Popa v.M Receptoare Discrete M-fazate

Vasile Mircea Popa

Receptoare discrete m-fazate

Editura Universitii Lucian Blaga din Sibiu Sibiu, 2013

M-Phased Discreet Loads ngrijire editorial: autorul Traducere prefa: autorul Tehnoredactare: arh. Silviu Ioan Popa

PREFA

Un receptor m-fazat legat n stea este dezechilibrat dac impedanele complexe din fiecare faz sunt diferite ntre ele. n aceast carte se consider receptoare discrete, la care impedana unei faze oarecare se obine prin inserierea unor impedane elementare. Se pune problema analizei structurii unor astfel de receptoare. De asemenea se dorete obinerea listei de configuraii posibile sau a numrului de configuraii posibile.

Aceast carte este de fapt o colecie de articole, din care unele au fost publicate anterior n diverse reviste i volume. Acest lucru constituie un avantaj pentru cititor, deoarece fiecare capitol al crii are n acest fel un caracter independent i poate fi citit direct. Pe de alt parte, din acest motiv apar inevitabil unele repetri. Totui, pentru un cititor interesat de coninutul crii, cea mai bun variant este citirea crii n ordinea fireasc a articolelor, aa cum sunt ele aezate n carte. Coninutul crii este organizat pe dou grupe de articole (coninnd 12 i respectiv 11 articole), anex i bibliografie.

La nceput se prezint o serie de aspecte matematice utilizate n analiza receptoarelor discrete m-fazate. Astfel, se trateaz gruprile generalizate i gruprile barate generalizate precum i cazuri speciale ale acestora. Aceste concepte generalizeaz o serie de noiuni cunoscute din combinatoric iar denumirile lor sunt introduse de autor. Se prezint problema gruprii obiectelor i problema distribuirii obiectelor n csue precum i o metod de calcul pentru numrul de soluii ale acestor dou probleme (n fond, echivalente), cu aplicaii. Se indic i dou tabele de generalizare precum i relaiile de generalizare respective. De asemenea, se arat n continuare o utilizare combinatorial a polinoamelor lui Newton. Urmtoarele doua articole trateaz aspecte combinatoriale privind ecuaia diofantic liniar cu coeficieni unitari si cu coeficieni naturali. Se prezint aceste ecuaii i modul n care putem obine numrul soluiilor sau eventual lista soluiilor. Urmtoarele cinci articole prezint alte aspecte combinatoriale utile pentru studierea receptoarelor discrete m-fazate.

Se prezint apoi modelul matematic al receptorului dezechilibrat discret, caracterizarea algebric a receptoarelor dezechilibrate discrete, metode pentru analiza claselor de dezechilibru ale receptoarelor dezechilibrate discrete m-fazate, precum i metodele respective tratate pe rnd. n ncheierea acestei pri se prezint analiza asistat de calculator a receptoarelor discrete m-fazate. Articolele care trateaz acest subiect sunt scrise att n limba romn ct i n limba englez. Ca anex a crii este prezentat un tabel care indic unde au mai fost publicate o parte dintre articole. La sfritul crii este prezentat bibliografia. Cartea poate interesa pe studeni, pe inginerii specializai n teoria circuitelor electrice, precum i pe toi cei pasionai de electrotehnica teoretic i aplicat n general, de teoria circuitelor electrice n special.

Coninutul lucrrii poate fi fr ndoial mbuntit i completat. Voi fi recunosctor pentru orice observaie sau sugestie n acest sens, venit de la cititori.

Sibiu, 14 octombrie 2013

Autorul.

FOREWORD

A m-phased load in star connection is unbalanced if the complex impedances of each phase are different between them. In this book we consider discreet loads, to the impedance of a certain phase is obtained by to make a series connection of a elementar impedances. It aims to make structure analysis of these loads. Also it aims to get the list of possible configurations or the number of possible configurations.

This book is in fact a collection of articles, some of which were previously published in various scientific journals and other publications. As such, this is a benefit to the reader because each chapter in the book is fairly independent of the others and as such it can be read directly. On the other hand, this approach inevitably leads to some repetitions in the text. However, for a reader really interested in the book, the best option is to read its content in the natural order of the articles, as they appear in the book. The contents of the book is organized into two groups of articles (containing 12 and 11 items), an annex and bibliography.

At first it presents a series of mathematical issues used in the analysis of the m-phased discreet loads. Next, the chapters treats generalized groupings and generalized barred groupings as well as special cases thereof. These concepts generalize a number of well known notions from the field of combinatorics, whose definitions and names are introduced by the author. Further down, the problem of grouping objects and the problem of distributing objects in boxes are presented, as well as the method for calculating the number of solutions of these two problems (which in fact are equivalent), followed by applications. The articles concludes by showing two generalization tables, as well as the associated generalization relations, followed by an example of combinatorial use of Newton polynomials. The following two articles deal with combinatorial aspects as applied to the linear diophantine equation with unit coefficients and with natural coefficients. Relevant equations are presented, and how one can get the number of solutions, or possibly the list of solutions. The following five articles shows other useful combinatorial aspects for studying m-phased discreet loads.

In the following it presents the mathematical model of the discreet unbalanced load, the algebraic characterization of discreet unbalanced loads, methods for the analysis of unbalanced classes of m-phased discreet unbalanced loads, as well as the respective methods which are treated individually. The end of this section presents the computer aided analysis of m-phased discreet loads. The articles treating this subject are written both in Romanian and English.

A table showing where some of articles have previously been published is included as an annex. The bibliography is attached at the end of the book.

This book will be of particular interest to students, to engineers specializing in the theory of electrical circuits, and generally to all other readers captivated by the theoretical and applied electrotechnics generaly, by the electrical circuits theory particulary.

Certainly, the contents of this book can be improved and enriched in the future. As such, I will be grateful for any comments or suggestions received from the readers.

Sibiu, 14 October 2013 The author.

CUPRINS Prefa ........................................................................................................................................ 3 Prefa (n limba englez) ........................................................................................................... 4 Cuprins....................................................................................................................................... 5 Cuprins (n limba englez).......................................................................................................... 6

ASPECTE MATEMATICE........................................................................................................ 7

Grupri generalizate ................................................................................................................... 9 Grupri barate generalizate ....................................................................................................... 15 Cazuri speciale ale gruprilor generalizate................................................................................ 21 Cazuri speciale ale gruprilor barate generalizate...................................................................... 27 O utilizare combinatorial a polinoamelor lui Newton .............................................................. 33 Aspecte combinatoriale privind ecuaia diofantic liniar cu coeficieni unitari......................... 39 Aspecte combinatoriale privind ecuaia diofantic liniar cu coeficieni naturali ....................... 45 Relaii ntre combinri .............................................................................................................. 53 Cazuri particulare la numrarea funciilor ntre dou mulimi multiple...................................... 57 Distribuirea obiectelor n csue distincte sau indiscernabile ..................................................... 61 Program de calculator pentru numrarea funciilor ntre dou mulimi multiple ........................ 65 Program de calculator pentru numrarea surjeciilor ntre dou mulimi multiple ...................... 67

RECEPTOARE DISCRETE..................................................................................................... 69

A Mathematical Model for Unbalanced Classes Analysis of Polyphasic Loads ........................ 71 The Algebraic Characterization of Discreet Unbalanced Loads................................................. 73 Methods for Calculating the Number of Discreet Unbalanced Loads ....................................... 75 The Recurrence Method for Calculating the Unbalanced Classes Number of m-Phased Loads ... 77 The Order Reducing Method for Determining the Number of Discreet Unbalanced Loads ....... 79 Model matematic al receptorului dezechilibrat discret............................................................... 85 Aspecte algebrice privind receptoarele dezechilibrate discrete m-fazate.................................... 91 Metode pentru analiza claselor de dezechilibru ale receptoarelor m-fazate................................ 95 Metod recursiv pentru determinarea numrului receptoarelor dezechilibrate discrete............. 99 O metod de reducere pentru calculul numrului receptoarelor dezechilibrate discrete m-fazate ... 103 Analiza asistat de calculator a receptoarelor dezechilibrate discrete m-fazate ........................ 107

ANEX ................................................................................................................................. 111

Tabel care indic unde au mai fost publicate o parte dintre articole......................................... 113 Bibliografie ........................................................................................................................... 115

CONTENTS Foreword (in Romanian)............................................................................................................. 3 Foreword (in English)................................................................................................................. 4 Contents (in Romanian) .............................................................................................................. 5 Contents (in English) .................................................................................................................. 6

MATHEMATICAL ASPECTS ................................................................................................. 7

Generalized Groupings ............................................................................................................... 9 Generalized Barred Groupings.................................................................................................. 15 Special Cases of Generalized Groupings .................................................................................. 21 Special Cases of Generalized Barred Groupings ...................................................................... 27 A Combinatorial Use of Newton Polynomials .......................................................................... 33 Combinatorial Aspects Regarding the Linear Diophantine Equation with Unit Coefficients...... 39 Combinatorial Aspects Regarding the Linear Diophantine Equation with Natural Coefficients....... 45 Relationships Between Combinations ...................................................................................... 53 Special Cases of Counting the Functions Between Two Multisets ................................................ 57 Distribution of Objects in Distinguishable or Indistinguishable Boxes ...................................... 61 Software Program for Counting the Functions Between Two Multisets .................................... 65 Softwarw Program for Counting the Surjections Between Two Multisets ................................. 67

DISCREET LOADS................................................................................................................. 69

A Mathematical Model for Unbalanced Classes Analysis of Polyphasic Loads ........................ 71 The Algebraic Characterization of Discreet Unbalanced Loads................................................. 73 Methods for Calculating the Number of Discreet Unbalanced Loads ....................................... 75 The Recurrence Method for Calculating the Unbalanced Classes Number of m-Phased Loads ...... 77 The Order Reducing Method for Determining the Number of Discreet Unbalanced Loads ....... 79 Mathematical Model for the Discreet Unbalanced Load............................................................ 85 Algebraic Aspects Regarding the m-Phased Discreet Unbalanced Loads .................................. 91 Methods for the Unbalanced Classes Analysis of m-Phased Loads .......................................... 95 Recursive Method for Determining the Number of Discreet Unbalanced Loads ....................... 99 A Reducing Method for Calculating the Number of m-Phased Discreet Unbalanced Loads ... 103 The Computer-Aided Analysis of m-Phased Discreet Unbalanced Loads................................ 107

ANNEX ................................................................................................................................. 111

Table showing where articles have been previously published ............................................... 113 Bibliography........................................................................................................................... 115

7

ASPECTE MATEMATICE

9

Grupri generalizate

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we introduce generalized groupings by considering two dual combinatorial

problems: the problem of object grouping and the problem of distributing objects into cells. We

also present a calculating algorithm, a recurrence formula and applications.

At the end of the paper the references are presented.

2000 Mathematical Subject Classification: 05A05

1 Introducere

Dup cum se tie, dou probleme fundamentale din combinatoric sunt problema gruprii

obiectelor i problema distribuirii obiectelor n csue [1].

Aranjamentele, combinrile i permutrile (att cele simple ct i cele cu repetiie) se

introduc de obicei considernd problema gruprii obiectelor. Dar aceste concepte fundamentale au o interpretare la fel de simpl n cadrul problemei distribuirii obiectelor n csue.

Tot pe baza acestor probleme vom introduce n continuare gruprile generalizate. Vom

demonstra c cele dou probleme sunt echivalente, apoi vom arta modul de calcul al gruprilor

generalizate.

Obiectele pot fi diferite sau identice (de aceeai clas) iar csuele se consider distincte i

neordonate (nu are importan ordinea obiectelor dintr-o csu). Dac o csu poate primi cel

mult lj obiecte, vom spune c aceast csu are capacitatea lj. Prin grup de k obiecte vom

nelege o mulime mai special, n sensul c poate fi eventual ordonat i poate conine eventual i obiecte identice. De asemenea, vom considera i grupe mprite n zone, n interiorul unei

zone ordinea obiectelor neavnd importan.

10 Vasile Mircea Popa

De exemplu, grupa: 112 13 23 are trei zone, coninnd trei, dou i respectiv dou

obiecte. Ea este identic cu grupa: 121 13 32 dar difer de grupele: 112 12 33 i 112 13 24.

Deci, dou grupe sunt identice dac (i numai dac) zonele corespunztoare au aceeai

componen. Aceste grupe sunt de fapt mulimi parial multiple i parial ordonate (a se vedea

[4]).

2 Problema gruprii obiectelor

S considerm o mulime finit Y parial multipl de tipul )l,...,l,l(n m21 [4]. Mulimea Y

conine deci m clase de elemente. Se poate spune c mulimea Y conine m elemente distincte,

elementul j repetndu-se de lj ori ( m...,,2,1j = ) cu nlm

1jj =

=.

Vom forma (pe rnd) submulimi parial ordonate de tipul ),...,(k 21 ale mulimii Y [4], nk .

Problema gruprii obiectelor este de fapt problema formrii acestor submulimi.Aceste

submulimi sunt mulimi parial multiple (coninnd elemente din mulimea Y) i parial

ordonate de tipul ),...,(k 21 . Ele se mai numesc n combinatoric i grupe (de elemente, de obiecte). Le vom nota simplu, prin scrierea alturat a elementelor componente.

Procednd sistematic, putem obine lista exhaustiv a acestor submulimi. Numrul

elementelor din list, deci numrul submulimilor respective se noteaz prin simbolul urmtor:

( )( ) ...,,,k

l...,,l,ln21

m21G . Aceste submulimi (grupe) se mai numesc grupri generalizate.

n parantez apar partiii ale numerelor naturale n i k. Ordinea numerelor din cele dou

paranteze nu are importan. Vom considera c avem:

m21 l...ll ; ...21 .

3 Problema distribuirii obiectelor n csue

Considerm k obiecte ( clase de obiecte, din clasa i avnd i obiecte identice, deci

k

1i i= = ) i m csue. Se mpart cele k obiecte n cele m csue astfel nct csua j s primeasc cel mult jl

obiecte (deci nici un obiect, unul sau mai multe, maximum jl ). Numrul de distribuiri posibile

este: ( )( ) ...,,,k

l...,,l,ln21

m21G , nk .

Receptoare discrete m-fazate 11

4 Demonstraia echivalenei dintre problema gruprilor i cea a distribuirilor

Pe cazul cel mai general s considerm n cazul problemei I (a gruprilor) urmtoarea

grupare:

{ 3211

ki

21 a...a...aa

unde { }m,....,2,1ai , i = 1,2,,k. n cazul problemei II (a distribuirilor) considerm obiectele iA (i = 1,2,,k). Dac jai = ,

{ }m,...,2,1j , rezult c obiectul iA se plaseaz n csua j. Pe baza acestui principiu fiecrei grupri i corespunde o distribuire i invers. Deci ntre mulimea gruprilor i cea a distribuirilor

se poate stabili o coresponden biunivoc, ceea ce nseamn c ele au acelai numr de

elemente.

Exemplu: ( )( ) 7G 1,23 1,1,24 = .

Vom construi sistematic dou tabele, corespunznd celor dou probleme.

I II

Obiecte:

1123 Obiecte: AAB

112 AA B

113 AA B

121 AB A

131 AB A

123 A A B

132 A B A

231 B A A

n tabelul din stnga avem n vedere (fr a evidenia n mod expres acest lucru)

mprirea grupelor n cele dou zone de lungime 2, respectiv 1.

Deci, cele dou probleme sunt echivalente (duale).

5 Calculul numrului ( )( )21

m21

,...,,kl,...,l,lnG

nainte de a prezenta algoritmul de calcul, vom face observaia c numrul de mai sus

reprezint i numrul injeciilor ntre dou mulimi multiple [3].

Deoarece deducerea algoritmului este fcut n lucrrile [2] i [3], redm mai jos modul

general de calcul i apoi tratm un exemplu concret.


a) Se calculeaz polinomul:

knPP...PPP 21 = , unde ( )

iiix...,,x,xPP 21 = este polinomul de tip Newton, de grad i , n i nedeterminate i

la fel, ( )kn21knkn x...,,x,xPP = . Deci, ( )= x...,,x,xPP 21 va avea gradul n i nedeterminate, unde ( )kn,...,,,max 21 = .

b) Se nlocuiete n P :

m211 y...yyx +++= 2m

22

212 y...yyx +++=

KKKKKKKKK

m21 y...yyx +++= . c) Se calculeaz cu teorema multinomului coeficientul monomului m21 lm

l2

l1 y...yy din

dezvoltarea lui P, care va fi chiar numrul cutat. Polinomul general de tip Newton are forma [2]:

=+++=

0k...,,k,knnk...k2k

kn

k2

k1

nk

2k

1kn

n21

n21

n21

n21x...xx

!kn...!k2!k1

1P .

Aplicnd formula general de mai sus se obin uor primele patru polinoame de tip Newton:

11 xP =

( )2212 xx21

P +=

( )321313 x2xx3x61

P ++=

( )42231221414 x6x3xx8xx6x241

P ++++=

Menionm, fr a insista aici asupra acestui aspect, c aplicnd metoda de numrare Plya de Bruijn [1] n cazul problemei noastre, se obine n fond metoda de calcul expus mai sus. Polinoamele de tip Newton apar ca polinoame indicatoare de cicluri pentru grupurile simetrice de permutri.

6 Formul de recuren Exist urmtoarea formul de recuren, care rezult imediat din definiie:

( )( )

( )( ) =

R

...,,,kx...,,x,xk

...,,,kl...,,l,ln

21

m21

21

m21GG

unde R este mulimea soluiilor (x1, x2, ..., xm) n numere naturale ale ecuaiei: x1 + x2 + ... + xm = k

cu condiiile: 0 xi li , i = 1, 2, ..., m. Suma se face pe mulimea R a soluiilor ecuaiei de mai sus, prin urmare suma din

membrul drept are |R| termeni (cardinalul mulimii R).


Avem:

( )k

l...,,l,ln m21CR = .

n formula de mai sus pentru |R| apar combinrile generalizate, care sunt un caz particular al gruprilor generalizate, pentru 1= .

Formula de recuren furnizeaz i ea o metod pentru calculul numrului gruprilor generalizate, respectiv al injeciilor ntre dou mulimi multiple.

7 Aplicaii

n continuare, vom calcula numrul ( )( )1,1,24

1,2,25GN = utiliznd algoritmul expus i respectiv formula de recuren.

Vom utiliza la nceput algoritmul prezentat mai sus n acest articol (metoda polinoamelor de tip Newton).

Avem:

( )23151312 xxx21

PPP +==

3211 yyyx ++= 23

22

212 yyyx ++=

( ) ( ) ( )[ ]23222133215321 yyyyyyyyy21P +++++++= 18

!1!0!2!3

!1!2!0!3

!1!2!2!5

21

N =

++= .

Vom calcula acelai numr utiliznd a doua metod de calcul, respectiv formula de recuren. Putem scrie:

( )( )

( )( )=

R

1,1,24x,x,x4

1,1,241,2,25 321

GG ,

unde R este mulimea soluiilor n numere naturale ale ecuaiei: 4xxx 321 =++ ,

cu condiiile: 2x0 1 , 2x0 2 , 1x0 3 . Avem: ( ) 3CR

41,2,25 == .

Mulimea R este: ( ) ( ) ( ){ }0,2,2,1,1,2,1,2,1R = . Deci, putem scrie:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )1,1,24

2,241,1,241,1,24

1,1,240,2,24

1,1,241,1,24

1,1,241,2,14 GG2GGGN +=++= .

Dar, putem obine uor, folosind metoda polinoamelor de tip Newton:

( )( ) 7G 1,1,24 1,1,24 = ; ( )( ) 4G 1,1,24 2,24 = .

Deci, 18472N =+= . S-a obinut acelai rezultat ca i cel dedus prin utlilizarea primei metode (metoda

polinoamelor de tip Newton).


Tabelele cu grupri, respectiv cu distribuiri, sunt redate n continuare.

I II Obiecte:11223 Obiecte: AABC

1122 AA BC 1123 AA B C 1132 AA C B 1212 AB AC 1213 AB A C 1221 AC AB 1223 A AB C 1231 AC A B 1232 A AC B 1312 AB C A 1321 AC B A 1322 A BC A 2211 BC AA 2213 B AA C 2231 C AA B 2311 BC A A 2312 B AC A 2321 C AB A

Ca observaie final vom spune c simbolul studiat n prezentul articol generalizeaz conceptele clasice de aranjamente, combinri, permutri, simple i cu repetiie.

Bibliografie [1] I. Tomescu, Introducere n combinatoric, Editura Tehnic, Bucureti, 1972

[2] V. M. Popa, Asupra numrrii bijeciilor ntre dou mulimi multiple, Gazeta Matematic Perfecionare metodic i metodologic n matematic i informatic, vol. VII, nr. 2, Bucureti, 1986, pag. 78-81.

[3] V. M. Popa, Numrarea injeciilor ntre dou mulimi multiple, Educaia Matematic, vol. IV, nr. 2, Sibiu, 2008 (n curs de apariie) i n volumul Matematic aplicat, Sibiu, 2005

[4] V. M. Popa, Mulimi multiple i mulimi ordonate, Educaia Matematic,vol.V,nr. 2, Sibiu, 2009 (n curs de apariie)

Universitatea Lucian Blaga Sibiu Facultatea de Inginerie Hermann Oberth Catedra de Inginerie Electric i Electronic Str. Emil Cioran, nr. 4 Sibiu, Romnia E-mail: [email protected] Web: webspace.ulbsibiu.ro/vasile_mircea.popa

15

Grupri barate generalizate

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we introduce generalized barred groupings by considering two dual combinatorial problems: the problem of object grouping and the problem of distributing objects into cells, both with two supplementary conditions. We also present a recurrence formula and applications.



1 Introducere Dup cum se tie, dou probleme fundamentale din combinatoric sunt problema gruprii

obiectelor i problema distribuirii obiectelor n csue [1],[4]. n lucrarea [4] s-au prezentat aceste dou probleme i s-au introdus gruprile generalizate

notate prin ( )( ) ...,,,k

l...,,l,ln21

m21G .

Tot pe baza acestor probleme vom introduce n continuare gruprile barate generalizate. Vom demonstra c cele dou probleme de grupare a obiectelor, respectiv de distribuire a obiectelor n csue (n cazul de fa cu o condiie suplimentar fa de problemele prezentate n [4]) sunt echivalente, apoi vom arta modul de calcul al gruprilor barate generalizate.

Obiectele pot fi diferite sau identice (de aceeai clas) iar csuele se consider distincte i neordonate (nu are importan ordinea obiectelor dintr-o csu). Dac o csu poate primi cel mult lj obiecte, vom spune c aceast csu are capacitatea lj. Ca i n lucrarea [4], prin grup de k obiecte vom nelege o mulime mai special, n sensul c poate fi eventual ordonat i poate conine eventual i obiecte identice. De asemenea, vom considera i grupe mprite n zone, n interiorul unei zone ordinea obiectelor neavnd importan. Reamintim c avem o condiie suplimentar i anume ca fiecare grup (submulime) de tipul ),...,(k 21 s conin cel puin cte un element din fiecare clas din mulimea parial multipl Y de tipul

)l,...,l,l(n m21 , nk , mk .


De exemplu, grupa: 112 13 23

are trei zone, coninnd trei, dou i respectiv dou obiecte. Ea este identic cu grupa: 121 13 32

dar difer de grupa: 112 12 33. Deci, dou grupe sunt identice dac (i numai dac) zonele corespunztoare au aceeai

componen. Aceste grupe sunt de fapt mulimi parial multiple i parial ordonate (a se vedea [3]).

2 Problema gruprii obiectelor S considerm o mulime finit Y parial multipl de tipul )l,...,l,l(n m21 [3]. Mulimea Y

conine deci m clase de elemente. Se poate spune c mulimea Y conine m elemente distincte,

elementul j repetndu-se de lj ori ( m...,,2,1j = ) cu nlm

1jj =

=.

Vom forma (pe rnd) submulimi parial ordonate de tipul ),...,(k 21 ale mulimii Y [3], cu condiia suplimentar c fiecare submulime s conin cel puin cte un element din fiecare clas din mulimea Y, nk , mk .

Problema gruprii obiectelor este de fapt problema formrii acestor submulimi, cu condiia suplimentar amintit mai sus. Aceste submulimi sunt mulimi parial multiple (coninnd elemente din mulimea Y) i parial ordonate de tipul ),...,(k 21 . Ele se mai numesc n combinatoric i grupe (de elemente,de obiecte). Le vom nota simplu, prin scrierea alturat a elementelor componente.

Procednd sistematic, putem obine lista exhaustiv a acestor submulimi, cu condiia suplimentar de mai sus. Numrul elementelor din list, deci numrul submulimilor respective

se noteaz prin simbolul urmtor: ( )( ) ...,,,k

l...,,l,ln21

m21G . Aceste submulimi (grupe) se numesc grupri

barate generalizate. n parantez apar partiii ale numerelor naturale n i k.Ordinea numerelor din cele dou

paranteze nu are importan.Vom considera c avem:

m21 l...ll ; ...21 .

3 Problema distribuirii obiectelor n csue Considerm k obiecte ( clase de obiecte, din clasa i avnd i obiecte identice, deci

k

1i i= = ) i m csue. Se mpart cele k obiecte n cele m csue astfel nct csua j s primeasc cel puin un

obiect i cel mult jl obiecte (deci un obiect sau mai multe, maximum jl ). Numrul de distribuiri

posibile este: ( )( ) ...,,,k

l...,,l,ln21

m21G , nk , mk .


4 Demonstraia echivalenei dintre problema gruprilor i cea a distribuirilor

Pe cazul cel mai general s considerm n cazul problemei I (a gruprilor) urmtoarea

grupare:

{ 3211

ki

21 a...a...aa

unde { }m,....,2,1ai , i = 1,2,,k i fiecare valoare 1,2,,m este luat cel puin o dat. n cazul problemei II (a distribuirilor) considerm obiectele iA (i = 1,2,,k). Dac jai = ,

{ }m,...,2,1j , rezult c obiectul iA se plaseaz n csua j. Pe baza acestui principiu fiecrei grupri i corespunde o distribuire i invers. Deci ntre mulimea gruprilor i cea a distribuirilor se poate stabili o coresponden biunivoc, ceea ce nseamn c ele au acelai numr de elemente. n tabelul din dreapta nu vor exista csue goale.

Exemplu:

( )( )

9G1,34

2,2,26 = . Vom construi sistematic dou tabele, corespunznd celor dou probleme.

I II Obiecte: 112233

Obiecte: AAAB

1132 AA B A 1332 A B AA 1123 AA A B 1231 AB A A 1233 A A AB 1232 A AB A 2331 B A AA 1223 A AA B 2231 B AA A

n tabelul din stnga avem n vedere (fr a evidenia n mod expres acest lucru) mprirea grupelor n cele dou zone de lungime 2, respectiv 1. Fiecare grup conine toate obiectele 1,2,3. n tabelul din dreapta fiecare casu conine cel puin un obiect (nu exist casue goale).

Deci, cele dou probleme sunt echivalente (duale)

5 Formul de recuren Exist urmtoarea formul de recuren, care rezult imediat din definiie:

( )( )

( )( ) =

R

...,,,kx...,,x,xk

...,,,k

l...,,l,ln21

m21

21

m21GG



cu condiiile: 1 xi li , i = 1, 2, ..., m.

Suma se face pe mulimea R a soluiilor ecuaiei de mai sus, prin urmare suma din

membrul drept are R termeni (cardinalul mulimii R).

Avem:

( )k

l...,,l,ln m21CR = . n formula de mai sus apar combinrile barate generalizate, care sunt un caz particular al

gruprilor barate generalizate, pentru 1= . Formula de recuren furnizeaz o metod pentru calculul numrului gruprilor barate

generalizate.

6 Calculul numrului ( )( ) ...,,,n l...,,l,ln 21 m21G

Vom indica modul de calcul al numerelor de forma ( )( ) ...,,,n

l...,,l,ln21

m21G (notaii adaptate) care

intervin n relaia de recuren. nainte de a prezenta algoritmul de calcul, vom face observaia c numrul de mai sus reprezint i numrul bijeciilor ntre dou mulimi multiple [2].

Deoarece deducerea algoritmului este facut n lucrarea [2], redm mai jos modul general de calcul al acestui numr.

a) Se calculeaz polinomul = P...PPP 21

unde )x,...,x,x(PP i21ii = este polinomul de tip Newton, de grad i, n i nedeterminate.

Deci, )x,...,x,x(PP 21 = va avea gradul n1i i == i nedeterminate, unde ),...,,max( 21 = .

b) Se nlocuiete n P: m211 y...yyx +++= 2m

22

212 y...yyx +++=

...............................

+++= m21 y...yyx c) Se calculeaz cu teorema multinomului coeficientul monomului m21 lm

l2

l1 y...yy din

dezvoltarea lui P, care va fi chiar numrul cutat. Polinomul simetric de m nederminate m21 y,...,y,y i omogen de gradul n:

=mi...i1

iiin

n1

n21y...yyP

se poate exprima n funcie de n21 x,...,x,x , unde:

=mj1

iji yx ( n,...,2,1i = )


avnd urmtoarea form [2]:

=+++=

0k...,,k,knnk...k2k

kn

k2

k1

nk

2k

1kn

n21

n21

n21

n21x...xx

!kn...!k2!k11

P

Numrul de termeni din sum este ( )nP , adic numrul de moduri diferite de a scrie pe n ca o sum de numere naturale, n care ordinea termenilor nu are importan.

Aplicnd fomula general de mai sus, se obin uor primele patru polinoame de tip Newton:

11 xP =

)xx(21

P 2212 +=

)x2xx3x(61

P 321313 ++=

)x6x3xx8xx6x(241

P 422312

21

414 ++++=

Menionm, fr a insista aici asupra acestui aspect, c aplicnd metoda de numrare Plya de Bruijn [1] n cazul probemei noastre, se obine n fond metoda de calcul expus mai sus. Polinoamele

iP apar ca polinoame indicatoare de cicluri pentru

grupurile simetrice de permutri.

7 Aplicaie

n continuare, vom calcula numrul ( )( )2,57

2,3,38GN = utiliznd formula de recuren i algoritmul expus.

Putem scrie:

( )( )

( )( )=

R

2,57x,x,x7

2,57

2,3,38 321GG ,

unde R este mulimea soluiilor n numere naturale ale ecuaiei:

7xxx 321 =++ , cu condiiile: 3x1 1 , 3x1 2 , 2x1 3 .

Avem: ( ) 3CR7

2,3,38 == .

Mulimea R este: ( ) ( ) ( ){ }2,3,2,2,2,3,1,3,3R = . Deci, putem scrie:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2,57

1,3,372,57

2,2,372,57

2,3,272,57

2,2,372,571,3,37 GG2GGGN +=++= .

Dar, putem obine uor, folosind metoda polinoamelor de tip Newton:

( )( ) 6G 2,57 2,2,37 = ; ( )

( ) 5G 2,57 1,3,37 = . Deci, 17562N =+= .


Tabelele cu grupri, respectiv cu distribuiri, sunt redate n continuare.

I II Obiecte:11122233 Obiecte: AAAAABB

1113322 AAA BB AA 1112323 AAA AB AB 1112322 AAA ABB A 1123312 AAB AB AA 1123322 AA ABB AA 1112233 AAA AA BB 1112223 AAA AAB B 1122313 AAB AA AB 1122312 AAB AAB A 1122323 AA AAB AB 1223311 ABB AA AA 1223312 AB AAB AA 1122213 AAB AAA B 1122233 AA AAA BB 1222311 ABB AAA A 1222313 AB AAA AB 2223311 BB AAA AA

Ca observaie final vom spune c simbolul studiat n prezentul articol generalizeaz conceptele urmatoare: aranjamente barate generalizate, combinri barate generalizate, grupri barate cu repetiie generalizate.

Bibliografie [1] I. Tomescu, Introducere n combinatoric, Editura Tehnic, Bucureti, 1972

[2] V. M. Popa, Asupra numrrii bijeciilor ntre dou mulimi multiple, Gazeta Matematic Perfecionare metodic i metodologic n matematic i informatic, vol. VII, nr. 2, Bucureti, 1986, pag. 78-81.

[3] V. M. Popa, Mulimi multiple i mulimi ordonate, Educaia Matematic,vol.V,nr. 2, Sibiu, 2009 (n curs de apariie) i n prezentul volum

[4] V. M. Popa, Grupri generalizate, Sibiu, 2009 (n prezentul volum) Universitatea Lucian Blaga Sibiu Facultatea de Inginerie Hermann Oberth Catedra de Inginerie Electric i Electronic Str. Emil Cioran, nr. 4 Sibiu, Romnia E-mail: [email protected] Web: webspace.ulbsibiu.ro/vasile_mircea.popa

21

Cazuri speciale ale gruprilor generalizate

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we consider several special cases of generalized groupings. We also present two special cases of recurrence formula and applications.



1 Introducere n unele lucrri anterioare ([1],[2],[3],[4]) s-au introdus aranjamentele generalizate,

combinrile generalizate, permutrile generalizate i gruprile generalizate. Acestea au fost introduse pe baza a dou probleme fundamentale din combinatoric: problema gruprii obiectelor i problema distribuirii obiectelor n csue. S-au artat relaiile de generalizare ntre aceste concepte precum i modul n care acestea generalizeaz noiunile fundamentale de aranjamente, combinri i permutri, simple i cu repetiie.

n prezenta lucrare vom introduce dou noiuni noi: gruprile simple generalizate i gruprile cu repetiie generalizate i vom arta relaiile care exist ntre aceste noi noiuni i conceptele amintite mai sus. Vom prezenta un tabel de generalizare i vom pune n eviden toate relaiile de generalizare/particularizare care sunt valabile ntre mrimile din tabel, sub forma general. Vom prezenta dou forme speciale (particulare) ale relaiei de recuren pentru aranjamentele cu repetiie i permutrile cu repetiie. Vom deduce astfel o egalitate interesant, cu substrat combinatorial. La capitolul aplicaii vom arta cazuri concrete (particulare) de aducere la forma general (a gruprilor generalizate) pentru toate conceptele speciale din tabelul de generalizare.


2 Cazuri speciale Gruprile simple generalizate (membrul stng) se introduc pe baza relaiei:

),...,,(k)l,...,l,l(n

),...,,(kn

2121 GG = , nm = , nk .

Dup cum se observ, gruprile simple generalizate sunt un caz particular al gruprilor generalizate. Ele generalizeaz noiunile de aranjamete, combinri i permutri simple.

Gruprile cu repetiie generalizate (membrul stng) se introduc pe baza relaiei: ),...,,(k

)k,...,k,k(n),...,,(k

m2121 Gg

= , nmk = . De asemenea, dup cum se observ i gruprile cu repetiie generalizate sunt un caz

particular al gruprilor generalizate. Ele generalizeaz noiunile de aranjamente, combinri i permutri cu repetiie

Exist formulele de calcul [1] :

( )( )!kn!!...!

!nG

21

,...,,kn

21

=

, nk

( ) = mmm,...,,km c...ccg 2121 . Evident, att pentru gruprile simple generalizate ct i pentru gruprile cu repetiie

generalizate se pot formula problemele corespunztoate de grupare a obiectelor, respectiv de distribuire a obiectelor n csue.

Toate gruprile definite anterior pot fi sistematizate ntr-un tabel recapitulativ din care rezult i cum unele le generalizeaz pe altele.

( ) ,...,,kn

21G ( ) ,...,,k

m21g ( )

( ) ,...,,kl,...,l,ln

21

m21G

knA

kma ( )

kl,...,l,ln m21

A

knC

kmc ( )

kl,...,l,ln m21

C

nP mp ( )m21 l,...,l,lnP

Din definiie, rezult urmtoarele relaii de generalizare:

1. ),...,,(k

)l,...,l,l(n),...,,(k

n2121 GG

= ( nm = )

2. )l,...,l,l(knkn GA = ( k= )

3. )(knkn

1GC = ( 1= , 1k = ) 4-5. nnn AP =


6. ),...,,(k

)k,...,k,k(n),...,,(k

m2121 Gg

= ( nmk = )

7. )l,...,l,l(kmkm ga = ( k= )

8. )(kmkm

1gc = ( 1= , 1k = ) 9-10. mmm ap = 11. )l,...,l,l(k )l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n m21m21

GA = ( k= )

12. )(k )l,...,l,l(nk

)l,...,l,l(n1

m21m21GC = ( 1= , 1k = )

13. n )l,...,l,l(n)l,...,l,l(n m21m21 AP = 14. ( )

kl,...,l,ln

kn AA = ( nm = )

15. ( )k

k,...,k,knkm Aa = ( nmk = )

16. ( )k

l,...,l,lnkn CC = ( nm = )

17. ( )k

k,...,k,knkm Cc = ( nmk = )

18. ( )l,...,l,lnn PP = ( nm = ) 19. ( )=

Rx,...,x,xmm m21

Pp , unde R este mulimea soluiilor n numere naturale ale

ecuaiei mx...xx m21 =+++ , unde mx0 i , i = 1, 2, ..., m; numrul soluiilor ecuaiei este mmcR = ). n relaiile de generalizare de mai sus apar dou relaii numerotate dublu: 4-5 i 9-10. Am

fcut aceast numerotare dubl, pentru a exista o coresponden cu tabelul de la capitolul Aplicaii, care urmeaz n lucrare (capitolul 4).

Dup cum se observ, simbolul cel mai general este cel din colul din dreapta sus al tabelului, adic:

),...,,(k)l,...,l,l(n

21

m21G .

El generalizeaz toate celelalte 11 simboluri din tabel i reprezint evident gruprile generalizate. Dup cum se tie, el reprezint n acelai timp i numrul injeciilor ntre dou mulimi multiple [4]. Prin formula de complementaritate poate fi adus la forma standard nk = care reprezint numrul bijeciilor ntre dou mulimi multiple [1]

3 Relaie de recuren, cazuri speciale Pentru gruprile generalizate exist relaia de recuren [4]:

( )( )

( )( ) =

R

...,,,kx...,,x,xk

...,,,kl...,,l,ln

21

m21

21

m21GG





membrul drept are |R| termeni (cardinalul mulimii R). Avem:

( )k

l...,,l,ln m21CR = .

n formula de mai sus pentru |R| apar combinrile generalizate, care sunt un caz particular

al gruprilor generalizate, pentru 1= . Formula de recuren furnizeaz o metod pentru calculul numrului gruprilor

generalizate (i pentru numrul injeciilor ntre dou mulimi multiple).

a). Vom particulariza relaia de mai sus.Avem: ),...,,(k

m),...,,(k

)k,...,k,k(n2121 gG = , unde nmk = .

n particular: )1,...,1,1(k

m)1,...,1,1(k)k,...,k,k(n gG = , unde nmk = .

Aplicm relaia general:

( )( )

( )( )=

R

1...,,1,1kx...,,x,xk

1...,,1,1kk...,,k,kn m21

GG

unde R este mulimea soluiilor (x1, x2, ..., xm) n numere naturale ale ecuaiei:

x1 + x2 + ... + xm = k cu condiiile: 0 xi k , i = 1, 2, ..., m.

Suma se face pe mulimea R a soluiilor ecuaiei de mai sus, prin urmare suma din membrul drept are |R| termeni (cardinalul mulimii R).

Avem:

( )km

kk...,,k,kn cCR == .

Dar:

( )( ) ====

R m21R

1,...,1,1kx,...,x,xk

kkm

)l,...,l,l(km !x!...x!x

!kGmag

m21.

Deci, obinem:

k

R m21

m!x!...x!x

!k =

unde R este mulimea soluiilor ecuaiei kx...xx m21 =+++ ; kx0 i ; m,...,2,1i = ; kmcR = . S-a obinut n acest fel o egalitate interesant cu substrat combinatorial.

b). Putem particulariza n continuare, fcnd mk = . Obinem:

===R m21

mmmm !x!...x!x

!mmap

unde R este mulimea soluiilor ecuaiei mx...xx m21 =+++ ; mx0 i ; m,...,2,1i = ; mmcR = .


Se poate deci scrie:

( )=R

m21mm x,...,x,xPp

unde R este mulimea soluiilor ecuaiei mx...xx m21 =+++ ; mx0 i ; m,...,2,1i = ; mmcR = . n acest fel am exprimat permutrile cu repetiie cu ajutorul permutrilor generalizate (ca

o sum de permutri generalizate).

4 Aplicaii

Vom arta cteva exemple concrete de reducere la cazul gruprilor generalizate i apoi la

cazul standard.

1. ( ) ( )( )

( )( ) 30GGG 2,1,25 1,1,1,1,15

1,231,1,1,1,15

1,235 ===

2. ( ) ( )( )

( )( ) 60GGGA 2,1,1,15 1,1,1,1,15

1,1,131,1,1,1,15

1,1,135

35 ====

3. ( ) ( )( )

( )( ) 10GGGC 2,35 1,1,1,1,15

331,1,1,1,15

335

35 ====

4. ( ) ( )( ) 120GGAP 1,1,1,1,15 1,1,1,1,15

1,1,1,1,155

555 ====

5. ( ) ( )( ) 120GAAP 1,1,1,1,15 1,1,1,1,15

51,1,1,1,15

555 ====

6. ( ) ( )( )

( )( ) 75GGg 12,1,215 3,3,3,3,315

1,233,3,3,3,315

1,235 ===

7. ( ) ( )( )

( )( ) 125GGga 12,1,1,115 3,3,3,3,315

1,1,133,3,3,3,315

1,1,135

35 ====

8. ( ) ( )( )

( )( ) 35GGgc 12,315 3,3,3,3,315

333,3,3,3,315

335

35 ====

9. ( ) ( )( )

( )( ) 3125GGgap 20,1,1,1,1,125 5,5,5,5,525

1,1,1,1,155,5,5,5,525

1,1,1,1,155

555 =====

10. ( ) ( )( )

( )( ) 3125GGAap 20,1,1,1,1,125 5,5,5,5,525

1,1,1,1,155,5,5,5,525

55,5,5,5,525

555 =====

11. ( ) ( )( )

( )( ) 18GGA 2,1,1,15 1,2,25

1,1,131,2,25

31,2,25 ===

12. ( ) ( )( )

( )( ) 5GGC 2,35 1,2,25

331,2,25

31,2,25 ===

13. ( ) ( ) ( )( ) 30GAP 1,1,1,1,15 1,2,25

51,2,251,2,25 ===

14. ( ) ( )( )

( )( ) 60GGAA 2,1,1,15 1,1,1,1,15

1,1,131,1,1,1,15

31,1,1,1,15

35 ====

15. ( ) ( )( )

( )( ) 125GGAa 12,1,1,115 3,3,3,3,315

1,1,133,3,3,3,315

33,3,3,3,315

35 ====

16. ( ) ( )( )

( )( ) 10GGCC 2,35 1,1,1,1,15

331,1,1,1,15

31,1,1,1,15

35 ====

17. ( ) ( )( )

( )( ) 35GGCc 12,315 3,3,3,3,315

333,3,3,3,315

33,3,3,3,315

35 ====


18. ( ) ( ) ( )( ) 120GAPP 1,1,1,1,15 1,1,1,1,15

51,1,1,1,151,1,1,1,155 ====

19. ( ) ( ) ( )( ) ====

R

1,1,1,1,15x,x,x,x,x5

R

5x,x,x,x,x5

Rx,x,x,x,x55 543215432154321

GAPp

( )( )

( )( ) 3125GG 20,1,1,1,1,125 5,5,5,5,525

1,1,1,1,155,5,5,5,525 ===

unde R este mulimea soluiilor ecuaiei: 5xxxxx 54321 =++++ , cu condiiile: 5x0 i , m,...,2,1i = , 55cR = .

Pentru nelegerea profund a coninutului acestei lucrri propunem cititorului rezolvarea urmtoarelor teme.

1.S se formuleze problema gruprii obiectelor pentru fiecare din cele 11 cazuri speciale din tabelul de generalizare.

2.S se formuleze problema distribuirii obiectelor n csue pentru fiecare din cele 11 cazuri speciale din tabelul de generalizare.

3.S se particularizeze formula de recuren valabil pentru gruprile generalizate pentru fiecare din cele 11 cazuri speciale din tabelul de generalizare. De fapt, pentru cazul aranjamente-lor cu repetiie i pentru cazul permutrilor cu repetiie, particularizrile respective sunt deja fcute (la capitolul 3 din lucrare).

n final mai facem observaia c n conformitate cu cele artate anterior, numrul de

distribuiri a k obiecte diferite n m csue este egal cu kkm ma = . Acest numr este determinat printr-o alt metod n articolul Posibilitile de distribuire a n obiecte la k persoane de Tudor Zamfirescu, din Gazeta Matematic nr. 11/1965. Metoda respectiv este n orice caz mai laborioas dect aplicarea formulei de mai sus.

Bibliografie

[1] V. M. Popa, Matematic aplicat, Sibiu, 2005

[2] V. M. Popa, Aranjamente generalizate, Educaia Matematic, vol. I, nr. 2, Sibiu, 2005

[3] V. M. Popa, Combinri generalizate, Educaia Matematic, vol.II, nr. 1-2, Sibiu, 2006

[4] V. M. Popa, Grupri generalizate, Sibiu, 2009 (n prezentul volum)


27

Cazuri speciale ale gruprilor barate generalizate

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we consider several special cases of generalized barred groupings. We also present three special cases of recurrence formula and applications.



1 Introducere ntr-o lucrare anterioar [4] s-au introdus gruprile barate generalizate. Acestea au fost

introduse pe baza a dou probleme fundamentale duale din combinatoric: problema gruprii obiectelor i problema distribuirii obiectelor n csue (n cazul de fa cu o condiie suplimentar fa de cazul gruprilor generalizate). Vom introduce n lucrarea de fa noiunile de grupri barate cu repetiie generalizate, aranjamente barate generalizate i combinri barate generalizate. Vom arta relaiile de generalizare ntre gruprile barate generalizate i aceste concepte precum i modul n care acestea generalizeaz noiunile fundamentale de aranjamente i combinri barate cu repetiie.

Vom prezenta un tabel de generalizare i vom pune n eviden toate relaiile de generalizare/particularizare care sunt valabile ntre mrimile din tabel, sub forma general. Vom prezenta forma general i o form special (particular) a relaiei de recuren valabil pentru aranjamentele barate cu repetiie, pentru aranjamentele barate generalizate i pentru combinrile barate generalizate. Vom deduce astfel o egalitate interesant, cu substrat combinatorial i respectiv vom pune n eviden dou formule de calcul. La capitolul aplicaii vom arta cazuri concrete (particulare) de aducere la forma general (a gruprilor barate generalizate) pentru toate conceptele speciale din tabelul de generalizare.


2 Cazuri speciale Gruprile barate cu repetiie generalizate (membrul stng) se introduc pe baza relaiei:

),...,,(k

)1mk,...,1mk,1mk(n

),...,,(k

m2121 Gg

+++

= , ( ) n1mkm =+ . Gruprile barate cu repetiie generalizate sunt un caz particular al gruprilor generalizate.

Ele generalizeaz noiunile de aranjamente i combinri barate cu repetiie. Aranjamentele barate generalizate (membrul stng) se introduc pe baza relaiei:

)l,...,l,l(k

)l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n

m21m21GA = .

Ele sunt deci un caz particular al gruprilor barate generalizate i generalizeaz aranjamentele barate cu repetiie.

Combinrile barate generalizate (membrul stng) se introduc pe baza relaiei: )(k

)l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n

1

m21m21GC

= . Ele sunt deci un caz particular al gruprilor barate generalizate i generalizeaz

combinrile barate cu repetiie. n ce privete aranjamentele barate cu repetiie i combinarile barate cu repetiie (numite

astfel n lucrarea de fa), ele reprezint de fapt numrul surjeciilor ntre dou mulimi, respectiv numrul surjeciilor cresctoare ntre dou mulimi i sunt noiuni clasice i bine cunoscute n combinatoric [1].

Exist formulele de calcul [1]: ( ) ( )

=

=m

1iiii

im

im,...,,k

m c...ccC1g2121 ; mk

( ) ( ) ( ) 1mm1mk2mk1mkkm C1...2mC1mCma ++= ; mk 1m1k

km Cc = ; mk .

Evident, pentru toate noiunile introduse mai sus se pot formula problemele corespunztoate de grupare a obiectelor, respectiv de distribuire a obiectelor n csue.

Toate gruprile definite anterior pot fi sistematizate ntr-un tabel recapitulativ din care rezult i cum unele le generalizeaz pe altele.

( ) ,...,,km

21g ( )( ) ,...,,k

l,...,l,ln21

m21G

kma ( )

kl,...,l,ln m21A

kmc ( )

kl,...,l,ln m21C

Din definiie, rezult urmtoarele relaii de generalizare:

1. ),...,,(k

)1mk,...,1mk,1mk(n),...,,(k

m2121 Gg

+++

= ( ( ) n1mkm =+ ) 2.

)l,...,l,l(k

m

km ga = ( k= )


3. )(k

m

km

1gc= ( 1= , 1k = )

4. )l,...,l,l(k

)l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n

m21m21GA = ( k= )

5. )(k

)l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n

1

m21m21GC

= ( 1= , 1k = )

6. ( )k

1mk,...,1mk,1mknkm Aa +++= ( ( ) n1mkm =+ )

7. ( )k

1mk,...,1mk,1mknkm Cc +++= ( ( ) n1mkm =+ )

Dup cum se observ, simbolul cel mai general este cel din colul din dreapta sus al

tabelului, adic: ),...,,(k

)l,...,l,l(n21

m21G

.

El generalizeaz toate celelalte 5 simboluri din tabel i reprezint evident gruprile barate generalizate. Se poate deduce uor c n situaia n care nk = valoarea lui este egal cu cea a simbolului general standard de la gruprile generalizate, care reprezint numrul bijeciilor ntre dou mulimi multiple [4].

n ce privete celelalte 6 simboluri care apreau n tabelul gruprilor generalizate dar nu apar n tabelul de mai sus al gruprilor barate generalizate, ele se pot defini dar aceste cazuri sunt banale.

( ) ( )!!...!

!nGG

21

,...,,nn

,...,,kn

2121

== ( )nk =

!nAA nnkn == ( )nk =

1CC nnkn == ( )nk =

!nPP nn ==

!mapmmm == , care se mai poate scrie: ( ) ( ) ( ) !mC1...2mC1mCm 1mm1mm2mm1mm =++ , ceea ce reprezint o

egalitate interesant.

( ) ( ) ( ) !l!...l!l!n

AAPm21

nl,...,l,ln

nl,...,l,lnl,...,l,ln

212121===

.

3 Relaie de recuren, cazuri speciale Exist urmtoarea formul de recuren, care rezult imediat din definiie:

( )( )

( )( ) =

R

...,,,kx...,,x,xk

...,,,k

l...,,l,ln21

m21

21

m21GG





membrul drept are R termeni (cardinalul mulimii R). Avem:

( )k


gruprilor barate generalizate, pentru 1= . Formula de recuren furnizeaz o metod pentru calculul numrului gruprilor barate

generalizate. Numerele care apar n membrul drept se calculeaz utiliznd algoritmul prezentat n lucrarea [2].

a). Vom particulariza relaia de recuren, pentru cazul aranjamentelor barate cu repetiie. Avem:

),...,,(k

m

),...,,(k

)1mk,...,1mk,1mk(n2121 gG

+++ = ; ( ) n1mkm =+ .

n particular: )1,...,1,1(k

m

)1,...,1,1(k)1mk,...,1mk,1mk(n gG =+++ .

Aplicm relaia general:

( )( )

( )( )=+++

R

1...,,1,1kx...,,x,xk

1...,,1,1k

1mk...,,1mk,1mkn m21GG


cu condiiile: 1 xi k-m+1 , i = 1, 2, ..., m.


membrul drept are | R | termeni (cardinalul mulimii R ). Avem:

( )km

k1mk,...,1mk,1mkn cCR == +++ .

Dar: ( ) ( ) ( ) 1mm1mk2mk1mkkm)l,...,l,l(km C1...2mC1mCmag ++== , mk . Deci, obinem:

( ) ( ) ( ) 1mm1mk2mk1mkR m21

C1...2mC1mCm!x!...x!x

!k ++= , mk ,

unde R are semnificaia de mai sus. S-a obinut n acest fel o egalitate interesant cu substrat combinatorial. b). Vom particulariza relaia de recuren pentru cazul aranjamentelor barate generalizate.

Avem: )l,...,l,l(k

)l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n

m21m21GA = , nk , mk .

Deci: ==R m21R

)l,...,l,l(k)x,...,x,x(k

k)l,...,l,l(n

!x!...x!x!k

GAm21m21






Avem:

( )k


gruprilor barate generalizate, pentru 1= . Formula de recuren furnizeaz o metod pentru calculul numrului aranjamentelor

barate generalizate. c). Vom particulariza relaia de recuren pentru cazul combinrilor barate generalizate.

Avem: )k(k

)l,...,l,l(n

k)l,...,l,l(n

m21m21GC = , nk , mk .

Deci: R1GCRR

)k(k)x,...,x,x(k

k)l,...,l,l(n

m21m21===





Avem:

( )k


gruprilor barate generalizate, pentru 1= . Formula de recuren furnizeaz o metod pentru calculul numrului combinrilor barate

generalizate. Deci, numrul combinrilor barate generalizate este egal cu numrul soluiilor cu numere

naturale strict pozitive ale unei ecuaii diofantice liniare, cu coeficieni unitari i cu limitri superioare ale necunoscutelor.

4 Aplicaii Vom arta cteva exemple concrete de reducere la cazul gruprilor barate generalizate.

1. ( )

( )( )

12Gg2,24

2,2,26

2,24

3 ==

2. ( )

( )( )

36Gga1,1,1,14

2,2,26

1,1,1,14

3

43 ===

3. ( )

( )( )

3Ggc44

2,2,26

44

3

43 ===

4. ( ) ( )( )

6GA1,1,13

1,2,25

31,2,25 ==


5. ( ) ( )( )

1GC33

1,2,25

31,2,25 ==

6. ( ) ( )( )

36GAa1,1,1,14

2,2,26

42,2,26

43 ===

7. ( ) ( )( )

3GCc44

2,2,26

42,2,26

43 ===

Pentru nelegerea profund a coninutului acestei lucrri propunem cititorului rezolvarea urmtoarelor teme.

1.S se formuleze problema gruprii obiectelor pentru fiecare din cele 5 cazuri speciale din tabelul de generalizare.

2.S se formuleze problema distribuirii obiectelor n csue pentru fiecare din cele 5 cazuri speciale din tabelul de generalizare.

3.S se particularizeze formula de recuren valabil pentru gruprile barate generalizate pentru fiecare din cele 5 cazuri speciale din tabelul de generalizare. De fapt, pentru cazul aranjamentelor barate cu repetiie, a aranjamentelor barate generalizate i a combinrilor barate generalizate, particularizrile respective sunt deja fcute (la capitolul 4 din lucrare).

Bibliografie

[1] I. Tomescu, Introducere n combinatoric, Editura Tehnic, Bucureti, 1972

[2] V. M. Popa, Asupra numrrii bijeciilor ntre dou mulimi multiple, Gazeta Matematic Perfecionare metodic i metodologic n matematic i informatic, vol. VII, nr. 2, Bucureti, 1986, pag. 78-81

[3] V. M. Popa, Mulimi multiple i mulimi ordonate, Educaia Matematic, vol.V, nr. 2, Sibiu, 2009 (n curs de apariie)

[4] V. M. Popa, Grupri barate generalizate, Sibiu, 2009 (n prezentul volum) Universitatea Lucian Blaga Sibiu Facultatea de Inginerie Hermann Oberth Catedra de Inginerie Electric i Electronic Str. Emil Cioran, nr. 4 Sibiu, Romnia E-mail: [email protected] Web: webspace.ulbsibiu.ro/vasile_mircea.popa

33

O utilizare combinatorial a polinoamelor lui

Newton

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we consider a new problem of distributing objects into cells, with a supplementary condition. We also present a calculating algorithm using the Newton polynomials method, a recurrence formula, the symmetry property and applications.



1 Introducere ntr-o lucrare anterioar [3] s-a considerat o problem de distribuire a obiectelor n csue,

pe care o reamintim n continuare. Problema era legat de numrarea bijeciilor ntre dou mulimi multiple.

Este vorba de o problem de distribuire a unor obiecte n csue distincte, neordonate (nu are importan ordinea obiectelor n csue). Considerm n obiecte ( clase de obiecte, clasa i

coninnd i obiecte identice, deci n1i

i =

=) i m csue de capaciti jl , cu nl

m

1jj =

=. Se

distribuie cele n obiecte n cele m csue. Numrul de distribuiri posibile se noteaz astfel:

( )( ) ...,,,n

l...,,l,ln21

m21G . n simbolul general anterior, n cele dou paranteze apar partiii ale numrului

natural n. Ordinea indicilor din paranteze nu are importan. Se noteaz att indicii de jos ct i cei de sus n ordinea descresctoare. Dac n urma aplicrii unor formule de calcul apar indici nuli, acetia vor fi eliminai.

n prezenta lucrare, vom considera o problem asemntoare, dar mai restrictiv (cu o condiie suplimentar i anume csuele s primeasc numai obiecte distincte). La nceput vom enuna aceast problem i apoi vom determina numrul acestor distribuiri de obiecte n csue, avnd n vedere condiia amintit mai sus.


2 O nou problem de distribuire a obiectelor n csue Considerm o problem de distribuire a unor obiecte n csue distincte, neordonate (nu

are importan ordinea obiectelor n csue). Considerm n obiecte ( clase de obiecte, clasa i

coninnd i obiecte identice, deci n1i

i =

=) i m csue de capaciti jl , cu nl

m

1jj =

=. Se

distribuie cele n obiecte n cele m csue astfel nct fiecare csu s primeasc numai obiecte

distincte. Numrul de distribuiri posibile, cu aceast condiie, se noteaz astfel: ( )( ) ...,,,n

l...,,l,ln21

m21H . n

simbolul general anterior, n cele dou paranteze apar partiii ale numrului natural n. Ordinea indicilor din paranteze nu are importan. Vom prefera s notm att indicii de jos ct i cei de sus n ordinea descresctoare. Dac n urma aplicrii unor formule de calcul apar indici nuli, acetia vor fi eliminai. Trebuie s avem condiiile: mi , = ,...2,1i i datorit proprietii de dualitate (vezi cap. 4) i condiiile: jl , m,...,2,1j = . Dac aceste condiii nu sunt ndeplinite, valoarea simbolului este nul.

3 Algoritmul de numrare n continuare, ne propunem s calculm valoarea simbolului general introdus mai sus.

Vom considera la nceput un caz particular i anume calculul numrului )1,2(3 )1,1,1(3H . Prin

urmare, trebuie s calculm n cte moduri se pot distribui 3 obiecte (dou de o clas i unul de alt clas) n trei csue de capacitate 1, deci fiecare csu primind un obiect.

S presupunem c fiecare csu ar putea primi cte un obiect din fiecare clas, deci n cazul nostru dou obiecte diferite. Atunci, primele dou obiecte se pot plasa astfel: un obiect n prima csu i al doilea n a doua, n prima i a treia sau n a doua i a treia. Acestor posibiliti de distribuire a primelor dou obiecte le putem ataa polinomul omogen i simetric elementar de trei nedeterminate:

3231212 yyyyyyQ ++= . Gradul polinomului este dat de numrul de obiecte de aceeai clas (2) iar numrul de

nedeterminate de numrul de csue (3). Fiecare monom corespunde unei distribuiri. La fel, al treilea obiect se poate plasa n csua nti, a doua sau a treia. Scriem polinomul.

ataat:

3211 yyyQ ++= . Fiecrei distribuiri a obiectelor din prima clas i se poate ataa o distribuire a obiectului

din cealalt clas, totalitatea distribuirilor care rezult reprezentndu-se prin produsul celor dou polinoame:

321232

231

2213

223

212

2112 yyy3yyyyyyyyyyyyQQ ++++++= .

Coeficientul unui monom arat de cte ori apare el n polinomul final, deci cte distribuiri de tipul respectiv sunt posibile. n cazul nostru, fiecare csu primete un obiect, deci


distribuirile sunt de tipul 321 yyy . Numrul de distribuiri posibile este deci 3. Exponentul unei

nedeterminate arat cte obiecte sunt n csua reprezentat de variabila respectiv. n acest fel, putem deduce de exemplu c numrul de distribuiri a celor trei obiecte considerate n trei csue din care prima nu primete nici un obiect, a doua primete dou obiecte, iar a treia primete un obiect este 1, etc.

O simplificare considerabil a calculelor se poate face considernd reprezentarea polinoamelor simetrice i omogene elementare prin sumele nedeterminatelor de aceeai putere (relaiile lui Newton; [2],[3]).

Astfel, notnd:

3211 yyyx ++= 23

22

212 yyyx ++=

avem: 11 xQ = ; )xx(21

Q 2212 =

)]xxx(21

QQQ 213121 ==

( ) ( )( )2322213213321 yyyyyyyyy[21

Q ++++++=

Cu teorema multinomului [1] extragem coeficientul monomului 321 yyy :

3!1!1!1

!321

N == .

Metoda expus se poate aplica evident pe cazul general. Deci, pentru calculul

simbolului general standard elementar ( )( ) ,...,,n

l,...,l,ln21

m21H se procedeaz astfel:

a) Se calculeaz polinomul = Q...QQQ 21

unde )x,...,x,x(QQ i21ii = este polinomul lui Newton, de grad i, n i nedeterminate.

Deci, )x,...,x,x(QQ 21 = va avea gradul n1i i == i nedeterminate, unde ),...,,max( 21 = .

b) Se nlocuiete n Q: m211 y...yyx +++= 2m

22

212 y...yyx +++=

...............................

+++= m21 y...yyx c) Se calculeaz cu teorema multinomului coeficientul monomului m21 lm

l2

l1 y...yy din

dezvoltarea lui Q, care va fi chiar numrul cutat.

Polinomul simetric de m nederminate m21 y,...,y,y i omogen de gradul n

elementar:


se poate exprima n funcie de n21 x,...,x,x , unde:

=mj1

iji yx ( n,...,2,1i = )

avnd urmtoarea form [2]:

=+++

++=0k...,,k,k

nnk...k2k

kn

k2

k1

nk

2k

1k

...kk

n

n21n21

n21

n21

42

x...xx!kn...!k2!k1

)1(Q

Numrul de termeni din sum este ( )nP , adic numrul de moduri diferite de a scrie pe n ca o sum de numere naturale, n care ordinea termenilor nu are importan.

Aplicnd fomula general de mai sus, se obin uor primele patru polinoame ale lui Newton:

11 xQ =

)xx(21

Q 2212 =

)x2xx3x(61

Q 321313 +=

)x6x3xx8xx6x(241

Q 422312

21

414 ++=

Observm c polinoamele lui Newton Q se pot obine din polinoamele de tip Newton P prin nlocuirea nedeterminatelor cu indici pari cu opusele lor.

4 Formula de recuren pentru polinoamele Qn Pentru polinoamele lui Newton exist o formul de recuren. Notm:

ii D!i1

Q = ( ,...2,1,0i = )

Avem urmtoarea formul de recuren [2], [4]:

=

++ =n

0kkn1k

kn

k1n DxA)1(D .

Prin convenie, 1DQ 00 == . Aceast formul de recuren poate fi scris i n formele urmtoare:

=

=

n

1kknk

1kn Qx)1(n

1Q

n

Qx)1(...QxQxQ 0n

1n2n21n1

n

++=

Formula de recuren permite calculul polinoamelor nQ din aproape n aproape, aceasta

fiind o nou metod de calcul, pe lng metoda care utilizeaz formula general prezentat mai sus i n care numrul termenilor este P(n), adic numrul partiiilor numrului natural n.


5 Proprietatea de dualitate (simetrie) a simbolului ( )( ) ...,,,n l...,,l,ln 21 m21H Exist relaia:

)l,...,l,l(n),...,,(n

),...,,(n)l,...,l,l(n

m21

21

21

m21HH

= .

Demonstraie:

S considerm la nceput un caz particular: 5HH )1,1,2,3(7 )2,2,3(7)2,2,3(7)1,1,2,3(7 ==

Scriem una dintre distribuirile posibile, corespunztor membrului stng al egalitii: A B C A B A C 1 1 1 2 2 3 4

(obiecte) (csue)

(1)

Putem interverti rolul literelor cu al cifrelor i presupune c 1,2,3,4 indic categoriile de obiecte iar A, B,C csuele. Rearanjm perechile:

1 2 3 1 2 1 4 A A A B B C C

(2)

Exact aceleai perechi apar in (1) i (2) numai c au fost inversate rndurile. Dar (2) poate fi interpretat ca reprezentnd o distribuire format cu 3 obiecte de clasa 1,dou obiecte de clasa 2, un obiect de clasa 3 i un obiect de clasa 4 n csuele A ,B i C de capaciti 3,2 i respectiv 2. Dar aceasta este una dintre distribuirile corespunztoare membrului drept al egalitii de demonstrat. Rezult o coresponden biunivoc ntre cele dou mulimi de distribuiri care vor avea deci acelai numr de elemente i egalitatea din enun este demonstrat, deoarece procedeul expus rmne evident valabil pe cazul general.

Observaie: i simbolul general standard ( nk = ) de la gruprile generalizate [3],[5] (respectiv de la numrarea bijeciilor ntre dou mulimi multiple) prezint aceast proprietate de

dualitate (simetrie), iar demonstraia este asemntoare. Deci: )l,...,l,l(n ),...,,(n),...,,(n

)l,...,l,l(nm21

21

21

m21GG

= .

6 Aplicaii

n continuare, vom calcula numrul ( )( )1,1,1,25

1,2,25HN = utiliznd algoritmul expus. Vom utiliza algoritmul prezentat mai sus n acest articol (metoda polinoamelor lui

Newton). Avem:

( )23151312 xxx21

QQQ ==

3211 yyyx ++= 23

22

212 yyyx ++=

( ) ( ) ( )[ ]23222133215321 yyyyyyyyy21Q ++++++= 12

!1!0!2!3

!1!2!0!3

!1!2!2!5

21

N =

= .


Ca exerciiu, propunem cititorului s verifice prin calcul egalitile:

( )( ) 34H 1,1,2,26 1,1,2,26 =

( )( ) 78H 1,1,1,1,26 1,1,2,26 =

( )( ) 34H 1,1,2,37 1,1,1,1,37 =

( )( ) 117H 1,1,1,2,27 1,2,2,27 =

i s formuleze problemele corespunztoare de distribuire a obiectelor n csue, cu condiia ca

fiecare csu s primeasc numai obiecte distincte. Pentru cazul particular de la capitolul 5 s se

construiasc tabelele cu distribuirile respective (n numr de 5 distribuiri, fiecare).

De asemenea, cititorul este invitat s formuleze o problem de grupare a obiectelor, dup

modelul de la gruprile generalizate [5].Ce condiie suplimentar apare n acest caz?

Vom meniona c problema prezentat poate fi rezolvat pentru diverse cazuri particulare

(aplicaii numerice) prin utilizarea calculatorului electronic. Autorul prezentului articol a realizat acest lucru, dar prezentarea acestui aspect nu face obiectul articolului de fa. Se va reveni pentru

expunerea algoritmului utilizat (bazat pe metoda enumerrii) i a programului de calculator

respectiv, ntr-un articol viitor.

Bibliografie


[2] D. E. Knuth, Tratat de programarea calculatoarelor, vol. I, Editura Tehnic,

Bucureti, 1974.

[3] V. M. Popa, Asupra numrrii bijeciilor ntre dou mulimi multiple, Gazeta

Matematic Perfecionare metodic i metodologic n matematic i informatic, vol. VII, nr.

2, Bucureti, 1986, pag. 78-81.

[4] J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, John Wiley & Sons, Inc.,

New York, 1958

[5] V. M. Popa, Grupri generalizate, Sibiu, 2009 (n prezentul volum)


39

Aspecte combinatoriale privind ecuaia diofantic

liniar cu coeficieni unitari

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we present some combinatorial aspects regarding the linear diophantine equation with unit coefficients. We consider the equation with superior limits of variables and the equation with double limits of variables. We also present a interesting combinatorial relation with generalized combinations.


2000 Mathematical Subject Classification: 11D45

1 Introducere

n lucrarea de fa vom pune n eviden unele aspecte combinatoriale privind ecuaia

diofantic liniar cu coeficieni unitari: kx...xx m21 =+++ .

Numerele k, ix sunt naturale. De asemenea, limitrile ib i il care pot exista pentru

necunoscutele ix ale ecuaiei, sunt numere naturale (i=1,2,,m). Vom considera, pe rnd, mai

multe situaii, funcie de plajele de valori pentru necunoscutele ecuaiei. Ne intereseaz numrul soluiilor ecuaiei, iar n unele situaii i lista (mulimea) soluiilor

respective.

2 Ecuaia I, cu limitri superioare ale necunoscutelor

Considerm ecuaia:

kx...xx m21 =+++ (1)


unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,lx0 ii = . (2) innd seama de definiia combinrilor generalizate [2],[3], deducem imediat c numrul

soluiilor ecuaiei (1) care verific condiiile (2) este k )l,...,l,l(n m21CN = , unde nk,lnm

1ii =

=.

Exemplul I. Pentru ecuaia:

1x0,1x0,2x0,3x0

:unde,3xxxx

4321

4321

=+++

lista soluiilor cu condiiile indicate este prezentat n continuare.

x1 x2 x3 x4

0 1 1 1 0 2 0 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 0 0 2 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 0 3 0 0 0

Caz particular 1: 1l...ll m21 ==== . Pentru ecuaia:

kx...xx m21 =+++ unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,1x0 i = numrul soluiilor ecuaiei este:

km

k)l,...,l,l(n CCN ==

unde nm,mk = (combinri simple). Caz particular 2: kl...ll m21 ==== . Pentru ecuaia:


m,...,2,1i,kx0 i = numrul soluiilor ecuaiei este:

km

k)k,...,k,k(n cCN ==

unde nmk = (combinri cu repetiie).


3 Ecuaia II, cu duble limitri ale necunoscutelor

Considerm ecuaia:

kx...xx m21 =+++ (3) unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,lxb iii = . (4) Pentru a calcula numrul soluiilor ecuaiei (3) care verific condiiile (4) facem

substituiile:

iii bxy = . (5) Deci, iii byx += i nlocuind n ecuaia (3) obinem:

)b...bb(ky...yy m21m21 +++=+++ (6) cu condiiile:

m,...,2,1i,bly0 iii = (7) care este de tipul ecuaiei I.

ntre mulimea soluiilor ecuaiei (3) cu condiiile (4) i mulimea soluiilor ecuaiei (6) cu condiiile (7) exist o coresponden biunivoc, stabilit prin intermediul relaiilor (5). Ele au deci acelai numr de elemente (acelai cardinal).

Dac notm: 'nb...bb m21 =+++

ecuaia de mai sus se scrie: 'nky...yy m21 =+++

cu condiiile: m,...,2,1i,bly0 iii = .

Numrul soluiilor ecuaiei (3) cu condiiile (4) este deci: 'nk

)bl,...,bl,bl('nn mm2211CN =

unde m21 l...lln +++= , m21 b...bb'n +++= , nk , 'nn , 'nk . Exemplul II. Pentru ecuaia:

2x1,2x1,4x2,5x2

:unde,9xxxx

4321

4321

=+++


x1 x2 x3 x4

2 3 2 2 2 4 1 2 2 4 2 1 3 2 2 2 3 3 1 2 3 3 2 1 3 4 1 1


4 2 1 2 4 2 2 1

4 3 1 1 5 2 1 1

Caz particular 1: m,...,2,1i,1bi == . Pentru ecuaia:


m,...,2,1i,lx1 ii = folosim substituiile:

1xy ii = i obinem ecuaia:

mky...yy m21 =+++ cu condiiile:

m,...,2,1i,1ly0 ii = . Numrul soluiilor ecuaiei de mai sus, corespunznd cazului particular 1, este:

mk)1l,...,1l,1l(mn

k)l,...,l,l(n

m21m21CCN == , unde mk,nk .

Expresia pentru N cu combinri barate generalizate am scris-o innd seama de definiia

acestora i folosind ecuaia n necunoscutele ix [4], iar expresia cu combinri generalizate s-a

obinut de asemenea pe baza definiiei, folosind ecuaia cu necunoscutele iy , sau din cea

general de la ecuaia II, n urma particularizrii de la cazul 1. Rezult i o egalitate interesant (exprimarea combinrilor barate generalizate cu ajutorul combinrilor generalizate).

Caz particular 2: m,...,2,1i,'nkbl ii =+= . Pentru ecuaia:


m,...,2,1i,'nkbxb iii =+ folosim substituiile:

iii bxy = i obinem ecuaia:

)b...bb(ky...yy m21m21 +++=+++ cu condiiile:

m,...,2,1i,'nky0 i = . Dac notm:

'nb...bb m21 =+++ ecuaia de mai sus se scrie:

'nky...yy m21 =+++


cu condiiile:

m,...,2,1i,'nky0 i = . Numrul soluiilor ecuaiei de mai sus, corespunznd cazului particular 2 este:

'nkmcN= , unde m21 b...bb'n +++= , 'nk .

Expresia pentru N cu combinri cu repetiie am scris-o innd seama de definiia acestora,

folosind ecuaia n necunoscutele iy (sau aplicnd cazul particular 2 de la ecuaia I).

Caz particular 3: 1bi = i m,...,2,1i,mk1li =+= . Pentru ecuaia:


m,...,2,1i,mk1x1 i =+ folosim substituiile:


mky...yy m21 =+++ cu condiiile:

m,...,2,1i,mky0 i = . Numrul soluiilor ecuaiei de mai sus, corespunznd cazului particular 3 este:

mkm

km ccN == , unde mk .

Expresia pentru N cu combinri barate cu repetiie am scris-o innd seama de definiia

acestora i folosind ecuaia n necunoscutele ix [4], iar expresia cu combinri cu repetiie s-a

obinut de asemenea pe baza definiiei, folosind ecuaia cu necunoscutele iy (sau aplicnd cazul

particular 2 de la ecuaia I). Am regsit astfel egalitatea interesant:

mkm

km cc = , unde mk

(exprimarea combinrilor barate cu repetiie cu ajutorul combinrilor cu repetiie).

4 O relaie combinatorial interesant

Vom prezenta n continuare o relaie n care intervin combinrile generalizate i care prin

frumuseea ei poate fi considerat o mic bijuterie matematic. Considerm mulimile:

}l,...,1,0{M},...,l,...,1,0{M},l,...,1,0{M mm2211 === unde 1li sunt numere naturale, i=1,2,...,m. Notm m21 l...lln +++= .

De asemenea, considerm mulimea:

m21 M...MMM = . Elementele mulimii M sunt m-uple de forma: )x,...,x,x( m21 .


Numrul de elemente al mulimii M (cardinalul mulimii M) este:

)1l)...(1l)(1l(M...MMM m21m21 +++== . (8) Am aplicat regula produsului (numrul de elemente al produsului cartezian).

Mulimea M poate fi partiionat n n+1 mulimi disjuncte, kP (k=0,1,...,n) admind c

mulimea kP este format din toate m-uplele )x,...,x,x( m21 pentru care =

=m

1jj kx .

Prin urmare, numrul de elemente al mulimii M se poate exprima i astfel:

n10 P...PPM +++= . (9) Am aplicat regula sumei (caz particular al principiului includerii i al excluderii [1],

pentru mulimi disjuncte). Dar, putem scrie:

k)l,...,l,l(nk m21

CP = . (10) innd seama de (8), (9) i (10) rezult c exist relaia:

)1l)...(1l)(1l(C...CC m21n

)l,...,l,l(n1

)l,...,l,l(n0

)l,...,l,l(n m21m21m21+++=+++ . (11)

Aceasta este relaia n care intervin combinrile generalizate, pe am dorit s o prezentm.

Dac n relaia de mai sus facem 1l...ll m21 ==== i deci n=m, obinem: nn

n1n

0n 2C...CC =+++

cunoscuta relaie cu combinri simple i care este prezent n toate manualele respectiv capitolele de combinatoric.

Bibliografie


[2] V. M. Popa, Combinri generalizate, Educaia Matematic, vol. II, nr.1-2, Sibiu, 2006

[3] V. M. Popa, Cazuri speciale ale gruprilor generalizate, Sibiu, 2009 (n prezentul volum)

[4] V. M. Popa, Cazuri speciale ale gruprilor barate generalizate, Sibiu, 2009 (n prezentul volum)


45

Aspecte combinatoriale privind ecuaia diofantic

liniar cu coeficieni naturali

Vasile Mircea Popa

Abstract

In this paper we present some combinatorial aspects regarding the linear diophantine equation with natural coefficients. We consider the equation with superior limits of variables and the equation with double limits of variables. We also present an interesting calculating method for number of particular case of equation with superior limits of variables.


2000 Mathematical Subject Classification: 11D45

1 Introducere

n lucrarea de fa vom pune n eviden unele aspecte combinatoriale privind ecuaia

diofantic liniar cu coeficieni naturali:

kxa...xaxa mm2211 =+++ . Numerele k, ia , ix sunt naturale i 0a i . De asemenea, limitrile ib i il care pot exista

pentru necunoscutele ix ale ecuaiei, sunt numere naturale (i=1,2,,m). Vom considera, pe

rnd, mai multe situaii, funcie de plajele de valori pentru necunoscutele ecuaiei. Ne intereseaz numrul soluiilor ecuaiei, iar n unele situaii i lista (mulimea) soluiilor

respective. Toate consideraiile care se fac n prezentul articol ramn evident valabile i n cazul

particuluar 1a i = , i=1,2,,m, caz studiat n lucrarea [1] i n care ecuaia are interpretri combinatoriale suplimentare i foarte interesante. Acestea sunt legate de noiunile de combinri generalizate, combinri simple, combinri cu repetiie, combinri barate generalizate, combinri barate cu repetiie.


2 Ecuaia I, cu limitri superioare ale necunoscutelor

Considerm ecuaia:

kxa...xaxa mm2211 =+++ (1) unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,lx0 ii = . (2) Numrul soluiilor acestei ecuaii care verific condiiile indicate se poate determina cu

ajutorul unui program de calculator numit EDL-NUMAR. Lista acestor soluii se poate obine cu ajutorul unui program de calculator numit EDL-LISTA. Detalii privind aceste programe de calculator vor fi prezentate ntr-o lucrare viitoare.

Exemplul I. Pentru ecuaia:

1x0,2x0,2x0,5x0

:unde,8x3x3x2x

4321

4321

=+++


x1 x2 x3 x4

0 1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 1 2 1 0 2 0 1 1 2 0 2 0

3 1 0 1 3 1 1 0 4 2 0 0 5 0 0 1 5 0 1 0

Caz particular 1: 1l...ll m21 ==== . Pentru ecuaia:

kxa...xaxa mm2211 =+++ unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,1x0 i = numrul soluiilor ecuaiei, respectiv lista soluiilor ecuaiei se obin ca mai sus, impunnd evident noile limitri superioare ale necunoscutelor corespunztoare acestui caz particular.

Caz particular 2:

=

ii a

kl , i=1,2,,m.

Pentru ecuaia:

kxa...xaxa mm2211 =+++



m,...,2,1i,ak

x0i

i =

numrul soluiilor ecuaiei, respectiv lista soluiilor ecuaiei se obin ca mai sus, impunnd evident noile limitri superioare ale necunoscutelor corespunztoare acestui caz particular. Aceste noi limitri sunt cele naturale (maxim posibile).

3 Ecuaia II, cu duble limitri ale necunoscutelor

Considerm ecuaia:

kxa...xaxa mm2211 =+++ (3) unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,lxb iii = . (4) Este evident c pentru a avea un numr de soluii mai mare dect zero, trebuie s avem

ndeplinit i condiia: mm2211 ba...babak ++ . Pentru a calcula numrul soluiilor ecuaiei (3) care verific condiiile (4) facem

substituiile:

iii bxy = . (5) Deci, iii byx += i nlocuind n ecuaia (3) obinem:

)ba...baba(kya...yaya mm2211mm2211 +++=+++ (6) cu condiiile:

m,...,2,1i,bly0 iii = (7) care este de tipul ecuaiei I.

ntre mulimea soluiilor ecuaiei (3) cu condiiile (4) i mulimea soluiilor ecuaiei (6) cu condiiile (7) exist o coresponden biunivoc, stabilit prin intermediul relaiilor (5). Ele au deci acelai numr de elemente (acelai cardinal). Prin urmare, numrul soluiilor ecuaiei (3) cu condiiile (4) se poate determina stabilind acest numr pentru ecuaia (6) cu condiiile (7), folosind programul de calculator EDL-NUMAR. Lista soluiilor ecuaiei (3) cu condiiile (4) se poate determina stabilind acest list pentru ecuaia (6) cu condiiile (7), folosind programul de calculator EDL-LISTA i apoi adaugnd la fiecare numr iy din lista respectiv numrul ib .

Altfel, numrul soluiilor acestei ecuaii care verific condiiile indicate se poate determina direct cu ajutorul unui program de calculator numit EDL-NUMAR-LIM.INF. Lista acestor soluii se poate obine cu ajutorul unui program de calculator numit EDL-LISTA-LIM.INF. Detalii privind aceste programe de calculator vor fi prezentate ntr-o lucrare viitoare.

Exemplul II. Pentru ecuaia:

2x1,3x1,4x2,7x2

:unde,20x3x3x2x

4321

4321

=+++



x1 x2 x3 x4

2 3 2 2 2 3 3 1 3 4 1 2 3 4 2 1 4 2 2 2 4 2 3 1 5 3 1 2 5 3 2 1 6 4 1 1 7 2 1 2 7 2 2 1

Caz particular 1: m,...,2,1i,1bi == . Pentru ecuaia:

kxa...xaxa mm2211 =+++ unde necunoscutele ix verific condiiile:

m,...,2,1i,lx1 ii = folosim substituiile:


)a...aa(kya...yaya m21mm2211 +++=+++ cu condiiile:

m,...,2,1i,1ly0 ii = . Numrul soluiilor ecuaiei, respectiv lista soluiilor ecuaiei se obin ca mai sus, impunnd

evident noile limitri superioare ale necunoscutelor corespunztoare acestui caz particular.

Caz particular 2: m,...,2,1i,ba...baba'n,a

'nkbal mm2211

i

iii =+++=

+= .

Pentru ecuaia: kxa...xaxa mm2211 =+++


m,...,2,1i,ba...baba'n,a

'nkbaxb mm2211

i

iiii =+++=

+ .

folosim substituiile:

iii bxy = i obinem ecuaia:

)ba...baba(kya...yaya mm2211mm2211 +++=+++ cu condiiile:

m,...,2,1i,ba

'nkbay0 i

i

iii =

+ .


Numrul soluiilor ecuaiei, respectiv lista soluiilor ecuaiei se obin ca mai sus, impunnd evident noile limitri superioare ale necunoscutelor corespunztoare acestui caz particular.

Caz particular 3: 1bi = i m,...,2,1i,a...aa'n,a'nka

l m21i

ii =+++=

+= .

Pentru ecuaia: kxa...xaxa mm2211 =+++


m,...,2,1i,a...aa'n,a

'nkax1 m21

i

ii =+++=

+ .

folosim substituiile: 1xy ii =

i obinem ecuaia: )a...aa(kya...yaya m21mm2211 +++=+++

cu condiiile:

m,...,2,1i,1a

'nk

Documents

Popa v.M Receptoare Discrete M-fazate