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Politecnico di Torino Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine

ESERCIZI SVOLTI

Sono di seguito svolti gli Esercizi 3 e 4 proposti alla fine del Capitolo 5.4 (Turbocompressori di gas) ed un esercizio aggiuntivo.

Tali esercizi non sono stati svolti in aula, durante il tutorato, per motivi di tempo; sono qui riportati a titolo di materiale integrativo per la preparazione dell’esonero.

3) Due turbocompressori centrifughi geometricamente simili e funzionanti in condizioni di similitudine aspirano aria (k=1,4; R=0.069 kcal/kgK) a 1 ata e 20 °C. Il primo, ruotando a 25000 rpm, comprime 2 kg/s ed assorbe 300 CV con ηy = 0.85. Il secondo presenta lo stesso rapporto di compressione ruotando a 30000 rpm. Determinare il rapporto di compressione e la potenza assorbita del secondo compressore. Valutare inoltre l’entità del controrecupero. Si assuma ηm=1 per entrambe le macchine.

Soluzione

Poiché i due compressori sono geometricamente simili e funzionano in condizioni di similitudine fluidodinamica, per essi assumeranno lo stesso valore i seguenti parametri adimensionali:

l”/d”, β”, ϕ = wr”/u”,

essendo i simboli ben noti (si veda il Capitolo 5.4), ed avendo indicato con il doppio apice le grandezze in uscita dalla palettatura mobile. Pertanto, indicando con i pedici “I” e “II” le grandezze relative rispettivamente al primo ed al secondo compressore, si ha

..yII,yI,yIII

III 850===⇒

==

ηηηζζψψ

L’uguaglianza del rendimento idraulico, unita al fatto che il gas che attraversa entrambi i compressori è aria (kI = kII = k = 1.4; RI = RII = R = 0.069 kcal/(kg*K)), implica che l’esponente dell’evoluzione politropica che approssima l’effettiva trasformazione subita dal fluido sia uguale per le due macchine:

506111

1 .

kkmm

y

III =

⋅−

−==

η

.

Anche le condizioni all’aspirazione ed il rapporto di compressione, infine, sono identici per i due compressori:

5.4 TURBOCOMPRESSORI DI GAS – Esercizi svolti. Pagina 1


.,KTTT

,atappp

III

II,I,

II,I,

βββ ==

===

===

2931

111

111

Dalle precedenti considerazioni si evince come anche il lavoro interno per unità di massa compiuto dalla macchina sul fluido debba essere uguale:

.LTcLTcL imm

IIII,II,PII,imm

II,I,PI,i II

II

I

I

=

−==

−=

−−

111

1

1

1 ββ

Il funzionamento di due macchine geometricamente simili può essere rappresentato sulla stessa mappa manometrica. Se, inoltre, le due macchine funzionano anche in condizioni di similitudine fluidodinamica, il punto di funzionamento sulla mappa sarà lo stesso:

Il valore del numero di giri corretto sarà pertanto identico, e dunque identica sarà anche la velocità periferica in uscita dalla girante:

..nn

d"d"

"u"u"uuguale "uuguale "nduguale T"nd

II

I

I

II

III

uguale) (T1

===

==⇔⇒⇒

83303000025000

1

Alla stessa conclusione si sarebbe potuti arrivare partendo dall’uguaglianza del lavoro interno:

uguale "uuguale "uLuguale) (

i

ψψ ⇒=

2

2

.

Il lavoro interno relativo al primo compressore (e dunque anche al secondo) può così essere calcolato:

.kg/JmP

LI

I,assmi 110325==

&

η

Si ricava allora immediatamente il rapporto di compressione per i due compressori:



566211

1

.Tc

L mm

p

i =

+=

−

β ,

avendo determinato il calore specifico cp a partire dalla conoscenza di k ed R. Per calcolare la potenza assorbita dal secondo compressore, è necessario determinare la portata in massa smaltita. Ciò è immediato se si considera che la potatata corretta è identica per le due macchine:

( )⇒

=

=⇒⇒

=

2

2

2

2

21

21 1

II

II

)"dn"dn(

I

IIIII

uguali p,T

nnm

"d"dmmuguale

"dmuguale

p"dTm IIIIII1

&&&&&

⇒ s/kg.mII 3891=& .

Pertanto:

CVnnP

mmPP

II

II,ass

I

III,assII,ass 208

2

=

==

&

&.

Per valutare infine l’entità del lavoro di controrecupero (Lcr) si faccia riferimento alla seguente figura:

Sussiste la seguente relazione (il lavoro interno reale per unità di massa Li è dato dall’area 2T02T220):

Li = Li,is + Lw + Lcr, da cui

Lcr = Li - Li,is - Lw = ηyLi – Li,is.

Il lavoro interno reale è già stato calcolato, mentre quello isentropico vale:



.kg/JTcL kk

Pis,i 9152511

1 =

−=

−

β

Si ottiene pertanto Lcr = 2252 J/kg.

4) Un turbocompressore centrifugo a due stadi, con interrefrigeratore, presenta i due stadi costituiti da macchine geometricamente simili e funzionanti con lo stesso ϕ. I due stadi sono calettati sullo stesso albero. Il primo comprime 1.5 kg/s di aria aspirata a 1 ata e 15 °C, funziona con ηy =0.85 ed ha una temperatura di mandata di 330 K. Il secondo stadio ha una temperatura di ingresso pari a 20 °C (uscita interrefrigeratore); il rendimento meccanico ηm del sistema, inoltre, è unitario. Trascurando le perdite di pressione nell’interrefrigeratore, e trattando il gas come incompressibile, calcolare la potenza assorbita dai due stadi (cp=0.24 kcal/kg; R=287 J/kg K).

Soluzione

Lo schema del doppio stadio di compressione è riportato nella figura seguente:

Si ha

,e)scambiator nello nulle (perdite pp,KT,KT

,atap,KTalbero), (stesso nn

serie), in disposti (stadi s/kg.mm

II,II,

1

III

III

211

2

1

293330

1288

51

===

===

== &&

avendo indicato con i pedici “I” e “II” le grandezze relative rispettivamente al primo ed al secondo stadio. Essendo i due stadi geometricamente simili e funzionanti in condizioni di similitudine fluidodinamica, saranno caratterizzati da un rendimento idraulico e da un esponente dell’evoluzione politropica di riferimento uguali (si vedano le considerazioni svolte per il precedente esercizio):



..mmm,.

,

III

yII,yI,y

III

5061850

===

====

ηηηϕϕ

Si noti come, pur funzionando i due stadi in similitudine, i relativi punti di funzionamento sulla mappa manometrica (uguale per i due stadi) non sono coincidenti (basti pensare che la portata in massa è uguale, ma non quella corretta, in quanto variano le condizioni all’ingresso dei due stadi e il diametro in uscita dalla girante; analogamente, il numero di giri effettivo è uguale, ma non quello corretto). I rapporti di compressione e i lavori interni caratteristici dei due stadi sono pertanto differenti. Il lavoro interno per unità di massa compiuto sul fluido nel primo stadio vale

( ) kg/JTTcL pI,i 4219512 =−= .

Si può allora determinare immediatamente il rapporto di compressione del primo stadio:

499111

1 .'TcL Ikk

IpI,i y =⇒

−= ⋅

−

ββ η .

In realtà il testo dell’esercizio richiede di considerare il fluido incomprimibile. Il rapporto di compressione approssimato βI, allora, può essere calcolato come segue (trascurando, al solito, la variazione di energia cinetica del fluido tra ingresso ed uscita del primo stadio):

( )( ) ( ) .'.RTpvvdpLLL IIII

costantev

I,iyI,wI,i ββββη ≠=⇒−=−===−=

∫ 434111 111

2

1

La potenza assorbita dal primo stadio di compressione vale pertanto

kW.Lm

Pm

I,iI,ass 29363==

η&

.

Il lavoro interno compiuto sull’unità di massa di fluido nel secondo compressore può essere ricavato dalla seguente relazione:

2222

2

=

=⇒

=⇒=

I

III,i

uguale) n(

I

III,iII,i

II

I

II,i

I,iuguale) (

i "d"dL

"u"uLL

"u"u

LL

"uLψ

ψ .

Per ricavare il rapporto tra i diametri all’uscita dalle due palettature mobili, si può far riferimento alla costanza della portata in massa:

"vd" n"d

"v"d"l"d

"u"v

"u"w

"d"l"d

"v"w"d"lm

3e)siniltudin(r

r ∝

=

==60

22

πϕξπξπ

ξπ& ,

dove i simboli sono ben noti. Poiché la portata in massa è uguale per i due stadi (stadi in serie), si ha:

79501 32

1

132

11

1132

1

1322

.TT

pTpT

vv

"v"v

"d"d

II,

II,

II,I,

II,

I,

II,ibilità)(incomprim

I

II

I

II =

=

⋅⋅

=

=

=

β

,



avendo assunto nulle, come richiesto dal testo, le perdite di pressione nell’interrefrigeratore (p1,II = p2). Si può allora calcolare il lavoro massico di compressione del secondo stadio,

Li,II = 33545 J/kg,

ed il corrispondente rapporto di compressione (sempre considerando il fluido incomprimibile),

( )( ) ..RTvdpLLL IIIIII,

costantevII,

II,II,iyII,wII,i 339111

2

1

=⇒−===−=

∫ ββη

La potenza assorbita dal secondo stadio di compressione vale pertanto

kW.Lm

Pm

II,iII,ass 31850==

η&

La potenza complessivamente assorbita è

CVkWPPP II,assI,assass 155114 =≅+= .

Esercizio aggiuntivo Un compressore centrifugo, avente la caratteristica manometrica di seguito riportata, aspira aria (k = 1.4, R = 287 J/kg*K) alla pressione p1 = 0.98 bar ed alla temperatura t1 = 25°C, e deve smaltire una portata di 0.13 kg/s con un rapporto di compressione pari a 2.4. Si calcolino:

1. la velocità angolare alla quale occorre far girare il compressore; 2. il lavoro interno di compressione per unità di massa;

3. la potenza assorbita (ηm = 0.95).

Il compressore viene quindi regolato

a) variando la velocità di rotazione; b) per laminazione alla mandata; c) per laminazione all’aspirazione.

Calcolare la portata minima che il compressore può inviare e la corrispondente potenza assorbita per ognuno dei metodi di regolazione attuati.



Caratteristica manometrica del compressore:

Portata corretta:

0

1

0

1

pp

TTm

cor

&& =m .

Numero di giri corretto:

0

1T

Tn

cor =N .

Condizioni standard di riferimento: p0 =101325 Pa, T0 = 288K.



Soluzione

Note la portata in massa smaltita dal compressore, le condizioni di temperatura e pressione all’aspirazione (p1,T1) e le condizioni standard di riferimento (p0,T0), si può immediatamente calcolare la portata corretta:

s/kg.p

pT

Tmm ,cor 1370

0

1

0

11

1 ==&

& .

Nota la portata corretta ed il rapporto di compressione (β = 2.4), è possibile individuare il punto di funzionamento sulla caratteristica manometrica fornita (punto “1” evidenziato). Al punto “1” corrisponde un numero di giri corretto Ncor,1 pari a 142200 rpm. La velocità angolare effettiva, allora, vale

⇒=

0

11

TT

nN ,cor rpmTTNn ,cor 144648

0

111 == .

Dalla caratteristica manometrica si ricava anche il rendimento idraulico corrispondente al punto individuato:

ηc,1 = 0.68.

Se si approssima mediante un’evoluzione politropica la trasformazione reale che il gas subisce nel compressore, l’esponente m caratteristico di tale evoluzione vale

725111

1

1

1 .

kkm

,c

=

⋅−

−=

η

.

Il lavoro di compressione per unità di massa vale

kg/JRTk

kTcL mm

mm

P,i 13301111

1 1

1

1

1 1

11

1

111 =

−

−=

−=

−−

ββ .

La potenza assorbita vale

kW.Lm

Pm

,i,ass 218111 ==

η&

.

a) Regolazione per variazione della velocità angolare Con l’obiettivo di ridurre la portata inviata all’utenza mantenendo invariata la p2 (regolazione industriale), viene fatta variare la velocità angolare del compressore. Il rapporto di compressione rimane costante (le pressioni all’aspirazione ed alla mandata non variano), pertanto il punto di funzionamento si sposta sulla mappa di funzionamento come schematizzato nella seguente figura:



La portata minima è individuata dalla condizione limite del pompaggio. Sulla caratteristica manometrica fornita si individua il punto “2”, cui corrisponde la portata corretta minima

s/kg.m amin,,cor 0750≅& .

La minima portata in massa effettiva che il compressore può inviare con questo metodo di regolazione, allora, vale

2

0

1

1

0710 ms/kg.

TT

pp

mm oamin,,coramin,

&&& === .

Il punto “2”, inoltre, si trova su una curva caratterizzata dal numero di giri corretto

rpmN ,cor 1314002 = .

La velocità angolare effettiva del compressore in condizioni di minima portata, allora, vale

rpmTTNn ,cor 133662

0

122 == .


ηc,2 = 0.65.

L’esponente m caratteristico dell’evoluzione politropica di compressione vale

784111

1

2

2 .

kkm

,c

=

⋅−

−=

η

.




kg/JRTk

kTcL mm

mm

P,i 14045811

1 2

2

2

2 1

21

1

212 =

−

−=

−=

−−

ββ .


kW.Lm

Pm

,i,ass 510222 ==

η&

.

b) Regolazione per laminazione alla mandata In questo caso la diminuzione di portata inviata all’utenza è ottenuta per mezzo di una regolazione per laminazione alla mandata:

Il punto di funzionamento resta sulla stessa curva caratteristica, dal momento che non varia il numero di giri corretto (n e T1 sono costanti). La portata minima è anche in questo caso individuata dalla condizione limite del pompaggio. Sulla caratteristica manometrica fornita si individua il punto “3”, cui corrisponde la portata corretta minima

s/kg.m bmin,,cor 0820≅& .



La minima portata in massa effettiva che il compressore può inviare con questo metodo di regolazione, allora, vale

3

0

1

1

0780 ms/kg.

TT

pp

mm obmin,,corbmin,

&&& === .

Il punto “3” è caratterizzato da un rapporto di compressione maggiore rispetto a quello del punto “1”:

723 .=β .


ηc,3 ≅ 0.64.


806111

1

3

3 .

kkm

,c

=

⋅−

−=

η

.


kg/JRTk

kTcL mm

mm

P,i 16697411

1 3

3

3

3 1

31

1

313 =

−

−=

−=

−−

ββ .


kW.Lm

Pm

,i,ass 713333 ==

η&

.



c) Regolazione per laminazione all’aspirazione In quest’ultimo caso la diminuzione di portata inviata all’utenza è ottenuta per mezzo di una regolazione per laminazione all’aspirazione:

Anche in questo caso il punto di funzionamento resta sulla stessa curva caratteristica, non cambiando il numero di giri corretto (n e T1 sono costanti):

La portata minima è sempre individuata dalla condizione limite del pompaggio. Sulla caratteristica manometrica fornita si individua il punto “4”, coincidente con il punto “3”, cui corrisponde la portata corretta minima

s/kg.m cmin,,cor 0820≅& .

Il punto “4”, ovviamente, è caratterizzato anche dallo stesso rapporto di compressione del punto “3”:

bar.p'p

pp.

'pp.

87042

72

14

11

1

21

1

24

==⇒

==

==

ββ

β

β.



La minima portata in massa effettiva che il compressore può inviare con questo metodo di regolazione vale

4

0

1

1

0690 ms/kg.

TT

p'p

mm ocmin,,corcmin, &&& === .

Il rendimento idraulico corrispondente al punto “4” vale

ηc,4 ≅ 0.64.


806111

1

4

4 .

kkm

,c

=

⋅−

−=

η

.


kg/JRTk

kTcL mm

mm

P,i 16697411

1 4

4

4

4 1

41

1

413 =

−

−=

−=

−−

ββ .


kW.Lm

Pm

,i,ass 112444 ==

η&

.

Riepilogo

Sono di seguito riassunte le condizioni di funzonamento “limite” cui si può giungere regolando secondo i metodi a), b) e c) (punti “2”, “3” e “4”). Per confronto, è riportata anche la condizione iniziale (punto “1”).

Punto β m& [kg/s] ηc Li [kJ/kg] Pass [kW]

1 2.4 0.13 0.68 133 18.2

2 2.4 0.071 0.65 140 10.5

3 2.7 0.078 0.64 167 13.7

4 2.7 0.069 0.64 167 12.1

In assoluto, la portata minima inviabile all’utenza si ottiene regolando per laminazione all’aspirazione. Questo metodo di regolazione, come ci si poteva attendere (si vedano a tale proposito le dispense – Cap. 5.4), risulta più vantaggioso rispetto alla regolazione per laminazione alla mandata: a parità di peggioramento di rendimento (si passa in entrambi i casi da 0.68 a 0.64) si ha una maggiore riduzione di portata (ed una minore potenza assorbita). Analogamente, a parità di riduzione di portata in



massa, laminando all’aspirazione ci si allontanerebbe meno dal punto di funzionamento di progetto, e dunque il rendimento peggiorerebbe meno (e la potenza assorbita sarebbe inferiore). La regolazione per laminazione all’aspirazione, inoltre, per i motivi citati, è più sicura dal punto di vista del raggiungimento del limite del pompaggio (limite cui ci si avvicina più lentamente).

La regolazione per variazione della velocità angolare, infine, risulta, tra le tre, la più vantaggiosa, consentendo di ridurre la portata fino ad un valore prossimo a quello ottenibile con la laminazione all’aspirazione, ma con una maggiore diminuzione di potenza assorbita (il rapporto di compressione resta invariato rispetto al punto di progetto). Per contro, l’attuazione di tale metodo di regolazione deve prevedere un sistema per la variazione del numero di giri del compressore (non sempre agevole).


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