Portafolio de Resistencia 2

UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI

Escuela de ingeniería civil

Portafolio de Resistencia de los materiales II

Curso: 4to semestre

Docente:

Ing. Tonio Realpe Tomala

Trabajo realizado por:

Rennie Elid Zambrano Zambrano

AREA MOMENTO

En este capítulo denominado Método del Área de Momento. Se utilizarán algunas propiedades geométricas de la curva de la elástica para así poder determinar tanto la pendiente como la deflexión de la viga en un punto cualquiera.

En el presente trabajo podremos apreciar que en lugar de expresar el momento flector como una función M(x) e integrar esta función analíticamente, haremos el diagrama que representa la variación de M/EI a lo largo de toda la viga, además evaluaremos algunas áreas definidas por el diagrama así mismo los momentos de las mismas áreas.

Este método del área de momento es un procedimiento que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la viga.

Se podría decir también que este método del área de momento es mucho más conveniente que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas distribuidas discontinuas y es particularmente efectivo cuando se trata de una viga de sección transversal variable.

El método que estudiamos está basado en dos teoremas el cual detallaremos mas adelante pero que presentaremos a continuación:

1. El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de una elástica continua es igual al área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.

2. La distancia de un punto B” de una elástica continua medida perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto A” de dicha curva es igual al momento respecto a B del área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.

Es como el método:

Integración y superposición. Ɵ

Área momento deformación

Viga conjugada ϝ

1


EI=rigidez a flexión

En el método de área momento se considera el diagrama de momento.

P

3/4 l/4

L

P RA= P

M=PL

DIAGRAMA DE MOMENTO

M=PL/EI

Teorema 1

El Angulo es igual al área del diagrama de momento

A=PL/EI.L.1/2= AREA

A=PL2/2EI cuando es una viga en volado

ƟB/A=ƟB-ƟA=A1 GIRO

ƟB=A1=PL2/2EI

TEOREMA 2

Debemos considerar al diagrama de momento

Y=A1.X1

Y=PL2/2EI X 2/3L DEFORMACION

Y=PL3/3EI

Vigas simplemente apoyadas con carga repartida

2


ʆB

q

Semiparabola

A=2/3.l/2.pl2/8EI

L A=PL3/24EI

5/16L CARGA SIMETRICA

ƟB=-PL3/24EI

Mmax=pl2/8EI ƟA= PL3/24EI

DEFORMACION

ʆmax=A1.X1

= PL3/24EI*5/16L

=5PL4/384EI

También se lo puede resolver por partes

X1

Ql2/2EI

QL2/2EI

X2

ƟA=A1+A2=ql2/2EI*l/2+ql2/2EI*1/2

ʆc=A1.X1+A2.X2

L CURVA ELASTICA

D2y/dx2= ecuacion diferencial

1era integración: ecuacion de la pendiente

Constante de integración

2da integración: ecuacion de la curva elástica

Condiciones de límite

x=0 y=0

x=L Y=0

3


METODO DE SUPERPOSICION

Llamado también por partes

Vigas estáticamente determinadas

L

ƟA=ƟA(W) +ƟA(P)=WL3/24EI+WL2/6EI

L

ƟB=ƟB(W)+ƟB(P)

Yc=yc(w)+yc(p) flecha máxima

L yc= 5wl2/384EI+PL3/48EI

Vigas estáticamente indeterminadas

P

L l/4

P

L l/4

4


w

w

w

w

w

VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA

El método de la Viga Conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.El método de la viga conjugada ó método de la viga imaginaria, que en lugar de hallar directamente la pendiente y la flecha, se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia, imaginaria ó conjugada. Cálculo de reacciones redundantes, flechas y pendientes en vigas con la ayuda de tablas, utilizando el principio de superposición.

Para abordar el análisis de la viga hiperestática o estáticamente indeterminada resulta necesario analizar las deformaciones que experimentara la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene básicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtener nuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. Y por otra parte, las deformaciones en sí, deben ser limitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia, vale decir, no se romperá bajo la carga, pero podrán deformarse mas allá de lo deseable, lo que llevaría consigo el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. No resulta extraño entonces que muchos dimensionamientos queden determinados por la deformación y no por la resistencia. De esta necesidad de determinar las deflexiones en vigas hiperestáticas nos llevo a estudiar los diferentes métodos conocidos como el método de área de momentos, la doble integración, el método de la viga conjugada. En el método de la viga conjugada, la flecha elástica en una sección de una viga (llamada aquí viga dada) se halla calculando el momento flexionante en la sección correspondiente de otra distinta, llamada sustituida y conjugada que está sometida a una carga distribuida de tal manera que la intensidad de ella en una sección cualquiera sea igual a la ordenada del diagrama M/EI de la viga dada en la sección correspondiente. Para describir esta carga se dirá que la viga conjugada es cargada con el diagrama M/EI de la viga dada.

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VIGA REAL

VIGA CONJUGADA

L

WL3/24EI

6


W

WL/2

WL/2

WL2/8

WL2/8EI

Ymax=5wl4/384EI

Real conjugada

Viga ficticia

L

PL2/16EI

Fc=pl3/48EI

Ymax

7


WL3/24EI

Pl/4

PL2/16EI

MA=0MB=0

PL3/48EI

Ejercicios

Wa2/2 ƟA=7WA2/12EI

ƟA=7WA2/12EI

7wa2/12EI

Gráficos

8


Wa2/2

7wa2/12EI

MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN

La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Energía de deformación reversible e irreversible

Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIX

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89mile_Clapeyron

http://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructural

http://es.wikipedia.org/wiki/Viga#Teor.C3.ADa_de_vigas_de_Euler-Bernoulli

ENERGIA POTENCIAL ELASTICA

La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

Donde:

, son las componentes del tensor tensión.

, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.

TEOREMA DE CASTIGLIANO

Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

PRIMER TEOREMA

Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a la energía potencial elástica

opotencial interno donde es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto A i en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:

SEGUNDO TEOREMA

Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a la energía potencial

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http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencial_el%C3%A1stica

http://es.wikipedia.org/wiki/1875


http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)



http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables

elástica opotencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δ i del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:

METODO DE VERESCHAGUIN

El defecto principal de la determinación de los desplazamientos por la formula de Mohr consiste en la necesidad de plantear las expresiones analíticas de las funciones integrando.

Esta incomodidad se agrava cuando se determinan los desplazamientos en barras de muchos tramos.

Sin embargo, cuando la barra constade tramos rectos de rigidez constante en cada uno de ellos la

simplificación se basa en el hecho de que los gráficos de los factores de fuerza unitarios en los tramos rectos de la barra, resultan ser lineales.

Sin embargo, cuando la barra consta de tramos rectos de rigidez constante en cada uno de ellos la operación de integración se puede simplificar.

TEOREMA DE BETTY Y MAXXWELL

El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.

Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencial_el%C3%A1stica

En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones).

Se verifica el Principio de superposición.

La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.

Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.

Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose al desplazamiento del

punto i al aplicar en j una fuerza . En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas, se puede afirmar que:

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:

Sea la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza

aplicada en él, , cuando se aplica en j una carga unitaria . Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como el producto escalar de la fuerza por el

desplazamiento). Definiendo de este modo , y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto i proyectado en la dirección de , de la siguiente manera:

A los coeficientes se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de .

La definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.

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Ejercicio: En la viga mostrada dibujar los diagramas de fuerza cortante (DFC) y momento flector (DMF).

SOLUCION

Tramo A’AB:

(0 )+2 M A (0+LAB )+M B ( LAB )=(0 )− 6LAB

( AAB . b)

2 M A (4 )+ M B (4 )=−64 [ ( 4 ) (4 )

2(2 )+(8)(4)( 2

3)(2)]

2 M A+M B=−32 [4+ 32

3 ]2 M A+M B=−22

Tramo ABC:

M A (4 )+2 M B (7 )+M C (3 )=−64 [ ( 4 ) (4 )

2(2 )+(8 ) ( 4 )( 2

3 ) (2 )]−63 [(10

3 )(2 )( 12 )(1+

23 )+(

103

)(2)(12)(

23)]

4 M A+14 M B+3 M C=−88−403

12 M A +42 M B+9 M C=−304

Tramo BCD:

13


M B (3 )+2 M C (8 )+ M D (5 )=−63 [( 10

3 )(2 )( 12 )( 4

3 )+( 103 ) (1 )( 1

2 )( 73 )]−6

5 [ (9.375 ) (5 )( 23 ) (2.5 )]

3 M B+16 M C+5 M D=−503

−3754

36 M B+192 M C+60 M D=−1325

Tramo CDE:

M C (5 )+2M D (10 )=−65 [(9.375)(5)( 2

3)(2.5)]

M C+4 M D=−75

2

2 M C+8 M D=−75

Tenemos las ecuaciones:

2 M A+M B=−22

12 M A +42 M B+9 M C=−304

36 M B+192 M C+60 M D=−1325

2 M C+8 M D=−75

Usamos matrices para resolver el sistema:

2 1 0 0 -2212 42 9 0 -304 0 36 192 60 -1325 0 0 2 8 -75

Transformando a una matriz escalonada:

Fila 1 por -6 y sumo a la fila 2:

2 1 0 0 -220 36 9 0 -1720 36 192 60 -13250 0 2 8 -75

Fila 2 por -1 y sumo a la fila 3:

2 1 0 0 -220 36 9 0 -1720 0 183 60 -1153

14


0 0 2 8 -75

Fila 3 por −2183

y sumo a la fila 4:

2 1 0 0 -220 36 9 0 -172

0 0 183 60 -1153

0 0 044861

−11419183

Igualamos las variables correspondientes con la matriz de respuesta:

44861

M D=−11419

183

M D=−114191344

~¿−8.4963

183 M C+60(−114191344 )=−1153

M C=−1181

336~¿−3.5149

36 M B+9(−1181336 )=−172

M B=−15721

4032~¿−3.8991

2 M A+(−157214032 )=−22

M A=−72983

8064~¿−9.0505

CALCULO DE CORTANTES:

Cortantes isostáticas:

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V AB' =

4 (4 )2

+ 42=10 Tn=V BA

'

V BC' =

5 (1 )3

=53

Tn

V CB' =

5 (2 )3

=103

Tn

V CD' =

3 (5 )2

=7.5Tn=V DC' =V DE

' =V ED'

Según formula:

V ij=V ij' −(M i−M j

Lij)

V ji=−V ji' −( M i−M j

Lij)

Reemplazamos:

V AB=10−(−9.0505−(−3.8991 )4 )=11.2879

V BA=−10−(−9.0505−(−3.8991 )4 )=−8.7122

V BC=53−(−3.8991−(−3.5149 )

3 )=1.7947

V CB=−10

3−(−3.8991− (−3.5149 )

3 )=−3.2053

V CD=7.5−(−3.5149−(−8.4963 )5 )=6.5037

V CD=−7.5−(−3.5149−(−8.4963 )5 )=−8.4963

V DE=7.5−(−8.49635 )=9.1993

V ED=−7.5−(−8.49635 )=−5.8007

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DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

CARGA AXIAL Y DESPLAZAMIENTO

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Teoría Elástica

Para entender mejor el tema es recomendable leer sobre Elasticidad y plasticidad una vez leído se entenderá que a la hora de someter un material a esfuerzo, en este caso el hormigón y el acero, este primero pasarán por una etapa de elasticidad antes de alcanzar su rango plástico. La teoría elástica se fundamenta en que nuestro elemento estructural deberá permanecer en el rango elástico.

Básicamente se plantea una linealidad entre las deformaciones máximas a compresión y las máximas a tensión, y de aquí en adelante los libros utilizan leyes de triángulos básicas y varios artilugios matemáticos para obtener las fórmulas de análisis y diseño según la teoría elástica.

Mediante un diseño a la elástica se generan diseños sin grietas en los cuales el hormigón puede o no aportar a tracción, como también llevar un control de los agrietamientos, los cuales serían muy leves.

Teoría Plástica

El diseño según la teoría plástica se conoce como diseño a la rotura, debido a que la característica más obvia de este diseño es que se plantea que el hormigón se encuentra

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en estado plástico en el punto de rotura. Debido a esto el concreto no trabaja a tensión y es el acero el que recibe en todos los casos toda la tensión. Esta teoría pauta la deformación unitaria máxima a la rotura del hormigón como 0.003, con una curva de esfuerzo irregular la cual se traduce a un bloque de esfuerzo rectangular con un área equivalente.

A la hora diseñar un mismo elemento con ambas teorías, con el diseño a la rotura obtendremos dimensiones y cuantía de acero menores que al hacerlo con un diseño elástico, esto debido a que se necesitará mayor dimensión y cuantía de acero para mantener el material en el rango elástico ante un mismo esfuerzo.

COLUMNAS CON CARGAS AXIALES EXCÉNTRICAS

Supondremos que una columna se comprime por cargas P que se aplican con una excentricidad e pequeña, medida desde el eje de la columna (figura a). Cada carga axial excéntrica es equivalente a una carga céntrica P y a un par de momento M0 = Pe (figura b). Este momento existe desde el instante en que se aplica la carga y, por tanto, la columna comienza a flexionarse al inicio de la carga. Luego la deflexión aumenta de manera continua conforme se incrementa la carga.

La columna está perfectamente recta al inicio, el material es linealmente elástico y el plano xy es un plano de simetría. El momento flexionante en la columna a una distancia x del extremo inferior (figura b) es

M=M o+P (−v )=P e−P v donde v es la deflexión de la

columna (positiva cuando es en la dirección positiva del eje y). Observe que las deflexiones de la columna son negativas cuando la excentricidad de la carga es positiva.

Por tanto, la ecuación de la curva de deflexión es:

v=−e ( tankL2

sin kx+coskx−1) Para una columna con cargas P conocidas y excentricidad e conocida, podemos utilizar esta ecuación para calcular la deflexión en cualquier punto a lo largo del eje x.

El comportamiento de una columna con una carga excéntrica es muy diferente del de una columna cargada en el centro, La ecuación anterior muestra que cada valor de la carga excéntrica P produce un valor definido de la deflexión, al igual que cada valor de la carga sobre una viga produce una deflexión definida. Por el contrario, las ecuaciones de deflexión para columnas cargadas en el centro dan la forma modal de pandeo (cuando P= Pcr) pero con la amplitud indefinida.

Como la columna que se muestra en la figura 11.21 tiene extremos articulados, su carga crítica (cuando se carga en el centro) es

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Pcr=π EI

L2

Deflexión máxima

La deflexión máxima δ producida por las cargas excéntricas ocurre en la mitad de la columna y se obtiene igualando x a L/2 en la ecuación:

δ=−v ( L2 )=e ( tan

kL2

senkL2

+coskL2

−1)O bien, después de simplificar,

δ=e (seckL2

−1)

Esta ecuación se puede escribir de manera ligeramente diferente reemplazando la cantidad k con su valor equivalente en términos de la carga crítica (consulte la ecuación):

k=√ PEI

=√ P π2

Pcr L2 =πL √ P

Pcr

Por tanto, el termino adimensional kL se convierte en

kL=π √ PPcr

Y la ecuación para la deflexión máxima se transforma en:

δ=r [sec( π2 √ P

Pcr)−1]

Como casos especiales, observamos lo siguiente: (1) la deflexión d es cero cuando la excentricidad e es cero y P no es igual a Pcr, (2) la deflexión es cero cuando la carga axial P es cero y (3) la deflexión se vuelve infinitamente grande cuando P tiende a Pcr. Estas características se muestran en el diagrama carga-deflexión de la figura

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Para trazar el diagrama carga-deflexión, seleccionamos un valor particular e1 de la excentricidad y luego calculamos d para varios valores de la carga P. La curva resultante está identificada e = e1 en la figura.

De inmediato observamos que la deflexión d aumenta cuando P aumenta, pero la relación no es lineal. Por tanto, no podemos emplear el principio de superposición para calcular deflexiones debidas a más de una carga, aunque el material de la columna sea linealmente elástico. Como ejemplo, la deflexión debida a una carga axial 2P no es igual al doble de la deflexión causada por una carga axial P.

Ejercicio

1.Dibuje el diagrama de corte, diagramas de momentos de flexión y la curva desviada cualitativa para la viga mostrada. La EI es constante.

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Curva elástica

Ejercicio2.Dibuje el diagrama de la cortante, diagrama de momento de flexión y la curva desviada cualitativa para la viga mostrada. La EI es constante.

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Nudo B ecuació

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Curva Elástica la ecuación (2)

Análisis de pórticos sin desplazamiento lateral.

Un marco no se desplazara hacia la derecha o hacia la izquierda si esta apropiadamente restringido. Ejemplos se muestra en la fiura 10-14. Tampoco se tendrán desplazamientos laterales si el marco es simétrico en geometría y carga, como se muestra en la figura 10-15.

En ambos casos, el término ψ en las ecuaciones pendiente-desviación es igual a cero ya que los nudos no tienen el correspondiente desplazamiento entre sí.

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Ejercicio3.Dibuje el diagrama de la cortante, diagrama de momento de flexión y la curva desviada cualitativa para la viga mostrada. E =200GPa.

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30


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Diagrama de la curva elástica

Diagrama de los momentos

Diagrama de las cortantes

Análisis de pórticos con desplazamiento lateral.

Un marco se moverá lateralmente cuando este o la carga que soporta sean asimétricos. Para ilustrar este efecto considere el marco en la figura 10-18. Aquí la carga P ocasiona momentos desiguales MB y MC en los nudos B y C, respectivamente, MB tiende a desplazar el nudo B hacia la derecha mientras que MC tiende a desplazar el nudo C hacia la izquierda. Como Mb es mayor que Mc el resultado neto es de un desplazamiento lateral ∆ de ambos nudos B y C hacia la derecha, como se mue3stra en la figura.* Al aplicar la ecuación de pendiente-desviación a cada columna de este marco debemos entonces considerar la rotaciónψ ¿) de la columna como incógnita en la ecuación en consecuencia, deben incluirse una ecuación adicional de equilibrio para la solución. En las secciones anteriores se vio que los desplazamientos angulares θ desconocidos están relacionados por ecuaciones de equilibrio por momentos en los nudos. De manera similar, cuando se tiene desplazamientos lineales ∆ (o rotaciones ψ del claro) en los nudos, debemos escribir ecuaciones de equilibrio por fuerzas para obtener la solución completa. Sin embargo, las incógnitas en esas ecuaciones deben contener solo los momentos internos que actúan en los extremos de la columna, ya que la ecuaciones pendiente-desviación contienen esos momentos. El procedimiento para resolver problemas de marcos con desplazamiento lateral se entiende mejor por medio de ejemplos.

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Ejercicio 4.Del pórtico mostrado emplee el método de pendiente-deflexión para:(a) Determinar todas las reacciones del soporte y también(b) Dibujar los diagramas de corte y momento y la curva elástica.

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yu

Incógnitas

Condiciones de equilibrio

Condiciones

Nudo B

Pórtico

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Sustituimos la ecuación

En (1) a (6)yu

De (7) a (8), solución de la ecuación:

Sustituimos la ecuación (5) y (6) en (2)

Sustituimos la ecuación (2) y (3) en (1)

Solución de la ecuación

Reacciones horizontal en los soportes

Ecuaciones de Momentos

Curva Elastica

Diagrama de momentos

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Porticos con columnas inclinadas

Los elementos inclinados sufren rotaciones, y se deben relacionar con una traslación independiente de un nudo. El elemento inclinado al desplazarse horizontalmente una distancia, el extremo del nudo del elemento, se desplaza en dirección perpendicular al elemento originalmente inclinado.Es conveniente establecer la tercera ecuación de equilibrio tomando los momentos respecto a un punto O, localizado en la intersección de los ejes longitudinales de los elementos inclinados.

Ejercicio 5Determine las reacciones

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39


40


41


Ejercicio 6Desde el marco se muestra el uso del método de la pendiente-deflexión a:(a) Determinar los momentos en los extremos de cada miembro y las reacciones en los apoyos(b) Dibuje el diagrama cuantitativa momento de flexión, y también dibujar lo cualitativo desviado forma de todo el marco.

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Ecuación Pendiente- Deflexión

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VIGAS CONTINUAS

Son vigas con varios apoyos y varias secciones

Método de coeficiente ( vigas con tramos iguales), que no tengan menos del 80% de luz.

Metodo de Cross (HARDY CROSS) se los puede analizar con cualquier tipo Método de la ecuacion de los tres momentos carga.

Método de coeficiente

L1 L2

8

11 11

Diagrama de momento cuando tiene más apoyos

10 10

11 15 11

Método de Cross: diseñada para todo tipo de pórticos

Para una viga continua

P

I I I

L1 L2 L3

DETERMINAMOS UN COEFICIENTE

A B C D

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M=ql2/11

C

0.5 0.5 0.511

-El coeficiente de distribución debe ser igual a la unidad.

-El coeficiente de transmisión es igual a .5.

Viga continua se necesita tener un peralte reducido

Momentos + y -

Viga simplemente apoyada se necesita un peralte mas grande

Permanentes van a estar durante toda la vida

Cargas

Accidentales vientos, sismos

Ocasionales son los que aparecen de vez en cuando

Para que no se desplace un edificio se coloca un aislador

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Ejercicios w=2.5tn/m

6 6 6

10 10

11 15 11

M1=M4

M34=M12=WL2/11=8181.82KG/M

M23=WL2/15=6000KG/M

M2=M3=WL2/10=9000KG/M

Viga 1-2

2500

EMA=

6.00 -R2.6+2500*36/2=0

R2=9000

6.00 2500 EFy=

R1=6000

5.5 5.5 5.5 5.5

10 12 10

11 15 15 11

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6000

9000

7500 9000 6000

6.00

2500

M1=M5=0

M12=M45=WL2/11=4125KG/M

M23=M34=WL2/15=3025kg/m

M2=M4=WL2/10=4537.5kg/m

M3=WL2/12=3781.25kg/m

2842.5

4657.5 3578.75

METODO DE CROSS

Autor Hardy Cross

Este Metodo se basa en calcular una viga continua.

El Método de redistribución de momentos o método de Cross1 es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método sólo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de desplazamiento del análisis estructural

15tn/m

P=50 25

2I 3I 1.5I

9.00 6.00 12.00

48


4373.9

4626.04 5256

C

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_distribuci%C3%B3n_de_momentos#cite_note-1

Factor de rigidez

Fr(1-2)=2/9=0.22

Fr(2-3)=3/6=.5

Fr(3-4)=1.5/12=.125

Factor de distribución

Fd= Fr/EFr

F2=0.22/.22+.5=.31

1.00

Fd2=.5/.22+.5=.69

Fd3=.5/.5+.125=0.8

1.00

Fd3=.125/.5+.125=.2

2.5I 4I 3I

2.00 5.00 3.00 3.00 4.00

Factor de rigidez

Kab= 2.5/5=0.5

Kbc=4/6=0.66

Kcd=3/4=.75

Coeficiente de distribución

Nudo A

0.5/0.5=1

Nudo b

Ba= 0.5/0.5+0.66=.43

Bc=.666/.5+.66=.57

Nudo c

49


1 .31 .89 .8 .2 1

-1.7 3.42 0 84.3

2 3

-7.6 -3.8 -20.4 -40.8 -75 75

10.2 -5.01 -12.6 0

4000kg/m1000kg/m

4000kg/m

1

1

Cb=.66/.66+.75=.47

Cd=.75/.66+.75=.53

Nudo d

Dc= .75/.75=1

Momento de empotramiento

Ma= ql”/2= 8000kg/m

Mab= q.l2/12=4000*25/12=8333kg/m

Mbc=5ql2/192=3750kg/m

3 3 mcb=11ql2/192=8250kg/m

Mbc=mcb=pl/8=750kg/m

50


4000

1000

BIBLIOGRAFÍA

1. http://civilgeeks.com/2011/10/04/teoria-elastica-vs-teoria-plastica/

2. Mecánica de Materiales, Jame M. Gere – Barry J. Goodno, Séptima Edición , Cengage Learning, 2009.

3. ESTABILIDAD Y ANLISIS DE SEGUNDO ORDEN DE ESTRUCTURAS DE VIGAS Y COLUMNAS DE TIMOSHENKO CON CONEXIONES SEMIRRGIDAS: MTODO PENDIENTE-DEFLEXIN

4. STABILITY AND SECOND-ORDER ANALYSIS OF TIMOSHENKO BEAM-COLUMN STRUCTURES WITH SEMIRIGID CONECTIONS: SLOPE-DEFLECTION METHOD

5. BERROCAL, Luis. (1990) Madrid. Resistencia de materiales. Ed. McGraw-Hill. Pp.182.

6. BEER, Ferdinan. JOHNSTON, Russell. DEWOLF, John. (2004) Connecticut. Mecanica de Materiales. Tercera edicion.Ed. McGraw-Hill. Pp. 208-297.

7. BEER, Ferdinan. JOHNSTON, Russell. DEWOLF, John. (2004) Connecticut. Mecanica de Materiales. Cuarta edicion.Ed. McGraw-Hill. Pp. 181-271.

51


http://civilgeeks.com/2011/10/04/teoria-elastica-vs-teoria-plastica/

Documents

Portafolio de Resistencia 2