Popis zadataka

1. Koliko su u koordinantnom sustavu udaljene točke A(3, 5) i B(-3, -3)?

2. Izračunaj sve x za koje vrijedi jednadžba:

3. Zadane su funkcije i .

a. Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija.

b. Koja od zadanih funkcija raste brže?

4. , ,

,

5. Pojednostavi izraz:

6. Prikaži grafički:

7. Izračunaj sve x za koje vrijedi jednadžba:

8. Jedan kut pravokutnog trokuta iznosi , a kateta nasuprot njemu 11 cm. Izračunaj

duljinu hipotenuze i druge katete.

9. Prikaži grafički funkciju .

10. ,

1

Postupci rješavanja zadataka

1. Koliko su u koordinantnom sustavu udaljene točke A(3, 5) i B(-3, -3)?

2.

Rj:

3. Zadane su funkcije i .

a) Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija.

b) Koja od zadanih funkcija raste brže?

Brže raste funkcija .

4. , ,

3

5. Pojednostavi izraz:

6.

7.

4

8. Jedan kut pravokutnog trokuta iznosi , a kateta nasuprot njemu 11 cm. Izračunaj

duljinu hipotenuze i druge katete.

9. Prikaži grafički funkciju .

4

10. ,

6

Popis literature i priloga

Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, 1. dio

Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, 2. dio

Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije, 1. dio

Dakić, B. i Elezović, N.: Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije, 2. dio

Zadaci:

1. Odredi |z| ako je iiz 331 ?

2. Koliki je rezultat umnoška 22 )13()13( ?

3. Kolike su vrijednosti nepoznanica x i y u sustavu jednadžbi:

072

04210

xy

xy?

4. Riješite nejednadžbu: 14

3

5

25

xx

5. Ako je x1=2, jedno rješenje jednadžbe 62 mxx , pronađi m i drugo rješenje jednadžbe..

6. Dokaži: xx

x

x

x

sin

2

sin

cos1

cos1

sin

.

7. Čemu je jednak b ako je ba

ck

?

8. Što je rezultat sređivanja izraza 3223

44

abbaba

abba

za sve a, b za koje je izraz definiran?

9. Riješi: 2.0log445log

3log227log

255

2.05

.

10. Zadana je visina valjka v=12 cm, a oplošje je 216 cm2 . Koliki je polumjer i visina valjka?

2

Zadaci s kompletnim postupkom rješavanja:

1. Odredi |z| ako je iiz 331 ?

422441331331331 222

2 iiiiz

2. Koliki je rezultat umnoška 22 )13()13( ?

3474316281231616324132313)13()13(2

22

22

22

3. Kolike su vrijednosti nepoznanica x i y u sustavu jednadžbi:

072

04210

xy

xy?

1

11:/1111

01111

072

04210

y

y

y

xy

xy

3

62

0721

072

x

x

x

xy

4. Riješite nejednadžbu: 14

3

5

25

xx

5

28,

5

28

5285

2015820

2035254

2014

3

5

25

x

x

x

xx

xx

xx

5. Ako je x1=2, jedno rješenje jednadžbe 62 mxx , pronađi m i drugo rješenje jednadžbe.

1

22

0624

0622

6

2

2

m

m

m

m

mxx

3

62

6

2

2

2

21

21

1

x

x

xx

mxx

x

3

6. Dokaži: xx

x

x

x

sin

2

sin

cos1

cos1

sin

.

Dxxx

x

xx

x

xxx

xxx

xx

xxL

sin

2

sincos1

cos12

sincos1

cos22

cossinsin

coscos21sin

sincos1

cos1sin 2222

7. Čemu je jednak b ako je ba

ck

?

ak

cb

k

cba

kckba

baba

ck

:

8. Što je rezultat sređivanja izraza 3223

44

abbaba

abba

za sve a, b za koje je izraz definiran?

bababa

bababa

babaab

baab

abbaba

abba

22

22

22

33

3223

44

9. Riješi: 2.0log445log

3log227log

255

2.05

.

3

4222

5

5

2

5

2

5

2

5

3

5

255

2.05 33

3

595log

9

127log

5log45log

3log3log

2.0log445log

3log227log

10. Zadana je visina valjka v=12 cm, a oplošje je 216 cm2 . Koliki je polumjer i visina valjka?

4

?

?

216

12

V

r

O

cmv

18

6

126

108366

108120

12108

122216

2

22

2

2

1

2,1

2,1

2

2

2

r

r

r

r

rr

rr

rr

vrrO

vrrO

PBO

3

2

1

432

1236

6

cmV

V

vrV

r

5

Materijali dobiveni iz:

bilježnice

internetskih stranica:

http://www.ncvvo.hr

http://www.gssjd.hr/nastavni-predmeti/matematika/nastavni-materijali/gimnazija-

i-tehnicka-skola/

Zadaci:

1. Izrazi x iz sljedeće formule: xb

bxy

1.

2. Zadan je trokut ABC s vrhovima A(-1,0), B(5,2), C(1,5). Odredi površinu tog trokuta.

3. Skrati razlomak: 22

33

9

27

ba

ba

.

4. Izračunaj: 324132

.

5. Rijesi kvadratnu jednadžbu: 265122 xx .

6. Odredi nasuprotnu katetu (a) i hipotenuzu (c) ako je priležeća kateta 48cm (b) i 5

12ctg .

7. Izračunaj logaritam: 2225log

3log2log

8. Izračunaj eksponencijalnu jednadžbu:

x

x

3

52

4

18

9. Izračunaj Imz ako je z= ii

i

213

1

10. Koliko je oplošje pravilne trostrane prizme obujma 8640 cm3

, čija je osnovica trokut sa stranicama

12cm, 39cm, 45cm?

1

Rijesenja:

1. xbxb

bxy

\

1

bxxby 1

bxxyby 1

ybbyxybx /1

yb

byx

1

2. A(-1,0), B(5,2), C(1,5) P=?

2010555212

1P

13262

12253

2

1P kv. Jedinica

3. 22

33

9

27

ba

ba

=

baba

bababa

33

393 22

= ba

baba

3

39 22

=

ba

ba

3

32

= ba 3

4. 324132

= 4121632432432413232

5. 265122 xx

2651222 xxx

026422 2 xx

4

2112422,1

x

4

4622,1

x

114

441 x 12

4

482 x

2

6. 5

12ctg , cmb 48 ?, ca

a

bctg

5

12 222 bac

a

48

5

12 23044002 c

24012 a 27042 c

cma 20 cmc 522704

7. 2

1

3

2log

3

2log

4

9log

3

2log

100log

225log3

2log

2225log

3log2log2

8.

x

x

3

52

4

18

xx 26156 22

xx 26156

94 x

2

3

4

9x

9.

510

2

55

1

1

1

15

1

15

1

55

1

263

1

213

12

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

Imz5

1

3

10. V= 8640cm3

a= 12cm

b= 39cm

c= 45cm

O= ?

csbsassB 482

cba

S vBV

393648 B v 2168640

46656B cmv 40

2216cmB

PBO 2

vcvbvaBO 2

180015604802162 O

24272cmO

4

POPIS LITERATURE:

1. Udzbenik

2. Razni RM-ovi

3. biljeznica

Popis zadataka:

1. Izračunaj postotak

2. Pojednostavi(razlika kvadrata)

3. Odredi apsolutnu vrijednost

4. Odredi nul-točku i nacrtaj graf

5. Riješi jednadžbu

6. Izračunaj modul kompleksnog broja

7. Riješi kvadratnu jednadžbu i odredi kakva su rješenja

8. Nacrtaj graf kvadratne funkcije

9. Ako je log2=0.30103, log3=0.4771, koliko znamenki ima broj 1212

?

10. Duljine bridova kvadra u omjeru su 2:3:6, a duljina njegove dijagonale iznosi 42cm. Koliki je

obujam kvadra?

- 2 -

1.

= = =

2.

3.

4.

NT(-2,0)

- 3 -

5.

6.

7.

8.

- 4 -

9.

Znači da broj 1212

ima 13 znamenki

10.

- 5 -

Popis literature( udžbenik, bilježnica)

Pomoćna sredstva: Geogebra

1.Koji su to brojevi:

a)Zbroj tri uzastopna broja je 1986.

b)Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva je jednak 11907.

c)Zbroj šest uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 1578.

2.Potenciraj ili korjenuj:

a)

b)

c)(

+

)(

+1)(

d)

3.U nekom razredu ima 15 vrlo dobrih učenika što čini 62.5 % broja svih učenika toga

razreda.Koliko taj razred ima učenika?

4.Točkama B i C dužina podijeljena je na tri jednaka dijela.Odredite koordinate točaka A i

D ako je B(4,-1) i C(5,-2).

5.Površina kružnog isječka jednaka je 16.8 ,a pripadni središnji kut iznosi .Kolika je

duljina kružnog luka ovog isječka?

6.Riješi jednadžbe:

a)4 -ab=2x(a-b)

b)

c)

7.Zadana je funkcija f(x)= .Nacrtaj njezin graf, odredi tjeme, ekstrem te os

simetrije.

8.Ortogonalna projekcija jedne katete na hipotenuzu za 4 cm je dulja od ortogonalne

projekcije druge katete na hipotenuzu. Ako je duljina visine iz vrha pravog kuta

cm,koliki su kutevi?

9.Riješi jednadžbe:

a)

b)

10.Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane prizme u omjeru su 9:10:17, a njezina je

visina dugačka 10 cm, a O(oplošje) prizme iznosi 2592 . Izračunaj obujam prizme.

1. a) n+n+1+n+2=1986 b) n+n+2+n+4=11907

3n+3=1986 3n+6=11907

3n=1986-3 3n=11907-6

3n=1983 3n=11901

n=1983:3 n=11901:3

n=661 n=3967

n+1=662 n+2=3969

n+2=663 n+4=3971

c) 2n+2n+2+2n+4+2n+6+2n+8+2n+10=1578

12n+30=1578

12n=1578-30

12n=1548

n=1548:12

n=129

2n=258

2n+2=260

2n+4=262

2n+6=264

2n+8=266

2n+10=268

2.

1.Izračunaj:

a) 8475 b)

3

1

4

1:

2

1

3

1

2

1 c)

4

3

5

2:

2

3

8

5

2.Izračunaj:

a)

26

38

2525

2525 b) 76 336 c)

3443 222 d) 20321 2...222

3.Kvadriraj i izračunaj:

a) 2

12a b) 222222 baba

4.Riješi jednadžbe s apsolutnom vrijednosti:

a) 4x b) 23 x c) 2

123 x

5. Korijenuj:

a) 3 38 b)

4

3

16

1 c) 5 432

6. Zadani su kompleksni brojevi: iz 21 i iw 3 . Izračunaj:

a) wz b) wz

7. Riješi kvadratnu jednadžbu koristeći se formulom:

a) 0762 xx b) 0612 2 xx

8. Zadana je parabola. Odredi jednadžbu :

1,3 T

9. Izračunaj nepoznate veličine ako je zadano:

2150

cma 4

?,, Ob

10.Izračunaj:

a) 5,0log1 504.0

b) 5loglog25loglog 585

2

1

2

Rješenja:

1. a) 38475

b) 13

1

4

1:

2

1

3

1

2

1

c) 2

5

4

3

5

2:

2

3

8

5

3. a) 14412 22 aaa

b) 22222222 4 bababa

5. a) 883 3

b) 8

1

2

1

16

13

4

3

c) 162232 45 455 4

7. a) 0762 xx

2

86

2

283662,1

x

71 x 12 x

b) 0612 2 xx

24

171

24

2891

24

288112,1

x

4

31 x

3

22 x

9. 2150 10.

cma 4

?,, Ob

2150180180

48129 ʹ

2sin2

22sin2

2sin

a

ab

ab

b

a

cmb 71,4

cmObaO 42,132

8. 1,3 T

4

1a 13

4

1 2 xxf

6. a) iwz 34

b) iwz 2

4. a) 4x 41 x , 42 x

b) 23x 51 x , 12 x

2. a) 2

26

38

52525

2525

b) 876 3336

c) 123443 2222

d) 21020321 22...222

25

445

5504,004,004.0)

2

2log225,0log15,0log1 1555

a

3

5

3

122log

3

12log2

2

1log4log5loglog25loglog)

22

8

2

1585

2

1

b

3

Popis literature:

-bilježnice iz 1. i 2. razreda

-Branimir Dakić: Ispiti znanja iz matematike za 1. razred gimnazije

1.Izračunaj:7×211

-6×45+2×16

3

2.Odredi duljine ostalih dviju stranica pravokutnog trokuta ako je a =12 cm a α=15°50´

3.Izračunaj nepoznatu stranicu u pravokutnom trokutu ako je a=4cm,sinα= 32

,c=?

4.Izračunaj treću stranicu i kutove u pravokutnom trokutu kojem su zadane dvije stranice: a=3cm,b=4cm

5.Riješi jednadžbu: 25x2+10x+1=(x+6)

2

6.Odredi rješenje jednadžbu 3x+(1-i)(x-y)=-11-5i

7.Riješi jednadžbu:(2x-1)(3x+5)=(x-3)(1-2x)

8.Pojednostavi:(y

x3

)-2

×

yx

2

3

9.Dokaži: xxx

xx

sin2

sincos1

cos1sin

10.Baltazar Junior se ljulja u parku Baltazargrada.Odredi visinu sjedalice ljuljačke u odnosu na razinu

tla u situaciji prikazanoj na slici br.1

Slika br.1

2

1.7×211

-6×45+2×16

3=7×2

11-6×2

10+2×2

12

=7×211

-3×211

+213

=4×211

+213

=213

+213

=214

2.a=12 cm

α=15°50´

sinα= ca

/×c tgα= ba

sinα×c=a/÷sinα b=a÷tgα

c= sin

a b=12÷tg15°50˙

c=12÷sin15°50´

c =43.98 cm b=42.31 cm

3.

c

a

b

a=4 cm

sinα=2÷3

c=?

Sinα=a÷c

c=a÷sinα

c=12÷2

c=6 cm

4.

a=3cm

b=4cm

c= 169 sinα=c

a β=90°-36°52´

c= 25 sinα=3÷5 β=53°8´

c=5cm α=36°52´

5. 25x2+10x+1=(x+6)

2

25x2+10x+1=x

2+12x+36

24x2-2x-35=0

X1,2=48

336042

3

X1,2=

48

582

X1=48

60 x2=-

48

56

X1=

4

5 x2=-

6

7

6. 3x+(1-i)(x-y)=-11-5i

3x+x-y-xi+yi=-11-5i

4x-y-xi+yi=-11-5i

Yi-xi=-5i

4x-y=-11 »y=11+4x

(11+4x)i-xi=-5i

11i+4xi-xi=-5i

3xi=-16i

X=-3

16

y=11+4x

y=-3

31

7.

(2x-1)(3x+5)=(x-3)(1-2x)

6x2+10x-3x-5=x-2x

2-3-6x

6x2+7x-5=7x-2x

2-3

8x2-2=0

4x2=1/÷4

X2=1/4

X1=2

1

X2=-2

1

8.

:(y

x3

)-2

×

yx

2

3

=(

x

y3

)2×

yx

2

3

=y2x

6×

yx

2

3

=x9

9. xxx

xx

sin2

sincos1

cos1sin

4

D≡ )cos1(sin

)cos1)(cos1(sin2

sincos1

cos1sin

xx

xxxxx

xx

)cos1(sin

coscos1 cossin22

xx

x xx

=

)cos1(sin

cos22

xx

x

=

)cos1(sin

)cos1(2

xx

x

=

xsin

2≡L

10.

b=cos15°×3

b=4

2363

h=3-4

2363

h=0.6 m

b

5

POPIS LITERATURE

Branimir Dakić-ispit znanja iz matematike za 1.raz gimnazije

Branimir Dakić,Neven Elezović-Matematika 2 1.dio

http://web.vip.hr/robert.gortan.vip/nastava_matematike.html

bilježnica iz prveg razreda

POPIS ZADATAKA:

1) Riješi jednadžbu: (2x-1)2-(x-2)(x+2)=3x

2+5x-1

2) Napiši u obliku potencije s odgovarajućom bazom:

8n+2

(4

1)n-3

*642n

=(23)n+2

*(22)n-3

*(27)2n

3) Razlika 2 broja je 15,a jedan od njih je dvostruko veći od drugog.Odredi manji broj.

4) X,y su elemet od R: (1-i)x+(1-i)y=i

5) Dokaži ik+i

k+1+i

k+2+i

k+3=0

6) Riješi kvadratnu jednadžbu: 16x2-1=(4x+1)(x-1)

7) ako je tg(x)=a , koliko je )cos()sin(

)cos()sin(

xx

xx

8) Riješi: log(2x-2)-log(x+2)=log(x-2)

9) Oplošje kocke je 18 cm2.Izračunaj brid,obujam,dijagonalu baze,prostornu dijagonalu iii površinu

dijagonalnog presjeka.

10) Izračunaj visinu piramide i njene krnje piramide.

1) (2x-1)2-(x-2)(x+2)=3x

2+5x-1

(2x-1)2-(x

2-4)=x(3x+5)-1

4x2-4x

2+4=3x

2+5x-1

x=6

2) 8n+2

(4

1)n-3

*642n

=(23)n+2

*(22)n-3

*(27)2n

=23n+6

*22n-6

*214n

=25n

*214n

=219n

3) Razlika 2 broja je 15,a jedan od njih je dvostruko veci od drugog.Odredi manji broj.

x-y=15

x=2y

2y-y=15

y=15

4) X,y element od R

(1-i)x+(1-i)y=i

x-xi+y+yi=i

x+y+i(y-x)=i

x+y=0

y-x=1

2y=1

y=2

1

x=2

1

5) Dokazi ik+i

k+1+i

k+2+i

k+3=0

L=ik+i

k+1+i

k+2+i

k+3

=ik+i

k*i+i

k-1+i

k*(-i)

=ik(1+i-1+(-i))

=ik*0

=0=D

6) 16x2-1=(4x+1)(x-1)

16x2-1=4x

2-4x+x-1

12x2+3x=0

3x(4x+1)=0

3x=0

x=0

4x+1=0

4x=1

x=4

1

7) ako je tg(x)=a , koliko je )cos()sin(

)cos()sin(

xx

xx

)cos()sin(

)cos()sin(

xx

xx

/ : cos(x)

1

1

1)(

1)(

)cos(

)cos(

)cos(

)sin(

)cos(

)cos(

)cos(

)sin(

a

a

xtg

xtg

x

x

x

x

x

x

x

x

8) log(2x-2)-log(x+2)=log(x-2) uvjeti: 2x-1>0 x+2>0 x-2>0

x>2

1 x>-2 x>2

log( .log/)2log(2

12antix

x

x

22

12

x

x

x / : (x+2) 0

2x-1=x2-4

-x2+2x+3=0

x1, x2 = 2

42

2

1242

x1= 3

x2=-1

9) Oplošje kocke je 18 cm2.Izračunaj brid,obujam,dijagonalu baze,prostorne dijagonale i površinu

dijagonalnog presjeka.

O=18cm2

A,V,d,D,Pd=?

O=6a2

V=a3 d=a 2 D=a 3 Pd=d*a

18=6*a2

V= 33 d= 3 * 2 D= 3 * 3 Pd= 6 * 3

a2=3 d= 6 cm D=3cm Pd=3 2 cm

2

a= 3 cm

10) Krnja piramida

v+h=25cm

B=1600cm2

b=576cm

___________

h,v=?

B:b=(v+h)2 : (h)2

2

625

576

1600

h /

h

25

9

225

cmh

h

15

2252

cmv

v

10

1525

Popis literature:

1. zbirka zadataka za 1. razred gimnazije – Dakić-Elezović

2. zbirka zadataka za 2. razred gimnazije – Dakić- Elezović

3. bilježnice 1. i 2. razreda opće gimnazije

1. Riješi zadatak ( 3 - 7i ) 2

.

2. Definiraj karakteristične točke kvadrante funkcije i nacrtaj graf.

f (x) → 3 x = x ( 7 – x ) + 3

3. Zadani su kutovi trokuta: α = 3x – 1 β = 10x + 11 i γ = x + 2. Izračunaj kutove.

4. Izračunaj kutove x i y, ako su poznati podaci zadani na slici.

5. Broj atoma N radioktivnog radija u vremenu t dan je izrazom log e (N. N0

-1) = -kt. Početno stanje

dano je sa N0. Rijesi jednadžbu po N.

6. Za koje vrijednosti od k, je izraz (x – 2) faktor funkcije f (x) = 2x3 – kx

2 – x +14 ?

7. Riješi x2 – 3 > 2x.

8. Izračunaj stranice pravokutnika ako mu dijagonala duljine 12 cm zatvara kut 36° 12' s

osnovicom.

9. U pravilnu četverostranu piramidu kojoj je osnovni brid duljine a , a visina v upisana je kocka

koje četriri vrha leže na opobočnim bridovima piramide. Koliki je omjer volumena kocke prema

volumenu piramide?

10. Odredi realni i imaginarni dio sljedećih kompleksnih brojeva:

A i1

1 B

3

1

1

i

i

2

2

Rješenja:

1. ( 3 - 7i ) 2

= 32

– 6 . 7i + 7

2 i2

= 9 - 42i – 49 =- 40 - 42i

2. f(x) → 3x = x(7-x)+3

3x = 7x – x2 + x

2 – 3 = 0

y = x2 – 4x + 3 = 0

a) a > 0 Funkcija se otvara prema gore i vrh je minumum funkcije.

b) x0 = 2 Koordinata x, vrha V iznosi 2

c) y0= (2)2 - 4 (2) + 3 = -1 Koordinata y, crha V iznosi -1.

d) yx=0 = 3 Funkcije i os y se sijeku u tocki y = 3

e) Nul tocke iznose x1 = 1 x2 = 3

3. α+β+γ= 180° → 3x – 1 + 10x + 11 + x + 2 = 180° → 14x = 168 → x = 12°

α = 3x – 1 = 35°

β = 10x + 11 = 131°

γ = x+ 2 = 14°

4. Iz jednakostraničnog trokuta ΔACD → α = 60 °

Iz jednakostraničnog trokuta ΔABC → x = 45° → y = α + x = 105°

5. loge (N. N0

-1) = - kt → (N

. N0

-1) = e

-kt → N= N0 e

-kt

6. (2x3 – kx

2 – x + 14 ) : (x – 2 ) = 2x

2 – x( 4 – k ) + ( 7 + 2k ) R= 28 + 4k

Da bi uvjet bio zadovoljen, mora vrijediti R = 0 = 28 + 4k → k= -7

7. Izjednačimo izraz sa nulom : x2 – 2x – 3 = 0

Rastavimo na faktore ( x – 3 ) ( x + 1 ) = 0

Dobivene vrijednosti su: x1 – 3 = 0 → x1 = 3 x2 + 1 = 0 → x2 = -1

Promatrajmo funkciju za tri domene:

Ako je: x < - 1 funkcija ( x- 3 ) (x + 1 ) > 0 zadovoljava uvjete f (x) > 0

Ako je: - 1 < x < 3 funkcija ( x – 3 ) ( x + 1 ) > 0 nezadovoljava uvjete f ( x) > 0

Ako je: x > 3 funkcija ( x – 3 ) ( x+ 1 ) > 0 zadovoljava uvjete f (x) > 0

Potpuno rješenje nejednadžbe glasi : x < 1 i x > 3

8. Označimo kut s φ . Stranice pravokutnika a i b računamo iz pravokutnog trokuta ABC kojemu je

hipotenuza dijagonala d pravokutnika. Vrijedi :

a = d cos φ , b = d sin φ .

Mjera kuta je u stupnjevima φ = 36.2°, pa dobivamo

a = 12 . cos 36.2° = 9.684 cm

b = 12 . sin 36.2 = 7.087 cm

3

9. Karakterističan trokut čini dijagonalni preskjek piramide. Moramo odrediti duljinu x brida

kocke. Iz sličnosti pravokutnih trokuta možemo napisati: va

avxxvaxv

vxvax

)(

:)(2

2:

2

2

Zato je traženi omjer volumena jednak 3

2

2

3

)(

3

3

1 va

av

va

x

Vp

Vk

10. Moramo odrediti algebarski prikaz zadanih kompleknih brojeva.

A z= ii

i

i

i

i

ii

i

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1 2

Dakle Re z=2

1, a Im z=1.

B z= iiii

i

i

i

i

i

i

3

3233

)(2

21

1

1

1

1

1

1

Odavde, Re z = 0 , Im z = 1.

4

Literatura: - Internet http://einstrukcije.com/

- Matematika 2 Branimir Dakić, Neven Elezović Element 2004. Zagreb

- Ispiti znanja iz matematike 2. razred Branimir Dakić

1. Izračunaj:

3

12:5

12

5

12

71

2. Razlomku 3

2 treba brojniku dodati a nazivniku oduzeti isti broj da bi dobili

5

4.

3. Skrati razlomak:

2

2

4

82

x

xx

4. Riješi nejednadžbu 14

3

x

x

5. Odredi na osi apscisa točku koja je jednako udaljena od točaka A(-3,-2) i B(3,0).

6. Odredi Im z , ako je ii

iz

213

1

7. Skrati razlomak:

2

2

94

656

x

xx

8. Riješi jednadžbu: 33log9log 4

2

4 xx

9. Površina pobočja pravilne trostrane prizme je 36 cm2. Ako je visina prizme 2 cm, odredi oplošje

i volumen prizme.

10. Izračunaj:

3

2

3

1

8

27125

2

Zadaci s kompletnim postupkom rješavanja

1. Izračunaj:

3

12:5

12

5

12

71

2

5

7

35

12

14

3

7:5

12

14

3

7:5

12

5

12

19

3

12:5

12

5

12

71

2. Razlomku 3

2 treba brojniku dodati a nazivniku oduzeti isti broj da bi dobili

5

4.

9

2 x

9:2/9x

4x125x10

x34x25

5

4

x3

x2

Provjera: 5

4

9

259

20

9

23

9

22

Brojniku treba dodati a nazivniku oduzeti 9

2.

3. Skrati razlomak:

2

2

4

82

x

xx

x

x

xx

x

xx

xx

x

xxx

x

xx

2

2

22

2

22

44

4

844

4

8222

2

2

2

2

4. Riješi nejednadžbu 14

3

x

x

4

04

04

1

04

43

014

3

14

3

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

,4x

-4

3

5. Odredi na osi apscisa točku koja je jednako udaljena od točaka A(-3,-2) i B(3,0).

0,C

3,0B

3,-2-A

x

6. Odredi Im z , ako je ii

iz

213

1

i

iii

i

i

i

i

i

i

iii

i

ii

iz

5

1

50

10

2525

5555

55

55

55

1

253

1

263

1

213

1 Im

2

5

1 Im

7. Skrati razlomak:

2

2

94

656

x

xx

23323223236496656

32

32

3232

2332

94

656

22

2

2

xxxxxxxxxx

x

x

xx

xx

x

xx

8. Riješiti jednadžbu: 33log9log 4

2

4 xx

67

643

antilog./4log3

33log

33log9log

3

44

4

2

4

x

x

x

xx

xx

644

3log

3

4

x

x

3

03

3

09

:uvijeti

2

x

x

x

x

3

1

12:/412

96496

003203

BCAC

22

2222

2

BC

2

BC

2

AC

2

AC

x

x

xxxx

xx

yyxxyyxx

0,

3

1C

4

9. Površina pobočja pravilne trostrane prizme je 36 cm2. Ako je visina prizme 2 cm, odredi oplošje

i volumen prizme.

?,

6

2

363 2

VO

cma

cmv

cmavP

22318

36318

364

32

2

cmO

O

aO

PBO

3318

239

cmV

V

vBV

10. Izračunaj:

3

2

3

1

8

27125

20

49

20

454

4

9

5

1

2

35

8

27125

3

23

3

13

3

2

3

1

a

a

a

v

5

Popis literature

Bilježnica

1. Zadatak: Koliko je 60% od 49

19:

3

7

5

213

7

5

21

3

4

2

52

3

3

5

?

2. Zadatak: Zapiši u obliku potencije slijedeće brojeve: 5115511 363492

3. Zadatak: Izračunaj: 2

012

2

15

13

713

25

2

5

2

4. Zadatak: Faktoriziraj:

5. Zadatak: Odredi realne brojeve x i y u sljedećoj jednakosti: (x+yi) (2+i) + (x-yi) (1-3i) = 5+2i

6. Zadatak: Dokaži:

7. Zadatak: Nacrtaj graf funkcije f(x) = te odredi njezine ekstremne vrijednosti.

8. Zadatak: Riješi i nacrtaj interval: 9 -

9. Zadatak: (x-3) = 1

10. Zadatak: Izračunaj volumen trostrane prizme ako je zadano: a=15 cm, b= 28 cm, c= 41 cm i

opseg je 4452 . (HERONOVA FORMULA = , s= 2

cba V= B

v, O= 2B+P, v= a+b+c)

1

Rješenja zadataka

1. Zadatak: 49

19:

3

7

5

213

7

5

21

3

4

2

52

3

3

5

= 49

19:

15

9815

28

6

76

19

=19

49

49

14

7

19

= 27

14

= 5

6

100

602

2. Zadatak: 5115511 363492

= 5211525211 63232

= 1011101011 63232

= 1010101010 6332322

= 101010 66362

= 1066

= 116

3. Zadatak:

= 45

1132

25

25

4

= 151

15

4. Zadatak:

= - a (

= ( (

= (

5. Zadatak: (x+yi) (2+i) + (x-yi) (1-3i) = 5+2i

= 2x + xi + 2yi – y + x – 3xi – yi - 3y = 5+2i

= 3x - 2xi + yi - 4y = 5 + 2i

= 3x - 4y = 5

2

-2x + y = 2 →y = 2x + 2

= 3x – 4 (2x + 2) = 5 y = 5

26+ 2

= 3x - 8x – 8 = 5 y = 5

1026

= -5x = -13 y = 5

36

= x = 5

13

6. Zadatak:

=

7. Zadatak: f(x) =

= X0 = a

b

2

Y0 =

a

bac

4

4 2

= 12

)1(

=

4

18

=2

1= A =

4

9 =B

T=

4

9,

2

1

D=

D= 1+8= 9

D=2 realne nultočke

NT1=(-1,0)

NT2=(2,0)

8. Zadatak: 9-

3

= (3-2a) (3+2a) < 0

= 3 - 2a = 0 = 3 + 2a = 0

= -2a = -3 = a=-2

3

= a= 2

3

a ,2

3

2

3,

R/

2

3,

2

3

9. Zadatak: (x-3) = 1

=

=

/antilog.

= x + 3

x= 1/

= 3x + x = 3

= x = 4

3

10. Zadatak: a=15 cm, b= 28 cm, c= 41 cm i opseg je 4452

a=15 cm

b=28 cm

c= 41 cm

O= 4452 cm2

V=?

s = 2

412815

2

cba= 42

B=

B=

B= 126 cm2

O= 2B+P

4452=126 2+v(a+b+c)

4

84v= 4452-252

v= 84

2524452

v= 50 cm

V=B

V= 126

5

Literatura: -bilježnica

Prilozi: -GeoGebra

-Google

Popis zadataka:

1. Racionaliziraj: 25

3

2. Odredi realne brojeve x i y

3. Skrati razlomak xxx

xx

23

2

2

22

4. Izračunaj 4)1(9 2 x

5. Odredi polinom drugog stupnja koji za x= -2 prima vrijednost y= -4 i f( -4)= 2.

6. Izračunaj: 315333 422212 xxx

7. Riješi jednadžbu 5loglog 84 xx

8. U jednadžbi pravca 2x+(k+2)y=k odredi realni parameter k tako da:

a: pravac sadrži točku T( 2,3)

b: sjecište s x-osi bude točka (4,0)

9. Odredi površinu trokuta sa vrhovima u točkama A(1,7), B(5,-1), C(-2,-3).

10. Dokaži xx

x

x

x

sin

2

sin

cos1

cos1

sin

2

1. 25

3

=

25

3

* 25

3

)25(3

25

)25(3

)2()5(

)25(3

25

25

22

2.

(x+yi)*(1-i)+(x-yi)*(2+i)=3i

x-xi+yi+y+2x+xi-2yi+y=3i y= -3 3x+2y=0

3x+2y-yi=3i 3x+2*(-3)=0

------------------------- 3x-6=0

3x+2y=0 3x=6

-y=3 x=2

3. 1

2

)1(

)1(2

)12(

)1(2

2

222223

2

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

4.

3

21

3

21

9

4)1(

9/4)1(9

2

2

x

x

x

x

3

1

3

5

2

1

x

x

5.

2)4(

0

4

2

0

0

f

a

y

x

2

3

4

6

4/64

442

4)24(2

4)2(

)(

2

2

0

2

0

a

a

a

a

xay

yxxay

4)2(2

3)(

4)2(2

3

2

2

xxf

xy

3

6.

3

62

33

7293

35

81*315)

81

35(3

315)81

1927(3

315)81

1

9

1

3

1(3

31581

1*3

9

1*3

3

1*3

315333

62

2

2

2

2

222

422212

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

7. uvjet: x>0

64

2

6log

5/30log5

30log2log3

6*5log3

1log

2

1

5loglog

6

2

2

22

22

84

x

x

x

x

xx

xx

xx

8. a:

5

102

634

3)2(2*2

)2(2

k

k

kk

kk

kykx

b:

8

08

0)2(4*2

k

k

kk

4

9.

..32

642

1

165022

1

)17(2)73(5)31(12

1

)()()(2

1

jedkvP

P

P

P

yyxyyxyyxP

ABC

ABC

ABC

ABC

BAcACBCBAABC

10.

Dx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xxx

xx

xxL

xx

x

x

x

sin

2

)cos1(sin

)cos1(2

)cos1(sin

cos22

)cos1(sin

cos211

)cos1(sin

coscos21sin

)cos1(sin

)cos1(sin

sin

2

sin

cos1

cos1

sin

22

22

5

Literautura:

zadaci iz bilježnice

Popis zadataka:

1.) Jednakost 20

1612

xje ispunjena za:

2.) Napiši bez negativnih eksponenata: b

a1

2

2

5

)2( 31ab

3.) Izračunaj:

3

42

x

x:

96

42

xx

x

4.) Prikaži grafički:

(x-1)(x+2)≥0

5.) Racionaliziraj: 2362

6223

6.) Prikaži grafički.

03 x

7.) Odredi drugo rješenje jednadžbe x2-3x+c=0 ako je prvo x1=-2

8.) Odredi realni broj z3 ako je z=1-2i

9.) Dokaži da vrijedi trigonometrijski identitet:

xx

x

x

x

sin

2

sin

cos1

cos1

sin

10.) Za koje realne brojeve vrijedi:

x

3

2<

4

9

Zadaci:

1.) Jednakost 20

1612

xje ispunjena za:

2012 = x16

240=16x / : 16

x=15

2.) Napiši bez negativnih eksponenata:

b

a1

2

2

5

)2( 31ab =ba

x2

25

312

1

ab=

ba 2

106

2

4a

b=

82

5

a

b

3.) Izračunaj:

3

42

x

x:

96

42

xx

x

=2)3(

)2(2:

3

)2)(2(

x

x

x

xx

=)2(2

)3(

3

)2)(2( 2

x

x

x

xx

=2

)3)(2( xx

4.) Prikaži grafički:

(x-1)(x+2)≥0

1°x-1≥0 U 2° x-1≤0

x+2≥0 x+2≤0

x≥1 x≤1

x≥-2 x≤-2

5.) Racionaliziraj.

3476

)1227(6

6

121242

6

18121224

1824

)2362(

2362

2362

2362

6223

2362

6223 2

6.) Prikaži grafički.

03 x

5.) Odredi drugo rješenje jednadžbe x2-3x+c=0 ako je prvo x1=-2

5

32

3

03

2

2

2

21

2

x

x

ca

cxx

a

bxx

cxx

8.) Odredi realni broj z3 ako je z=1-2i

z3=(1-2i)3

=(1-2i)(1-2i)2

=(1-2i)(-3-4i)

=-3-4i+6i-8

=-11+2i

Re z3=-11

9.) Dokaži da vrijedi trigonometrijski identitet

xx

x

x

x

sin

2

sin

cos1

cos1

sin

L

xxx

x

xx

xxx

x

x

x

x

sin

2

)cos1(sin

)cos1(2

)cos1(sin

coscos21sin

sin

cos1

cos1

sin 22

D

10.) Za koje realne brojeve vrijedi:

x

3

2<

4

9

x

3

2<

2

3

2

x<-2

Rj. x 2,

Popis literature i priloga:

-moje bilježnice iz 1. i 2. razreda

Popis zadataka:

1.Izračunaj:

2.Racionaliziraj:

3 Izračunaj:

4.Izračunaj z+w, z-w, , ako je z=1-2i, w=3-i

5.Izračunaj:

6.Za koju je vrijednost realnog broja t umnožak realan broj?

7.Napiši kvadratnu jednadžbu čija su rješenja recipročna rješenjima

jednadžbe

8.Za koje peR jednadžba ima realne korijene?

9.Izračunaj:

10.Napiši kvadratnu jednadžbu ako su zadana njezina rješenja:

1.Zadatak:

2.Zadatak:

3.Zadatak:

4.Zadatak:

z-w=1-2i-3+i=-2-i

5.Zadatak:

6.Zadatak:

7.Zadatak:

8.Zadatak:

1. slučaj:

2. slučaj:

9.Zadatak:

10.Zadatak:

Literatura: zadaci preuzeti iz bilježnice

Maja Šišović, 3.a

1. Izračunaj: =

2. Riješi jednadžbu:

3. Zadan je trokut s vrhovima A(-2,1), B(-1,3), C(3,4). Odredi površinu i težišnicu.

4. Površina dvaju sličnih trokuta su 8 i 18 . Ako je opseg većeg od njih jednak 30

cm, koliki je opseg drugoga?

5. Ako je (1+ i)x + (1- i)y = i ; x,y R, onda je su x i y:

6. Rješenje jednadžbe 3 - 8x + 5 je:

7. Ako hipotenuza pravokutnog trokuta iznosi 111 cm, a kut α 40º50ˈ, izračunaj preostale

veličine.

8. Izračunaj

9. Izračunaj

10. Oplošje kocke je 18 . Izračunaj brid, obujam, dijagonalu baze i prostornu dijagonalu.

2

1. = =

2.

(2x+1)(3x-1) + 3 = 3x(2x +1) UVIJET: 2X-1≠0 X≠

6 - 2x + 3x – 1 + 3= 6 + 3x 2X+1≠0 X≠ -

-2x + 3x + 3x = 1 – 3

4x = -2 ⧸ : 4

x = Jednadžba nema rješenja.

3. A(-2,1)

B(-1,3)

C(3,4)

P=? T=?

3

,

,

,

T=(0, )

4

4. 8

⧸√

k= 1,5

=20 cm

5. (1+ i)x + (1- i)y = i ; x,y R

X+Xi+Y-Yi = i

X+Y=0

X-Y=1

2X= 1 ∕:2

X=

Y=

Y=

Y=

5

6. 3 - 8x + 5=0

6

7. c= 111 cm

α= 40º50ˈ

a, b, P, O, β=?

β = 90º- α

β = 90º- 40º50ˈ

β= 49º30ˈ

0,6494 =

a= 72,08 cm

P= =

O= a+b+c

O= 72,08+84,41+111

O= 267,49 cm

8.

7

9.

= 1

8

10. O= 18

a, V, d, D = ?

O= 6∙

18= 6∙ ⧸6

3=

a=

V=

V=

V= 3

d=

d=

d= cm

D= a∙

D= ∙

D= 3 cm

9

POPIS LITERATURE:

Udžbenik

Bilježnica

Radni materijali

PRILOG:

Internet