
grandezze utilizzate per calcolarli.
Per correggere i valori ottenuti dal modello numerico con il appena calcolato si è
utilizzata la seguente formula:
Si ricorda che sono stati corretti soltanto i punti con , vale a dire le zone del sotto
cresta.
160
Criterio di Goodman
I diagrammi di Goodman a e , ottenuti attraverso la correzione,
mostrano, rispetto ai diagrammi precedenti, un avvicinamento della nuvola dei punti verso
l’origine (Figura 4.29, Figura 4.30, Figura 4.31, Figura 4.32). In particolare, ad
entrambe le vite a fatica considerate, per le nuvole di punti del lotto rosso a è stata
osservata una riduzione del 20% nel valore di sforzo equivalente, a una riduzione
di quasi l’8%; mentre per le nuvole di punti del lotto blu a una riduzione di quasi
il 6%. Ciò sta ad indicare una minore pericolosità predetta. Si può notare come, ora, tutte le
nuvole di punti cadano entro il limite superiore della banda.
Questo fatto non esclude che a il modello di vite appartenente al lotto rosso non
possa ancora predire l’effettiva rottura della vite (Figura 4.29); infatti, se il materiale
avesse effettivamente proprietà prossime al limite inferiore della banda la vite si
romperebbe comunque.
Tale accorciamento della nuvola risulta molto significativo nel diagramma a
del modello rosso, in cui ora l’effettiva sopravvivenza della vite è descritta da due nuvole
di punti che stanno all’interno della banda (Figura 4.31).
161
Figura 4.29: Diagramma di Haigh a e a relativi al criterio di Goodman a per il
modello del lotto rosso con correzione degli sforzi con .
Figura 4.30: Diagramma di Haigh a relativo al criterio di Goodman a per il modello del
lotto blu con correzione degli sforzi con .
162
Figura 4.31: Diagramma di Haigh a e a relativi al criterio di Goodman a per
il modello del lotto rosso con correzione degli sforzi con .
Figura 4.32: Diagramma di Haigh a relativo al criterio di Goodman a per il modello
del lotto blu con correzione degli sforzi con .
163
Criterio di Sines
Come già accaduto con Goodman, anche i diagrammi di Sines a e ,
ottenuti attraverso la correzione, mostrano tutti un accorciamento della nuvola dei punti
numerici verso l’origine (Figura 4.33, Figura 4.35, Figura 4.34, Figura 4.36). In
particolare, ad entrambe le vite a fatica considerate, per le nuvole di punti del lotto rosso
a è stata osservata una riduzione del 20% nel valore di sforzo equivalente, a
una riduzione di quasi il 12%; mentre per le nuvole di punti del lotto blu a
una riduzione di quasi il 10%. Ciò sta ad indicare una minore pericolosità
predetta. Si può notare come, ora, tutte le nuvole di punti cadano entro il limite superiore
della banda.
Valgono poi le stesse considerazioni fatte in precedenza sul fatto che il modello rosso a
non escluda la rottura della vite (Figura 4.33) e che l’effettiva sopravvivenza
della vite del lotto rosso è descritta da due nuvole di punti che stanno all’interno della
banda (Figura 4.35).
164
Figura 4.33: Diagramma di Haigh a e a relativo al criterio di Sines a per il
modello del lotto rosso con correzione degli sforzi con .
Figura 4.34: Diagramma di Haigh a relativo al criterio di Sines a per il modello del lotto
blu con correzione degli sforzi con .
165
Figura 4.35: Diagramma di Haigh a e a relativo al criterio di Sines a per il
modello del lotto rosso con correzione degli sforzi con .
Figura 4.36: Diagramma di Haigh a relativo al criterio di Sines a per il modello del
lotto blu con correzione degli sforzi con .
166
Considerazioni finali
Dopo aver corretto i valori di sforzo del modello FEM per tenere conto del fattore di
sensibilità all’intaglio a fatica , si nota un miglioramento globale della previsione rispetto
alle prove sperimentali.
La problematica mossa in precedenza sulla banda utilizzata come confronto per i criteri
applicati sul lotto blu, identica a quella per il lotto rosso, vale tuttora. Infatti, per
giustificare la rottura della vite a è necessario considerare delle proprietà
meccaniche del materiale minori di quelle descritte dalla banda (Figura 4.34). Questa
riduzione nelle proprietà del lotto blu possono essere dovute più che altro ad aspetti
intrinseci nel materiale, che, come si è visto, possono differire fra i due lotti (sezione 4.1).
Quanto al fatto che le nuvole di punti superavano il limite superiore della banda a
, ora, dopo aver corretto i valori di sforzo, queste ricadono all’interno di quest’ultima.
Questo di certo non assicura la sopravvivenza della vite, però mostra come il fattore può
pesare nella determinazione delle proprietà a fatica del dispositivo.
Oltre che ridurre lo sforzo equivalente massimo, la correzione dei valori di sforzo
attraverso il fattore , ha portato alla corretta identificazione del punto di rottura per
. Infatti, se prima lo sforzo equivalente era massimo nel sotto cresta, ora, lo sforzo
equivalente massimo si sposta al centro del filetto dove effettivamente è avvenuta la rottura
sperimentale. Per , invece, il punto critico continua ad essere identificato
correttamente anche dopo la correzione. Un riassunto complessivo dei valori di sforzo
massimo equivalente e delle parti più caricate prima e dopo la correzione è riportata in
Tabella 4.7. A meno di Goodman per il lotto blu , dopo la correzione, pur
identificando correttamente il punto critico, la differenza fra il valore del sotto cresta e
quella del centro filetto risulta in tutti i casi restanti al di sotto del limite assunto come
criterio di convergenza della mesh. Pertanto, in questi casi, a rigore, entrambi i punti sono
soggetti a uno stato di sforzo egualmente critico.
167
Tabella 4.7: Identificazione dei punti critici da parte dei criteri di Goodman (GOOD.) e Sines (SIN.) per il
lotto rosso (R) e blu (B), prima e dopo la correzione, controllando se il modello individua correttamente il
punto di rottura (EXP?).L’asterisco sulla zona critica identifica una differenza maggiore del 5%.
A valle del confronto fra le nuvole di punti prodotte dai criteri di Goodman e Sines e le
proprietà limite del materiale, è necessario rimarcare alcuni aspetti che hanno
inevitabilmente condizionato il risultato del confronto.
Il confronto delle previsioni numeriche è stato svolto prendendo come riferimento una
banda rappresentativa delle possibili proprietà meccaniche per la lega di titanio Ti-6Al-4V
ELI disponibili in letteratura. Tale banda, potrebbe non essere rappresentativa del materiale
che costituisce le viti peduncolari dei due lotti. Questo fa si che i risultati del confronto
possano essere fortemente condizionati da come tale banda è stata definita. Se invece che
definire una banda limite da letteratura, fossero noti i limiti reali a fatica dei due materiali a
e a , i criteri di Goodman e Sines avrebbero potuto dare una loro
previsione netta sull’effettivo comportamento a fatica del dispositivo.
L’altro aspetto da rimarcare è che per la costruzione dei limiti superiore e inferiore della
banda sono state utilizzate delle curve limite ellittiche. Queste sono considerate più adatte
in fase di verifica del componente rispetto ad altre curve molto più conservative ed adatte
in fase progettuale (Goodmann), come indicato nel paragrafo 2.4.1. Se invece della curva
168
ellittica si fosse utilizzata ad esempio la curva di Gerber, alcune nuvole di punti sarebbero
andate oltre il limite superiore della banda, altre invece avrebbero oltrepassato il limite
inferiore entrando nella banda.
Osservando i diagrammi di Goodman e Sines a del lotto rosso e i relativi valori
massimi corretti è possibile fare un’ulteriore considerazione. La differenza fra i valori
di a e è di 44 MPa per Goodman e 42 MPa per Sines. Questo
trova riscontro con le curve di Wöhler delle leghe di titanio che, oltre il gomito a
, presentano un tratto a fatica illimitata leggermente pendente e quindi con una leggera
diminuzione dello sforzo limite (Kallmeyer et al., 2002).
Concludendo, questi fatti non intaccano il risultato finale, in cui si è visto che tenendo in
considerazione le dimensioni del grano, attraverso il coefficiente , la previsione numerica
identifica correttamente i diversi modi di rottura osservati sperimentalmente.
169
Conclusione e Sviluppi futuri
Il presente lavoro ha mostrato come dispositivi nominalmente identici possano differire sia
in termini di geometria che di proprietà meccaniche. In particolare, le misurazioni al
microscopio fatte sulle viti di entrambi i lotti hanno mostrato un punto d’inizio filettatura
differente. Le prove di nanoindentazione, poi, hanno mostrato un modulo elastico di 111
GPa per il materiale del lotto rosso, maggiore di quasi il 7% rispetto al materiale del lotto
blu.
Le prove sperimentali statiche e a fatica sulle viti peduncolari hanno mostrato una risposta
tendenzialmente diversa fra i due lotti. In particolare, il lotto rosso presenta una riposta
statica più rigida e raggiunge, nel tratto plastico, valori di forza maggiori a parità di
spostamento. I risultati delle prove a fatica vanno anche loro in tale direzione. Infatti, la
curva di Wöhler della vite del lotto rosso è in grado di resistere a un numero di cicli
maggiori a parità di forza applicata.
I modelli numerici, opportunamente sviluppati per tenere conto delle differenze
geometriche e del materiale fra i due lotti, sono in grado di cogliere la diversa risposta
meccanica dei due lotti sotto carico statico. Inoltre, il modello numerico accoppiato ai
criteri di Goodmann e Sines opportunamente corretti, riesce a cogliere le zone critiche,
ovvero soggette al maggior stato di sforzo, e a descrivere i modi di rottura confermati
sperimentalmente al variare del rapporto di carico. I risultati hanno mostrato che la
correzione delle previsioni numeriche per il fattore di sensibilità all’intaglio a fatica è
necessaria per migliorare la previsione del modo di rottura. Il confronto delle previsioni
numeriche con la banda rappresentativa delle possibili proprietà meccaniche per la lega di
titanio Ti-6Al-4V ELI ha mostrato delle nuvole di punti in linea con i valori presenti in
170
letteratura. Per una vera e propria previsione, è necessario confrontarsi con le curve limite
proprie del materiale.
I possibili sviluppi futuri di tale lavoro di tesi sono l’estensione della validità del modello
numerico fin qui proposto anche ad altre situazioni. In particolare, si potrebbero fare delle
prove ad altri rapporti di carico sul lotto rosso per cogliere la curva limite (ellittica, Gerber)
che riesce a descrivere in modo migliore il diagramma di Haigh del dispositivo.
Poi, si potrebbe indagare se la risposta del lotto blu sia effettivamente inferiore a quella del
lotto rosso, magari testando altri rapporti di carico anche su tale vite. Inoltre, per tale
motivo, si potrebbe anche indagare la superficie di frattura delle viti appartenenti al lotto
blu per vedere se la risposta a fatica inferiore sia dovuta a difetti presenti nella sezione che
ne abbassano notevolmente lo sforzo limite.
Oltre che variare il rapporto di carico, si potrebbe poi anche variare la configurazione di
prova, mantenendo sempre la flessione come carico dominante ma inserendo dei
carichi/vincoli leggermente differenti.
Infine, si potrebbe intraprendere una caratterizzazione del dispositivo a un numero di cicli
inferiore, dove le deformazioni plastiche giocano un ruolo fondamentale. Per fare questo, è
necessario proseguire nella calibrazione della risposta plastica della vite, caratterizzando
anche i cicli di carico-scarico fatti nella prova sperimentale statica.
171
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