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Pontificia Universidad Javeriana.
Facultad de Ciencias.
Departamento de Matemáticas.
Introducción al Cálculo Cuántico e Integrales de Jackson.
Sara Bolaños Nuñez
Directora: Eddy Pariguan
Bogotá - Colombia
Mayo de 2016
Índice general
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Índice general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Herramientas básicas del Cálculo Cuántico 7
1.1. Generalización de la fórmula de Taylor para polinomios . . . . . . . . . . . 12
1.2. q-análogo de (x ≠ a)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Propiedades combinatorias para q-análogos 22
2.1. Fórmula de binomial de Gauss y una fórmula binomial no conmutativa. . . 23
2.2. Propiedades de coeficientes q-binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Integral de Feynman-Jackson 30
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
Agradecimientos
Debo agradecer de manera especial y sincera a la Profesora Eddy Pariguán por su gran
colaboración para realizar esta tesis bajo su dirección. Su apoyo y confianza en mi trabajo
y su capacidad para guiar mis ideas ha sido un aporte invaluable, no solamente en el
desarrollo de esta tesis, sino también en mi formación como investigadora.
Quiero expresar también mi más sincero agradecimiento al Profesor Humberto Refeiro
por su importante aporte al hacer las respectivas correciones de este trabajo.
Agradezo a la Pontificia Universidad Javeriana por la financiación parcial de este tra-
bajo a través del proyecto identificado con el ID 5889.
Dedico esta tesis a mis padres y a mi novio David quienes fueron un gran apoyo emo-
cional durante el tiempo en que escribía esta tesis.
3
Introducción
El cálculo cuántico se puede considerar, en cierta manera, una versión de el cáculo clá-
sico sin incluir la noción de límite, cuyo objetivo principal es buscar q-análogos de los
objetos matemático clásicos y estudiar qué propiedades tienen en el q-cálculo, teniendo
en cuenta que al tomar el límite cuando q tiende a 1 debemos recuperar nuevamente el
objeto original.
En los últimos años, el interés sobre el cálculo cuántico se ha disparado. No pasa una
semana sin que aparezca un nuevo documento sobre q-cálculo. Esto es, por supuesto, de-
bido al hecho que el q-análisis ha demostrado ser muy fructífero en diversas áreas, tan
vitales como la informática, la física de partículas y supersimetrías. Además actúa como
una herramienta importante para los investigadores que trabajan con teoría de números
analítica o en la física teórica [5]. Sumado a esto, temas como las q- series han apare-
cido en el trabajo de la física, las álgebras de Lie, teoría de números trascendentales, y
estadística, también nuevos desarrollos en áreas familiarizadas con q-series como: análisis
clásico, combinatoria, teoría aditiva de los números, álgebra computacional, entre otros [1].
Hasta la fecha, el desarrollo teórico del q-cálculo se ha estructurado de manera no unifor-
me. Inicialmente, los trabajos publicados sobre el q-cálculo se diferenciaban dependiendo
de dónde y por quién eran escritos. Esta confusión complicó el desarrollo de esta teoría
por varios años [5]. La historia del q-cálculo se remonta al siglo XVIII, puede de hecho, ser
tomado tan atrás como Leonhard Euler en su libro Introduction in analysin infinitorum
4
[6], quién iba tras las pistas de la serie infinita de Newton [5].
Las diversas escuelas del cálculo cuántico se han desarrollado durante un periodo de
aproximadamente 300 años desde Bernoulli y Euler. Lo que distingue a estas escuelas es
principalmente: su historia (sus raíces), su lenguaje y sus diferentes notaciones, por esta
razón éstas escuelas hoy suelen tener problemas para entenderse unos con los otros, debi-
do a las diferencias en su lenguaje y demás distinciones. Las dos principales escuelas son
la escuela austríaca y la escuela de Watson, que toma su nombre del matemático inglés
George Neville Watson, quien escribió el famoso ensayo sobre la teoría de las funciones de
Bessel, y facilitó una prueba rigurosa de la identidades de Rogers-Ramanujan. Ambas es-
cuelas reconocen los primeros legados de C.F. Gauss y L. Euler. Por un lado tenemos que
los matemáticos importantes pioneros de la escuela austríaca son J. Bernoulli, C.F. Gauss
y L. Euler en el siglo XVII, entre los matemáticos europeos centrales del siglo XIX están:
H. Heine, J. Thomae, J. Jacobi, y desde el siglo XX: A. Pringsheim, C.L Lindemann,H.
Hanh, A. Lesky y J. Cigler, el inglés F.H Jackson, el austríaco P. Paule, J. Hofbauer,
A. Riese y el francés P. Appell, por mencionar algunos. Por otra parte tenemos que los
primeros practicantes en la escuela Watson fueron los matemáticos de Cambridge que se
inspiraron a corta estancia de S.Ramanujan, por ejemplo, E. Neville y W. Bailey, por
nombrar algunos [5].
En este trabajo vamos a realizar una revisión del libro Quantum Calculus del autor
Victor Kac [9], donde estudiamos los conceptos básicos del cálculo cuántico. Luego, estu-
diaremos el artículo An Example of Feynman-Jackson integral de los autores Rafael Díaz
y Eddy Pariguán [4], donde nos introducimos al mundo de las integrales de Feynman-
Jackson y mostramos algunas de las propiedades combinatorias. Las integrales de Feyn-
man son una herramienta muy utilizada en la física de altas energías, ya que proporcionan
una representación integral universal para las funciones de correlación de cualquier teoría
cuántica de campos de Lagrange, cuya forma cuadrática asociada es no degenerada [3].
5
Las integrales de Feynman tienen como q-análogo en el cálculo cuántico las integrales de
Feynman Jackson. El nombre de Jackson, fue introducido por F.H Jackson en [7], [8].
El presente trabajo esta dividido en 3 capítulos. En el primer capítulo introduciremos
las definiciones preliminares, herramientas y propiedades básicas del q-cálculo, además
podemos leer sobre la generalización de la fórmula de Taylor, examinar algunos q-análogos
de objetos clásicos en matemáticas, como el q-análogo de el polinomio (x ≠ a)n y veremos
algunas de sus propiedades. En el capítulo 2 presentamos las propiedades combinatorias
para q-análogos de expresiones como (x≠a)n, mostramos dos fórmulas, la fórmula binomial
de Gauss y una fórmula binomial no conmutativa que involucran coeficientes q-binomiales.
Finalmente en el tercer capítulo, con la ayuda de los capítulos 1 y 2, construiremos el q-
análogo de los mementos de la medida de Gauss con la ayuda de la integral de Feynman
que está definida por la siguiente expresión⁄
b
0f(x)d
q
x = (1 ≠ q)bŒÿ
n=0q
n
f(qn
b). (1)
La idea principal es encontrar el q-análogo de cada una de las partes de la ecuación (2)
1Ô2fi
⁄ Œ
≠Œe
≠ x
22
x
2n
dx = (2n ≠ 1)(2n ≠ 3) · · · 7 · 5 · 3 · 1 (2)
y exhibir sus propiedades en la combinatoria.
6
Capítulo 1
Herramientas básicas del Cálculo
Cuántico
En este capítulo comenzaremos a desarrollar las ideas centrales del cálculo cuántico. En
primera instancia introducimos el concepto de diferencial cuántico, lo cual nos permite
definir la q-derivada y la h-derivada de una función. En todo el trabajo utilizaremos la
notación Func(R,R) para referirnos al espacio vectorial de todas las funciones de R en
R.
Definición 1. Sea f œ Func(R,R), el h-diferencial de f está definido por
d
h
f(x) = f(x + h) ≠ f(x). (1.1)
Ejemplo 2. Considere f(x) = x
n
, donde n es un entero positivo. El h-diferencial de f
está dada por la expresión:
d
h
x
n = (x + h)n ≠ x
n
. (1.2)
Definición 3. Sea f œ Func(R,R), la h-derivada de f está dada por la expresión:
D
h
f(x) = d
h
f(x)h
= f(x + h) ≠ f(x)h
. (1.3)
7
Ejemplo 4. Considere f(x) = x
n
, donde n es un entero positivo. La h-derivada de f está
dada por la expresión:
D
h
x
n = (x + h)n ≠ x
n
h
= nx
n≠1 + n(n ≠ 1)2 x
n≠2h + ... + h
n≠1. (1.4)
Definición 5. Sea 0 < q < 1 un número real fijo. Denotemos por [ ]q
: R ≠æ R la
aplicación dada por
[t]q
= (1 ≠ q
t)(1 ≠ q) , para todo t œ R.
La aplicación [ ]q
: R ≠æ R no es un homomorfismo de álgebra ya que para s, t œ R
[s + t]q
”= [s]q
+ [t]q
.
Sin embargo se tiene lo siguiente:
Proposición 6. La aplicación [ ]q
: R ≠æ R satisface las siguientes propiedades:
1. [s + t]q
= [s]q
+ q
s[t]q
, para todo s, t œ R.
2. [st]q
= [s]q
t [t]q
, para todo s, t œ R.
3. [1]q
= 1.
4. [0]q
= 0.
Demostración. 1.
[s + t]q
= (1 ≠ q
s+t)(1 ≠ q) = (1 ≠ q
s
q
t)(1 ≠ q) = 1 ≠ q
s + q
s ≠ q
s
q
t
(1 ≠ q)
= (1 ≠ q
s)(1 ≠ q) + (qs ≠ q
s
q
t)(1 ≠ q) = (1 ≠ q
s)(1 ≠ q) + q
s
(1 ≠ q
t)(1 ≠ q) = [s]
q
+ q
s[t]q
.
2. [st]q
= (1 ≠ q
st)(1 ≠ q) = (1 ≠ q
st)(1 ≠ q) · 1 ≠ q
t
1 ≠ q
t
= (1 ≠ q
st)(1 ≠ q
t) · 1 ≠ q
t
1 ≠ q
= [s]q
t [t]q
.
3. [1]q
= (1 ≠ q
1)(1 ≠ q) = 1.
8
4. [0]q
= (1 ≠ q
0)(1 ≠ q) = 0.
Definición 7. Fijemos 0 < q < 1, f œ Func(R,R). Definimos los operadores lineales I
q
,
d
q
, ˆ
q
: Func(R,R) ≠æ Func(R,R), mediante las expresiones:
1. I
q
(f)(x) = f(qx), para todo x œ R.
2. d
q
(f) = I
q
(f) ≠ f , d
q
(f), es el q-diferencial de f .
3. ˆ
q
(f) = d
q
(f)d
q
x
= I
q
(f) ≠ f
(q ≠ 1)x . ˆ
q
(f) se llama la q-derivada de la función f.
Proposición 8. Dados f y g œ Func(R,R), las siguientes propiedades se satisfacen:
1. ˆ
q
(f + g) = ˆ
q
(f) + ˆ
q
(g).
2. ˆ
q
(fg) = fˆ
q
(g) + I
q
(g)ˆq
(f).
3. ˆ
q
Af
g
B
= ˆ
q
(f)g ≠ fˆ
q
(g).
4. ˆ
q
(f(ax
b)) = a[b]q
(ˆq
bf)(ax
b)xb≠1, donde [b]
q
= (1 ≠ q
b)(1 ≠ q) , a, b œ R.
Demostración.
1. ˆ
q
(f + g)(x) = d
q
(f + g)(x)d
q
x
= I
q
(f + g)(x) ≠ (f + g)(x)(q ≠ 1)x
= (f + g)(qx) ≠ (f + g)(x)(q ≠ 1)x = f(qx) + g(qx) ≠ f(x) ≠ g(x)
(q ≠ 1)x
= f(qx) ≠ f(x) + g(qx) ≠ g(x)(q ≠ 1)x = f(qx) ≠ f(x)
(q ≠ 1)x + g(qx) ≠ g(x)(q ≠ 1)x
= (Iq
f ≠ f)(x)(q ≠ 1)x + (I
q
g ≠ g)(x)(q ≠ 1)x = d
q
(f)(x)(q ≠ 1)x + d
q
(g)(x)(q ≠ 1)x
= ˆ
q
(f)(x) + ˆ
q
(g)(x).
9
2. ˆ
q
(fg)(x) = d
q
(fg)(x)d
q
x
= (Iq
fg ≠ fg)(x)(q ≠ 1)x = (fg)(qx) ≠ (fg)(x)
(q ≠ 1)x
= f(qx)g(qx) ≠ g(qx)f(x) + g(qx)f(x) ≠ f(x)g(x)(q ≠ 1)x
= f(x)C
g(qx) ≠ g(x)(q ≠ 1)x
D
+ g(qx)C
f(qx) ≠ f(x)(q ≠ 1)x
D
= f(x)C
(Iq
g ≠ g)(x)(q ≠ 1)x
D
+ g(qx)C
(Iq
f ≠ f)(x)(q ≠ 1)x
D
= f(x)d
q
(g)(x)d
q
x
+ I
q
(g)(x)d
q
(f)(x)d
q
x
= f(x)ˆq
(g)(x) + I
q
(g)(x)ˆq
(f)(x).
3. ˆ
q
Af
g
B
(x) =d
q
Af
g
B
(x)
d
q
x
=
A
I
q
f
g
≠ f
g
B
(x)
(q ≠ 1)x =
Af
g
B
(qx) ≠A
f
g
B
(x)
(q ≠ 1)x
=
f(qx)g(qx) ≠ f(x)
g(x)(q ≠ 1)x =
f(qx)g(x) ≠ g(qx)f(x)g(qx)g(x)(q ≠ 1)x
=
f(qx)g(x) ≠ g(qx)f(x) ≠ g(x)f(x) + g(x)f(x)(q ≠ 1)x
g(qx)g(x)
=C
f(qx) ≠ f(x)(q ≠ 1)x
D
g(x) ≠ f(x)C
g(qx) ≠ g(x)(q ≠ 1)x
D
= (Iq
f ≠ f)(x)(q ≠ 1)x g(x) ≠ f(x)(I
q
g ≠ g)(x)(q ≠ 1)x
10
= d
q
(f)(x)d
q
x
g(x) ≠ f(x)d
q
(g)(x)d
q
x
= ˆ
q
(f)(x)g(x) ≠ f(x)ˆq
(g)(x).
4. Sean a, b œ R
ˆ
q
(f(ax
b)) = d
q
(f(ax
b))d
q
x
= I
q
(f(ax
b)) ≠ f(ax
b)(q ≠ 1)x
= f(aq
b
x
b) ≠ f(ax
b)aq
b
x
b ≠ ax
b
· aq
b
x
b ≠ ax
b
(q ≠ 1)x
= a
(1 ≠ q
b)(1 ≠ q)
Af(qb(ax
b)) ≠ f(ax
b)(qb ≠ 1)ax
b
B
x
b≠1
= a
(1 ≠ q
b)(1 ≠ q)
AI
q
b(f)(ax
b) ≠ f(ax
b)(qb ≠ 1)ax
b
B
x
b≠1
= a
(1 ≠ q
b)(1 ≠ q)
Ad
q
b(f)(ax
b)(qb ≠ 1)ax
b
B
x
b≠1
= a[b]q
(ˆq
bf)(ax
b)xb≠1.
Ejemplo 9. Considere la función f(x) = x
n
. Utilizando la Definición 7 se tiene:
1. I
q
(xn) = (qx)n
.
2. d
q
(xn) = I
q
(xn) ≠ x
n = (qx)n ≠ x
n = x
n(qn ≠ 1).
3. ˆ
q
(xn) = d
q
(xn)d
q
x
= I
q
(xn) ≠ x
n
(q ≠ 1)x = x
n(qn ≠ 1)(q ≠ 1)x = x
n≠1(qn ≠ 1)(q ≠ 1) = [n]
q
x
n≠1.
Note que
lımqæ1
ˆ
q
f(x) = lımhæ0
D
h
f(x) = df(x)dx
.
11
Terminamos esta sección explicando el uso de las letras h y q como parámetros. La letra
q tiene varios significados:
Es la primera letra de “quantum",
Es la letra que se usa comúnmente para denotar el número de elementos en un
campo finito,
Denota lo indeterminado de desarrollos en series de potencias.
La letra h se utiliza como un recordatorio de la constante de Planck, que es la constante
más importante en la mecánica cuántica (la física del mundo microscópico). Se entiende el
límite de “clásico” como q æ 1 o h æ 0, y los dos parámetros cuánticos estan generalmente
relacionados por medio de la ecuación q = e
h.
1.1. Generalización de la fórmula de Taylor para po-
linomios
En el cálculo ordinario, una función f(x) que posee derivadas de todas las órdenes es
analítica en x = a, si se puede expresar como una serie de potencias alrededor de x = a
[2]. El teorema de Taylor nos dice que la serie de potencias de f está dada por
f(x) =Œÿ
n=0f
(n)(a)(x ≠ a)n
n! . (1.5)
La expansión de Taylor de una función analítica a menudo nos permite extender la defi-
nición de la función a un dominio más grande y más interesante. Por ejemplo, podemos
utilizar la expansión de Taylor de e
x para definir las exponenciales de números complejos y
matrices cuadradas. También nos gustaría formular un q-análogo de la fórmula de Taylor.
Pero antes de hacerlo, consideremos primero una situación más general.
Teorema 10. Sea a œ R , D un operador lineal en el espacio de polinomios, y
{P0(x), P1(x), P2(x), · · · } una secuencia de polinomios que satisfacen las siguientes tres
condiciones:
12
1. P0(a) = 1 y P
n
(a) = 0, para cualquier n Ø 1;
2. grad(Pn
) = n;
3. D(Pn
(x)) = P
n≠1(x) para cualquier n Ø 1, y D(1) = 0.
Entonces para cualquier polinomio f(x) de grado N se tiene la siguiente fórmula de Taylor
generalizada:
f(x) =Nÿ
n=0(Dn
f)(a)Pn
(x). (1.6)
Demostración. Sea V el espacio de polinomios de grado no superior a N , de modo que
dim V = N +1. Los polinomios {P0(x), P1(x), · · · , P
N
(x)} son linealmente independientes,
ya que, por la condición 2 del Teorema 10, sus grados son estrictamente crecientes. Por
lo tanto constituyen una base para V ; es decir, cualquier polinomio f(x) œ V puede
expresarse como
f(x) =Nÿ
n=0c
k
P
k
(x). (1.7)
para constantes únicas c
k
. Tomando x = a y el uso de la condición 1, uno obtiene c0 = f(a).
Entonces, aplicamos el operador lineal D n veces en ambos lados de la ecuación (1.7),
donde 1 < n < N , usamos las condiciones 1 y 2 del Teorema 10, y obtenemos:
(Dn
f)(x) =Nÿ
k=n
c
k
D
n
P
k
(x) =Nÿ
k=n
c
k
P
k≠n
(x).
Tomando x = a y usando la condición 1 del Teorema 10, obtenemos
c
n
= (Dn
f)(a), 0 Æ n Æ N.
y por lo tanto la ecuación (1.7) se convierte en la ecuación (1.6).
Ejemplo 11. Sea
D = d
dx
, P
n
(x) = (x ≠ a)n
n! ,
las condiciones del Teorema 10 se satisfacen:
13
1. Sea a œ R
P0(a) = (a ≠ a)0
0! = 1.
P
n
(a) = (a ≠ a)n
n! = 0.
2. Como P
n
(x) = (x ≠ a)n
n! entonces
grad(Pn
) = n.
3.
D(Pn
(x)) = d
dx
A(x ≠ a)n
n!
B
= n(x ≠ a)n≠1
n! = (x ≠ a)n≠1
(n ≠ 1)! = P
n≠1(x).
Es fácil ver que dado D, la secuencia de polinomios que satisfacen condiciones 1, 2 y 3
del Teorema 10, si existe la fórmula de Taylor y se determina de forma única. Por otra
parte, si D es un operador lineal que mapea el espacio de polinomios de grado n en el
espacio de polinomios de grado n ≠ 1, siempre existe una secuencia de este tipo.
1.2. q-análogo de (x ≠ a)n
Como lo vimos en la Proposición 8 ˆ
q
es un operador lineal en el espacio de polinomios.
Para aplicar el Teorema 10 con D © ˆ
q
es necesario introducir el q-análogo de n! el cual
se define de la siguiente manera:
[n]q
! =
Y_]
_[
1, si n = 0,
[n]q
◊ [n ≠ 1]q
◊ · · · ◊ [1]q
, si n = 1, 2, · · ·(1.8)
Ahora vamos a construir la secuencia de polinomios {P0(x), P1(x), P2(x), · · · } que satis-
facen las tres condiciones del Teorema 10 con respecto a D © ˆ
q
. Si a = 0, podemos escoger
P
n
(x) = x
n
[n]q
! , (1.9)
ya que:
14
(1) P0(0) = 1 para n Ø 1,
(2) grad(Pn
) = n,
(3) Usando el resultado del Ejemplo 9 se tiene que ˆ
q
x
n = [n]q
x
(n≠1), para n Ø 1,
ˆ
q
P
n
(x) = ˆ
q
x
n
[n]q
! = [n]q
x
(n≠1)
[n]q
! = x
n≠1
[n ≠ 1]q
! = P
n≠1(x).
Si a ”= 0,
P
n
(x) ”= (x ≠ a)n
[n]! .
Por ejemplo,
ˆ
q
(x ≠ a)2
[2]q
! ”= (x ≠ a).
Vamos a encontrar el primer término de la secuencia P
n
(x) y a tratar de deducir la fórmula
en general. Tenemos
P0(x) = 1.
Para que ˆ
q
P1(x) = 1 y P1(a) = 0, debemos tener que
P1(x) = x ≠ a.
Para que ˆ
q
P2(x) = x ≠ a y P2(a) = 0, debemos tener que
P2(x) = x
2
[2]q
≠ ax ≠ a
2
[2]q
+ a
2 = (x ≠ a)(x ≠ qa)[2]
q
.
Análogamente
P3(x) = (x ≠ a)(x ≠ qa)(x ≠ q
2a)
[2]q
[3]q
,
Una conjetura lógica sería
P
n
(x) = (x ≠ a)(x ≠ qa) · · · (x ≠ q
n≠1a)
[n]q
! . (1.10)
lo que concuerda con la ecuación (1.9) cuando a = 0. Antes de verificar la validez de la
condición 3 del Teorema 10, vamos a introducir lo siguiente:
15
Definición 12. El q-análogo de (x ≠ a)n
es el polinomio
(x ≠ a)n
q
=
Y_]
_[
1, si n = 0,
(x ≠ a)(x ≠ qa) · · · (x ≠ q
n≠1a), si n Ø 1.
(1.11)
Proposición 13. Para n Ø 1
ˆ
q
(x ≠ a)n
q
= [n]q
(x ≠ a)n≠1q
.
(1.12)
Demostración. La fórmula es verdadera cuando n = 1. Supongamos que
ˆ
q
(x ≠ a)k
q
= [k]q
(x ≠ a)k≠1q
,
para algún entero k. De acuerdo con la definición,
(x ≠ a)k+1q
= (x ≠ a)k
q
(x ≠ q
k
a).
Usando la regla del producto dada en la Proposición 8,
ˆ
q
(x ≠ a)k+1q
= (x ≠ a)k
q
+ (qx ≠ q
k
a)ˆq
(x ≠ a)k
q
= (x ≠ a)k
q
+ q(x ≠ q
k≠1a) · [k]
q
(x ≠ a)k≠1q
= (1 + q[k]q
)(x ≠ a)k
q
= [k + 1]q
(x ≠ a)k
q
.
Por lo tanto, el resultado se tiene por inducción.
Observe que:
ˆ
q
P
n
= P
n≠1
es un resultado inmediato de la Proposición 13. Ahora vamos a explorar algunas otras
propiedades del polinomio (x ≠ a)n
q
.
En general,
(x ≠ a)m+n
q
”= (x ≠ a)m
q
(x ≠ a)n
q
.
En su lugar, se tiene:
(x ≠ a)m+n
q
= (x ≠ a)(x ≠ qa) · · · (x ≠ q
m≠1a)(x ≠ q
m
a)(x ≠ q
m+1a)
· · · (x ≠ q
m+n≠1a)
= ((x ≠ a)(x ≠ qa) · · · (x ≠ q
m≠1a)) ◊ ((x ≠ q
m
a)(x ≠ q(qm)a))
· · · (x ≠ q
n≠1(qm
a))),
16
lo que nos dice:
(x ≠ a)m+n
q
= (x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m
a)n
q
.
(1.13)
Sustituyendo m por ≠n, podemos extender la Definición 12 a todos los enteros, definiendo
(x ≠ a)≠n
q
= 1(x ≠ q
≠n
a)n
q
, (1.14)
para cualquier entero positivo n. Las dos Proposiciones 14 y 15 muestran que la Proposi-
ción 13 se puede extender para todos los números enteros.
Proposición 14. Para dos enteros m y n cualesquiera, se cumple que
(x ≠ a)m+n
q
= (x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m
a)n
q
.
(1.15)
Demostración. El caso en el que m > 0 y n > 0 ya ha sido demostrado, y el caso donde
uno de los dos m o n es cero se verifica fácilmente. Consideremos primero m = ≠m
Õ< 0
y n > 0. Entonces,
(x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m
a)n
q
= (x ≠ a)≠m
Õq
(x ≠ q
≠m
Õa)n
q
por (1.14) =(x ≠ q
≠m
Õa)n
q
(x ≠ q
≠m
Õa)m
Õq
por (1.13) =
Y______]
______[
(x ≠ q
m
Õ(q≠m
Õa))n≠m
Õq
, n Ø m
Õ,
1(x ≠ q
n(q≠m
Õa))m
Õ≠n
q
, n < m
Õ.
por (1.14) = (x ≠ a)n≠m
Õq
= (x ≠ a)n+m
q
.
17
Si m Ø 0 y n = ≠n
Õ, entonces
(x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m
a)n
q
= (x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m
a)≠n
Õq
por (1.14) =(x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m≠n
Õa)n
Õq
por (1.13) =
Y________]
________[
(x ≠ a)m≠n
Õq
(x ≠ q
m≠n
Õa)n
Õq
(x ≠ q
m≠n
Õa)n
Õq
, m Ø n,
(x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m≠n
Õa)n
Õ≠m
q
(x ≠ q
n
Õ≠m(qm≠n
Õa))m
q
, m < n
=
Y______]
______[
(x ≠ a)m≠n
Õq
, m Ø n,
1(x ≠ q
m≠n
Õa)n
Õ≠m
q
, m < n.
= (x ≠ a)m≠n
Õq
= (x ≠ a)m+n
q
.
Finalmente, si m = ≠m
Õ< 0 y n = ≠n
Õ< 0,
(x ≠ a)m
q
(x ≠ q
m
a)n
q
= (x ≠ a)≠m
Õq
(x ≠ q
≠m
Õa)≠n
Õq
= 1(x ≠ q
≠m
Õa)m
Õq
(x ≠ q
≠n
Õ≠m
Õa)n
Õq
= 1(x ≠ q
≠n
Õ≠m
Õa)n
Õq
(x ≠ q
n
Õ(x ≠ q
≠m
Õ≠n
Õa)m
Õq
= 1(x ≠ q
≠n
Õ≠m
Õa)n
Õ+m
Õq
= (x ≠ a)≠m
Õ≠n
Õq
= (x ≠ a)m+n
q
.
Por lo tanto la ecuación (1.13) es verdadera para cualquier par de enteros m y n.
18
La Proposición 15 prueba que la Proposición 13 se cumple para todo n.
Proposición 15. Para cualquier entero n,
ˆ
q
(x ≠ a)n
q
= [n]q
(x ≠ a)n≠1q
.
Demostración. Note que si n = 0 se cumple. Si n = ≠n < 0, usando la Proposición 8 y
la ecuación (1.14) tenemos
ˆ
q
(x ≠ a)n
q
= ˆ
q
A1
(x ≠ q
≠n
Õa)n
Õq
B
= ≠ˆ
q
(x ≠ q
≠n
Õa)n
Õq
(x ≠ q
≠n
Õa)n
Õq
(qx ≠ q
≠n
Õa)n
Õq
= ≠[nÕ]
q
(x ≠ q
≠n
Õa)n
Õ≠1q
q
n
Õ(x ≠ q
≠n
Õa)n
Õq
(x ≠ q
≠n
Õ≠1a)n
Õq
= 1 ≠ q
n
Õ
q ≠ 1q
≠n
Õ
(x ≠ q
≠1a)(x ≠ q
≠n
Õ≠1a)n
Õq
= q
≠n
Õ ≠ 1q ≠ 1
1(x ≠ q
≠n
Õ≠1a)n
Õ+1q
= q
n ≠ 1q ≠ 1 (x ≠ a)n≠1
q
= ˆ
q
(x ≠ a)n
q
= [n]q
(x ≠ a)n≠1q
como se quería.
La Proposición 15 no se puede aplicar directamente para encontrar las q-derivadas de
1(x ≠ a)n
q
, (a ≠ x)n
q
,
1(a ≠ x)n
q
(1.16)
Dado que, por ejemplo,
(a ≠ x)n
q
”= (≠1)n(x ≠ a)n
q
.
19
Para n Ø 1,
(a ≠ x)n
q
= (a ≠ x)(a ≠ qx)(a ≠ q
2a) · · · (a ≠ q
n≠1x)
= (a ≠ x)q(q≠1a ≠ x)q2(q≠2 ≠ x) · · · q
n≠1(q≠n+1a ≠ x)
= (≠1)n
q
n(n≠1)/2(x ≠ q
≠n+1a) · · · (x ≠ q
≠2a)(x ≠ q
≠1a)(x ≠ a),
o
(a ≠ x)n
q
= (≠1)n
q
n(n≠1)/2(x ≠ q
≠n+1a)n
q
. (1.17)
Es claro, que la ecuación (3.24) se cumple para n = 0, y es sencillo verificar que se cumple
para n < 0.
Vamos a terminar este capítulo encontrando las q-derivadas de las tres funciones que
mencionamos en la ecuación (1.16). Por la ecuación (1.14), tenemos
ˆ
q
1(x ≠ a)n
q
= ˆ
q
1(x ≠ q
≠n(qn
a))n
q
= ˆ
q
(x ≠ q
n
a)≠n
q
.
Usando la ecuación (3.24) dos veces, tenemos
ˆ
q
(a ≠ x)n
q
= (≠1)n
q
n(n≠1)/2[n]q
(x ≠ q
≠n+1a)n≠1
q
= ≠[n]q
q
n≠1(≠1)n≠1q
(n≠1)(n≠2)/2(x ≠ q
≠n+2(q≠1a))n≠1
q
= ≠[n]q
q
n≠1(q≠1a ≠ x)n≠1
q
= ≠[n]q
(a ≠ qx)n≠1q
.
Finalmente, usamos la propiedad 3 de la Proposición 8, obtenemos
ˆ
q
1(a ≠ x)n
q
= ≠≠[n]
q
(a ≠ qx)n≠1q
(a ≠ x)n
q
(a ≠ qx)n
q
= [n]q
(a ≠ x)n
q
(a ≠ q
n+1x) .
20
Entonces, para cualquier entero n, tenemos
ˆ
q
1(x ≠ a)n
q
= [≠n]q
(x ≠ q
n
a)≠n≠1q
ˆ
q
(a ≠ x)n
q
= ≠[n]q
(a ≠ qx)n≠1q
ˆ
q
1(a ≠ x)n
q
= [n]q
(a ≠ x)n+1q
21
Capítulo 2
Propiedades combinatorias para
q-análogos
Como se ha mostrado en el capitulo anterior, P
n
(n) =(x ≠ a)n
q
[n]q
! satisface las tres condi-
ciones del Teorema 10 con respecto al operador lineal ˆ
q
. Por lo tanto, ahora obtenemos
la q-vérsion de la fórmula de Taylor.
Teorema 16. Para cualquier polinomio f(x) de grado N y cualquier número c, tenemos
la siguiente expansión q-Taylor:
f(x) =Nÿ
j=0(ˆj
q
f)(c)(x ≠ c)j
q
[j]q
! . (2.1)
Ejemplo 17. Considere f(x) = x
n
y c = 1, donde n es un entero positivo. Para j Æ n,
tenemos
(ˆj
q
f)(x) = [n]q
x
n≠1 = [n]q
[n ≠ 1]q
x
n≠2 = · · ·
= [n]q
[n ≠ 1]q
· · · [n ≠ j + 1]q
x
n≠j
(2.2)
y por lo tanto
(ˆj
q
f)(1) = [n]q
[n ≠ 1]q
· · · [n ≠ j + 1]q
. (2.3)
22
La fórmula q-Taylor para x
n
alrededor de x = 1 esta dada por
x
n =nÿ
j=0
[n]q
· · · [n ≠ j + 1]q
[j]q
! (x ≠ 1)j
q
=nÿ
j=0(x ≠ 1)j
q
Cn
j
D
, (2.4)
donde Cn
j
D
= [n]q
[n ≠ 1]q
· · · [n ≠ j + 1]q
[j]q
! = [n]q
![j]
q
![n ≠ j]q
! . (2.5)
Los elementosCn
j
D
son llamados coeficientes q-binomiales.
Note que cuando q ≠æ 1, los coeficientes q-binomial se reducen a los coeficientes bino-
miales ordinarios y la ecuación (2.5) se convierte en un resultado de la fórmula binomial
ordinaria.
2.1. Fórmula de binomial de Gauss y una fórmula
binomial no conmutativa.
En esta sección presentamos dos expresiones que involucran coeficientes q-binomiales.
Consideremos en primer lugar la expresión dada en la Definición 12.
Ejemplo 18. Sea n un entero no negativo y a œ R. Vamos a expandir la expresión
f(x) = (x + a)n
q
,
alrededor de x = 0 usando la fórmula de q-Taylor. De acuerdo a la ecuación (2.2), para
j Æ n tenemos
(ˆj
q
f)(x) = [n]q
[n ≠ 1]q
· · · [n ≠ j + 1]q
(x + a)n≠j
q
. (2.6)
Recordemos que
(x + a)m
q
= (x + a)(x + qa) · · · (x + q
m≠1a),
luego, tomando x = 0, el lado derecho nos queda,
(a)(qa) · · · (qm≠1a) = q
m(m≠1)/2a
m
.
23
Aplicando esto a la ecuación (2.6), obtenemos para j Æ n,
(ˆj
q
f)(0) = [n]q
[n ≠ 1]q
· · · [n ≠ j + 1]q
q
(n≠j)(n≠j≠1)/2a
n≠j
. (2.7)
Asi que, la fórmula de q-Taylor nos da
(x + a)n
q
=nÿ
j=0
Cn
j
D
q
(n≠j)(n≠j≠1)/2a
n≠j
x
j
. (2.8)
Podemos mejorar la expresión un poco si reemplazamos j por n≠j. A partir de la definición
de coeficientes q-binomial dada en la ecuación (2.5), obtenemos coeficientes similares a
los coeficientes binomiales usuales.
Cn
n ≠ j
D
= [n]q
![j]
q
![n ≠ j]q
! =Cn
j
D
. (2.9)
Por lo tanto, la ecuación (2.8) es equivalente a lo siguiente
(x + a)n
q
=nÿ
j=0
Cn
j
D
q
j(j≠1)/2a
j
x
n≠j
. (2.10)
La ecuación (2.10) es llamada fórmula Binomial de Gauss.
La multiplicación de números reales es conmutativa, es decir, xy = yx. Sin embargo,
cuando se refiere a la multiplicación más general, como la multiplicación de matrices o la
composición de los operadores, la conmutatividad ya no se cumple. Considere el siguiente
ejemplo
Ejemplo 19. Sea
‚x y I
q
operadores lineales en el espacio de polinomios cuyas acciones
en polinomio f(x) están dadas por:
‚x[f(x)] = xf(x), I
q
[f(x)] = f(qx) (2.11)
Entonces para cualquier f(x), tenemos
I
q
‚x[f(x)] = I
q
[xf(x)] = qxf(qx) = q
‚xI
q
[f(x)],
así
I
q
x = q
‚xI
q
. (2.12)
24
El Teorema 20 introduce una fórmula binomial no-conmutativa que envuelve dos ele-
mentos que satisfacen una relación de conmutación especial como la que hemos dado en
la ecuación (2.12).
Teorema 20. Si yx = qxy, donde q es un número que conmuta con ambos x e y, entonces
(x + y)n =nÿ
j=0
Cn
j
D
x
j
y
n≠j
. (2.13)
Demostración. Procedemos por inducción sobre n. La ecuación (2.13) es verdadera para
n = 1. Observe que
y
k
x = qy
k≠1xy = q
2y
k≠2xy
2 = · · · = q
k
xy
k
,
calculando
(x + y)n+1 = (x + y)n(x + y) =Q
anÿ
j=0
Cn
j
D
x
j
y
n≠j
R
b (x + y)
=nÿ
j=0
Cn
j
D
x
j
y
n≠j
x +nÿ
j=0
Cn
j
D
x
j
y
n≠j+1
=nÿ
j=0
Cn
j
D
x
j(qn≠j
xy
n≠j) +nÿ
j=0
Cn
j
D
x
j
y
n≠j+1
=n+1ÿ
j=1q
n≠j+1C
n
j ≠ 1
D
x
j
y
n≠j+1 +nÿ
j=0
Cn
j
D
x
j
y
n≠j+1
= y
n+1 +nÿ
j=1
A
q
n≠j+1C
n
j ≠ 1
D
+Cn
j
DB
x
j
y
n≠j+1 + x
n+1
=n+1ÿ
j=0
Cn + 1
j
D
x
j
y
n+1≠j
.
(2.14)
donde hemos usado la q-regla de Pascal que veremos en la Proposición 2.15.
25
2.2. Propiedades de coeficientes q-binomial
Examinaremos algunas propiedades de los coeficientes q-binomial, definidos por la ecua-
ción (2.5), con n y j enteros no negativos y n Ø j. Debido a que vamos a recuperar
los coeficientes de los términos ordinarios si tomamos q ≠æ 1, esperamos a que sus q-
análogos tengan propiedades similares. En primer lugar, como ya se ha señalado en la
ecuación (2.9), tenemos: Cn
j
D
= [n]q
![j]
q
![n ≠ j]q
! =C
n
n ≠ j
D
. (2.15)
El q-análogo de la fórmula de PascalA
n
j
B
=A
n ≠ 1j ≠ 1
B
+A
n ≠ 1j
B
, 1 Æ j Æ n ≠ 1.
es un poco más elaborado ya queC21
D
= 1 + q ”= 2 =C10
D
+C11
D
La Proposición 21 nos muestran como están dados los q-análogos de la Identidad de Pascal.
Proposición 21. Las siguientes condiciones se satisfacen: Existen dos q-análogos de la
propiedad de Pascal: Cn
j
D
=Cn ≠ 1j ≠ 1
D
+ q
j
Cn ≠ 1
j
D
(2.16)Cn
j
D
= q
n≠j
Cn ≠ 1j ≠ 1
D
+Cn ≠ 1
j
D
, (2.17)
donde 1 Æ j Æ n ≠ 1.
Demostración. Para cualquier 1 Æ j Æ n ≠ 1, se tiene:
[n]q
= 1 + q + · · · + q
n≠1
= (1 + q + · · · + q
j≠1) + q
j(1 + q + · · · + q
n≠j≠1)
= [j]q
+ q
j[n ≠ j]q
26
luego Cn
j
D
= [n]q
![j]
q
![n ≠ j]q
! = [n ≠ 1]q
![n]q
[j]q
![n ≠ j]q
!
= [n ≠ 1]q
!([j]q
+ q
j[n ≠ j]q
)[j]
q
![n ≠ j]q
!
= [n ≠ 1]q
![j ≠ 1]
q
![n ≠ j]q
! + q
j
[n ≠ 1]q
![j]
q
![n ≠ j ≠ 1]q
!
=Cn ≠ 1j ≠ 1
D
+ q
j
Cn ≠ 1
j
D
,
con lo cual demostramos la ecuación (2.16). La ecuación (2.17) se obtiene de la ecuación
(2.15) de la siguiente maneraCn
j
D
=C
n
n ≠ j
D
=C
n ≠ 1n ≠ j ≠ 1
D
+ q
n≠j
Cn ≠ 1n ≠ j
D
=Cn ≠ 1
j
D
+ q
n≠j
Cn ≠ 1j ≠ 1
D
.
Corolario 22. Cada coeficiente q-binomial es un polinomio en q de grado j(n ≠ j), con
1 como el coeficiente principal.
Demostración. Vamos a utilizar el principio de inducción matemática. Observe queCn
0
D
=Cn
n
D
= 1
es un polinomio constante.
Por hipótesis inductiva, supongamos queCn ≠ 1
j
D
es un polinomio en q, para todo 1 Æ
j Æ n ≠ 1.
Haciendo uso de la Proposición 21 tenemos queCn
j
D
=Cn ≠ 1j ≠ 1
D
+ q
j
Cn ≠ 1
j
D
27
ComoCn ≠ 1j ≠ 1
D
yCn ≠ 1
j
D
son polinomios en q entoncesCn
j
D
es polinomio en q.
ComoCn
j
D
es un polinomio en q de grado j(n ≠ j) tenemos:
a0 + a1q + · · · + a
j(n≠j)≠1qj(n≠j)≠1 + a
j(n≠j)qj(n≠j)
= (qn ≠ 1)(qn≠1 ≠ 1) · · · (qn≠j+1 ≠ 1)(qj ≠ 1)(qj≠1 ≠ 1) · · · (q ≠ 1) .
Si reemplazamos q por 1/q y multiplicamos a ambos lados por q
j(n≠j), es fácil verificar
que el lado derecho de la ecuación quedará sin cambios, mientras que el lado izquierdo,
a0qj(n≠j) + a1q
j(n≠j)≠1 + · · · + a
j(n≠j)≠1q + a
j(n≠j),
tiene la secuencia a
i
en orden invertido. Mediante la comparación de los coeficientes se
observa que los coeficientes de la expresión polinómica deCn
j
D
son simétricas, es decir
a
i
= a
j(n≠j)≠i
.
Al igual que los coeficientes binomiales clásicos, los coeficientes q-binomiales también
tienen interpretaciones combinatorias.
Teorema 23. Sea A
n
= {1, 2, · · · , n} y sea A
n,j
la colección de todos los subconjuntos
A
n
con j-elementos, 0 Æ j Æ n, entonces
Cn
j
D
=ÿ
SœA
n,j
q
w(S)≠j(j+1)/2, donde w(S) =
ÿ
sœS
s (2.18)
Demostración. Vamos a proceder por inducción sobre n. Primero, consideremos n = 1,
j = 0. Para A1,0 = {ÿ} y w(ÿ) = 0. Por lo tanto, el lado derecho de la ecuación (2.18) es
igual a la unidad, de acuerdo con el lado de la izquierda. Para j = 1, el único elemento de
A1,1 es A1 = {1}, y w({1}) = 1. Una vez más, el lado de la derecha es igual a la unidad
y esta de acuerdo con el lado izquierdo.
28
Asumamos que la ecuación (2.18) se cumple para 1 Æ n Æ m ≠ 1, donde m Ø 2, y
consideremos n = m. El caso j = 0 es similar para n = 1 descrito anteriormente. Para
j Ø 1, escribamos A
m,j
= B fi B
Õ, donde B = {S œ A
m,j
| m ”œ S} y
B
Õ = {S œ A
m,j
| m œ S}. Los conjuntos en B son todos los subconjuntos con j-
elementos de A
m≠1, es decir, B = A
m≠1,j
. Los conjuntos en B
Õ, cada uno con el elemento
“m” eliminado son todos los subconjuntos con j ≠ 1-elementos de A
m≠1. Por lo tanto, el
lado derecho de la ecuación (2.18) se convierte en
ÿ
SœB
q
w(S)≠j(j+1)/2 +ÿ
SœB
Õq
w(S)≠j(j+1)/2
=ÿ
SœA
m≠1,j
q
w(S)≠j(j+1)/2 +ÿ
SœA
m≠1,j≠1
q
(w(S)+m)≠j(j+1)/2
=ÿ
SœA
m≠1,j
q
w(S)≠j(j+1)/2 +ÿ
SœA
m≠1,j≠1
q
w(S)≠j(j+1)/2q
m≠j
=Cm ≠ 1
j
D
+ q
m≠j
Cm ≠ 1j ≠ 1
D
=Cm
j
D
La última línea se sigue del q-análogo de la propiedad de Pascal descrita en la ecuación
(2.17). Por inducción en j, la ecuación (2.18) es verdadera para 0 Æ j Æ m. Finalmente,
la inducción en n completa la prueba.
Para uso futuro, tenga en cuenta que la definición del coeficiente q-binomial se puede
generalizar de una manera análoga a su contraparte clásica. Usando Definición 5 tenemos:C–
j
D
= [–]q
[– ≠ 1]q
· · · [– ≠ j + 1]q
[j]q
! (2.19)
donde – es cualquier número y j es un entero no negativo.
29
Capítulo 3
Integral de Feynman-Jackson
En este capítulo haremos una breve revisión de los resultados presentes en [4].
Vamos a utilizar las integrales de Feynman Jackson para construir un q-análogo de la
medida de Gauss.
Definición 24. La q-integral o integral de Jackson de una función f en el intervalo [0, b]
con b œ R está dada por la expresión
⁄b
0f(x)d
q
x = (1 ≠ q)bŒÿ
n=0q
n
f(qn
b), (3.1)
se tiene además;
⁄ 0
≠b
f(x)dq
x =⁄
b
0f(≠x)d
q
x, (3.2)
y
⁄b
≠b
f(x)dq
x =⁄ 0
≠b
f(x)dq
x +⁄
b
0f(x)d
q
x. (3.3)
Observe que en el límite cuando q ≠æ 1, al igual que la q-derivada tiende a la derivada
usual, la q-integral tiende a la integral de Riemann, y como la q-derivada tiene un q-
análogo de la regla de derivación, la q-integral también lo tiene⁄
b
0ˆ
q
f(x)g(x)dq
x = ≠⁄
b
0I
q
(f)(x)ˆq
g(x)dq
x + f(b)g(b) ≠ f(0)g(0) (3.4)
Como el objetivo es describir el q-análogo de la medida de Gauss sobre R, comenzamos
por introducir los momentos de la medida de Gauss.
30
Definición 25. Los momentos de la medida de Gauss están dadas por las siguientes
integrales
1Ô2fi
⁄ Œ
≠Œe
≠ x
22
x
n
dx (3.5)
Una propiedad notable de la medida de Gauss es que proporciona un puente entre la
teoría de la medida y la teoría combinatoria.
Definición 26. Los momentos de la medida de Gauss están dados por la expresión
1Ô2fi
⁄ Œ
≠Œe
≠ x
22
x
2n
dx = (2n ≠ 1)(2n ≠ 3) · · · 7 · 5 · 3 · 1, (3.6)
y
1Ô2fi
⁄ Œ
≠Œe
≠ x
22
x
2n+1dx = 0. (3.7)
Definición 27. Una partición de a œ Z+es una secuencia finita de números enteros
positivos a1, a2, · · · , a
r
tal que
rÿ
i=1a
i
= a
En lo que sigue y hasta finalizar este capítulo, denotaremos por [[n]] al conjunto {1, 2, · · · , n},
para todo n œ N.
Definición 28. Un emparejamiento – en un conjunto totalmente ordenado R de cardi-
nalidad 2n es una secuencia – = {(ai
, b
i
)}n
i=1 œ (R2)n
tal que
a1 < a2 < · · · < a
n
.
a
i
< b
i
, i = 1, · · · , n.
R =nh
i=1{a
i
, b
i
}.
Denotemos por P (R) el conjunto de emparejamientos en R.
31
Ejemplo 29. Sea R un conjunto totalmente ordenado de tamaño 6, un emparejamiento
sobre R está dado por
a1 b1 a2 b2 a3 b3
P (R) = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b3)}.
Definición 30. Dado n > 2 el número definido por (2n ≠ 1)(2n ≠ 3) · · · 7 · 5 · 3 · 1 se
llama el doble factorial y cuenta el número de emparejamientos en el conjunto [[2n]] =
{1, 2, · · · , 2n} y se denota por (2n ≠ 1)!!.
Ejemplo 31. El número de emparejamientos del conjunto [[6]] según la Definición 30 es
igual a 15 = (6 ≠ 1)(6 ≠ 3)(6 ≠ 5), los cuales se ilustran a continuación:
a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b3 b2 b1
a1 a2 b2 a3 b3 b1 a1 a2 a3 b2 b3 b1
a1 a2 b1 a3 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
a1 a2 a3 b3 b1 b2 a1 b1 a2 a3 b2 b3
32
a1 a2 b2 b1 a3 b3 a1 b1 a2 a3 b3 b2
a1 a2 b1 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 b3 b2
a1 a2 b2 a3 b1 b3 a1 a2 a3 b2 b1 b3
a1 a2 b1 a3 b3 b2
De lo cual se sigue:1Ô2fi
⁄ Œ
≠Œe
x
22
x
6dx = 15. (3.8)
Con el fin de definir el q-análogo de la medida de Gauss, debemos encontrar el q-análogo
de los siguientes objetosÔ
2fi, Œ, e
≠ x
22
, x
n y dx. La medida de Lesbesgue dx coincide con
la integración de Riemann, para las funciones buenas. Por lo tanto es natural reemplazar
dx por la integración de Jackson d
q
x, mientras que el factor x
n se mantiene sin cambios.
Ahora debemos encontrar el q-análogo de la función exponencial e
x para poder encontrar
el q-análogo de e
≠ x
22 .
Definición 32. El q-análogo de la función exponencial que cumple las ecuaciones
33
ˆ
q
e
x
q
= e
x
q
y e
0q
= 1, está dado mediante la expresión
e
x
q
=Œÿ
n=0
x
n
[n]q
! , (3.9)
Observe que:
e
x
q
e
≠x
q
”= 1.
Vamos a introducir el q-análogo de la expresión e
x
e
≠x = 1 en la Definición 33.
Definición 33. El q-análogo de la expresión e
x
e
≠x = 1 está dado mediante la expresión
e
x
q
E
≠x
q
= 1,
donde
E
x
q
=Œÿ
n=0q
n(n≠1)2
x
n
[n]q
! . (3.10)
Como ya tenemos los q-análogos para la función exponencial y su inversa, se puede
pensar que es sencillo generalizar el término e
≠ x
22 de la integrales de Gauss. Sin embargo,
este no es el caso. Nuestro primer impulso es manipular la expresión E
≠ x
2[2]
q , la respuesta
correcta es reemplazar e
x
22 por la expresión
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 =Œÿ
n=0
(≠1)n
q
n(n+1)x
2n
(1 + q
n)[n]q
2 ! . (3.11)
Definición 34. El q-análogo de la expresión e
≠ x
22
está dado por
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 =Œÿ
n=0
(≠1)n
q
n(n+1)x
2n
(1 + q
n)[n]q
2 ! . (3.12)
Las funciones q-exponencial e
x
q
y E
x
q
son buenos q-análogos de la función exponencial e
x
ya que cumple las siguientes propiedades:
ˆ
q
e
x
q
= e
x
q
.
e
0q
= 1.
lımq≠æ1
e
x
q
= e
x
.
34
ˆ
q
E
x
q
= E
qx
q
.
E
0q
= 1.
lımq≠æ1
E
x
q
= e
x
.
Desde el punto de vista diferencial e
x
q
es el q-análogo a derecha de e
x. Sin embargo ambos
e
x
q
y E
x
q
, carecen de la propiedad algebraica fundamental de la exponencial, es decir,
e
x : (R, +) ≠æ (R, .) es un homomorfismo de grupos. En efecto se puede verificar que
e
x+y
q
”= e
x
q
e
y
q
y tambien que E
x+y
q
”= E
x
q
E
y
q
. Sin embargo, tenemos la siguiente identidad
(ex
q
)≠1 = E
≠x
q
.
El lector interesado en realizar consultas adicionales sobre este tema puede consultar [3].
Ahora tenemos en cuenta los límites de integración. Es curioso que, mientras que la
medida de Gauss esta dada por una integral impropia, su q-análogo resulta ser una integral
definida cuyos límites dependen de q, y cuando q tiende a 1 la integral se aproxima a más
o menos infinito. De hecho, sin más motivación los límites de frontera en las integrales de
Gauss son v y ≠v donde v = 1Ô1≠q
. Para encontrar el q-análogo c(q) deÔ
2fi que aparece
en las integrales de Gauss debemos exigir que c(q) satisfaga la siguiente identidad:
1c(q)
⁄v
≠v
E
≠q
2x
2[2]
q
q
2 d
q
x = 1. (3.13)
Luego c(q) está dado por
c(q) =⁄
v
≠v
E
≠q
2x
2[2]
q
q
2 d
q
x
= 2⁄
v
0E
≠q
2x
2[2]
q
q
2 d
q
x
= 2(1 ≠ q)vŒÿ
n=0q
n
E
≠ q
2(q
n
v)2[2]
q
q
2 ,
(3.14)
de donde
c(q) = 2Ô
1 ≠ q
Œÿ
n=0
Œÿ
m=0
(≠1)m
q
m(m+1)+(2m+1)n
(1 ≠ q
2)m[m]q
2 ! , (3.15)
e intercambiando el orden de la suma, obtenemos la identidad dada en la Definición 35.
35
Definición 35. El q-análogo c(q) de
Ô2fi está dado por
c(q) = 2Ô
1 ≠ q
Œÿ
m=0
(≠1)m
q
m(m+1)
(1 ≠ q
2m+1)(1 ≠ q
2)m[m]2q
! . (3.16)
En el cálculo cuántico cuando q ≠æ 1 recuperamos la identidad original, luego
Ô2fi = 2 lım
q≠æ1
Ô1 ≠ q
Œÿ
m=0
(≠1)m
q
m(m+1)
(1 ≠ q
2m+1)(1 ≠ q
2)m[m]2q
! . (3.17)
Ahora buscamos el q-análogo de la ecuaciones (3.6) y (3.7) para los momentos de la
medidad de Gauss.
Teorema 36. Las siguientes identidades se satisfacen:
1.
1c(q)
⁄v
≠v
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 x
2n
d
q
x = [2n ≠ 1]q
[2n ≠ 3]q
· · · [7]q
[5]q
[3]q
[1]q
= [2n ≠ 1]q
!!,
2.
1c(q)
⁄v
≠v
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 x
2n+1d
q
x = 0.
Demostración. 1. Usando el análogo de la regla de la cadena (3.4) se demuestra la
siguiente fórmula recursiva
1c(q)
⁄v
≠v
E
≠ qx
2[2]
q
q
2 x
2n+2d
q
x = [2n + 1]q
c(q)
⁄v
≠v
E
≠qx
2[2]
q
q
2 x
2n
d
q
x.
(3.18)
La ecuación (3.18) y la ecuación (3.13) implican que
1c(q)
⁄v
≠v
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 x
2n
d
q
x = [2n ≠ 1]q
!!
2. Una función par E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 por una impar x
2n+1 da como resultado una función impar.
Y la integral de una función impar en el intervalo [≠v, v] es cero, pues se restan las
áreas [10]. Luego1
c(q)
⁄v
≠v
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 x
2n+1d
q
x = 0.
A continuación vamos a describir la interpretación combinatoria del número [2n ≠ 1]q
!!.
[2n ≠ 1]q
!! = [2n ≠ 1]q
[2n ≠ 3]q
· · · [7]q
[5]q
[3]q
[1]q
(3.19)
36
Definición 37. Para – œ P ([[2n]]) tenemos lo siguiente:
((ai
, b
i
)) = {j œ [[2n]] : a
i
< j < b
i
} para todo (ai
, b
i
) œ –.
P
i
(–) = {b
j
: 1 Æ j < i}
w(–) = rn
i=1 q
|((ai
,b
i
))\P
i
(–)| = q
qn
i=1|((ai
,b
i
))\P
i
(–)|. w(–) se llama el peso de –.
Ejemplo 38. Vamos a calcular los pesos de los emparejamientos dado en el Ejemplo 31
a1 a2 a3 b3 b2 b1
Para calcular el primer peso, debemos fijarnos el la primera pareja ((a1, b1)) y ver cuan-
tos a
i
,b
i
hay entre ((a1, b1)), para nuestro ejemplo tenemos cuatro a2, a3, b3, b2, después
debemos restar los b
i
menores que b1,y como b1 es el menor entonces el peso es q
4. Luego
repetimos el procedimiento con ((a2, b2)), en este caso tenemos a3, b3, lo que nos da q
2. Y
análogamente con ((a3, b3)), lo que nos da q
0. Finalmente sumamos los exponentes de q,
que resulta ser el peso del emparejamiento q
6. A continuación escribimos formalmente lo
explicado anteriormente:
q
|((a1,b1))\P1(–)| = q
4, q
|((a2,b2))\P1(–)| = q
2, q
|((a3,b3))\P1(–)| = q
0 (3.20)
Por lo tanto w(–) = q
6.
Ejemplo 39. Siguiendo la explicación dada en el Ejemplo 38, podemos obtener los pesos
asociados a los siguientes emparejamientos:
Emparejamientos con peso 1:
q
0
a1 b1 a2 b2 a3 b3
37
Emparejamientos con peso q
1:
q
1
a1 b1 a2 a3 b2 b3
q
1
a1 a2b1 b2 a3 b3
Emparejamentos con peso q
2:
q
2
a1 a2b1 a3 b2 b3
q
2
a1 a2b2 b1 a3 b3
q
2
a1 b1 a2 a3 b3 b2
Emparejamientos con peso q
3:
q
3
a1 a2 a3b1 b2 b3
q
3
a1 a2b2 a3 b1 b3
q
3
a1 a2b1 a3 b3 b2
Emparejamientos con peso q
4:
38
q
4
a1 a2b2 a3 b3 b1
q
4
a1 a2 a3b1 b3 b2
q
4
a1 a2 a3b2 b1 b3
Emparejamientos con peso q
5:
q
5
a1 a2 a3b2 b3 b1
q
5
a1 a2 a3b3 b1 b2
Emparejamientos con peso q
6:
q
6
a1 a2 a3b3 b2 b1
Teorema 40. Dado n œ N la siguiente identidad se satisface
[2n ≠ 1]q
!! =ÿ
pœP ([[2n]])w(p). (3.21)
Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Para n = 1, tenemos que
[2(1) ≠ 1]q
!! = [1]q
!! = 1.
Ahora supongamos que la identidad (3.21) se cumple para n + 1 como sigue
39
ÿ
pœP ([[2n+2]])w(p) =
ÿ
pœP ([[2n+2]])w(p ≠ {(a1, b1)})q|((a1,b1))|
=ÿ
2Æb1Æ2n+2q
b1≠2 ÿ
—œP ([[2n+2]])\{(a1,b1)})w(—)
=ÿ
2Æb1Æ2n+2q
b1≠2 ÿ
—œP ([[2n]])w(—)
=ÿ
2Æb1Æ2n+2q
b1≠2[2n ≠ 1]q
!!
= [2n + 1]q
[2n ≠ 1]q
!! = [2n + 1]q
!! = [2(n + 1) ≠ 1]q
!!.
(3.22)
Ejemplo 41. Aplicando la ecuación (3.21) al Ejemplo 39 se tiene que
ÿ
pinP ([[6]])w(p) = q
0 + 3q
1 + 3q
2 + 3q
4 + 3q
4 + 3q
5 + q
6 (3.23)
Por otro lado
[6 ≠ 1]q
!! = [5]q
[3]q
[1]q
= (1 + q + q
2 + q
3 + q
4)(1 + q + q
2)
= q
0 + 3q
1 + 3q
2 + 3q
4 + 3q
4 + 3q
5 + q
6
(3.24)
entonces tenemos que la ecuación (3.23) es igual a la ecuación (3.24).
Por lo tanto
ÿ
pinP ([[6]])w(p) = [6 ≠ 1]
q
!!.
Note que cuando q ≠æ 1 en la ecuación (3.21) recuperamos la identidad:
(2n ≠ 1)!! =| {emparejamientos en [[2n]]} |
lo que coincide con la Definición 30. En conclusión hemos probamos que:
40
1c(q)
⁄v
≠v
E
≠ q
2x
2[2]
q
q
2 x
2n
d
q
x =ÿ
pœP ([[2n]])w(p). (3.25)
41
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