PORTAFOLIO DE MATEMATICAS CAPITULO 3 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

7/28/2019 PORTAFOLIO DE MATEMATICAS CAPITULO 3 ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

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ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

INTRODUCCIN

Generalmente la estadstica se asocia a un conjunto de datos organizados en tablas oen grficos, referentes a geografa, demografa, economa, mercados, salud entre

otros temas. Pero la estadstica es mucho ms amplia de lo que parece. Es una cienciatan antigua como la matemtica, y por su utilidad, es apoyo de todas las demsciencias. La estadstica ayuda a que los administradores tomen las mejores decisionesen tiempos de incertidumbre.

ESTADSTICA DESCRIPTIVA

El mtodo estadstico es el conjunto de los procedimientos que se utilizan para medirlas caractersticas de los datos, para resumir los valores individuales y para analizarlos,

a fin de extraerles el mximo de informacin; es lo que se conoce como mtodoestadstico.

Un mtodo estadstico contempla las siguientes seis etapas:

1. Definicin del problema.2. Recopilacin de la informacin existente.3. Clasificacin y control de calidad de los datos.4. Codificacin y digitacin.5. Anlisis.

6. Presentacin.

Errores estadsticos comunes. Existe la posibilidad de cometer errores al momento derecopilar los datos que sern procesados, as como durante el cmputo de losmismos. No obstante, hay otros errores que no tienen que ver con la digitacin y noson tan fciles de identificar.

Algunos de estos errores son:

SesgoDatos no comparables.Proyeccin descuidada de tendencias.Muestreo incorrecto.

Conceptos bsicos

Elemento o ente: Cualquier elemento que aporte informacin sobre la caractersticaque se estudia. As, si estudiamos la altura de los nios de una clase, cada alumno esun ente; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un ente.

Poblacin: Conjunto o coleccin de los entes de inters. Cada ente presentacaractersticas determinadas, observables y medibles.


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La poblacin se puede clasificar, segn su tamao, en dos tipos:

Poblacin finita: El nmero de elementos es finito. Por ejemplo: la cantidad dealumnos de una escuela.

Poblacin infinita: El nmero de elementos es infinito o tan grande que puedenconsiderarse en cantidad infinita. Por ejemplo: las estrellas de la Va Lctea.

Muestra: La mayora de los estudios estadsticos, no se realizan sobre la poblacin porlos altos costos en tiempo y dinero, sino sobre un subconjunto o una parte de elladenominada muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presenta elmismo comportamiento y caractersticas de la poblacin.

Variable: Es una caracterstica que se asocia a los elementos de una muestra o

poblacin.

Variables cuantitativas: Se expresan por medio de nmeros y pueden ser:

Discretas: Slo se miden por medio de valores puntuales. Por ejemplo: nmero dematerias, cantidad de mdicos en un hospital; y,

Continuas: Pueden tomar cualquier valor intermedio entre dos nmeros, es decir,intervalos. Por ejemplo: el peso y la estatura de una persona.

Variables cualitativas o atributos: No se pueden expresar numricamente, sino pormedio del nombre de la caracterstica en estudio; se pueden clasificar en:

Ordinales: Aquellas que sugieren una ordenacin. Por ejemplo: nivel de estudio,posicin de los ganadores de un concurso; y,

Nominales: Aquellas que slo admiten una mera ordenacin alfabtica, pero noestablecen orden por su contenido. Por ejemplo: gnero, estado civil, color de cabello.

Variables multidimensionales: Recogen informacin sobre tres o ms

caractersticas. Por ejemplo: edad, estatura y peso de los alumnos de una clase.

ORGANIZACIN DE LOS DATOS

Segn el nmero de observaciones y el rango de la variable, podemos clasificar lastablas de la siguiente manera:

Tablas de tipo I: El tamao de la poblacin o muestra es pequeo. Por ejemplo, lasedades de 6 personas: 15, 18, 19, 21, 24, 28. Slo se ordenan de manera creciente odecreciente.

Tablas de tipo II: El tamao de la poblacin o muestra es grande y el rango de lavariable es pequeo.


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Ejemplo: Tabla de tipo II.

El nmero diario de llamadas telefnicas realizadas en una casa durante 30 das, se

encuentra tabulado as:

1. Ordene los datos en forma decreciente o creciente por cada columna y realice elconteo:

2. Estructure la tabla de frecuencia relacionando el conteo con un nmero(frecuencia):


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Tablas de tipo III (Tabla de intervalos): El tamao de la poblacin o muestra es grandey el rango de la variable es grande.

Ejemplo: Tabla de tipo III.

La edad de un grupo de 30 personas se encuentra tabulada as:

Sea la variable, la edad de las personas, observamos que los valores estn dispersos yque el rango de la variable est entre 5 y 55, por lo cual, si se quiere elaborar unatabla, sta debe ser de intervalos.

Ahora, los pasos que se deben seguir son:

1. Determine el total de datos. En este caso N = 30.

2. Calcule el rango R de la variable con la expresin R = XmxXmn, en los cualesestn considerados el valor mximo y mnimo de dicha variable. Para el ejemplo, R =55 5 = 50.

3. Determine el nmero de intervalos, entre 10 y 15. En este ejemplo, se tomarn 13intervalos.

4. Calcule la amplitud de los intervalos i= R N. Intervalos , aproximando al enteroms cercano. Para el ejemplo, i= 50 13 4.

5. Construya la tabla considerando que los intervalos sern siempre cerrados por laizquierda y abiertos por la derecha [Li 1, Li).

Para el primer intervalo [L1, L2 ), L1 es el mnimo valor de los datos y L2 es igual a L1 +i. Para el segundo intervalo [L2, L3 ), L2 ya se determin en el paso anterior y L3 esigual a L2 + i. Este procedimiento se sigue realizando para los nuevos intervalos.

Para el ejemplo, la tabla sera:


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Tablas de distribucin de frecuencias: Generalmente, las tablas de tipo II y III secompletan con distintos tipos de frecuencias, tales como:

a) Frecuencia absoluta: Es el nmero de veces que aparece dicho valor, comoresultado de la medicin de la variable. Se denota porfi.

b) Frecuencia absoluta acumulada: Es el resultado de sumar a la frecuencia absolutadel valor correspondiente la frecuencia absoluta del valor anterior. Se denota por Fi.

c) Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamao de lamuestra o poblacin: hi= fi/N , donde N = Tamao de la muestra o poblacin. Sedenota por hi.

d) Frecuencia relativa acumulada: Es el resultado de sumar a la frecuencia relativa delvalor correspondiente la frecuencia relativa del valor anterior. Se denota por Hi.

Modelos de tablas estadsticas


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Tablas de tipo II (Variable cuantitativa discreta)

Ejemplo: Tabla de frecuencias.

Se agrega a la tabla del ejemplo las columnas de frecuencias absoluta acumulada (Fi),relativa (hi) y relativa acumulada (Hi).


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La interpretacin de la cuarta fila de esta tabla sera: que respecto al nmero dellamadas diarias en el mes, en 4 das en particular del mes que se est analizando sehicieron 4 llamadas diarias; durante 25 das se hicieron menos de 5 llamadas diarias;en un 13.3% de los das se realizaron 4 llamadas diarias y durante un 83.3% de los 30das en total se realizaron menos de 5 llamadas diarias.

Tablas de tipo III (Variable cuantitativa continua)


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La marca de clase (XMC) representa los datos que se agrupan en ese intervalo (clase).Es el valor promedio entre los dos lmites del intervalo. A diferencia de la tablaanterior, la tabla de intervalo es menos precisa en la determinacin de los datos quepertenecen a una clase o intervalo.

Ejemplo: Tabla de frecuencias.

A la tabla original del ejemplo 11.2 se le agregan tres columnas: frecuencia absolutaacumulada (Fi), frecuencia relativa (hi) y frecuencia relativa acumulada (Hi).

La interpretacin de la cuarta fila de esta tabla sera: F4 = 10, significa que existen 10personas con edades comprendidas entre 5 y 21 (de edades mayores o iguales que 5

aos y menores que 21 aos).

h4 = 0.100, significa que las tres personas cuyas edades estn comprendida en elintervalo [17, 21) representan el 10% del total.

H4 = 0.334, significa que el 33.4% de las personas tienen edades comprendidas entre5 y 21 aos.


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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL

MEDIA ARITMTICA ( x )

Se define como el cociente entre la suma de los valores que toma la variable (datos)y el total de observaciones: ; ;

siendo n el total de observaciones, tambin se puede expresar como

generalmente esta definicin se ocupa para datos no tabulados. Para datos tabuladosen tablas tipo II la media aritmtica se obtiene por medio de:

y en tablas de tipo III se obtiene mediante

Dentro de las propiedades de la media aritmtica se tiene que si se dividen omultiplican todos los datos por una constante, la media aritmtica queda dividida omultiplicada, respectivamente, por esa constante; lo mismo que sucede si se le sumao resta una constante.

Sin embargo, la media aritmtica presenta el problema de que su valor se puede verinfluenciado por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie.Estos valores anmalos podran condicionar en gran medida el valor de la media

aritmtica, hacindole perder representatividad.

Ejemplo: Media aritmtica para datos no tabulados

Se tiene el sueldo de cinco empleados de una empresa: $567, $683, $725, $675, $576.

La media aritmtica es

En este caso, se puede decir que el sueldo promedio que paga la empresa a sus cincoempleados es de $645.2 .

Ejemplo: Media aritmtica para datos tabulados.

XMC corresponde a la marca de clase del intervalo y se encuentra como la mediaaritmtica de los lmites superior e inferior de cada intervalo. Por ejemplo, la marca

de clase para el primer intervalo de la tabla adjunta se encuentra como:

=425


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MEDIANA (x)

Se define como el valor central de una distribucin que tiene un nmero impar dedatos, una vez ordenados los datos de manera creciente o decreciente. El dato querepresenta la mediana divide la distribucin en dos grupos, un 50% de valores soninferiores y otro 50% son superiores.

Si el nmero de datos (N) de la distribucin es par, la mediana est dada por elpromedio de los dos datos centrales.

La mediana no presenta el problema de estar influenciada por los valores extremos,

pero en cambio no utiliza en su clculo toda la informacin de la serie de datos (nopondera cada valor por el nmero de veces que se ha repetido).

Si N es impar, el trmino central es el dato que ocupa ese lugar:


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Ejemplo: Mediana.

Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10.

Como N es igual a 5,

Si N es par, existen dos datos centrales:

Ejemplo: Mediana.

Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10, 12AquN = 6

ANLISIS:

La estadstica como ciencia se encarga de recopilar, e interpretar datos que en elfuturo servirn para proyectar posibles problemticas futuras, consiguiendo segnestos datos, la solucin ms viable y rpida y hacer inferencia acerca de una poblacincon base a la informacin contenida en una muestra, qu significa esto? . Nos ayudaInferir una cosa de otra, llevar consigo, conducir a un resultado.
http://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtml


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PROBABILIDADES

Un experimento aleatorio es aquel que est regido por el azar, es decir, se conocentodos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser enparticular el resultado del experimento.

Experimentos aleatorios.

Lanzamiento de un dado.

Lanzamiento de una moneda.

Lanzamiento de dos monedas.

Extraccin de una carta de un mazo de naipes.

Se denomina espacio muestral () asociado a un experimento aleatorio, al conjuntode todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar un dado, el espacio muestral es:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es:

= {c, s}Donde: c: cara

s: sello

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es:

= {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}

Observe que el resultado (c, s) (s, c), es decir, es importante el orden.

Al extraer una carta de un mazo de naipes, el espacio muestral consta de 52

elementos.

Se denomina evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Eventos o sucesos.

En el espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, relacionado con el lanzamiento de undado, los siguientes son eventos:

Obtener un nmero primo:A = {2, 3, 5}


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Obtener un nmero primo y par:B = {2}

Obtener un nmero mayor o igual que 5:C = {5, 6}

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultnea,es decir, si y slo si su interseccin es vaca.

Eventos mutuamente excluyentes.

En el lanzamiento de un dado, los eventos:

A: obtener un nmero par.B: obtener el nmero 3.

A y B son mutuamente excluyentes.

El espacio muestral es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y los eventos son:

A = {2, 4, 6} y B = {3}.

Como A B = , A y B son mutuamente excluyentes.

En el lanzamiento de una moneda, los eventos:

A: obtener cara.B: obtener sello.

A y B son mutuamente excluyentes.

El espacio muestral es = {c, s}, y los eventos son A = {c} y B = {s}.

Como A B = , A y B son mutuamente excluyentes.

En este ltimo caso, adems A B = , por lo que A y B se denominarn eventoscomplementarios, es decir, un evento es el complemento del otro:

AC = B y BC = A

PROBABILIDAD CLSICA

Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (igualprobabilidad), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrenciade cualquiera de los dems, entonces la probabilidad de un evento A es la razn:


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sta es la probabilidad clsica o de Laplace. A partir de ella, las probabilidades de los

posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sinrealizar la experiencia.

Ejemplo: Clculo de probabilidades.

Un experimento consiste en lanzar dos dados. Se pide realizar lo siguiente:

a) Elaborar el espacio muestral del experimento.

b) Hallar la probabilidad de que al lanzar los dos dados, la suma de las caras de losdados sea igual a 10.

c) Hallar la probabilidad de que al lanzar los dos dados, la suma se encuentre entre 7 y9, inclusive.

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),

b) Sea A: El evento que la suma de las caras de los dados sea igual a 10. Lascombinaciones que cumplen con esta condicin son:

A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}.P(A) = 3/36 8.33 %

c) Sea B: El evento que la suma de las caras de los dados se encuentre entre 7 y 9inclusive. Las combinaciones que cumplen con esta condicin son: B = {(1, 6),(2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3)}.

P(B) = 15/36 = 512 41.67 %


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Ejemplo: Clculo de probabilidades.

Una comisin ecuatoriana est formada por 20 personas: 8 representantes de la

Sierra, 5 de la Costa, 4 del Oriente y 3 de la regin Insular. Hallar la probabilidad deseleccionar una persona y que sta sea:

a) De la Sierra.b) De la Costa.c) Del Oriente o de la regin Insular.

Solucin:

a) Sea A: El evento de seleccionar una persona de la Sierra entre los miembros de la

comisin.P(A) = 8/20 = 25 40 %

b) Sea B: El evento de seleccionar una persona de la Costa entre los miembros de lacomisin.P(B) = 5/20 = 14 25 %

c) Sea C: El evento de seleccionar una persona del Oriente o de laregin Insular.

Como existen 4 personas del Oriente y 3 de la regin Insular, por el principio aditivo,existen 7 formas diferentes de seleccionar una persona entre stas.P(C) = 4 + 3/20 = 7 20 35 %

ANLISIS:

Las probabilidades constituyen una rama de las matemticas que se ocupa de medir o

determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimentoproduzca un determinado resultado. La probabilidad est basada en el estudio de lacombinatoria y es fundamento necesario de la estadstica.
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Estadistica1(VF).htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Estadistica1(VF).htm

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