Upload
mirari
View
52
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY. POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY - sú číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou – jedným číslom – vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 1
POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 2
POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY
- sú číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou – jedným číslom – vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku
(väčšinou sú použiteľné pre kvantitatívne štatistické znaky, len niektoré pre kvalitatívne štatistické znaky)
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 3
popisné charakteristiky:- charakteristiky polohy
najviac- charakteristiky variability
používané- charakteristiky šikmosti- charakteristiky špicatosti
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 4
1.1.Charakteristiky polohy
alebo stredné hodnoty vyjadrujú určitú úroveň (polohu) znaku, okolo ktorej sú ostatné hodnoty viac či menej koncentrované
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 5
charakteristiky polohy:1. priemery - aritmetický - geometrický - harmonickýkaždý môže byť jednoduchý alebo
vážený2. ostatné stredné hodnoty - modus - medián
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 6
charakteristiky polohy – vlastnosti: majú byť typickou hodnotou štatist. súboru- musia byť jednoznačne presne definované- pri výpočte sa do úvahy berú všetky
jednotky štat. súboru- majú byť ľahko zistiteľné- mali by slúžiť k porovnávaniu stredných
hodnôt za niekoľko súborov- majú čo najmenej podliehať náhodnostiam
výberu
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 7
Priemer predstavuje často rovnomernosť alebonormu, ktorá neexistuje. Keď v priemere každýzje hus, je možné, že niektorí zjedia dve, resp.viac, iní žiadnu.
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 8
1.1.1. Priemery
- aritmetický priemer ( napr. priemerná mzda, priemerná denná teplota, atď.)
Priemerná mzda (jednoduchý aritm. priemer) 8 400 Sk 6 500 Sk 9 600 Sk 10 000 Sk 11 200 Sk 12 700 Sk29 200 Sk : 3 = 9 400 Sk 29 200 Sk : 3 = 9 400
Sk9 400 Skpriemer
6 500 Sk
9 400 Skpriemer
10 000 Sk 12 700 Sk
11 200 Sk9 600 Sk8 400 Sk
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 9
aritmetický priemeraritmetický priemerjednoduchý
vážený
n – počet pozorovaní x1, x2, x3.....xn
j=1,2,3,....n ni=n
n
x
xn
x
n
jjn
jj
1
1
1
n
nxnx
nx
m
iiim
iii
1
1
1
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 10
Príklad: vážený aritmetický priemer Každú známku musíme násobiť (vážiť)
počtom študentov, až potom urobíme súčet (vážený súčet), ktorý podelíme počtom študentovznám. p.št. xi ni
1 12 122 16 323 9 27
spolu 37 71
xi ni xini
x1 n1 x1n1
x2 n2 x2n2
… … …xn nm xnnm
x in iinx
92.1xPriemerna známka bude:
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 11
Výpočet aritmetického priemeru z intervalov. rozdelenia početností
Dolná Horná stredy int.hranica hranica ni Ni xi xi*ni
10 6 6 9.75 58.510 10.5 9 15 10.25 92.25
10.5 11 13 28 10.75 139.7511 11.5 17 45 11.25 191.25
11.5 12 21 66 11.75 246.7512 12.5 28 94 12.25 343
12.5 13 15 109 12.75 191.2513 13.5 6 115 13.25 79.5
13.5 14 3 118 13.75 41.2514 2 120 14.25 28.5
Spolu 120 1412.00
Priemer 11,76667Priemerný plat pracovníka predstavuje11 767 Sk
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 12
vlastnosti aritmetického priemeru:- stálosť súčtu hodnôt - súčet odchýlok od priemeru sa
rovná 0
- súčet štvorcov odchýlok od priemeru je minimálny
jxxn*
0)( xx j
min)xx( 2j ^
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 13
Aritmetický priemer nemáväčšinou žiadny odraz vskutočnosti. Každá priemerná rodina má 2,2 dieťaťa, našťastieto neznamená to, čo vidíme na obrázku.
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 14
- geometrický priemergeometrický priemer- používa sa pri časových radoch (rast HDP za tri roky, vývoj inflácie za päť rokov...)
jednoduchý
vážený
n
n
jj
nng xxxxx
1
21 ......
n
m
i
ni
n nm
nng
im xxxxx
1
21 ......
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 15
Vývoj HNP SR za rr.95-99 v US$ na obyv a rok.
Rok GNPSR (US$) koeficient koeficient tempo tempo1995 3110 rastu prirastku v % rastu prirastku v %1996 3570 1.148 114.79 0.15 14.791997 3860 1.081 108.12 0.08 8.121998 3870 1.003 100.26 0.00 0.261999 3770 0.974 97.42 -0.03 -2.58
V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. na 108,12%
V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. o 8,12%
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 16
Z jednotlivých koeficientov rastu možno vypočítať:
priemerný koeficient rastu
1-T 2 1-T
1 ...k . k .k k _ 4
k = (1,148.1,081. 1,003 . 0,974) = 1.0493
Za obdobie rr. 95-99 HNP v SR rástol ročne približne o 4,9%
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 17
Úloha:
Predpokladajme, že ideme 30 km ďaleko a prvých 15 kmprejdeme rýchlosťou 15 km za hod. a druhých 15 km rýchlosťou 75 km za hod. Akú priemernú rýchlosť sme dosiahli za hodinu?
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 18
Harmonický priemer (jednoduchý)
Prvú trať ideme rýchlosťou 15km/hod… k jej prejdeniu potrebujeme práve 1hod. - 60 minút (15/15*60)Druhú trať (15 km) ideme rýchlosťou 75 km/hod….K jej prejdeniu potrebujeme len 12 minút (15/75*60) celková doba jazdy je teda 72 minút. Aritmetický priemer Nás zmýli výslekom (15+75)/2=45km za hodinu. K zisteniu priemernej doby jazdy pre oba úseky potrebujeme 60min+12min= 72/2 = 36 minút pre každý úsek jazdy, čo predstavuje priemernu rýchlosť 25 km / hod.
256
150
7562
751
151
2
)1
(
jx
nx
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 19
1.1.2.Ostatné stredné hodnoty
- význam pri nesymetrických rozdeleniach u kvantitatívnych znakov,
- pri kvalitatívnych znakoch
MediánMedián - prostredná hodnota v štatistickom súbore usporiadanom podľa skúmaného znaku
( napr. výška prostredného pracovníka)
x~
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 20
MediánMedián je prostredná hodnota v usporiadanomštatistickom súbore. Usporiadame ženy podľa
výšky, a zistíme, ktorá z nich je prostredná.
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 21
a) určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je nepárny počet štatistických jednotiek
n- nepárny počet
xi ni N
1 12 122 16 283 9 37
37
2
1~
n
rx 162
137~
xr2~
16 xx
Medián 75.1x~
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 22
určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je párny počet štat. jednotiek
2
1~
n
rx
2~1918 xxx
76.12
77.175.1rx~
xi ni Ni
1 12 122 17 293 9 38
38
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 23
c) určovanie mediánu pri intervalovom rozdelení početností
- dá sa určiť len mediánový interval, do ktorého patrí, v rámci tohto intervalu potom medián určíme približne
na základe absolútnych početnostía -dolná hranica medián. intervaluh -rozpätie medián. intervalu -početnosť medián. intervalu
- kumulat. početnosť po medián. interval
x~
x
r
ii
n
nn
hax~
1
1
5.02~
xn~
1
1
r
iin
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 24
Výpočet mediánu z interval. rozdel. početností
x
r
ii
n
nn
hax~
1
1
5.02~
Dolná Hornáhranica hranica ni Ni
10 6 610 10.5 9 15
10.5 11 13 2811 11.5 17 45
11.5 12 21 6612 12.5 28 94
12.5 13 15 10913 13.5 6 115
13.5 14 3 11814 2 120
Spolu 120
Mediána 11.5h 0.5(n+1)/2 60.5KP po me 45ni me 21
Medián 11.86905Prostredný plat je 11 869 SK, čo znamená, že 50% pracovníkov má vyšší a 50% pracovníkov nižšší ako 11 869 Sk
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 25
ModusModus - - najpočetnejšia alebo najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štat. súbore
- je definovaný v jednovrcholových rozdeleniach početností
x̂
2ˆ xxi ni
1 122 173 9
38
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 26
a) bezprostredne sa dá určiť v štat. súbore, ak poznáme individuálne hodnoty znaku x a ich početností
b) v prípade intervalového rozdelenia početnosti sa priamo určí iba modálny interval, t.j. interval s najväčšou početnosťou v štat. súbore. V rámci tohto intervalu sa modus určí:
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 27
1. na základe vzťahu početností modálneho a priľahlých intervalovň
a - dolná hranica modálneho intervaluh - rozpätie intervalud0- rozdiel medzi početnosťou modálneho
a predchádzajúceho intervalud1- rozdiel medzi početnosťou modálneho
a nasledujúceho intervalu
10
0ˆdd
dhax
Dolná Hornáhranica hranica ni Ni
10 6 610 10.5 9 15
10.5 11 13 2811 11.5 17 45
11.5 12 21 6612 12.5 28 94
12.5 13 15 10913 13.5 6 115
13.5 14 3 11814 2 120
Spolu 120
Modusx mo 12h 0.5d0 7d1 13
Modus 12.175Najpočetnejším platom je 12 175 Sk
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 28
Vzájomná poloha modusu, mediánu a Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štat. aritmetického priemeru v štat. súboresúbore
- symetrické rozdelenie
- nesymetrické rozdelenie - pozitívna asymetria - negatívna
asymetria
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 29
Porovnanie modusu, mediánu a strednej hodnoty
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 30
Intervalové rozdelenie platov
Plat
05
1015202530
10 10.510
1110.5
11.511
1211.5
12.512
1312.5
13.513
1413.5
14
intervaly
abs.
poč
etno
sti
Priemer 11.76667Medián 11.86905Modus 12.175
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 31
1.2. Charakteristiky variability
variabilita – menlivosť hodnôt znaku v štatistickom súbore
miery variabilitymiery variability:a) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňujú len
niektoré hodnoty znaku v súbore- variačné rozpätie- kvantilové rozpätie- kvartilové rozpätie- kvartilová odchýlka
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 32
b) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňuje každá hodnota znaku v súbore:
- absolútne - priemerná odchýlka - rozptyl - smerodajná (štandardná) odchýlka
- relatívne - pomerná priemerná odchýlka
- variančný koeficient
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 33
- rozptylrozptyl – s2 (disperzia, variancia)- druhý centrálny moment, priemerný
štvorec odchýlo k od priemeru, meria variabilitu v druhých mocninách mernej jednotky- preto je neinterpretovateľnýneinterpretovateľný
- počíta sa ako:počíta sa ako:jednoduchý
vážený
2
1
2 )(1
xxn
sn
jj
i
m
ii nxx
ns .)(
1 2
1
2
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 34
- Smerodajná Smerodajná (štandardná )(štandardná ) odchýlkaodchýlka- s
vyjadruje variabilitu súboru v pôvodných merných jednotkách
Relatívna miera variability:- variančný koeficientvariančný koeficient – v - meria
variabilitu v % (slúži na porovnávanie variability znakov vo viacerých súboroch
2ss
% 100.x
sv
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 35
Variabilita v rozdelení platov
Dolná Horná stredy int.hranica hranica ni xi xi*ni (xi-xpr) (xi-xpr)^2*ni (xi-xpr)^3*ni (xi-xpr)^4*ni
10 6 9.75 58.5 -2.01667 24.4016667 -49.2100278 99.2402226910 10.5 9 10.25 92.25 -1.51667 20.7025 -31.3987917 47.62150069
10.5 11 13 10.75 139.75 -1.01667 13.4369444 -13.6608935 13.8885750811 11.5 17 11.25 191.25 -0.51667 4.53805556 -2.34466204 1.211408719
11.5 12 21 11.75 246.75 -0.01667 0.00583333 -9.7222E-05 1.62037E-0612 12.5 28 12.25 343 0.483333 6.54111111 3.161537037 1.528076235
12.5 13 15 12.75 191.25 0.983333 14.5041667 14.26243056 14.0247233813 13.5 6 13.25 79.5 1.483333 13.2016667 19.58247222 29.0473338
13.5 14 3 13.75 41.25 1.983333 11.8008333 23.40498611 46.4198891214 2 14.25 28.5 2.483333 12.3338889 30.62915741 76.06240756
Spolu 120 1412.00 x 121.466667 -5.57388889 329.0441389
Priemer 11.76667Rozptyl 1.012222smer. Odch. 1.006093Var. koef. 8.55%K.šik. -0.04561K.špic. -0.32378
Variabilita platov meraná smerodajnou odchýlkou predsta-vuje 1 006 Sk, čo znamená, že za predpokladu jednovrcholo-vého približne symetrického rozdel. Platov sa v intervale 11 767 Sk +-1 006 Sk nachádza asi 68% platov pracovníkov.Variabilita platov meraná smerod. odchýlkou predstavuje asi8,55% z priemerneho platu.
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 36
Charakteristiky šikmosti:Charakteristiky šikmosti:a) a) Pearsonova miera šikmosti- Pearsonova miera šikmosti- určuje určuje
mieru asymetrie podľa vzájomnej polohy modusu a mieru asymetrie podľa vzájomnej polohy modusu a priemeru- je približnápriemeru- je približná
=0 symetrické rozdelenie
>0 pozitívna asymetria
0 negatívna asymetria
xs
xx ˆ
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 37
b) koeficient šikmostib) koeficient šikmosti ( asymetrie ) – je presnejšia (momentová) miera šikmosti, je
bezrozmerné číslo, vyhodnocuje sa :1 = 0 symetrické rozdelenie
1 > pozitívna (ľavostranná) asymetria
1 < negatívna (pravostranná) asymetria3
3,3,1
x
xt s
3
1
3
1 .
)(
sn
xxn
jj
31
3
1
)(
sn
nxxm
iii
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 38
1.4.Charakteristika špicatosti
- koeficient špicatostikoeficient špicatosti - 2
bezrozmerné číslo
2 = 0 normálne rozdelenie
2 < 0 plochšie rozdelenie
2 > 0 špicatejšie rozdelenie
3.
)(
4
1
4
2
sn
xxn
jj
3.
)(
41
4
2
sn
nxxm
iii
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 39
Koeficient špicatosti
Koeficient šikmosti
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 40
Príklady rozdelení Symetrické rozdelenie
0123
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ľ avostranná asymetria
0123
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pravostranná asymetria
0123
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 41
Grafické zobrazenia
0
5
10
15
20
25
MLIECNE VYROBKY
(v y d a j e v Sk / ty z d e n )
ab
so
lutn
a p
oc
etn
ot
( 0- 120>
( 120- 160>
( 160- 200>
( 200- 240>
( 240- 280>
( 280- 320>
( 320- 360>
( 360- 400>
( 400- 440>
( 0-120> (2 .4%)
(120-160> (3 .6%)
(160-200> (6 .0%)
(200-240> (9 .5%)
(240-280> (15.5%)
(280-320> (23.8%)
(320-360> (20.2%)
(360-400> (13.1%)
(400-440> (6 .0%)
MLIECNE VYROBKY
(vydaje v Sk/ t yzden)
0
0. 05
0. 1
0. 15
0. 2
0. 25
MLIECNE VYROBKY
(v y d a j e v Sk / ty z d e n )
rela
tiv
na
po
ce
tno
t
100 140 180 220 260 300 340 380 420
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
MLIECNE VYROBKY
(vydaje v Sk/ t yzden)
kum
ulativ
na r
elativ
na p
ocet
not
100 140 180 220 260 300 340 380 420