Politecnico di Milano – Sede di Cremona · (Modulo 1) Martino De Marco / Antonio Corghi ESERCITAZIONE VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI . ... VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 12

Politecnico di Milano – Sede di Cremona A.A. 2013/14

Corso di

RETI DI COMUNICAZIONE E INTERNET (Modulo 1)

Martino De Marco / Antonio Corghi

ESERCITAZIONE VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI

Indice

•  Sistemi di accodamento •  Processo degli arrivi •  Processo di servizio •  Disciplina di servizio

•  Applicazioni alle telecomunicazioni –  Condizione di stabilità –  Occupazione media –  Tempo di transito

Corso di Reti di Comunicazione e Internet (Modulo 1) – M. De Marco / A. Corghi ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI

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Valutazione delle prestazioni di rete

•  Valutare le prestazioni di una Rete di Telecomunicazioni significa:

–  determinare con quale probabilità le richieste di nuove “connessioni” vengono rifiutate

–  misurare il ritardo medio per la consegna di un pacchetto da origine a destinazione

–  stimare la capacità che deve avere un nodo di rete piuttosto che un collegamento per smaltire correttamente il traffico offerto


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Sistemi di accodamento •  Un sistema di accodamento è un sistema deputato

all’erogazione di un servizio, per accedere al quale gli utenti possono entrare in competizione tra loro

•  Anche se non ce ne rendiamo conto, noi abbiamo a che fare quotidianamente con sistemi di accodamento: –  quando aspettiamo di pagare la spesa alla cassa di un supermercato –  quando attendiamo che il semaforo si disponga al verde –  quando andiamo dal barbiere o dal parrucchiere...

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Sistemi di accodamento nelle reti •  Sistemi di accodamento sono presenti anche negli apparati

per reti di telecomunicazione e la loro efficienza determina le prestazioni complessive di una rete –  Nelle reti a commutazione di circuito (multiplazione sincrona), fenomeni

di accodamento sono visibili nella fase di instaurazione dei circuiti, quando le richieste di una apertura della connessione competono per l’assegnamento di risorse di rete

–  Nelle reti a commutazione di pacchetto, i buffer presenti nel nodo consentono di accodare le unità informative in attesa della trasmissione sulla linea di uscita (multiplazione asincrona)

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Teoria delle Code •  Per valutare le prestazioni di sistemi di accodamento si

applicano risultati derivanti dalla Teoria delle Code •  La teoria delle code consente di studiare le prestazioni dei

sistemi di accodamento –  Ritardo: distribuzione dei ritardi sperimentati dagli utenti –  Perdita: esclusione di utenti dal servizio a causa di eccessiva domanda –  Throughput: frequenza di servizio

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Fila d’attesa Servente Popolazione

Modello del sistema di accodamento •  Possiamo modellare un sistema di accodamento con i

seguenti elementi: –  la popolazione: gli utenti potenziali del servizio –  la fila d’attesa (o coda): l’insieme degli utenti in competizione per

accedere al servizio –  il servente: l’entità deputata all’offerta del servizio (la cassiera del

supermercato, il sistema semaforico, il barbiere, ecc.).


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Parametri di un sistema di accodamento •  Parametri che caratterizzano un sistema di accodamento sono:

–  la numerosità della popolazione (N): il numero totale di utenti potenziali

–  la distribuzione degli arrivi: come sono distribuiti nel tempo gli arrivi di nuovi utenti

–  Il tempo di servizio: il tempo che il servente impiega per servire un utente

–  il numero di serventi (m), contemporaneamente attivi –  la disciplina di servizio: l’ordine con cui sono serviti gli utenti –  la capacità della fila d’attesa (L): la capacità della coda di ospitare

utenti in attesa del servizio Fila d’attesa Servente Popolazione

N L m

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Diagramma temporale del sistema

•  Ci: i-esimo cliente che entra nel sistema •  τi: tempo di arrivo i-esima richiesta di servizio •  ti: tempo di interarrivo tra la richiesta (i-1)-esima e la i-esima •  wi: tempo di attesa in coda della i-esima richiesta di servizio •  xi: tempo di servizio dell’i-esima richiesta Corso di Reti di Comunicazione e Internet (Modulo 1) – M. De Marco / A. Corghi ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI

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Grandezze da valutare


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Processo arrivi e partenze •  Ipotesi: gli arrivi avvengono uno alla volta

–  Nella realtà possono presentarsi arrivi in gruppo (batch, o cluster)

•  L’utilizzo del servente (espresso come frazione di tempo in cui è impegnato a servire utenti) sarà definito come:


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Il processo degli arrivi alla coda (1) •  Cominciamo a considerare il processo di Poisson,

largamente usato per modellizzare il processo degli arrivi in: –  traffico telefonico –  sistemi di commutazione –  reti a pacchetto –  reti di calcolatori –  rumore per effetto granulare –  generazione fotoni –  statistiche dei fotorivelatori –  generazione lacune nei semiconduttori...


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Il processo degli arrivi alla coda (2) •  Se la popolazione è infinita e gli arrivi generati dagli utenti

sono indipendenti tra loro, il processo degli arrivi è riconducibile alla legge di Poisson

•  In tal caso, la probabilità che si presentino al sistema n clienti durante un intervallo di durata t è data da:

•  Il processo degli arrivi è descritto unicamente dalla variabile λ, che indica la frequenza media di arrivo (utenti al secondo)

[ ]( )

P ttn

en

nt= −λ λ

!



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Il processo degli arrivi alla coda (3) •  Frequenza di arrivo = 1 messaggio al secondo


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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 9 17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

Prob

abili

tà

Numero di arrivi

Funzione di ripartizione

DeltaT=5s

DeltaT=10s

DeltaT=20s

0 0,02 0,04 0,06 0,08

0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

0,2

1 11

21

31

41

51

61

71

81

91

Prob

abili

tà

Numero di arrivi

Funzione di distribuzione

DeltaT=5s

DeltaT=10s

DeltaT=20s

Il processo degli arrivi alla coda (4) •  Consideriamo un punto di partenza (nel tempo) arbitrario, ad

esempio t=0, in cui avviene un arrivo di Poisson •  Sia t1 la variabile aleatoria che esprime il tempo che trascorre fino al

prossimo arrivo •  Risulta: ovvero: P(nessun arrivo in 0,t) •  Quindi la funzione di ripartizione di t1 vale

•  E quindi la distribuzione di probabilità vale:

(e zero altrove)

•  ...che è una distribuzione esponenziale con media 1/λ


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Il processo degli arrivi alla coda (5) •  Analogamente ha distribuzione esponenziale la variabile

aleatoria “intervallo di tempo fra due arrivi Poissoniani successivi”

•  L’intervallo temporale tra un arrivo ed il successivo (tempo di interarrivo) sarà modellato matematicamente con una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa λ λe t−

Questa funzione rappresenta la frequenza normalizzata con cui si verificano tempi di interarrivo pari a t

λ =0,5 arrivi al secondo


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Valor medio: 1/λ

Il processo degli arrivi alla coda (6) •  Proprietà di non memoria

•  P[intervallo di tempo fino al prossimo arrivo ≤ t0 + t | intervallo di tempo fino al prossimo arrivo > t0]


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Il processo di servizio •  In generale i serventi possono essere più di uno

–  Per semplicità si considereranno sempre sistemi a singolo servente •  Occorre conoscere anche il tempo che il servente impiega per servire un

cliente (tempo di servizio) •  Se il processo di servizio obbedisce alla Legge di Poisson, il tempo di

servizio è una variabile casuale descritta da una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa, con valore medio Ts

•  La variabile µ indica il numero medio di utenti che il servente riesce a soddisfare nell’unità di tempo (frequenza media di servizio): µ= 1/ Ts


N L m


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Disciplina di servizio •  Vi sono diversi modi con cui un servente può soddisfare i suoi utenti:

–  FIFO (First In First Out): servire per primo chi è arrivato per primo –  LIFO (Last In First Out): servire per primo chi è arrivato per ultimo (stack) –  SJF (Shortest Job First): servire per primo quello che richiede meno tempo per

essere serviti –  PQ (Priority Queueing): servire per primo che ha più priorità più elevata –  ...

•  In seguito adotteremo il criterio del “primo arrivato primo servito” (FIFO)


N L m


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Capacità della fila d’attesa •  Per quanto riguarda la fila d’attesa essa, nella realtà, ha

capacità tutt’altro che infinita (anche se a volte può sembrarlo!)

•  Se però la capacità della coda è molto grande (L>>λ Ts), si può approssimare la trattazione al caso della fila d’attesa con capacità infinita (più semplice da descrivere analiticamente)

•  Si considereranno nel seguito solamente file d’attesa aventi capacità infinita


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N L m

Notazione formale (1) •  Notazione formale (notazione di Kendall) per esprimere le

caratteristiche di un sistema a code

M/M/m/L/N

•  Il primo campo indica come sono distribuiti gli interarrivi dei clienti: –  M (memoryless) rappresenta una distribuzione esponenziale negativa

(Poisson) –  G (general) indica che gli arrivi sono caratterizzati da una distribuzione di

probabilità generale. In questo caso non si conosce l’andamento della funzione distribuzione di probabilità degli arrivi, ma si conoscono solamente i momenti del 1° e del 2° ordine

–  D (deterministic), indica che il processo degli arrivi è caratterizzato da una distribuzione di probabilità deterministica.

•  Il secondo campo serve a rappresentare la distribuzione del tempo di servizio del servente


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Notazione formale (2) •  Notazione formale (notazione di Kendall) per esprimere le

caratteristiche di un sistema a code

M/M/m/L/N

•  Il terzo campo, m, è il numero di serventi presenti nel sistema considerato

•  Il quarto campo, L, rappresenta la capacità massima della fila d’attesa

•  Il quinto campo, N, indica la numerosità della popolazione degli utenti

•  In seguito si considereranno principalmente sistemi di tipo M/M/1/∞/∞ (M/M/1) –  Questi sistemi sono completamente descritti se si conosce il numero di utenti

presenti in un dato istante in fila d’attesa ed occupati col servente –  Il tempo che un cliente ha già trascorso nel servente non interessa, poiché la

distribuzione esponenziale negativa non lo considera: si dice che non ha memoria


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Applicazione alle telecomunicazioni (1) •  Elementi di Ritardo in una Rete di Telecomunicazione

–  Processing Delay: tempo che trascorre tra quando il pacchetto è correttamente ricevuto al nodo di testa del link e quando esso viene assegnato alla coda di trasmissione di un link d’uscita.

–  Queueing Delay: tempo che trascorre tra l’istante in cui il pacchetto è assegnato ad una coda per la trasmissione e l’istante in cui il pacchetto inizia ad essere trasmesso.

–  Transmission Delay: tempo che trascorre tra l’istante in cui il primo e l’ultimo bit del pacchetto sono spediti.

–  Propagation Delay: tempo che trascorre tra l’istante in cui l’ultimo bit è spedito dal nodo di testa del link e l’istante in cui esso è ricevuto dal nodo di coda del link. Questo tempo dipende dalle caratteristiche del mezzo trasmissivo, ed è proporzionale alla distanza che separa il sender dal receiver.

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Applicazione alle telecomunicazioni (2) •  Le considerazioni fatte nel caso generale si possono applicare alle

reti di telecomunicazioni a commutazione di pacchetto –  i clienti sono i pacchetti generati da uno o più elementi di rete (host,

router, ...) –  il servente è rappresentato dall’interfaccia di uscita di un nodo di rete che

inoltra i pacchetti su una linea di trasmissione –  in sede di calcolo si dovrà considerare il tempo di servizio dovuto alla

capacità della linea –  i ritardi di processing e di propagation vengono normalmente trascurati

SWITCHING MATRIX

ROUTER Interfaccia

ingresso Interfaccia uscita

Processing Delay Queuing Delay

Transmission Delay

Propagation Delay

Capacità linea (C)


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Applicazione alle telecomunicazioni (3) •  Se nella coda non sono segnati i posti per gli utenti,

intenderemo che il sistema è del tipo a coda infinita •  La lunghezza dei pacchetti, essendo una variabile casuale

con distribuzione esponenziale negativa, ha un valore medio pari a [bit]

•  Nota la capacità C della linea [bit/s], si può calcolare il tempo medio di servizio del trasmettitore come:

•  Il numero medio di pacchetti processati nell’unità di tempo dal trasmettitore è:

[ ]~lC

s

[ ]Cl

s~ −1

~l


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Sistemi di nascita e morte •  Assumiamo come variabile di stato S(t) del sistema il numero

di pacchetti presenti nel sistema (coda+trasmettitore) all’istante t –  Se il sistema non contiene alcun pacchetto, si dice che è nello stato 0

(zero) –  Se ora arriva un pacchetto il sistema passa dallo stato 0 allo stato 1 –  Quando il pacchetto viene trasmesso, il sistema ritorna nello stato 0

•  Un sistema in cui le sole transizioni di stato possibili sono quelle che portano a stati adiacenti viene chiamato sistema di nascita-morte


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Diagramma degli stati •  Probabilità stazionaria

–  pk è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k –  diamo una definizione intuitiva del concetto di probabilità

•  pk rappresenta la frazione di tempo che il sistema trascorre nello stato k nel corso di un periodo di osservazione molto lungo

•  pk indica analogamente la frequenza relativa (normalizzata) in cui il sistema viene osservato nello stato k in un gran numero di ispezioni casuali

•  Frequenze di transizione –  La frequenza con cui il sistema passa dallo stato k allo stato k+1 è λ pk –  Analogamente, la frequenza con cui il sistema transita dallo stato k+1 allo

stato k è µ pk+1, in cui pk+1 è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k+1


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Principio di bilanciamento dettagliato –  Affinché il sistema sia stabile, cioè la sua coda non cresca

indefinitamente, la frequenza di transizione dallo stato k allo stato k+1 dev’essere uguale alla frequenza di transizione da k+1 a k (Principio di bilanciamento dettagliato)

–  Quindi λ pk=µ pk+1 , cioè ad esempio:

–  si può ricavare p2 in funzione di p0 ottenendo:

–  Generalizzando:

λ µ

λ µ

p pp p0 1

1 2

=

=

p p p2 1

2

0= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

λµ

λµ

p p pk

kk=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

λµ ρ0 0


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0 1 2

λ

µ µ µ

λ λ

p0 p1 p2

Condizione di stabilità •  ρ = λ/ µ prende il nome di intensità di traffico o carico del

sistema, perché indica la frazione di tempo per cui il servente è occupato –  es.: λ =1, µ =2 ⇒ ρ =0,5, cioè per il 50% del tempo il servente sta

lavorando e per il restante 50% è inattivo

•  ρ è in misurato in Erlang •  Se λ > µ il sistema si dice instabile, in quanto il servente

soddisfa mediamente meno utenti di quanti ne arrivano •  Occorrerà quindi che, affinché un sistema possa funzionare, λ

sia sempre minore di µ •  Affinché λ < µ (sistema stabile), ρ <1


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Distribuzione di probabilità stazionaria •  Poiché la somma delle probabilità (frequenze normalizzate)

deve essere 1:

dato che la sommatoria di ρk costituisce una serie geometrica di ragione ρ <1

•  In definitiva abbiamo che: p0=1-ρ

e quindi: pk=ρk(1-ρ)

p p pkk

k

k=

∞

=

∞

∑ ∑= =−

=0

00

011

1ρρ


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Occupazione media del sistema •  Il numero medio di pacchetti nel sistema (N) sarà quindi:

•  Poiché: risulta:

( ) ( ) ( ) ( )N kp k k dd

ddk

k

kk

k

k

k

k

k

k

= = − = − = − = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

∞

=

∞−

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑ ∑ ∑ ∑1 1 1 100

1

0 0 0

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρρ ρ ρ

ρρ

( )dd

dd

k

kρρ

ρ ρ ρ=

∞

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−02

11

11

( )( )

N = −−

=−

1 11 12ρ ρρ

ρρ


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Occupazione media del servente e della coda

•  Il numero medio di pacchetti che il trasmettitore sta processando (NT) equivale alla frazione di tempo in cui il servente non sia vuoto, cioè:

NT =ρ

•  Il numero medio di pacchetti in attesa di essere processati (NA) può essere calcolato come il numero totale di pacchetti nel sistema meno il numero di pacchetti nel trasmettitore, cioè:

NA= ρρ

ρρρ1 1

2

−− =

−


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Principio di Little (1) •  Per conoscere il tempo medio di transito nel sistema (coda +

trasmettitore), dobbiamo applicare un’equazione dimostrata per la prima volta da D. C. Little nel 1961

•  Spiegazione intuitiva: –  si indichi con T il tempo medio trascorso da un utente nell’intero

sistema (cioè l’intervallo di tempo che intercorre tra l’arrivo e l’uscita dal sistema di un pacchetto)

–  Il numero medio di arrivi di nuovi pacchetti durante l’intervallo T è λ T –  Poiché il numero medio di pacchetti nel sistema è N, si ha N= λ T

(Principio di Little)

•  Il Principio di Little, può essere utilizzato per calcolare T:

. T N= =

−=

−=

−λ

ρρ

λµρ µ λ

11

11


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Principio di Little (2) •  Il principio di Little può essere applicato a qualsiasi superficie

chiusa, permettendoci di ricavare altri parametri interessanti del sistema

•  tempo medio di transito nella fila d’attesa (TA) –  in questo caso NA è il numero medio di pacchetti in coda, quindi:

•  tempo medio di transito nel trasmettitore (TT)

TN

AA= =

−=

−λ

ρρλ

ρµ λ

2

1

T NT

T= = =λ

ρλ µ

1


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Dimensionamento del servente •  Il Principio di Little consente di dimensionare una sistema di

trasmissione •  Sostituendo a µ la sua espressione in funzione della capacita

C della linea di trasmissione e della lunghezza media dei pacchetti si ottiene:

~l

T Cl

lC l

=−

=−

=−

1 1µ λ λ λ~

~~


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Sistema a coda M/M/S/S/∞ (1) •  Ipotesi:

–  tempi di interarrivo con distribuzione esponenziale negativa (λ); –  tempi di servizio con distribuzione esponenziale negativa (µ); –  processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. –  S serventi, statisticamente identici ed indipendenti; –  capacità nulla della fila d’attesa.

•  Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,..., S}

0 1 2 S-1 S

λ

µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ

λ λ λ λ


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...

Sistema a coda M/M/S/S/∞ (2) •  Scrivendo gli equilibri ai tagli si ha:

•  E più in generale:

0 1 2 S-1 S

λ

µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ

λ λ λ λ


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...

Sistema a coda M/M/S/S/∞ (3) •  Applicando la condizione di normalizzazione si ottiene:

•  Nessuna nuovo ingresso è accettato quando il sistema ha tutti gli S serventi occupati. Pertanto la probabilità di blocco del sistema è la probabilità di avere il sistema nello stato S

FORMULA DI ERLANG B


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Esercizi


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Esercizio 1 Si consideri un sistema con N terminali, ognuno dei quali genera λ=2 pacchetti al minuto. Si vuole accedere ad un database remoto raggiungibile da una rete a cui si accede tramite un multiplatore che trasmette a 14400 bps. si supponga che i pacchetti abbiano una distribuzione esponenziale negativa con una lunghezza media 1024 bit. Si supponga inoltre che la lunghezza della fila d’attesa sia infinita. Si calcoli: a)  il numero massimo di terminali affinché il sistema sia stabile; b)  il numero massimo di terminali affinché il ritardo

d’attraversamento dell’intero sistema (multiplatore + linea di trasmissione) sia inferiore a 0,1 s.


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Esercizio 2 •  Supponiamo di essere in un supermarket in cui entrano 10

clienti al minuto, e supponiamo che una cassiera riesca a smaltire un cliente ogni 2 minuti. Quante casse devo predisporre per fare in modo che il tempo medio di attesa globale (compreso il tempo di servizio) sia inferiore a 5 minuti?

•  Per ridurre il numero di casse posso introdurre delle casse rapide. Supponiamo che il 30 % dei clienti acquisti pochi articoli e che, quindi, ognuno di questi clienti abbia bisogno di 0.5 minuti per essere servito su una cassa veloce per la quale si vuole fare in modo che il tempo di servizio sia inferiore o uguale 4 minuti. Quante sono le casse complessivamente? Quante le casse veloci?


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Esercizio 3 •  Si consideri un multiplexer che raccoglie traffico formato da

messaggi con intertempi di arrivo a distribuzione esponenziale negativa. Il multiplexer è formato da un buffer e da una linea di trasmissione in uscita. Il tempo di trasmissione di un messaggio sulla linea è anch’esso a distribuzione esponenziale negativa con valor medio di 10ms. Da misure effettuate sul buffer si ricava che la probabilità che esso sia vuoto è pari a 0,8. Ricavare il ritardo medio di trasmissione di un messaggio.


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Esercizio 4 •  Si consideri la rete in figura. Essa è costituita

da tre router R1, R2 e R3. Il traffico in ingresso a R1 e R2 ha una distribuzione esponenziale con tasso di arrivo λ1=λ2=20 pacchetti/secondo. I pacchetti vengono inoltrati al router R3, che procede ad una verifica di correttezza e ne scarta una frazione 2α equamente ripartita sul traffico proveniente da R1 e da R2 e ne richiede quindi la trasmissione a R1 e R2. I tre router hanno tempi di trasmissione esponenziali, con tasso medio, espresso in pacchetti al secondo, rispettivamente di µ1=30, µ2=40, µ3=60.

•  Quale valore massimo può assumere α affinché il sistema sia stabile?

•  Supponendo α=0,1, calcolare il tempo di attesa medio trascorso da un pacchetto nel sistema.

R1

R2

N1 R3


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Esercizio 5 Si consideri il collegamento tra due stazioni S e D che attraversa 2 link in cascata (come illustrato nella Figura seguente). La sorgente S genera ad intervalli casuali pacchetti con lunghezza media pari L =4000 bit. I link sono caratterizzati da un tasso d'errore sul pacchetto e1=1% sul Link 1, e2=10% sul Link 2. Le velocità di trasmissione sui link sono rispettivamente C1=48000 bit/s sul Link 1 e C2=52000 bit/s sul Link 2. Si assuma che sia applicabile all’analisi il modello di reti di code M/M/1. PARTE 1 Sul Link 1 è implementato il controllo e recupero degli errori di trasmissione (tra i nodi S e X), mentre sul Link 2 (tra i nodi X e D) non vi è nessun controllo. Fra la sorgente S e destinazione D viene implementato un meccanismo di controllo e recupero degli errori end-to-end, quindi se alla destinazione D il pacchetto giunge errato, questo deve essere ritrasmesso da parte della sorgente S. a)  Si illustri graficamente il modello a code che descrive il sistema, indicando il valore delle grandezze di interesse per la

valutazione delle prestazioni (in particolare, i flussi di traffico entranti e uscenti da ogni sottosistema). b)  Si calcoli il traffico limite smaltibile tra S e D in condizioni di stabilità, descrivendo il procedimento seguito. PARTE 2 Si ipotizzi ora che anche sul Link 2 (cioe ̀ tra X e D) venga implementato un meccanismo di controllo e recupero degli errori di trasmissione. a)  Si illustri graficamente il modello a code che descrive il sistema, indicando il valore delle grandezze di interesse per la

valutazione delle prestazioni (in particolare, i flussi di traffico entranti e uscenti da ogni sottosistema). b)  Si calcoli il traffico limite smaltibile tra S e D in condizioni di stabilità, descrivendo il procedimento seguito. Corso di Reti di Comunicazione e Internet (Modulo 1) – M. De Marco / A. Corghi ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI

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X S D Link1 Link2

Esercizio 6 Si consideri un centralino telefonico che raccoglie le chiamate di una grande azienda in cui si hanno 1000 utenze telefoniche, ciascuna generante un traffico di Poisson di 30mErlang. a)  Dimensionare il numero di linee telefoniche per collegarsi alla

Rete Telefonica Pubblica in modo da garantire una probabilità di blocco delle chiamate minore o uguale al 3% (si faccia uso della tabella allegata).

b)  Cosa succede al numero di linee in uscita, volendo mantenere la probabilità di blocco inferiore o uguale al 3%, se il numero di utenze telefoniche aumenta a 1300?

c)  Si confronti l’incremento percentuale di traffico offerto con l’incremento percentuale di linee che ne risulta.


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n Loss probability (E) n 0.00001 0.00005 0.0001 0.0005 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

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Politecnico di Milano – Sede di Cremona · (Modulo 1) Martino De Marco / Antonio Corghi ESERCITAZIONE VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI . ... VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 12