Portafolio de Evidencias de Unidad 1, 2, 3, 4 Control 1 Ing. Cadena

UNIDAD I INTRODUCCION

A. IMPORTANCIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO

B. REPASO HISTÓRICO

CONTROL BÁSICO

Ac. Dispositivo De Hero (Grecia)Primera aplicación del vapor de agua para abrir y cerrar las puertas del templo

1788 James Watt (Máquina De Vapor) primer sistema de control retroalimentado que no incluía un ser humano. Control de velocidad de una máquina de vapor.

1922 MinorskyControles automáticos de dirección en barcos. Mostró como se podría determinar la estabilidad a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema.

1932 Nyquist Desarrolló un procedimiento para determinar la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado en base a la respuesta de lazo abierto<<criterio de Nyquist >>

1934 Hazen introdujo el término "servo mecanismo" para los sistemas de control de posición.

1940 Bode método de respuesta de frecuencia <<curvas de bode>>

1950 Evans método de lugar de las raíces

Control Moderno

1959 Control Óptimo1980 Sistemas Multivaribles1970 Control Digital Control Adaptable

C. DEFINICIONES

1Estrada Miranda Randy

Planta. Es un equipo o un conjunto de piezas de una máquina funcionando juntas, cuyo objetivo es realizar una operación determinada. Cualquier objeto físico que ha de ser controlado (horno, reactor químico, vehículo espacial, etc…)

Proceso. Cualquier operación que se vaya a controlar (químicos, físicos, biológicos, etc.)

Sistema. Una combinación de componentes que actúan como un todo y cumplen determinado objetivo (físicos, biológicos, económicos, etc.)

Perturbación. Una señal que afecta adversamente el valor de la salida de un sistema, pueden ser internas o externas.

Control de Retroalimentación. Una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida y la entrada de referencia de un sistema.

Sistema de Control Retroalimentado. Es aquél que tiende a mantener una relación pre-establecida entre la salida y la entrada de referencia, comparando ambas y utilizando la diferencia como parámetro de control.

Servo Mecanismo. Un sistema de control retroalimentado en el cual la salida es posición velocidad o aceleración mecánica.

Sistema de Regulación Automática. Un sistema de control retroalimentado en el que la salida deseada es constante o varía lentamente con el tiempo.

Sistema de Control de Procesos. Sistema de regulación automática en el que la salida es una variable tal como temperatura, presión, flujo, nivel, o pH.

Entrada. Estímulo o excitación que se aplica a un sistema de control desde una fuente de energía externa, generalmente con el fin de producir, de parte del sistema de control, una respuesta especificada.

Salida. Es la respuesta obtenida del sistema de control. Puede ser o no igual a la respuesta especificada que la entrada implica.



TIEMPOPRESIÓNPH

SISTEMA DE CONTROL RETROALIMENTADO

SERVOMECANISMO REGULACIÓN AUTOMÁTICA

POSICIÓNVELOCIDADACELERACIÓN

CONTROL DE PROCESO

D) TIPOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

1) Hechos por el hombre.2) Naturales, incluyendo sistemas biológicos.3) Aquellos cuyos componentes están, unos hechos por el hombre y los otros son naturales.

E) CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

1. Lazo abierto. Son aquéllos en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control.

CARACTERÍSTICAS:1. La exactitud el sistema depende de la calibración. Calibrar significa establecer

una relación entrada/salida.2. Estos sistemas son sensibles a las perturbaciones.3. Estos sistemas no tienden al problema de la inestabilidad.

2. SISTEMA DE LAZO CERRADO Son aquellos que lo que las señales de salida tienen efectos directos sobre la acción de control son sistemas de retroalimentación.

RETROALIMENTACIÓN.Es la propiedad de un sistema de lazo cerrado que permite que la salida (o cualquier otra variable controlada del sistema) sea comparada con entrada (o con una entrada a cualquier componente interno del sistema o con un subsistema de éste) de tal manera que se pueda establecer la acción de control apropiadas como función de la entrada y salida.


CONTROL PLANTA O PROCESO

CONTROL PLANTA O PROCESO

ELEMENTO DE MEDICIÓN

CARACTERÍSTICAS DE LAS RETROALIMENTACIÓN.

1. Aumenta la exactitud.2. Se reduce la sensibilidad de la razón de la salida a la entrada, a las variaciones

en las características del sistema. Hay relativa sensibilidad a las perturbaciones externas.)

3. Se reducen los efectos de la no linealidad y la distorsión.4. Aumenta el ancho de banda.5. Hay tendencia a la oscilación o a la inestabilidad.

F) FORMA DE ESTUDIAR LOS PROBLEMAS DE INGENIERÍA DE CONTROL.

ANÁLISIS. Es la investigación, bajo condiciones específicas, del funcionamiento del sistema cuyo modelo matemático se conoce.

SÍNTESIS. Es encontrar, por un procedimiento directo, un sistema que funciona de un modo específico.

G) REPRESENTACIÓN DEL PROBLEMA: EL MODELO

2) Ecuaciones diferenciales y otras relaciones matemáticas (modelo matemático).4) Diagrama de bloques (modelo gráfico).5) Gráfico de flujo de señal (modelo gráfico).


Problemas Resueltos

ENTRADA Y SALIDA

1.1 Identificar las cantidades que constituyen la entrada y salida del espejo pivoteado y ajustable de la figura 1-2.

La entrada es el ángulo de inclinación del espejo, θ, el cual se varían ajustando el tornillo. La salida es la posición angular del haz reflejado θ+α con respecto a la superficie de referencia.

1.2 Identificar una posible entrada y una posible salida para un generador rotacional de electricidad.

La entrada puede ser la velocidad de rotación del impulsor (v. gr. una tubería de gas), en revoluciones por minuto. Suponiendo que el generador no tiene cargas conectadas en sus terminales de salida, la salida puede ser el voltaje inducido que aparece en los terminales de salida. Alternadamente, la entrada se puede expresar como el momento angular del eje del impulsor y la salida se puede expresar en unidades de potencia eléctrica (vatios) con una carga acoplada al generador.

1.3 Identificar la entrada y la salida para una lavadora automática.

La mayoría (aunque no todas) de las máquinas lavadoras funcionan de la siguiente manera.Después de que la ropa que se va a lavar se haya puesto en la máquina. Se introducen en cantidades correspondientes, el jabón o detergente, el blanqueador y el agua. El ciclo del lavado y exprimido se fija luego en un regulador de tiempo y la lavadora se prende. Cuando el ciclo se ha terminado la lavadora se apaga automáticamente. Si las cantidades correctas de detergente, blanqueador y agua y la temperatura apropiada del agua se determinan o especifican por el fabricante de la máquina o se introducen automáticamente, entonces la entrada es el tiempo (en minutos) que dura el lavado y exprimido. El regulador de tiempo es fijado generalmente por un operador humano.La salida de la lavadora automáticamente es más difícil de identificar. Definimos “limpio” como la ausencia de toda sustancia externa a las piezas que se van a lavar. Entonces podemos definir la salida como el porcentaje de limpieza. Por tanto, al comienzo de un ciclo la salida es menor que el 100 por ciento y al final de un ciclo, la salida es igual al 100 por ciento (generalmente no se obtiene ropa verdaderamente limpia).En la mayoría de las máquinas que operan con monedas, el tiempo de un ciclo está fijado de antemano y la máquina comienza a funcionar cuando se introduce la moneda.


Este caso, el porcentaje de limpieza se puede controlar variando la cantidad de detergente, blanqueador, agua y la temperatura de ésta. Podemos considerar todas estas cantidades como entradas.Puede haber también otras combinaciones diferentes de entrada y salida.

1.4. Identificar los componentes, la entrada y la salida y describir el funcionamiento del sistema de control biológico formado por un ser humano cogiendo un objeto.

Los componentes básicos de este sistema de control son el cerebro, el brazo y la mano y los ojos. El cerebro envía la señal del sistema nervioso requerida hacia el brazo y la mano, con el fin de alcanzar el objeto. Esta señal se amplifica en los músculos del brazo y la mano los cuales sirven como impulsores en el sistema. Los ojos se usan como dispositivos de exploración y continuamente “retroalimentación” hacia el cerebro la información sobre la posición de la mano.La salida del sistema es la posición de la mano. La entrada es la posición del objeto.El objetivo del sistema de control es reducir la distancia entre la posición de la mano y la del objeto a cero.

SISTEMAS DE LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO

1.5 Explicar cómo podría funcionar una máquina lavadora de lazo cerrado.

Suponer que todas las cantidades descritas como entradas posibles en el problema 1.3, es decir, el tiempo de un ciclo, el volumen del agua, la temperatura del agua, la cantidad de detergente y la cantidad de blanqueador se pueden controlar por medio de dispositivos tales como válvulas y calentadores.Una lavadora automática de lazo cerrado medirá continuamente o periódicamente el porcentaje de limpieza (salida) de las piezas que se estén lavando, controlaría en efecto las cantidades de entrada, y se desconectaría automáticamente cuando se lograra una limpieza de 100 por ciento.

1.7 Identificar la acción de control en los sistemas de los problemas 1.1, 1.2, y 1.4

Para el sistema de espejo del problema 1.1, la acción de control es igual a la entrada, es decir, el ángulo de inclinación del espejo, θ.Para el generador del problema 1.2, la acción de control es igual a la entrada o sea la velocidad de rotación o momento angular deleje del impulsor.La acción de control del sistema del ser humano que coge un objeto en el problema 1.4 es igual a la distancia entre la mano y la posición del objeto.

1.8 ¿Cuáles de los sistemas de control en los problemas 1.1, 1.2 y 1.4 son de lazo abierto? Y ¿Cuáles son de lazo cerrado?

Puesto que la acción de control es igual a la entrada en los sistemas de los problemas 1.1 y 1.2, no existe retroalimentación y los sistemas son de lazo abierto.El sistema del ser humano que coge un objeto en el problema 1.4 es de lazo cerrado porque la acción de control depende de la salida, que es la posición de la mano.


RETROALIMENTACIÓN

1.11 Considerar la red de división de potencial de la figura. La salida es V2 y la entrada V1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.26 ¿La aplicación del “laissez faire capitalism” a un sistema económico puede ser interpretada como un sistema de control por retroalimentación? ¿Por qué?

La frase “laissez faire capitalism” es de origen francés donde se manifiesta literalmente “dejen hacer, dejen pasar” Que en otras palabras significa “dejarles hacer lo que quieran” este fenómeno como su traducción lo indica hace referencia a un tipo de economía no controlada, pues toda la economía goza de hacer lo que quiera entonces se puede asumir de una falencia de control, dirección y regulación que son los conceptos básicos para asumir un modelamiento no se cumple. Por ende no es un sistema de control por retroalimentado.


1.23. ¿Se puede considerar a la red de la figura 1-8 como un sistema de control por retroalimentación?

No, Se debe tener un tipo de sensor que realimente el sistema para calcular su posible error.


TAREA: EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL DE LAZO ABIERTO Y CERRADO

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO1. Regulación del volumen de un tanque.

Los primeros son manuales pues requieren que una persona ejecute una acción que indique al sistema qué hacer. Para mantener constante el nivel del agua en el tanque es necesario que una persona accione la válvula cuando el caudal cambie.

2. Amplificador.

Un ejemplo puede ser el amplificador de sonido de un equipo de música. Cuando nosotros variamos el potenciómetro de volumen, varia la cantidad de potencia que entrega el altavoz, pero el sistema no sabe si se ha producido la variación que deseamos o no.

3. Encendedor.

Un simple elemento como el encendedor trabaja como sistema, ya que está constituido básicamente por una rueda estriada, una piedra, un envase que contiene el gas licuado, una válvula para regular la salida del mismo; ninguna de estas partes puede por sí sola conseguir el objetivo: producir fuego; pero si todas ellas funcionan adecuadamente en conjunto, es un sistema de lazo abierto ya que no importa si el fuego calienta el material a calentar de manera adecuada.

4. Semáforo.

Un ejemplo de sistema de lazo abierto es el semáforo. La señal de entrada es el tiempo asignado a cada luz (rojo, amarilla y verde) de cada una de las calles. El sistema cambia las luces según el tiempo indicado, sin importar que la cantidad de tránsito varíe en las calles


5. Horno de microondas

En el horno de microondas las llaves o botones de control fijan las señales de entrada, siendo la elevación de la temperatura de la comida o la cocción la salida. Si por cualquier razón la temperatura alcanzada, o el tiempo de aplicación del microondas ha sido insuficiente, y como consecuencia la comida no ha alcanzado las condiciones deseadas, esto no altera el ciclo de funcionamiento; es decir que la salida no ejerce influencia sobre la entrada.

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO

1. Control iluminación de calles.

El sistema de control, a través de un transductor de realimentación, conoce en cada instante el valor de la señal de salida. De esta manera, puede intervenir si existe una desviación en la misma.

2. Sistema de iluminación de un invernadero.

A medida que la luz aumenta o disminuye se abrirá o se cerrará el techo manteniendo cte. el nivel de luz.

3. Sistema de refrigeración

Un sistema de refrigeración en donde uno ingresa algún producto y el refrigerador nivela la temperatura, si ingresas


http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/cmem_generico/camors/trabajofinal/alum3.html

algo caliente el refrigerador tendrá que producir más frio hasta conseguir la temperatura a la cual se desea tener el producto.

4. Control de temperatura

Un ejemplo sería el sistema de control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de referencia (la temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción o de enfriamiento para asegurar que la temperatura, de la habitación se conserven un nivel cómodo sin considerar las condiciones externas.

5. Aire acondicionado

Un equipo de aire acondicionado es un sistema de lazo cerrado, ya que cuenta con un sensor que permanentemente registra la temperatura ambiente, y con un comparador, que determina sí la temperatura es la deseada. Si es necesario corregirla, el comparador da la señal para que esto ocurra.


TRANSFORMADA DE LAPLACE

A) DEFINICION

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCION REAL F(T)DE LA VARIABLE REAL T DEFINIDA T>0 SE DEFINE COMO.

“S” ES UNA VARIABLE COMPLEJA DEFINIDA POR S= + J DONDE “” Y “” SON VARIABLES REALES Y “J” ES IGUAL , LA VARIABLE t ES REAL Y DENOTA TIEMPO.

EJEMPLO:

SEA


0t t

t

f(t) 1

0

SEA=1 ESCALON UNITARIO

EJEMPLO 2

SEA


A

0 t

= 0

No es necesario efectuar las integraciones para todas las funciones. Existen tablas de transformadas de la place para diversas funciones. Mediante el uso de ellas y de las propiedades de las transformadas de Laplace es posible encontrar f(s) de múltiples f(t).

TABLA CORTA T LAPLACE

f(t) F (S)

IMPULSO UNITARIO 1ESCALÓN UNITARIO 1/sRAMPA UNITARIA 1/s^2POLINOMIO n!/s^n+1EXPONENCIAL 1/(s+α)ONDA SENO ω/(s^2+ω^2)ONDA COSENO s/(s^2+ω^2)SENO AMORTIGUADO ω/[(s+α)^2+ω^2]COSENO AMORTIGUADO

(s+α)/[(s+α)^2 + ω^2]

E) PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADAS DE LAPLACE

1) LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ENTRE FUNCIONES EN EL DOMINIO DE "t" Y FUNCIONES DEFINIDAS EN EL DOMINIO DE "S"

2) EL INVERSO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TAMBIÉN ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL, ES DECIR.


3) PARA ENCONTRAR LA TRANSFORMADA LAPLACE DE UNA DERIVADA.

4) LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA DE ORDEN ENÉSIMO.

5) LA TRANSFORMADAS DE UNA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN F(T) CUYA TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

6) TEOREMA DEL VALOR INICIAL. EL VALOR INICIAL f(0) DE LA FUNCIÓN f(T) CUYA TRANSFORMADAS DE LAPLACE ES F(S).


7) EL TEOREMA DE VALOR FINAL. EL VALOR FINAL F() DE LA FUNCIÓN F(T)

8) ESCALADO DEL TIEMPO.

9) ESCALADO DE LA FRECUENCIA

10) FUNCION RETARDADA

11) TRASLACION COMPLEJA


12) INTEGRALES DE CONVOLUCIÓN. PARA EL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES EN EL TIEMPO

13) PARA EL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES EN S:

DONDE


C) TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

La transformada de Laplace transforma un problema de una variable real en el dominio del tiempo a la variable compleja en el dominio s. Después de obtener una solución en el dominio de s es necesario invertir la transformada para obtener la solución en el dominio del tiempo la transformación desde dominio de s el dominio de t se denomina se denomina el inverso de la transformada de Laplace

DEFINICION: SEA F(S)=

DE CONTORNO

Donde se llama el inverso de la transformada de Laplace de f(s). C es la abscisa de la convergencia re(s)>

No es necesario efectuar la integración de contorno. Existen otras técnicas más simples para encontrar transformadas inversas de Laplace.

MÉTODO DE DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES.

SEA F(S)ESCRITA DE LA FORMA SIGUIENTE:

PRIMER CASO: F(S) CONTIENE POLOS DISTINTOS PODEMOS EXPANDIR F(S) EN UNA SUMA DE FRACCIONES PARCIALES.


ENTONCES EL RESIDUO DE

ENTONCES


Ejemplo:

Hallar de f(s)=

OTRA MANERA:

HALLAR LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE:


Segundo caso f(s) contiene polos complejos conjugados Si p1 y p2 son polos complejos conjugados se puede usar la expansión siguiente:


EJEMPLOHALLAR LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE:




D) solución de ecuaciones diferenciales

El método de la transformada de Laplace da la solución completa (la solución particular más la complementaria) de las ecuaciones diferenciales lineales. En el caso de la transformada de Laplace, no es necesario calcular las constantes de integración de las condiciones iniciales, ya que estas quedan incluidas automáticamente en la transformada de la place de la ecuación diferencial.

Si todas las condiciones iniciales son cero, se obtiene la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, reemplazando por s, /

Pasos para resolver ecuaciones diferenciales por el método de la transformada de Laplace:

1.- tomar la transformada de cada termino en la ecuación diferencial lineal dada, convirtiéndola en una ecuación algebraica en s y al reordenar la ecuación, se obtiene la expresión de la transformada de la variable dependiente.

2.-hallar la solución en el tiempo de la ecuación diferencial tomando la transformada inversa de la variable dependiente.


UNIDAD II FUNCION DE TRANSFERENCIA.

Introducción.La respuesta de un sistema lineal (sl) invariable con el tiempo se separa en dos partes:

La respuesta fija. La respuesta libre.

La respuesta fija incluye términos debidos a los valores iniciales de la entrada y la respuesta libre depende de las condiciones iniciales de en la salida.

la respuesta fija. La respuesta libre.

Si los términos debidos a todos los valores iniciales y se agrupan, entonces:

Tomando la transformada de la place en ambos miembros:

La función de transferencia p(s) de un sistema se define como el factor en la función de y(s) que multiplica a la transformada de la entrada x(s). Entonces:

Y la transformada de la respuesta se puede escribir como:

+


Si la cantidad formada por los términos debidos a todos los valores iniciales es igual a cero, la transformada de la place de la salida y(s) en la respuesta de una entrada x(s) está dada por:

Definición.

La función de transferencia de un sistema lineal invariable en el tiempo se define, como la relación de la transformada de la place de la salida (función respuesta) a la transformada de la place de la entrada (función excitadora) suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

B) propiedades.

1. La función de transferencia de un sistema en la transformada de la place de su respuesta al impulso. Es decir, si la entrada de un sistema con una función de transferencia p(s) es un impulso y toma los valores iniciales de cero, la transformada de la salida es p(s).

Ci = 0 si x(t) = & (impulso unitario) x(s) = 1.Y(s) = p(s)x(s) = p(s)

2. La función de transferencia de un sistema se puede determinar a partir de la ecuación diferencial del sistema, utilizando la transformada de la place e


ignorando todos los términos ocasionados por valores iniciales, la función de transferencia p(s) está dada entonces por p(s) = y(s) / x(s).

3. La ecuación diferencial del sistema se puede obtener de la función de transferencia reemplazando la variable s por el operador diferencial de d = d / dt.

4. La estabilidad de un sistema lineal invariable con el tiempo se puede determinar de la ecuación característica. El denominador de la función de transferencia del sistema igualado a cero constituye la ecuación característica. Si todas las raíces del denominador tienen partes reales negativas, el sistema es estable.

5. Las raíces del denominador son los polos del sistema y las raíces del numerador son los ceros del sistema. La función de transferencia se puede especificar como una constante k, que es el factor de ganancia del sistema y, especificando además los polos y ceros, los cuales se pueden representar esquemáticamente en un mapa de polos y ceros, en el plano s.

Ejemplos.

A) Dada la ecuación diferencial donde x es la entrada, y la salida, y las condiciones iniciales son cero, obtener la función de transferencia y dibujar el mapa de polo y ceros, determine también la estabilidad del sistema.

CEROS DEL SISTEMA: S+2=0 S= - 2.

POLOS:

JW


-2 -1

SISTEMA ESTABLE.


HALLA LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE:

…… (1)

…… (2)

TRANSFORMADAS DE LA PLACE DE (1) Y (2).


IMPEDANCIAS COMPLEJAS

TABLA DE IMPETANCIAS.

EJEMPLO.


R L C2(S) R SL 1/SC

HALLAR LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE:

PARA LA MALLA 1: …..(1).

PARA LA MALLA 2: …..(2).

TRANSFORMADA DE LA PLACE DE (1) Y (2):

POR IMPEDANCIAS COMPLEJAS:



D) FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS MECANICOS.SISTEMA MECANICO DE TRASLACION.

Donde: m = la masa (slug)

a = la aceleración .P = la fuerza aplicada (lb).

k = la constante del resorte f = el coeficiente de fricción


SISTEMA MECANICO DE ROTACION.

J= momento de inercia de la carga en slug- .F= coeficiente de fricción viscosa en lb-ft/rad/segΩ= velocidad angular en rad/segT= par aplicado al sistema en lb-ft

= aceleración angular en .


JT ω

f

ANALOGIA FUERZA – TENSION.

… (1).

… (2)

MAGNITUDES ANALOGAS.

SISTEMA MECANICO SISTEMA ELECTRICOP(T) em(J) Lf Rk 1/CX(Θ) (DESPLAZAMIENTO) qX (Θ = Ω) (VELOCIDAD) i


UNIDAD IIIDIAGRAMAS DE BLOQUES

A) Definición

Un diagrama de bloques de un sistema es una representación grafica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales.

El “bloque funcional” o simplemente “bloque” es un símbolo de la operación matemática que el bloque produce a la salida, sobre la señal que tiene a la entrada.

Punto de suma (detector de error)

Diagramas de bloques de un sistema de un sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitaria


FUNCION DE TRANSFERENCIA

G(S) Y(S)X(S)Y(S)=X(S)G(S)

+

R(S) E(S)

C(S)

R(S)

+

E(S)

C(S)

E(S)=R(S)-C(S)

R(S)

+

E(S) G(S) C(S)

E(S)= SEÑAL DE ERROR

+

e(s)=r(s)-c(s) y c(s)=e(s)g(s)

Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado con retroalimentación no unitaria


SISTEMA DE LAZO CERRADO SOMETIDO A UNA PERTURBACION. N(s)


R(S) C(S)

B) ALGEBRA.

REDUCCION.



Reglas de simplificación.

Al simplificar un diagrama de bloques, debe tomarse en cuenta lo siguiente:

1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de alimentación directa debe mantenerse constante.

2. El producto de las funciones de transferencia alrededor de un lazo debe de mantenerse constante.

Una regla general para simplificar un diagrama de bloques es desplazar los puntos de bifurcación y los puntos de suma, intercambiar los puntos de suma y finalmente reducir los lazos de retroalimentación, desde los más internos hasta los externos (de adentro hacia fuera).


Gráficos De Flujo De Señal

A) DEFINICIONES.

Un gráfico de flujo de señal, es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas. Al aplicar el método de gráfico de flujo de señala sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en S.

Nodo: es un punto que representa una variable o señal.

Transmitancia: es una ganancia entre dos nodos.

Rama: es un segmento de línea con dirección y sentido que une 2 nodos. La ganancia de una rama es la transmitancia.

Nodo de Entrada o Fuente: es un nodo que solo tiene ramas que salen. Corresponde a una variable independiente.

Nodo de Salida, Sumidero o de Absorción: es un nodo que solo tiene ramas de entrada. Corresponde a una variable dependiente.

Nodo Mixto: es un nodo que tiene tanto ramas que llegan como ramas que salen.

Camino o trayecto: es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas.

Lazo: es camino o trayecto cerrado.

Ganancia de Lazo: es el producto de las transmitancias de las ramas de un lazo.

Lazos Disjuntos: lazos que no poseen ningún nodo común.

Ganancia de Trayecto Directo: es el producto de las transmitancias de la rama de un trayecto directo.

Trayecto Directo: es el trayecto de un nodo de entrada a uno de salida, que no cruza ningún nodo más de una vez.


B) PROPIEDADES.

1. Una rama indica la dependencia funcional de una señal respecto a otra. Una señal se desplaza únicamente en la dirección y sentido especificadas por la flecha de la rama.

2. Un nodo suma las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas las ramas de salida.

3. Un nodo mixto puede considerarse como un nodo de salida añadiendo una rama de transmitancia unitaria. Sin embargo, no se puede cambiar un nodo mixto por uno de entrada por ese método.

4. Para un sistema dado, el diagrama de flujo de señal, no es el único y se pueden dibujar muchos gráficos de flujo de señal diferentes para un sistema dado, escribiendo en forma distinta las ecuaciones del sistema.

C) ALGEBRA.


X1 X2X2 = a X1

X3X2X1

a

a b

X1 X3

ab

X1 X2b

a

X1 X2

a + b

C

X1a

bX2

X3 X4

X1ac

bcX2

X4X4 = ac X1 + bcX2

D) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS LINEALES.

Al dibujar un gráfico de flujo de señal se colocan los nodos de entrada a la izquierda y la salida a la derecha. Las variables independientes se convierten en nodos de entradas y las variables dependientes en los nodos de salida. Las transmitancias de las ramas se obtienen de los coeficientes de las ecuaciones.

E) FÓRMULA DE GANANCIA DE MASON.

La fórmula de ganancia de masón aplicable a la ganancia total, está dada por:

DONDE:

P = Ganancia del gráfico (función de transferencia).Tk = Ganancia del trayecto o transmitancia del k-ésimo trayecto directo.Δ = Determinante del gráfico.Δk = Cofactor del determinante del k-ésimo trayecto directo del gráfico, quitándole los lazos adjuntos al k-ésimo trayecto directo.Δ = 1- (suma de todas las ganancias de lazo distintas) + (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) – (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de 3 lazos disjuntos) + …

= 1 - ∑ La + ∑ LbLc - ∑ LdLeLf +…


X2

X1

a b

X3

c

X1

ab X3

bc

ab1-bc

X1 X3

X2 = a X1 + Cx3

X3 = bX2 = b (aX1 + cX3)

X3= abX1 + bcX3.

X3 – bcX3 = abX1

X3 (1 – bc) = abX1

X3 = _ab X1 1-bc

∑ Tk Δk. KP = Δ

REGLAS PARA CONVERTIR UN DIAGRAMA DE BLOQUES EN UN GRÁFICO DE FLUJO DE SEÑAL.

1. Asociar cada variable con un nodo.2. Asociar cada punto de suma y cada punto de bifurcación con un nodo.3. Asociar cada bloque con una transmitancia.


UNIDAD IV

ANALISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

A) INTRODUCCIÓN

Puesto que el tiempo se usa como una variable independiente en la mayoría de los sistemas de control, es generalmente de interés evaluar la respuesta del tiempo del sistema. En el problema de análisis, una señal de entrada de referencia, se aplica a un sistema y su funcionamiento se evalúa estudiando su respuesta en el dominio del tiempo. Por ejemplo, si el objetivo del sistema de control es que la variable de salida siga a la señal de entrada tan cerca como sea posible, es necesario comparar la entrada y la salida como funciones del tiempo.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide en 2 partes:

- La respuesta transitoria.- La respuesta en el estado estacionario.

ASÍ.C(t) = C(t) + Css(t)

DONDE:C(t) = Respuesta en el tiempo.Ct(t) = Respuesta transitoria.Css(t) = Respuesta estacionaria.

La respuesta transitoria está definida como la parte de la respuesta que tiende a cero conforme el tiempo se aproxima al infinito. Por lo tanto, Ct(t) tiene la propiedad de:

lim C(t) = 0t -> ∞

En análisis de circuitos, se define la variable en estado estacionario como una constante con respecto al tiempo. En control, sin embargo, la respuesta al estado estacionario es simplemente la respuesta fija cuando el tiempo se acerca a ∞.

Por lo tanto, una onda seno es considerada como una respuesta en estado estacionario debido a que su comportamiento es fijo para cualquier intervalo de tiempo.

Una respuesta está descrita por c(t) = t, puede definirse como una respuesta en estado estacionario, cuando se compara con la entrada, da una indicación de la exactitud final del sistema.

Si la respuesta en estado estacionario no está de acuerdo con el estado estacionario de la entrada exactamente, se dice que el sistema tiene un error en estado estacionario.


X(t) Y(t)

X(s) Y(s) 6(s)

B) SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS

FUNCIÓN ESCALÓN.

R es constante.

R(t) = R u (t) escalón unitarioSi R = 1

No está definida en t = 0.

FUNCIÓN DE RAMPA.

r(t) = Rt μ(t)

FUNCIÓN PARABÓLICA.

C) ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO.

Si la entrada de referencia r(t) y la salida controlada c(t) son dimensionalmente las mismas, y están al mismo nivel o son del mismo orden de magnitud. La señal de error es simplemente:

t (t) = r (t) – c (t)


R

0 t

r(t) R, t > 0

r(t)

0, t < 0

1 μ(t)

t0

r(t)

0 t

pendiente Rt, t > 0

r(t)

0, t < 0

Rt2, t > 0

r(t)

0, t < 0

r(t)

0 t

r(t) = Rt2μ( t )

G ( s )r ( t )

t

ε ( t ) c ( t )

Si no es así, se debe de incorporar un elemento no unitario en el camino de retroalimentación.

E (s) = r (t) - b (t), B (s) = H (s) C (s), C (s) = ε (s) G (s)

ε (s) = R (s) – B (s) = R (s) - H (s) c (s) = R (s) – H (s)G(s)ε(s)

ε (s) = [1 + H (s) G (s)] = R (s)

ε (s) =

Es = lim ε (t) = Error En Estado Estacionariot → ∞

ε (s) =

Aplicando el teorema del valor final.

ess = lim ε (t) = lim s ε (s) t → ∞ s → 0

Donde ε (s) no tiene polos que varíen sobre el eje imaginario y en la mitad derecha del plano.

ess = lim s → 0

ess es independiente de R(s) y de G (s) H (s).


G ( s )r ( t )

R ( s )

ε ( t )

ε ( s )

c ( t )

c( s )

H( s ) b ( t )

B( s )

R(s)

1 + H (s) G(s)

R(s)

1 + G (s) H(s)

SR(s)

1 + G (s) H(s)

Establecemos el tipo del sistema de control refiriéndonos a la forma de g(s) h(s). En general g (s) h(s) puede escribirse:

G (s) H (s) =

Donde K y todas las Ts son constantes.

El tipo del sistema de control retroalimentado se refiere al orden de los polos de G (s) H (s) en S = 0. por lo tanto, el sistema que está descrito antes, es de tipo J, donde J = 0, 1, 2…

Ejemplo:

G(s) H(s) =

ES DE TIPO 1, PUESTO DE J = 1.

Error en estado estacionario debido a una entrada escalón.

Si la entrada de referencia al sistema de control con retroalimentación no unitaria es un escalón de magnitud R, es decir r(t)= R para t > 0 entonces R(s) = R/S.

ess = lim S → 0

= lim S → 0

Por conveniencia definimos:

Kp = lim G(s) H(s): donde Kp es la constante de posicional, S →0

Entonces:

ess =

Vemos que para que ess sea igual a 0, cuando la entrada es una función escalón, Kp debe ser ∞.

SI G(s) H(s)= PARA QUE Kp


K ( 1 + T1 S) (1 + T2 S) ………. (1 + TmS)

Sj (1 + Tas) (1 + Tbs)…...... (1 + TnS)

K (1 + 0.55)

S ( 1 + 5) (1 + 2.5)

S R(s) lim S R 1+G(s) + I(s) S → 0 S (1 + G(s) H(s))

R R H G(s) H(s) i + lim G(s) H(s)

S → 0

R 1 + Kp

K ( 1 + T1 S) (1 + T2 S) ………. (1 + TmS)

Sj (1 + Tas) (1 + Tbs)…...... (1 + TnS)

Sea ∞ J debe de ser por lo menos igual a 1, esto es G(s) H(s) debe tener por lo menos una integración pura.

Por lo tanto:

Sistema De Tipo 0:Sistema De Tipo 1 (o más alto):

ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO DEBIDO A UNA ENTRADA DE RAMPA.

Si la entrada del sistema de control retroalimentado es r(t) = Rtμ(t) donde r es una constante, entonces:

RR(s) =

S2

ASI QUE:

SI DEFINIMOS Kv = lim SG(s) H (s) ← CONSTANTE DE ERROR DE S → 0 VELOCIDAD.

RENTONCES ess = Kv


R

TIPO 0 J = 0

ess K ( 1 + T1 S) ………. (1 + TmS) Kp = lim S → 0 Sj (1 + Tas) …...... (1 + TnS)

KKp = Sj

R RY ess = = = cte

1 + Kp 1 + K

ess

R

REss = = CONSTANTE 1 + Kp

ess = 0

TIPO 1, J = 1.

K KKp = lim = S → 0 S1 0

R S

ess = lim = S → 0 S + SG(s) H(s) lim SG(s) H (s)

R

ENTRADA DE reFr(t) =Rtμ (t)

SALIDA C (t)

t

REss =

Kv

LA ECUACION PARA ess MUESTRA QUE PARA QUE ÉSTE SEA CERO.Kv DEBE SER ∞.

SK (1+T1S) (1 + T2S) ……. (1 + TmS)AHORA Kv = lim SG(s) H (s) = lim S → 0 S → 0 Sj (1 +Tas) (1 +Tas) …… (1 + TnS)

= lim Sk = lim K J = 0, 1, 2, ……S → 0 Sj S → 0 S j-1

Por lo tanto, para que Kv sea infinito, J debe ser por lo menos igual a 2, o el sistema debe de ser de tipo 2 o más.

SISTEMA TIPO 0: ess = ∞

SISTEMA TIPO 1: ess = R/Kv = CONSTANTE.

SISTEMA TIPO 2: ess = 0


Error en estado estacionario debido a una entrada parabólica.

SI r(t) =

ENTONCES R(s) =

Definimos la constante de error de la aceleración como ka.

Ka = lim S2 G(s) H(s) S → 0

EL ERROR EN ESTADO ESTACIONADIO ess =PARA QUE SEA 0, Ka DEBE SER ∞.

Y, en resumen:

SISTEMA TIPO 0 : ess = ∞.SISTEMA TIPO 1 : ess = ∞.SISTEMA TIPO 2 : ess= R/Ka = cteSISTEMA TIPO 3 O MAS : ess = 0.

RESUMEN:

TIPO DE SISTEMA ERRORES ENTRADAS

j Kp Kv Ka

ESCALON ess = R / 1 +

KpRAMPA

ess = R / KvPARABÓLICA

ess = R / Kc

0 K 0 0ess = R / 1 +

Kp ∞ ∞1 ∞ K 0 0 R/K ∞2 ∞ ∞ K 0 0 R/K3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0


RT2 μ (t) 2

R μ R S3 lim S2 G(s) H(s)ess =

R Ka

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

SEA EL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

R(s)

RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO:

r(t) = d(t)R(s) = 1


1TS

C(s) 1R(s) TS + 1=

C(s) R(s) TS + 1=

C(s) 1 1/T TS + 1 S + 1/T= =

C(t) 1 1 T T= =

e (-1/T)t e -1/T

C(0) lim 1 1 T T

e (-1/T)t= =

C(∞) lim 1 0 T

e (-1/T)t= =

c(t)1T

t

RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO

r(t) = 1, R(s) = 1 5

c(s) = S (TS + 1) = 0

S = 0

Ts = -1

S = - 1 / T.

C(s) = + =

A TS + A + BS = 1 A T + B = 1

B (A T + B) + A = 1 A = 1, B = -T.

DESARROLLANDO EN FRACCIONES PARCIALES

C(s) =

SI t= T → (T) = 1 – e -1 = 0.632

c(t) = 1 – e-t/T

c (∞) = 1.

T c(t) 0 0 T 0.632 2T 0.865 3T 0.95 4T 0.982 5T 0.993

RESPUESTA A LA RAMPA UNITARIA.


1S(Ts + 1)

A B A Ts + A + BsS Ts + 1 S (Ts + 1)

1 T 1 1S Ts + 1 S S + 1 / T

T 2T 3T 4T 5T

1

0.8

0.6

0.4

0.2

c(t)

R(t) = t

R(s) = 1 / S2

C(s) =

C(s) = =

=

BT + C = 0AT + B = 0A = 1 C(s) = - + B = -TC = T2

C(s) = C(t) = t - T + Te –t/T = t – T (1 - e-t/T)

C (0) = 0

C (∞) = ∞

ERROR: Є(t) = r(t) – c(t). Є(t) = t – (t – T + Te –t/T) = T - Te –t/T

Є(t) = T (1 – e-t/T)

ess = lim T (1 - e –t/T) = T t → ∞

E) SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

SEA EL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN:


1S2 (Ts + 1)

A B C ATS + A + BTS2 + BS + CS2 S2 S TS + 1 S2 (TS + 1)

(BT + C)S2 + (AT + B)S + A S2 (TS + 1)

1 T T2

S2 S TS + 1

1 T T2

S2 S S + 1/T

c(t)r(t)

Ess = T = c

R(s) C(s)

DONDE:

= =

ECUACION CARACTERÍSTICA:

JS2 + FS + K = 0

S = -F ± √ F2 - 4 J K2 J

Los polos de lazos cerrados son complejos si (F2 -4JK) < 0 y son reales si (F2 – 4JK) >= 0.

DIVIDIMOS ENTRE J

=

Sea que K/J = W2N Y F/J = 2ЄWn = σ; donde

σ es la atenuación, Wn es la frecuencia natural no amortiguada y ε es la relación de amortiguamiento del sistema, es la relación entre la amortiguación F y el amortiguamiento crítico Fc, ósea ε= F/ Fc, donde Fc = 2 √ J K.


K

S ( js + F )

C(s) K KR(s) S(TS2 + F) + K JS2 + FS + K

C(s) K/J R(s) S2 + (F/ J ) S + K/J

Podemos modificar el sistema de segundo orden a:

R(s)

=

SE TIENEN 3 CASOS:

Sistemas subamortiguados (0 < ε < 1) Sistemas críticamente amortiguados (ε = 1) Sistemas sobre amortiguados (ε > 1)


Wn2

S ( S + 2WN)

C(s) Wn2

S(S2 + 2SWNs + Wn2 )

CASO 1

Sistemas subamortiguados (0 < ε < 1)

Ecuación característica S (S2 + 2 εWnS + Wn2) = 0

S = 0

S = -2εWn ± √ 4 W2n e 2

(S2 + 2 εWnS + Wn2) = 0

S = -2εWn ± √ 4(ε Wn2 -4 Wn2

2

POLOS COMPLEJOS S = -εWn ± Wn √ 4(ε2 -1 S = -εWn ± Wn √ 4((-1) (1 - ε 2 -)S = -εWn ± Wn √1 - ε2

S = -εWn ± jWd

Donde Wd = Wn √1 - ε2 = frecuencia natural amortiguada.

Factorizando ((S + εWn ) + jWσ ) ((S + εWn) – jWd ) = 0

a b a b

(a + b) (a – b) = a2 - b2

(S + εWn) 2 + (Wd) 2 = 0

EXPANDIENDO EN FRACCIONES PARCIALES:

= y R(s) = 1/S

R(s) =

C(s) = +

C(s) =


C(s) Wn2 R(s) S(S + εWn) 2 + (Wd)2

C(s) Wn2 Wn2

(S + εWn) 2 + (Wd)2 S[(S+ εWn 2) + (Wd)2]

A BS + C S (S + εWn) 2 + (Wd)2

1 S + 2εWn S (S + εWn) 2 + (Wd)2

A = 1B = -1C = -2 εWn

BUSCANDO LA TRANSFORMADA EXACTA:

C(s) = -

S Wd = Wn √1-ε2 → Wn =

C(s) = - - *

C(1) = 1 - e –εWnt Cos Wdt -

RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIOSISTEMA SUBAMORTIGUADO.

CONCLUSION: Los polos de lazo cerrado son complejos conjugados y están en el semiplanos izquierdo (significado que el sistema es estable). La respuesta transitoria es oscilatoria.


1 S + 2εWn εWn S (S + εWn) 2 + (Wd)2 (S + εWn) 2 + (Wd)2

Wd√ 1 – ε2

1 S + εWn ε Wd S (S + εWn) 2 + (Wd)2 √ 1 – ε2 (S + εWn) 2 + (Wd)2

Є –εWnt Sen Wdt √1 - ε2

Los senos y los cosenos amortiguados indican el comportamiento se tienen oscilaciones hasta desaparecer.

C (0) = 1 - (1) (1) – (1) (0) = 0

C (∞) = 1 – 0 – 0 = 11

C(t)

t0

CASO 2 : SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADAS (ε = 1)

C(s) =

SI ε = 1

C(s) =

S(S + Wn)2 = 0

S = 0

(S + Wn)2 = 0

S2 = S3 = -Wn ← POLOS IGUALES

Expandiendo en fracciones parciales:

C(s) = + +

=

Wn2 = S2 (A + C) + S (2AWn + B + CWn) + AWn2

0 = A + C ………. (1)0 = 2AWn + B + CWn ……….(2)

Wn2 = AWn2 A = 1 QUE SUSTITUIDO EN (1) C = - A – 1

A Y C EN (2)

0 = 2Wn + B – Wn = Wn +B B = -Wn

C(s) = - -

C(t) = 1 – Wnte –wnt – e -wnt


Wn2 S (S2 + 2εWn Wn2)

Wn2 Wn2

S(S2 + 2WnS Wn2) S(S + Wn)2

A B C S (S + Wn) 2 (S + Wn)

AS2 + 2AWnS + Awn2 + BS + CS2 + CWnS S(S + Wn) 2

1 Wn 1 S (S + Wn) 2 (S + Wn)

= 1 – e e –wnt (1 + Wnt)Como no hay senos ni cosenos, no oscila, sino que va de manera exponencial (como un sistema de primer orden)

Conclusión: los dos polos de c(s)/r(s) son iguales. La respuesta transitoria no es oscilatoria. Se comporta como un sistema de primer orden.

CASO 3.

SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS:

C(s) = = =

C(t) = 1+ e –(ε+√ε2 – 1)Wnt

= e – (ε - √ε2-1)Wnt

= 1 + CONCLUSIÓNLos 2 polos C(s)/R(s)Son negativos, realesY distintos.

Curvas de respuesta al escalón unitario para un sistema de segundo orden.


Wn2 C(s) Wn2

(S + εWn + Wn√S2 – 1 ) (S + εWn – Wn √ε2 - 1) S R(s) S2 εWnSt

1 2 √ε – 1 (ε + √ε2 - 1)

-1 2 √ε – 1 (ε + √ε2 - 1)

Wn e-s1T e-s2T Є(ε + 1) S1 S2 DONDE: S1 = (ε + √ε2 – 1 ) Wn

S2 = (ε - √ε2 – 1 ) Wn

S(S2 + 2 εWns +Wn2) = 0 S = 0

S2 + 2 εWns+ Wn2 = 0

S = -2εWn ± √ 4ε2 Wn2 - 4 W2

2

C(t)

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Tiempo De Retardo td: es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.

Tiempo De Crecimiento, De Subida O De Elevación, Tr: es el tiempo requerido para que la respuesta de 0 ao 100% para sistemas subamortiguados o del 10 al 90% para sistemas subamortiguados.

Tiempo De Pico tp: tiempo requerido por la respuesta para alcanzar el primer pico del sobre impulso.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t

ts

tptr

C(t) 1

0.5

Máximo Sobre impulso, Mp: valor pico máximo de la curva de respuesta, medido desde la unidad.

Tiempo De Establecimiento, Ts: tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final (2% o 5%).

FÓRMULAS

TIEMPO DE CRECIMIENTO

Tr = Tan -1 =

TIEMPO DE PICO

Tp =

MAXIMA DE SOBREIMPULSO:

Mp = e –(T/Wd) π = e –(T/Wd) π * 100%

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO

PARA 2% LA TOLERANCIA

Ts = 4T = =

PARA EL 5% DE TOLERANCIA.

Ts = 3T = =


1 Wd π - B Wd -σ Wd

πWd

4 4 σ ε Wn

3 3 σ ε Wn

Documents

Portafolio de Evidencias de Unidad 1, 2, 3, 4 Control 1 Ing. Cadena