Por Eugenio Skerrett Parrilla, M A ed Introducción a los Números Fraccionarios

Por Eugenio Skerrett Parrilla, M A ed

Introducción a los Números Fraccionarios

Introducción

Ésta es una serie de 4 lecciones. La misma resume temas sobre el origen y varias características básicas del número fraccionario. A continuación, el desarrollo de los temas.

Índice

Lección Temas página 1 Naturaleza del número fraccionario Origen 6 Escritura 7 Ejercicios 9 Respuestas 10 2 Clasificación del número fraccionario Clases de números fraccionarios 11

puedes continuar . . .

Índice

Lección Tema página

Clasificación del número fraccionario 15

Ejercicios 16

3 El número mixto Su naturaleza 17 Expresión en mixto 19 Expresión en impropio 22 Ejercicios 23 Respuestas 24


Índice

Lección Tema página

4 Números equivalentes

Su naturaleza 25

Expresión en mayores 29

Expresión en menores 33

Ejercicios 36

Respuestas 37


El origen del número fraccionarioSemejante a otros muchos conceptos

matemáticos, el número fraccionario surge de una necesidad práctica.

Fracción: Pedazo, porción, fragmento, algo incompleto

Número fraccionario: Número que se utiliza para representar a una fracción

puedes continuar . . . 6

Escritura del número fraccionario

Los números naturales y los cardinales, representan objetos y situaciones completas. Es aparente, entonces, que los fraccionarios deben escribirse de forma diferente de los primeros:

El numerador cuenta las partes disponibles, que se están utilizando o considerando.

El denominador muestra la forma en que el completo se ha dividido.

El número fraccionario supone que el entero se ha dividido en partes iguales. En conjunto, al numerador y al denominador se les llama, los términos del número.


Escritura del número fraccionario

Ejemplo 1: Escribe el número que represente la fracción

3/4

Ejemplo 2: Presenta un diagrama para el número dado

2/5


Ejercicios de práctica

Asigna un número o presenta un diagrama, según sea el caso en cada uno de los siguientes(verifica tus respuestas en la próxima página).

1. 2.

3. 7 / 9 4. 5. 3 / 7

9

Respuestas de los ejercicios

1. 5 / 12 Si no tienes duda, procede

2. 2 / 3 con el próximo contenido. De

3. lo contrario, repasa.

4. 3 / 5

5.

10

Clases de números fraccionarios

Una fracción es algo incompleto. No obstante existen situaciones en las que un “entero” se ha dividido en partes y todas están presentes. Es decir, el entero se ha subdividido en varias partes pero ninguna se ha eliminado. Llanamente, todavía existe el entero.

Ejemplo 1: puedes continuar . . . 11


En otros casos existen varios enteros subdivididos junto con algo incompleto. Es semejante a que tuviésemos varios enteros los cuales se partieron en pedazos y al tratar de formarlos nuevamente, alguno se quedó incompleto.

Ejemplo 2:

12puedes continuar . . .


Observa que, de acuerdo con la definición del número fraccionario, la figura del ejemplo 1 se representaría por 4/4. Para el ejemplo 2 escribiríamos 15/4. Pero hay más. Las figuras mismas sugieren otra forma numérica que las puede representar. En el ejemplo 1 la cantidad es un “completo”, un “entero”. De ahí que podemos utilizar al 1, para representarla. Claramente 4/4 = 1.



En el ejemplo 2 hay varios enteros y una fracción. Por lo tanto podemos escribir 3 ¾. Ésto nos exige que clasifiquemos al número fraccionario en tres: propio, impropio y mixto.


Clasificación del número fraccionario Número Número

Significado Significado

Escritura Escritura

propio Representa a una fracción; es una cantidad menor que el entero

Su numerador es menor que el denominador

impropio Representa a una cantidad que es igual o mayor que el entero

Su numerador es igual o mayor que el denominador

mixto Representa a una cantidad que es mayor que el entero y no alcanza al próximo

Un natural sumado adjunto a un propio



Utiliza los impares de la sección 5.2, páginas 140 y 141 del libro. Las respuestas están indicadas en la página 141.

Puedes continuar de no tener dudas. De lo contrario, repasa la lección.

16

La naturaleza del número mixto

Reconocemos al número mixto como la suma de un natural y un propio. Se escribe, llanamente hablando, con un fraccionario propio al lado de un natural. Es menester visualizar que los mixtos esencialmente realizan la misma tarea que un impropio. Podemos establecer que un mixto sencillamente es otra forma de escribir un impropio.

Ejemplo 1: = 3/2 = 1 ½


La naturaleza del número mixto

Ejemplo 2: = 11/4 = 2 3/4

El número mixto existe por razones prácticas. Es más fácil ver cuántos enteros hay en una cantidad mediante el número mixto que mediante el impropio.

Toda aquella cantidad que es igual o mayor que el entero que surja de una situación real, exige que se escriba con naturales o números mixtos. Más que matemática, ésta es una regla práctica(de sentido común).


Expresión en mixtos (o en natural)

Para expresar un impropio en natural o mixto es innecesario recurrir a diagramas. Basta con determinar cuántos enteros se pueden formar según indica la escritura del impropio. Una simple inspeción nos lleva a lo siguiente:

Para expresar un impropio en mixto o en natural, basta con dividir el numerador por el denominador.



Hay que tener claro que en el proceso, se formen todos los enteros posibles.

Ejemplo 3a: 15/4 Ejemplo 3b: 3/2

3 (cociente) 1

4 ) 15 15/4 = 3 3/4 2 ) 3 3/2 = 1 1/2

12 2

3 (residuo) 1



Ejemplo 3c: 4/4 Ejemplo 3d: 20/5

1 4 4 ) 4 4/4 = 1 5 )20 20/5 = 4 4 20 0 0

Observe que, en todos los casos, el residuo indica la cantidad de pedazos que forman el incompleto, mientras que el cociente, todos los “completos”. En los ejemplos 3c y 3d reconocemos que se formaron completos sin ninguna pieza adicional.


Expresión en impropios

¿Qué podemos decir del proceso

inverso? ¿Cómo expresarías de la

forma mixta (o de número natural) a

impropia? Razónalo y procede con

los ejercicios.

22


A partir del número dado, expresa en mixto, natural o impropio, según aplique cada caso. Verifica tus respuestas en la próxima página.

1. 11/3 6. 7/5

2. 3 ¼ 7. 11/7

3. 5 ¾ 8. 23/1

4. 5/5 9. 14 ½

5. 13 10. 12/4

23


1. 3 2/3 Si no tienes dudas con éste,

2. 13/4 continúa con el próximo tema.3. 23/4 A tu conveniencia, repasa el 4. 1 actual antes de continuar.5. 13/16. 1 2/57. 1 4/78. 239. 29/210. 3

24

La naturaleza de los números equivalentes

Los números fraccionarios son muy flexibles. Una muestra de ésto es que el número impropio se puede escribir como mixto. En realidad cualquier caso de número fraccionario se puede escribir de más de una forma . Veamos:


Claramente el entero fue subdividido paulatinamente de forma diferente. ¿Qué puede significar ésto?

La naturaleza de los números equivalentes

¿Pudiste apreciar que según cambia la forma de dividir el entero, se tiene que asignar un número diferente? Por otro lado, ¿qué puedes decir de la fracción original, es decir, de la porción coloreada? ¿Aumenta de tamaño? ¿Disminuye? Debemos estar de acuerdo con que no hay cambios en el tamaño. Únicamente cambia la forma de cada pedazo.


= ½

Observemos otra vez:

= 2/4 = 4/8

Naturaleza de los números equivalentes

Cuando ésto ocurre, se dice que los números que surgen son equivalentes.

Números equivalentes: son

aquellos que se escriben

diferentes pero representan la

misma porción


Naturaleza de los números equivalentes

Considera los equivalentes ½, 2/4, 4/8. Verifica que, partiendo del ½, los términos de cada uno van en aumento: 1 2 4 ;

2 4 8. En este sentido, se dice que el ½ se expresó en términos mayores. Visto a la inversa se le llama expresión o reducción a términos menores. Generalmente se le dice, simplificación.


Expresión en mayores

Es necesario descubrir un regla que nos permita expresar un número dado en términos equivalentes mayores. Si recordamos cómo es que surgen los equivalentes para una fracción dada, observaremos un patrón. Éste, nos permitirá conocer la regla que buscamos. Observa la serie de equivalentes ½, 2/4, 4/8. Tomando por separado los numeradores, el 1 pasa a ser 2 y luego 4.



Existe un patrón entre los tres numeradores: el 1 multiplicado por 2 es igual a 2. También, multiplicado por 4, es 4. Tomemos los denominadores: el 2 pasa a 4 y luego a 8. Igualmente hay un patrón: 2 multiplicado por 2 es 4 y multiplicado por 4 es 8. ¿Puedes distinguir la relación existente?



Podemos decir que:

1 x 2 = 2 ; 1 x 4 = 4

2 x 2 4 2 x 4 8

El patrón observado es siempre el mismo en todos los casos. Entonces, podemos concluir que:

para expresar un número dado en términos mayores equivalentes, basta con multiplicar ambos términos de éste por un natural mayor que 1.



Ejemplo: Presenta dos equivalentes en términos mayores para 3/7

3 x 2 = 6 ; 3 x 3 = 9 ; entonces: 3 = 6 = 9

7 x 2 14 7 x 3 21 7 14 21

A partir de un número se pueden obtener infinitas formas equivalentes en términos mayores. La expresión en mayores es muy útil en algunos procesos.


Expresión en menores

El otro aspecto de los equivalentes es la expresión en menores o simplificación. Razonando como con el caso anterior, podemos inferir una regla para éste también.

Habíamos visualizado que simplificar es lo inverso a la expresión en mayores. Además, conocemos que la división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, por lógica podemos decir que:

para expresar un número dado en términos menores equivalentes(simplificarlo), basta con dividir sus dos términos por un número natural diferente de uno.


Expresión en menoresEjemplo: Simplifica la expresión 16/20

16 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 entonces: 16 = 8 = 4 20 ÷ 2 10 ÷ 2 5 20 10 5

A diferencia de la expresión en mayores, al simplificar encontraremos una cantidad finita de formas equivalentes. Más aún, como parte de la regla de simplificación, se indica que todo número tiene que presentarse en su forma más simple.


Expresión en menores

Ésto indica que podemos pasar directamente del

número dado, a la forma más simple. Veamos:

16 4 = 4 ; 16 = 4

20 5 5 20 5

Recuerda, todo número, especialmente los que son resultados de cómputos, tienen que presentarse en su forma más simple.



Escribe los equivalentes para las porciones

1.

Simplifica o expresa en términos mayores

3. 14/18 4. 3/8 5. 7/9

6. 9/12 7. 15/20 8. 6/7

2.

36Verifica tus respuestas en la próxima página


1. 3/9 = 1/3

2. 4/20 = 2/10 = 1/5

3. 7/9

4. 6/16 y otros . . .

5. 14/18 y otros . . .

6. ¾

7. ¾

8. 12/14 y otros . . .

A continuación se presenta un resumen de los temas discutidos. Puedes pasar al mismo cuando así lo prefieras.

37

Resumen

Esta serie de lecciones presentó una discusión introductoria sobre los números fraccionarios. Se discutieron aspectos del origen, naturaleza del número y la conversión del impropio en mixto y viceversa. Finalmente se presentó el manejo de los números equivalentes. Con estas palabras termina la presente serie de lecciones.

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