priesvitka 1

Polynómy, algebraické rovnice,

korene a rozklad racionálnej funkcie

priesvitka 2

Polynómy Definícia: Polynóm n-tého stupňa premennej x (komplexnej) je definovaný vzťahom

( ) 20 1 2

0...

nn k

n kk

P x a a x a x a x a x=

= + + + + =∑

kde 0 1, ,..., ka a a sú koeficienty (komplexné) polynómu. Stupeň polynómu P(x) označíme ( )deg P n= .

priesvitka 3

Algebraické operácie nad polynómami Nech ( )xP je množina všetkých polynómov premennej x,

( ) ( ){ }x P x=P Nad takto definovanou množinou obsahujúcou všetky možné polynómy premennej x môžeme definovať operácie:

(1) súčinu skalára s polynómom, (2) súčet a rozdiel dvoch polynómov, (3) súčin dvoch polynómov.

Pripomeňme, že tieto operácie zachovávajú množinu ( )xP .

priesvitka 4

Dva polynómy ( ) 0 1 ... n

nP x a a x a x= + + + a ( ) 0 1 ... mmQ x b b x b x= + + + sú si rovné

(ekvivalentné, ( ) ( )P x Q x= ) vtedy a len vtedy ak platí

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) { }( )( )deg deg 1,2,...,def k kP x Q x P Q k n a b= = = ∧ ∀ ∈ = Súčin skalára α s polynómom ( ) 0 1 ... n

nP x a a x a x= + + +

( ) ( )0

nk

kk

P x a x=

α∗ = α∗∑

Súčet (rozdiel) polynómov ( ) 0 ... n

nP x a a x= + + a ( ) 0 ... mmQ x b b x= + +

(predpokladáme, že ( ) ( )deg P deg Q≥

( ) ( ) ( )0 1

m nk k

k k kk k m

P x Q x a b x a x= = +

± = ± +∑ ∑

priesvitka 5

Súčin polynómov ( ) 0 ... nnP x a a x= + + a ( ) 0 ... m

mQ x b b x= + +

( ) ( )0 0

n mk k

k kk k

P x Q x a b x ′+′

′= =

∗ =∑∑

Operácia delenia dvoch polynómov Podiel polynómov ( ) 0 ... n

nP x a a x= + + a ( ) 0 ... mmQ x b b x= + + má tvar

( )( ) ( ) ( )

( )P x S x

R xQ x Q x

= +

čo môžeme prepísať do alternatívneho tvaru

( ) ( ) ( ) ( )P x R x Q x S x= ∗ +

priesvitka 6

(1) V prípade, že platí ( ) ( )deg P deq Q< , potom platí ( ) ( )S x P x= a ( ) 0R x = . (2) Podiel dvoch polynómov je dobre definovaná operácia len ak je splnená táto podmienka

( ) ( )deg P deq Q≥ Potom pre stupne R(x) a S(x) platí

( ) ( ) ( ) 0deg R deg P deg Q= − ≥ ( ) ( )deg S deg Q<

priesvitka 7

Príklad Nech ( ) 2 31 2P x x x x= + + − a ( ) 22Q x x x= + + , podľa požadovanej vlastnosti (A5a) spočítame podiel

( ) ( )2 3

2 21 2

2 2S xx x x R x

x x x x+ + −

= ++ + + +

alebo ( )( ) ( )2 3 21 2 2x x x R x x x S x+ + − = + + + (∗)

Predpokladajme, že polynómy R(x) a S(x) majú tvar

( ) 0 1R x a a x= + , ( ) 0 1S x b b x= +

kde ai a bj sú neznáme koeficienty, ktoré určíme tak, aby platila podmienka (∗).

priesvitka 8

Dosadením týchto dvoch polynómov do (∗) dostaneme

( )( ) ( )2 3 20 1 0 11 2 2x x x a a x x x b b x+ + − = + + + + +

Porovnaním pravej a ľavej strany dostaneme rovnice, ktoré špecifikujú neznáme koeficienty ai a bj

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 30 0 0 1 1 0 1 1

11 2 1

1 2 2 2x x x a b a a b x a a x a x−

+ + − = + + + + + + +

Riešením týchto rovníc dostaneme

1 0 1 01, 2, 2, 3a a b b= − = = − = −

Potom riešenie delenia dvoch polynómov má tvar

( )2 3

2 2

1 2 3 222 2

x x x xxx x x x

+ + − − −= − +

+ + + +

priesvitka 9

Príklad

Konštrukcia rozkladu racionálnej funkcie na tvar ( )( ) ( ) ( )

( )P x S x

R xQ x Q x

= + môže byť

jednoducho realizovaná pomocou „stredoškolskej“ operácia delenie dvoch polynómov,

( ) ( )3 2 22 1 : 2 ?x x x x x− + + + + + = 1. krok:

( ) ( )3 2 2

3

2

3 2

2

2 1 : 2

2

2 4 1

x x x x x x

x xxx x x

x x

− + + + + + = −

−= −

+ + +

+ +

priesvitka 10

2. krok:

( ) ( )3 2 2

2

2

2

2

2 1 : 2 2

2 4 12 2

2 2 42 3

podiel

zbytok

x x x x x x

x xx

xx x

x

− + + + + + = − +

+ +

=

− − −−

3. krok:

( ) ( )3 2 22

2 32 1 : 2 22

2 3podiel a zbytok

xx x x x x xx x

x

−− + + + + + = − + +

+ +

−

priesvitka 11

Algebraická rovnica, korene

Nech ( ) 2

0 1 2 ... nnP x a a x a x a x= + + + + je polynóm n-tého

stupňa, algebraická rovnica priradená tomuto polynómu má tvar

( ) 20 1 2 ... 0n

nP x a a x a x a x= + + + + = Číslo α sa nazýva koreň algebraickej rovnice práve vtedy ak platí

( ) 0P α =

Fundamentálna veta algebry (Gauss). Každá algebraická rovnica má v oblasti komplexných čísel aspoň jeden koreň. Dôkaz tejto vety je netriviálna záležitosť, pri jej dôkazu sa obvykle využíva sofistikovaný aparát matematickej analýzy komplexnej premennej.

C. F. Gauss (1777–1855)

priesvitka 12

Veta. Ak α1 je koreňom algebraickej rovnice P(x) = 0, potom platí formula

( ) ( ) ( )1P x x S x= −α kde S(x) je polynóm so stupňom o jednotku menším, ako stupeň pôvodného polynómu P(x) , ( ) ( ) 1deg S deg P= − . Lineárny polynóm ( )1x −α sa nazýva koreňový člen.

Dôkaz dôležitej formuly: Nech α1 je koreňom algebraickej rovnice ( ) 2

0 1 2 ... 0nnP x a a x a x a x= + + + + = n-tého stupňa, potom platí ( )1 0P α = . Pre každé

x potom platí ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 1 2 1... n nnP x P x a x a x a− α = −α + −α + + −α (∗)

Pre každé k > 1 platí ( ) ( )( )1 2 11 1 1 1 ...k k k k kx x x x− − −−α = −α α +α + + , Potom (∗) môžeme

upraviť do tvaru ( ) ( ) ( )( )11 1 0 1 1... n

nP x P x x x −−− α = −α β +β + +β , kde 0 1 1, ,..., n−β β β sú

koeficienty nového polynómu ( ) 10 1 1... n

nS x x x −−= β +β + +β , QED.

priesvitka 13

Dôsledok. Postupným použitím formuly z vety môžeme každý polynóm P(x) prepísať do tvaru, ktorý obsahuje len koreňové členy

( ) ( )( ) ( )1 2 ... nP x x x x= −α −α −α kde 1 2, ,..., nα α α sú korene algebraickej rovnice ( ) 0P x = .

Korene algebraickej rovnice s reálnymi koeficientmi

Veta. Nech algebraická rovnica 2

0 1 2 ... 0nna a x a x a x+ + + + = obsahuje len reálne

koeficienty 0 1, ,..., na a a , potom jej korene sú buď reálne alebo komplexné vyskytujúce sa po komplexne združených dvojiciach, 1,2 a ibα = ± , t. j. 2 1

∗α = α .

priesvitka 14

Dôkaz tejto vety je jednoduchý. Nech platí ( )1 0 1 1 1... 0n

nP a a aα = + α + + α = , komplexným združením tejto formuly dostaneme ( ) ( )1 0 1 1 1... 0

n

nP a a a∗ ∗ ∗α = + α + + α = , t. j. aj 1∗α je koreňom algebraickej rovnice

( ) 0P x = . Súčin dvoch koreňových členov, ktoré sú priradené navzájom komplexne

združeným koreňom má tvar ( )( ) 21 1x x x px q∗− α −α = + + , kde 2p a= − , 2 2q a b= + ,

t. j. 2 0x px q+ + = je kvadratická rovnica s reálnymi koeficientmi, ktorá obsahuje dvojicu navzájom komplexne združených koreňov.

priesvitka 15

Veta. Polynóm ( ) 2

0 1 2 ... nnP x a a x a x a x= + + + + s reálnymi koeficietmi sa rovná súčinu

elementárnych členov, ktoré sú priradené reálnym a komplexným koreňom pridruženej algebraickej rovnice P(x) = 0

( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 1... ...u v v

reálne korene komplexné korene

P x x x x p x q x p x q= −α −α + + + +

Rozklad polynómu z predchádzajúcej vety môže byť jednoducho zovšeobecnený pomocou koncepcie multiplicity (násobnosti) koreňov do kompaktného tvaru

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 21 2 1 1 2 2... ...

s sr r

reálne korene komplexné korene

P x x x x p x q x p x q= −α −α + + + +

kde ri je násobnosť (multiplicita) i-teho reálneho koreňa a sj je násobnosť j-tej dvojice komplexne združených koreňov.

priesvitka 16

Hornerova schéma výpočtu funkčnej hodnoty polynómu

K tomu, aby sme efektívne vypočítali funkčnú hodnotu polynómu ( ) 2

0 1 2 ... nnP x a a x a x a x= + + + + pre dané číslo x, upravíme polynóm do tvaru

( )

3

2

1

0

20 1 2 0 1 2 3... ...

n

nn n

b

b

b

b

b P x

a a x a x a x a a a a a x x x x

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

W. G. Horner (1786 – 1837)

priesvitka 17

Pomocou rekurentne špecifikovaných koeficientov bi postupne počítame funkčnú hodnotu polynómu P(x)

( )

1 1

2 2 1

1 1 2

0 0 1

...........................

n n

n n n

n n n

b ab a b xb a b x

b a b xP b a b x

− −

− − −

=

= +

= +

= +

α = = +

Hodnota koeficientu b0 sa rovná funkčnej hodnote polynómu P(x) v čísle α. Postupný výpočet týchto koeficientov, od bn až poi b0, nazývame Hornerova schéma, ktorá je vizualizovaná pomocou tabuľky

xα

a5 a4 a3 a2 a0a1

a5 b4 b3 b2 b0b1*+ =

*

+ =

priesvitka 18

Príklad

Majme polynóm ( ) 2 3 4 56 2 2 4P x x x x x x= + + + − + , našou úlohou je vzpočítať funkčnú hodnotu tohto polynómu pre číslo x = 2. Priamočiary prístup (brute force) k tomuto výpočtu má nasledovný tvar

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 56 2 2 2 2 2 4 2 2 6 2 2 4 2 8 4 16 32 0P x = + + + − + = + + × + × − × + = Podstatne jednoduchší je výpočet založený na predchádzajúcej rekurentnej schéme

( )( )( )( )( ) ( )

5

4

3

2

1

0

14 1 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 2 3

6 3 2 0 2 0

bb

b

b

b

b P

=

= − + × = −

= + − × = −

= + − × = −

= + − × = −

= + − × = ⇒ =

Týmto sme aj priamo z definície dokázali, že číslo x = 2 je koreňom danej algebraickej rovnice 2 3 4 56 2 2 4 0x x x x x+ + + − + = .

priesvitka 19

Tento rekurentný postup výpočtu funkčnej hodnoty polynómu je jednoducho reprezentovaný pomocou tabuľky, ktorá sa nazýva Hornerova schéma (alebo algoritmus),

1 -4 2 2 1 6a b5 5/

x

2 1 -2 -2 -2 -3 0

1

1

-3 -1 1 2 8

-1

1

-5 7 -5 6 0

a b4 4/ a b3 3/ a b2 2/ a b1 1/ a b0 0/

priesvitka 20

Konštrukcia delenia polynómov koreňovými členmi pomocou Hornerovej schémy

Hornerova schéma môže byť efektívne použitá pre delenie polynómov ich koreňovými členmi.

( ) ( ) ( )P x x Q x= −α (∗) kde α je reálny koreň algebraickej rovnice ( ) 1

1 1 0... 0n nn nP x a x a x a x a−

−= + + + + = , polynóm Q(x) je výsledok delenia polynómu P(x) koreňovým členom

( )( ) ( )P x

Q xx

=−α

kde ( ) ( ) 1deg Q x deg P x= − .

priesvitka 21

Predpokladajme, že polynóm Q(x) má tvar

( ) 1 11 2 1...n n

n nQ x b x b x b x b− −−= + + + +

Z podmienky (∗) dostaneme roznásobením pravej strany tejto rovnice

( )( )( ) ( ) ( )

1 1 21 1 0 1 2 1

1 21 2 1 1 2 1

... ...

...

n n n nn n n n

n n nn n n n n

a x a x a x a x b x b x b x b

b x b b x b b x b b x b

− − −− −

− −− − −

+ + + + = −α + + + + =

+ −α + −α + + −α −α

porovnaním pravej a ľavej strany dostaneme Hornerove podmienky pre koeficienty bi Dôsledok: Týmto sme dokázali, že pomocou Hornerovej schémy môžeme aj deliť polynómy elementárnym koreňovým členom ( )x −α .

(1) Ak α je koreňom rovnice ( ) 11 1 0... 0n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + = , potom koeficient b0 = 0,

hovoríme, že polynóm P(x) je deliteľný členom ( )x −α bez zbytku; (2) v opačnom prípade, ak b0 ≠ 0, potom polynóm P(x) je deliteľný členom ( )x −α so zbytkom b0.

priesvitka 22

Príklad Polynóm ( ) 2 3 4 56 2 2 4P x x x x x x= + + + − + budeme deliť členom x −α pre 1,2α = , Hornerova schéma má tvar

1 -4 2 2 1 6a b5 5/

x

2 1 -2 -2 -2 -3 0

1 -3 -1 1 2 81

a b4 4/ a b3 3/ a b2 2/ a b1 1/ a b0 0/

(1) Pomocou druhého riadku sme dokázali že 1α = nie je koreňom algebraickej rovnice ( ) 0P x = (t. j. polynóm P(x) je deliteľný členom 1x − so zbytkom 8, t. j. platí ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21 3 2 8 1P x x x x x x x− = − − + + + − .

(2) V treťom riadku je dokázané, že 2α = je koreňom algebraickej rovnice ( ) 0P x = ; alebo, že polynóm P(x) je deliteľný členom 2x − bez zbytku, t. j. ( ) ( ) ( )4 3 22 2 2 2 3P x x x x x x− = − − − − .

priesvitka 23

Dôsledok: Znázornený prístup pre výpočet funkčných hodnôt polynómu P(x) pre číslo x = α môže byť efektívne použitý na hľadanie koreňov algebraickej rovnice ( ) 0P x = . (1) Ak pre dané číslo x = α dostaneme v poslednom stĺpci nulovú hodnotu, potom

( ) 0P α = , t. j. číslo α je koreňom algebraickej rovnice ( ) 0P x = . (2) Prvých (n – 1) čísel v danom riadku Hornerovej schémy sú koeficienty nového

polynómu Q(x)

1 -4 2 2 1 6a b5 5/

x

2 1 -2 -2 -2 -3 0

1 0 1

a b4 4/ a b3 3/ a b2 2/ a b1 1/ a b0 0/

1-1 -3 1 -3 0

3 0

5 4 3 24 2 2 6x x x x x− + + + +

( )( )4 3 22 2 2 2 3x x x x x− − − − −

( )( )( )3 22 1 3 3x x x x x− + − + −

( )( )( )( )22 1 3 1x x x x− + − +

Určité problémy spôsobuje stanovanie členov ( )2x px q+ + so záporným diskriminantom 2 4D p q= − , ktoré sú priradené komplexným koreňom algebraickej rovnice P(x) = 0.

priesvitka 24

Veta. Polynóm ( ) 1

1 1 0... 0n nn nP x a x a x a x a−

−= + + + + = s reálnymi koeficientmi ai môžeme vyjadriť ako súčin koreňových členov algebraickej rovnice ( ) 0P x =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 21 1 1... ... ba l lk k

a b bP x x x x p x q x p x q= −α −α + + + + kde iα je ki-násobný reálny koreň a kvadratická rovnica 2

j jx p x q+ + špecifikuje

dvojicu komplexne združených lj-násobných koreňov ( ) ( )22 2p p q− ± − .

priesvitka 25

Príklad

Nájdite korene algebraickej rovnice

( ) 6 5 4 3 25 12 16 17 13 6 0P x x x x x x x= − + − + − + = ak poznáme komplexný koreň tejto rovnice 1 2x i= + . (1) K riešeniu tohto príkladu využijeme vlastnosť, že zo skutočnosti, že rovnica má reálne koeficienty, potom komplexné korene sa vyskytujú po dvojica navzájom komplexne združené, 1,2 1 2x i= ± . Zostrojíme kvadratickú rovnicu, ktorá má tieto komplexné korene

( ) ( )( ) ( )( ) 21 2 1 2 1 2 2 3q x x x x x x i x i x x= − − = − − − + = − +

Týmto kvadratickým polynómom podelíme pôvodnú algebraickú rovnicu ( ) ( )6 5 4 3 2 2 4 3 25 12 16 17 13 6 : 2 3 -3 +3 -3 +2x x x x x x x x x x x x− + − + − + − + =

priesvitka 26

(2) V ďalšom kroku budeme hladať ďalšie štyri korene riešením kvartickej algebraickej rovnice 4 3 2-3 +3 -3 +2=0x x x x . Pomocou Hornerovej schémy dostaneme

1 -3 3 -3 2a b4 4/

x

1 1 -2 1 -2 0

a b3 3/ a b2 2/ a b1 1/ a b0 0/

12 0 1 0

4 3 23 3 3 2x x x x− + − +

( )( )3 21 2 2x x x x− − + −

( )( )( )21 2 1x x x− − +

To znamená, že kompletný rozklad polynómu má tvar

( ) ( )( )( )( )6 5 4 3 2 2 25 12 16 17 13 6 1 2 2 3 1P x x x x x x x x x x x x= − + − + − + = − − − + +

priesvitka 27

Racionálne korene algebraických rovníc Ukážeme jednoduchú aplikáciu Hornerovej schémy, ako určiť korene algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami za predpokladu, že existujú racionálne korene. Veta A2. Ak algebraická rovnica s celočíselnými koeficietami ( ) 0 1 ... 0n

nP x a a x a x= + + + = má racionálne korene p qα = , kde p a q sú celé nesúdeliteľné čísla, potom koeficient a0 je deliteľný číslom p a koeficient an je deliteľný číslom q.

priesvitka 28

Dôkaz: Nech algebraická rovnica ( ) 0P x = má racionálny koreň p qα = , potom dosadením tohto koreňa do algebraickej rovnice dostaneme

1 2 20 1 2 ... 0n n n n

na q a pq a p q a p− −+ + + + = (∗) Túto rovnicu prepíšeme do tvaru

( )1 101 2 2 ...n n n

n na q a q a pq a pp

− −−= − + + +

Pretože pravá strana tejto rovnice je celé číslo, potom 0a p musí byť súdeliteľné (pretože p a q sú nesúdeliteľné). Podobným spôsobom prepíšeme (∗) do tvaru

( )1 2 10 1 1...n n n nn

na p a q a pq a pq

− − −−= − + + +

Pretože pravá strana je celé číslo, potom na q musí byť súdeliteľné, QED.

priesvitka 29

Príklad Hľadajme korene algebraickej rovnice 3 28 36 54 27 0x x x− + − = . Predpokladajme, že táto rovnica má racionálne korene typu p q . Na základe predchádzajúcej vety vieme, že ak existuje takýto racionálny koreň, potom 27 p a 8 q sú súdeliteľné, potom kandidáti pre p a q majú hodnoty

27 1, 3, 9, 27p je deliteľné p⇒ = ± ± ± ± 8 1, 2, 4, 8q je deliteľné q⇒ = ± ± ± ±

Potom 16 kandidátov na racionálne korene danej algebraickej rovnice sú tieto 1 1 1 3 3 3 9 9 9 27 27 271, , , , 3, , , , 9, , , , 27, , ,2 4 8 2 4 8 2 4 8 2 4 8

pq

⎧ ⎫α = ∈ ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±⎨ ⎬⎩ ⎭

priesvitka 30

8 -36 54 -27x

3/2 -24 18 0

a b3 3/ a b2 2/ a b1 1/ a b0 0/

8

3/2 8 -12 0

3/2 8 0

To znamená, že pomocou Hornerovej schémy sme ukázali, že číslo 3 2x = je koreňom algebraickej rovnice ( )33 28 36 54 27 8 3 2 0x x x x− + − = − =

priesvitka 31

Príklad Majme algebraickú rovnicu 2 3 4 56 11 12 12 6 0x x x x x− + − + − + = . Nech táto rovnica má racionálne korene, potom

6 1, 2, 3, 6deliteľné bez zbytku pp−

= ⇒ = ± ± ± ±

1 1deliteľné bez zbytku qq= ⇒ = ±

Potom racionálni kandidáti na korene sú z množiny

{ }1, 2, 3, 6pq

α = ∈ ± ± ± ±

priesvitka 32

Pomocou Hornerovej schémy vykonáme verifikáciu, ktorý z 8 kandidátov je koreň

1 -6 12 -12x

1 0

a b4 4/ a b2 2/ a b1 1/ a b0 0/

1

0

a b3 3/a b5 5/

11 -6

2

3

1 -5 7 -5 601 -3 -3

1 0 1

Verifikovali sme, že čísla 1,2,3α = sú korene danej algebraickej rovnice. V poslednom štvrtom riadku schémy sú koeficienty zbytku ( )2 1x + . To znamená, že polynóm ( ) 2 3 4 56 11 12 12 6P x x x x x x= − + − + − + môžeme prepísať do tvaru súčinu koreňových členov

( ) ( )( )( )( )2 3 4 5 26 11 12 12 6 1 2 3 1P x x x x x x x x x x= − + − + − + = − − − + Algebraická rovnica má tri reálne korene 1,2,3α = a dva komplexné korene iα = ± .

priesvitka 33

Rozklad racionálnej funkcie na sumu elementárnych parciálnych zlomkov

Racionálna funkcia R(x) premennej x je definovaná ako podiel dvoch polynómov

( ) ( )( )

P xR x

Q x=

pričom predpokladáme, že ( ) 0deg Q x > (t. j. menovateľ nie je konštanta, potom by sa polynómy R(x) a P(x) líšili len konštantou). Rozklad racionálnej funkcie rozdelíme do 3 krokov.

priesvitka 34

1. krok: Racionálnu funkciu delením upravíme tak, aby stupeň čitateľa bol menší ako stupeň menovateľa

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )P x S x

R x U xQ x Q x

= = +

V prípade, že ( ) ( )deg P x deg Q x> , potom pomocou delenia ( ) ( ):P x Q x znížime stupeň P(x) tak, aby bol menší ako stupeň Q(x), pričom zbytok delenia je S(x). Tento krok budeme ilustrovať jednoduchým príkladom

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

5 4 3 2 3 2

4 3 2 4 3 2

1 8 8 9 743 3 3 2 3 3 3 2

S x

U xQ x

P x x x x x x x x xR x xQ x x x x x x x x x

+ − + − + − + −= = = + +

− + − + − + − +

priesvitka 35

2. krok: Polynóm Q(x) vyjadríme ako súčin elementárnych členov. Najprv odhadneme kandidátov na racionálne korene { }1, 2α∈ ± ± , použitím Hornerovej schémy vykonáme verifikáciu jednotlivých kandidátov na racionálne korene, dostaneme dva korene 1 1α = , 2 2α = , pričom zbytok je 2 1x + , potom

( ) ( )( )( )4 3 2 23 3 3 2 1 2 1Q x x x x x x x x= − + − + = − − + 3. krok. Rozklad ( ) ( )S x Q x má tvar

( )( ) ( )( )( )

3 2

22

8 8 9 71 2 11 2 1

S x x x x A B Cx dQ x x x xx x x

− + − += = + +

− − +− − +

priesvitka 36

Ak vynásobíme finálny rozklad Q(x) dostaneme

( )( ) ( )( ) ( )( )( )3 2 2 28 8 9 7 2 1 1 1 1 2x x x A x x B x x C x x Cx D− + − = − + + − + + − − + Porovnanímľavej strany s pravou stranou dostaneme systém 4 lineárnych rovníc pre 4 neznáme A, B, C a D

82 2 8

2 3 92 2 7

A B CA B C D

A B C DA B D

+ + =− − − + = −− + − =

− − + = −

Riešením tohto systému dostaneme 17, 19, 6, 11A B C D= − = = = −

To znamená, že rozklad racionálnej funkcie ( ) ( )S x Q x má finálny tvar ( )( ) ( )( )( )

3 2

22

8 8 9 7 17 19 6 111 2 11 2 1

S x x x x xQ x x x xx x x

− + − − −= = + +

− − +− − +

priesvitka 37

Veta. Nech polynóm Q(x) má tvar (A17), potom racionálnu funkciu ( ) ( )S x Q x môžeme vyjadriť ako sumu jednotlivých elementárnych racionálnych funkcii, ktoré sú pridané buď (1) reálnemu členu ( ) ( )pre 1 aik

ix i−α ≤ ≤ ( )

( )( )

( )

( )

( )1 2 1

2 ...i

i

ki i

ki i i

A A Ax x x

+ + +−α −α −α

(2) alebo komplexnému členu ( ) 12 lj

j jx p x q+ + ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )1 1 2 2

22 2 2...

j j

j

l lj j j j j j

lj j j j j j

B C x B C x B C xx p x q x p x q x p x q

+ + ++ + +

+ + + + + +

priesvitka 38

Príklad

Študujme racionálnu funkciu

( ) ( ) ( )2

23 2 2

2 3

1 3 1

x xx x x x

+ −

− − + +

Rozklad tejto ravionálnej funkcie na elementárne zlomky má tvar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

231 2 1 2

2 2 2 3 22

1 12

2 31 31 3 1 1 1 3

1

Ax x A A B Bx xx x x x x x x

C D xx x

+ −= + + + + +

− −− − + + − − −

++

+ +

Kde konštanty A1, A2, A3, B1, B2, C1, D1 sú určené tak, aby sa pravá strana rovnala ľavej strane.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 23 2 2

2 3 1 34 3 47 673 1 169 3 505 113 31 3 1

x x xx x x xxx x x x

+ − − −= − + +

− − + +−− − + +

priesvitka 39

Pieter Bruegel the Elder (1525 – 1569): The Fight Between Carnival and Lent A modern analogy of the multiagent system (MAS), where singles, pairs and triples of agents (people) mutually interact

The End